דף נוסחאות במתמטיקה: אלגברה, טריגונומטריה ועוד

‫דף נוסחאות‬
:‫כפל מקוצר‬
x − y = ( x − y )( x + y )
2
:‫בינום ניוטון‬
( a + b)
n
2
( x ± y ) 2 = x 2 ± 2 xy + y 2
n
= ∑ Cnk ⋅ a n − k ⋅ b k
( x ± y )3 = x3 ± 3x 2 y + 3 xy 2 ± y 3
k =0
x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
n
n!
C = =
 k  k !(n − k )!
k
n
x3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
( x + y + z)
2
= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz
x n − y n = ( x − y )( x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + … + y n −1 )
y=ax+b
:(‫מעלה ראשונה )קו ישר‬
2
:(‫מעלה שנייה )פרבולה‬
y= ax + bx + c
2
 b
b 
 − , c −  :‫קודקוד הפרבולה‬
4a 
 2a
:‫פתרונות למשואה ממעלה שנייה‬
:‫פולינום כללי‬
n
n −1
p ( x) = an x + an −1 x + … + a1 x + a0
:‫נוסחאות וייטה‬
a
x1 + x2 + … + xn = − n −1
an
−b ± b 2 − 4ac
x1 , x2 =
2a
2
∆ = b − 4ac
∆=0 :‫פתרון יחיד‬
∆> 0 :‫שני פתרונות‬
∆<0 :‫אין פתרון‬
(−1) n a0
x1 ⋅ x2 ⋅… ⋅ xn =
an
a = x ⇔ log x = b
b
a
a
log ax
:‫לוגריתמים‬
a, x > 0
x
= x m−n
n
x
( x m ) n = x mn
=x
m, a, x, y > 0
log e ( x) = ln( x)
log m ( x) =
log10 ( x) = log( x)
:‫סדרה הנדסית‬
q – ‫המנה בין שני איברים‬
an = a1q n −1
S=
a1q − a1
=
q −1
a1 ( q n − 1)
q −1
q ≠1
a1
: −1 < q < 1 ‫כאשר‬
1− q
1
xm
x m y m = ( xy ) m
x −m =
log a ( x n ) = n ⋅ log a ( x)
m, a ≠ 1
Sn =
x m x n = x m+n
m
x
log a   = log a ( x) − log a ( y )
 y
log a ( xy ) = log a ( x) + log a ( y )
n
:‫חזקות‬
log a ( x)
log a (m)
m
x
ym
x
=  
 y
:‫נוסחאות וייטה‬
‫ פתרונות המשוואה הריבועית‬x1,x2 ‫יהיו‬
b
x1 + x 2 = −
a
c
x1 ⋅ x 2 =
a
:‫ערך מוחלט‬
-a<x<a ⇔ |x|<a
m
x<-a or x>a ⇔ |x|>a
x2 = x
x⋅ y = x ⋅ y
:‫סדרה חשבונית‬
d - ‫ההפרש בין שני איברים‬
x
x
=
y
y
an = a1 + d ⋅ (n − 1)
x − y ≤ x+ y ≤ x + y
a +a
Sn = 1 n n
2
n
S n = [2a1 + (n − 1)d ]
2
:‫סכומים‬
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + … + n 2 =
6
1+ 2 + 3 +… + n =
 n( n + 1) 
1 + 2 + 3 +… + n = 

 2 
3
3
3
3
2
sin(− x) = − sin( x)
cos(− x) = cos( x)
tan(− x) = − tan( x)
:‫משפטי הסינוס והקוסינוס‬
a
b
c
=
=
= 2R
sin(α ) sin( β ) sin(γ )
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ )
b
α
γ
c
sin( x + 2π ) = sin( x)
cos( x + 2π ) = cos( x)
tan( x + 2π ) = tan( x)
a
β
sin(π ± x) = ∓ sin( x)
cos(π ± x) = − cos( x)
tan(π ± x) = ± tan( x)
:‫זווית כפולה‬
2 tan(α )
2 cot(α )
sin(2α ) = 2sin(α ) cos(α ) =
=
2
1 + tan (α ) 1 + cot 2 (α )
1 − tan 2 (α ) cot 2 (α ) − 1
=
cos(2α ) = cos (α ) − sin (α ) =
1 + tan 2 (α ) cot 2 (α ) + 1
2
2
cos(2α ) = 2 cos 2 (α ) − 1 = 1 − 2sin 2 (α )
2 tan(α )
tan(2α ) =
1 − tan 2 (α )
:‫סכום והפרש פונקציות‬
α ± β 
α ∓ β 
sin(α ) ± sin( β ) = 2sin 
 cos 

