Solucionario - Granville Pág. 236 - 269

Solucionario de Calculo Integral
SOLUCIONARIO DE
CALCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL - GRANVILLE
AUTORES:
*GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHÓN
*MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA
Este Solucionario de problemas resueltos,
del texto de:Cálculo Diferencial e Integral de
Granville , es una elaboración realizada con
lujo de detalles, de tal manera que cada
problema por más complejo que parezca,
pueda ser comprendido y analizado por el
estudiante.El autor espera las sugerencias
respectivas, que sabra receptarlas y
compaginarlas en una proxima edición.
Esta obra no puede ser reproducida o
transmitida,mediante ningún sistema
o
método, electrónico o mecánico(incluyendo
el fotocopiado,la grabación o cualquier
sistema de recuperación y almacenamiento
de
información,sin
previo
aviso
u
consentimiento de los autores.
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
1
Solucionario de Calculo Integral
Problemas. Pagina 236
Verificar las siguientes Integraciones:
1.
∫ x 4 dx = x 5 + c
v =x
dv = dx
n =4
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
∫ x 4 dx = x 4 + 1
4+1
2.
∫ dx
x2
=
x5 + c .
5
=
∫ x -2.dx
v =x
dv= dx
n = -2
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
∫ x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c .
-2+1 -1
x
3.
∫ x2/3 dx
x2/3+1 = x5/3 = 3 x5/3 + c .
2/3 + 1 5/3
5
4.
∫ dx
√x
∫ x -1/2.dx = x -1/2 + 1 = x 1/2
- 1/2 +1 1/2
=
2x1/2 = 2√x + c .
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2
Solucionario de Calculo Integral
5.
6.
∫ dx
3
x
=
∫ dx
x 1/3
=
∫ x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c .
-1/3+1 2/3
2
∫ 3ay2 dy
3a ∫ y2 dy = = 3a y2+1
2+1
7.
3 ay3 = ay3 + c .
3
.
∫ 2 dt
t2
2∫ t -2. dt = 2 t -2+1
-2+1
8.
=
=
2t -1
-1
=
- 2.t -1 = - 2 + c .
t
∫ √ax . dx
∫ (ax)1/2. dx
v = ax
dv = a.dx
n = 1/2 .
1 ∫ (ax)1/2. a .dx = 1 (ax)1/2+1
a
a 1/2+1
Falta (a) para completar,
el diferencial.
=
(ax)3/2 = 2(ax)3/2
3/2(a)
3a
=
2(ax)2/2(ax)1/2 = 2. a .x (ax)1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x √ax + c .
3a
3 a
3
3
9.
∫ dx
√2x
∫
=
dx = ∫ (2x)-1/2 =
(2x)1/2
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3
Solucionario de Calculo Integral
v = 2x
dv = 2 dx
n = -1/2
Falta (2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 . ∫ (2x)-1/2.2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 =
2
2 -1/2+1 2(1/2) 2/2
1
(2x)1/2 + c .
10.
∫ 3 3t .dt
∫ (3t)1/3 dt .
v = 3t
dv = 3 dt
n = 1/3
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 ∫ (3t)1/3.3dt = 1 (3t)1/3+1
3
3 1/3 + 1
11.
=
(3t)4/3 = (3t)4/3 + c .
3(4/3)
4
∫ (x3/2 - 2x2/3 + 5 √x - 3) dx .
∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ √x dx - ∫ dx
∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ (x)1/2 dx - ∫ dx
x3/2+1 - 2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 - x + c .
3/2+1 2/3+1
1/2+1
x5/2 - 2 x5/3 + 5 (x)3/2 - x + c .
5/2 5/3
3/2
2x5/2 - 6x5/3 + 10(x)3/2 - x + c .
5
5
3
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Solucionario de Calculo Integral
12.
∫ 4x2 - 2√x dx
x
∫
4x2 - 2√x dx = ∫
x
x
4x - 2x1/2 dx =
x2/2
∫ (4x - 2x 1/2.x -2/2) dx = ∫ (4x - 2x-1/2) dx .
∫ 4x dx - ∫ 2x -1/2 dx = 4∫ x dx - 2∫ x -1/2 dx .
4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x2 - 2 . x1/2
1+1
-1/2+1
2
1/2
=
2x2 - 4x1/2
=
2x2 - 4 √x + c .
13.
∫ ( x2 - 2 ) dx .
2 x2
∫ x2 dx - ∫ 2 dx = 1 ∫ x2 dx - 2 ∫ x -2 dx =
2
x2
2
1 x2+1 - 2 x -2+1
2 2+1
-2+1
14.
=
x3 - 2.x -1
2(3)
-1
=
x3 + 2 + c .
6
x
∫ √x(3x - 2) dx
∫ (3x. √x - 2. √x) dx = ∫ (3x.x1/2 - 2x1/2) dx = ∫ (3x 3/2 - 2x1/2) dx .
∫ 3x3/2 dx - ∫ 2x1/2 dx = 3∫ x3/2 dx - 2∫ x1/2 dx =
3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 =
3/2+1
1/2+1
3/2+1
1/2+1
5/2
3/2
5/2
3/2
3x - 2x = 6x - 4x + c .
5/2
3/2
5
3
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Solucionario de Calculo Integral
15.
∫ x3 - 6x + 5 dx = x3 - 6x + 5 ln x + c .
x
3
∫
.
x3 - 6x + 5 dx = ∫ x2 - 6 + 5 dx = ∫ x2 dx - 6 ∫ dx + 5 ∫ dx
x
x
x
x
x2+1 - 6(x) + 5(ln x)
2+1
16.
=
x
x3 - 6x + 5 ln x + c .
3
∫ √a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c .
3b
∫ (a + bx)1/2 dx .
v = (a + bx)
dv = b dx
n = 1/2
Falta (b) para completar el diferencial.
∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 . ∫ (a + bx)1/2.bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2
b
b
1/2+1
b(3/2)
=
(a + bx)3/2 =
3b .
2
2(a + bx)3/2 + c .
3b
17.
∫
dy
√a - by
∫
dy
(a - by)1/2
v = (a - by)
dv = - b dy
n = - 1/2
.
=
∫ (a - by)-1/2 dy =
Falta (-b) para completar el diferencial.
∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
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Solucionario de Calculo Integral
- 1 ∫ (a - by)-1/2.( - b) dy
b
- 1 (a - by)-1/2+1 = - (a - by)1/2 = - (a - by)1/2 = -2 (a - by)1/2 + c.
b
-1/2+1
b(1/2)
b/2
b
18.
∫ (a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c .
3
v = (a + bt)
dv = b dt
n =2
Falta (b), para completar el diferencial, se aplica:
∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 ∫ (a + bt)2.b dt
b
19.
=
(a + bt)2+1
b(2+1)
=
(a + bt)3 + c .
3b
∫ x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 .
6
∫ (2 + x2)2. x dx
v = (2 + x2) Falta (2), se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c .
dv = 2x dx 1 ∫ (2 + x2)2. 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + c
n =2
2
2
2+1
2(3)
6
20.
∫ y (a - by2) dy = - (a - by2)2 + c .
4b
∫ (a - by2) . y dy .
v = (a - by2) Falta (-2b),para completar el diferencial.
dv = -2by dy Se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c .
n =1
∫ (a - by2) . y dy = -1
(a - by2)1+1
=
- (a - by)2 = - (a - by2) + c.
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Solucionario de Calculo Integral
21.
2b
1+1
2
∫ t √2t + 3 dt = (2t + 3)3/2 + c .
6
∫ (2t2 + 3)1/2. t dt
2b(2)
4b
2
v = (2t2 + 3)
dv = 4t dt .
n = 1/2
Falta (4) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 ∫ (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 =
4
4
1/2+1
4(3/2)
12/2
(2t2+3)1/2 + c .
6
22.
∫ x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c .
3
2
Primero solucionamos el producto notable:
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 .
∫ x (4x2 + 4x + 1) = ∫ (4x3 + 4x2 + x) dx .
∫ 4x3 dx + ∫ 4x2 dx + ∫ x dx = 4∫ x3 dx + 4∫ x2 dx + ∫ x dx .
4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x3 + x2 =
3+1
2+1
1+1 4
3
2
x4 + 4x3 + x2 + c .
3
2
23.
∫ 4x2 dx
√x3 + 8
.
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8
Solucionario de Calculo Integral
∫ (x3 + 8)-1/2 . 4x2 dx
v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial.
dv = 3x2 dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = -1/2
n+1
El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv.
4 ∫ (x3 + 8)-1/2 . 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1
3
3
-1/2+1
=
4(x3 + 8)1/2
3(1/2)
=
4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x3 + 8)1/2 = 8√(x3 + 8) + c .
3/2
3
3
3
24.
∫
6z dz .
(5 - 3z2)2
∫ (5 - 3z2)-2.6z dz
v = (5 - 3z2)
dv = - 6z
n = -2
A la integral original para que se integre
solo le falta el signo negativo.
-∫ (5 - 3z2)-2. (-) 6z dz
-(5 - 3z2)-2+1 = -(5 - 3z2)-1 = (5 - 3z2)-1 =
1
+ c.
2
-2+1
-1
(5 - 3z )
25.
∫ (√a - √x)2 dx .
Solucionando el producto notable: (√a - √x)2 = a - 2√a.√x + x .
∫ {(√a)2 - 2√a .√x + (√x)2} dx = ∫ (a - 2√a .√x + x ) dx .
∫ a dx - ∫ 2√a .√x + ∫ x dx = a ∫ dx - 2√a ∫ √x dx + ∫ x dx .
a ∫ dx - 2a1/2 ∫ x1/2 dx + ∫ x dx = a. x - 2a1/2.x1/2+1 + x1+1 =
1/2+1
1+1
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Solucionario de Calculo Integral
ax - 2a1/2x3/2 + x2 = ax - 4 x2/2 a1/2 x1/2 + x2 =
3/2
2
3
2
ax - 4x√a .√x + x2 = ax - 4x√ax + x2 + c .
3
2
3
2
26.
∫ (√a - √x)2 dx
√x
v = (√a - √x)
dv = - 1 dx .
2√x
n =2
Falta (-1/2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
∫ (√a - √x)2. 1 .dx = - 2 ∫ (√a - √x)2 _ 1
√x
2√x
-2 (√a - √x)2+1
2+1
27.
∫
x
(
)
=
dx
-2(√a - √x)3 + c .
3
2
a − x .dx
∫ √x{(√a)2 - 2√a.√x + (√x)2} dx = ∫ √x(a - 2√a.√x + x) dx
∫ (a√x - 2√a.√x.√x + x.√x)dx = ∫ {ax1/2 - 2ª1/2.(√x)2 + x2/2.x1/2}dx
∫ {ax1/2 - 2a1/2 x + x3/2} dx = a ∫ x1/2 dx - 2a1/2 ∫ x dx + ∫ x3/2 dx =
a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x3/2 - 2a1/2.x2 + x5/2 =
1/2+1
1+1 3/2+1 3/2
2
5/2
2a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x5/2
3
5
28.
∫ t3 dt .
√a4 + t4
∫ (a4 + t4)-1/2.t3 dt .
=
2ax3/2 - x2√a + 2x5/2 + c .
3
5
v = (a4 + t4)
Falta (4)para completar el
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10
Solucionario de Calculo Integral
dv = 4t3 dt
n = -1/2
1 ∫ (a4 + t4)-1/2.(4)t3 dt = 1
4
4
(a4 + t4)1/2
4/2
29.
=
2(a4 + t4)1/2
4
=
diferencial, se aplica:
∫ vn dv = vn+1/n+1 + c .
(a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2
-1/2+1
4(1/2)
=
(a4 + t4)1/2 = √(a4 + t4) + c .
2
∫
dy .
(a + by)3
∫ (a + by)-3 dy
v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial.
dv = b dy
Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n =- 3
n+1
1 ∫ (a + by)-3.(b)dy
b
1 (a + by)-3+1
b
-3+1
30.
=
(a + by)-2 = (a + by)-2
b(-2)
-2b
=
-
1
+c.
2b(a + by)2
∫ x dx .
(a + bx2)3
∫ (a + bx2)-3.x dx
v = (a + bx2)
dv = 2bx.dx
Falta (2b) para completar el diferencial.
Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
2 -3
1 ∫ (a + bx ) .(2b)x dx
2b
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11
Solucionario de Calculo Integral
31.
1 (a + bx2)-3+1
2b - 3 + 1
∫
t2 dt .
(a + bt3)2
=
(a + bx2)-2 = _
(2b)( - 2)
1
+ c.
4b(a + bx2)2
∫ (a + bt3)2.t2 dt
v = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial.
dv = 3bt2 dt Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n =2
n+1
1 ∫ (a+bt3)-2.(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1
3b
3b(-2+1)
3b(-1)
=
(a+bt3)-1 = 1
+ c.
3
-3b
3b(a + bt )
32.
∫ z(a + bz3)2 dz .
Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 , obtenemos ,
∫ z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz
∫ (a2z + 2abz4 + b2z7) dz
a2 ∫ z dz + 2ab ∫ z4 dz + b2 ∫ z7 dz
a2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a2z2 + 2abz5 + b2z8 + c .
1+1
4+1
7+1
2
5
8
33.
∫ xn-1√a+bxn dx
∫ (a + bxn)1/2. xn-1 dx
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12
Solucionario de Calculo Integral
v = (a + bxn)
Falta (nb) para completar el diferencial.
n-1
dv = nbx dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = 1/2
n+1
n 1/2
n-1
1 ∫ (a + bx ) . (nb) x dx
nb
(a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bxn)3/2 + c .
1/2+1
3/2
3
34.
∫ (2x + 3) dx
√x2 + 3x
∫ (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx
v = (x2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = 2x + 3 Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = -1/2
n+1
∫ (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx
(x2 + 3x)-1/2+1 = (x2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 √x2 + 3x + c .
- 1/2 + 1
1/2
35.
∫ (x2 + 1) dx .
√x3 + 3x
∫ (x3 + 3x)-1/2. (x2 + 1) dx
v = (x3 + 3x)
Falta (3) para completar el
2
2
dv = 3x + 3 dx = 3(x + 1) dx diferencial.
n = -1/2
1 ∫ (x3 + 3x)-1/2.(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 =
3
3(-1/2+1)
3(1/2)
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13
Solucionario de Calculo Integral
36.
(x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2√ (x3 + 3x) + c .
3/2
3
3
∫ (2 + ln x) dx
x
∫ (2 + ln x). 1 dx
x
v = (2 + ln x)
dv = 1 dx
x
n =1
Falta 1/x para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
∫ (2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c .
x
1+1
2
37.
∫ sen2x cos x dx
∫ (senx)2 . cos x dx .
v = (senx)
El diferencial esta
dv = cos x dx completo,se procede
n =2
a integrar.
∫ (senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c .
2+1
3
38.
∫ sen ax cos ax dx
v = sen ax
dv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx
n =1
Falta (a) para completar el
diferencial.Se aplica:
∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1+1
1 ∫ (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax) = (sen ax)2 = sen2ax + c .
a
a(1+1)
2a
2a
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14
Solucionario de Calculo Integral
39.
∫ sen 2x cos22x dx
∫ (cos 2x)2. sen 2x dx
v = (cos2x)
Falta (-2) para completar el diferencial
dv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c .
n =2
n+1
- 1 ∫ (cos2x)2.(-2)sen 2x dx
2
=
- (cos2x)2+1 = - (cos2x)3 =
2(2+1)
2(3)
- cos32x + c .
6
40.
∫ tg x sec2 x dx
2
2
v = tg x/2
dv = 1 sec 2 x
2
2
n =1
falta (1/2) para completar el diferencial.
.
2∫ tg x 1 . sec2 x dx
2 2
2
tg 2 x
2
41.
∫
=
=
2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2
2
2
=
1+1
2
=
[tg 2 x ] + c .
2
cos ax dx .
√b + sen ax
∫ (b + sen ax)-1/2 . cos ax dx .
v = (b + sen ax)
Falta (a) para completar el
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15
Solucionario de Calculo Integral
dv = cos ax.a dx = a cos ax dx
n = - 1/2
diferencial: Se aplica:
∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 ∫ (b + sen ax)-1/2 .(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 =
a
a(-1/2+1)
(b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)1/2 = 2(b + sen ax)1/2 =
a(1/2)
a/2
a
2√b + sen ax + c .
a
42.
∫
∫
sec x
1 + tg x
2
dx
sec2x dx
(1 + tg2x)
∫ (1 + tg x)-2. Sec2x dx .
v = (1 + tg x)
dv = sec2x dx
n = -2
El diferencial esta completo, se procede a
integrar.
(1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 = _
-2+1
-1
43.
∫
1
+ c.
(1 + tg x)
dx .
2 + 3x
v = 2 + 3x
dv = 3 dx
1 ∫ (3) dx
3 2 + 3x
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ dv = ln v + c .
v
=
1 ln (2 + 3x) + c .
3
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16
Solucionario de Calculo Integral
44.
∫
x2 dx .
2 + x3
v = 2 + x3
Falta (3) para completar el diferencial.
2
dv = 3x dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c .
v
1 ∫ (3) x2 dx = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c .
3
2 + x3
3
3
45.
∫
t dt .
a + bt2
v = a + bt2 Falta (2b) para completar el diferencial.
dv = 2bt
Se aplica : ∫ dv = ln v + c .
v
1 ∫ (2b) t dt = 1 . ln(a + bt2)
2b (a + bt2) 2b
46.
=
ln(a + bt2) + c .
2b
∫ (2x + 3) dx
x2 + 3x
v = x2 + x
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = (2x + 3)
∫ (2x + 3) dx
x2 + 3x
47.
=
ln (x2 + 3x) + c .
∫ (y + 2) dy
y2 + 4y
v = y2 + 4y
dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy
Falta (2) para completar el
diferencial .Se aplica:
∫ dv = ln v + c .
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17
Solucionario de Calculo Integral
v
48.
1 ∫ (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c .
2 (y2 + 4y)
2
2
θ
∫ e dθ .
θ
a + be
θ
v = a + be
θ
dv = be dθ
Falta (b) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .
θ
1 ∫ e (b) dθ .
θ
b a + be
θ
ln (a + be ) + c
b
49.
∫ sen x dx .
1 - cos x
v = 1 - cos x
El diferencial esta completo.
dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar.
⇒ ln (1 - cos x) + c .
50.
∫ sec2y dy .
a + btg y
v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial
dv = b sec2y dy
1 ∫ (b) sec2y dy
b a + btg y
51.
=
1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c .
b
b
∫ ( 2x + 3) dx
x+2
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18
Solucionario de Calculo Integral
Efectuamos la división: 2x + 3 x + 2
-2x - 4 2
-1
El resultado es:
2 + - 1 = 2 - 1 . Sustituyendo en la integral .
x+2
x+2
∫ [ 2 - 1 ] dx
x+2
52.
=
2 ∫ dx - ∫ dx
x+2
=
2x - ln(x + 2) + c
.
∫ x2 + 2 dx
x+1
Efectuamos la división: x2
+2 x+1
- x2 - x
x-1
-x
+x+2
+2
El resultado es:
(x - 1) + 3 . Sustituyendo en la Integral.
x+1
∫ [x-1 +
3 ]
x+1
dx
∫ x dx - ∫ dx + 3 ∫ dx .
x+1
x1+1 - x + 3 ln (x + 1)
1+1
=
x2 - x + 3 ln (x + 1) + c .
2
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19
Solucionario de Calculo Integral
53.
∫ (x + 4) dx
2x + 3
Efectuamos la división: x + 4 2x + 3
- x - 3/2 1/2
.
- x + 5/2
.
5
.
El resultado es: 1 + 2 . Sustituyendo en la Integral.
2 2x + 3
∫
1 + 5/2 dx
2 2x + 3
∫ 1 dx + 5 . 1 ∫ (2)dx . v = 2x + 3
2
2 2 2x + 3
dv = 2 dx
1 ∫ dx + 5 ∫ (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3)
2
4 2x + 3 2
4
=
x + 5 ln (2x + 3) + c .
2
4
54.
∫ e2s ds .
e2s + 1
v = e2s + 1
dv = 2e2s .
El diferencial esta incompleto, falta (2)
y se le opone 1/2.
1 ∫ (2)e2s ds = 1 . ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c .
2 e2s + 1
2
2
55.
