Formulario Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden M. Variables Separables M. Reducción a Variables Separables Forma Forma dy = f(Ax + By + C) dx M x, y dx + N x, y dy = 0 Se despeja mediante factorizaciones y se integra con sus respectivos diferenciales: න g x dx = න h y dy Sustitución dy 1 du = −A dx B dx Resolver por variables separables u = Ax + By + C, → M. Ecuaciones que pueden ser exactas M. Exactas Forma M x, y dx + N x, y dy = 0 Forma Comprobación M x, y dx + N x, y dy = 0 𝜕M 𝜕N = 𝜕y 𝜕x Comprobación ← Si cumple la igualdad, es exacta. Resolver dφ = M x, y dx dφ = N x, y dy La solución es la función φ x, y = 0 𝜕M 𝜕N = 𝜕x 𝜕y Comprobación f tx, ty = t n f(x, y) ← Si no cumple. Sustitución Usar factor integrador My −Nx dx N μ x = e Nx −My dy M ó μ y = e Ecuación exacta Resolver por EDO’s exactas y ′ x + P x y = f(x) μ x = e P x dx Solución General y x =μ x −1 M. Bernoulli Forma Forma Estándar න μ x ∙ f x dx Forma M x, y dx + N x, y dy = 0 μ ∙ M x, y dx + μ ∙ N x, y dy = 0 M. Solución General M. Homogéneas dy + P x y = f x ∙ yn dx Sustitución 1 dy y n du = ∙ dx 1 − n dx 2 u = y1−n Resolver por solución general x = uy, dx = udy + ydu y = vx, dy = vdx + xdv Solución variables separables Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (Aplicación) Circuito en serie RC Crecimiento Poblacional Forma Forma dP = kP(t) dt Solución P t = P0 ekt R C = Capacitancia dq 1 + q=E t dt C Población inicial Solución P 0 = P0 q t = Decaimiento Radiactivo Forma L = Inductancia di L + Ri = E t dt t m = Vida Media E(t) = Fem R 1 R i t = e− L t න e L t E t dt L Ley de Enfriamiento de Newton Degradación de compuestos Forma dT = k T t − Tm dt R = Resistencia Solución 1 A t m = A0 2 A t = A0 ekt 1 1 −1t e RC න eRCt E t dt R Forma A 0 = A0 Solución E(t) = Fem Circuito en serie LR Población inicial dA = kA(t) dt Forma Tm = Temperatura Ambiente T0 = Temperatura Inicial C 0 = C0 Solución T t = T0 − Tm ekt + Tm C t = C0 e−kt Caída libre con resistencia del aire Mezclas Forma Forma dv = mg − kv dt 𝑣0 = Velocidad inicial dM = Mሶ entrada − Mሶ salida dt 𝑦0 = Posición Inicial Solución Flujo másico mg mg − k t v t = + v0 − e m k k y t = y0 + a t = Concentración inicial dC = kC(t) dt Solución m R = Resistencia mg m mg t+ v − k k 0 k m2 g mv0 − k t − e m k2 k Mሶ = C ∙ vሶ k 1 − e−mt Flujo volumétrico vሶ = V 𝑡 Concentración C= M V Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden Homogéneas con Coeficientes Constantes Forma Estándar Ecuación de Cauchy-Euler (Homogénea) ax 2 ay ′′ x + by ′ x + cy x = 0 Ecuación de auxiliar Ecuación Auxiliar am2 + b − a m + c = 0 am2 + bm + c = 0 Caso 1: Raíces reales y distintas Caso 1: Raíces reales y distintas yc = c1 x m1 + c2 x