Sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de
ambas (conjunto solución).
𝐚. 𝐱 + 𝐛. 𝐲 = 𝐜
{
𝐝. 𝐱 + 𝐞. 𝐲 = 𝐟
Dos rectas en el plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen
ningún punto en común o son coincidentes).
Clasificación de los sistemas.
Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican de la siguiente manera:
• Sistema compatible determinado (SCD): tiene una única solución. Las rectas se cortan en
un punto.
• Sistema compatible indeterminados (SCI): tienen infinitas soluciones. Las rectas son
coincidentes.
• Sistema incompatible (SI): no tiene solución. Las rectas son paralelas.
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un
mismo sistema de ejes y hallar la intersección de ambas.
Ejemplos.
3𝑥 + 𝑦 = −1
• {
𝑥 + 2𝑦 = 3
𝑚 = −3
𝑦1 { 𝑏 = −11
𝑥0 = −
3
𝑺 = {(−𝟏; 𝟐)}
𝑦1 = −3𝑥 − 1
{
1
3
𝑦2 = − 𝑥 +
2
𝑚=−
1
2
𝑦2 { 𝑏 = 3
2
𝑥0 = 3
2
1
𝑥− 𝑦=2
3
• {
3𝑥 − 𝑦 = −1
𝑦 = 3𝑥 − 6
{ 1
𝑦2 = 3𝑥 + 1
𝑚=3
𝑦1 {𝑏 = −6
𝑥0 = 2
𝑚=3
𝑦2 { 𝑏 = 1 1
𝑥0 = −
3
Actividad.
1) Escriban las ecuaciones que forman el sistema e indiquen la solución
a)
c)
𝐴: __________
{
𝐵: __________
𝐴: __________
{
𝐵: __________
𝑆𝑜𝑙. = _______
𝑆𝑜𝑙. = _______
b)
d)
𝐴: __________
{
𝐵: __________
𝑆𝑜𝑙. = _______
𝐴: __________
{
𝐵: __________
𝑆𝑜𝑙. = _______
2) Resuelvan gráficamente los siguientes sistemas.
a) {
4𝑥 − 3𝑦 = −2
3𝑥 + 4 = 𝑦
2. (𝑦 + 3) − 4 = 8𝑥
b) {
7𝑦 = 14𝑥 − 21
c) {
2𝑦 = −3𝑥 + 10
3
𝑥
2
2. (𝑥 + 1) − 14 = −8𝑦
d) {
3
6𝑦 + 𝑥 = 15
+𝑦=5
2
Resolución analítica de un sistema de ecuaciones.
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones, existen varios métodos. Todos ellos
permiten obtener el mismo resultado.
• Método igualación: se despeja la misma incógnita en cada ecuación, se igualan y se resuelve.
3𝑥 + 𝑦 = −3
{
4𝑥 − 2𝑦 = −14
3x + y = −3
𝐝𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐦𝐢𝐬𝐦𝐚 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 𝐚𝐦𝐛𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
𝐲 = −𝟑 − 𝟑𝐱 (𝐈)
4x − 2y = −14
−2y = −14 − 4x
y=−
14
−2
−
4
−2
x
𝐲 = 𝟕 + 𝟐𝐱 (𝐈𝐈)
−3 − 3x = 7 + 2x
𝐈𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐈 𝐲 𝐈𝐈
−3𝑥 − 2𝑥 = 7 + 3 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒖𝒗𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒚 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒙
−5𝑥 = 10
𝑥=
10
−5
𝐱 = −𝟐
𝑦 = 7 + 2. (−2)
𝐲=𝟑
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 (𝑰) 𝒐 (𝑰𝑰)𝒚 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚
𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔: 𝑺 = {(−𝟐; 𝟑)}
3. (−2) + 3 = −4
4. (−2) − 2.3 = −14
𝐯𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫𝐞𝐞𝐦𝐩𝐥𝐚𝐳𝐚𝐧𝐝𝐨
𝐞𝐬𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬
Actividad
1) Resuelvan por igualación los siguientes sistemas.