∫
θ
ae + b dθ
θ
ae - b
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20
Solucionario de Calculo Integral
Efectuamos la división:
θ
θ
b + ae
- b + ae
θ
- b + ae
-1
θ
+ 2ae
El resultado es :
θ
- 1 + 2ae
θ
- b + ae
.
Para la 2da integral:
θ
v = - b + ae
θ
dv = ae dθ
θ
∫ -1 + 2 ae
dθ
θ
- b + ae
θ
=
θ
- ∫ dθ + 2 ∫ ae dθ
θ
- b + ae
=
θ
- θ + 2 ln (- b + ae ) = 2 ln (ae - b ) - θ + c .
56.
∫
2x dx
3
.
(6 - 5x 2 )
∫ (6 - 5x2)-1/3.2x dx
v = (6 - 5x2)
dv = - 10x dx
n = -1/3 .
El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) .
- 1 ∫ (6 - 5x2)-1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x2)-1/3+1 = -(6 - 5x2)2/3 =
5
5
-1/3+1
5(2/3)
57.
- 3(6 - 5x2)2/3 + c.
10
∫ (x3 + 3x2) dx
∫ x3 dx + 3∫ x2 dx
x3+1 + 3.x2+1
3+1 2+1
=
x4 + 3x3 = x4 + x3 = c .
4 3
4
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21
Solucionario de Calculo Integral
58.
∫ x2 - 4 . dx
x4
Desarrollando: x2 - 4
x4
x2 - 4 = 1 - 4 .
x4 x4 x2 x4
=
Sustituyendo en la integral .
∫ [ 1 - 4 ] dx = ∫ 1 dx - 4 ∫ dx = ∫ x -2 dx - 4∫ x -4 dx
x2 x4
x2
x4
x-2+1 - 4.x -4+1
-2+1 -4+1
59.
=
x-1 - 4x -3
-1 -3
=
- 1 + 4 + c.
x
3x3
 5x + 5 
.dx
5x 
 5
1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫ (5x)1/2 dx + 5 ∫ (5x)-1/2 dx.
5
√5x 5
∫
v = 5x
dv = 5 dx
n = 1/2
v = 5x
dv = 5 dx
n = - 1/2
Completando el diferencial a
ambas integrales.
1 . 1 ∫ (5x)1/2.(5)dx + 5. 1 ∫ (5x)-1/2 (5)dx
5 (5)
5
1 . (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1
25 1/2 + 1
- 1/2+1
(5x)3/2 + (5x)-1/2+1
25(3/2)
1/2
=
=
=
2(5x)3/2 + 2(5x)1/2
5(5)(3)
1
=
2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 =
5 (5)(3)
15
2(5x)1/2 { x + 1 } = 2√5.x x + 15 + c .
15
15
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22
Solucionario de Calculo Integral
60.
∫3
by 2
∫
 y 2 3+1 
2
2
b .3 y .dy = 3 b ∫ 3 y .dy = 3 b ∫ y 2 3 .dy = 3 b  2 / 3 + 1  =


3
3
61.
 2 3+1  b1 3  y5 3  3 b1 3y5 3 = 3 3 by 5 + c .
b y
=
5 3  =
5
5
 2 3+1 


∫ t dt2t
∫
dt = 1 ∫ dt = 1 . ∫ dt = 1 . ∫ t -3/2 dt =
t -3/2+1 .
t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 √2 t3/2 √2
√2(- 3/2 + 1)
t -1/2 = t -1/2 = - 2 = √2(-1/2) - √2 √2.t1/2
62.
∫
3
2 =- 2 + c
√2. √t
√2t
2 - 3x .dx
∫ (2 - 3x)1/3. dx .
v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) .
dv = - 3 dx Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c .
n = 1/3
n+1
(- 1 ) ∫ (2 - 3x)1/3 (- 3). dx
3
=
- (2 - 3x)1/3+1 = - (2 - 3x)4/3 =
3(1/3+1)
3(4/3)
-(2 - 3x)4/3 = - 3 (2 - 3x)4/3 = - (2 - 3x)4/3 + c .
12/3
12
4
63.
∫ sen 2θ dθ
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23
Solucionario de Calculo Integral
√cos 2θ
∫ (cos 2θ)-1/2.sen 2θ dθ
v = (cos 2θ)
dv = - 2 sen 2θ dθ
n = - 1/2
Falta (-2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c .
n+1
(- 1 ) ∫ (cos 2θ)-1/2.(-2)sen 2θ dθ
2
(-1 ).(cos 2θ )-1/2+1 = - (cos 2θ )1/2 = - (cos 2θ )1/2 = - √cos 2θ + c.
2
-1/2+1
2(1/2)
1
64.
∫
ex dx .
√e x - 5
v = (ex - 5) El diferencial esta completo,
∫ (ex - 5)-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar.
n = - 1/2
∫ (ex - 5)-1/2.ex dx
65.
∫
2 dx
√3 + 2x
=
(ex - 5)-1/2+1
-1/2+1
=
(ex - 5)1/2 = 2(ex - 5)1/2 + c
1/2
.
∫ (3 + 2x)-1/2. 2 dx
v = (3 + 2x)
dv = 2 dx
n = - 1/2
El diferencial esta completo ,
se procede a integrar.
∫ (3 + 2x)-1/2. 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2 =
-1/2+1
1/2
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24
Solucionario de Calculo Integral
2 √(3 + 2x) + c
66.
∫ 3 dx
2 + 3x
=
v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la fórmula:
dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c .
v
67.
∫ 3 dx = ln (2 + 3x) + c .
2 + 3x
∫ x dx .
√1 - 2x2
∫ (1 - 2x2)-1/2. x dx .
v = (1 - 2x2)
dv = - 4x dx
n = - 1/2
El diferencial esta incompleto,
falta (- 4) y se le opone (-1/4) .
(- 1 ) ∫ (1 - 2x2)-1/2.( - 4) x dx
4
- (1 - 2x2)1/2
4(1/2)
68.
∫
=
=
- 1 . (1 - 2x2)-1/2+1
4
-1/2+1
- (1 - 2x2)1/2 + c .
2
t dt .
3t + 4
2
v = 3t2 + 4
dv = 6t dt
El diferencial esta incompleto, falta (6)
y se le opone (1/6) .
( 1 ) ∫ (6)t dt
6
3t2 + 4
=
1 .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c .
6
6
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25
Solucionario de Calculo Integral
69.


∫  x − 1x 
2

2
∫ ( x ) − 2 x . 1x
2


 2 
+  1   .dx = ∫  x − 2 +  1 2  . dx
( x) 
 x 



3
70.
 2

∫  y − y12  .dy
∫
(y2)3 - 3 (y2)2. 1 + 3 (y2). 1
y2
y2
2
- 1
y2
3
. dy .
∫
y6 - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = ∫ y6 - 3 y2 + 3 - 1 dy.
y2
y2 . y2 y6
y2 y6
y6+1 - 3 . y2+1 + 3 ∫ y-2 dy - ∫ y - 6 dy =
6+1
2+1
y7 - 3y3 + 3.y-2+1 - y-6+1 =
7
3
-1
-5
y7 - y3 - 3.y -1 + y -5
7
5
71.
=
y7 - y3 - 3 + 1 + c .
7
y
5y5
∫ sen aθ dθ
cos aθ
Según Trigonometría: sen aθ
cos aθ
v = aθ
dv = a dθ
=
tg aθ . ⇒ ∫ tg aθ. dθ .
Utilizamos la integral:
∫ tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c .
( 1 ) ∫ tg aθ. (a)dθ = - {ln cos (aθ) }
=
ln sec (aθ ) + c .
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26
Solucionario de Calculo Integral
a
72.
∫
a
csc2φ dφ
√(2cot φ + 3)
a
.
∫ (2cot φ + 3)-1/2 . csc2φ dφ .
v = (2cot φ + 3)
dv = - 2 csc2φ dφ
Falta (-2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c
n+1
-1/2
2
-1 ∫ (2cot φ + 3) .(-2)csc φ .dφ = _ 1 . (2cot φ + 3)-1/2+1 =
2
2
-1/2+1
- 1 .(2cot φ + 3)1/2 = - (2cot φ + 3)1/2 = - (2cot φ + 3)1/2 =
2
1/2
2(1/2)
1
- (2cot φ + 3)1/2 = - √(2cot φ + 3) + c .
73.
∫ (2x + 5) dx
x2 + 5x +6
v = x2 + 5x +6
dv = (2x + 5) . dx
∫ (2x + 5) dx
x2 + 5x + 6
74.
=
El diferencial esta completo,
aplicamos la fórmula: ∫ dv/v
=
ln v + c .
ln (2x + 5) + c .
∫ (2x + 7) dx
x+3
Dividimos:
2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 .
- 2x - 6 2
x+3
+1
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27
Solucionario de Calculo Integral
∫
2 + 1
x+3
dx .
2 ∫ dx + ∫ dx
x+3
75.
∫ (x2 + 2) dx
x+2
=
2 x + ln (x + 3) + c .
Dividimos:
x2
+2 x+2
- x2 - 2x
x-2
- 2x + 2
+ 2x + 4
El resultado es:
x-2 +
+6
∫ [x - 2 + 6 ] dx = ∫ x dx - 2 ∫ dx + 6 ∫ dx
x+2
x+2
6
x+2
.
=
x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c.
2
76.
∫ (x3 + 3x) dx
x2 + 1
Dividimos:
El resultado de la división es :
x3 + 3x x2 + 1
- x3 - x x
+ 2x
v = x2 + 1
dv = 2x dx
x +
2x
x2 + 1
.
El diferencial esta completo
se procede a integrar.
∫ x dx + ∫ 2x dx = x1+1 + ln (x2 + 1) = x2 + ln (x2 + 1) + c .
x2 + 1 1+1
2
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28
Solucionario de Calculo Integral
77.
∫
(4x + 3) dx .
∛1 + 3x + 2x2
∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3.(4x + 3) dx .
v = (1 + 3x + 2x2)
El diferencial esta completo, se
dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.
n = - 1/3
∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx
=
(1 + 3x + 2x2)-1/3+1 .
- 1/3 + 1
(1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c .
2/3
2
78.
∫ (et + 2) dt
et + 2t
v = et + 2t
dv = (et + 2) dt
∫ (et + 2) dt
et + 2t
79.
=
El diferencial esta completo.
Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .
ln (et + 2t) + c .
∫ (ex + sen x) dx
√ex - cos x
∫ (ex - cos x)-1/2.(ex + sen x) dx
v = (ex - cos x)
El diferencial esta
dv = (ex - (-sen x) dx = (ex + sen x) dx completo,se procede a
n = - 1/2
integrar.
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29
Solucionario de Calculo Integral
(ex - cos x)-1/2+1 = (ex - cos x)1/2
-1/2+1
1/2
80.
=
2(ex - cos x)1/2 + c .
∫ sec 2θ tg 2θ dθ
3 sec 2θ - 2
v = 3 sec 2θ - 2
dv = 3{sec 2θ . tg 2θ}.2 dθ =
dv ={6 sec 2θ . tg 2θ} dθ
Falta (6) para completar el
diferencial y se le opone (1/6).
Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .
( 1 ) ∫ ( 6 )sec 2θ tg 2θ dθ = 1 . ln (3 sec 2θ - 2) =
6
3 sec 2θ - 2
6
ln (3 sec 2θ - 2) + c .
6
81.
∫
sec22t dt .
√5 + 3tg 2t
∫ (5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt .
v = (5 + 3tg 2t)
dv = 3(sec22t)(2) dt
dv = 6 sec22t dt
n = - 1/2
Falta (6)para completar el diferencial .
Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c
n+1
( 1 ) ∫ (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt
6
( 1 ) . (5 + 3tg 2t)-1/2+1
6
-1/2+1
=
(5 + 3tg 2t)1/2
6(1/2)
=
(5 + 3tg 2t)1/2 + c .
3
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30
Solucionario de Calculo Integral
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas. Pagina 241
Verificar las Siguientes Integraciones:
1.
∫ 6 e3x dx
6 ∫ e3x dx
=
2 e3x + c .
.
v = 3x
Falta el (3) para completar el diferencial,
dv = 3 dx luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
2.
6 ( 1 ) ∫ e3x.(3) dx = 2 e3x + c .
3
x/n
∫ e dx = nex/n + c .
v = x/n
.
Falta 1/n completar en el diferencial,
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31
Solucionario de Calculo Integral
dv = 1/n
luego se procede a integrar. Se aplica:
∫ ev dv = ev + c .
(n) ∫ ex/n .(1/n) dx = n.ex/n + c .
3.
∫ dx = - 1 + c .
ex
ex
∫ e-x. dx ;
{ v = - x ; dv = - dx }
Para completar el diferencial, le falta el signo (-).
(-) ∫ e-x.(-) dx = - e-x = - 1 + c .
x
e
4.
∫ 10 x dx = 10 x + c .
ln 10
v =x
dv = dx
El diferencial esta completo, se usa la fórmula:
∫ av dv = av + c .
ln a
∫ 10 x dx = 10 x + c .
ln 10
5.
∫ any dy
=
any + c .
n ln a
v = ny
Falta (n) para completar el diferencial.
dv = n.dy Se aplica: ∫ av dv = av + c .
ln a
(1/n) ∫ any.(n) dy = . 1 . any
n ln a
=
any + c .
n ln a
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32
Solucionario de Calculo Integral
6.
√
∫ e x dx
√x
=
√x
2e
√
+ c.
∫ e x . 1 . 1 . dx
√x 2
v = √x
dv = 1 . dx
2√x
=
Falta (1/2) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
√
√
∫ e x . 1 . 1 . dx = (2) ∫ e x. 1 .dx
√x 2
2√x
7.
=
√x
2e
+ c.
∫ (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a - e-x/a) + c .
v = x/a
v = - x/a
∫ ex/a dx + ∫ e-x/a dx .
dv = 1/a dx
dv = - 1/a dx
Una vez completado los diferenciales, se integra.
( a) ∫ ex/a.(1/a) dx + (- a) ∫ e-x/a.(- 1/a) dx
a.ex/a - a.e-x/a = a (ex/a - e-x/a) + c .
8.
∫ (ex/a - e-x/a)2 dx
Desarrollando el producto notable: (ex/a - e-x/a)2 :
(ex/a - e-x/a)2 = {(ex/a)2 - 2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .
e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a .
e2x/a - 2(1) + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .
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33
Solucionario de Calculo Integral
Sustituyendo : {e2x/a - 2 + e-2x/a} en la integral .
∫ {e2x/a - 2 + e-2x/a} dx = ∫ e2x/a dx - 2 ∫ dx + ∫ e-2x/a dx .
Completando el diferencial, antes de integrar :
v = 2x/a
dv = 2/a dx
v = -2x/a
dv = - 2/a dx
Se aplica en ambas integrales: ∫ ev dv = ev + c .
( a/2) ∫ e2x/a.(2/a) dx - 2 ∫ dx + (- a/2) ∫ e-2x/a.(- 2/a) dx .
a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a = a .{e2x/a - e-2x/a} - 2x + c .
2
2
2
9.
∫ x e x2 dx = 1 .ex2 + c .
2
v = x2
Como el diferencial esta completo,
dv = 2x dx se procede a integrar.
∫ x ex2 dx = 1 .ex2 + c .
2
10.
∫ e sen x cos x dx = e sen x + c .
v = sen x
dv = cos x dx
El diferencial esta completo,
se procede a integrar.
∫ esen x. cos x dx = esen x + c .
11.
θ
∫ etg sec 2θ dθ .
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34
Solucionario de Calculo Integral
v = tg θ
dv = sec2θ dθ
El diferencial esta completo,
se procede a integrar.
θ
θ
∫ e tg . sec2 θ dθ = e tg + c .
12.
∫ √e t dt
∫ (et)1/2 dt
=
=
2√e t + c.
∫ et/2. dt
v = t/2
dv = 1/2
Falta (1/2) en el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
(2) ∫ et/2.(1/2) dt
13.
=
2et/2 + c .
∫ ax ex dx
´-0
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35
Solucionario de Calculo Integral
v = ax ex
dv = {ax.ex + ex. ax.ln a} dx
dv = ax.ex{1 + ln a} dx
Falta (1 + ln a) para completar
el diferencial, luego se procede
a integrar.
1
. ∫ ax ex.( 1 + ln a) dx = axex + c .
1 + ln a
1 + ln a
14.
∫ a2x dx
=
a2x + c .
2 ln a
v = 2x
dv = 2 dx
Falta (2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ av dv = av + c .
ln a
2x
2x
( 1 ) ∫ a .(2) dx = . 1 . a = a2x + c .
2
2 ln a
2 ln a
15.
∫ (e5x + a5x) dx = . 1 e5x + a5x + c .
5
ln a
∫ e5x. dx + ∫ a5x. dx
Completando los diferenciales de ambas integrales.
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36
Solucionario de Calculo Integral
v = 5x
dv = 5 dx
v = 5x
dv = 5 dx
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
( 1/5) ∫ e5x.(5) dx + ( 1/5) ∫ a5x.(5) dx
. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c .
5
5 ln a 5
ln a
16.
∫ 5eax dx
v = ax
dv = a dx
Falta (a) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
5 1 ∫ eax.(a) dx
a
17.
=
5eax + c .
a
∫ 3 dx
ex
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37
Solucionario de Calculo Integral
3 ∫ e -x. dx
v =- x
dv = - dx
Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
18.
3( - ) ∫ e -x .( - ) dx = -3.e -x = - 3 + c .
ex
∫ 4 dt =
√e t
∫ (et)-1/2 dt
=
4( - 2) ∫ e- t /2.( - 1/2) dt
=
- 8 e- t/2 = - 8 + c .
et /2
19.
∫ cax dx
Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de
la formula.
v = ax
dv = a dx
Falta (a) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Empleando la fórmula: ∫ av. dv = av + c
ln a
( 1/a) ∫ cax.(a) dx = . 1 . cax
a ln c
20.
+
c.
∫ dx .
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38
Solucionario de Calculo Integral
42x
∫ 4-2x. dx
v = - 2x
dv = - 2 dx
Falta ( - 2) , para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Utilizamos la fórmula: ∫ av. dv = av + c
ln a
( - 1/2) ∫ 4-2x.( - 2) dx
21.
3
∫ x2 ex
=
.- 1 . 4-2x
2 ln 4
=
-1
+ c.
2x
2 . ln 4 . 4
dx
3
Ordenando: ∫ ex
v = x3
dv = 3x2 dx
. x2
dx
Falta (3) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ ev. dv = ev + c .
3
3
( 1/3) ∫ ex .(3) x2 dx = . 1 .ex
3
22.
c.
3
ex
3
+ c
∫ (ex + 4) dx
ex
∫ ex dx + 4 ∫ dx
ex
23.
=
ex
=
∫ dx + 4(-) ∫ e -x.(-) dx = x - 4e -x = x - 4 +
ex
∫ ex dx
ex - 2
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39
Solucionario de Calculo Integral
v = ex - 2
dv = ex dx
El diferencial esta completo,
aplicamos : ∫ dv = ln v + c .
v
x
⇒ ln (e - 2) + c .
24.
2
∫ x (ex + 2) dx
∫
{(ex2 + 2) . x} dx
2
∫ ex . x dx + 2 ∫ x dx
v = x2
dv = 2x dx
Falta (2) en la 1ra integral, para completar
el diferencial , el 2do integral esta completo.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c , en la 1ra integral .
2
2
(1/2) ∫ ex .(2) x dx + 2 ∫ x dx = . 1 . e x + 2 . x1+1
2
1+1
2
ex
2
25.
+ 2 . x2
2
=
=
2
ex + x2 + c.
2
√
∫ (e x - 3 ) dx
√x
√
∫ e x. 1 . dx - 3 ∫ dx .
√x
√x
v = √x
dv = . 1 . 1 . dx
2 √x
Falta (1/2) para completar el diferencial,
de la 1ra integral.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
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40
Solucionario de Calculo Integral
√
√
(2) ∫ e x . 1 . 1 . dx - 3 ∫ x -1/2 dx = 2e x - 3.x -1/2+1
2 √x
-1/2+1
√
√
=
√
2e x - 3.x1/2 = 2e x - 6x1/2 = 2e x - 6 √x + c .
1/2
26.
2
∫ t 2t dt
2
∫ 2 t . t dt
v = t2
dv = 2t dt
Falta (2) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ av. dv = av + c
ln a
2
2
( 1/2) ∫ 2 t .(2) t dt = . 1 . 2 t
2 ln 2
27.
=
2
2t + c .
