ampliacion edos lineales+resumen

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN n
E.D.O. lineal de orden n
a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = ω(x)
ω, ai : IR → IR
i = 0, 1, . . . , n
Podemos reescribirlas utilizando para la derivada el operador D:
a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +· · ·+an−1 (x)y 0 +an (x)y = a0 (x)Dn y+a1 (x)Dn−1 y+· · ·+an−1 (x)Dy+an (x)y =
= [a0 (x)Dn + a1 (x)Dn−1 + · · · + an−1 (x)D + an (x)]y = P (D)y = ω(x)
P (D)y = 0 E.D.O.lineal HOMOGÉNEA de orden n
P (D)y = ω(x) E.D.O.lineal COMPLETA de orden n
• Ejemplos:
x2 y 00 − 6y = x
y 00 + y = 1
EDO lineal de orden dos completa→ P (D) = x2 D2 − 6
EDO lineal de orden dos completa→ P (D) = D2 + 1
y 00 + y 0 cos x = 0
y 000 − 2y 0 = et
EDO lineal de orden dos homogénea→ P (D) = D2 + cos x D
EDO lineal de orden tres completa→ P (D) = D3 − 2D
Teorema de existencia y unicidad de soluciones Sea P (D)y = ω(x) EDO lineal de orden n
con ω, ai : J → IR i = 0, 1, . . . , n funciones continuas en el intervalo J ⊂ IR y a0 (x) 6= 0
∀x ∈ J. Entonces existe y = y(x) solución de la ecuación en J de forma que
y(x0 ) = b0 , y 0 (x0 ) = b1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = bn−1
tal que x0 ∈ J, (b0 , b1 , . . . , bn−1 ) ∈ IRn
NOTA: y(x0 ) = b0 , y 0 (x0 ) = b1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = bn−1 Condiciones iniciales de la EDO
E.D.O. lineal homogénea de orden n
Proposición Sean y1 , y2 soluciones de la ecuación P (D)y = 0 sobre el intervalo J ⊂ IR. Entonces
y1 + y2 , ky1 ∀k ∈ IR son soluciones de la ecuación sobre J.
Demostración Linealidad del operador diferencial P (D)
NOTA: El conjunto de soluciones de la ecuación P (D)y = 0 es un subespacio vectorial del
conjunto de funciones reales. Es una propiedad que sólo verifican las EDO lineales homogéneas.
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• Ejemplos:
y1 = ex , y2 = e−x soluciones de la EDO lineal homogénea y 00 − y = 0 , también son
soluciones y3 = Sh x, y4 = 4ex − 5e−x , . . .
y1 = 1 + cos x, y2 = 1 + sen x soluciones de la EDO lineal completa y 00 + y = 1
y1 + y2 = 2 + sen x + cos x NO es solución de la ecuación.
, pero
y1 = x2 , y2 = 1 soluciones de la EDO NO lineal y 00 y − xy 0 = 0
pero y3 = 1 + x2 , y4 = −x2 NO son soluciones de la ecuación.
Dependencia lineal de funciones
Definición Sean fi : I → IR i = 1, . . . , m funciones reales definidas en el intervalo I ⊂ IR.
{f1 , f2 , . . . , fm } son funciones linealmente dependientes en I cuando existen k1 , k2 , . . . , km
números reales NO nulos tal que k1 f1 + k2 f2 + · · · + km fm = 0 en I.
(Es decir k1 f1 (x) + k2 f2 (x) + · · · + km fm (x) = 0 ∀x ∈ I).
En caso contrario, {f1 , f2 , . . . , fm } son funciones linealmente independientes en I.
• Ejemplos:
f1 = ex , f2 = e−x , f3 = Ch x
son funciones linealmente dependientes(l.d.) en IR
2 · f3 − 1 · f1 − 1 · f2 = 0
f1 = ex , f2 = e−x
f1 = x3 , f2 = |x3 |
son funciones linealmente independientes(l.i.) en IR
son funciones l.i. en IR, pero son funciones l.d. en IR−
Condición necesaria Sean fi : I → IR i = 1, . . . , m funciones reales derivables hasta orden m−1 en el intervalo I ⊂ IR. Si {f1 , f2 , . . . , fm } son funciones linealmente dependientes
en I =⇒ W (f1 , f2 , . . . , fm ) = 0 en I.
f1
f10
..
.
Wronskiano de {f1 , f2 , . . . , fm } = W (f1 , f2 , . . . , fm ) =
(m−1)
f1
f2
f20
..
.
(m−1)
f2
···
···
...
fm
0
fm
..
.
(m−1)
· · · fm
Consecuencia Sean fi : I → IR i = 1, . . . , m funciones reales derivables hasta orden m − 1
en el intervalo I ⊂ IR. Si W (f1 , f2 , . . . , fm ) 6= 0 en I =⇒ {f1 , f2 , . . . , fm } son funciones
linealmente independientes en I.
