1. Derivadas

Modalidad virtual
Matemática
DERIVADAS
Derivada de
una función
en un punto
Definición.
Si f(x) es una función continua y a es un punto de su dominio, la derivada de f en a se
define como:
f( x) f( a)
x a
lím
xa

Si el límite existe y es un número real, se dice que f es derivable en a. Al valor del
límite se lo llama derivada de f en a y se lo denota f' ( a)

Si el límite no existe en a, esto es, cuando x tiende a a por izquierda y por derecha,
resulta que los límites laterales son distintos, decimos que la función no es
derivable en a.

Al cociente
f ( x) f (a )
se lo llama cociente incremental. Por lo que la derivada de
x a
la función en a es el límite cuando x tiende a a del cociente incremental.

Como x está próximo a a podemos escribir que x = a + h siendo h un número
pequeño, en valor absoluto muy próximo a cero. Y es x - a = h
f( x ) f( a )
f( a h ) f( a )
como
x a
h
Por lo que podemos escribir a
Y entonces es
'
f (a )  lím
f( x) f( a)
x a
x  x0
= lím
f (a h ) f( a )
h 0
h
El número f ' ( a ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a))
Llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la recta que
pasa por ese punto y cuya pendiente es f ' ( a )
Ejemplo 1.

2
Calcular, usando la definición de derivada, f' ( a ) si f(x) = x + 3 y a = 1
Solución.
Por definición es f ' (a )  lím
h 0
f( a h ) f( a)
h
En el este caso es a = 1, por lo que debemos hallar:
f ' (1)  lím
h 0
f(1 h ) f(1)
h
Para ello calculamos
2
2
f(1+ h) = (1+h) + 3 = 1 + 2h + h + 3
2
= 2h + h + 4
2
f(1) = 1 + 3 = 4
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1
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Reemplazamos en la fórmula:
2h h 2 4 4
f' (1) lím
h 0
 lím
2h h 2
h 0
h
h
La última expresión podemos escribirla como:
h(2 h)
 lím (2 h )
h 0
h
h 0
lím
Por lo que es
lím
f(1 h ) f (1)
h 0
 lím ( 2 h ) 2
h 0
h
En consecuencia la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
(a; f(a)) = (1; 4) es
f' ( a) 2
Observación.
Si en vez de calcular f ' ( a ) mediante f ' (1) lím
f(1 h) f(1)
h 0
f ' (1) lím
f ( x) f (1)
x1
x 1
f' (1) lím
lo hacemos por la fórmula
llegamos al mismo resultado:
f( x ) f(1)
x 1
x 1
h
lím
x 1
x
2
2
3 4
x 1
lím
x 1
x 1 x 1
2
Como es x – 1 = (x+1)(x-1) reemplazando es:
f( x ) f(1)
x 2 1
( x 1)( x 1)
 lím
lím
lím x 1 2
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
f' (1) lím
Ejemplo 2
Calcular, usando la definición de derivada, f' ( a ) si f(x) = 3 - x y a = 0
Solución
Por definición es
f ' ( a ) lím
f(a h) f(a )
h 0
h
Y siendo a = 0 es
f(0 h) f (0 )
h 0
h
f ' ( 0 ) lím
Calculamos:
f(0+h) = 3 – (0+h) = 3 – h
f(0) = 3 – 0 = 3
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2
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Reemplazando:
f ' (0 )  lím
f( 0 h ) f( 0)
h 0
lím
h 0
h
3 h 3
3 h 3
h
lím
lím
lím 1 1
h
h 0
h
h 0 h h  0
Luego es
f ' ( 0) 1
Al hallar la derivada de una función en un punto f ' ( a ) , dijimos que el número f ' ( a ) es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a)).
Y además, llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la
recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es f' ( a ) .
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la expresión
'
y f( a) f (a ) ( x a )
Vamos a utilizar estos conceptos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.
2
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x – x en (2; 2).
Hallar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta.
Solución:
Observamos que (a; f(a)) = (2; 2) por lo que es a = 2 y f(a) = 2.
Buscamos primero la pendiente de la recta hallando f' ( a )