2 ln 2
∫ a dθ
θ
b3
θ
a ∫ b-3 . dθ
v = - 3θ
dv = - 3dθ
Falta (- 3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ av dv = av/ ln a + c .
θ
θ
a(- 1/3) ∫ b-3 .( - 3) dθ = - a . b-3 =
-a
+ c.
3θ
3 ln b (3 ln b) b
28.
2
∫ 6 x e - x dx
Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando:
2
3∫ e- x .2x dx
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41
Solucionario de Calculo Integral
v = - x2
dv = - 2x dx
Falta el signo ( - ) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
2
3(-) ∫ e- x .(-)2x dx
=
2
- 3e- x
=
- 3
e
29.
+ c.
x2
∫ (e ) dx
2x 2
∫ e4 x dx
v = 4x
dv = 4 dx .
Falta el # 4 para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
( 1/4) ∫ e4 x.(4) dx
30.
∫
=
. 1 .e4 x
4
=
e4x + c .
4
x2 dx
3
ex
3
∫ e - x . x2 dx
v = = - x3
dv = - 3x2 dx
Falta ( - 3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .
3
3
- 1 ∫ e - x .( - 3) x2 dx = - 1 . e - x
3
3
=
- 1
3e
+ c .
x3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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42
Solucionario de Calculo Integral
Problemas. Paginas 244 y 245
Verificar las siguientes Integraciones:
1.
∫ cos mx dx = 1 sen mx + c .
m
v = mx
dv = m dx
Falta (m) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c .
( 1 ) ∫ cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c .
m
m
2.
∫ tg bx dx = 1 ln sec bx + c .
b
v = bx
dv = b dx
Falta (b) para completar el diferencial.
Se aplica:
∫ tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c .
( 1 ) ∫ tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c .
b
b
3.
∫ sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .
a
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43
Solucionario de Calculo Integral
v = ax
dv = a dx
Falta (a) para completar el diferencial.
Usamos la fórmula:
∫ sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.
( 1 ) ∫ sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .
a
a
4.
∫ csc v dv = ln tg 1 v + c .
2
ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v
sen v sen v
ln tg 1 v + c .
2
=
ln 1 - cos v
sen v
=
Por trigonometría :
csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v .
sen v
sen v
2
sen v
⇒ Esta demostrado : ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c .
2
5.
∫ sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c .
3
v = 3t
dv = 3 dt
Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:
∫ sec v tg v dv = sec v + c .
( 1/3) ∫ sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c .
3
. 1 .{ sec 3t} + c .
3
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44
Solucionario de Calculo Integral
6.
∫ csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + c
a
v = ay
dv = a dy
Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica:
∫ csc v cot v dv = - csc v + c
( 1/a) ∫ csc ay . cot ay. (a) dy .
. 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c .
a
a
7.
∫ csc2 3x dx = - 1 cot 3x + c .
3
v = 3x
Completando el diferencial con (3) .
dv = 3 dx Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c .
( 1/3) ∫ csc2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c .
3
3
8.
∫ cot x dx
2
v= 1x
2
dv = 1 dx
2
Falta (1/2) para completar el diferencial.
Se aplica:
∫ cot v dv = ln {sen (v) } + c .
(2) ∫ cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c .
2 2
2
9.
∫ x sec2 x3 = 1 . tg x3 + c .
3
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45
Solucionario de Calculo Integral
Ordenando: ∫ (sec x3)2 . x dx = ∫ sec2 x3 . x dx
v = x3
dv = 3x2 dx
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ sec2 v . dv = tg v + c .
1 . ∫ (sec x3)2 .(3) x dx =
3
1 . tg x3 + c .
3
10.
∫
dx .
sen2x
Por Trigonometría:
1
sen2 x
∫ csc2 x dx = - cot2 x + c .
11.
∫ ds
cos2 s
=
=
csc2 x
=
sec2 s
tg s + c .
Por Trigonometría:
1
cos2 s
∫ sec2 s ds = tg s + c .
12.
∫ (tg θ + cot θ )2 dθ
=
tg θ - cot θ + c .
∫ (tg2 θ + 2 tg θ cot θ + cot2 θ) dθ =
Por Trigonometría:
tg θ . cot θ = 1 ; tg2 θ + 1 = sec2 θ ; cot2 θ + 1 = csc2 θ.
Utilizando un artificio matemático : 2 = 1 + 1 .
Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos:
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46
Solucionario de Calculo Integral
∫ (tg2 θ + 2(1) + cot2 θ) dθ = ∫ (tg2 θ + 2 + cot2 θ) dθ
∫ (tg2 θ + 1 + 1 + cot2 θ ) dθ = ∫ (tg2 θ + 1 + cot2 θ + 1 ) dθ
Pero: tg2 θ + 1 = sec2 θ ; cot2 θ + 1 = csc2 θ .
⇒
13.
∫ sec2 θ dθ + ∫ csc2 θ dθ = tg θ - cot θ + c .
∫ (sec φ - tg φ )2 dφ
=
2 (sec φ - tg φ ) - φ + c .
∫ (sec2 φ - 2 sec φ tg φ + tg2 φ ) dφ
=
Pero: tg2 φ = sec2 φ - 1 , sustituyendo en la integral.
∫ (sec2 φ - 2 sec φ tg φ + sec2 φ - 1 ) dφ =
∫ (2sec 2 φ - 2 sec φ tg φ - 1 ) dφ
=
∫ 2sec2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ
2 ∫ sec2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ
=
=
En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c .
En la 2da integral aplicamos: ∫ sec v tg v dv = sec v + c .
2 tg φ - 2sec φ - φ
14.
∫
dx
1 + cos x
=
=
2(tg φ - sec φ ) - φ + c .
- cot x + csc x + c .
Racionalizando:
1
.
1 + cos x
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47
Solucionario de Calculo Integral
1
. 1 - cos x
1 + cos x 1 - cos x
1 - cos x .
1 - cos2x
=
Pero: 1 - cos2 x = sen2 x .
∫ 1 - cos x . dx .
sen2x
Aplicando artificios aritméticos, Ejm:
Aplicando artificios aritméticos, Ejm:
8-6
2
=
8 - 6
2 2
⇒
1 - cos x
sen2 x
=
1 - cos x .
sen2 x sen2 x
∫
1 - cos x dx = ∫ dx - ∫ cos x dx
sen2x sen2x
sen2x
sen2x
∫ csc2 x dx - ∫ (sen x)-2. cos x dx =
v = sen x
dv = cos x dx
=
En la 1ra aplicamos: ∫ csc2 v dv = - cot v + c .
El diferencial de la 2da integral, esta completo.
∫ csc2x dx - ∫ (sen x)-2. cos x dx = - cot x - (sen x)-2+1 =
-2+1
Por Trigonometría :
1 = csc x .
sen x
-1
1 = - cot x + csc x + c .
= - cot x - (sen x) = - cot x +
-1
sen x
15.
∫
dx
1 + sen x
=
tg x - sec x + c .
Racionalizando y efectuando artificios aritméticos :
1
. 1 - sen x = 1 - sen x
=
1 - sen x .
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48
Solucionario de Calculo Integral
1 + sen x 1 - sen x 1 - sen2 x
1 - sen x = 1 - sen x
cos2 x cos2 x cos2 x
∫ sec2 x dx - ∫ sen x dx
cos2 x
=
=
cos 2 x
sec2 x - senx
cos2 x
=
∫ sec2 x dx - ∫ (cosx)-2. sen x dx
v = cos x
En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c
dv = - sen x dx En la 2da integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
∫ sec2 x dx - (-) ∫ (cosx)-2.(-) sen x dx =
tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)-1 = tg x - 1 =
-2+1
-1
cos x
tg x - sec x + c .
16.
∫ sen s ds
1 + cos s
=
- ln (1 + cos s) + c .
v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencial
dv = - sen s ds Aplicamos la fórmula : ∫ dv = ln v + c .
v
17.
(-) ∫ sen s (-)ds
1 + cos s
∫ sec2 x dx =
1 + tg x
v = 1 + tg x
dv = sec2 x dx
∫ sec2 x dx
=
=
- ln (1 + cos s) + c .
El diferencial esta completo,
se procede a integrar.
ln(1 + tg x ) + c .
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49
Solucionario de Calculo Integral
1 + tg x
18.
∫ x cos x2 dx = 1 sen x2 + c .
2
∫ cos x2 . x dx =
v = x2
dv = 2x dx
Falta (2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c .
(2) ∫ cos x2 .(2)x dx = 1 sen x2 + c .
2
19.
∫ (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 - cos 2x) + c .
∫ x dx + ∫ sen 2x dx =
{v = 2x ; dv = = 2 dx}
∫ x dx + 1 ∫ sen 2x .(2) dx = x1+1 + 1 - cos 2x
2
1+1
2
=
x2 - cos 2x = 1 x2 - cos 2x + c .
2
2
2
20.
∫ sen x dx
√4 - cos x
=
∫ sen x dx
(4 - cos x)1/2
2 √4 - cos x + c .
=
2 √4 - cos x + c .
∫ (4 - cos x )-1/2. sen x dx
=
v = (4 - cos x )
dv = -(- sen x) dx = sen x dx
El diferencial esta completo,
se procede a integrar.
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50
Solucionario de Calculo Integral
∫ (4 - cos x )-1/2. sen x dx = (4 - cos x )- 1/2 + 1 =
- 1/2 + 1
(4 - cos x )1/2 = 2(4 - cos x )1/2 = 2 √4 - cos x + c .
1/2
21.
∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .
x + sen x
v = x + sen x
dv = (1 + cos x) dx
El diferencial esta completo, Aplicamos:
∫ dv = ln v + c .
v
∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .
x + sen x
22.
∫ sec2 θ dθ .
√1 + 2tg θ
∫ sec2 θ dθ .
(1 + 2tg θ)1/2
∫ (1 + 2tg θ)-1/2. sec2θ dθ .
v = (1 + 2tg θ) Falta (2) para completar el diferencial.
dv = 2 sec2 θ dθ
(1/2) ∫ (1 + 2tg θ)-1/2.(2) sec2 θ dθ .
. 1 (1 + 2tg θ)-1/2+1 = (1 + 2tg θ )1/2 = (1 + 2tg θ )1/2 =
2
-1/2+ 1
2(1/2)
1
√(1 + 2tg θ) + c .
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51
Solucionario de Calculo Integral
23.
∫ sen 2x dx
3
v = 2x .
3
dv = 2/3 dx
Falta (2/3) para completar el diferencial.
Se aplica : ∫ sen v dv = - cos v + c .
( 3 ) ∫ sen 2x ( 2 ) dx
2
3 3
24.
3 - cos 2x
2
3
=
=
- 3 cos 2x + c
2
3
∫ cos (b + ax) dx
v = (b + ax)
dv = a dx
Falta (a) para completar el diferencial.
Se aplica : ∫ cos v dv = sen v + c .
. 1 . ∫ cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c .
a
a
a
25.
∫ csc2 (a - bx) dx
=
∫ {csc (a - bx)}2 .dx
{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c .
(- 1 ) ∫ {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot (a - bx)
b
b
=
cot (a - bx) + c .
b
26.
∫ sec θ tg θ dθ
2
2
v = θ/2 .
Falta (1/2) para completar el diferencial,
dv = 1/2 . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c .
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52
Solucionario de Calculo Integral
( 2 ) ∫ sec θ tg θ (1/2)dθ = 2 sec θ + c .
2
2
2
27.
∫ csc a φ
b
cot a φ
b
v= aφ
b
dv = a . d φ
b
b ∫ csc a φ
a
b
dφ
Falta (a/b) para completar el diferencial,
Se aplica: ∫ csc v cot v dv = - csc v + c .
cot a φ .( a ) d φ = . b .{- csc a φ }
b
b
a
b
=
- b csc a φ + c.
a
b
28.
∫ ex cot ex dx
v = ex
dv = ex dx
El diferencial esta completo,
se procede a integrar.
∫ cot ex . ex dx = ln {sen (ex)} + c .
29.
∫ sec2 2 ax dx =
v = 2ax
Falta (2a) para completar el diferencial.
dv = 2a dx
( 1/2a) ∫ sec2 2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c .
2a
2a
30.
∫ tg x dx
3
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53
Solucionario de Calculo Integral
v = x/3 .
dv = 1/3 dx
dv = 1 dx
3
Falta (1/3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .
luego se procede a integrar.
(3) ∫ tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c .
3
3
3
31.
∫ dt .
tg 5t
∫ cot 5t dt .
v = 5t
dv = 5 dt
Falta (5) para completar el diferencial
luego se procede a integrar.
(1/5) ∫ cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c .
5
5
32.
∫
dθ .
sen24θ
Por trigonometria: 1/sen24θ = csc24θ .
∫ dθ = ∫ csc24θ dθ.
sen24θ
v = 4θ
dv = 4 dθ
Falta (4) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
∫ csc24θ dθ = 1 {- cot 4θ } = - cot 4θ + c .
4
4
33.
∫
dy
.
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54
Solucionario de Calculo Integral
cot 7y
∫ tg 7y dy =
v = 7y
dv = 7 dy
Falta (4) para completar el diferencial,
luego se procede a integrar.
Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .
(1/7) ∫ tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y =
7
7
1 ln cos 7y + c .
7
34.
∫ sen √x dx
√x
v = √x
dv = 1 . dx
2√x
2
35.
Falta 1 para completar el diferencial,
2
luego se procede a integrar.
(2) ∫ sen √x dx . 1 . 1 . dx
2 √x
∫
=
2 ( - cos √x ) = - 2 cos √x + c .
dt .
sen2 3t
∫ csc2 3t dt
v = 3t
dv = 3 dt
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c .
( 1/3) ∫ csc23t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c .
3
3
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55
Solucionario de Calculo Integral
36.
∫ dφ
cos 4φ
.
Por Trigonometría: 1/cos 4φ
=
sec 4φ .
∫ sec 4φ dφ .
v = 4φ
dv = 4 dφ
Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:
∫ sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .
(1/4) ∫ sec 4φ .(4) dφ
37.
∫
=
1/4 { ln (sec 4φ + tg 4φ ) } + c .
a dx .
cos2 bx
Por trigonometría: 1/cos2 bx = sec2 bx .
a ∫ sec2 bx dx =
v = bx
dv = b dx
Falta (4) para completar el diferencial,
∫ sec2 v dv = tg v + c .
a ∫ sec2bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c .
b
b
b
38.
∫ (sec 2θ - csc θ ) d θ .
2
∫ sec 2θ dθ - ∫ csc θ d θ .
2
v = 2θ
dv = 2 dθ
v = θ/2
dv = 1/2 dθ
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56
Solucionario de Calculo Integral
(1/2) ∫ sec 2θ .(2)dθ - (2) ∫ csc θ . 1 .)dθ .
2 2
1 {ln (sec 2θ + tg 2θ )} - 2 { ln csc θ - cot θ } + c .
2
2
2
39.
∫ (tg φ + sec φ )2 dφ
∫ {tg2 φ + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ
Por Trigonometría: tg2 φ
=
sec2 φ - 1. Sustituyendo en la integral .
∫ {sec2 φ - 1 + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ .
2 ∫ sec2 φ dφ - ∫ dφ + 2 ∫ tg φ sec φ } dφ .
2 tg φ - φ + 2 sec φ + c .
40.
∫ ( tg 4s - cot s ) ds .
4
1 ∫ tg 4s .(4) ds - (4) ∫ cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s
4
4 4
4
4
{ln sec 4s} - 4 ln sen s + c .
4
4
41.
∫ (cot x - 1)2 dx
∫ (cot2x - 2 cot x + 1) dx
Pero: 1 + cot2 x = csc2 x , reemplazando en la integral.
∫ (csc2 x - 2 cot x ) dx
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57
=
Solucionario de Calculo Integral
∫ csc2 x dx - 2∫ cot x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)]
-{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen2 x) } + c .
42.
∫ ( sec t - 1)2 dt .
∫ (sec2 t - 2 sec t + 1) dt .
∫ sec2 t dt - 2 ∫ sec t dt + ∫ dt .
tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .
43.
∫ (1 - csc y)2 dy .
∫ (1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = ∫ (1 - 2 csc y + csc2 y) dy .
∫ dy - 2∫ csc y dy + ∫ csc2 y dy .
y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .
44.
∫
dx
1 - cos x
.
Racionalizando:
1
1 - cos x
1
(1 - cos x)
1 + cos x
1 + cos x
1 + cos x
sen2 x sen2 x
=
=
1 + cos x
12 - cos2 x
.
=
1 + cos x
sen2 x
=
csc2 x + cos x .
sen2 x
∫ csc2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc2 x + ∫ (sen x) -2 . cosx dx =
sen2 x
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58
Solucionario de Calculo Integral
- cot x + (sen x)-2+1 = - cot x + (sen x)-1 = - cot x - (sen x)-1 =
-2+1
-1
- cot x 45.
∫
1 = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c .
sen x
dx
.
1 - sen x
Racionalizando:
1
1 - sen x
1 + sen x
1 + sen x
∫ 1 + sen x dx
cos2 x
=
=
1 + sen x
1 - sen2 x
=
1 + sen x .
cos2 x
∫ 1 dx + ∫ sen x dx .
cos2 x
cos2 x
∫ sec2 x dx + ∫ (cos x)-2 . sen x dx = tg x - (cos x)-2+1
-2+1
=
tg x - (cos x)-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c .
-1
cos x
46.
∫ sen 2x dx .
3 + cos 2x
v = 3 + cos 2x
dv = - 2 sen 2x dx
(-1 ) ∫ (-2) sen 2x dx
2
3 + cos 2x
Falta (-2) para completar el diferencial,
se aplica: ∫ dv = ln v + c .
v
=
- 1 ln (3 + cos 2x) + c .
2
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59
Solucionario de Calculo Integral
47.
∫ cos t dt .
√a + b sen t
∫
cos t dt
(a + b sen t)1/2
=
v = (a + b sen t)
dv = b cos t dt
∫ (a + b sen t)-1/2 .cos t dt =
Falta (b) para completar el diferencial,
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
1 .∫ (a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2
b
(b)(-1/2 + 1)
1/2 (b)
(a + b sen t)1/2
1
b
2
48.
=
2 (a + b sen t)1/2
b
=
2 √(a + b sen t) + c .
b
∫ csc θ cot θ dθ
5 - 4 csc θ
v = 5 - 4 csc θ
dv = - 4 csc θ cot θ dθ
Falta (- 4) para completar el diferencial,
Se aplica: ∫ dv = ln v + c .
v
(- 1 ) ∫ ( - 4) .csc θ cot θ dθ
4
5 - 4 csc θ
- 1 ln (5 - 4 csc θ) + c .
4
49.
=
∫
csc2 x dx .
√3 - cot x
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60
Solucionario de Calculo Integral
∫ csc2 x dx
(3 - cot x)1/2
=
∫ (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx
v = 3 - cot x
dv = csc2x dx
El diferencial esta completo.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
(3 - cot x)-1/2+1 = (3 - cot x)1/2 = 2(3 - cot x)1/2
-1/2 + 1
1/2
=
2 √(3 - cot x) + c .
50.
∫ √5 + 2tg x dx
cos2 x
∫ √5 + 2tg x . 1 . dx
cos2 x
=
∫ √5 + 2tg x . sec2 x dx
∫ (5 + 2tg x)1/2 . sec2 x dx .
v = (5 + 2tg x)
dv = 2 sec2x dx
Falta (2) para completar el diferencial,
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
( 1 ) ∫ (5 + 2tg x)1/2 .(2) sec2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x)1/2+1 =
2
2
1/2 + 1
(5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = √(5 + 2tg x)3 =
2(3/2)
3
3
√(5 + 2tg x)2.(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) √(5 + 2tg x) + c .
3
3
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61
Solucionario de Calculo Integral
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas. Pagina 248 y 249
Verificar las siguientes Integraciones:
1.
∫
dx .
x2 + 9
∫
dx .
x2 + 32
v=x
dv = dx
a =3
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
∫ dx
x2 + 32
2.
=
∫
dx .
x -4
∫
dx .
x2 - 22
2
v =x
dv = dx
a =2
∫
1 .arc tg x + c .
3
3
dx
x2 - 22
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 . ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
=
1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c .
2(2)
x+2 4
x+2
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62
Solucionario de Calculo Integral
3.
∫
dy .
√25 - y2
v =y
El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dy
∫ dv
= arc sen v + c .
a =5
√a2 - v2
a
∫
dy
= arc sen y + c .
2
2
√5 - y
5
4.
