04. TEORIA DE FUNCIONES

I.E.P. KEPLER
“AÑO DEL BICENTENARIO: 200 AÑOS DE INDEPENDENCIA”
𝑪𝒖𝒓𝒔𝒐:
𝑭Í𝑺𝑰𝑪𝑨 𝟒°
𝑻𝒆𝒎𝒂:
𝑭𝑼𝑵𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝑷𝑬𝑹𝑬𝒀𝑹𝑨 𝑫𝑰𝑨𝒁, 𝑱𝒐𝒔é 𝑳𝒖𝒊𝒔
1
“Para
aquellos que no conocen las
matemáticas, es difícil sentir la belleza de la
naturaleza. Si quieres apreciarla, es necesario
aprender el lenguaje en el que habla"
Richard Feynman
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
2
CONTENIDO
1. DEFINICIONES BÁSICAS
1.1. Conjuntos
1.2. Relación
1.3. Ideas Intuitivas de Función
1.4. Funciones
1.5. Propiedades de las Funciones
1.6. Funciones Notables
1.7. Trazado de Gráficos de Funciones
2. PROBLEMAS
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I.E.P. KEPLER
3
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.1. CONJUNTOS:
NUMEROS REALES
Un conjunto es una colección de objetos que tienen
una característica especial.
Los objetos de un conjunto se llaman
.
ELEMENTOS
El conjunto que carece de elementos se llama
conjunto vacío.
Son dos los modos de especificar un conjunto
particular. Un modo consiste en la enumeración
efectiva de sus elementos, cuando ello es posible.
𝐴 = {𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢ሽ
El otro modo consiste en definir las propiedades
que caracterizan los elementos del conjunto.
𝐵 = {𝑥 / 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑥 > 0ሽ
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Diaz
GEOMETRIA
3°
FISICA 4°
NUMEROS NATURALES: Son
aquellos
números que se emplean para contar los elementos
de un conjunto:
ℕ = ℤ+ = {1; 2; 3; 4; … ሽ
NUMEROS ENTEROS: Denotado por:
ℤ− = −1; −2; −3; −4; … 𝑦 0
El conjunto de los enteros positivos y negativos con
el cero se llama conjunto de los ENTEROS.
NUMEROS RACIONALES: También conocido
como FRACCIONES, tales como:
ℚ=
2 3
1
; ; − ; 0.25; −3.789; …
3 4
8
NUMEROS IRRACIONALES: Números
tales
como 2 y 𝜋 son números no racionales, es decir no
se pueden expresar como 𝑎/𝑏 (llamado cociente o
razón de 𝑎 y 𝑏) con 𝑎 y 𝑏 enteros tal que 𝑏 ≠ 0
4
I.E.P. KEPLER
I.E.P. KEPLER
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.2. RELACION:
Dado dos conjuntos no vacíos, 𝑨, 𝑩; la RELACIÓN
de 𝑨 con 𝑩 está dado por todos los pares
ordenados (𝑎; 𝑏) de modo que 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵. Es
decir:
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎; 𝑏)/𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵ሽ
Ejemplo:
Sean los conjuntos 𝑨 = {𝟏; 𝟑ሽ y 𝑩 = {𝟒; 𝟓; 𝟔ሽ.
Determine la relación de 𝑨 × 𝑩
Solución
𝐴 × 𝐵 = { 1; 4 , 1; 5 , 1; 6 , 3; 4 , 3; 5 , 3; 6 ሽ
B
Propiedades:
6
𝐴×𝐵 ≠𝐵×𝐴
5
4
𝐴×𝐵 =𝐵×𝐴 ↔𝐴=𝐵
𝑨×𝑩
3
2
𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑛 𝐴 ∙ 𝑛(𝐵)
1
A
-1
Prof.
Prof. José
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Luis, Pereyra
Pereyra Diaz
Díaz
GEOMETRIA
3°
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I.E.P. KEPLER
-1
1 2 3
4 5
5
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.3. IDEAS INTUITIVAS DE FUNCION:
A. Formas de Expresar una Función:
TABLA DE VALORES:
Una función es una relación entre dos variables
𝑥 e 𝑦 , de forma que a cada valor de 𝑥 le
corresponda un único valor de la variable 𝑦. A
𝑥
se
le
denomina
VARIABLE
INDEPENDIENTE y a 𝑦 , VARIABLE
DEPENDIENTE.
