Algebra Unidad 4: Vectores 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ¿Como seria el módulo a partir de las coordenadas de los puntos de un vector? ¿Qué es las coordenadas de un vector? ¿Que son los vectores equipolentes? ¿Que son los vectores fijos? ¿Qué son los vectores libres? ¿Que son los vectores ligados? ¿Qué son los vectores opuestos? ¿Qué son los vectores unitarios? ¿Que son los vectores concurrentes? ¿Qué es un vector de posición? ¿Que son los vectores linealmente independiente y linealmente dependientes? ¿Que son los vectores ortogonales y los vectores ortonormales? 1. Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. 1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes Ejemplo: 2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos Ejemplo: 2. COORDENADAS DE UN VECTOR En el plano, los vectores (al igual que los puntos) vienen definidos por dos números reales (vx;vy); vx representa su desplazamiento en horizontal (1ª coordenada) y vy su desplazamiento en vertical (2ª coordenada) [los desplazamientos hacia izquierda y hacia abajo son negativos]. Estas coordenadas son independientes de los puntos de origen y final. Por ejemplo: Si el vector v tiene por coordenadas (-4,2) unirá un punto P(px,py) con otro Q(qx,qy) de forma que qx=px-4 y qy=py+2 3. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. Si y son vectores equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. 4. Un vector fijo es un segmento orientado entre dos puntos llamados origen y extremo. Los vectores se representan con letras minúsculas con una flechita encima o mediante dos letras mayúsculas que representan los puntos origen y extremo. 5. VECTOR LIBRE: Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos módulo, dirección y sentido. 6. VECTORES LIGADOS Son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta. Así, esta clase de vectores tendrán la igual dirección, módulo, sentido y además formarán parte de la misma recta. Llamamos vector fijo a todo segmento, parte o trozo de una recta que está orientado y lo representamos por . Los vectores fijos han de tener: - Origen y extremo del segmento. - Dirección que es la línea sobre la que se asienta el vector. - Sentido si se dirige hacia la izquierda o derecha, arriba o abajo (sólo hay dos sentidos para un vector). - Módulo es el tamaño del segmento. 7. Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido. 8. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo. AB mide 3, por lo que: Y su módulo: 9. Los vectores concurrentes son los grupos de vectores cuyos ejes coinciden en un punto, formándose entre cada par de ellos un ángulo interno y otro externo. Un ejemplo claro se observa en la figura inferior, donde A, B y C son vectores concurrentes entre sí. 10. Un vector posición es un vector que representa la posición de un punto en el espacio con respecto a un origen; también representa la distancia que separa dichos puntos. El vector posición OP une el origen de coordenadas (0, 0) con un punto P del espacio. 11. Vectores linealmente dependientes Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Propiedades 1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y componentes son proporcionales. = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus Vectores linealmente independientes Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. a1 = a2 = ··· = an = 0 Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Ejemplo: Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.: = (3, 1) y = (2, 3) 12. Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. Ejemplo Vectores ortonormales Dos vectores son ortonormales si: 1. Su producto escalar es cero. 2. Los dos vectores son unitarios.