∫
ds .
√s2 - 16
∫
ds
√s2 - 42
v =s
dv = ds
a =4
∫
ds
2
√s - 42
5.
∫
.
El diferencial esta completo.
Se aplica: ∫ dv = ln { v + √v2 - a2 } + c .
√v2 - a2
=
ln { s + √s2 - 16 } + c .
dx .
9x2 - 4
v = 3x
Falta (3) para completar el diferencial
∫
dv . dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
(3x)2 - 22 a = 2
v2 - a2 2a
v+a
( 1 ) ∫ (3) dx
3 (3x)2 - 22
6.
∫
=
1
3
1
2(2)
ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c .
3x + 2 12 3x + 2
dx .
√16 - 9x2
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63
Solucionario de Calculo Integral
∫
dx .
√4 - (3x)2
2
v = 3x
dv = 3 dx
a =4
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫
dv = arc sen v + c .
2
√a - v2
a
( 1 ) ∫ (3) dx
3 √42 - (3x)2
7.
∫
dx .
9x2 - 1
∫
dx .
(3x) - 12
1 .arc sen 3x + c .
3
4
2
v = 3x
dv = 3 dx
a =1
Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:
∫
dv = 1 . ln v - a .
v2 - a2
2a
v+a
∫
dx
2
(3x) - 12
8.
=
=
∫
dt
4 - 9t2
∫
dt .
2 - (3t)2
1 . 1 . ln 3x - 1
3 1(2)
3x + 1
1 ln 3x - 1 + c .
6
3x + 1
=
.
2
v = 3t
dv = 3 dt
a =2
Falta (3) para completar el diferencial.
∫
dv = 1 .ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
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64
Solucionario de Calculo Integral
( 1 ) ∫ (3) dt
3 22 - (3t)2
9.
=
1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c .
3 2(2)
2 - 3t 12
2 - 3t
∫ ex dx
1 + e 2x
∫
ex dx .
1 + (e x)2 v = e x
El diferencial esta completo.
dv = e x dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a =1
a2 + v2 a
a
x
x
x
∫ e dx = 1 .arc tg e = arc tg e + c .
12 + (e x)2 1
1
10.
2
∫ cos θ dθ
4 - sen2 θ
∫
cos θ dθ .
2 - (sen θ)2
2
v = sen θ
dv = cos θ dθ
a =2
11.
∫
cos θ dθ
22 - (sen θ)2
∫
b dx .
a2x2 - c2
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
∫
=
dv
a2 - v2
1
2(2)
=
1 . ln a + v + c .
2a
a-v
ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c .
2 - sen θ 4
2 - sen θ
∫ b dx .
(ax)2 - c2
v = ax
dv = a dx
Falta (a) para completar el diferencial.
∫ dv = 1 ln v - a + c .
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65
Solucionario de Calculo Integral
v2 - a2 2a
a =c
v+a
( 1 )(b)∫ (a) dx = b . 1 . ln ax - c
a
(ax)2 - c2 a 2(c)
ax + c
12.
=
b . ln ax - c + c .
2ac
ax + c
∫ 5x dx .
√1 - x4
∫ 5x dx .
√12 - (x2)2
v = x2
Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 2x dx ∫
dv = arc sen v + c .
a =1
√a2 - v2
a
(5) ∫ (2)x dx
2 √12 - (x2)2
13.
=
5 .arc sen x
2
1
5 arc sen x + c
2
=
∫ ax dx .
x4 + b4
∫
ax dx .
(x2)2 + (b2)2
v = x2
dv = 2x dx
a = b2
Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:
∫
dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
( a ) ∫ (2) ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x2 + c
2 (x2)2 + (b2)2 2 b2
b2 2b2
b2
14.
∫
dt
(t - 2)2 + 9
.
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66
Solucionario de Calculo Integral
∫
dt
2
(t - 2) + 32
v =t - 2
dv = dt
a =3
=
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 . arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
1 . arc tg t - 2 + c .
3
3
15.
∫
dy
.
2 2
√1 + a y
v = ay
dv = a dy
a= 1
Falta (a) para completar el diferencial, se aplica:
∫
dv = ln {v + √a2 + v2} + c .
√a2 + v2
1 ∫ (a) dy
a √1 + (ay)2
16.
∫
=
1.∫
(a) dy
a √(ay)2 + 12
=
1 ln {ay + √1 + a2y2} + c .
a
du
.
√4 - (u + 3)2
∫
du
.
√22 - (u + 3)2
v =u + 3
dv = du
a =2
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
Se aplica: ∫
dv = arc sen v + c .
√a2 - v2
a
∫
du
√22 - (u + 3)2
=
arc sen u + 3 + c .
2
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67
Solucionario de Calculo Integral
17.
∫
dx
√9 - 16x2
.
∫
dx
.
2
2
√3 - (4x)
v = 9 - 16x2
dv = 4 dx
a =3
Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:
∫
dx = arc sen v + c .
√a2 - v2
a
(1)∫
(4)dx
2
4 √3 - (4x)2
18.
=
1 . arc sen 4x + c .
4
3
∫
dy
.
√9y2 + 4
∫
dy
.
2
2
√(3y) + 2
Falta (3)para completar el diferencial.
Se aplica: ∫
dv = ln {v + √v2 + a2} + c.
√v2 + a2
v = 3y
dv = 3 dy
a=2
(1)∫
(3) dy
3 √(3y)2 + 22
=
1 . ln {3y + √(3y)2 + 22 } =
3
ln {3y + √9y2 + 4 } + c
3
19.
∫
dt .
4t2 + 25
∫
dt
.
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68
Solucionario de Calculo Integral
(2t)2 + 52
v = 2t
dv = 2 dt
a= 5
Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:
∫
dv = ln {v + √v2 + a2} + c.
2
√v + a2
(1)∫
(2)dt
2 (2t)2 + 52
20.
∫
dx
25x2 - 4
.
∫
dx
(5x) - 22
.
1 . arc tg 2t + c .
5
5
=
2
v = 5x
Falta (5) para completar el diferencial, se aplica:
dv = 5 dx ∫ dv = 1 ln v - a . + c .
a= 2
v2 - a2 2a v + a
( 1 ) ∫ (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c
5 (5x)2 - 22 5 2(2) 5x + 2
20
5x + 2
21.
∫
7 dx
3 + 7x2
.
∫
7 dx
(√3)2 + (√7.x)2
.
v = √7. x
Falta (7) para completar el diferencial, se aplica:
dv = √7 dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = √3
a2 + v2 a
a
(1)∫
√7 dx
√7 (√3)2 + (√7.x)2
1 1 arc tg √7.x
√7 √3
√3
=
=
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69
Solucionario de Calculo Integral
1 arc tg √7.x + c .
√21
√3
√21 . arc tg √7. √3.x
√21.√21
√3. √3
22.
∫
=
√21 arc tg √21. x + c .
21
3
3 dy .
9y2 - 16
∫ 3 dy .
(3y)2 - 42
v = 3y
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = 3 dy Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a
a =4
v2 - a2 2a
v+a
∫ 3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4
(3y)2 - 42 2(4)
3y + 4 8
3y + 4
23.
=
ln 3y - 4
3y + 4
1/8
+c.
∫
ds .
2
√4s + 5
∫
ds
.
√(2s)2 + (√5)2
v = 2s
dv = 2 ds
a = √5
Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica:
∫
dv = ln {v + √v2 + a2} + c .
√v2 + a2
(1)∫
(2)ds
2
2 √(2s) + (√5)2
=
1 {ln [2s + (√4s2 + 5)]} + c .
2
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70
Solucionario de Calculo Integral
24.
∫
t dt .
√t4 - 4
∫
t dt
.
2
√(t ) - (2)
2 2
v = t2
Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:
dv = 2t dt ∫
dv = ln {v + √v2 - a2} + c .
2
a =2
√v - a2
( 1 )∫
(2)t dt
2 2
2 √(t ) - (2)2
25.
∫
=
1 {ln [t2 + (√t4 - 4)]} + c .
2
x dx .
√5x2 + 3
∫ (5x2 + 3)-1/2. x dx .
v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica:
dv = 10x dx ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = -1/2
1 . ∫ (5x2 + 3)-1/2.(10) x dx = 1 . (5x2 + 3)-1/2+1 =
10
10
-1/2+1
(5x2 + 3)1/2 = √5x2 + 3 + c .
10(1/2)
5
26.
∫ 2еx dx .
√1 - е2x
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71
Solucionario de Calculo Integral
∫
2еx dx .
√1 - (еx)2
2
v = еx
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
x
dv = е dx Se aplica: ∫
dv = arc sen v + c .
a =1
√a2 - v2
a
2 ∫ еx dx
√12 - (еx)2
27.
∫
2 arc sen еx
1
=
2 arc sen еx + c .
6t dt .
8 - 3t2
v = 8 - 3t2
dv = - 6t dt
Falta el signo (-) para completar el diferencial,
se usa la fórmula: ∫ dv = ln v + c .
v
(-)∫ (-) 6t dt
8 - 3t2
28.
=
- ln (8 - 3t2) + c .
=
∫
sen θ
√4 + cos2 θ
.
∫
sen θ dθ
2
√2 + (cos θ)2
.
v = cos θ
dv = - sen θ dθ
a =2
Falta el signo (-) para
completar el diferencial.
Se aplica: ∫
dv
2
√a + v2
=
ln {v + √a2 + v2 } + c .
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72
Solucionario de Calculo Integral
(-) ∫ (-)sen θ dθ
√22 + (cos θ)2
29.
- ln { cos θ + √4 + cos2θ } + c .
∫
dx
.
2
2
m + (x + n)
v =x + n
dv = dx
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
Se aplica: ∫ dv = 1 . arc tg v + c .
a2 + v2
a
a
∫
dx
m2 + (x + n)2
30.
=
1 . arc tg x + n + c
m
m
=
∫
du
.
4 - (2u - 1)2
∫
du
.
2
2 - (2u - 1)
2
v = 2u - 1 Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica:
dv = 2 du ∫ dv = 1 . ln a + v + c .
a =2
a2 - v2 2a
a-v
( 1 ) ∫ (2) du
2 22 - (2u - 1)2
1 . ln 2 + 2u - 1
8
2 - 2u + 1
31.
=
1 . 1 . ln 2 + (2u - 1)
2 2.2
2 - (2u - 1)
=
=
1 . ln 1 + 2u + c .
8
3 - 2u
∫ 7x2 dx .
5 - x6
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73
Solucionario de Calculo Integral
Haciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raiz
cuadrada y lo elevamos al cuadrado:
∫
7x2 dx .
(√5)2 - (x3)6
v = x3
Falta (3) para completar el diferencial, el (7) se
2
dv = 3x dx coloca fuera de la integral. Se aplica:
a = √5
∫ dv = 1 . ln a + v + c .
a2 - v2 2a
a-v
(7. 1 ) ∫ (3)x2 dx = 7 . 1 . ln √5 + x3 = 7 . ln √5 + x3 + c
3 (√5)2 - (x3)6 3 2.√5
√5 - x3 6√5
√5 - x3
7 . √5 . ln √5 + x3
6 √5. √5
√5 - x3
=
7 . √5 . ln √5 + x3
6.5
√5 - x3
=
7 . √5 . ln √5 + x3 + c .
30
√5 - x3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.
Verificar las siguientes Integraciones:
1.
∫
dx
.
x2 + 4x + 3
Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto:
Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do término , y
luego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 22 = 4 .
Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3.
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74
Solucionario de Calculo Integral
x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .
x2 + 4x + 4, es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2.
Tendremos:
x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )2 - 12 .
Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estará
lista para desarrollarse, se usa la fórmula:
∫
dv
v2 - a2
∫
dx
x + 4x + 3
1 . ln v - a + c .
2a
v+a
=
=
2
v = (x + 2 )
dv = dx
a =1
∫
dx
.
2
2
(x + 2 ) - 1
El diferencial esta completo.
∫
dx
x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c .
= 1 . ln
(x + 2 )2 - 12 2.1
x+2+1 2
x+3
Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la
cantidad sub-radical.
Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas.
2.
∫
dx
.
2x - x2 - 10
- x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 12 = 1
2
- (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)2 + 32]
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75
Solucionario de Calculo Integral
∫
dx
- [ (x - 1)2 + 32]
v =x - 1
dv = = dx
a =3
-∫
3.
∫
=
-∫
dx
[ (x - 1)2 + 32]
.
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
Se emplea la fórmula: ∫ dv
= 1 .arc tg v + c .
dx
[(x - 1)2 + 32]
v2 + a2
=
a
a
- 1 arc tg x - 1 + c .
3
3
3 dx
.
x - 8x + 25
2
8/2 = 4 ; 42 = 16
x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)2 + 32]
∫
3 dx
.
2
2
[(x - 4) + 3 ]
v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dx
∫ dv = 1 arc tg v + c .
a =3
v2 + a2 a
a
(3)∫
3 dx
3
.
1
.
arc
tg x - 4 = arc tg x - 4 + c .
=
2
2
[(x - 4) + 3 ]
3
3
3
4.
∫
dx
.
2
√3x - x - 2
3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 .
2
2
4
- (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 )2 - 9 + 8 ] =
4 4
2
4
4
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76
Solucionario de Calculo Integral
=
∫
- (x - 3 )2 - 1
2
4
=
dx
√ ½ 2 - x - 3/2
- (x - 3 )2 - 1
2
2
2
=
1 2 - (x - 3 )2
2
2
.
2
v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica:
dv = dx
∫
dv = arc sen v + c .
a = 1/2
√a2 - v2
a
=
5.
∫
arc sen x - 3/2
½
=
arc sen
2x - 3
2
½
=
arc sen (2x - 3) + c .
dv
.
v2 - 6v + 5
v2 - 6v + 5 ;
6
2
=
3 ; 32 = 9
v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22 =
Sustituyendo este valor en la integral:
∫
dv
.
(v - 3)2 - 22
v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la fórmula:
dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
a =2
v2 - a2 2a
v+a
∫
6.
dv
(v - 3)2 - 22
=
1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5
2.2
v-3+2 4
v-1
+c.
∫
dx
.
2x2 - 2x + 1
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77
Solucionario de Calculo Integral
2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1 ) ; 1 ; 1
2
2 2
2
=
1
4
.
2(x2 - x + 1 - 1 + 1 ) = 2{ (x - 1 )2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 )2 - 1 + 2 }
4 4 2
2
4 2
2
4 4
2{(x - 1 )2 + 1 } = 2{(x - 1 )2 + 12}
2
4
2
22
El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de la
integral como 1/2 .
∫
dx
2{(x - 1 )2 + 12 }
2
22
1.∫
dx
2 {(x - 1 )2 + 12 }
2
22
=
=
v = x - 1/2
dv = dx
a = 1/2
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
x- 1
1.1 ∫
dx
2 =
= 1 . 2 .arc tg
2 1 {(x - 1 )2 + 12 } 2
1
2
2
22
2
2x - 1
2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c .
2
1
2
.
.
.
7.
∫
dx
.
√15 + 2x - x2
15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - (x2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 12 = 1
2
(x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1)2 - 16 } = - [(x - 1)2 - 42 ] =
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78
Solucionario de Calculo Integral
[42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral.
∫
dx
√15 + 2x - x2
v =x - 1
dv = dx
a =4
=
∫
dx
2
√{4 - (x - 1)2}
=
El diferencial esta completo,se usa la fórmula:
∫ dv = arc sen v + c .
√a2 - v2
a
arc sen x - 1 + c .
4
8.
∫
dx .
x + 2x
2
x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 12 = 1 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x .
x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] .
∫
dx
.
{(x + 1)2 - 12}
v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la fórmula:
dv = dx
∫ dv = 1 ln v - a + c .
a =1
v2 - a2 2a v + a
9.
∫
dx
{(x + 1)2 - 12}
∫
dx
4x - x2
=
1 ln x + 1 - 1
2.1
x+1+1
=
1 ln x + c .
2
x+2
.
4x - x2 = - x2 + 4x = - (x2 - 4x)
4 = 2 ; 22 = 4
2
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79
Solucionario de Calculo Integral
=
- (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } =
{22 - (x - 2)2}
∫
dx
.
2
2
{2 - (x - 2) }
v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la fórmula:
dv = dx ∫ dv = 1 . ln a + v + c .
a =2
a2 - v2 2a
a-v
1 ln 2 + x - 2
2.2
2 - (x - 2)
10.
=
1 ln
x
4
2-x+2
=
1 ln x + c .
4
4-x
∫
dx .
√2x - x2
2x - x2 = - x2 + 2x = - (x2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 12 = 1
2
-(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)2 - 12} = 12 - (x -1)2
∫
dx
.
√12 - (x -1)2
v =x - 1
dv = dx
a =1
arc sen x - 1
1
11.
Esta completo el diferencial, se usa la fórmula:
∫ dv = arc sen v + c .
√a2 - v2
a
=
arc sen (x - 1) + c .
∫
ds
.
2
√2as + s
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80
Solucionario de Calculo Integral
2as + s2 = s2 + 2as .
2a = a ; a2 = a2
2
s2 + 2as + a2 - a2 = {(s + a)2 - a2} = (s + a)2 - a2
∫
ds
.
√{(s + a)2 - a2}
v = s + a El diferencial esta completo, se aplica:
dv = ds ∫ dv = ln [v + √(v2 - a2)] + c .
a =a
√v2 - a2
ln {(s + a) + √[(s + a)2 - a2] } + c .
12.
∫
dy
.
y2 + 3y + 1
y2 + 3y + 1 .
3 ; 32= 9 .
2 2
4
y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = {( y + 3 )2 - 9 + 4 } = {( y + 3 )2 - 5 }
4 4
2
4 4
2
4
{( y + 3 )2 - √5 2} = {( y + 3 )2 - √5 2}
2
√4
2
2
∫
dy
. v = y + 3/2 El diferencial esta
2
2
(y + 3/2 ) - (√5/2)
dv = dy
completo, se aplica :
a = √5/2
∫ dv = 1 ln v - a + c
v2 - a2 2a
v+a
.
y+ 3 1 . ln
2
2.√5
y + 3 +
2
2
√5
2
√5
2
=
1 ln
√5
2y + 3 - √5
2
2y + 3 + √5
2
.
=
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
.
.
81
Solucionario de Calculo Integral
1 ln 2y + 3 - √5 + c .
√5
2y + 3 + √5
13.
∫
dy
.
1 + x + x2
1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1
2 2
=
2
=
1 .
4
{x2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + ½)2 - 1 + 4 } =
4 4
4
4
{(x + ½)2 + ¾ } = {(x + ½)2 + (√¾ )2} = (x + ½)2 + (√3/2)2.
∫
dy
(x + ½) + (√3/2)2
v = x + 1/2
dv = dx
a = √3/2
.
El diferencial esta completo.
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
∫
dy
2
(x + ½) + (√3/2)2
2x + 1
2 arc tg 2
√3
√3
2
14.
=
2
1 arc tg
√3
2
=
.
x+1
2
√3
2
.
=
.
.
=
2 arc tg 2x + 1 + c
√3
√3
.
∫
dx
.
√1 + x + x2
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82
Solucionario de Calculo Integral
1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 .
2
2
4
x2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + ½)2 - 1 + 4 } = {(x + ½)2 + ¾ } .
4 4
4 4
(x + ½)2 + √3
√4
2
=
(x +½)2 + √3
2
2
=
(x + ½)2 + (√3/2)2
∫
dx
.
2
2
√{(x + ½) + (√3/2) }
v = x + 1/2
dv = dx
a = √3/2
Esta completo el diferencial.
Se aplica : ∫
dv = ln {v + √v2+a2} + c.
√v2+a2
ln { x + ½ + √{(x + ½)2 + (√3/2)2} =
ln {x + ½ + √(1 + x + x2)} + c .
15.
∫
dx
.
4x2 + 4x + 5
4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) .
4
1 ; 12 = 1 .
2 22 4
4(x2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) =
4 4 4
4 4
4{(x + ½)2 + 1 } = 4 {(x + ½)2 + 12 }.
El factor (4) sale como ¼ fuera de la integral
1 ∫
dx
.
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83
Solucionario de Calculo Integral
4 {(x + 1 )2 + 12}.
2
v = x + 1/2 El diferencial esta completo:
dv = dx
Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c
a =1
v2 + a2 a
a
1 . 1 arc tg x + ½
4 1
1
16.
∫
=
1 arc tg (2x + 1) + c .
4
2
dx
.