Una función se puede expresar mediante un
enunciado, una expresión algebraica, una tabla
de valores o una gráfica
ENUNCIADO:
A cada valor de 𝑥, le hacemos
corresponder un valor de y
definido por la relación: “la
mitad disminuida en dos”
𝒙
𝑥
−4
−2
𝟎
𝟐
𝟔
𝟖
𝑓(𝑥)
𝑥
−2
2
−4
−3
−2
−1
1
2
4 5 6 7 8
𝑥
GRÁFICA:
𝑦
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
1 2 3
-3
𝑥
𝑥
EXPRESION
𝑦= −2 𝑜 𝑓 𝑥 = −2
ALGEBRAICA:
2
2
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-4
6
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.3. IDEAS INTUITIVAS DE FUNCION:
B. Tabla de Valores. Dominio y Rango
Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ ℤ; −2 ≤ 𝑥 ≤ 3ሽ
y 𝐵 = {𝑦/𝑦 ∈ ℤ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 5ሽ . Se define la
función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 dada por 𝑦 = 𝑥 + 2.
𝐴 = {−2; −1; 0; 1; 2; 3ሽ
𝐵 = {0; 1; 2; 3; 4; 5ሽ
Esta función hace corresponder a cada
elemento 𝑥 del conjunto 𝐴 el numero entero y
del conjunto 𝐵, que se obtiene al sumarle dos
unidades
A
x
B
𝑦 =𝑥+2
−2 −1 0
0
1
2
1
2
3
3
4
5
La tabla de valores de una función se completa
aplicando la regla de correspondencia que
establece la relación entre las variables. En este
caso, 𝑦 = 𝑥 + 2.
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I.E.P. KEPLER
𝑓
𝑨
𝑩
−2.
.0
−1.
.1
0.
.2
1.
.3
2.
.4
3.
.5
Los valores que puede tomar 𝑥 en esta función
forman el dominio, y los valores que obtenidos
al sumarle 2 a 𝑥 son los valores de 𝑦 que
forman el rango..
7
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.3. IDEAS INTUITIVAS DE FUNCION:
Ejemplo:
C. LOGARITMOS
Dados dos números positivos 𝑎 y 𝑏 𝑎 ≠ 1, el
logaritmo de 𝑏 en base 𝑎 es el exponente 𝑐 al que
hay que elevar 𝑎 para que el resultado sea 𝑏.
log 𝑎 𝑏 = 𝑐
⟷
Logaritmo de la Base
log 𝑎 1 = 0
log 𝑎 𝑎 = 1
log 𝑎
Logaritmo de una
Potencia
log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑥
𝑝
= log 𝑎 𝑝 − log 𝑎 𝑞
𝑞
Cuando la base y el
argumento son
Potencias
𝑝
log 𝑎𝑞 (𝑥 𝑝 ) = log 𝑎 𝑥
𝑞
Cuando a base es
una Fracción
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log 𝑎/𝑏 (𝑥) =
log 𝑎 𝑥
1 − log 𝑎 𝑏
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Logaritmo de un
producto
log 𝑎 (𝑝 ∙ 𝑞)
= log 𝑎 𝑝 + log 𝑎 𝑞
Logaritmo de una Raíz
log 𝑎
𝑞
𝑥𝑝 =
𝑝
log 𝑎 𝑥
𝑞
Cambio de Base
log 𝑎 𝑥 =
logaritmos
log 3 81 = log 3 34 = 4 ∙ log 3 3 = 4 ∙ 1 = 4
𝑎𝑐 = 𝑏
Logaritmo de la unidad
Logaritmo de un
Cociente
Resuelva
los
siguientes
aplicando sus propiedades
log 𝑏 𝑥
log 𝑏 𝑎
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1/2
log 4 4 = log 4 4
1
1
1
∙
1
=
∙
log
4
=
=
4
2
2
2
log 4 128 + log 4 8 = log 4 (128 ∙ 8)
log 4 128 + log 4 8 = log 4 1024 = log 4 45
log 4 128 + log 4 8 = 5 ∙ log 4 4 = 5
30
15
log 2 30 − log 2 15 = log 2 (2) = 1
log 2 30 − log 2 15 = log 2
8
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.4. FUNCIÓN:
Ejemplo:
A. DEFINICION:
Una función 𝑓 es una relación que hace
corresponder, según una regla de formación, un
elemento de 𝑥 del conjunto de partida 𝑨 con
exactamente un elemento 𝑦 del conjunto de
llegada 𝑩. Se denota por:
𝑓: 𝐴 → 𝐵 / 𝑓 𝑥 = 𝑦
A
cada elemento 𝑦 de 𝑩 que está
relacionado con un elemento 𝑥 de 𝑨 se la
llama IMÁGEN de 𝑥; y a cada elemento 𝑥 se
llama PREIMÁGEN.
 El conjunto formado por las preimágenes se
denomina
𝐷𝑜𝑚(𝑓).
DOMINIO
y
se
denota
por
conjunto formado por las imágenes se
 El
denomina RANGO y se denota por 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑓).
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I.E.P. KEPLER
Determina si las siguientes relaciones son
funciones o no lo son. Justifica.
