Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
(ii) – גבולות9 תרגיל
lim
x→ π
2
1 + cos (2x)
()ד
1 − sin x
lim
x→0
lim tan x ()ח
:( חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים.1
tan x − cot x
tan x − 1
lim
( )בlimπ
()א
x→ π
x→
cos
(2x)
sin
x − cos x
4
4
sin x − tan x
()ג
sin2 x
lim x cot (πx) ()ז
x→∞
lim
x→0
x→0
tan x − sin x
()ו
x3
lim
x→2π
cos (2x) − 1
()ה
sin x
פתרונות
:)א( מתקיים
lim
x→ π
4
√
tan x − 1
tan x − 1
1
2
= limπ
= limπ
=√ = 2
x→
x→
sin x − cos x
2
4 cos x (tan x − 1)
4 cos x
:)ב( מתקיים
limπ
x→ 4
2
sin x
cos x
2
x
sin x−cos x
− cos
−1
sin x
sin x cos x
= limπ
= −2
= limπ
2
2
x→
x→
cos (2x)
4 cos x − sin x
4 sin x cos x
tan x − cot x
= limπ
x→ 4
cos (2x)
:)ג( מתקיים
sin x − tan x
x→0
sin2 x
lim
cos x−1
1 − cos1 x
cos x − 1
= lim cos x = lim
x→0
x→0 sin x
x→0 sin x cos x
sin x
cos x − 1
cos (x − 1)
2x
= lim 2
= lim
·
=0·1=0
x→0
x→0
sin (2x)
x
sin (2x)
=
lim
( חישבנו בכיתהlimx→0
cos x−1
x
)את הגבול
:)ד( מתקיים
limπ
x→ 2
1 + cos (2x)
1 − sin x
1 + 1 − sin2 x − sin2 x
1 + cos2 x − sin2 x
= limπ
x→ 2
1 − sin x
1 − sin x
=
limπ
x→ 2
2 − 2 sin2 x
1 − sin2 x
(1 − sin x) (1 + sin x)
= 2 limπ
= 2 limπ
x→ 2 1 − sin x
x→ 2
x→ 2 1 − sin x
1 − sin x
= 2 limπ (1 + sin x) = 4
=
limπ
x→ 2
:)ה( מתקיים
lim
x→2π
cos (2x) − 1
sin x
2
=
=
1 − sin x − sin2 x − 1
sin x
2
cos x − sin x − 1
= lim
x→2π
x→2π
sin x
sin2 x
−2 lim
= −2 lim sin x = 0
x→2π sin x
x→2π
lim
1
2
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:()ו( מתקיים )נעזרנו פה בכפל בצמוד
lim
x→0
tan x − sin x
x3
sin x
x
sin x
= lim
x→0 x
sin x
= lim
x→0 x
=
=
lim
x→0
1
cos x
−1
sin x 1 − cos x
· 2
x
x cos x
1 − cos x 1 + cos x
· 2
·
x cos x 1 + cos x
1 − cos2 x
· 2
x cos x (1 + cos x)
·
x2
= lim
x→0
1
sin x sin2 x
1
1
·
·
=1·1·
=
2
x→0 x
x
cos x (1 + cos x)
1·2
2
lim
:)ז( מתקיים
πx
cos (πx)
1
·
=
x→0 sin (πx)
π
π
lim x cot (πx) = lim
x→0
.( הנה מחזורית ולא קבועהtan x )ח( גבול זה אינו קיים )הפונקציה
:( חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים.2
√
1− x−2
sin (3x)
4x2 + 1
√
lim
()ב
lim
()ג
lim
()א
√
2
x→∞
x→3
x→0
x −9
x−1
x+2− 2
√
lim
p
x→∞
x4 − 3x2 − 1 − x2 ()ד
פתרונות
:)א( נוציא גורם משותף בכפייה
q
x 4+
lim
x→∞
1
x2
x−1
√
√
sin (3x)
x+2+ 2
√ ·√
√
lim √
x→0
x+2− 2
x+2+ 2
x
= lim
·
x→∞ x − 1
r
4+
√
1
=1· 4=2
2
x
:)ב( נכפול בצמוד
√
√ x+2+ 2
sin 3x
·
x+2−2
√
√ √
√
sin 3x
= lim
·3
x+2+ 2 =1·3·2 2=6 2
x→0 3x
=
√
1− x−2
1+ x−2
√
lim
·
x→3 (x − 3) (x + 3) 1 +
x−2