3x2 - 2x + 4
3x2 - 2x + 4 = 3(x2 - 2/3x + 4/3).
2
3
2
1
.
=
2= 1 ; 1 2
6 3
3
1
9
=
.
3[x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3)2 - 1/9 + 12/9] =
3[(x - 1/3)2 + 11/9] = {3(x - 1/3)2 + (√11/√9)2 =
{3(x - 1/3)2 + (√11/3)2}
El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral .
∫
dx
{3(x - 1/3) + (√11/3)2}
v = x - 1/3
dv = dx
a = √11/3
2
=
1 ∫
dx
2
3 (x - 1/3) + (√11/3)2
.
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
1 . 1 . arc tg
3 √11
x-1
3
√11
=
1 arc tg
√11
3x - 1
3
√11
.
=
.
.
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
84
Solucionario de Calculo Integral
3
3
3
.
1 . arc tg 3x - 1 + c .
√11
√11
.
17.
∫
dx
.
2
√2 - 3x - 4x
2 - 3x - 4x2 = {- 4x2 - 3x + 2} = {- 4(x2 + ¾ x - 2/4)} ,
¾ = ⅜ ; (⅜)2 = 9/64
2
{- 4(x2 + ¾ x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x + ⅜)2 - 9/64 - 32/64]}
- 4[(x + ⅜)2 - 41/64]} = {- 4[(x + ⅜)2 - (√41/√64)2]}
{- 4[(x + ⅜)2 - (√41/8)2]} = {4[(√41/8)2 - (x + ⅜)2]} =
Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como ½
∫
dx
dx
= ∫
√{4[(√41/8)2 - (x + ⅜)2]}
√4 . √[(√41/8)2 - (x + ⅜)2]
∫
dx
dx
= 1 ∫
=
2
2
2
2
2a√[(√41/8) - (x + ⅜) ]} 2 √[(√41/8) - (x + ⅜) ]
=
v = x + ⅜ El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = dx
Se aplica : ∫
dv = arc sen v + c .
2
a = √41/8
√a - v2
a
.
1 arc sen x + ⅜
2
√41/8
=
1 arc sen
2
8x + 3
8
√41
8
.
+c.
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.
85
Solucionario de Calculo Integral
1 arc sen 8x + 3 + c .
2
√41
18.
∫
dx
.
x + 2x + 10
2
x2 + 2x + 10 , 2/2 = 1 ; 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 + 10 = (x + 1)2 - 1 + 10 = (x + 1)2 + 9 =
(x + 1)2 + 32 . Sustituyendo este valor en la integral.
∫
dx
.
(x + 1)2 + 32
v= x+1
dv = dx
a =3
19.
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
∫
dx
(x + 1)2 + 32
∫
dx
.
x2 + 2x - 3
x2 + 2x - 3 .
=
1 arc tg x + 1 + c .
3
3
2/2 = 1; 12 = 1
x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4 = (x + 1)2 - 22
∫
dx
.
(x + 1)2 - 22
v =x + 1
El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dx
∫ dv = 1 ln v - a + c .
a =2
v2 - a2 2a
v+a
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86
Solucionario de Calculo Integral
1 ln x + 1 - 2
2.2 x+1+2
20.
∫
=
1 ln x - 1 + c .
4
x+3
dy
.
3 - 2y - y2
3 - 2y - y2 = - y2 - 2y + 3 = - (y2 + 2y - 3 ) .
2/2 = 1 ; 12 = 1
{- (y2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y + 1)2 - 1 - 3]} ={-[(y + 1)2 - 4]}
{- [(y + 1)2 - 22 ]} = {22 - (y + 1 )2}. Sustituyendo en la integral.
∫
dy
.
{22 - (y + 1 )2}
v =y + 1
dv = dy
a =2
1 ln
2(2)
21.
2+y+1
2 - (y + 1)
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 ln a + v + c .
a2 - v2 2a
a-v
=
1 ln 3 + y
4 2-y-1
=
1 ln 3 + y + c .
4
1-y
∫
3 du .
√5 - 4u - u2
5 - 4u - u2 = - u2 - 4u + 5 = - (u2 + 4u - 5) .
4/2 = 2 ; 22 = 4
{- (u2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u + 2 )2 - 4 - 5} = {- (u + 2 )2 - 9}
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87
Solucionario de Calculo Integral
{- (u + 2 )2 - 32} = {32 - (u + 2 )2} .Se reemplaza en la integral.
∫
3 du
√32 - (u + 2 )2
v =u + 2
dv = du
a =3
.
El diferencial esta completo, se aplica:
∫
dv = arc sen v + c .
√a2 - v2
a
∫
3 du
√32 - (u + 2 )2
22.
=
3∫
du
√32 - (u + 2 )2
=
3 arc sen u + 2 + c .
3
∫
5 dx .
2
√x + 2x + 5
x2 + 2x + 5 . 2/2 = 1 ; 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = (x + 1)2 - 1 + 5 = (x + 1)2 + 4 .
(x + 1)2 + 22 . Sustituyendo este resultado en la integral.
∫
5 dx
.
√(x + 1)2 + 22
v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dx
∫
dv = ln ( v + √v2 + a2) + c .
a =2
√v2 + a2
ln {x + 1 + √(x + 1)2 + 22 } = ln {x + 1 + √(x2 + 2x + 5)} + c .
23.
∫
dx
.
√x + 4x + 3
2
x2 + 4x + 3 .
4/2 = 2 ; 22 = 4
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88
Solucionario de Calculo Integral
x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 1 .
(x + 2)2 - 12. Este resultado se reemplaza en la integral.
aplica:
∫
dx
. v = x + 2 El diferencial esta completo, se
√(x + 2)2 - 12
dv = dx
a =1
∫
dv
√v - a2
=
ln [v + √v2 - a2 ] + c .
2
ln { x + 2 + √[(x + 2)2 - 12] } + c .
24.
∫
dx
√x + 2x
.
2
x2 + 2x .
2/2 = 1 ; 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)2 - 1 = (x + 1)2 - 12.Sustituyendo este valor en la integral
∫
dx
.
2
2
√(x + 1) - 1
v= x+1
dv = dx
a =1
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = ln [v + √(v2 - a2) ] + c .
√v2 - a2
ln {x + 1 + √[(x + 1)2 - 12] } + c .
25.
∫
dt .
√3t - 2t2
3t - 2t2 = - 2t2 + 3t = -2(t2 - 3/2.t) .
3/2 = ¾
2
; (¾)2 = 9/16
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89
Solucionario de Calculo Integral
{-2(t2 - 3/2.t + 9/16 - 9/16)} = {-2[(t - ¾)2 - 9/16)]} =
2[9/16 - (t - ¾)2]} = {2[(3/4)2 - (t - ¾)2]} .
∫
dt
dt
= ∫
=
√{2[(¾)2 - (t - ¾)2]} √(2).√[( ¾)2 - (t - ¾)2]
1 ∫
dt
.
2
2
√2 √[(¾) - (t - ¾) ]
v = t - ¾ El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dt
∫
dv
= arc sen v + c .
a =¾
√a2 - v2
a
26.
(4t - 3)
1 arc sen t - ¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c .
√2
¾ √2
3
√2
3
4
∫
dx
.
2
x - 4x + 5
x2 - 4x + 5 .
4/2 = 2 ; 22 = 4
x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x - 2)2 - 4 + 5 =
(x - 2)2 + 12 .Sustituyendo este valor en la integral. ∫
v= x-2
dv = dx
a =1
dx
.
(x - 2)2 + 1
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
1 arc tg x - 2
1
1
=
arc tg (x - 2) + c .
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90
Solucionario de Calculo Integral
27.
∫
dx
.
2 + 2x - x2
2 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 2 = - (x2 - 2x - 2) .
2/2 = 1 ; 12 = 1
{-(x2 - 2x - 2)} = {-(x2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1)2 - 1 - 2]} =
{-[(x - 1)2 - 3]} = {-[(x - 1)2 - (√3)2]} = (√3)2 - (x - 1)2 .
∫
dx
.
2
(√3) - (x - 1)
2
v =x - 1
dv = dx
a = √3
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 ln a + v + c .
a2 - v2 2a
a-v
1 ln √3 + x - 1
2√3
√3 - (x - 1)
28.
∫
=
1 ln √3 + x - 1 + c .
2√3
√3 - x + 1
dr
.
r2 - 2r - 3
r2 - 2r - 3 .
2 = 1 ; 12 = 1
2
r2 - 2r - 3 = r2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 4 = (r - 1)2 - 22
Sustituyendo este valor en la integral. ∫
dr
.
(r - 1)2 - 22
v =r - 1
dv = dr
a =2
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
1 . ln r - 1 - 2
2.2
r-1+2
=
1 ln r - 3 + c .
4
r+1
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91
Solucionario de Calculo Integral
29.
∫
4 dx
.
2
√x - 4x + 13
x2 - 4x + 13 .
4/2 = 2 ; 22 = 4
x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = (x + 2 )2 - 4 + 13 =
(x + 2 )2 + 9 = (x + 2 )2 + 32. Reemplazando en la integral.
∫
4 dx
.
2
2
√(x + 2 ) + 3
v =x + 2
El diferencial esta completo, se aplica:
2
2
dv = dx
∫
dv
= ln [ v + √v + a ] + c .
2
2
a =3
√v + a
ln {x + 2 + √[(x + 2 )2 + 32]} + c .
30.
∫
dz
.
2
√3 + 2z - z
3 + 2z - z2 = - z2 + 2z + 3 = - (z2 - 2z - 3) . 2/2 = 1 ; 12 = 1
{-(z2 - 2z - 3)} = {-(z2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1)2 - 1 - 3]} =
{-[(z - 1)2 - 4]} = {-[(z - 1)2 - 22]} = 22 - (z - 1)2
∫
dz
.
2
2
√2 - (z - 1)
v =z - 1
dv = dz
a =2
El diferencial esta completo, se aplica:
∫
dv = arc sen v + c .
2
√a - v2
a
arc sen z - 1 + c .
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92
Solucionario de Calculo Integral
31.
2
∫
dv
2
√v - 8v + 15
.
v2 - 8v + 15 .
8/2 = 4 ; 42 = 16
v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 1 =
(v - 4)2 - 12 . Reemplazando este valor en la integral.
∫
dv
.
2
2
√(v - 4) - 1
v =v - 4
dv = dv
a =1
Esta completo el diferencial, se aplica:
∫
dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c .
√v2 - a2
ln {v - 4 + √[(v - 4)2 - 12]} + c .
32.
∫
x dx
.
x4 - x2 - 1
x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 .
(1/2)2 = 1
4
(x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + ¼ - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - ¼ - 1 =
(x2 - ½)2 - 5/4 = (x2 - ½)2 - (√5/√4)2 = (x2 - ½)2 - (√5/2)2 =
1/2 ;
.
(x2 - ½)2 - (√5/2)2 .reemplazando este valor en la integral.
∫
x dx
.
(x2 - ½)2 - (√5/2)2
v = x2 - ½
dv = 2x dx
Falta (2) para completar
Se aplica:
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93
Solucionario de Calculo Integral
∫
a = √5
2
dv
v2 - a2
=
1 ln v - a + c .
2a
v+a
1 ∫
(2) x dx
.
2
2
2
2 (x - ½) - (√5/2)
x2 - 1 - √5
1 . 1 . ln
2 2
2
2 2 . √5
x - 1 + √5
2
2
2
1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5
2√5.√5
2x2 - 1 + √5
33.
∫
=
=
2x2 - 1 - √5
2
2
2x - 1 + √5
2
1 . ln
2√5
.
=
.
.
√5 . ln 2x2 - 1 - √5 + c .
10
2x2 - 1 + √5
dt
.
√1 - t - 2t2
1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2(t2 + ½ t - ½) .
½
2
=
¼ ; ( ¼ )2= 1/16
{-2(t2 + ½ t - ½)} ={-2(t2 + ½ t + 1/16 - 1/16 - ½)} =
{-2[(t + ¼)2 - 1/16 - ½]}={-2[(t + ¼)2 -1/16 - 8/16]}=
{-2[(t + ¼)2 - 9/16]} = {-2[(t + ¼)2 - (√9/√16)2]}
{2(-1)[(t + ¼)2 - ( ¾)2]} = {2[( ¾)2 - (t + ¼)2]} .
.
¼)2]
∫
dt
=
∫
dt
=
1 ∫
dt
√{2[ (¾)2 - (t + ¼)2]} √2 √[( ¾)2 - (t + ¼)2] √2 √[( ¾)2 - (t +
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94
Solucionario de Calculo Integral
v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dt
∫ dv = arc sen v + c .
a= ¾
√a2 - v2
a
4t + 1
.
1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4
√2
¾ √2.√2
3
2
4
34.
∫
=
√2 arc sen 4t + 1 + c .
3
.
dx
.
3x2 + 4x + 1
3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9
2
3(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) =
3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3)2 - 1/9} =
3{(x + 2/3)2 - (√1/√9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} .
∫
dx
2
3x + 4x + 1
=
∫
dx
dx
= 1 ∫
2
2
2
3{(x + 2/3) - (1/3) } 3 (x + 2/3) - (1/3)2
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 . ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
3x + 1
1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln
3
3 2. 1
x + 2/3 + 1/3 6
x + 3/3 2
3x + 3
3
3
3
1/2
1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 + c .
2
3x + 3
3x + 3
=
v = x + 2/3
dv = dx
a = 1/3
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95
.
=
.
.
Solucionario de Calculo Integral
35.
∫
dw
.
2w2 + 2w + 1
2w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ½) .
1/2 ; (1/2)2 = 1 .
4
{2(w2 + w + ¼ - ¼ + ½)} = {2(w + ½)2 - ¼ + ½ } =
{2(w + ½)2 - ¼ + 2/4} = = {2[(w + ½)2 + ¼]} =
{2(w + ½)2 + [√(¼)2 ]} =
{2[(w + ½)2 + ( ½ )2]} .Reemplazando en la integral.
∫
dw
dw
.
= 1 ∫
2
2
2
{2[(w + ½) + ( ½ ) ]} 2 (w + ½) + ( ½ )2
v = w + ½ El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dw
∫ dv = 1 arc tg v + c .
2
a =½
v + a2 a
a
1 . 1 arc tg w + ½
2 ½
½
2
=
1 arc tg
1
2
2w + 1
2
=
.
.
2
.
arc tg (2w + 1) + c .
36.
∫
x2 dx
.
6
3
9x - 3x - 1
9x6 - 3x3 - 1. Suponiendo que: x3= m ⇒ 9m2 - 3m - 1 =
x6 = m2
9(m2 - 3/9m - 1/9) = 9(m2 - 1/3m - 1/9) .
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96
Solucionario de Calculo Integral
1/3 ; 1
2
6
2
=
1 .
36
{9(m2 - 1/3m + 1/36 - 1/36 - 1/9)} = {9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 1/9]}
{9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 4/36]} = {9[(m - 1/6)2 - 5/36]} =
{9[(m - 1/6)2 - (√5/√36)2]} = {9[(m - 1/6)2 - (√5/6)2]} .
Pero: m = x3 , sustituyendo :
{9[(m - 1/6)2 - (√5/6)2]} = {9[(x3 - 1/6)2 - (√5/6)2]} .
∫
x2 dx
{9[(x - 1/6)2 - (√5/6)2]}
=
3
v = x3 - 1/6
dv = 3x2 dx
a = √5/6
1 ∫
x2 dx
3
2
9 [(x - 1/6) - (√5/6)2]}
=
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ dv = 1 ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
1.1 ∫
(3)x2 dx
9 3 (x3 - 1/6)2 - (√5/6)2
=
1 . 1 ln x3 - 1/6 - √5/6
27 2. √5
x3 - 1/6 + √5/6
6
1 ln 6x3 - 1 - √5
9 √5
6x3 - 1 + √5
√5 ln 6x3 - 1 - √5
9.5
6x3 - 1 + √5
=
=
=
6x3 - 1 - √5
1
ln
6
3
54 . √5
6x - 1 + √5
6
6
1 . √5 ln 6x3 - 1 - √5
9√5.√5
6x3 - 1 + √5
√5 ln
45
=
6x3 - 1 - √5 + c .
6x3 - 1 + √5
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97
.
.
.
Solucionario de Calculo Integral
Verificación del Ejercicio # 36, mediante la Diferenciación:
d
dx
√5 . ln 6x3 - 1 - √5
45
6x3 - 1 + √5
√5
45
1
. d 6x3 - 1 - √5
6x3 - 1 - √5 dx 6x3 - 1 + √5
6x3 - 1 + √5
√5 . 6x3 - 1 + √5
45 6x3 - 1 - √5
=
√5 . d ln 6x3 - 1 - √5
45 dx 6x3 - 1 + √5
.
.
(6x3 - 1 + √5)(18x2) - (6x3 - 1 - √5)(18x2)
(6x3 - 1 + √5)2
√5 . (6x3 - 1 + √5) . (108x5 - 18x2 + 18.√5.x2 - (108x5 - 18x2 - 18.√5 .x2)
45 6x3 - 1 - √5
(6x3 - 1 + √5 )2
√5 . (6x3 - 1 + √5)
45 6x3 - 1 - √5
(108x5 - 18x2 + 18.√5.x2 - 108x5 + 18x2 + 18.√5.x2)
(6x3 - 1 + √5 ) (6x3 - 1 + √5)
√5 .
36.√5. x2
3
45 (6x - 1 - √5) (6x3 - 1 + √5 )
=
36 . 5 . x2
.
45(6x - 1 - √5 )(6x3 - 1 + √5 )
180 x2
45 {(6x - 1) - (√5 )} {(6x3 - 1) + (√5)}
3
4x2
36x - 12x3 + 1 - 5
=
6
4 x2
=
36x - 12x3 - 4
6
3
=
4 x2
.
(6x - 1)2 - (√5)2
3
4 x2
.
4(9x - 3x3 - 1)
6
x2
.
(9x - 3x3 - 1)
Como es una diferenciación, para comprobar si la integral esta bien
desarrollada, por comodidad no fuimos colocando el dx, en el sitio
correcto que le compete, lo hacemos en la parte final; podemos
asumir, como el dx esta dividiendo, pasa ahora a multiplicar.
6
d
x2
6
dx 9x - 3x3 - 1
=
d
x2
9x - 3x3 - 1
dx .
6
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98
Solucionario de Calculo Integral
L.q.d.d. (Lo que se queria demostrar).
37.
∫
dt
.
15 + 4t - t2
15 + 4t - t2 = - t2 + 4t + 15 = -(t2 - 4t - 15) . 4/2 = 2 ; 22 = 4
-(t2 - 4t + 4 - 4 - 15) = -[(t - 2)2 - 4 - 15] = -[(t - 2)2 - 19] =
[19 - (t - 2)2] = (√19)2 - (t - 2)2 .Sustituyendo este valor en la integral.
∫
dt
.
(√19)2 - (t - 2)2
v =t - 2
dv = dt
a = √19
El diferencial esta completo, se aplica:
∫ dv = 1 ln a + v + c .
a2 - v2 2a
a-v
1
ln √19 + t - 2
2.√19
√19 - (t - 2)
√19
2.19
38. ∫
ln √19 + t - 2
√19 - t + 2
=
=
1 . √19 ln √19 + t - 2
2.√19.√19
√19 - t + 2
=
√19 ln √19 + t - 2 + c .
38
√19 - t + 2
dx
.
√9x + 12x + 8
2
9x2 + 12x + 8 = 9(x2 + 12/9x + 8/9) .
12/9 = 12/18 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9
2
9(x2 + 12/9x + 4/9 - 4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3)2 - 4/9 + 8/9] =
9[(x + 2/3)2 + 4/9] = 9[(x + 2/3)2 + (√4/√9)2] = 9[(x + 2/3)2 + (2/3)2 ]
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99
Solucionario de Calculo Integral
Reemplazando este valor en la integral.
∫
dx
√9(x + 2/3)2 + (2/3)2
=
∫
dx
√9.√(x + 2/3)2 + (2/3)2
=
1 ∫
dx
.
2
2
3 √(x + 2/3) + (2/3)
v = x + 2/3
dv = dx
a = 2/3
El diferencial esta completo, se aplica:
∫
dv = ln (v + √v2 + a2) + c .
2
√v + a2
1 ln { x + 2/3 + √[(x + 2/3)2 + (2/3)2]} + c .
3
39.
∫
dx
.
√4x2 - 12x + 7
4x2 - 12x + 7 = 4(x2 - 3x + 7/4) . 3/2 ; ( 3/2)2 = 9/4 .