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Condición necesaria y suficiente de Dependencia Lineal para las Soluciones de una E.D.O.
Lineal Homogénea de orden n. Sea P (D)y = 0 EDO lineal homogénea de orden n con
ai : J → IR i = 0, 1, . . . , n funciones continuas en el intervalo J ⊂ IR y a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ J.
Sean {y1 , y2 , . . . , ym } soluciones de la ecuación P (D)y = 0 en J. Entonces se verifica que
{y1 , y2 , . . . , ym } l.d. en J ⇐⇒ W (y1 , y2 , . . . , ym ) = 0 en J
Por tanto
{y1 , y2 , . . . , ym } l.i. en J ⇐⇒ W (y1 , y2 , . . . , ym ) 6= 0 en J
(m ≤ n)
Teorema Sea P (D)y = 0 EDO lineal homogénea de orden n con ai : J → IR i = 0, 1, . . . , n
funciones continuas en el intervalo J ⊂ IR y a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ J. Sean {y1 , y2 , . . . , yn }
soluciones l.i. de la ecuación P (D)y = 0 en J. Entonces se verifica que {y1 , y2 , . . . , yn }
es una base del espacio de soluciones de la ecuación, luego la solución general de la ecuación
P (D)y = 0 en J es
yh = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn
Ci ∈ IR
i = 1, 2, . . . , n
E.D.O. lineal completa de orden n
Proposición Sea P (D)y = ω(x) EDO lineal completa de orden n con ω, ai : J → IR i =
0, 1, . . . , n funciones continuas en el intervalo J ⊂ IR y a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ J. La solución
general de la ecuación P (D)y = ω(x) es suma de la solución general de la homogénea asociada,
P (D)y = 0 , y de una solución particular de la ecuación P (D)y = ω(x) .
yg = yh + yp
Método de variación de constantes Sea yh = C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn la solución general
de la ecuación P (D)y = 0 , EDO lineal homogénea asociada a la ecuación lineal completa de
orden n P (D)y = ω(x) . Intentamos una solución particular de la ecuación completa de la
forma
yp = C1 (x) y1 + C2 (x) y2 + · · · + Cn (x) yn
es decir, hemos de hallar n funciones, Ci (x), de forma que yp sea solución de P (D)y = ω(x) . Por
tanto, buscamos n funciones con una única condición, luego podemos imponer n−1 condiciones
para encontrarlas, la idea es que las derivadas de yp sean lo más sencillas posibles, de hecho,
haremos que el orden de derivación de las funciones Ci (x) no exceda de dos imponiendo las
siguientes condiciones
yp = C1 (x) y1 + C2 (x) y2 + · · · + Cn (x) yn −→ yp = C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn
yp0 = C1 y10 + C2 y20 + · · · + Cn yn0 + C10 y1 + C20 y2 + · · · + Cn0 yn
(C 1) C10 y1 + C20 y2 + · · · + Cn0 yn = 0
yp00 = C1 y100 + C2 y200 + · · · + Cn yn00 + C10 y10 + C20 y20 + · · · + Cn0 yn0 (C 2) C10 y10 + C20 y20 + · · · + Cn0 yn0 = 0
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seguimos derivando e imponiendo condiciones, en la derivada de orden n − 1, la condición
quedarı́a
(n−1)
yp(n−1) = C1 y1
(n−1)
+ C2 y2
(n−2)
+ · · · + Cn yn(n−1) + C10 y1
(n−2)
C (n − 1) → C10 y1
(n−2)
+ C20 y2
(n−2)
+ C20 y2
+ · · · + Cn0 yn(n−2)
+ · · · + Cn0 yn(n−2) = 0
calculamos la derivada de orden n
(n)
(n)
(n−1)
yp(n) = C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn(n) + C10 y1
(n−1)
+ C20 y2
+ · · · + Cn0 yn(n−1)
e imponemos que yp sea solución de P (D)y = ω(x) , quedarı́a
0 (n−1)
0 (n−1)
0 (n−1)
C1 P (D)y1 +C2 P (D)y2 +· · ·+Cn P (D)yn +a0 (x) C1 y1
+ C2 y2
+ · · · + Cn yn
= ω(x)
como yi i = 1, 2, . . . , n son soluciones de la ecuación homogénea, entonces P (D)yi = 0 ,
luego la condición n-ésima será
(n−1)
C n → C10 y1
(n−1)
+ C20 y2
+ · · · + Cn0 yn(n−1) =
ω(x)
a0 (x)
Por tanto, hemos de encontrar n funciones C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) cuyas primeras derivadas
verifiquen