Pendiente de la recta tangente en a = 2
f( a h) f(a )
h 0
h
Sabemos que f ' ( a ) lím
En este caso es:
f ' (2 )  lím
f( 2 h ) f( 2)
h 0
h
Calculamos:
2
2
2
f(2+h) = (2+h) – (2 + h) = 4 + 4h + h – 2 – h = 2 + 3h + h
2
f(2) = 2 - 2 = 2
Luego:
f ' ( 2 ) lím
f( 2 h) f (2 )
h 0
lím
h 0
h
2 3h h 2 2
h 0
h
3h h
lím
2
lím
h
h( 3 h)
h 0
h
lím (3 h) 
3
h 0
Por lo que la pendiente de la recta tangente es f ' (2 ) = 3

Ecuación de la recta tangente.
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3
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La recta y la curva se intersecan en el punto (2; 2).
Por lo que el punto (2; 2) pertenece a la recta tangente.
Como la ecuación de la recta tangente es
y – f(a) = f ' (a ) (x – a).
Reemplazamos
y – 2 = 3 (x – 2)
o bien ;
y = 3x – 4

Graficamos la función y la recta tangente a la misma en el punto (3; 2)
Para determinar la recta tangente a una función en un punto de su dominio, seguimos
estos pasos:
¿Existe
siempre la
derivada
en un
punto?

Calculamos la pendiente de la recta tangente calculando la derivada de la función
en el punto x = a.

Usamos este resultado y el punto (a; f(a)) en la ecuación de la recta:
y f( a) f' ( a) ( x a )
Veremos ahora que no siempre existe la derivada de una función en un punto del dominio.
Para que exista
'
f ( a) lím
f(a h) f (a )
h 0
h
Debe existir el límite para x h y además ese límite debe ser un número real.
Ejemplo 4
Consideremos la función f(x) = |x| y veamos si es derivable en x = 0
Para ello, calculamos
f (a h ) f (a )
h
h 0
lím
Siendo a = 0 calculamos:
f(a+h) = f(0 + h) = |0 +h| = |h|
f(0) = |0| = 0
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4
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Y reemplazamos
lím
f( a h) f( a)
h
h 0
 lím
h 0
h 0
h
Como |h| = h si h 0 y |h| = -h si h < 0 por definición de la función módulo,
debemos considerar qué sucede en cada uno de estos casos, calculando los límites
laterales:
h 0
lím

h 0
lím
h
h 0

h 0
h
lím
h 0
lím
h 0
h 0
h
 lím
1
 h
h
h 0

h 0
h
 lím
1

h
h
h 0
Vemos que los límites laterales no
son iguales, por lo que no existe
lím
h 0
h
h 0
(recordemos que para que exista el
límite de una función en un punto los
límites laterales deben ser iguales).
Luego la función f(x) = |x| no es
derivable en x = 0
Ejemplo 5
Tampoco es derivable en x = 1 la función
del gráfico.
f (a h ) f( a )
lím
h
h 0
lím
h 0
f( a h ) f( a )

h
1
0
En este caso, los límites laterales para h0
son distintos por lo que no existe la
derivada de la función en x = 1.
La función no es continua en x = 1 y
no es derivable en x = 1
Luego la función no es derivable en x = 1.
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Ejemplo 6
La función f ( x) 3 x no es derivable en x = 0
f (a h ) f (a )
, siendo a = 0
h
h 0
Calculemos lím