m2 y x = c1 em1x + c2 em2x Caso 2: Raíces reales y repetidas yc = c1 x m + c2 x m Ln(x) Caso 2: Raíces reales y repetidas y x = c1 emx + c2 xemx Caso 3: Raíces complejas Caso 3: Raíces complejas y x =e αx yc = x α c1 Cos βLn x + c2 Sen βLn x c1 Cos(βx + c2 Sen(βx)) Superposición Variación de parámetros Se obtiene la solución complementaria yc y =c y x +c y x u1 = − න d2 y dy + bx + cy = 0 2 dx dx c 1 1 W= y1 x y1′ x y2 x f x dx W(x) 2 2 y2 x y2′ x u2 = න y1 x f x dx W(x) yp = u1 x y1 x + u2 x y2 x 𝐠(𝐱) Forma de 𝐲𝐩 1 5x + 7 3x 2 − 2 3 x −x+1 Sen 4x Cos 4x e5x 9x − 2 e5x x 2 e5x e3x Sen 4x 5x 2 Sen 4x xe3x Cos 4x A Ax + B Ax 2 + Bx + C 3 Ax + Bx 2 + Cx + E ACos 4x + BSen 4x ACos 4x + BSen 4x Ae5x Ax + B e5x 2 Ax + Bx + C e5x Ae3x Cos 4x + Be3x Sen 4x Ax 2 + Bx + C Cos 4x + Ex 2 + Fx + G Sen 4x Ax + B e3x Cos 4x + Cx + D e3x Sen 4x Coeficientes Indeterminados: Método Anulador Segunda Solución Operador → f(x) y2 x = y1 (x) න Dn → 1, x 2 , … , x n−1 D−α n → eαx , xeαx , x 2 eαx , … , x n−1 eαx D2 − 2αD + α2 + β2 n → eαx Cos βx , xeαx Cos βx , x 2 eαx Cos βx , … , x n−1 eαx Cos βx D2 − 2αD + α2 + β2 n → eαx Sen βx , xeαx Sen βx , x 2 eαx Sen βx , … , x n−1 eαx Sen βx Despejar D, mediante la ecuación auxiliar y obtener las constantes de yp por sustitución. e− P x y12 x dx dx La transformada de Laplace Propiedades básicas Definición: Transformada de la derivada ∞ L fn t = න e−st f t dt Lf t 0 Lf t = s n F s − s n−1 f 0 − s n−2 f ′ 0 − ⋯ − f n−1 t Transformada de la integral =F s t L න f t dt = 0 Propiedades básicas L f t +g t =L f t L af t + bg t +L g t = aL f t L eatf t n L−1 = −1 n F n s F s sn = e−as F s L f t−a U t−a Teorema de Convolución t División por s 1 s = F a a =F s−a Segundo teorema de Traslación L tn f t Cambio de escala L f at F s s Multiplicación por t + bL g t Primer teorema de Traslación L−1 F s G s t = න f u g t − u du t = න … න f t dt 0 0 0 n −1 L F s =f t L−1 G s =g t Fracciones parciales Caso 1: Factores lineales distintos Caso 3: Factores cuadráticos distintos A1 A2 An + + ⋯+ x + a1 x + a 2 x + an A1 x + B1 A 2 x + B2 A n x + Bn + + ⋯+ 2 2 a1 x + b1 x + c1 a 2 x + b2 x + c2 a n x 2 + bn x + cn Caso 2: Factores lineales repetidos A1 A2 + x + a1 x + a1 An + ⋯+ 2 x + a1 Caso 4: Factores cuadráticos repetidos A1 x + B1 A 2 x + B2 + a1 x 2 + b1 x + c1 a1 x 2 + b1 x + c1 n 2 +⋯+ An x + Bn a1 x 2 + b1 x + c1 Tablas de la transformada de Laplace Transformada de 𝐟 𝐭 → 𝐅 𝐬 𝐟 𝐭 𝐅 𝐬 1 → tn → eat → t n eat → 1 s n! s n+1 1 s−a n! s − a n+1 𝐟 𝐭 𝐅 𝐬 sin at → cos at → sinh at → cosh at → a + a2 s s 2 + a2 a 2 s − a2 s s 2 − a2 s2 𝐟 𝐭 𝐅 𝐬 ebt sin at → ebt cos at → ebt sinh at → ebt cosh at → a s − b 2 + a2 s−b s − b 2 + a2 a s − b 2 − a2 s−b s − b 2 − a2 𝑛