C10 y1 + C20 y2 + · · · + Cn0 yn = 0







0 0
0 0
0 0

C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn = 0




..
.
(n−2)
(n−2)
(n−2)

=0
+ · · · + Cn0 yn
+ C20 y2
C10 y1








ω(x)

(n−1)
(n−1)
(n−1)
0
0
0

C1 y1
+ C2 y2
+ · · · + Cn yn
=

a0 (x)
siatema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, (C10 , C20 , . . . , Cn0 ) . El determinante de la matriz
de los coeficientes es W (y1 , y2 , . . . , yn ) 6= 0 , al ser {y1 , y2 , . . . , yn } soluciones l.i. de la ecuación
P (D)y = 0 , por tanto, existe solución única del sistema
Z
0
Ci (x) = ϕi (x) −→ Ci (x) = ϕi (x) dx
i = 1, 2, . . . , n
De esta forma obtenemos la solución particular que estábamos buscando.
• Ejemplo: Resolver la ecuación x2 y 00 − 6y = x
Solución de la ecuación homogénea asociada x2 y 00 − 6y = 0
Al ser los coeficientes funciones polinómicas, buscamos una solución del mismo tipo
y = xm , y 0 = mxm−1 , y 00 = m(m − 1)xm−2 sustituyendo en la ecuación
x2 y 00 − 6y = 0 → x2 m(m − 1)xm−2 − 6 xm = 0 =⇒ m(m − 1) − 6 = 0 ⇐⇒ (m = 3, m = −2)
Las funciones {y1 = x3 , y2 = x−2 } son soluciones de la ecuación en IR −{0}, y son linealmente
independientes ya que
W (y1 , y2 ) =
y1 y2
y10 y20
=
x3
x−2
3x2 −2x−3
Solución general de la homogénea asociada
= −2 − 3 6= 0
yh = C1 x3 + C2 x−2
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Solución particular de la ecuación completa x2 y 00 − 6y = x mediante el método de variación
de constantes: buscamos una solución de la ecuación completa, yp , similar a la solución general
de la homogénea cambiando las constantes por funciones, C1 (x), C2 (x), que tendremos que
calcular imponiendo que sea solución de la ecuación dada, pero como sólo es una condición
y debemos encontrar dos funciones tenemos la posibilidad de imponer una condición que nos
simplifique el cálculo
derivada
yp = C1 (x) x3 + C2 (x) x−2 −→ yp0 = C10 (x) x3 + C20 (x) x−2 + C1 (x) 3x2 + C2 (x) (−2x−3 )
Imponemos que al derivar la segunda vez NO aparezcan las derivadas segundas de las funciones
a calcular, por tanto hacemos que C10 (x) x3 + C20 (x) x−2 = 0 (1)
derivando
yp0 = C1 (x) 3x2 + C2 (x) (−2x−3 ) −→ yp00 = C10 (x) 3x2 + C20 (x) (−2x−3 ) + C1 (x) 6x + C2 (x) 6x−4
Sustituimos en la ecuación x2 y 00 − 6y = x , si yp es solución debe verificar
x2 C10 (x) 3x2 + C20 (x) (−2x−3 ) + C1 (x) 6x + C2 (x) 6x−4 − 6 C1 (x) x3 + C2 (x) x−2 = x =⇒
x2 C10 (x) 3x2 + C20 (x) (−2x−3 ) = x (2)
Luego las funciones C1 (x), C2 (x) deben verificar (1) y (2), es decir, sus derivadas son solución
del sistema