 2 
 2 
α + β 
α − β 
cos(α ) + cos( β ) = 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
α + β  α − β 
cos(α ) − cos( β ) = −2sin 
 sin 

 2   2 
sin(α ± β )
tan(α ) ± tan( β ) =
cos(α ) ⋅ cos( β )
sin( β ± α )
cot(α ) ± cot( β ) =
sin(α ) ⋅ sin( β )
:‫טריגונומטריה‬
π

sin( x) = cos  − x 
2

π

cos( x) = sin  − x 
2

π

tan( x) = cot  − x 
2

sin( x)
cos( x)
tan( x) =
cot( x) =
cos( x)
sin( x)
sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
1
1 + tan 2 ( x) =
cos 2 ( x)
1
1 + cot 2 ( x) =
sin 2 ( x)
:‫סכום והפרש זוויות‬
sin(α ± β ) = sin(α ) cos( β ) ± sin( β ) cos(α )
cos(α ± β ) = cos(α ) cos( β ) ∓ sin(α ) sin( β )
tan(α ) ± tan( β )
1 ∓ tan(α ) tan( β )
cot( β ) cot(α ) ∓ 1
cot(α ± β ) =
cot( β ) ± cot(α )
tan(α ± β ) =
:‫חצי זווית‬
1 − cos(α )
α 
sin   = ±
2
2
1 + cos(α )
α 
cos   = ±
2
2
sin(α )
 α  1 − cos(α )
tan   =
=
sin(α )
1 + cos(α )
2
1 − cos(α )
α 
tan 2   ==
1 + cos(α )
2
:‫מכפלת פונקציות‬
x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
sin(x) cos(x) tan(x) cot(x)
0
1
0
12
3
3 2 1 3
1
1
2 2
2 2
3 2
1
0
-1
12
0
-1
0
3
0
-
1
3
0
0
1
[sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
1
cos(α ) cos( β ) = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ]
2
1
sin(α ) sin( β ) = [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ]
2
sin(α ) cos( β ) =
y = xn
n = 2k40
y=n x
35
30
25
20
15
10
5
0
-10
y = xn
-5
0
5
10
n = 2k300
+1
-10
y=n x
-100
0
5
10
-10
-5
n = 2k1.2
y = ax
a >1
1
0.6
0.4
0.2
0
5
10
n = 2k1.5+ 1
-10
y = ax
0.5
0.5
0
0
0
5
10
2
0
-6
-0.5 0
5
2
y =0log a ( x)
-10
-5
-2
0
2
4
6
8
6
8
0 < a <1
0
2
-8
y = arcsin( x)
2
4
6
8
1.5
1
0.5
-1.5
-0.5 0
-1
5
0
-1.5
10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.5
1
1.5
-0.5
-2
-1
-2.5
-1.5
-3
-2
y = sin( x)
70
60
y = arccos( x)
3.5
1.5
3
1
2.5
0.5
2
0
-6
-4
-2
1.5
0
2
4
6
8
1
-0.5
0.5
-1
0
5
0
10
y = cos( x)
-1.5
-1.5
1.5
y = arctan( x)
-1
-0.5
0
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
-6
-4
-2
0
-0.5
10
0
-1
4
-1
50
40
30
20
10
-2
-6
0
-0.5
-4
-4
60
0
-1.5
1
0 < a < 170
0.5
-5
1
-5
1
-10
1.5
10
0
0
y = x−n
1.5
50
40
30
20
0.8
-5
4
-1.5
-2
-300
-10
2
0.5
0
-200
y = x−n
2
:‫גרפים של פונקציות חשובות‬
-5
8
6
1.5
1
0
y = tan( x)
2.5
n = 2k 2+ 1
100
a >1
2.5
-5
200
-10
y =3 log a ( x)
n = 2k 3
-1
0
5
10
-1.5
2
4
6
8
-1.5
-1
-0.5
-0.2 0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.5
1
1.5