S11.s2 - MN2 APLICACIONES DE LA DERIVADA MAXIMOS Y MINIMOS EN LA ADMINISTRACION PPT

APLICACIONES
DE LA DERIVADA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA ADMINISTRACIÓN
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes optimizan problemas
aplicados a los negocios buscando maximizar o minimizar determinados
resultados con el conocimiento del cálculo diferencial.
RAZÓN DE CAMBIO
Dentro de los problemas de máximos y mínimos que se presentan en la
práctica están aquellos en los que se trata de optimizar una función, o sea
buscar cómo maximizar o minimizar determinado resultados o variables por
ejemplo encontrar cómo hacer algo que cueste lo menos posible, o que tenga
el mayor volumen posible, entre otras posibilidades.
A este tipo de situaciones se les denomina problemas de optimización o
simplemente problemas sobre valores extremos.
RAZÓN DE CAMBIO
Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos
Pasos para abordar problemas de optimización (maximizar o
minimizar).
1. Analizar el problema y ver cúal es el objetivo: minimizar o maximizar.
2. Dibujar diagramas si fuera posible.
3. Determinar las variables que intervienen en el problema.
4. Determine la función objetivo 𝑓 la cual debe estar en función de una variable.
5. Definir el dominio de la función 𝑓.
6. Si 𝐷𝑓 = [a; b] y 𝑓 es continua en [𝑎; 𝑏] entonces aplicar la teoría de valores
extremos en intérvalos cerrados, caso contrario, emplear el criterio de la
primera o segunda derivada.
Ejemplo
Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6 cada
uno. El costo de producir 𝑥 artículos a la semana (en dólares) es :
𝐶(𝑥) = 1000 + 6𝑥 − 0.003𝑥 2 + 10−6 𝑥 3
¿Qué valor de 𝑥 debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades?
Solución:
El ingreso producido por la venta de x artículos
a $6 cada uno es R(x) = 6x
La utilidad es 𝑷 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪 𝒙
𝑷 𝒙 = −𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎−𝟔 𝒙𝟑
𝑷 ′ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝒙 − 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒙𝟐
H𝐚𝐜𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝑷 ′ 𝒙 = 𝟎 encontramos los puntos
críticos 𝒙 = 𝐨 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚
𝑷 ′′ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔 − 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒙
De modo que
𝑷 ′′ 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔 > 𝟎 y 𝑷 ′′ 𝟐𝟎𝟎𝟎 = -𝟎. 𝟎𝟎𝟔 < 𝟎
Así que 𝒙 = 𝟎 es un mínimo local de P(x), mientras
que 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 es un máximo local
Este último valor representa el nivel de producción
en que la utilidad es máxima.
La utilidad está dada por 𝑷 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟎𝟎
Es decir $ 3000 por semana.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Una compañía de transportes aéreo ha comprobado que el número de viajeros depende del precio del
pasaje, según la función: 𝑛 𝑝 = 3000 − 6𝑝. Donde 𝑛(𝑝) es el número de viajeros y 𝑝 es el precio del
pasaje. Calcular
a)
La función que expresa los ingresos diarios de esta empresa en funcion del pasaje.
𝑰 𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝒑 𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒑 − 𝟔𝒑𝟐
b) El precio del pasaje que hace máximos los ingresos.
𝑰′(𝒑) = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝒑 = 𝟎 donde 𝒑 = 𝟐𝟓𝟎 es el candidato
Aplicando el criterio de la segunda derivada:
𝑰′′(𝒑) = −𝟏𝟐
′′
𝑰 𝟐𝟓𝟎 = −𝟏𝟐 < 𝟎
Así 𝒑 = 𝟐𝟓𝟎 es el precio del pasaje que hace máximos
los ingresos.
c)
¿A cuánto ascenderá?
𝑰 𝟐𝟓𝟎 = 375000 serán los máximos ingresos.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3.
La relación de demanda de cierto artículo es: 𝒒 + 𝒑 = 𝟏𝟐 mientras que el costo está dado por:
𝑪 𝒒 = 𝟓𝒒𝟑 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 − 𝟑𝟔𝒒. Determine:
a) El número de unidades 𝒒 que maximizan la
utilidad.
