Respuesta

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN – UNIDAD 3
1- A continuación se enuncian 8 proposiciones. Escriba V (verdadero) o F (falso)
según corresponda.
F
Todo producto interior definido en un espacio vectorial es una ley de composición
interna.
V
El producto interior de vectores en un espacio euclídeo es conmutativo.
V
Dos vectores no nulos son ortogonales si su producto interior es cero.
F
El producto interior de un vector por sí mismo puede ser menor que cero.
V
El producto interior de dos vectores cualesquiera puede ser menor que cero.
F
La norma de la suma de dos vectores es igual a la suma de sus normas.
F
Un conjunto A de vectores es ortonormal si y solo si para cada par de vectores
distintos de A se verifica que son ortogonales.
F
Un conjunto de vectores no nulos de un espacio vectorial con producto interno es
linealmente independiente si es ortogonal.
2- Sean u = (2, 2m, 0), v = ( m, 2 + m, −3) . Determine m tal que:
a)
b)
u y v sean paralelos
u y v sean ortogonales
Respuesta:
a) No existe ningún valor de m tal que u // m ,es decir tal que u = cm cualquiera sea c ∈ R − {0}
b) Para m1 = 0 y m2 = −6
3- Pruebe que:
u ⊥ v ⇔ u +v = u −v
Respuesta:
u ⊥ v ⇒ u +v = u −v
Por hipótesis u ⊥ v , esto implica que u iv = 0 .
Por otra parte:
u + v = (u + v)i(u + v) = u iu + u iv + v ⋅ u + viv =
= u + 2 u
iv + v = u + v
2
2
2
(a)
2
0
u − v = (u − v)i(u − v) = u iu − u iv − viu + viv =
Y
= u − 2 u
iv + v = u + v
2
2
2
2
(b)
0
Como los segundos miembros de (a) y (b) son iguales, se puede decir que los primeros
miembros también lo son, luego: u + v = u − v
u +v = u −v ⇒u ⊥ v
Se tiene que:
u +v = u −v
⇓
(u + v)i(u + v) = (u − v)i(u − v)
⇓
u iu + u iv + v ⋅ u + viv = u iu − u iv − u iv + viv
⇓
u
2
+ 2u iv + v
2
= u
2
− 2u iv + v
2
⇓
2u iv = −2u iv
⇓
2u iv + 2u iv = 0
⇓
4u iv = 0
⇓
u iv = 0
lo que implica que los vectores u y v son ortogonales.
4- Sean los vectores u, v y w Determine u sabiendo que:
1
π
´
u ⊥ (v + 3w), v = , u i w = 2 y la medida del angulo
entre u y v es 2
3
3
Respuesta:
u ⊥ (v + 3w) ⇒ u i(v + 3w) = 0 ⇒ u iv + 3 u
i w = 0 ⇒ u iv + 6 = 0 ⇒ u iv = −6
2
Por otra parte:
cos 2
π
=
3
u iv
u ⋅ v
⇓
−6
1
=
2 u ⋅1
3
⇓
−6 ⋅ (−2)
u =
1
3
⇓
−
u = 36
5- Sea V = R2x2. Halle una base ortonormal del subespacio:
a b 

/ d = −a ∧ b = a + c 


c d 

Respuesta:
El primer paso es obtener una base del subespacio dado, mediante el método ya
estudiado en la unidad 2. Esta base puede ser:
 1 1   0 1  
B = 
,

 0 −1 1 0  
Aplicando el proceso de Gram-Schmidt se obtiene la base ortogonal

 1 1 
 1 1   −

, 3 3
B’ =  

 0 −1  0 0  


normalizando los vectores, se obtiene la base ortonormal:
 1

 3
B’’ =  
 0
 
1 
 1
3  −
,
2
1  
−
 0
3 

1 

2 

0  
