taller no 3 cálculo diferencial 2016-1

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Asignatura: Cálculo Diferencial
TALLER No. 3
2016-1
Dependencia: Facultad de Ciencias
Empresariales y Económicas
I. Determine los valores críticos si los hay, intervalos crecientes o decrecientes y los
extremos relativos (máximos y mínimos locales) de cada función usando el criterio de
la primera derivada.
1. 𝑞 (𝑥 ) = 𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5𝑥 3 − 10
2
2. ℎ(𝑥 ) = 𝑥𝑒 −𝑥
3. 𝑖 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 1
II. Encuentra los valores de 𝑥 para los cuales las siguientes funciones son: cóncavas
hacia arriba o cóncavas hacia abajo. También determine los puntos de inflexión y los
valores máximos y mínimos absolutos utilizando el criterio de la segunda derivada, si
existen. Bosqueje la gráfica.
1. 𝑓 (𝑥 ) = 5𝑥 4 − 15𝑥 + 2
1
1
2. 𝑗(𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥
3
2
3. 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 5 − 5𝑥 3
III. Resuelva los siguientes problemas de aplicación de máximos y mínimos relativos.
1. Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso 𝐼 (𝑥 ) y de costo C(𝑥 )
para un ventilador de pedestal domestico son: I (𝑥 ) = 250𝑥 − 0,5𝑥 2 y C(𝑥 ) =
1200 + 125𝑥 − 0,05𝑥 2 . Calcula la cantidad 𝑥 de ventiladores que deben producir
para obtener la máxima utilidad.
2. Un fabricante de altavoces para computadora ha encontrado que el precio 𝑝 y el
número 𝑥 de altavoces del modelo SR – 71 que logra vender a ese precio están
𝑥
relacionados por la expresión 𝑝(𝑥 ) = 500 − 2 . Por otra parte, saben que el costo
C de producir 𝑥 de esos altavoces viene dado por C(𝑥 ) = 12000 + 125𝑥 −
0,001𝑥 2 .
a. Determina 𝑥 como una función de 𝑝 .
b. Expresa 𝐶(𝑥) como una función de 𝑝.
c. Calcula el valor de 𝑝 que minimiza el costo de producción.
3. El costo de uninventario 𝑥 en una cadena de comidas está dado por: I(𝑥 ) =
0,5𝑥 ¿Cuál debe ser su inventario mensual para minimizar el costo?
25000
𝑥
+
4. Para construir un edificio de oficinas, los costos fijos son de $2, 5 millones e
incluyen el precio del terreno, los honorarios del arquitecto, la cimentación, la
estructura, etc. Si se construyen 𝑥 pisos, el costo (excluyendo los costos fijos) es
𝐶 (𝑥 ) = 5𝑥 [100.000 + 5000(𝑥 − 1)]. El ingreso por mes es de $50.000 por piso.
¿Cuantos pisos darán una tasa máxima de rendimiento sobre la inversion? (Tasa
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
de rendimiento = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 )
IV. Encuentra la derivada parcial de la función con respecto a cada una de las variables
indicadas.
1. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦 − 4𝑥𝑦 + 3𝑦
2. 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2
√𝑥 2 + 𝑦 2
V. En los siguientes ejercicios, evalúe las derivadas parciales en el punto dado:
1. 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 √𝑦 + 2𝑧,
2. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 + 7𝑥 2 𝑦 2 ,
𝜕𝑔
𝑒𝑛 (0,
6, 4)
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝑒𝑛 (1, −2)
𝜕𝑥
VI. Resuelva los siguientes problemas de aplicación de las derivadas parciales
1. Supongamos que la función de producción de Cobb-douglas para una compañía
está dada por 𝑧 = 100𝑥 1/4 𝑦 3/4 , donde x es la inversión de capital de la
compañía (en dólares) e y es el tamaño de la fuerza laboral (en horas de
trabajo).
a. Encuentre la productividad marginal del capital
b. Si la fuerza laboral actual es de 625 horas de trabajo, sustituya
y  625
en su respuesta para el inicio (a) y trace el resultado.
c. A partir de la gráfica en (b) ¿qué se puede decir acerca del efecto que tendría
sobre la producción una inversión de capital adicional si las horas de trabajo
se mantienen en 625?
2.
𝜕𝑞
𝜕𝑞
Dos productos A y B son complementarios si 𝜕𝑃𝐴 < 0 y 𝜕𝑃𝐵 < 0 , son competitivos
𝐵
o sustitutos si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
>0 y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
𝐴
> 0 de lo contrario no son ni sustitutos ni
complementarios.
Las funciones de demanda para los productos A y B son cada una función de los
50 3 pB
75 p A
precios de A y B y están dadas por q A 
y qB 
respectivamente.
3
pA
pB2
Determinar si A y B son productos competitivos o complementarios, o ni lo uno
ni lo otro, para 𝑝𝐴 = 4 y 𝑝𝐵 = 2.
Rúbrica de Evaluación de Trabajo Extra-clase
Ítem Evaluado
Contenido
60%
Presentación
40%
Puntualidad
Insuficiente
Aceptable
Sobresaliente
Excelente
No
El trabajo no da El
trabajo El trabajo muestra El
trabajo
presentó el respuestas
muestra algunas la
solución muestra
la
trabajo
adecuadas a la respuestas
adecuada de la solución eficiente
solución de los adecuadas a la mayor parte de los de todos los
problemas
solución de los problemas
problemas
planteados en problemas
planteados en la planteados en la
la actividad
planteados en la actividad
actividad
actividad
0
3
6
9
12
El trabajo no tiene la La presentación Se evidencia el Excelente
mínima
norma
de del trabajo es interés de entregar presentación
presentación
aceptable
un trabajo bien
presentado
0
4
6
8
Solo se reciben trabajos en la fecha indicada