ב"ה
6 מתמטיקה לכימאי פתרו תרגיל
: חשבו את הגבולות הבאי.א
x2 − 4
( x + 2)( x − 2)
= lim
= lim x − 2 = −4
x →−2 tan( x + 2)
x →−2
x →−2
tan( x + 2)
1. lim
sin 2 5 x
(5 x)2
2
1 − cos10 x
1 − (1 − 2sin 2 5 x)
2sin 2 5 x
(5 x)
2. lim
= lim
= lim
= lim
x→0
x →0
x →0
x→0
4x
4x
4x
4x
2
50 x
= lim
=∞
x→0 4 x
2
2
sin 2 2 x − sin x
sin 2 x − sin x
sin 2 x − sin x
= lim
3. lim
= lim
x → 0 2sin x + 1 − cos 3 x
x →0 2sin x + 1 − 1 − 2sin 2 3 x x →0 2sin x + 2sin 2 3 x
2
2
2
2
sin 2 x (2 x)2 − sin x x
(2 x)2
(2 x) 2 − x
4 x2 − x
x
=
=
= lim
lim
lim
x →0
2
x→0
x →0
3x
9 x2
3x
2
sin 2
x
+
2
2
x
+
2
2
2 3x
4
2 sin x x + 2
2
2
x
3x 2
2
2
4x
16 8
= lim
= =
x → 0 18 2
18 9
x
4
1
2n − 1
4. lim sin
π=0
n →∞ n
2
זהו גבול של מכפלה של פונקציה השואפת:הסבר
2n − 1
1
π במכפלה של פונקציה חסומה 0ל
sin
n
2
π
π
3n +1 + sin n
sin n
n +1
4 = lim 3 +
4 = lim 3 + 1 sin n π = lim 3 + 0 = 3
5. lim
( )
n
n
n →∞
n →∞
3
3n
3n
3
n →∞
4 n →∞
1
π
כיוו שזהו גבול של מכפלה של פונקציה,0 שווהn sin n הגבול של:הסבר
3
4
ב"ה
π
sin n במכפלה של פונקציה חסומה
4
1
n 0השואפת ל
3
: חשבו את הנגזרות של הפונקציות הבאות.ב
1 1
1. y ' = 3sin 2 cot x ⋅ cos cot x ⋅ − 2
⋅
sin x 2 x
(
=
)
(
(
)
)
(
−3sin 2 cot x ⋅ cos cot x
2 x ⋅ sin
2
)
x
−2
x 1
⋅ − sin ⋅ =
2
x
2
2 cos
2
1
1
x
3. y ' = 3 x 2 arcsin + x 3 ⋅
⋅
2
2
x 2
1−
2
1
1
4 x 3 arctan x − x 4 ⋅
⋅
1 + x2 2 x
4. y ' =
2. y ' = 2
x
cos
2
1
ln 2 ⋅
( arctan x )
cos
x
2
ln 2 ⋅ sin
4 cos
x
2
x
2
2
(
)
1
x
− cos x (1 + sin x ) − cos x (1 − sin x )
5. y ' = 4 cos3 ( sin ( ln x ) ) ⋅ − sin ( sin ( ln x ) ) ⋅ cos ( ln x ) ⋅
1
1
⋅
⋅
2
1 − sin x
1 − sin x
1 + sin x )
(
2
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
−2 cos x
cos x
cos x
1
=
⋅
=
=
=
2
2
2
2 (1 − sin x ) (1 + sin x ) 1 − sin x cos x cos x
6. y ' =
1 ′
2
1
cot x
−
1
7. y ' = ( ln sin x ) 3 = ( ln sin x ) 3 ⋅
⋅ cos x =
2
sin x
3
3 3 ( ln sin x )
8. y ' =
1
1+ x
1+
1− x
2
⋅
1(1 − x ) + (1 + x )
(1 − x )
(1 − x )
2
⋅
2
2
2
(1 − x ) + (1 + x ) (1 − x )
2
2
=
=
1
=
1+
(1 − x )
2 (1 + x
2
2
⋅
⋅
2
2
2
=
1
1 + x2
(1 + x ) (1 − x )
2
(1 − x )
2
) (1 − x )
2
=
1
⋅
2
(1 − x ) + (1 + x ) (1 − x )
2
(1 − x )
2
2
2
ב"ה
9. y′ = 10 ln 9
2x
− 1
x + 34 − x x + 34 + x 2 x 2 + 34
⋅
⋅
x 2 + 34 + x x 2 + 34 − x
2
2
(
) (
x 2 + 34 + x −
(
)
2x
x 2 + 34 − x
+ 1
2
2 x + 34
x 2 + 34 + x
)
2
: כלומר, x 2 + 34 = t לצור נוחות כתיבת פתרו התר' נסמ
2x
2x
− 1 ( t + x ) − ( t − x ) + 1
t
−
x
t
+
x
2t
2t
y′ = 10 ln 9
⋅
⋅
2
t+x t−x
t
+
x
( )
t−x t+x
= 10 ln 9
⋅
⋅
t+ x t−x
x+
x2
x2
x2
−t − x − x −t + + x
2 − 2t
t−x t+x
t
t
= 10 ln 9
⋅ t 2
⋅
2
t
+
x
t
−
x
(t + x )
(t + x )
x2
2 x 2 2t 2
− 2t
−
t−x 1
9t−x
t
t
t
= 10 ln 9
⋅
⋅
=
⋅
10
ln
2
2
t+ x t−x t+x
t+ x t −x
2
2 ( x2 − t 2 )
t−x
t
= 10 ln 9
⋅ 2
2
t+ x t −x
t − x −2
= 10 ln 9
⋅
t+x t
: ונקבל, x 2 + 34 = t כעת נציב חזרה
x 2 + 34 − x
−2
y′ = 10 ln 9
⋅
x 2 + 34 + x x 2 + 34
0
