Subido por עומר אליטוב

נוסחאון טוב

Anuncio
```1 ‫דפי נוסחאות בחדו&quot;א‬
‫גבולות‬
1
lim arctg = 0
x →∞
x
tgx
sin x
lim
= lim
=1
x →0 x
x → 0 cos x * x
sin x
lim
=1
x →0
x
sin x
lim
=0
x →∞
x
x
lim
=1
x → 0 sin x
1 − cos x
lim
=0
x →0
x
1
lim = ∞
x →0 x
1
lim − = −∞
x →0
x
lim1x = 1
‫טריגונומטריה‬
cos x
cot x =
sin x
sin x
tan x =
cos x
1
+
cos 2 x
cos 2 x =
2
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
1
tan 2 A+1=
cos 2 A
cos(π − α ) = − cos α
cos(π + α ) = − cos α
sin(π − α ) = sin α
sin(π + α ) = − sin α
sin(π + α ) = − sin α
π
sin( x + ) = cos x
2
x→∞
ln(1 + x)
=1
x →0
x
ex −1
lim
=1
x →0
x
lim
lim arctgx =
x →∞
1 + cos 2 x = 2 cos 2 x
1 − cos 2 x = 2 sin 2 x
π
sin 2 A+cos 2 A=1
sin 2 A =2sinAcosA
2
lim arctgx = −
π
x →−∞
lim arctgx = 0
2
x →0
sin(A&plusmn;B)=sinAcosB&plusmn;cosAsinB
cos(A &plusmn; B) =cosAcosB &plusmn; sinAsinB
cos2A =cos 2 A-sin 2 A =2cos 2 A-1 =1-2sin 2 A
‫גבולות אוילר‬
1
lim(1 + ) x = e
x →∞
x
1 x
lim(1 − ) = e −1
x →∞
x
1
lim(1 + x) x = e
x →0
1
1
lim(1 − ) x =
x →0
x
e
lim(1 − x)
x →0
−
1
x
=e
2sinAcosB =sin(A+B) + sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)
2sinAsinB =cos(A-B)-cos(A+B)
cos (α &plusmn; β ) = cos α ⋅ cos β &plusmn; sin α ⋅ sin β
sin (α &plusmn; β ) = sin α ⋅ cos β &plusmn; cos α ⋅ sin β
sin
x +π
x −π
x −π
= sin 2
sin
2
2
2
∞
1
= ∞* = ∞ *∞ = ∞
0
0
[email protected] ‫אודי חקים‬
‫טריגונומטריה המשך‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫⎦⎤ ) ‪cos α ⋅ cos β = ⋅ ⎡⎣cos (α − β ) + cos (α + β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫⎦⎤ ) ‪sin α ⋅ sin β = ⋅ ⎡⎣ cos (α − β ) − cos (α + β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫⎦⎤ ) ‪sin α ⋅ cos β = ⋅ ⎡⎣sin (α + β ) + sin (α − β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫⎦⎤ ) ‪cos α ⋅ sin β = ⋅ ⎡⎣sin (α + β ) − sin (α − β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪α +β‬‬
‫‪sin α + sin β = 2 ⋅ sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪α +β‬‬
‫‪sinα -sinβ = 2 ⋅ sin‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α +β‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪cos α + cos β = 2 ⋅ cos‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α +β‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪cos α − cos β = −2 ⋅ sin‬‬
‫‪⋅ sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נוסחאות כלליות‬
‫)‪( x &plusmn; 1) = ( x 2 &plusmn; 1)( x 2 + 1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(a 2 − b 2 ) = (a − b)(a + b‬‬
‫) ‪(a &plusmn; b) 2 = (a 2 &plusmn; 2ab + b 2‬‬
‫‪−b &plusmn; b 2 − 4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫= ‪ax 2 + bx + c → x1,2‬‬
‫זמני מחזור של פונקציות טריגונומטריות‬
‫⎫ )‪⎧sin(ax + b‬‬
‫‪2π‬‬
‫⎨‬
‫= ‪⎬T‬‬
‫‪a‬‬
‫⎭ )‪⎩cos(ax + b‬‬
‫⎫ )‪⎧ tan(ax + b‬‬
‫‪π‬‬
‫⎨‬
‫= ‪⎬T‬‬
‫‪a‬‬
‫⎭ )‪⎩cot(ax + b‬‬
‫משפטים‬
‫משפט הסנדויץ'‬
‫‪bn ≤ an ≤ cn‬‬
‫יהיו שתי סדרות\פונקציות תכנסות לגבול‬
‫מסויים אזי כל סדרה\פונקציה שבינהן תתכנס‬
‫לאותה גבול‪.‬‬
‫משפט חסימה של ‪0‬‬
‫תהי סדרה\פונקציה חסומה ‪an ≤ m‬‬
‫ו ‪ bn‬סדרה\פונקציה שגבולה ‪ 0‬אזי‬
‫‪lim an * bn = 0‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫תת סדרות‬
