Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
U.E Colegio “Pablo Neruda”.
Bqto-Edo, Lara.
Alumnos:
José Arango.
Najid Colmenarez.
Ricardo González.
Fabiola Peña.
Carlos Torrealba.
5to año “B”.
Qué es un vector: el vector es un concepto que proviene de la física, en la que se
distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la
magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo,
el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura...), en la vectorial se
necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a
un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la
dirección y el sentido del movimiento.
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un orden
(segmento orientado). Se representa como AB (con una flecha en la parte
superior) siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el
vector se llaman origen y extremo, respectivamente.
Componente de un vector: es muy común que representemos un vector utilizando
los valores de sus componentes.
Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al
proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del
vector.
El siguiente simulador dibuja automáticamente las componentes del vector A.
Puedes pulsar y arrastrar con el ratón el extremo del vector.
Proyección de un vector
La proyección se expresa por la forma:
El vector proyección de:
sobre
, y viene dada por:
se calcula por:
Modulo de un vector: el módulo de un vector es la longitud del segmento
orientado que lo define, el módulo de un vector es un número siempre positivo y
solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Vectores ortogonales:
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
Dos vectores son ortogonales si forman un Angulo recto (no necesariamente si se
cortan).
Serían perpendiculares si se cortan y además forman un ángulo recto.
Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.
A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es
ortonormal.
Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt, sea B = {b1, b2, b3} una
base que no es ortonormal. Los vectores:
c1 = b1
c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)
c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)
Descripción: Dos vectores u,v∈R n, no nulos, decimos que
son ortogonales cuando son vectores perpendiculares, es decir, forman
un ángulo recto (90º). Que dos vectores u,v∈R n son ortogonales se representa
por u⊥v, es decir: u⊥v⟹α=90º⟹cosα=0
Descriptores: Espacio euclídeo y Álgebra.
Ejemplo: Comprobar que los vectores u=(1,2)∈R 2v=(−2,1)∈R 2 son ortogonales.
Calculamos el producto escalar de los dos Vectores: u⋅v=(1,2)⋅(−2,1)=−2+2=0,
como los vectores son no nulos, el coseno del ángulo que forman es cero, cosα=0,
es decir, el ángulo que forman los dos vectores es: α=90º
En matemáticas, el término ortogonalidad es una generalización de la noción
geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término
ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de
dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad
generaliza al de perpendicularidad.
Vectores ortogonales
Ejemplo
Propiedades de la adición de vectores:
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee
unas características que son:
Origen: o también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el
que actúa el vector.
Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el
origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector,
debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener
muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un
origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la
posición de un punto cualquiera con exactitud, el sistema de referencia que
usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Ejercicios: calcular el valor de K para que los vectores
= (-4, m) sean ortogonales.
= (1, m) y
= 0 -4 + m 2 = 0; m = ± 2
·
Si {
,
} forma una base ortonormal, calcular:
1
·
= 1 · 1 · cos 0° = 1
2
·
= 1 · 1 · cos 90° = 0
3
·
= 1 · 1 · cos 90° = 0
4
·
= 1 · 1 · cos 0° = 1
Suponiendo que respecto de la base ortonormal {
plano los vectores
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k sabiendo que
.
,
} del
Suponiendo que respecto de la base ortonormal {
plano los vectores
,
} del
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean
ortogonales.
Si son proporcionales, (el cociente de sus componentes es igual), son paralelos
Si su producto escalar es nulo, son ortogonales.
a) 6/3 = 2 - 10/5 = -2
NO son paralelos
(3.5) * (6,-10) = 3*6 + 5*(-10) = 18 - 50 = -32
No son perpendiculares.
Dos vectores en R2 son ortogonales si el producto punto o interior, o producto
escalar es cero.
Ejemplos: los vectores <-3,2> y <8,12> este par de vectores son ortogonales
porque su producto interior es cero recordemos que el producto de dos vectores a
y b por ejemplo se define como a.b= ab Cos(ángulo que forman), y si son
ortogonales el ángulo es 90 grados y por lo tanto el coseno de 90 es cero
así a.b= ab Cos(90)=0= son ortogonales para los vectores <-3,2> y <8,12>
el producto punto es <-3,2>.<8,12>= (-3)(8)+(2)(12)=-24+24=0
Otros vectores son: <1,-1> y <-1,1> <4,-3> y <6,8> <2,0> y <0,123>, hay una
infinidad también hay vectores ortogonales en R3
Ejemplo 1. Comprobar que los vectores a = {1; 2; 0} y b = {2; -1; 10} son
ortogonales.
Solución: Calculamos el producto escalar de estos vectores a · b = 1 · 2 + 2 · (-1)
+ 0 · 10 = 2 - 2 + 0 = 0
Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los
vectores a y b son ortogonales.
Ejemplo 2. Comprobar que los vectores a = {1; 2} y b = {2; -1} son ortogonales.
Solución: Calculamos el producto escalar de estos vectores a · b = 1 · 2 + 2 · (-1)
=2 2=0
Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los
vectores a y b son ortogonales.
Ejemplo 3. Calcular el valor del número (parámetro) n con el cual a = {2;
y b = {n;1} serán ortogonales.
Solución: Calculamos el producto escalar de estos vectores a · b = 2 ·n + 4 · 1 =
2n + 4+= 0
2n = -4n = -2
Resultado: n = -2.
Bibliografía
www.wikipedia.com
www.monografías.com
www.rincondelvago.com
www.es.onlinemschool.com