𝑅1
𝑅3
𝑅2
𝑎.
.𝑚
𝑏.
.𝑛
𝑐.
.𝑝
𝑑.
.𝑞
1.
2.
3.
4.
.𝑎
1.
.𝑎
.𝑏
2.
.𝑏
.𝑐
3.
.𝑐
.𝑑
4.
.𝑑
.𝑒
5.
Solución
𝑅1 y 𝑅3 son funciones porque a cada elemento
del conjunto de partida le corresponde una sola
imagen en el conjunto de llegada.
9
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.4. FUNCIÓN:
Y
A. DEFINICION:
Ejemplo:
𝒈
Determina si las siguientes relaciones son
funciones o no lo son. Justifica.
𝒚𝟐
𝒚𝟏
Y
X
0
𝒇
𝒚𝟑
𝒙𝟏
𝒙𝟐
Y
𝒚𝟐
𝒚𝟏
𝒇
X
0
𝒚𝟑
𝒙𝟏
𝒚𝟏
X
0
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𝒙𝟏
1
0
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.4. FUNCIÓN:
B. FUNCIONES INYECTIVAS, SUBYECTIVAS Y BIYECTIVAS:
BIYECTIVA:
SOBREYECTIVA:
INYECTIVA:
𝑓: 𝑀 → 𝑁 / 𝑓 𝑥 = 2𝑥
𝑓
𝑔: 𝑃 → 𝑄 / 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1
𝑔
ℎ: 𝑅 → 𝑆 / ℎ 𝑥 = 𝑥 − 3
ℎ
1.
1.
.2
−2.
3.
.4
−1.
.0
2.
5.
.6
0.
.3
3.
7.
.10
1.
4.
. −2
. −1
.0
2.
A los elementos del rango les
corresponde una y solo una
preimagen.
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Cada elemento del conjunto de
llegada le corresponde por lo
menos un elemento del conjunto
de partida. Todos los elementos
del conjunto de llegada son
imágenes de algunas preimágenes.
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La función es inyectiva
subyectiva a la vez..
y
11
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.4. FUNCIÓN:
Ejemplo:
C. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:
Para determiner el dominio de una función, hay
que considerar las operaciones que aparecen en
la expresión algebraica de 𝑓(𝑥).
 Las
expresiones polinómicas están definidas
para todos los puntos reales.
 Las expresiones con x en el denominador no
están definidas cuando el denominador se
anula.
 Las raíces de índice par solo están definidas
para radicandos mayores o iguales a cero.
Determina el dominio de las siguientes
funciones.
3𝑥 2 +2𝑥−5
𝑥+1
A) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 7
B) 𝑓 𝑥 =
C) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
D) 𝑓 𝑥 = log(𝑥 + 1)
Solución
A) Es una expresión polinómica. Está definida en ℝ:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
B) No esta definida en ℝ si 𝑥 + 1 = 0, es decir que
𝑥 + 1 ≠ 0 ó 𝑥 ≠ −1: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {−1ሽ
C) Solo esta definida en ℝ si 𝑥 − 1 ≥ 0, es decir que
𝑥 ≥ 1: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [1; +∞ۧ
 Los
logaritmos solo están definidos para
números reales positivos.
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I.E.P. KEPLER
1
2
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
A. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD:
Carmen averigua el costo de llamada desde un
teléfono celular (por segundo), mientras que
Lidia el costo de llamada desde un locutorio
(por
minuto).
Ambas
situaciones
se
representan en los siguientes gráficos.
𝟎, 𝟒
𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟏
0
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆
𝒖𝒏 𝒄𝒆𝒍𝒖𝒍𝒂𝒓
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 (𝑺/)
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 (𝑺/)
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆
𝒖𝒏 𝒄𝒆𝒍𝒖𝒍𝒂𝒓
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
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𝟒, 𝟎
𝟑, 𝟎
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟎
0
La primera gráfica no presenta interrupción en
todo su recorrido, es un caso de FUNCIÓN
CONTINUA. En la segunda grafica, la función
presenta “saltos” en los valores de y, es un
caso de FUNCIÓN DISCONTINUA.
Una función es CONTINUA si su grafica no
presenta interrupción en todo su recorrido; es
decir, si no tiene saltos ni rompe. Una función
es DISCONTINUA si tiene puntos en los cuales
una pequeña variación de la variable
independiente produce un salto en los calores
de la variable dependiente.
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 (𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜)
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13
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
A. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD:
Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos
tipos:
Puntos en los que la función no está
definida; es decir, los puntos que no
pertenecen al dominio de la función.
𝑦
Puntos en los que la gráfica presenta un
salto: para valores cercanos a 𝑥1 por la
izquierda, toma un valor próximo a 𝑦1 ; y a
valores cercanos a 𝑥1 por la derecha, toma
valores próximos a 𝑦2 .