f(a+ h) = f(0 + h) = f(h) = 3 h

f(0) = 3 0 = 0
Y reemplazamos:
3 h 0
3h
3h
f (a h ) f( a )
1
 lím
 lím
 lím
 lím

h
h
h 0
h 0
h 0 h
h 0 h
h 0 3 h2
lím
Como el límite no es finito concluimos que la
f ( x) 3 x no es derivable en x = 0.
En este caso, la recta tangente es una recta
vertical, paralela al eje de ordenadas.
Para tener en
cuenta
De lo que hemos hecho hasta ahora podemos extraer algunas conclusiones.
1. La derivada de la función en un punto del dominio de la función es un
número real.
2. Para que exista la derivada en ese punto, la función debe ser continua en
ese punto.
3. Que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en
ese punto.
La derivada
como función
Hasta aquí calculamos la derivada de una función para un punto de su dominio. Podemos
preguntarnos ahora si es posible encontrar una función que nos dé el valor de la derivada
de cualquier punto x del dominio de la función.
2
Consideremos la función f(x) = x – x del ejemplo anterior.
En el ejemplo, calculamos f ' (2 ) y hallamos f ' ( 2 ) = 3
Calculemos ahora la derivada en los siguientes puntos:
a) x = -1
b) x = 0
c) x = 1
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6
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La expresión que nos permite calcular la derivada en cada uno de esos puntos es, como
se ha visto:
f( a h) f( a)
h 0
h
f ' (a )  lím
Ayudémonos con una tabla:
f (a +h)
x = -1
x=0
2
(0 + h) – (0 + h)
(-1 + h) –(-1+h)
2
1 - 2h + h +1 – h
2 - 3h + h
(-1) – (-1) = 2
f ' (a )  lím
h0
f (a h ) f (a )
h
2
(1 + h) – (1+h)
2
1 + 2h + h -1-h
h -h
2
2
2
2
f(a)
x=1
h+h
2
2
2
0 –0=0
(1) – (1) = 0
h2 h 0
h 0
h
h h 2 0
h 0
h
3 h h2
h0
h
h(3 h )
lím

3
h0
h
h 2 h
h0 h
h (h 1)
lím
1
h0
h
h h2
h 0
h
h(1 h )
lím
1
h 0
h
f' ( 1) 3
f' (0 ) 1
f' (1) 1
lím
2 3 h h 2 2
h 0
h
lím
lím
lím
lím
lím
Tenemos ahora:
f' ( 1) 3
f ' (0 ) 1
f ' (1) 1
f ' ( 2 ) 3
Si representamos los puntos en ejes cartesianos, observamos que están situados
sobre una recta.
Podemos comprobar que la ecuación de esa recta es y = 2x – 1
Pero entonces la recta de ecuación y = 2x -1 contiene a todos los puntos de la forma
(a; f’(a)) para cualquier a que pertenezca al dominio de la función, donde x = a es un
elemento cualquiera del dominio y f’(a) es la derivada de la función en el punto a.
Esta afirmación nos permite decir que para cualquier punto del dominio de f podemos
encontrar la derivada en ese punto, sólo reemplazando en
y = 2x – 1
Por ejemplo,
si x = 3; y = 2. 3 – 1 = 5
lo que significa que para el elemento x= 3 del dominio, la derivada en ese punto es 5. Esto
es f' (3 ) 5
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7
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De este modo hemos encontrado una función que transforma cada x en 2x – 1.
A esta función la llamamos función derivada y la nombramos f’.
En el ejemplo anterior
2
f(x) = x – x
f ' ( x ) 2 x 1
Es
También se anota:
( x 2 x )' 2 x 1
Definición
Se llama función derivada de f a una función f’ que asocia a cada punto x la derivada de f
en ese punto, f’(x).
Notemos que.

la derivada de una función f es ella misma una función, que puede ser utilizada
para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x; f(x)) de la gráfica de f.
A partir del concepto de derivada de una función podemos deducir reglas que nos
permiten calcular las derivadas sin necesidad de recurrir cada vez al cálculo del límite.
Veremos cómo se llega a algunas de estas reglas haciendo uso de la definición de
derivada en un punto.
Ejemplo 7
Calculamos la derivada de la función constante f(x) = k (k es un número real)
Solución.
Nos proponemos calcular f ' ( a ) para a = x, siendo x un punto cualquiera del dominio de
f.
Recordemos que la función constante está definida para todos los números reales.
Como antes, calculamos f' (a ) lím
f (a h ) f (a )
h 0
h
.
Por ser x = a, es f(a+h) = f(x+h) = k
f(a) = f(x) = k
ya que todos los elementos del dominio de f tienen por imagen al número real k.
Luego es: f ' (x ) lím
h 0
f( x h ) f (x )
k k
0
 lím
lím 0
h
h 0 h
h 0 h
Entonces, si f(x) = k es f ' ( x ) = 0