1
𝑥 − 𝑦 = 0, 2̂
3
b) {
𝑦 − 2 = 3𝑥
𝑥−𝑦 = 1
a) {2𝑥 + 3𝑦 = −8
c) {
3
𝑥
4
1
2
3
2
1
− 𝑦
6
=− − 𝑦
1
4
1+ 𝑥 =
• Método sustitución: se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y luego se
reemplaza en la otra
𝟐𝐱 + 𝐲 = 𝟐
{
𝟑𝐱 − 𝟐𝐲 = −𝟏𝟏
2x + y = 2
Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones
y = 2 − 2x (𝐈)
𝟑𝐱 − 𝟐. (𝟐 − 𝟐𝐱) = −𝟏𝟏 Sustituimos la expresión I en la otra ecuación del sistema.
3x − 4 + 4x = −11 Resolvemos la nueva ecuación y hallamos x
3x + 4x = −11 + 4
7x = −7
7
x=−
7
𝐱 = −𝟏
𝐲 = 𝟐 − 𝟐. (−𝟏)
𝐲=𝟒
Reemplazamos en I el valor de x que obtuvimos, y hallamos y
𝐄𝐥 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐬: 𝐒 = {(−𝟏; 𝟒)}
2. (−1) + 4 = 2 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
3. (−1) − 2.4 = −11 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Actividad.
1) Resuelvan por sustitución los siguientes sistemas.
2𝑥 + 3𝑦 = 2
a) {
3𝑥 + 5𝑦 = 2
5𝑥 − 4𝑦 = 7
b) {
−4𝑥 + 3𝑦 = −4
c)
5
𝑥 − 1 = 2𝑦
{33
5
+ 3𝑦 = 𝑥
2
2
• Método determinante.
El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es la diferencia entre el
producto de los elementos de la diagonal marcada con verde y los elementos de la diagonal
marcada con naranja.
𝑎11
𝐴22 = (𝑎
21
𝑎12
𝒂𝟏𝟏
|
|
)
⟹
𝐴
=
|
𝑎22
𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟐 | = 𝑎11 . 𝑎22 − 𝑎21 . 𝑎12
2
|𝐴| = | 5
| = 5. (−3) − (−7)
−7 −3
La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso del determinante, sistemas de
ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas.
El procedimiento se explica para un sistema 2x2 y de manera análoga se resuelve cualquier
sistema cuadrado de n x m.
a x + b1 y = c1
Para un sistema { 1
se deben realizar dos procedimientos.
a2 x + b2 y = c2
1) Se llaman los valores de los siguientes determinantes.
∆= |
𝑎1
𝑎2
𝑏1
|
𝑏2
∆𝑥 = |
𝑐1
𝑐2
𝑎1
∆𝑦 = |𝑎
𝑏1
|
𝑏2
2
𝑐1
𝑐2 |
Determinante general.
Determinante en x
Determinante en y
Se forma con los
coeficientes de las
incógnitas
Se reemplaza en ∆ los
coeficientes de x por los
términos independiente
Se reemplaza en ∆ los
coeficientes de y por los
términos independiente
2) Se calculan los valores de las incógnitas.
𝑥=
∆𝑥
∆
⋀ 𝑦=
∆𝑦
∆
Ejemplo.
4𝑥 − 2𝑦 = 6
Resolver: {
−2𝑥 + 6𝑦 = 2
∆= |
4 −2
| ⟹ ∆= 20
−2 6
∆𝑥 = |
6 −2
| ⟹ ∆𝑥 = 40
2 6
4
∆𝑦 = |
−2
6
| ⟹ ∆𝑦 = 20
2
𝑥=
𝑦=
∆𝑥
∆
∆𝑦
∆
=
40
20
⟹𝒙=𝟐
=
20
20
⟹𝒚=𝟏
𝑺 = {(𝟐; 𝟏)}
La clasificación de un sistema se establece de acuerdo con los valores de los determinantes.