𝑦
𝒚𝟐
𝒚𝟏
𝒙𝟏
𝒙𝟏
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𝑥
𝑥
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14
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
B. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:
Sea una función 𝑓 y dos valores extremos 𝑎 y 𝑏
de un intervalo 𝐼 perteneciente a su dominio, tal
que 𝑎 < 𝑏. La representación grafica de 𝑓 entre
𝑎 y 𝑏 puede ser.
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒚
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒚
𝒇 𝒂 = 𝒇(𝒃)
0
𝒃
𝒂
𝒙
𝑎<𝑏
𝒇(𝒂)
𝒇(𝒃)
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒚
𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
𝒇(𝒃)
𝒇(𝒂)
0
𝒃
𝒂
𝒙
0
𝒃
𝒂
𝑎<𝑏
𝑎<𝑏
𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)
𝑓 𝑎 > 𝑓(𝑏)
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𝒙
I.E.P. KEPLER
15
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
C. FUNCION PAR Y FUNCION IMPAR
Y
Una función 𝑓 es PAR si y solo si 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥) , y es IMPAR si 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) . Una
función par es simétrica con respecto al eje 𝑌, y
una función impar es simétrica con respecto al
origen.
𝒇(𝒙)
X
−𝒙
0
Y
𝒙
𝒇(−𝒙)
𝒇(−𝒙) 𝒇(𝒙)
−𝒙
Las imágenes de 𝑥 y – 𝑥 son opuestas. es decir,
𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).
X
0
𝒙
Los elementos 𝑥 y – 𝑥 tienen la misma imagen,
es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
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I.E.P. KEPLER
16
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
D. FUNCION PERIODICA
𝑦
Una función 𝑓 es PERIÓDICA, de periodo 𝑇
(con 𝑇 > 0), si 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑘𝑇) para todo 𝑥
en el dominio de 𝑓. Esto quiere decir que:
4
3
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 + 2𝑇 = ⋯ = 𝑓(𝑥 + 𝑘𝑇)
con k como valor entero.
2
Quiere decir que, conocido el valor de una
función periódica en un intervalo de periodo T,
se puede construir el resto de la gráfica
trasladándola hacia la derecha y hacia la
izquierda por todo el dominio de la función.
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𝑻=𝟑
5
FISICA 4°
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
I.E.P. KEPLER
1 2 3
4 5 6 7 8
𝑥
17
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.6. FUNCIONES NOTABLES:
A. FUNCION CONSTANTE
C. FUNCION VALOR ABSOLUTO
𝒚
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑐
𝒄
0
𝒃
𝒂
0
𝒙
B. FUNCION IDENTIDAD
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝒙
𝟏 𝟐
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𝟑 𝟒
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
D. FUNCION RAIZ CUADRADA
𝒚
0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ
𝒙
0
𝟓
FISICA 5°
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𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
18
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.6. FUNCIONES NOTABLES:
E. FUNCION POTENCIAL ELEMENTAL PAR
F. FUNCION POTENCIAL ELEMENTAL IMPAR
𝒚
𝑓 = 𝑥4 𝒚
𝑓 = 𝑥2
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝑓 = 𝑥3
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
𝑓 = 𝑥5
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I.E.P. KEPLER
19
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.6. FUNCIONES NOTABLES:
G. FUNCION EXPONENCIAL
F. FUNCION LOGARITMO
𝒚
𝒚
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ‫ۦ‬0; +∞ۧ
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
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𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝟑 𝟒
𝟓
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𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝒙
𝟏 𝟐
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ‫ۦ‬0; +∞ۧ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ
−𝟓
−𝟔
−𝟕
I.E.P. KEPLER
20
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.6. FUNCIONES NOTABLES:
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I.E.P. KEPLER
21
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.7. TRAZADO DE GRÁFICOS DE FUNCIONES:
Cuando se conoce una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), en base a
esta función, se puede construir otra función en
una forma rápida mediante los siguientes criterios.
1er Criterio:
Construya la gráfica de la función: 𝒚 =
𝒙𝟐 − 𝟐.
𝒚
Si se tiene la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥) entonces la gráfica
de la función: 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝐶
se obtiene
desplazando verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
en 𝑐 unidades, siendo hacia arriba si 𝑐 > 0 y hacia
abajo si 𝑐 < 0.
Y
𝒇 𝒙 +𝒄
+𝒄
𝒇(𝒙)
−𝒙
Ejemplo:
X
0
−𝒄
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
𝒇 𝒙 −𝒄
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22
I. DEFINICIONES BÁSICAS
1.7. TRAZADO DE GRÁFICOS DE FUNCIONES:
2do Criterio:
Ejemplo:
Si se tiene la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥) entonces la gráfica
de la función: 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
se obtiene
desplazando horizontalmente la gráfica de 𝑦 =
𝑓(𝑥) en 𝑐 unidades, siendo hacia la derecha si 𝑐 >
0 y hacia la izquierda si 𝑐 < 0.