Si f(x) = k (k es una constante) entonces f ' ( x ) (k )' 0
Esto es, la derivada de una función constante es cero.
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8
Modalidad virtual
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Ejemplo 8
Calculamos la derivada de la función lineal f(x) = mx + b
Sea f(x) = mx + b. Calcular
dominio.
f' ( a )
para a = x, siendo x un punto cualquiera de su
Solución:
Recordemos que la función lineal tiene como dominio el conjunto de los números
reales. Luego x 
f( a h ) f( a )
h 0
h
Como en los ejemplos anteriores calculamos f ' (a ) lím
Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) = m(x+h) + b.
f(a) = f(x) = mx + b
f' ( x) lím
h 0
m( x h) b (mx b)
h
Operando es:
f' ( x) lím
mx mh b mx b
h 0
 lím
mh
h 0
h
h
 lím m m
h 0
Por lo tanto f ' ( x ) m para cualquier número real x.
Además, el Dom(f) = Dom(f’) = 

Si f(x) = mx + b entonces f ' ( x ) (mx b ) ' m
Esto es, la derivada de una función lineal f(x) = mx + b es f ' ( x) m
Ejemplo 9.
Sea f ( x )  x Calcular f ' ( a ) para a = x, siendo x un punto cualquiera de su dominio.
Solución:
El dominio de f son los números reales mayores o iguales que cero.
Por lo que x{0; +)
Calculamos:
f' (a ) lím
h 0
f (a h ) f (a )
h
Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) =
x h
f(a) = f ( x)  x
Luego;
f' ( x) lím
h 0
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
f ( x h ) f ( x)
h
lím
h 0
x h  x
h
9
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x h  x
Multiplicando numerador y denominador por
f ' ( x ) lím
h 0
f( x h ) f( x )
x h  x
lím
h
h 0
h
 lím
( x h  x ) ( x h  x )
h 0
h ( x h  x )
2
2
El numerador es una expresión de la forma (a + b) (a – b) = a – b
Si usamos esta igualdad el numerador nos queda:
2
( x h  x ) ( x h  x ) ( x h ) ( x )
2
x h x h
Reemplazamos:
 lím
h 0
 lím
h 0
h
h ( x h  x )
1
1

( x h  x ) 2 x
1
Luego es f ' ( x ) 
.
2 x
Observamos que mientras que el dominio de f es Dom(f) = [0; +), el dominio de
la derivada es Dom(f ’) = (0; +).
Esto significa que no existe la derivada de la función cuando x es igual a cero.
En este caso, la recta tangente es vertical, por lo que su pendiente no está
definida en x = 0, como se observa en el gráfico.

1
Si f ( x )  x , x [0; +) entonces es f' ( x ) 
, con x (0; +)
2 x
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
10
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De manera similar (aunque no siempre al alcance de este curso) puede mostrarse que:
1. Si f es derivable y c es un número real, entonces h(x) = c.f(x) es derivable y su
derivada es h ' ( x) c.f ' ( x )
2. Si las funciones f y g son derivables y
'
'
'
'
'
'

h(x) = f(x) + g(x), entonces h ( x ) f ( x ) g ( x )