‫תהי סדרה ‪ an‬יש שתי תת סדרות שמתכנסות‬
‫לגבולות שונים אזי ל ‪ an‬אין גבול‪.‬‬
‫אם כל תת הסדרות של סדרה ‪ an‬מתכנסות‬
‫לאותו הגבול ‪ , L‬גבול ‪ an‬הוא גם ‪. L‬‬
‫משפט ערך הביניים‬
‫תהי ) ‪ f( x‬רציפה בקטע סגור ]‪ [a,b‬ו הנקודה‬
‫‪C‬‬
‫מקיימת ) ‪ f ( a ) ≤ C ≤ f ( b‬אזי קיים לפחות ‪x‬‬
‫אחד בקטע ]‪ [a,b‬שמקיים ‪. f( x ) = C‬‬
‫משפט ויירשטראס‬
‫תהי ) ‪ f( x‬רציפה על קטע סגור ]‪ [a,b‬היא‬
‫מקבלת ערך מקסימלי וערך מינימלי‪.‬‬
‫‪min ≤ f ( x ) ≤ max‬‬
‫הגדרת נגזרת‬
‫נגדיר פונקציה חדשה ל ) ‪ f( x‬על הקטע ]‪[a,b‬‬
‫) ‪f ( x ++ x ) − f ( x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪+ x→0‬‬
‫‪+x‬‬
‫אם הגבול קיים בכל נקודה פנימית‬
‫ב )‪ x ∈ ( a, b‬אזי הפונקציה היא פונקציית‬
‫הנגזרת של ) ‪ f( x‬בקטע ]‪[a,b‬‬
‫נגזרת של פונקציה הפיכה‬
‫תהי ) ‪ f( x‬רציפה בסביבות ‪ x0‬והפיכה‪.‬‬
‫אם ) ‪ f( x‬גזירה בנקודה ‪ x0‬ו ‪f ( x ) \ ≠ 0‬‬
‫אזי הפונקציה ההפיכה ) ‪ x = g ( y‬גזירה ב ‪y0‬‬
‫ו‬
‫אודי חקים ‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫\ ) ‪f ( x0‬‬
‫= \ ) ‪g( y0‬‬
‫משפטים המשך‪...‬‬
‫נגזרות‬
‫) ‪f ′(x‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪rx r −1‬‬
‫‪xr‬‬
‫‪a x ln a‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log a x‬‬
‫‪x ln a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫)‪cos(x‬‬
‫) ‪sin( x‬‬
‫) ‪− sin( x‬‬
‫)‪cos(x‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪tan(x‬‬
‫•‬
‫אם לא קיים גבול בנקודה ‪ x0‬הפונקציה‬
‫לא גזירה ב ‪. x0‬‬
‫•‬
‫פונקציה הגזירה ב ‪ x0‬רציפה ב ‪. x0‬‬
‫•‬
‫פונקציה שאינה רציפה ב ‪ x0‬אינה גזירה‬
‫ב ‪. x0‬‬
‫תנאי גזירות‬
‫‪L1‬‬
‫‪= L2‬‬
‫) ‪= f '( x0‬‬
‫) ‪+ f '( x0‬‬
‫) ‪− f '( x0‬‬
‫תנאי רציפות‬
‫‪= L2‬‬
‫) ‪= f ( x0‬‬
‫) ‪− f ( x0‬‬
‫‪L1‬‬
‫) ‪+ f ( x0‬‬
‫) ‪ f ( x‬מוגדרת ב ‪x0‬‬
‫סוגי אי רציפות‬
‫‪= L2‬‬
‫אי רציפות סליקה‪≠ f '( x0 ) -‬‬
‫) ‪− f '( x0‬‬
‫אי רציפות קפיצה ‪-‬‬
‫‪≠ L2‬‬
‫) ‪− f '( x0‬‬
‫‪L1‬‬
‫) ‪+ f '( x0‬‬
‫‪L1‬‬
‫) ‪+ f '( x0‬‬
‫אי רציפות עיקרית ‪L = ∞ / φ -‬‬
‫)‪cos 2 ( x‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪sin 2 ( x‬‬
‫) ‪cot(x‬‬
‫משפט לגרנג'‬
‫תהי ) ‪ f( x‬מוגדרת ורציפה בקטע ]‪[a,b‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪arcsin( x‬‬
‫וגזירה ב )‪ (a,b‬אזי יש לפחות מספר אחד בקטע‬
‫)‪ (a,b‬שמקיים )‪. (a&lt;c&lt;b‬‬
‫) ‪f − f( a‬‬
‫) ‪f '( c ) = ( b‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪1− x2‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪arccos(x‬‬
‫‪1− x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+ x2‬‬
‫) ‪arctan( x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1+ x2‬‬
‫) ‪arc cot(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪U \V − V \U‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪U‬‬
‫‪V‬‬
‫\ ‪U \ *V + U *V‬‬
‫‪U *V‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪−‬‬
‫אודי חקים ‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫משפט רול‬
‫מקרה פרטי של לגרנג'‪ ,‬אם בנוסף לתנאי משפט‬
‫לגרנג' מתקיים ) ‪ f ( a ) = f ( b‬אזי יש לפחות מספר‬
‫אחד ‪ c‬בקטע )‪ (a.b‬שבו ‪. f '( c ) = 0‬‬
‫משפט לופיטל‬
‫תהיינה ) ‪ f( x‬ו ) ‪ g( x‬גזירות בסביבות ‪x = x0‬‬
‫פרט אולי לנקודה עצמה‪ .‬אזי מתקיימים‪:‬‬
‫א‪lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 .‬‬