{4(x2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 7/4)} = {4[(x - 3/2)2 - 9/4 + 7/4]} =
{4[(x - 3/2)2 - 2/4]} = {4[(x - 3/2)2 - (√2/√4)]}2 =
{4[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]}. Reemplazando en la integral.
∫
dx
√{4[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]}
1 ∫
dx
=
2 √(x - 3/2)2 - (√2/2)2
=
∫
dx
√4. √[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]
=
v = x - 3/2 El diferencial esta completo, se aplica:
dv = dx
∫
dv = ln ( v + √v2 - a2 ) + c .
2
a = √2/2
√v - a2
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100
Solucionario de Calculo Integral
1 ln { x - 3/2 + √(x - 3/2)2 - (√2/2)2 } + c .
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas. Paginas 253 y 254
Verificar las siguientes Integraciones:
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101
Solucionario de Calculo Integral
1.
∫ (1 + 2x) dx
1 + x2
=
arc tg x + ln (1 + x2) + c .
Primero tomamos como referencia un artificio aritmético cualquiera:
7 + 14
3 + 4
=
7
+ 14
3+4
3+4
; 1 + 2x
1 + x2
Aplicando este artificio en la integral:
∫ 1 + 2x dx = ∫ dx + ∫ 2x dx
1 + x2 1 + x2
1 + x2
1 + x2
v =x
dv = dx
a =1
=
1 + 2x .
1 + x2 1 + x2
=
La 1ra integral, esta completa.
Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a2 + v2 a
a
v = 1 + x2
dv = 2x dx
La 2da integral, tambien esta completa.
Se aplica: ∫ dv = ln v + c.
v
1 arc tg x + ln (1 + x2) = arc tg x + ln (1 + x2) + c .
1
1
2.
∫ ( 2x + 1) dx .
√x2 - 1
∫
2x
√x2 - 1
+ ∫ dx
√x2 - 1
∫ 2x dx + ∫
dx
2
1/2
2
(x - 1)
√x - 12
v = (x2 - 1)
dv = 2x dx
n = -1/2
.
=
∫ (x2 - 1)-1/2. 2x dx + ∫
dx
2
2
√x - 1
=
1ra integral.Esta completo el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
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102
Solucionario de Calculo Integral
v =x
dv = dx
a =1
2da integral. Se aplica:
∫
dx = ln (v + √v2 - a2 ) + c
2
√v - a2
(x2 - 1)-1/2+1 + ln{x + √x2 - 12}= (x2 - 1)1/2 + ln { x + √x2 - 12 }=
- 1/2 + 1
1/2
2(x2 - 1)1/2 + ln {x + √x2 - 12} = 2 √x2 - 12 + ln{x + √x2 - 12} + c .
3.
∫ (x - 1) dx .
√1 - x2
∫ x dx - ∫ dx
√1 - x2
√1 - x2
=
∫ (1 - x2)-1/2. x dx - ∫ dx .
√1 - x2
v = 1 - x2 1ra integral. Falta (-2) para completar el diferencial.
dv = - 2x Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = -1/2
n+1
v =x
dv = dx
a =1
2da integral. Esta completo el diferencial.
Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . + c .
√a2 - v2
a
(- 1 ) ∫ (1 - x2)-1/2.(-2) x dx - ∫
dx .
2
2
√1 - x2
- 1 . (1 - x2)-1/2+1 - arc sen x = - (1 - x2)1/2 - arc sen x =
2
-1/2+1
1
2(1/2)
-(1 - x2)1/2 - arc sen x = - √(1 - x2)1/2 - arc sen x + c .
4.
∫ (3x - 1) dx .
(x2 + 9)
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103
Solucionario de Calculo Integral
∫ 3x dx - ∫ dx
(x2 + 9) (x2 + 9)
v = x2 + 9
dv= 2x dx
=
∫ 3x dx - ∫ dx
(x2 + 32) (x2 + 32)
1ra integral.
v =x
dv = dx
.
2da integral.
1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:
∫ dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al # 3 fuera de
la integral.
2da integral. Esta completo el diferencial, se aplica:
∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
3 . 1 .∫ (2)x dx - ∫
dx
2 (x2 + 32) (x2 + 32)
5.
3 ln(x2 + 32) - 1 arc tg x + c .
2
3
3
=
∫ (3s - 2) ds .
√9 - s2
∫
3s - 2∫
ds
2
√9 - s
√9 - s2
∫
3s
2 1/2
(9 - s )
=
3∫ (9 - s2)-1/2.sds - 2 ∫
ds
√32 - s2
==
=
.
v = 9 - s2
1ra integral,falta (-2).
dv = - 2s ds Se aplica:
n = -1/2
∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
∫ dv
a2 - v2
- 2 ∫ ds
√32 - s2
v =s
2da integral esta completo
dv = ds el diferencial.
3(-1/2) ∫ (9 - s2)-1/2.(-2) sds - 2 ∫
ds .
2
√3 - s2
-3 .(9 - s2)-1/2+1 - 2 arc sen s
=
- 3 . (9 - s2)1/2 - 2arc sen s
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=
104
Solucionario de Calculo Integral
2
=
=
6.
-1/2+1
3
2
1/2
3
- 3. 2 .(9 - s2)1/2 - 2arc sen s = - 3(9 - s2)1/2 - 2arc sen s =
2
3
3
- 3 √(9 - s2) - 2arc sen s + c .
3
∫ (x + 3) dx .
√x2 + 4
∫ x dx + 3 ∫ dx
√x2 + 4
√x2 + 4
∫ x dx
(x2 + 4)1/2
∫ (x2 + 4)-1/2 . x dx + 3 ∫
dx
√x2 + 22
v = x2 + 4
dv = 2x dx
n = -1/2
+3∫
dx
2
√x + 22
=
=
=
1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vndv = vn+1 + c.
n+1
v =x
2da integral. Completo el diferencial. Se aplica:
2
2
dv = dx ∫
dv
= ln[v + √v + a ] + c .
a =2
√v2 + a2
(1/2) ∫ (x2 + 4)-1/2 .(2) x dx + 3 ∫
dx
2
√x + 22
=
1 . (x2 + 4)-1/2+1 + 3 .ln {x + √x2 + 22 } =
2
- 1/2+1
2
1 . (x + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} =
2 1/2
(x2 + 4)1/2 + 3ln{x +√x2 + 4} = (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} + c .
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105
Solucionario de Calculo Integral
7.
∫ (2x - 5) dx .
3x2 - 2
∫ 2x dx - ∫ 5dx
3x2 - 2
3x2 - 2
∫
∫ 2x dx - 5 ∫
dx
3x2 - 2
3 x2 - 2
3
2x dx - 5 . 1 . ∫
dx
3x2 - 2
3
(x)2 - √2 2
√3
v = 3x2 - 2
dv = 6x dx
1
3
=
2da integral.
Esta completo el diferencial.
Se aplica: ∫ dv = 1 ln { v - a } + c .
v2 - a2 2a
v+a
( 1 ) ∫ 2(3) x dx - 5 ∫
dx
2
2
3
3x - 2
3 (x) - √2 2
√3
1
3
=
.
1ra integral.
Falta (3) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .
v =x
dv = dx
a = √2
√3
=
=
=
x - √2
. ln (3x - 2) - 5 . 1 . ln
√3
3 2. √2
x + √2
√3
√3
x - √2 . √3 .
. ln (3x2 - 2) - 5√3 . ln
√3 . √3
6. √2
x + √2 . √3
√3 . √3
.
2
= .
.
=
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106
Solucionario de Calculo Integral
x - √6
3
x + √6
3
1 . ln (3x - 2) - 5 .√3 .√2 . ln
3
6 . √2 .√2
2
=
3x - √6
1 . ln (3x2 - 2) - 5 .√6 . ln
3
=
3
6.2
3x + √6
3
2
1 . ln (3x - 2) - 5 √6 . ln 3x - √6 + c .
3
12
3x + √6
8.
.
.
∫ (5t - 1) dt .
√3t2 - 9
∫
5 t dt
- ∫
dt
=
5∫
t dt
=
√3t2 - 9
√[(√3.t)2 - 32]
5 ∫ (3t2 - 9)-1/2 . t dt - ∫
(3t2 - 9)1/2
dt
√[(√3.t)2 - 32]
- ∫
dt
√[(√3.t)2 - 32]
=
v = 3t2 - 9 Falta (6) para completar el diferencial.(1ra integral).
dv = 6t dt Se aplica: ∫ v n dv = vn+1 + c .
n = -1/2
n+1
v = √3. t Falta (√3) para completar el diferencial.(2da integral).
dv = √3 Se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c .
a =3
√v2 - a2
5 . 1 . ∫ (3t2 - 9)-1/2 .(6) t dt - 1 ∫
√3 dt
=
2
2
6
√3 √[(√3.t) - 3 ]
=
5 . (3t2 - 9)-1/2+1 . - 1 . ln {√3.t + [(√3.t)2 - 32]} =
6
-1/2 + 1
√3
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107
Solucionario de Calculo Integral
Pero :[√(√3.t)2 - 32]
⇒
9.
=
=
√3t2 - 9 , además ordenando √3.t = t √3
5 (3t2 - 9)1/2 - 1 . ln { t √3 + √3t2 - 9 } .
6
1/2
√3
∫ (x + 3) dx .
6x - x2
Haciendo artificios con el númerador de la integral:
x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}.
Reemplazando en la integral.
∫ {-(3 - x) + 6} dx = - ∫ (3 - x) dx + 6 ∫ dx
6x - x2
6x - x2
6x - x2
=
Multiplicamos y dividimos para (2) al númerador de la 1ra integral .
- 1 ∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫ dx
2 6x - x2
6x - x2
=
Descomponemos el denominador de la 2da integral:
6x - x2 = - (x2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 32= 9
- (x2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3)2 - 9 = -{(x - 3)2 - 32}. Este valor se
sustituye en la 2da integral.
- 1
2
- 1
2
∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫
dx
6x - x2
-{(x - 3)2 - 32}
∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫
dx
6x - x2
(-){(x - 3)2 - 32}
=
=
Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto:
- 1 ∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫
dx
=
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108
Solucionario de Calculo Integral
2 6x - x2
(-) {(x - 3)2 - 32}
- 1 ∫ 2(3 - x) dx - 6 ∫
dx
2
2
2 6x - x
{(x - 3) - 32}
=
v = 6x - x2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer
dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero
diferencial . Se aplica:∫ dv/v = ln v + c .
v = x - 3 2da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .
a =3
v2 - a2 2a
v+a
- 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c .
2
2 .3
x-3+3
- 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 6 + c .
2
6
x
- 1 ln{6x - x2} - ln x - 6 + c .
2
x
10.
∫ (2x + 5) dx .
x2 + 2x + 5
Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5; dv= 2x + 2.(verdadero diferencial)
Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en :
(2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx .
∫ {(2x + 2) + 3}dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫
3 dx
2
2
2
x + 2x + 5
x + 2x + 5
x + 2x + 5
=
Descomponiendo: x2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 12 = 1}
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109
Solucionario de Calculo Integral
⇒ x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 .
Reemplazando este resultado en la 2da integral .
∫ (2x + 2) dx + ∫
3 dx
x2 + 2x + 5
x2 + 2x + 5
=
v = x2 + 2x + 5 La 1ra integral, tiene el diferencial completo:
dv = (2x + 2) dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c .
v
La 2da integral, tambien tiene el diferencial completo:
Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .
v2 + a2 a
a
.
∫ (2x + 2) dx + ∫
x2 + 2x + 5
3 dx
=
x2 + 2x + 5
∫ (2x + 2) dx + ∫
x2 + 2x + 5
ln (x2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1)
2
2
3 dx
(x + 1)2 + 22
=
ln (x2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c .
2
2
11.
∫ (1 - x) dx .
4x2 - 4x - 3
∫ - (-1 + x) dx
4x2 - 4x - 3
=
- 1 ∫ 8x - 8 dx
8 4x2 - 4x - 3
- ∫ (x - 1) dx
4x2 - 4x - 3
=
=
- 1 ∫ 8(x - 1) dx.
8 4x2 - 4x - 3
- 1 ∫ (8x - 4 - 4)dx = - 1 ∫ (8x - 4) - 4 dx
8 4x2 - 4x - 3
8
4x2 - 4x - 3
- 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫
4 dx
=
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110
Solucionario de Calculo Integral
8
4x2 - 4x - 3
4 (x2 - x - 3/4)
- 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫
dx
8 4x2 - 4x - 3 (x2 - x - 3/4)
.
Descomponiendo: x2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto.
(x2 - x - 3/4 ) . 1 ; 1 2 = 1 .
2
2
4
(x2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x2 - x + 1/4 - 4/4) =
(x - 1/2) - 1 = (x - 1/2)2 - 12 . Se reemplaza en la 2da integral.
- 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫
dx
.
2
2
2
8 4x - 4x - 3
(x - 1/2) - 1
La 1ra integral ,esta completa. v = 4x2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ;
Se aplica : ∫ dv = ln v + c .
v
La 2da integral , tambien esta completa
v = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 .
Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c .
v2 - a2 2a v + a
Integrando:
x- 1 - 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln
2
8
2.1
x- 1 +
2
2x - 1 - 2
- 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln
2
8
2
2x - 1 + 2
2
2
2
2
.
=
.
.
=
.
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111
Solucionario de Calculo Integral
2
.
- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 1 - 2
8
8.2
2x - 1 + 2
=
- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 3 + c .
8
16
2x + 1
12.
∫ (3x - 2) dx .
1 - 6x - 9x2
∫
(3x - 2) dx
-(9x2 + 6x - 1)
=
- ∫ (3x - 2) dx
9x2 + 6x - 1
=
Suponiendo que:
v = 9x2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ;(verdadero diferencial); a :(3x - 2)
lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dx y al mismo
tiempo se le opone 1/6 a la integral.
Descomponiendo :
9x2 + 6x - 1 = 9(x2 + 6/9x - 1/9) = 9(x2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae la
mitad al coeficiente del 2do término y al al resultado se lo eleva
al cuadrado.
Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) .
2/3
2
=
2
6
=
1 ; { 1 }2 = 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)]
3
3
9
9[(x + 1/3)2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3)2 - 2/9 ] =
9[(x + 1/3)2 - (√2/√9)2] = 9[(x + 1/3)2 - (√2/3)2].
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112
Solucionario de Calculo Integral
Reemplazando este valor en la 2da integral, sumando y restando
"6" al númerador, para obtener los diferenciales.
- 1 ∫ 6(3x - 2) dx = - 1 ∫ 18x - 12 dx = - 1 ∫ 18x + 6 - 6 - 12 dx
6 9x2 + 6x - 1 6 9x2 + 6x - 1
6
9x2 + 6x - 1
- 1 ∫ (18x + 6) - 18 dx = - 1 ∫ 18x + 6 dx - ∫
18 dx
6
9x2 + 6x - 1
6 9x2 + 6x - 1 9x2 + 6x - 1
- 1 ∫ (18x + 6)dx + 18 ∫
dx
2
2
6 9x + 6x - 1 6 9[(x + 1/3) - (√2/3)2]
.
.
La 1ra integral , esta completa .v = 9x2 + 6x - 1 ; dv = 18x + 6 ;
Se aplica : ∫ dv = ln v + c .
v
La 2da integral , tambien esta completa, v = x + 1/3 ; dv = dx ;
a = √2/3 . Se aplica : ∫
dv = 1 ln v - a + c .
v2 - a2 2a
v+a
-1 ∫
18x dx + 3 ∫
dx
2
2
6 9x + 6x - 1 9 [(x + 1/3) - (√2/3)2]
- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + 1 . 1 . ln
6
3 2. √2
3
=
x + 1 - √2
3
3 =
x + 1 + √2
3
3
3x + 1 - √2
- 1 ln {9x + 6x - 1} + . 3 . ln
3
6
6. √2
3x + 1 + √2
3
2
- 1 ln {9x2 + 6x - 1} +
1 ln 3x + 1 - √2
.
.
=
.
.
=
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113
Solucionario de Calculo Integral
6
3x + 1 - √2
2√2
- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2
6
2√2.√2
3x + 1 - √2
- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2
6
2.2
3x + 1 - √2
=
=
- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2 + c .
6
4
3x + 1 - √2
13.
∫ (x + 3) dx .
√x2 + 2x
Suponiendo que: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 .(verdadero diferencial).
⇒ (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx.
1 . ∫ 2(x + 3) dx = 1 . ∫ 2x + 6 dx = 1 . ∫ 2x + 2 + 4 dx
2
√x2 + 2x
2 √x2 + 2x 2
√x2 + 2x
=
1 . ∫ (2x + 2) + 4 dx
2
√x2 + 2x
=
1
2
∫ (2x + 2) + 4 ∫
dx
2
2
√x + 2x
√x + 2x
1 ∫
(2x + 2) + 4 ∫
dx
2 (x2 + 2x)1/2
√(x2 + 2x
=
=
=
Descomponiendo la cantidad sub-radical: x2 + 2x
x2 + 2x . 2/2 = 1 ; 12= 1 .
(x + 2x + 1 - 1) = (x + 1)2 - 12. Se sustituye en la 2da integral .
1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫
dx
=
2 (x2 + 2x)1/2
√(x + 1)2 - 12
1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . ∫
dx
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.
114
Solucionario de Calculo Integral
√(x + 1)2 - 12
2
2
1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx
2
+ 1 .4.∫
dx
.
2
√(x + 1)2 - 12
1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx + 2 ∫
dx
.
2
2
2
√(x + 1) - 1
La 1ra integral , esta completa: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 ;
Se aplica : ∫ dv/v = ln v + c .
La 2da integral , tambien esta completa:v = x + 1 ;dv = dx ; a = a .
Se aplica : ∫
dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c .
√v2 - a2
1 . (x2 + 2x)-1/2+1 + 2 ln {(x + 1) + √(x + 1)2 - 12 } =
2
- 1/2 + 1
1 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1) - 1] } =
2
1/2
2 . 1 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1 - 1 ]} =
2
.
(x2 + 2x)1/2 + 2ln {(x + 1) + √(x2 + 2x)} =
√(x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + √(x2 + 2x)} + c .
14.
∫ (x + 2) dx .
√4x - x2
v = 4x - x2 ; dv = - 2x + 4 .(verdadero diferencial)
Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = - 2x - 4.
-2(x + 2) = - 2x - 4 . ⇒ se suma y resta "4" al "dv" propuesto.
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115
Solucionario de Calculo Integral
{- 2x - 4} ; - 2x - 4 + 4 - 4 = - 2x + 4 - 8 = (- 2x + 4) - 8 .
(-1 ) ∫ (-2)(x + 2) dx = (-1 ) ∫ (-2x - 4 + 4 - 4)dx
2
√4x - x2
2
√4x - x2
=
(-1 ) ∫ {(-2x + 4) - 8} dx. Descomponiendo: 4x - x2 = - (x2 - 4x).
2
√4x - x2
- (x2 - 4x) . 4/2 = 2 ; 22 = 4 . {- (x2 - 4x + 4 - 4)}=
{- (x - 2)2 - 4)}= {- (x - 2)2 - 22)} = 22 - (x - 2)2
(-1 )∫ {(-2x + 4) - 8}.dx = (-1 ) ∫ (-2x + 4) .dx - 8 ∫
dx
=
2
√4x - x2
2
√4x - x2
√22 - (x - 2)2
(-1 ) ∫ (4x - x2)-1/2 . (-2x + 4) .dx + 1 . 8 ∫
dx
2
2
√22 - (x - 2)2
=
La 1ra integral, esta completa. v = 4x - x2 ; dv = -2x + 4 ;
Se aplica : ∫ vn . dv = vn+1 + c .
n+1
La 2da integral, tambien esta completa. v = x - 2 ; dv = dx ; a = 2.
Se aplica : ∫
dv = arc sen v + c .
√v2 - a2
a
- 1 . (4x - x2)-1/2+1 + 8 . arc sen x - 2
2
(-1/2+1)
2
2
- 1 . (4x - x2)1/2 + 4 arc sen x - 2 + c .
2
(1/2)
2
=
.
2/2.(4x - x2)1/2 + 4arc sen (x - 2) = √(4x - x2) + 4arc sen (x - 2) + c
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116
Solucionario de Calculo Integral
15.
∫
x dx
.
√ 27 + 6x - x2
Multiplico por (- 2) , luego sumo y resto 6 al númerador.
-1 ∫
(-2) x dx
2 √27 + 6x - x2
.