Sistema compatible
determinado
∆≠ 0
Sistema compatible
indeterminado
∆= 0 ⋀ ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0
Sistema incompatible
∆= 0 ⋀ (∆𝑥 ≠ 0 ⋁ ∆𝑦 ≠ 0)
Actividad.
1) Resolver los siguientes sistemas por la regla de Cramer y clasificarlos.
a) {
6y + 1 = 9x
c) {
1
3x − = 2y
7
x
3
+ 2y = 6
6y − 3 + 7y = 0
1
x
2
3
− 4y = 12
b) {
1
y = . (1 + 𝑥)
d)
3
2
x + 4y = 2
{15
x + 10y = 5
2
Resolución de problemas.
Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje algebraico las
condiciones del enunciado y luego resolver el sistema planteado.
María y su hija Sara tienen en la actualidad 56 entre las dos. Si dentro de 18 años Sara tendrá 5
años más que la mitad de la edad de su madre. ¿qué edad tiene actualmente cada una?
Solución.
Llamamos
x a la edad de María
y edad de Sara.
La suma de las edades es 56: x+y=56
Dentro de 18 años tendrán: x+18; y+18
La edad de Sara será y+18=5+(x+18):2
𝒙+𝒚=
{
𝒚 + 𝟏𝟖 =
𝟓𝟔
𝟓 + (𝒙 + 𝟏𝟖): 𝟐
𝒙 = 𝟒𝟎; 𝒚 = 𝟏𝟔
María tiene 40 años y Sara 16 años
Actividad
1) Plantear y resolver las siguientes situaciones problemática.
a) La suma de un número más el doble de otro es 11, y el doble del primero menos el segundo
es 2. ¿Cuáles son los números?
b) En un estacionamiento hay 55 vehículos entre autos y motos. Si el total de ruedas es 170.
¿Cuántos autos y motos hay?
c) La suma de las edades de Alicia y Lidia es 9 años. Si Alicia es 5 años mayor que Lidia. ¿Qué
edad tiene cada una?
d) En una firesta hay 132 personas. Si el doble de la cantidad de mujeres es 18 unidades mayor
que la cantidad de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?
e) En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura. Si el perímetro es 76 cm. ¿Cuánto mide
la base y la altura?
f) En un depósito hay 30 banderas que contienen 3 o 4 franjas de distinto colores.. Si se cuentan
103 franjas.¿Cuántas banderas de cada clase hay?
Sistemas de ecuaciones lineales 3x3.
En la resolución de sistemas de ecuaciones 3x3, es decir de tres ecuaciones y tres incógnitas, se
pueden usar algunos de los métodos vistos anteriormente.
Para calcular el valor de los determinantes de tercer orden, se utiliza la regla de Sarrus, la cual
consiste en repetir las dos primeros filas o columnas.
𝒂𝟏𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏𝟐 𝒚 + 𝒄𝟏𝟑 𝒛 = 𝒅𝟏
{𝒂𝟐𝟏 𝒙 + 𝒃𝟐𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐𝟑 𝒛 = 𝒅𝟐
𝒂𝟑𝟏 𝒙 + 𝒃𝟑𝟐 𝒚 + 𝒄𝟑𝟑 𝒛 = 𝒅𝟑
𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟐 + 𝒄𝟏𝟑 𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟐
| 𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟐 +𝒄𝟐𝟑 | 𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟐 |
𝒂𝟑𝟏 + 𝒃𝟑𝟐 + 𝒄𝟑𝟑 𝒂𝟑𝟏 + 𝒃𝟑𝟐
∆= (𝑎11 . 𝑏22 . 𝑐33 + 𝑏12 . 𝑐23 . 𝑎13 + 𝑐13 . 𝑎21 . 𝑏32 ) − (𝑏12 . 𝑎21 . 𝑐33 + 𝑎11 . 𝑐23 . 𝑏32 + 𝑐13 . 𝑏22 . 𝑎31 )
Ejemplo.
Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mesas y sofás. Para la fabricación de cada uno
de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como
se indica en la tabla siguiente. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias.