Construya la gráfica de la función: 𝒚 =
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒.
Solución
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 2 − 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 + 22 = (𝑥 − 2)2
𝒚
𝑦
𝒇(𝒙)
𝒇(𝒙 + 𝒄)
−𝒄
𝒇(𝒙 − 𝒄)
+𝒄
𝑥
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
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𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒚 = (𝒙 − 𝟐)𝟐
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
23
CONTENIDO
1. DEFINICIONES BÁSICAS
1.1. Conjuntos
1.2. Relación
1.3. Ideas Intuitivas de Función
1.4. Funciones
1.5. Propiedades de las Funciones
1.6. Funciones Notables
1.7. Trazado de Gráficos de Funciones
2. PROBLEMAS
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2
4
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función, determine
su dominio
1. (a)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 − 4
(b)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2 − 4
(c)
(d)
− 𝑥2
(b)
𝒙; 𝒚 | 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 4
𝑥; 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
Solución
(a)
𝒙
−𝟕 −𝟔 −𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
𝒙; 𝒚 | 𝒚 = 𝒙 − 𝟒
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒚= 𝒙−𝟒
𝒚=
𝒚= 𝒙−𝟒
𝒙−𝟒≥𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝑫𝒐𝒎 𝒚 = [𝟒; +∞ۧ
𝒙≥𝟐
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𝟓 𝟔
𝟕
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒙𝟐 ≥ 𝟒
𝒙 𝟐 ≥ 𝟐𝟐
|𝒙| ≥ 𝟐
𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
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𝟑 𝟒
𝒙𝟐 − 𝟒 ≥ 𝟎
𝒙≥𝟒
𝒙
𝟏 𝟐
𝑫𝒐𝒎 𝒚 = ‫ۦ‬−∞; −𝟐] ⋃
[𝟐; +∞ۧ
−𝒙 ≥ 𝟐
𝒙 ≤ −𝟐
25
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función, determine
su dominio
1. (a)
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 − 4
𝑥; 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
(b)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2 − 4
𝒚
(c)
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 4 − 𝑥 2
𝑥; 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
𝟐
𝟏
Solución
(c)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 4
𝒙
− 𝑥2
−𝟐
𝒚
𝒚=
𝟐
𝒙
−𝟏
𝟏
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = [−𝟐; +𝟐]
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
𝟏
𝟐
𝟒 − 𝒙𝟐
𝟒 − 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝟏
−𝟐
−𝟏
𝟒 ≥ 𝒙𝟐
𝟐𝟐 ≥ 𝒙 𝟐
𝟐 ≥ |𝒙|
𝟐
𝟐≥𝒙
FISICA 4°
𝟐 ≥ −𝒙
−𝟐 ≤ 𝒙
I.E.P. KEPLER
NO ES FUNCIÓN
26
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función, determine
su dominio
2. (a)
(c)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 3
(b)
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 2
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 3
(b)
Solución
(a)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 2
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2
𝒚
𝒙 = 𝒚𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒙
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
−𝟏
−𝟐
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
−𝟑
−𝟒
−𝟓
NO ES FUNCIÓN
𝒙
𝟏 𝟐
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𝟑 𝟒
𝟓
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I.E.P. KEPLER
27
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función, determine
su dominio
2. (a)
(c)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 3
(b)
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 2
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 3
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 3
𝒚
𝒚
𝟏
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
−𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
−𝟏
−𝟐
