4 , vuvu vu +

Álgebra y Geometría Analítica
FRM UTN
Año 2009
TRABAJO PRÁCTICO N° 6
ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR
3
Ejercicio 1: Probar que el producto escalar de vectores en IR es un
producto interior.
Ejercicio 2: a) Demostrar que el espacio vectorial V = IR 2 es un espacio con
producto interior para el producto definido del siguiente
modo: ⟨u, v⟩ = 4u1v1 + u 2 v2 .
3
b) Sean u =   y
− 1
Calcule: ⟨u, v⟩ ;
5
v= .
 4
u ;
d (u , v)
Ejercicio 3: a) Sea A de nxn una matriz simétrica y definida positiva. Sean
u y v vectores de IR n . Demuestre que ⟨u , v⟩ = u T ⋅ A ⋅ v define un producto
interior.
 4 − 2
2
 3
b) Sea A = 
, y sean u =   y v =   .

− 2 7 
− 1
 4
Calcule: ⟨u, v⟩ ;
u ;
d (u , v)
Ejercicio 4: Determine en cada caso cuál de los cuatro axiomas de producto
interno no se cumple. Proporcione un ejemplo específico en cada caso.
u 
v 
i. Sean u =  1  y v =  1 
en IR 2
u
v
 2
 2
a) ⟨u, v⟩ = u1 ⋅ v1
b) ⟨u, v⟩ = u1 ⋅ v1 − u 2 ⋅ v2
c) ⟨u, v⟩ = u1 ⋅ v2 + u2 ⋅ v1
2
ii. En IR ,
⟨ A, B⟩ = det( A ⋅ B )
Ejercicio 5: Encontrar el subespacio de IR 3 que describa a todos los
vectores ortogonales al vector (-1,3,2), considerando el producto interior
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euclideano. Verifique que estos son los puntos de una recta que pasa por el
origen.
Ejercicio 6: Considere el cuadrilátero cuyos vértices son A=(1,-2,2),
B=((1,4,0), C=(-4,1,1), D= (-5,-5,3). Demuestre que las diagonales AC y BD
son ortogonales.
Ejercicio 7: Suponga que u, v y w son son vectores de un espacio con
producto interno tales que ⟨u , v⟩ = 1 ;
⟨u , w⟩ = 5;
⟨ v, w⟩ = 0 ;
u = 1;
v = 3;
w =2
Evalúe las siguientes expresiones:
a. ⟨u + w, v − w⟩
b.
u+v
c.
2u − 3v + w
Ejercicio 8: Verifique la desigualdad de Schwarz y la propiedad triangular
entre los vectores (-3,2) y (2,1),
2
a) con el producto interior euclideano definido en IR
b) con el producto interior definido por
⟨u, v⟩ = u1 ⋅ v1 + 2u2 ⋅ v2
Ejercicio 9: Sea el espacio vectorial V, con producto interior euclideano ,
determinar cuáles de los siguientes conjuntos son ortonormales
2
a) V= IR
i) A = {(1,1), (0,0)}
ii) B = {(−1,0), (0,−1)}
3
b) V= IR
1 1 

i) A = (1,0,0), (0,1,0), (0,
,
)
2 2 

1 1
1
1
,
,0 ) y v = (
,−
,0) ,
2 2
2
2
completar con un tercer vector para obtener una base ortonormal de IR 3 .
Ejercicio 10: Dados los vectores u = (
18
Ejercicio 11: Determinar si las siguientes proposiciones son falsas o
verdaderas y justificar la respuesta.
3
a) Sea A = {( −1,1,0), (0,0,−1)} es un conjunto ortogonal de IR .
Sea A = {(1,1,0), (0,0,−1)} es una base ortonormal de IR 3 .
1
3
c) Sea IR con producto interior euclideano, para k =
2
los vectores u = (2, 1, 3) y v = (1, 7, k) son ortogonales.
 4 3
d) El vector v =  ,  es un versor o vector unitario.
 5 5
e) Para todo vector v de V, k de IR , kv = k ⋅ v .
b)
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