¿Cuántas sillas, mesas y sofás fabricó?
Sillas
Mesas
Sofás
Madera
Plástico
Aluminio
1 unidad
1 unidad
3 unidades
1 unidad
1 unidad
3 unidades
1 unidad
2 unidades
5 unidades
Solución:
Llamamos x al número de sillas, y al número de mesas y z al número de sofás. Así teniendo en
cuenta los datos que nos da el problema, tenemos que:
𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 →
𝑃𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 →
𝐴𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 →
1 1
∆= |1 1
2 3
400
∆𝑥 = | 600
1500
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 600 }
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 1500
1 1 1
2| 1 1| = [(1.1.5) + (1.2.2) + (1.1.3) − (1.1.5) + (1.2.3) + (1.1.2)] = −𝟏
5 2 3
1
1
3
1 400
2| 600
5 1500
1
(400.1.5) + (1.2.1500) + (1.600.3) − (1.600.5)
] = −𝟏𝟎𝟎
1| = [
+(400.2.3) + (1.1.1500)
3
1
∆𝑦 = | 1
2
400 1 1
600 2| 1
1500 5 2
1 1
∆𝑧 = | 1 1
2 3
400
(1.600.5) + (400.2.2) + (1.1.1500) − (400.1.5) + (1.2.1500)
]
600 | = [
+(1.600.2) = −𝟏𝟎𝟎
1500
400 1 1
(1.1.1500) + (1.600.2) + (400.1.3) − (1.1.1500) + (1.600.3)
]
600 | 1 1| = [
+(400.1.2) = −𝟐𝟎𝟎
1500 2 3
𝑥=
∆𝑥 −100
=
⟹ 𝑥 = 𝟏𝟎𝟎
∆
−1
𝑦=
∆𝑦 −100
=
⟹ 𝑦 = 𝟏𝟎𝟎
∆
−1
𝑧=
∆𝑧 −200
=
⟹ 𝑧 = 𝟐𝟎𝟎
∆
−1
Por lo tanto, se fabricaron: 100 sillas, 100 mesas y 200 sofás.
Actividad
1) Calcula la solución de cada sistema lineal
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 10
a) {2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −25
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 15
13𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =
b) { 25𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 =
1
9
− 𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 =
0
17
−16
2) Plantear el sistema y resolver.
a) Tres especies de baterías se alimentan con tres productos diferente, I, II y III. Una batería de la
primera especie consume una unidad de l producto I, una unidad del producto II y dos unidades
del producto III diariamente. Una batería de la segunda especie consume una unidad del producto
I, cuatro unidades del producto III y dos unidades del producto II cada día. Una batería de la
tercera especie consume tres unidades del producto II, ocho unidades del I y cinco unidades del
III cada día. Si se suministra cada día 14260 unidades del producto I, 23268 unidades del II y
46312 unidades del III. ¿Cuántas batería de cada especie pueden mantenerse en ese ambiente?
b) Una empresa electrónica produce transistores, resistores y chip de computadora. Cada
transistor requiere tres unidades de cobre, una unidad de zinc y dos unidades de vidrio. Cada
resistor requiere 3, 2 y 1 unidades, respectivamente, y cada chip requiere, respectivamente 2, 1 y
2 unidades de cada material. ¿Cuántos productos de cada tipo pueden fabricarse con las siguientes
cantidades de material?
810 unidades de cobre, 410 unidades de zinc y 490 unidades de vidrio
c) Una firma produce tres clases de artículos, A, B y C que requieren ser procesados por tres
máquinas I, II y III. El tiempo requerido en horas para procesar una unidad de cada producto en
las tres máquinas está da por la siguiente tabla:
I
II
III
A
3
1
2
B
1
2
4
C
2
1
1
La máquina I está disponible por 490 horas, la máquina II por 310 horas y la máquina III por 560
horas. ¿Cuántas unidades de cada artículo se deben producir, si se quiere usar todo el tiempo que
las máquinas tienen disponible?