lim
x→0
:)ג( נכפול בצמוד
√
=
=
=
1 − (x − 2)
√
(x − 3) (x + 3) 1 + x − 2
x−3
√
− lim
x→3 (x − 3) (x + 3) 1 +
x−2
1
1
1
=
√
− lim
=
x→3 (x + 3) 1 +
6·2
12
x−2
lim
x→3
2
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:)ד( נכפול בצמוד
√x4 − 3x2 − 1 + x2
p
x4 − 3x2 − 1 − x2 · √
x→∞
x4 − 3x2 − 1 + x2
lim
x4 − 3x2 − 1 − x4
lim √
x→∞
x4 − 3x2 − 1 + x2
−3x2 − 1
lim
q
x→∞ 2
x
1 − x32 − x14 + 1
=
=
−3x2 − 1
·q
x→∞
x2
1−
=
(−3) ·
=
lim 1 +
x→∞
3x
4 + 2x2
x
lim (1 + sin x) sin x ()ג
x→0
1
lim (1 + sin x) sin(2x) ()ח
lim
x→∞
x→0
x+3
x+2
3
x2
−
1
x4
+1
1
3
=−
2
2
:( חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים.3
x
2x
9
1
lim 1 +
()ב
lim 1 +
()א
x→∞
x→∞
x
3x
1
()ד
1
lim
2x
lim
()ז
x→∞
2x2 − 1
2x2 + 2
x
()ו
1/x
lim (1 + tan (3x))
x→0
()ה
פתרונות
:)א( מתקיים
lim
x→∞
1
1+
3x
2x
= lim
x→∞
1
1+
3x
2x
3x ! 3x
2
= e3
:)ב( מתקיים
x
1 x !9
9
1 9
lim 1 +
= lim
1+ 1
= e9
x→∞
x→∞
x
x
9
:)ג( מתקיים
lim (1 + sin x)
1
sin x
x→0
,; אבל שניהם יוצאים שווים0אין גבול ב־
1
sin x ול־
= lim
x→0
1+
1
1
sin x
sin1 x
=e
מאחר, צריך לבדוק פה גבול מימין וגבול משמאל,)למעשה
(e וערכם
3
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
)ד( מתקיים:
3x
4+2x2
3
= e2
3x2
4+2x2
·x
4+2x2
3x
∞→limx
=e
!
x
1
4+2x2
3x
= lim 1 +
∞→x
3x
4 + 2x2
lim 1 +
∞→x
)ה( מתקיים:
)tan(3x
x
)tan(3x
x
= elimx→0
כעת נותר לכם לחשב את הגבול
1
)! tan(3x
)tan(3x
x
1
1
)tan(3x
= lim 1 +
1/x
x→0
))lim (1 + tan (3x
x→0
limx→0וקיבלתם את התוצאה!
)ו(),ז( המטרה היא להעביר את השבר שבפנים לצורה של 1ועוד משהו קטן .נעשה זאת בסעיף זה ו׳ ,ובסעיף ז׳ הפתרון
דומה .מתקיים:
x
2x2 + 2 − 3
∞→x
2x2 + 2
x
−3
lim 1 + 2
∞→x
2x + 2
x
lim
=
2x2 − 1
2x2 + 2
lim
∞→x
=
ומפה הפתרון כרגיל.
)ח( פתרו זאת בעזרת סעיף ג׳ ובעזרת הזהות עבור סינוס של זווית כפולה.
.4נתונה הפונקציה
)(x + 1) (x − 1
)x (x − 2
= )f (x
חשבו את הגבולות הבאים:
)א( )lim f (x
x→0+
)ד( )lim f (x
x→2−
)ב( )lim f (x
x→0−
)ה( )lim f (x
∞→x
)ג( )lim f (x
x→2+
)ו( )lim f (x
∞x→−
פתרונות
)א( מתקיים:
)1 (x + 1) (x − 1
1
1
·
=
lim
∞=
x
x−2
2 x→0+ x
lim f (x) = lim
x→0+
x→0+
)ב( מתקיים:
1
1
)1 (x + 1) (x − 1
·
=
lim
∞= −
x
x−2
2 x→0− x
4
lim f (x) = lim−
x→0
x→0−
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:)ג( מתקיים
lim f (x) = lim+
x→2+
x→2
1
(x − 1) (x + 1)
3
1
·
=
lim
=∞
x−2
x
2 x→2+ x − 2
:)ד( מתקיים
lim f (x) = lim−
x→2−
x→2
1
(x − 1) (x + 1)
3
1
·
=
lim
= −∞
x−2
x
2 x→2− x − 2
:)ה( מתקיים
x2 − 1
=1
x→∞ x2 − 2x
lim f (x) = lim
x→∞
.)ו( בדיוק כמו סעיף ה׳
5
0