=
- 1 ∫ (-2 x + 6 - 6) dx
2
√ 27 + 6x - x2
=
- 1 ∫ (-2 x + 6) - 6) dx = - 1 ∫ (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫
2
√ 27 + 6x - x2
2
√ 27 + 6x - x2
6dx
2 √27 + 6x - x2
Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador
de la 2da integral : √ 27 + 6x - x2.
27 + 6x - x2 = - (x2 - 6x - 27) . 6/2 = 3 ; 32 = 9 .
(x2 - 6x - 27) = - (x2 - 6x + 9 - 9 - 27) = - [(x - 3)2 - 36] =
-
[(x - 3)2 - 62] = 62 - (x - 3)2.
Se sustituye este valor en el denominador de la 2da integral.
- 1 ∫ (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫
6 dx
2
2
2 √6 - (x - 3)2
.
- 1 ∫ (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx + 6 ∫
dx
2
2
2 √6 - (x - 3)2
.
v = 27 + 6x - x2
1ra integral. Esta completo el diferencial.
dv = - 2x + 6 . dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n = -1/2 .
n+1
v =x - 3
dv = dx
2da integral: Esta completo el difererencial.
Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c.
√a2 - v2
a
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117
Solucionario de Calculo Integral
-1 (27 + 6x - x2)-1/2+1 + 3 arc sen (x - 3) + c .
2
- 1/2 + 1
6
-1 .(27 + 6x - x2)1/2 + 3arc sen (x - 3) + c .
2
(1/2)
6
- (27 + 6x - x2)1/2 + 3 arc sen (x - 3) + c .
6
- √(27 + 6x - x2) + 3 arc sen (x - 3) + c .
6
16.
∫ (3x + 2) dx .
√19 - 5x + x2
Multiplico y divido para (2); luego sumo y resto (19) .
1 ∫ 2(3x + 2) dx .
2 √19 - 5x + x2
1 ∫ (6x + 4) dx
2 √19 - 5x + x2
=
1 ∫ (6x + 4 + 19 - 19)dx
2
√19 - 5x + x2
1 ∫ {(6x + 4 - 19) + 19}dx
2
√19 - 5x + x2
=
=
1 ∫ {(6x - 15) + 19}dx
2
√19 - 5x + x2
=
=
1 ∫ (6x - 15) dx + 1 .19. ∫
dx
.
2 √19 - 5x + x2
2
√19 - 5x + x2
1 ∫ 3(2x - 5) dx + 19 ∫
dx
2 √19 - 5x + x2
2 √19 - 5x + x2
3 ∫ (2x - 5) dx
+ 19 ∫
dx
=
.
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118
Solucionario de Calculo Integral
2 √19 - 5x + x2
2
√19 - 5x + x2
La 1ra integral esta lista para integrarse,el radical sube como
exponente negativo ; en la 2da integral primero completamos con
cuadrados la cantidad sub-radical :19 - 5x + x2 .
19 - 5x + x2 = x2 - 5x + 19 .
5/2 = 5/2 ; (5/2)2 = 25/4 .
x2 - 5x + 19 = x2 - 5x + 19 + 25/4 - 25/4 =
(x2 - 5x + 25/4 + 19 - 25/4) = {(x - 5/2)2 + 76/4 - 25/4} =
{(x - 5/2)2 + 51/4}= {(x - 5/2)2 + (√51/2)2}
Sustituyendo: {(x - 5/2)2 + (√51/2)2} en la 2da integral .
3 ∫ (2x - 5) dx + 19 ∫
dx
.
2
2
2 √19 - 5x + x
2 √19 - 5x + x
3 ∫ (19 - 5x + x2)-1/2.(2x - 5) dx + 19 ∫
dx
.
2
2 {(x - 5/2)2 + (√51/2)2}
v = (19 - 5x + x2)
dv = 2x - 5
n = - 1/2
v = x - 5/2
dv = dx
a = √51/2
1ra integral. Esta completo el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
2da integral. Esta completo el diferencial.
Se aplica:∫
dv = ln(v + √v2 + a2) + c .
√v2 + a2
3 (19 - 5x + x2)-1/2+1 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c .
2
- 1/2 + 1
2
3 (19 - 5x + x2)1/2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c .
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119
Solucionario de Calculo Integral
2
1/2
2
3 . 2 . √19 - 5x + x2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c .
2
2
3 √19 - 5x + x2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c .
2
17.
∫
(3x - 2) dx .
√4x2 - 4x + 5
Multiplico y divido para (8) y luego descompongo (-16) en (- 12) y (- 4)
1 ∫ 8(3x - 2) dx
=
1 ∫ (24x - 16) dx
=
1 ∫ (24x - 12 - 4) dx
=
8 √4x2 - 4x + 5 8 √4x2 - 4x + 5
8
√4x2 - 4x + 5
Agrupando términos:
.
1 ∫ {(24x - 12) - 4}dx
8
√4x2 - 4x + 5
=
1 ∫ (24x - 12) dx - 4 ∫
8
√4x2 - 4x + 5
dx
√4x2 - 4x + 5
1 .∫ 3(8x - 4) dx - 1 . 4 . ∫
dx
.
2
2
8 √4x - 4x + 5 8
√4x - 4x + 5
3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫
dx
.
8
2 √4x2 - 4x + 5
La 1ra integral esta lista para integrarse; la 2da integral primero
completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:4x2 - 4x + 5
4x2 - 4x + 5 = 4(x2 - x + 5/4) . 1/2 = 1/2 ; (1/2)2 = 1/4 .
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120
Solucionario de Calculo Integral
4(x2 - x + 1/4 - 1/4 + 5/4) = 4(x2 - x + 1/4 + 4/4) =
4{(x - 1/2)2 + 1} = 4{(x - 1 )2 + 12} = 4{( 2x - 1 )2 + 12} =
2
22
2
2
2
2
4 { (2x - 1) + 2 } = (2x - 1) + 2 . Sustituyendo en la 2da integral
4
.
Sustituyendo: {(2x - 1)2 + 22} en la 2da integral .
3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫
dx
.
8
2 (2x - 1)2 + 22
v = 2x - 1 2da integral .Falta (2) para completar el diferencial.
dv = 2 dx Se aplica: ∫ dv .
a =2
v2 - a2
Para la 1ra integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 . 1 . ∫
(2) dx
8
2 2
(2x - 1)2 + 22
3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫
dx
8
4 (2x - 1)2 + 2
.
3 . (4x2 - 4x + 5)-1/2+1 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c .
8
-1/2 + 1
4
3 . (4x2 - 4x + 5)1/2 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c .
8
1/2
4
3 . 2 . √4x2 - 4x + 5 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c .
8
4
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121
.
Solucionario de Calculo Integral
3 √(4x2 - 4x + 5) - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c .
4
4
18.
∫
(8x - 3) dx .
√12x - 4x2 - 5
Haciendo artificios: ∫ (8x - 12 + 9) dx
√12x - 4x2 - 5
∫
(8x - 12) dx + ∫
9dx
2
√12x - 4x - 5
√12x - 4x2 - 5
∫
(8x - 12) dx + 9 ∫
dx
2
√12x - 4x - 5
√12x - 4x2 - 5
=
∫ {(8x - 12) + 9} dx
√12x - 4x2 - 5
=
=
=
Factorizando en la 1ra integral el signo negativo:
∫ -(- 8x + 12) dx + 9 ∫
dx
2
√12x - 4x - 5
√12x - 4x2 - 5
=
- ∫ (- 8x + 12) dx + 9 ∫
dx
.
√12x - 4x2 - 5
√12x - 4x2 - 5
- ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫
dx
.
√12x - 4x2 - 5
Aplicamos en la 1ra integral: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
En la 2da integral:
Completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:12x - 4x2 - 5.
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122
Solucionario de Calculo Integral
12x - 4x2 - 5 = - 4(x2 - 3x + 5/4) . 3/2 = 3/2 ; (3/2)2 = 9/4 .
{-4(x2 - 3x + 5/4 + 9/4 - 9/4)} = {- 4(x2 - 3x + 9/4 + 5/4 - 9/4)} .
{- 4[(x - 3/2)2 - 4/4]} = {- 4[(x - 3 )2 - 12]} = {- 4 [( 2x - 3)2 - 12]}
2
2
2
2
{- 4[(2x - 3) - 1]} = {- 4[( 2x - 3 ) - 4]} = {- 4 [( 2x - 3)2 - 4]}
22
4
4
.
{-[( 2x - 3)2 - 4]} = {-(2x - 3)2 + 4} = {4 - (2x - 3)2} =
{22 - (2x - 3)2}.Sustituyendo:{ 22 - ( 2x - 3)2 } en la 2da integral .
- ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫
dx
.
2
√{2 - ( 2x - 3) }
2
v = 2x - 3
dv = 2 dx
a =2
2da integral.Falta (2) para completar el diferencial.
2
2
Se aplica: ∫ dv
= ln{v + √v - a } + c .
√v2 - a2
- ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 . 1 . ∫
(2)dx
.
2 √{( 2x - 3)2 - 22}
- ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 ∫
(2)dx
.
2
2
2 √( 2x - 3) - 2
Para la 2da integral aplicamos: ∫
dv
√a - v2
2
=
arc sen v + c .
a
(12x - 4x2 - 5)-1/2+1 + 9 arc sen 2x - 3 + c .
-1/2 + 1
2
2
(12x - 4x2 - 5)1/2 + 9 arc sen 2x - 3 = 2(12x - 4x2 - 5)1/2 + 9 arc sen 2x - 3
1/2
2
2
2
2
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123
Solucionario de Calculo Integral
2 √12x - 4x2 - 5 + 9 arc sen 2x - 3 + c .
2
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas - Página 256
Verificar las siguientes integraciones:
1.
∫ √ 1 - 4x2 dx = x √ 1 - 4x2 + 1 arc sen 2x + c .
2
4
∫ √ 12 - (2x)2 dx =
v = 2x
Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 2 dx ∫ √a2 - v2 dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a =1
2
2
a
1 . ∫ √ 1 - 4x2 . (2)dx = 1 . ∫ √12 - (2x)2 . (2) dx
2
2
1 . 2 x √ 1 - 4x2 + 12 arc sen 2x
2
2
2
1
=
.
1 . x √ 1 - 4x2 + 1 arc sen 2x + c
2
2
x . √ 1 - 4x2 + 1 . arc sen 2x + c .
2
4
2.
∫ √1 + 9x2 dx = x . √ 1 - 9x2 + 1 ln (3x + √ 1 - 9x2) + c .
2
6
∫ √12 + (3x)2 dx =
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124
Solucionario de Calculo Integral
v = 3x
Falta (3) para completar el diferencial, se aplica:
dv = 3 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √v2 + a2 + a2 ln (v + √v2 + a2 ) + .
a =1
2
2
1 ∫ √12 + (3x)2.(3) .dx
3
=
1 3x . √1 + 9x2 + 12 ln (3x + √1 + 9x2 ) + c
3 2
2
1 3 x . √1 + 9x2 + 1 1 ln (3x + √1 + 9x2) + c
3 2
3 2
x . √1 + 9x2 + 1 ln [3x + √1 + 9x2 ] + c .
2
6
3.
∫ √ x2 - 1 dx = x √x2 - 4 - ln (x + √x2 - 4 ) + c .
4
dx
∫ √ x2 - 4 dx = ∫ √ x2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x2 - 2
4
v =x
dv = dx
a =2
√4
2
2
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ √ v2 - a2 dv = v √v2 - a2 - a2 ln (v + √v2 - a2 ) + c .
2
2
1 . x √ x2 - 4 - 22. ln(x + √ x2 - 4 ) + c
2 2
2
1 . x √ x2 - 4 - 1 . 4 . ln(x + √ x2 - 4 ) + c .
2 2
2 2
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125
Solucionario de Calculo Integral
x √ x2 - 4 - . 4 . ln(x + √ x2 - 4 ) + c .
4
4
.
x √x2 - 4 - ln(x + √x2 - 4 ) + c .
4
4.
∫ √25 - 9x2 dx = x √ 25 - 9x2 + 25 arc sen 3x + c .
2
6
5
∫ √25 - 9x2 dx = ∫ √ 52 - (3x)2 dx =
v = 3x
Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 3 dx ∫ √ a2 - v2 dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a =5
2
2
a
∫ √ 52 - (3x)2 dx = 1 . ∫ √ 52 - (3x)2 .(3)dx
3
=
=
=
5.
1
3
3x .√25 - 9x2 + 52 arc sen 3x + c .
2
2
5
1 . 3 x .√25 - 9x2 + 1 . 52 arc sen 3x + c .
3 2
3 2
5
x . √ 25 - 9x2 + 25 arc sen 3x + c .
2
6
5
∫ √4x2 + 9 dx = x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9) + c .
2
4
∫ √4x2 + 9 dx = √(2x)2 + 32 dx .
v = 2x
Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 2 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √a2 + v2 + a2 ln (v + √a2 + v2) + c .
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126
Solucionario de Calculo Integral
a =3
2
1 . √(2x)2 + 32 .(2) dx
2
1 . 2x . √4x2 + 9 +
2
2
1 . 2 x . √4x2 + 9 +
2 2
2
=
32 ln(2x + √4x2 + 9) + c.
2
1 . 32 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c .
2 2
1 . 2 x . √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c .
2 2
4
x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c .
2
4
6.
∫ √5 - 3x2 dx = x √5 - 3x2 + 5
2
2√3
arc sen x
3
+c.
5
∫ √5 - 3x2 dx = ∫ √(√5 )2 - (√3.x)2 dx .
v = √3.x
Falta (√3) para completar el diferencial.Se aplica:
dv = √3 dx ∫ a2 - v2 dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a = √5
2
2
a
1 ∫ √{(√5)2 - (√3.x)2}. √3 dx
√3
=
1 √3 x . √5 - 3x2 + (√5)2 arc sen √3. x + c
√3
2
2
√5
1 . √3 x . √5 - 3x2 + 1 . (√5)2 arc sen
√3 2
√3 2
3 . x + c.
5
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127
Solucionario de Calculo Integral
x . √5 - 3x2 + 5 . arc sen x .
2
2√3
7.
3
+c.
5
∫ √3 - 2x - x2 . dx = x + 1 √3 - 2x - x2 + 2 arc sen x + 1 + c .
2
2
Factorizamos y completamos con cuadrados : 3 - 2x - x2 .
3 - 2x - x2 = - (x2 + 2x - 3) . 2/2 = 1 ; 12 = 1
- (x2 + 2x + 1 - 1 - 3) = -{(x + 1)2 - 4} = -{(x + 1)2 - 22} =
22 - (x + 1)2 ; reemplazando este resultado en la integral .
∫ √3 - 2x - x2 .dx = ∫ √ 22 - (x + 1)2 .dx =
v =x + 1
dv = dx
a =2
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ √ a2 - v2 . dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
2
2
a
∫ √ 22 - (x + 1)2 .dx = x + 1 √3 - 2x - x2 + 22 arc sen x + 1 + c
2
2
2
x + 1 . √3 - 2x - x2 + 22 arc sen x + 1 + c .
2
2
2
x + 1 √3 - 2x - x2 + 4 arc sen x + 1 + c .
2
2
2
x + 1 √3 - 2x - x2 + 2 arc sen x + 1 + c .
2
2
8.
∫ √5 - 2x + x2 .dx = x - 1 √5 - 2x + x2 + 2ln (x - 1 + 5 - 2x + x2) + c
2
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128
Solucionario de Calculo Integral
Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 2x + x2 .
5 - 2x + x2 = (x2 - 2x + 5) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 .
(x2 - 2x + 1 + 5 - 1) = {(x - 1)2 + 4} = {(x - 1)2 + 22} =
(x - 1)2 + 22 ; reemplazando este resultado en la integral .
∫ √5 - 2x + x2 . dx = ∫ √(x - 1)2 + 22 . dx .
v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dx ∫ √v2 + a2 . dv = v √v2 + a2 + a2 ln ( v + √v2 + a2) + c
a =2
2
2
∫ √(x - 1)2 + 22.dx = x - 1 √5 - 2x + x2 + 22 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x2)
2
2
x - 1 √5 - 2x + x2 + 4 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x2) + c .
2
2
x - 1 √5 - 2x + x2 + 2 ln [x - 1 + √5 - 2x + x2] + c .
2
9.
∫ √2x - x2 . dx = x - 1 √2x - x2 + 1 arc sen (x - 1) + c .
2
2
Factorizamos y completamos con cuadrados: 2x - x2 .
- x2 + 2x = - (x2 - 2x ) .
2/2 = 1 ; 12 = 1 .
- (x2 - 2x ) = - (x2 - 2x + 1 - 1) = - {(x - 1)2 - 1} = - {(x - 1)2 - 12}
12 - (x - 1)2 ; reemplazando este resultado en la integral .
∫ √2x - x2 . dx = ∫ √12 - (x - 1)2 . dx .
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129
Solucionario de Calculo Integral
v =x - 1
dv = dx
a =1
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ √a2 - v2. dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c.
2
2
a
∫ √12 - (x - 1)2 . dx = x - 1 √2x - x2 + 12 arc sen x - 1 + c.
2
2
1
x - 1 . √2x - x2 + 1 arc sen (x - 1) + c.
2
2
10.
∫ √10 - 4x + 4x2.dx = 2x - 1 √10 - 4x + 4x2 + 9
4
ln (2x - 1 + √10 - 4x + 4x2) + c
4
4x2 - 4x + 10 = 4(x2 - x + 10/4 ) = 4(x2 - x + 10/4 ) .
1/2 = 1/2 ; (1/2)2 = 1/4 .
4(x2 - x + 10/4) = 4(x2 - x + 1/4 + 10/4 - 1/4)
4 x- 1
2
2
+ 9
4
=
4 2x - 1 2 + 9
2
4
4 . (2x - 1)2 + 4 . 9
4
4
=
=
4 (2x - 1)2 + 9
4
4
=
(2x - 1)2 + 9 = (2x - 1)2 + 32
.
Reemplazando este resultado en la integral .
∫ √(2x - 1)2 + 32 . dx .
v = 2x - 1 Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica:
dv = 2 .dx ∫ √v2 + a2. dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .
a =3
2
2
1 ∫ √{(2x - 1)2 + 32} . (2) dx .
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130
Solucionario de Calculo Integral
2
1 {(2x - 1 ) √10 - 4x + 4x2 + 32 ln [(2x - 1) + √10 - 4x + 4x2]} + c .
2
2
2
(2x - 1) √10 - 4x + 4x 2 + 9 ln {(2x - 1) + √10 - 4x + 4x 2 } + c .
4
4
11.
∫ √16 - 9x 2 . dx .
∫ √(4)2 - (3x)2 . dx
v = 3x
dv = 3 dx
a =4
Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:
∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
2
2
a
1 . ∫ √(4)2 - (3x)2 .(3) dx = 3x √16 - 9x2 + 42 arc sen 3x + c .
3
2
2
4
3x √16 - 9x2 + 16 arc sen 3x = 3x √16 - 9x2 + 8 arc sen 3x + c
2
2
4
2
4
12.
∫ √4 + 25x2 . dx .
∫ √22 + (5x)2 . dx =
v = 5x
Falta (5) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 5 dx ∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a =2
2
2
a
∫ √22 + (5x)2 . dx = 5x √4 + 25x2 + 22 arc sen 3x + c
2
2
2
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131
Solucionario de Calculo Integral
5x √4 + 25x2 + 2 arc sen 3x + c .
2
2
13.
∫ √ 9x2 - 1 dx .
∫ √ (3x)2 - 12 . dx =
v = 3x
Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = 3 dx ∫ √v2 - a2 . dv = v √v2 - a2 - a2 ln(v + √v2 - a2) + c .
a =1
2
2
2
2
2
2
∫ √ (3x) - 1 . dx = 3x √ 9x - 1 - 1 ln (3x + √ 9x2 - 1 ) + c .
2
2
3x √ 9x2 - 1 - 1 ln (3x + √ 9x2 - 1 ) + c .
2
2
14.
∫ √ 8 - 3x2 . dx .
∫ √ (√8)2 - (√3 . x)2 . dx =
v = √3 . x Falta (√3) para completar el diferencial. Se aplica:
dv = √3 dx ∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 - a2 arc sen v + c
a = √8
2
2
a
1 . ∫ √ (√8)2 - (√3 . x)2 . √3 dx
√3
=
1 √3.x .√ (√8)2 - (√3 . x)2 - (√8)2 arc sen √3.x + c .