‫‪x →0‬‬
‫) ‪f '( x‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x →0‬‬
‫)‪f( x‬‬
‫ב‪.‬קיים הגבול‬
‫) ‪g ( x ) x → x0 g '( x‬‬
‫ניתן להשתמש בלופיטל כאשר יש מצב של‬
‫∞ ‪0‬‬
‫‪/‬‬
‫∞ ‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x → x0‬‬
‫משפטים המשך‪...‬‬
‫אינטגרלים מיידיים‬
‫‪ln x + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪cx + c‬‬
‫‪( c ) dx‬‬
‫‪x n +1‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪x n dx‬‬
‫‪tan x + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪− cot x + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪− cos x + c‬‬
‫‪sin(x ) dx‬‬
‫‪sin x + c‬‬
‫‪cos( x)dx‬‬
‫‪e x dx + c‬‬
‫‪e x dx‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪ln a‬‬
‫קירוב לינארי‬
‫‪f ( x) = f ( x0 ) + dy‬‬
‫‪dy = f ' ( x0 ) * dx‬‬
‫) ‪dx = ( x − x0‬‬
‫הערך הכי קרוב שקל לחשב ‪x0 −‬‬
‫הערך שצריך לקרב ‪x −‬‬
‫טור טיילור‬
‫‪f '(x0) *(x−x0)2‬‬
‫‪f n(x0) *(x−x0)n‬‬
‫'‬
‫‪+...+‬‬
‫‪+Rn‬‬
‫‪f (x)= f(x0) +f (x0) *(x−x0)+‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫אם נתון ‪ a‬הוא מחליף את ‪x0‬‬
‫)‪( n +1‬‬
‫) ‪*( x − x0‬‬
‫)‪( n +1‬‬
‫) ‪( x0‬‬
‫‪f‬‬
‫= ‪Rn‬‬
‫השגיאה ‪-‬‬
‫!)‪( n + 1‬‬
‫את השגיאה בודקים בין ‪ X‬ל ‪ x0‬בנקודה שהפונקציה‬
‫) ‪ f ( x‬מקבלת מקסימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪arctan x + c‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪arcsin x + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪arctg‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dx‬‬
‫⎞‪⎛ x−a‬‬
‫⎜ ‪arcsin‬‬
‫‪⎟+c‬‬
‫⎠ ‪⎝ b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪− ( x − a)2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+b‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪∫ ( x − a‬‬
‫אינטגרלים שיטת ההצבה‬
‫‪f (U ( x ) ) *U (' x ) dx = f (U ( x ) ) + c‬‬
‫∫= ‪I‬‬
‫) ‪ - U ( x‬החלק המקורי‬
‫‪ - dU‬הגזירה של החלק המקורי‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫‪I = ∫ Udv = U * v − ∫ V * dU‬‬
‫‪- dv‬החלק המקורי‬
‫‪ - v‬האינטגרל של ‪dv‬‬
‫‪ - U‬החלק המקורי‬
‫‪ - dU‬הנגזרת של ‪U‬‬
‫אודי חקים ‪[email protected]‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (b‬‬
‫חקירת פונקציה – אלגוריתם‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה – שלא יצא בח&quot;מ‬
‫ב‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה – ע&quot;י נגזרת‬
‫נקודות קריטיות כאשר הנגזרת מתאפסת וכאשר‬
‫היא לא מוגדרת‪.‬‬
‫ד‪ .‬נק' קיצון מקומיות כאשר הנגזרת מתאפסת‪,‬‬
‫הנגזרת לא מוגדרת אבל רציפה או כאשר אן‬
‫תחום הגדרה‪.‬‬
‫אם נותנים קטע תחום בודקים האם התחומים‬
‫מאפסים את הנגזרת כדי לבדוק האם הם נקודות‬
‫קיצון‪.‬‬
‫ה‪ .‬תחומי קמירות וקעירות ונק' פיתול – ע&quot;י‬
‫נגזרת שניה כאשר חיובית קמורה וכאשר‬
‫שלילית קעורה אם שווה אפס יש נקודת‬
‫פיתול‪.‬‬
‫ו‪ .‬אסימפטוטות אנכיות – הנק' בהן הפונקציה‬
‫לא מוגדרת‪.‬‬
‫חוקרים מה קורה להן מימין ומשמאל‪.‬‬
‫ז‪ .‬אסימפטוטה אופקית – לפי משוואת הקו‬
‫הישר ‪ y = ax + b‬כאשר‪:‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪a = lim‬‬
‫∞‪x →&plusmn;‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪b = lim ( f ( x) − ax‬‬
‫∞‪x →&plusmn;‬‬
‫אם לא קיים גבול ממשי‪ ,‬לא קיימת אסימפטוטה‪.‬‬
```