 0
(1) C10 (x) x3 + C20 (x) x−2 = 0

 C1 (x) x5 + C20 (x) = 0

x  =⇒  0
(2) C10 (x) 3x2 + C20 (x) (−2x−3 ) = 2 
C1 (x) 3x5 − 2C20 (x) = x2
x
Z
1 −3
1
1 −3
0
C1 (x) = x
=⇒ C1 (x) =
x dx = −
5
5
10x2
Z
1
x3
1 2
0
C2 (x) = − x =⇒ C2 (x) = − x2 dx = −
5
5
15
Por tanto, yp = C1 (x) x3 + C2 (x) x−2 = −
1
x
x3 −2
3
x
x =−
−
2
10x
15
6
Solución particular de la ecuación
yp = −
Solución general de la ecuación x2 y 00 − 6y = x
yg = yh + yp −→ y = C1 x3 + C2 x−2 −
x
6
x
6
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E.D.O. LINEALES DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES
A0 y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y 0 + An y = ω(x)
Ai ∈ IR
i = 0, 1, . . . , n
Utilizando el operador D:
A0 y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y 0 + An y = [A0 Dn + A1 Dn−1 + · · · + An−1 D + An ]y = P (D)y = ω(x)
Observa que en estas ecuaciones P (D) es un polinomio en D
P (D)y = 0 E.D.O.lineal HOMOGÉNEA de orden n con coeficientes constantes
P (D)y = ω(x) E.D.O.lineal COMPLETA de orden n con coeficientes constantes
Por los resultados previos estudiados para las ecuaciones lineales sabemos que
Solución General de la E.D.O.lineal COMPLETA = yg = yh + yp
Solución general de la EDO lineal homogénea asociada P (D)y = 0
Se buscan soluciones del tipo y = er0 x
y = er0 x , y 0 = Dy = r0 er0 x , y 00 = D2 y = r02 er0 x , en general y (k) = Dk y = r0k er0 x ,
al sustituir en la ecuación obtenemos
P (D)er0 x = 0 ⇐⇒ A0 r0n er0 x + A1 r0n−1 er0 x + · · · + An−1 r0 er0 x + An er0 x = 0 ⇐⇒
⇐⇒ A0 r0n + A1 r0n−1 + · · · + An−1 r0 + An = 0
Por tanto, si y = er0 x es solución de la ecuación P (D)y = 0 =⇒ r0 es raı́z de la
ecuación algebraica P (r) = 0
P (r) = 0 ⇐⇒ A0 rn + A1 rn−1 + · · · + An−1 r + An = 0
Ecuación caracterı́stica asociada a la EDO lineal con coeficientes ctes.
El problema queda reducido a resolver una ecuación algebraica de grado n, que sabemos posee
n raı́ces, reales o complejas, simples o múltiples. Distinguiremos los siguientes casos:
A) La ecuación caracterı́stica P (r) = 0 tiene n raı́ces o soluciones distintas r1 , r2 , . . . , rn .
Entonces {er1 x , er2 x , . . . , ern x } son n soluciones l.i. de la ecuación P (D)y = 0 , por tanto
la solución general de la ecuación es
yh = C1 er1 x + C2 er2 x + · · · + Cn ern x
• Ejemplo: Resolver la ecuación y 000 − y 0 = 0
La ecuación caracterı́stica será y 000 −y 0 = 0 → D3 y−Dy = 0 → (D3 −D)y = 0 → r3 −r = 0
Las raı́ces de la ecuación caracterı́stica r3 − r = 0 ⇐⇒ (r = 0, r = 1, r = −1)
{e0·x , e1·x , e−1·x } son soluciones l.i. de la ecuación, por tanto la solución general de la
ecuación es
y = C1 + C2 ex + C3 e−x
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
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B) La ecuación caracterı́stica P (r) = 0 tiene m < n raı́ces distintas r1 , r2 , . . . , rm , porque
tiene raı́ces múltiples. Entonces {er1 x , er2 x , . . . , erm x } son soluciones l.i. de la ecuación
pero NO constituyen una base del espacio de soluciones de P (D)y = 0 . Hace falta
completar el conjunto anterior con más funciones.