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 3
𝟒
𝟑
𝟐
Solución
(a)
(d)
𝒙
−𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝒙
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
𝟑 𝟒
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
−𝟑
−𝟒
−𝟓
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I.E.P. KEPLER
28
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 1 a 4, determine si el
conjunto es una función. Si es una función,
determine su dominio
3. (a)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 + 1
(b)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 2 − 1
(c)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 1 − 𝑥 2
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
4. (a)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 − 1
2
+2
(b)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 − 2
2
+1
(c)
𝑥; 𝑦 | 𝑦 = 𝑥 + 2
3
−1
(d)
𝑥; 𝑦 | 𝑥 = 𝑦 + 1
3
−2
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I.E.P. KEPLER
29
II. PROBLEMAS
5. Dada 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏, determine:
(g) 𝟐𝒇(𝒙) = 𝟐[𝟐𝒙 − 𝟏] = 𝟒𝒙 − 𝟐
(a) 𝒇(𝟑)
(b) 𝒇(−𝟐)
(c) 𝒇(𝟎)
(d) 𝒇(𝒂 + 𝟏)
(e) 𝒇(𝒙 + 𝟏)
(f) 𝒇(𝟐𝒙)
(g) 𝟐𝒇(𝒙)
(h) 𝒇(𝒙 + 𝒉)
(i) 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒉)
(j)
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
;
𝒉
(h) 𝒇(𝒙 + 𝒉) = 𝟐 𝒙 + 𝒉 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒉 − 𝟏
(i) 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒉) = 𝟐 𝒙 − 𝟏 + [𝟐 𝒉 − 𝟏]
𝒇 𝒙 + 𝒇(𝒉) = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒉 − 𝟐
𝒉≠𝟎
Solución
(j)
(a) 𝒇(𝟑) = 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟔 − 𝟏 = 𝟓
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
𝒉
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
=
𝒉
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
=
𝒉
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
=
𝒉
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
=
𝒉
(b) 𝒇(−𝟐) = 𝟐 −𝟐 − 𝟏 = −𝟒 − 𝟏 = −𝟓
(c) 𝒇(𝟎) = 𝟐 𝟎 − 𝟏 = 𝟎 − 𝟏 = −𝟏
(d) 𝒇(𝒂 + 𝟏) = 𝟐 𝒂 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝟐 − 𝟏
𝒇(𝒂 + 𝟏) = 𝟐𝒂 + 𝟏
(e) 𝒇(𝒙 + 𝟏) = 𝟐 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟏
[𝟐𝒙 + 𝟐𝒉 − 𝟏] − [𝟐𝒙 − 𝟏]
𝒉
𝟐𝒙 + 𝟐𝒉 − 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒉
𝟐𝒉
𝒉
𝟐
𝒇(𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝒙 + 𝟏
(f) 𝒇(𝟐𝒙) = 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟒𝒙 − 𝟏
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30
II. PROBLEMAS
6. Dada 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 −3, determine:
𝟐
(e) 𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝟐 𝒉 + 𝟏
+ 𝟓(𝒉 + 𝟏) − 𝟑
(a) 𝒇(−𝟐)
(b) 𝒇(−𝟏)
(c) 𝒇(𝟎)
𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝟐[𝒉𝟐 + 𝟐 𝟏 𝒉 + 𝟏𝟐 ] + 𝟓𝒉 + 𝟓 − 𝟑
(d) 𝒇(𝟑)
(e) 𝒇(𝒉 + 𝟏)
(f) 𝒇(𝟐𝒙𝟐 )
𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝟐𝒉𝟐 + 𝟒𝒉 + 𝟐 + 𝟓𝒉 + 𝟓 − 𝟑
(g) 𝒇(𝒙𝟐 − 𝟑)
(h) 𝒇(𝒙 + 𝒉)
(i) 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒉)
𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝟐𝒉𝟐 + 𝟗𝒉 + 𝟒
(j)
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
;
𝒉
𝒉≠𝟎
(f) 𝒇(𝟐𝒙𝟐 )
𝒇(𝟐𝒙𝟐 )
Solución
(a) 𝒇(−𝟐) = 𝟐 −𝟐
𝟐
+ 𝟓(−𝟐) − 𝟑 = 𝟐 𝟒 − 𝟏𝟎 − 𝟑
(b) 𝒇(−𝟏) = 𝟐 −𝟏
𝟐
+ 𝟓(−𝟏) − 𝟑 = 𝟐 𝟏 − 𝟓 − 𝟑
𝒇(−𝟏) = −𝟔
+ 𝟓(𝟐𝒙𝟐 ) − 𝟑
𝟐
= 𝟐 𝟐𝟐 ∙ 𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑
= 𝟐 𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑
(g) 𝒇(𝒙𝟐 − 𝟑) = 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝟓(𝟎) − 𝟑 = 𝟐 𝟎 − 𝟎 − 𝟑
𝒇(𝟎) = −𝟑
(d) 𝒇(𝟑) = 𝟐 𝟑
𝟐
= 𝟖𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑
𝒇(−𝟐) = −𝟓
(c) 𝒇(𝟎) = 𝟐 𝟎
= 𝟐 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟓(𝒙𝟐 − 𝟑) − 𝟑
= 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐 −𝟑 𝒙𝟐 + −𝟑