h(x) = f(x) - g(x) , entonces h ( x ) f ( x ) g ( x )
La derivada de una suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es la
suma (o diferencia) de sus derivadas.
3. Si f y g son dos funciones derivables y es h(x) = f(x) . g(x) entonces es derivable y
su derivada es h ' ( x ) f ' ( x ).g( x) f( x ).g ' (x ) .
La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función
multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la
segunda función.
f ( x)
4. Si f y g son dos funciones derivables y es g(x)  0, entonces h( x) 
es
g( x)
f ' (x ).g( x) f ( x)..g ' ( x)
'
derivable y su derivada es h (x ) 
g( x) 2
También pueden verificarse las siguientes reglas.
1. Si f(x) = k, con k  entonces f ' ( x) = 0
2. Si f(x) = mx + b, con m y m0 entonces f ' ( x) = m
3. Si f(x) = x entonces f ' ( x) = 1
2
4. Si f(x) = x entonces f ' ( x ) = 2x
3
2
5. Si f(x) = x entonces f ' ( x ) = 3x
n
n-1
6. Si f(x) = x , con n  y n1 entonces f ' ( x ) = n x
1
7. Si f(x) = lnx entonces f' ( x) 
x
x
x
8. Si f(x) = e entonces f ' ( x) = e
x
x
9. Si f(x) = a , con a>0 y a1, entonces f ' ( x) = a lna
10. Si f(x) = loga x, con a>0 y a1, entonces f ' (x ) 
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1
x ln a
11
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11. Si f(x) = cosx entonces f ' ( x ) = -senx
12. Si f(x) = senx entonces f ' ( x) = cosx
1
13. Si f(x) = tgx entonces f ' ( x ) 
sec 2 x
2
cos x
1
2
14. Si f(x) = ctgx entonces f ' ( x ) 
= - cosec x
2
sen x
Resolvemos a continuación varios ejemplos, utilizando las reglas anteriores.
Ejemplo 10
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
3
2
a) f(x) = 6x – 2x
7
b) f(x) = 2 x 
x
c) f(x) = x
2
1

3 2
2 x
2
d) f(x) = (x +1) cosx
Solución
3
2
a) f(x) = 6x – 2x
3
2
La función f es la diferencia de funciones: h(x) = 6x y g(x) = 2x .
El dominio de f es Dom(f) = 
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
f ' (x ) h ' ( x) g' (x )
Notemos que h(x) es el producto de una constante por una función, entonces
'
3 '
su derivada es h ( x) 6( x )
3 '
n '
Para calcular ( x ) usamos que (x ) = n x
3 '
n- 1
2
Entonces es ( x ) = 3.x
'
3 '
Luego h (x ) 6( x ) = 6. 3. x = 18x
2
2
En forma similar calculamos g’(x).
Y hallamos que es g’(x) = 4x
Entonces:
f ' (x ) h ' ( x) g' (x ) = 18x – 4x
2
3
2
2
Por lo que la derivada de f(x) = 6x – 2x es f ' ( x) = 18x – 4x
El dominio de f’ es Dom(f’) = 
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
12
Modalidad virtual
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7
b) f(x) = 2 x 
x
7
La función f es la diferencia de funciones h(x) = 2 x y g( x) 
x
El dominio de f es Dom(f ) = (0; +)
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
'
'
f (x ) h ( x) g' (x )

Calculamos la derivada de h(x) = 2 x
Como h es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
1
Para derivar x , escribimos la raíz en forma de potencia:
podemos aplicar la derivada de una potencia:
x x 2 y
'
1
1
1
 2  1 2 1 1 2 1 1
 x

x 2 x
2
2 x
 
 
Entonces es h ' (x ) 2 .

1 1
1

2 x
x
7
Calculamos la derivada de g( x) 
x
Podemos escribir g( x ) 7 .
1
x
Como g es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
Para calcular la derivada de
1
1
hacemos:
x 1
x
x
 
'
1
Luego, es x 1 1 x 1 1 x 2 
x2
Entonces es g ' ( x) 7 .
1
x2
1 
1  1
1
Y f ' ( x) h ' ( x ) g' ( x) 

7
=
7 2 

x  x  x
x2
7
1
1
Por lo que la derivada de f(x) = 2 x  es f ' ( x ) 
7
x
x
x2
El domino de la derivada es Dom(f’) = (0; +)
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
13
Modalidad virtual
Matemática
c) f(x) = x
2