Sabemos que P (D)erx = erx P (r) , derivando esta igualdad respecto de r obtenemos
∂
∂ rx
(P (D)erx ) =
(e P (r))
∂r
∂r
∂ rx
(e ) = xerx P (r) + erx P 0 (r) =⇒ P (D)xerx = xerx P (r) + erx P 0 (r) (1)
∂r
Si r0 es raı́z doble de P (r) = 0 =⇒ r0 es raı́z de P 0 (r) = 0 , por tanto sustituyendo en
(1) P (D)xer0 x = xer0 x P (r0 ) + er0 x P 0 (r0 ) = 0 =⇒ y = xer0 x es solución de la ecuación,
siendo además l.i. con y = er0 x ya que
P (D)
W (er0 x , xer0 x ) =
er0 x
xer0 x
r0 er0 x (1 + r0 x)er0 x
= e2r0 x 6= 0
Derivando (1) respecto de r
∂
∂
(P (D)xerx ) =
(xerx P (r) + erx P 0 (r))
∂r
∂r
P (D)x2 erx = x2 erx P (r) + 2xerx P 0 (r) + erx P 00 (r) (2)
Si r0 es raı́z de multiplicidad 3 de P (r) = 0 =⇒ r0 es raı́z de P 0 (r) = 0 y de
P 00 (r) = 0 , por tanto sustituyendo en (2) P (D)x2 er0 x = 0 =⇒ y = x2 er0 x es solución de
la ecuación, siendo además l.i. con {er0 x , xer0 x } .
Ası́ sucesivamente, luego es posible completar el conjunto de funciones anterior hasta
disponer de las n funciones l.i. que necesitamos para constituir la base del espacio de
soluciones de la ecuación P (D)y = 0 .
• Ejemplo: Resolver la ecuación y iv − 4y 000 + 6y 00 − 4y 0 + y = 0
La ecuación caracterı́stica será D4 y − 4D3 y + 6D2 y − 4Dy + y = 0 →
(D4 − 4D3 + 6D2 − 4D + 1)y = 0 → r4 − 4r3 + 6r2 − 4r + 1 = 0
Las raı́ces de la ecuación caracterı́stica (r − 1)4 = 0 ⇐⇒ r = 1 multiplicidad 4
{e1·x , xe1·x , x2 e1·x , x3 e1·x } son soluciones l.i. de la ecuación, por tanto la solución general
de la ecuación es
y = C1 ex + C2 xex + C3 x2 ex + C4 x3 ex
C) Si la ecuación caracterı́stica P (r) = 0 tiene una raı́z compleja α + iβ, sabemos también es
raı́z α − iβ, la solución real correspondiente a ellas será de la forma
K1 e(α+iβ)x + K2 e(α−iβ)x ∈ IR,
siendo K1 , K2 ∈ C
vamos a expresar esta función en términos reales,
K1 e(α+iβ)x + K2 e(α−iβ)x = K1 eαx (cos βx + i sen βx) + K2 eαx (cos βx − i sen βx) =
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∗
= eαx ((K1 + K2 ) cos βx + i(K1 − K2 ) sen βx) =
si
K1 = M + N i, K2 = M − N i =⇒
K1 + K2 = 2M = A ∈ IR, i(K1 − K2 ) = −2N = B ∈ IR =⇒ (∗)
∗
= eαx (A cos βx + B sen βx)
(α+iβ)x (α−iβ)x
Por tanto podemos sustituir las funciones
e
,e
{eαx cos βx, eαx sen βx}
por las funciones l.i.
• Ejemplo: Resolver la ecuación y 000 + 4y 0 = 0
La ecuación caracterı́stica será D3 y + 4Dy = 0 → (D3 + 4D)y = 0 → r3 + 4r = 0
Las raı́ces de la ecuación caracterı́stica r(r2 + 4) = 0 ⇐⇒ (r = 0 r = ±2i)
{e0·x , e0·x cos 2x, e0·x sen 2x} = {1, cos 2x, sen 2x} son soluciones l.i. de la ecuación, por tanto la
solución general de la ecuación es
y = C1 + C2 cos 2x + C3 sen 2x
Soluciones particulares de la EDO lineal completa P (D)y = ω(x)
Método de variación de constantes Sea yh = C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn la solución
general de la ecuación P (D)y = 0 , EDO lineal homogénea asociada a la ecuación lineal
completa de orden n P (D)y = ω(x) . La solución particular buscada será de la forma
yp = C1 (x) y1 + C2 (x) y2 + · · · + Cn (x) yn
donde las funciones C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) verifican