+ 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 − 𝟑
𝟐
= 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 − 𝟑
𝟐
+ 𝟓(𝟑) − 𝟑 = 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟓 − 𝟑
= 𝟐𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐
𝒇(𝟑) = 𝟑𝟎
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I.E.P. KEPLER
31
II. PROBLEMAS
6. Dada 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 −3, determine:
(j)
(a) 𝒇(−𝟐)
(b) 𝒇(−𝟏)
(c) 𝒇(𝟎)
(d) 𝒇(𝟑)
(e) 𝒇(𝒉 + 𝟏)
(f) 𝒇(𝟐𝒙𝟐 )
(g) 𝒇(𝒙𝟐 − 𝟑)
(h) 𝒇(𝒙 + 𝒉)
(i) 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒉)
(j)
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
;
𝒉
𝒉≠𝟎
Solución
(h) 𝒇(𝒙 + 𝒉) = 𝟐 𝒙 + 𝒉
=
𝟐[𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟓(𝒙 + 𝒉) − 𝟑
+𝟐 𝒙 𝒉+
𝒉𝟐 ] +
𝟓𝒙 + 𝟓𝒉 − 𝟑
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
𝒉
[𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟓𝒉 − 𝟑 ] − [𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑
=
𝒉
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟓𝒉 − 𝟑 + 𝟑
=
𝒉
𝟒𝒙𝒉 𝟐𝒉𝟐 𝟓𝒉
𝟒𝒙𝒉 + 𝒉𝟐 + 𝟓𝒉
=
+
+
=
𝒉
𝒉
𝒉
𝒉
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
=
𝒉
𝟒𝒙 + 𝒉 + 𝟓
= 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟓𝒉 − 𝟑
(i) 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒉) = [𝟐 𝒙
𝟐
+ 𝟓(𝒙) − 𝟑] +
[𝟐 𝒉 𝟐 + 𝟓(𝒉) − 𝟑]
𝒇 𝒙 + 𝒇(𝒉) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐𝒉𝟐 + 𝟓𝒉 − 𝟔
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32
II. PROBLEMAS
7. Dada 𝑭 𝒙 = 𝒙 + 𝟗, determine:
(a) 𝑭(𝒙 + 𝟗)
(b) 𝑭(𝒙𝟐 − 𝟗)
(e) 𝒇(𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 ) =
(c) 𝑭(𝒙𝟒 − 𝟗)
𝒇(𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 )=
(d) 𝑭(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) (e) 𝑭(𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 )
(f)
𝑭 𝒙+𝒉 −𝑭(𝒙)
;
𝒉
𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗
𝟐
𝟐
𝒉≠𝟎
(f)
(a) 𝒇(𝒙 + 𝟗) =
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
𝒉
𝒙+𝟗 +𝟗
=
𝒇(𝒙 + 𝟗) = 𝒙 + 𝟏𝟖
(b) 𝒇(𝒙𝟐 − 𝟗) =
𝒙𝟐 − 𝟗 + 𝟗 =
𝒙𝟐
(c) 𝒇(𝒙𝟒 − 𝟗) =
=
𝒙𝟒 − 𝟗 + 𝟗 =
𝒙𝟒
=
𝒙𝟐
(d) 𝒇(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) =
𝒇(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) =
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 =
𝒙+𝟑
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗
𝟐
=
𝒙+𝒉 +𝟗 + 𝒙+𝟗
𝒙+𝒉 +𝟗 − 𝒙+𝟗
𝒉
𝒙+𝒉 +𝟗 + 𝒙+𝟗
𝟐
𝒇(𝒙𝟐 − 𝟗) = |𝒙|
− 𝟗) =
𝒙𝟐 + 𝟑
𝒇(𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 )= 𝒙𝟐 + 𝟑
Solución
𝒇(𝒙𝟒
𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 =
𝒙+𝒉 +𝟗 − 𝒙+𝟗
𝟐
=
𝒉[ (𝒙 + 𝒉) + 𝟗 + 𝒙 + 𝟗] 𝒉
𝒙+𝒉+𝟗−𝒙−𝟗
𝒉[ (𝒙 + 𝒉) + 𝟗 + 𝒙 + 𝟗]
=
𝒙 + 𝒉 + 𝟗 − (𝒙 + 𝟗)
𝒙+𝒉 +𝟗+ 𝒙+𝟗
𝒉
𝒉[ (𝒙 + 𝒉) + 𝟗 + 𝒙 + 𝟗]
𝟏
(𝒙 + 𝒉) + 𝟗 + 𝒙 + 𝟗
𝒇(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) = |𝒙 + 𝟑|
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I.E.P. KEPLER
33
II. PROBLEMAS
𝟑
𝒙
10. Dada 𝑮 𝒙 = 𝟒 − 𝒙 , determine:
8. Dada 𝒇 𝒙 = , determine:
(a) 𝒇(𝟏)
(d) 𝒇
𝟏
𝟑
(g)
𝒇 𝟑
𝒇 𝒙
(j)
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
;
𝒉
(b) 𝒇(−𝟑)
(e) 𝒇
(a) 𝑮(𝟒 − 𝒙)
(c) 𝒇(𝟔)
𝟑
𝒂
(f) 𝒇
(h) 𝒇(𝒙 − 𝟑)
(b) 𝑮(𝟒 − 𝒙𝟐 )
(c) 𝑮(𝟒 − 𝒙𝟒 )
(d) 𝑮(𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ) (e) 𝑮(−𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 )
𝟑
𝒙
(f)
(i) 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝟑)
𝑮 𝒙+𝒉 −𝑮(𝒙)
;
𝒉
𝒉≠𝟎
𝒉≠𝟎
9. Dada 𝒈 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −4, determine:
(a) 𝒈(−𝟒)
(b) 𝒈
𝟏
𝟐
(c) 𝒈(𝒙𝟐 )
(d) 𝒈(𝟑𝒙𝟐 − 𝟒) (e) 𝒈(𝒙 − 𝒉)
(g)
𝒈 𝒙+𝒉 −𝒈(𝒙)
;
𝒉
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
(f) 𝒈 𝒙 − 𝒈(𝒉)
𝒉≠𝟎
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
34
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y
su contradominio.