Tenemos que 𝒑 = 𝟏𝟐 − 𝒒 𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟐𝟒𝒒 + 𝒒𝟐
Utilidad: 𝑼 𝒒 = 𝑰 𝒒 − 𝑪 𝒒 =
𝑼 𝒒 = 𝟏𝟖𝟎𝒒 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 − 𝟒𝒒𝟑
Puntos críticos:
U 𝒒 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟐𝟒𝒒 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 = −𝟏𝟐 𝒒 − 𝟑 𝒒 + 𝟓 = 𝟎
Así 𝒒 = 𝟑; 𝒒 = −𝟓 (𝑞 > 0):
Criterio de la segunda derivada: 𝑼′′ 𝒒 = −𝟐𝟒 − 𝟐𝟒𝒒
𝑼′′ 𝟑 < 𝟎
El número de unidades que maximizan la utilidad será
𝑞=3
b) El precio 𝒑 y el ingreso correspondiente a la
utilidad máxima.
𝒑 = 𝟏𝟐 − 𝟑 𝟐 =81
𝑼 𝟑 =324
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
5. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 𝒑 =
𝒒 es el número de unidades y 𝒑 el precio por unidad.
𝟖𝟎−𝒒
,
𝟒
𝟎 ≤ 𝒒 ≤ 𝟖𝟎, donde
a) Para que valor de q se tendrá un ingreso
máximo
La función ingreso está definida por 𝑰 𝒒 = 𝒑𝒒
𝟖𝟎 − 𝒒
𝑰 𝒒 =
𝒒
𝟒
𝑰 𝒒 = 𝟐𝟎𝒒 −
𝒒𝟐
𝟒
Puntos críticos:
𝒒
𝑰′ 𝒒 = 𝟐𝟎 − = 𝟎
𝟐
𝒒 = 𝟒𝟎
Criterio de la segunda derivada:
𝟏
𝑰′′ 𝒒 = −
𝟐
𝑰′′ 𝟒𝟎 < 𝟎
El número de unidades que maximizan el ingreso
es 𝑞 = 40
b) ¿Cuál es el ingreso máximo?
𝑰 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎𝟎
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
7- Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es 𝒑 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 y la función de
𝟖𝟎
costo promedio es 𝑪 = 𝟐 + . Encuentre el precio que maximiza la utilidad
𝒒
Solución:
Criterio de la segunda derivada:
Tenemos que 𝑪 𝒒 = 𝑪 𝒒 . 𝒒= 𝟐𝒒 + 𝟖𝟎
𝑼′′ 𝒒 = −𝟖 < 𝟎
Utilidad: 𝑼 𝒒 = 𝑰 𝒒 − 𝑪 𝒒 =
𝑼 𝒒 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 𝒒 − 𝟐𝒒 + 𝟖𝟎
𝑼 𝒒 = 𝟒𝟎𝒒 − 𝟒𝒒𝟐 − 𝟖𝟎
𝑼′′ 𝟓 < 𝟎
El número de unidades que maximizan la
utilidad será 𝒒 = 𝟑
Puntos críticos:
U’ 𝒒 = 𝟒𝟎 − 𝟖𝒒 = 𝟎
El precio 𝒑 que maximiza la utilidad:
𝒑 = 𝟐𝟐
Así, 𝒒 = 𝟓
FINALMENTE
IMPORTANTE
Determinar la razón de
cambio promedio e
instantáneo
Datos/Observaciones
PARA TI
Gracias por tu
participación
Hemos visto la
importancia de la
razón de cambio
promedio e
instantáneo
Ésta sesión
quedará
grabada
1. Revisa los
ejercicios
indicados y realiza
la Tarea de ésta
sesión.
2. Consulta en el
FORO tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
En una empresa los ingresos brutos y los costos producidos en la venta de un producto vienen dados
por las siguientes expresiones:
Número de unidades: 𝒙; Ingreso brutos: 𝑰 𝒙 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙; Costos: 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎𝟎
a) ¿Qué número de unidades habría que vender para obtener un beneficio máximo, teniendo en
cuenta que
𝐛𝐞𝐧𝐞𝐜𝐢𝐨 = 𝐢𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨𝐬 𝐛𝐫𝐮𝐭𝐨𝐬 − 𝐜𝐨𝐬𝐭𝐨𝐬?
b) ¿ Cuál sería el benefecio?
Máximos y mínimos
en la administración
Datos/Observaciones