Algebra

Algebra
Unidad 4: Vectores
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¿Como seria el módulo a partir de las coordenadas de los puntos de un vector?
¿Qué es las coordenadas de un vector?
¿Que son los vectores equipolentes?
¿Que son los vectores fijos?
¿Qué son los vectores libres?
¿Que son los vectores ligados?
¿Qué son los vectores opuestos?
¿Qué son los vectores unitarios?
¿Que son los vectores concurrentes?
¿Qué es un vector de posición?
¿Que son los vectores linealmente independiente y linealmente dependientes?
¿Que son los vectores ortogonales y los vectores ortonormales?
1. Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.
1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Ejemplo:
2. COORDENADAS DE UN VECTOR
En el plano, los vectores (al igual que los puntos) vienen definidos por dos números
reales (vx;vy); vx representa su desplazamiento en horizontal (1ª coordenada) y vy su
desplazamiento en vertical (2ª coordenada) [los desplazamientos hacia izquierda y
hacia abajo son negativos]. Estas coordenadas son independientes de los puntos de
origen y final.
Por ejemplo: Si el vector v tiene por coordenadas (-4,2) unirá un punto P(px,py) con
otro Q(qx,qy) de forma que qx=px-4 y qy=py+2
3. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
Si
y
son vectores equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
4. Un vector fijo es un segmento orientado entre dos puntos llamados origen y extremo.
Los vectores se representan con letras minúsculas con una flechita encima o mediante
dos letras mayúsculas que representan los puntos origen y extremo.
5. VECTOR LIBRE: Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos
módulo, dirección y sentido.
6. VECTORES LIGADOS
Son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta. Así, esta
clase de vectores tendrán la igual dirección, módulo, sentido y además formarán parte
de la misma recta.
Llamamos vector fijo a todo segmento, parte o trozo de una recta que está orientado y
lo representamos por .
Los vectores fijos han de tener:
- Origen y extremo del segmento.
- Dirección que es la línea sobre la que se asienta el vector.
- Sentido si se dirige hacia la izquierda o derecha, arriba o abajo
(sólo hay dos sentidos para un vector).
- Módulo es el tamaño del segmento.
7.
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y
distinto sentido.
8. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a
partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.
AB mide 3, por lo que:
Y su módulo:
9. Los vectores concurrentes son los grupos de vectores cuyos ejes coinciden en un
punto, formándose entre cada par de ellos un ángulo interno y otro externo. Un
ejemplo claro se observa en la figura inferior, donde A, B y C
son vectores concurrentes entre sí.
10. Un vector posición es un vector que representa la posición de un punto en el espacio
con respecto a un origen; también representa la distancia que separa dichos puntos. El
vector posición OP une el origen de coordenadas (0, 0) con un punto P del espacio.
11.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una
combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes
de la combinación lineal.
Propiedades
1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos
los vectores son linealmente dependientes.
2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y
componentes son proporcionales.
= (v1, v2) son linealmente dependientes si sus
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser
escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y
sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo:
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:
= (3, 1) y
= (2, 3)
12.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
Ejemplo
Vectores ortonormales
Dos vectores son ortonormales si:
1.
Su producto escalar es cero.
2.
Los dos vectores son unitarios.