12. 𝐹 𝑥 = 2𝑥 2
11. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
Solución
𝒚
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
0
𝟓
Solución
𝑭 = 𝟐𝒙𝟐
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒚
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
𝟓
𝒇 = 𝒙𝟐
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
35
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y
su contradominio.
13. 𝑔 𝑥 = 5 − 𝑥 2
Solución
𝒚
14. 𝐺 𝑥 = 𝑥 − 1
𝒇 = 𝒙𝟐
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒙
𝟏 𝟐
Solución
𝒚
𝟑 𝟒
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
0
𝒙
𝟏 𝟐
0
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
𝟑 𝟒
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝒈 = 𝟓 − 𝒙𝟐
𝒉 = −𝒙𝟐
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [5; −∞ۧ
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
0
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
𝑫𝒐𝒎 𝒚 = [𝟏; +∞ۧ
𝑮(𝒙) = 𝒙 − 𝟏
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
36
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y
su contradominio.
15. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4
Solución
16. 𝐺 𝑥 = 9 − 𝑥 2
Solución
𝒚
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝒙
𝒙
−𝟕 −𝟔 −𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔
𝟕
−𝟐 −𝟏
𝟏
𝟐
𝑫𝒐𝒎 𝒚 = [−𝟑; +3]
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +3]
𝑫𝒐𝒎 𝒚 = ‫ۦ‬−∞; −𝟐] ⋃ [𝟐; +∞ۧ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
37
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y
su contradominio.
2
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
𝑥 − 25
=𝑥−5
=
𝑥+5
𝑥+5
𝒚
Solución
𝑥+5≠0
𝟒 𝒇(𝒙) = 𝒙
17. ℎ 𝑥 = |𝑥 − 3|
18. 𝐺 𝑥 =
Solución
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝒇(𝒙) = |𝒙|
𝟑
𝟐
𝟏
−𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
𝒙
0
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
−𝟏
−𝟐
𝟓
0
𝒉(𝒙) = |𝒙 − 𝟑|
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = [0; +∞ۧ
𝟓
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
−𝟓
−𝟔
−𝟕
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {−5ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ − {−10ሽ
−𝟑
−𝟒
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝑥 ≠ −5
𝑮 𝒙 =𝒙−𝟓
−𝟖
−𝟗
−𝟏𝟎
38
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y
su contradominio.
−2,
19. 𝑓 𝑥 = ቊ
2,
1 − 𝑥 2,
𝑥<0
20. 𝐺 𝑥 = ቊ
3𝑥 + 1,
𝑥≥0
𝒚
Solución
𝑥≤3
𝑥>3
Solución
𝒚
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟔
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
−𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏
−𝟏
𝑮𝟏 = 𝟏 − 𝒙𝟐
−𝟐
𝒇𝟐 = 𝟐
𝒙
0
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔 𝟕 𝟖
𝒇𝟏 = −𝟐
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = {−2; 2ሽ
𝑮𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝟏
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = ℝ
𝒙
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
−𝟑
−𝟒
−𝟓
−𝟔
−𝟕
−𝟖
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
39
II. PROBLEMAS
En los ejercicios 11 a 30, dibuje a mano la
gráfica de la función y determine su
dominio y su contradominio.
21. 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥
22. 𝐺 𝑥 = 𝑥 2 + 2
23. 𝐹 𝑥 = 9 − 𝑥
24. 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥 2
25. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1
26. 𝐻 𝑥 = |5 − 𝑥|
𝑥 2 − 16
27. 𝐺 𝑥 =
𝑥−4
(𝑥 2 − 4)(𝑥 − 3)
28. 𝑔 𝑥 =
𝑥2 − 𝑥 − 6
29.
−4,
𝑓 𝑥 = ቐ−1,
2,
2
30. 𝐹 𝑥 = ቊ𝑥 − 4,
2𝑥 − 1,
Prof. José Luis, Pereyra Díaz
𝑠𝑖 𝑥 < −2
𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥<3
3≤𝑥
FISICA 4°
I.E.P. KEPLER
4
0
MUCHAS GRACIAS
41