C10 y1 + C20 y2 + · · · + Cn0 yn = 0
C10 y10 + C20 y20 + · · · + Cn0 yn0 = 0
..
.
(n−2)
C10 y1
(n−1)
C10 y1
(n−2)
+ C20 y2
(n−1)
+ C20 y2
(n−2)
+ · · · + Cn0 yn
(n−1)
+ · · · + Cn0 yn
=0








ω(x) 



=
A0
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Método de los coeficientes indeterminados Este método consiste en proponer como solución particular funciones análogas a la función ω(x). Mediante derivación y sustitución
en la ecuación dada se hallan los coeficientes a determinar. Se utiliza cuando la función
ω(x) es combinación lineal de algunos de los siguientes tipos de funciones:
a)
ω(x) = λemx
m NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = Aemx
m ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = Axk emx
b)
ω(x) = λ1 cos ax + λ2 sen ax
±ai NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = A cos ax + B sen ax
±ai ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (A cos ax + B sen ax)
c)
ω(x) = λ0 xs + λ1 xs−1 + · · · + λs−1 x + λs
0 NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = a0 xs + a1 xs−1 + · · · + as−1 x + as
0 ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (a0 xs + a1 xs−1 + · · · + as−1 x + as )
d)
ω(x) = λ1 eax cos bx + λ2 eax sen bx
a ± bi NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = Aeax cos bx + Beax sen bx
a ± bi ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (Aeax cos bx + Beax sen bx)
E.D.O. LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN n
A0 y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y 0 + An y = ω(x)
Ai ∈ IR
∀i ∈ {0, 1, . . . , n}
Podemos reescribirlas utilizando para la derivada el operador D:
A0 y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y 0 + An y = [A0 Dn + A1 Dn−1 + · · · + An−1 D + An ]y = P (D)y = ω(x)
P (D)y = 0 E.D.O.lineal HOMOGÉNEA de orden n con coeficientes constantes
P (D)y = ω(x) E.D.O.lineal COMPLETA de orden n con coeficientes constantes
SOLUCIÓN GENERAL de la E.D.O.lineal COMPLETA
= yg = yh + yp
(I) SOLUCIÓN GENERAL de la E.D.O.lineal HOMOGÉNEA
= yh
Definimos la ECUACIÓN CARACTERÍSTICA ASOCIADA a la E.D.O.lineal de orden n con
coeficientes constantes HOMOGÉNEA:
P (r) = A0 rn + A1 rn−1 + · · · + An−1 r + An = 0
Resolvemos la ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales
P (r) = 0
r0 raı́z de P (r) = 0 =⇒ y0 = er0 x es solución de P (D)y = 0
• RAÍCES DISTINTAS {r1 , r2 , . . . , rn } =⇒ {er1 x , er2 x , . . . , ern x } conjunto de soluciones l.i.
• RAÍCES MÚLTIPLES r0 raı́z de multiplicidad k =⇒ {er0 x , xer0 x , . . . , xk−1 er0 x } l.i.
• RAÍCES COMPLEJAS r = α ± βi las soluciones {e(α+βi)x , e(α−βi)x } l.i.
se sustituyen por
{eαx cos βx, eαx sen βx} l.i.
(II) SOLUCIÓN PARTICULAR de la E.D.O.lineal COMPLETA = yp
(MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS)
{
m NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = Aemx
m ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = Axk emx
a)
ω(x) = λemx
b)
ω(x) = λ1 cos ax + λ2 sen ax
{
c)
ω(x) = λ0 xs + λ1 xs−1 + · · · + λs−1 x + λs
{
d)
±ai NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = A cos ax + B sen ax
±ai ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (A cos ax + B sen ax)
0 NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = a0 xs + a1 xs−1 + · · · + as−1 x + as
0 ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (a0 xs + a1 xs−1 + · · · + as−1 x + as )
ω(x) = λ1 eax cos bx + λ2 eax sen bx
{
a ± bi NO es raı́z de P (r) = 0 =⇒ yp = Aeax cos bx + Beax sen bx
a ± bi ES raı́z de multiplicidad k de P (r) = 0 =⇒ yp = xk (Aeax cos bx + Beax sen bx)