1
3
2 x
2
El dominio de f es Dom(f) = -{0}
1
2
La función f es suma de las funciones h(x) = x y g(x) =
3
2 x2
por lo que su derivada es f ' (x ) h ' ( x) g' ( x)
2

La derivada de h(x) = x es h’(x) = 2x

Calculamos la derivada de g(x) =
1
3
2 x
2
1
1 1
Para ello comencemos por escribir g( x ) 

3 2
2 3 x2
2 x
Y a la vez:
1
3
x2

1
2
2

x 3
x3
Entonces

1 1
g ( x)  
2 3 2
 x
'
'
'
2

 2
1 2 3 1
 1  3 

x


.
x
 2

2 3






5
1 
1
 x 3 
3
3
1
3
x5
(Observen que para hallar g’ usamos las mismas propiedades que
en los ítems anteriores)
1 1
Luego es f ' ( x ) h ' ( x) g ' ( x )  2 x 
3 3 5
x
Por lo que la derivada de f(x) = x 2 
1 1
'
es f ( x) 2 x 
2
3 3 5
2 x
x
1
3
2
d) f(x) = (x +1) cosx
2
La función f es el producto de las funciones h(x) = x + 1 y g(x) = cosx
Entonces para derivar f usamos la regla del producto y es:
'
'
'
f (x ) h ( x)..g( x) h( x ).g ( x )
'

La derivada de h(x) = x + 1 es h ( x) 2x (usamos derivada de la
suma, derivada de una potencia y derivada de una constante)

La derivada de g(x) = cosx es g ' ( x) senx
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
2
14
Modalidad virtual
Matemática
2
Luego es f ' ( x) h ' ( x)..g( x) h( x ).g ' (x ) = 2x.cosx +(x +1)(-senx)
2
= 2x cosx – (x + 1) senx
2
2
Por lo que la derivada de f(x) = (x +1) cosx es f ’(x) = 2x cosx – (x + 1) senx
Y además es Dom(f) = Dom(f ‘) = 
Ejemplo 11.
x
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) 
en el punto
x 1
 2
2; 
 3
Solución:
Vimos que la ecuación de la recta tangente es:
'
y f( a) f (a ) ( x a )
'
donde (a; f(a)) es el punto de tangencia y f (a ) es la pendiente de la recta.
En nuestro ejemplo es a = 2 y f(a) = f(2) =
2
3
'
'
y f ( a) f ( 2)
2
'
Por lo que es y  f ( 2 ) ( x 2)
3
'
Debemos calcular f (2 )
Calculamos la derivada de f ( x) 
x
y luego la evaluamos en x = 2
x 1
Como f está expresada mediante un cociente entonces usamos la derivada del
cociente:
( x) ' ( x 1) x( x 1) ' 1.( x 1) x.1 x 1 x.
1
f ' ( x) 



2
2
2
( x 1)
( x 1)
(x 1)
( x 1) 2
1

2 1 9
Y f 
2 
'
1
2
2
'
Reemplazando en la ecuación y  f ( 2) ( x 2 ) nos queda que la ecuación de
3
 2
la recta tangente a la gráfica de f en el punto 
2; es:
 3
2 1
y   ( x 2 )
3 9
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
15
Modalidad virtual
Matemática
Derivadas
sucesivas
Como la derivada de una función f es también una función, como tal podemos derivarla y
obtener de ella su derivada. A esta nueva función la llamamos derivada segunda de f.
Lo anotamos: f” (x)
Del mismo modo, al ser f” una función, podemos seguir derivándola y obtener la tercera,
cuarta … n-èsima derivada de f.
A estas nuevas funciones se las denomina funciones derivadas sucesivas de f.
Ejemplo 12.
4
3
2
Si f(x) = 3x – x + 5x – 3 sus derivadas sucesivas son:
3
2

Derivada primera: f ’(x) = 12x – 3x + 10x

Derivada segunda: f”(x) = 36x – 6x + 10

Derivada tercera: f ' ' ' ( x) = 72x – 6

Derivada cuarta:

Las derivadas sucesivas son todas iguales a cero.
2
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas
V
f (x) = 72
16