√3 2
2
√8
1 . √3.x √ 8 - 3x2 - 1 . 8 arc sen √3.x.√8 + c .
√3 2
√3 2
√8. √8
x √ 8 - 3x2 - 4.√3 arc sen √24.x + c .
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132
Solucionario de Calculo Integral
2
√3.√3
8
x √ 8 - 3x2 - 4√3 arc sen 2x √6 + c .
2
3
8
15.
∫ √ 5 + 2x2 . dx .
∫ √(√5)2 + (√2.x)2 . dx =
v = √2 . x Falta (√2) para completar el diferencial. Se aplica;
dv = √2 dx ∫ √a2 + v2 . dv = v √a2 + v2 + a2 ln {v + √a2 + v2 } + c
a = √5
2
2
2
2
1 ∫ √(√5) + (√2.x) .( √2 ) dx
√2
1 √2.x . √ 5 + 2x2 + (√5)2 ln [√2.x + √ 5 + 2x2]
√2 2
2
√2.x . √ 5 + 2x2 + 1 . 5 ln [√2.x + √ 5 + 2x2]
2√2
√2 2
x . √5 + 2x2 + 5.√2 ln [√2.x + √5 + 2x2] + c .
2
2√2.√2
x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[√2.x + √5 + 2x2] + c .
2
2x2
x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[x√2 + √5 + 2x2] + c .
2
4
16.
∫ √ 5 - 4x - x2 . dx .
Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 4x - x2 .
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133
Solucionario de Calculo Integral
- x2 - 4x + 5 = - (x2 + 4x - 5) . 4/2 = 2 ; (2)2 = 4
- (x2 + 4x - 5) = - (x2 + 4x + 4 - 5 - 4)
- {(x2 + 4x + 4) - 9} = -{(x + 2)2 - 32} = 32 - (x + 2)2
Reemplazando este ultimo resultado en la integral .
∫ √ 5 - 4x - x2 . dx = ∫ √ 32 - (x + 2)2. dx =
v = x + 2 El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dx ∫ √a2 - v2.dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a =√5
2
2
a
2
2
x + 2 √ 5 - 4x - x + (√5) arc sen x + 2 + c .
2
2
√5
x + 2 √ 5 - 4x - x2 + 5 arc sen (x + 2). √5 + c .
2
2
√5 . √5
x + 2 √ 5 - 4x - x2 + 5 arc sen (x + 2). √5 + c .
2
2
5
17.
∫ √ 5 + 2x + x2 . dx =
Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 + 2x + x2 .
5 + 2x + x2 = (x2 + 2x + 5) . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1
Sumando y restando (1) en: (x2 + 2x + 5) = (x2 + 2x + 1 + 5 - 1)
{(x2 + 2x + 1) + (5 - 1)} = {(x + 1)2 + 4} = {(x + 1)2 + 22}
Reemplazando este resultado en la integral .
∫ √5 + 2x + x2 . dx = ∫ √ (x + 1)2 + 22 . dx =
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134
Solucionario de Calculo Integral
v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dx
∫ √v2 + a2.dv = v √v2 + a2 + a2 ln(√v2 + a2 v + c
a= 2
2
2
a
x + 1 √5 + 2x + x2 + (2)2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .
2
2
x + 1 √5 + 2x + x2 + 4 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .
2
2
x + 1 √ 5 - 4x - x2 + 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .
2
18.
∫ √x2 - 8x + 7 . dx .
Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 - 8x + 7 .
x2 - 8x + 7 . 8/2 = 4 ; (4)2 = 16
Sumando y restando (16) en : (x2 - 8x + 16 + 7 - 16 ) =
{(x2 - 8x + 16) + (7 - 16 )} = {(x - 4)2 - 9} = {(x - 4)2 - 32} .
Reemplazando este resultado en la integral .
∫ √x2 - 8x + 7 . dx = ∫ √(x - 4)2 - 32.dx =
v =x - 4
dv = dx
a= 3
El diferencial esta completo. Se aplica:
∫ √v2 - a2.dv = v √v2 - a2 - a2 ln(v + √v2 - a2) + c .
2
2
x - 4 √x2 - 8x + 7 - (3)2 ln{(x - 4) + √x2 - 8x + 7} + c .
2
2
x - 4 √x2 - 8x + 7 - 9 ln{(x - 4) + √x2 - 8x + 7 } + c .
2
2
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135
Solucionario de Calculo Integral
19.
∫ √4 - 2x - x2 . dx .
Factorizamos y completamos con cuadrados: 4 - 2x - x2 .
- x2 - 2x + 4 = - (x2 + 2x - 4) . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1
Sumando y restando (1) en: - (x2 + 2x - 4) = - (x2 + 2x + 1 - 4 - 1)
- {(x2 + 2x + 1) + (- 4 - 1)} = -{(x + 1)2 - 5} = -{(x + 1)2 - (√5)2}
(√5)2 - (x + 1)2 . Reemplazando este resultado en la integral .
∫ √4 - 2x - x2 . dx = ∫ √(√5 )2 - (x + 1)2. dx =
v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica:
dv = dx
∫ √a2 - v2.dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c .
a = √5
2
2
a
x + 1 √4 - 2x - x2 + (√5)2 arc sen (x + 1).√5 + c .
2
2
√5. √5
x + 1 √4 - 2x - x2 + 5 arc sen (x + 1).√5 + c .
2
2
5
20.
∫ √x2 - 2x + 8 . dx .
Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 - 2x + 8 .
x2 - 2x + 8 . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1
Sumando y restando (1) en : x2 - 2x + 8 = x2 - 2x + 1 + 8 - 1 =
{(x2 - 2x + 1) + (8 - 1)} = {(x - 1)2 + (7)} = {(x - 1)2 + (√7)2}
Reemplazando este resultado en la integral .
∫ √x2 - 2x + 8 . dx = ∫ √(x - 1)2 + (√7 )2 . dx =
v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica:
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136
Solucionario de Calculo Integral
dv = dx ∫ √v2 + a2.dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .
a = √7
2
2
x - 1 √x2 - 2x + 8 + (3)2 ln{(x - 1) + √ x2 - 2x + 8 } + c .
2
2
x - 1 √x2 - 8x + 7 + 9 ln {(x - 1) + √x2 - 8x + 7 } + c .
2
2
x - 1 √x2 - 2x + 8 + 9 ln {(x - 1) + √ x2 - 2x + 8 } + c .
2
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problemas. Páginas 259 y 260
Verificar las siguientes Integraciones:
1.
∫ sen3x dx = 1/3 cos3x - cos x + c .
Por trigonometria:
sen2x + cos2x = 1 ; sen2x = 1 - cos2x ; cos2x = 1 - sen2x.
sen3x = sen2x . sen x .
Sustituyendo este valor en la integral
y aplicando sustituciones trigonométricas : sen2x = 1 - cos2x .
∫ sen3x dx = ∫ sen2x . sen x . dx = ∫ ( 1 - cos2x) .sen x . dx =
∫ sen x . dx - ∫ cos2x . sen x . dx .
v = cos x
dv = - sen x dx
1ra integral ,esta completa, se integra.
2da integral ,le falta el signo (-) para
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137
Solucionario de Calculo Integral
completar el diferencial.
∫ sen x . dx - (-) ∫ (cos x)2 .(-) sen x . dx .
∫ sen x . dx + ∫ (cos x)2 .(-) sen x . dx
-cos x + (cos x)2+1 = - cos x + (cos x)3 = 1/3 (cos x)3 - cos x + c .
2+1
3
2.
∫ sen2 θ .cos θ . dθ
=
1/3 sen3θ + c .
∫ (sen θ)2 .cos θ dθ .
v = sen θ
El diferencial esta completo, se procede a
dv = cos θ dθ a integrar.
n =2
(cos θ)2+1 = (cos θ )3
2+1
3
3.
∫ cos2φ
=
1/3 cos3θ + c .
sen φ dφ .
∫ (cos φ )2 . sen φ dφ
v = cos φ
dv = - sen φ dφ
n =2
φ +c
4.
Le falta el signo (-) , para completar
el diferencial,luego se procede a integrar.
(-)∫ (cos φ )2.(-)sen φ dφ
=
- (cos φ )2+1 = - cos3 φ
2+1
=
- 1/3 cos3
3
∫ sen3 6x . cos 6x dx .
∫ sen3 6x . cos 6x dx = ∫ (sen 6x)3 . cos 6x dx
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138
Solucionario de Calculo Integral
v = sen 6x
Le falta (6) para completar el diferencial,
dv = cos 6x . 6 dx luego se procede a integrar.
n =3
1 ∫ (sen 6x)3.cos 6x .(6)dx = 1 . (sen 6x)3+1 = 1 .(sen 6x)4 =
6
6
3+1
6
4
(sen 6x)4
24
5.
=
1 sen4 6x + c .
24
∫ cos3 2θ . sen 2θ . dθ
=
- 1/8 cos4 2θ + c .
∫ (cos 2θ)3 . sen 2θ . dθ =
v = cos 2θ
Falta (- 2) para completar el diferencial.
dv = - sen 2θ . 2dθ
n =3
(- 1 )∫ (cos 2θ)3 .sen 2θ . (-2) dθ = - 1 . (cos 2θ)3+1 = - (cos 2θ)4 =
2
2
3+1
2(4)
- (cos 2θ )4
8
6.
=
- 1/8 (cos 2θ)4
=
- 1/8 cos4 2θ + c .
∫ cos3 x . dx = csc x - 1/3 csc3x + c .
sen4x
∫ (sen x)-4 . cos3 x dx = ∫ (sen x)-4 . cos2 x . cos x dx =
∫ {(sen x)-4 .cos2 x}.cos x dx = ∫ {(sen x)-4 (1 - sen2x)} .cos x dx =
Haciendo operaciones:
∫ {(sen x)-4(1) - (sen x)-4(sen2x)}.cos x dx =
∫ {(sen x)-4 - (sen x)-4+2}.cos x dx =
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139
Solucionario de Calculo Integral
∫ {(sen x)-4 - (sen x)-2}.cos x dx =
∫ {(sen x)-4.cos x - (sen x)-2.cos x} dx =
∫ (sen x)-4.cos x dx - ∫ (sen x)-2.cos x dx =
Los diferenciales de ambas integrales estan completos.
(sen x)-4+1 - (sen x)-2+1 = (sen x)-3 - (sen x)-1 =
- 4+1
-2+1
-3
-1
-
1
+
1 . Por Trigonometría: 1 = csc x
3(sen x)3 (sen x)1
sen x
3
3
- 1/3 (csc x) + (cscx ) = cscx - 1/3 csc x + c .
∫ sen3 φ . dφ
cos2 φ
7.
=
sec φ
+ cos φ + c .
∫ (cos φ )-2.sen2 φ . sen φ dφ
=
∫ (cos φ )-2.(1 - cos2 φ ).sen φ
dφ
∫ {(cos φ )-2.(1 - cos2 φ )}.sen φ dφ
∫ {(cos φ )-2.[1 - (cos φ )2]}.sen φ dφ
∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )-2.(cos φ )2}.sen φ dφ
∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )-2+2}.sen φ dφ
∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )0}.sen φ dφ
dφ
=
∫ {(cos φ )-2 - 1} . sen φ
=
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140
Solucionario de Calculo Integral
∫ {(cos φ )-2.sen φ dφ - ∫ sen φ dφ
v = cos φ
dv = - sen φ dφ
n = -2
φ
8.
=
En la 1ra integral, falta el signo (-) .
La 2da integral, su diferencial esta completo.
(-) ∫ {(cos φ )-2.(-) sen φ dφ - ∫ sen φ dφ
=
- (cos φ )-2+1 - (- cos φ ) = - (cos φ )-1 + cos φ
=
(cos φ )-1 + cos
=
-2+1
-1
1 + cos φ = sec φ + cos φ + c .
(cos φ )1
∫ cos4 x . sen3 x dx = - 1/5 cos5x + 1/7 cos7 x + c .
∫ (cos x)4.sen2 x .sen x dx = n{(cos x)4.sen2 x}.sen x dx =
∫ {(cos x)4.(1 - cos2 x)}.sen x dx =
∫ {(cos x)4.[1 - (cos x)2]}.sen x dx =
∫ {(cos x)4 - (cos x)4.(cos x)2}.sen x dx =
∫ (cos x)4.sen x dx - ∫ (cos x)4(cos x)2.sen x dx =
∫ (cos x)4.sen x dx - ∫ (cos x)6.sen x dx =
En ambas integrales, les falta el signo (-) a sus diferenciales.
(-) {∫ (cos x)4.(-)sen x dx} - (-){∫ (cos x)4(cos x)2.sen x dx} =
- (cos x)4+1 + (cos x)6+1 = - (cos x)5 + (cos x)7
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141
Solucionario de Calculo Integral
4+1
6+1
5
7
- 1/5 (cos x)5 + 1/7 (cos x)7 = - 1/5 cos5 x + 1/7 cos7 x + c .
9.
∫ sen5 x dx = - cos x + 2/3 cos3 x - 1/5 cos5 x + c .
∫ sen4 x .sen x dx = ∫ (sen2 x)2.sen x dx = ∫ (1 - cos2 x)2.sen x dx =
∫ (1 - 2cos2 x + cos4 x ).sen x dx =
∫ [1(sen x) - 2cos2 x .sen x + cos4 x .sen x] dx =
∫ [sen x - 2(cos x)2.sen x + (cos x)4.sen x] dx =
∫ sen x . dx - 2 ∫ (cos x)2.sen x .dx + ∫ (cos x)4.sen x dx =
En la 1ra integral esta completo el diferencial.
dx}
Al 2do y 3er integral les falta el signo (-) a sus diferenciales.
∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x)2.(-)sen x.dx} + (-) {∫ (cos x)4.(-) sen x
∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x)2.(-) sen x .dx} + (-){∫ (cos x)4.sen x dx} =
- cos x + 2(cos x)2+1 - (cos x)4+1 =
2+1
4+1
-cos x + 2(cos x)3 - (cos x)5 = - cos x + 2/3 (cos x)3 - 1/5 (cos x)5
- cos x + 2/3 cos3 x - 1/5 cos5 x + c .
10.
∫ cos5 x dx = sen x - 2/3 sen3 x + 1/5 sen5 x + c .
∫ cos4 x . cos x dx = ∫ (cos2 x)2.cos x dx = ∫ (1 - sen2 x)2.cos x dx =
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142
Solucionario de Calculo Integral
∫ (1 - 2sen2 x + sen4 x) .cos x dx =
∫ [1(cos x) - 2sen2 x.cos x + sen4 x.cos x] dx =
∫ (cos x - 2sen2 x.cos x + sen4 x.cos x) dx =
∫ cos x dx - 2∫ sen2 x.cos x dx + ∫ sen4 x.cos x dx =
∫ cos x dx - 2∫ (sen x)2.cos x dx + ∫ (sen x)4.cos x dx =
La 1ra , 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .
∫ cos x dx - 2∫ (sen x)2.cos x dx + ∫ (sen x)4.cos x dx =
sen x - 2(sen x)2+1 + (sen x)4+1 =
2+1
4+1
sen x - 2(sen x)3 + (sen x)5 =
3
5
sen x - 2/3 sen3x + 1/5 sen5x + c
11.
∫ sen5 y dy .
√cos y
∫ sen4 y.sen y.(cos y)-1/2 dy = ∫ sen4 y.(cos y)-1/2.sen y dy =
∫ (1 - cos2 y)2.(cos y)-1/2.sen y dy =
∫ {[(1 - 2cos2 y + cos4 y).(cos y)-1/2 ].sen y }dy
=
∫ {[(1 . (cos y)-1/2 - 2(cos y)2.(cos y)-1/2 + (cos y)4.(cos y)-1/2 ].sen y }dy =
∫ {[(cos y)-1/2 - 2(cos y)2-1/2 + (cos y)4 -1/2].sen y}dy =
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143
Solucionario de Calculo Integral
∫ {(cos y)-1/2.sen y - 2(cos y)3/2.sen y + (cos y)7/2.sen y}dy =
∫ (cos y)-1/2.sen y dy - 2∫ (cos y)3/2.sen y dy + ∫ (cos y)7/2.sen y dy
(-) ∫ (cos y)-1/2.(-) sen y dy - 2(-) ∫ (cos y)3/2.(-) sen y dy + (-) ∫ (cos y)7/2.(-) sen y
dy
- (cos y)-1/2+1 + 2 (cos y)3/2+1 - (cos y)7/2+1 .
-1/2+1
3/2+1
7/2+1
- (cos y)1/2 + 2 (cos y)5/2 - (cos y)9/2 .
1/2
5/2
9/2
- 2(cos y)1/2 + 4 . (cos y)5/2 - 2 . (cos y)9/2 .
5
9
-2(cos y)1/2 + 2.(cos y)1/2. 2 (cos y)4/2 - 2(cos y)1/2. 1 .(cos y)8/2 =
5
9
- 2(cos y)1/2 {1 - 2 (cos y)4/2 + 1 (cos y)8/2} =
5
9
- 2√(cos y) {1 - 2 (cos y)2 + 1 (cos y)4} =
5
9
- 2√cos y 1 - 2 cos2 y + 1 cos4 y + c .
5
9
12.
∫ cos5 t dt
∛sent
=
3 sen2/3 t (1 - 1/2 sen2t + 1/7 sen4 t).
∫ cos4 t .cos t(sen t)-1/3.dt = ∫ (cos2 t)2.cos t(sen t)-1/3.dt =
∫ (1 - sen2 t)2.(sen t)-1/3.cos t dt =
∫ {(1 - 2sen2 t + sen4 t).(sen t)-1/3 }.cos t dt =
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144
Solucionario de Calculo Integral
∫ {(1)(sen t)-1/3 - 2sen2 t.(sen t)-1/3 + sen4 t.(sen t)-1/3}.cos t dt =
∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)2.(sen t)-1/3 + (sen t)4.(sen t)-1/3 }.cos t dt =
∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)2-1/3 + (sen t)4 -1/3}.cos t dt =
∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)5/3 + (sen t)11/3}.cos t dt =
∫ (sen t)-1/3.cos t dt - 2∫ (sen t)5/3.cos t dt + ∫ (sen t)11/3.cos t dt =
La 1ra , 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .
(sen t)-1/3+1 - 2(sen t)5/3+1 + (sen t)11/3+1 =
-1/3+1
5/3+1
11/3+1
(sen t)2/3 - 2(sen t)8/3 + (sen t)14/3 =
2/3
8/3
14/3
2/3
3 . (sen t) - 3 . 2 (sen t)8/3 + 3 . (sen t)14/3 =
2
8
14
3 (sen t)2/3 - 3 (sen t)8/3 + 3 (sen t)14/3 =
2
4
14
3 (sen t)2/3 - 3 (sen t)2/3. 1 .(sen t)6/3 + 3 (sen t)2/3. 1 .(sen t)12/3 =
2
2
2
2
7
3 . (sen t)2/3 1 - 1 .(sen t)6/3 + 1 (sen t)12/3
2
2
7
=
3 . (sen t)2/3 1 - 1 . (sen t)2 + 1 . (sen t)4 + c .
2
2
7
3 . sen2/3 t 1 - 1 . sen2 t + 1 . sen4 t + c .
2
2
7
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145
Solucionario de Calculo Integral
13.
∫ sen3 2θ . dθ .
∫ sen2 2θ . sen 2θ dθ = ∫ (1 - cos2 2θ) . sen 2θ dθ =
∫ [1(sen 2θ) - cos2 2θ.sen 2θ]dθ = ∫ (sen 2θ - cos2 2θ.sen 2θ)dθ
∫ sen 2θ dθ - ∫ cos2 2θ.sen 2θ dθ = ∫ sen 2θ.dθ - ∫ (cos 2θ)2.sen
2θdθ
{v = 2θ ; dv = 2 dθ} ; {v = cos 2θ ; dv = - 2 sen 2θ dθ}
½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ - (- ½) ∫ (cos 2θ)2 .(-2) sen 2θ dθ =
½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ + ½ ∫ (cos 2θ)2 .(-2) sen 2θ dθ =
½ .(- cos 2θ) + ½ . (cos 2θ )2+1 = - cos 2θ + ½ .(cos 2θ )3 =
2+1
2
3
3
- cos 2θ + (cos 2θ ) + c .
2
6
14.
∫ cos3 θ dθ .
2
∫ cos2(½ θ).cos(½ θ) dθ = ∫ [1 - sen2(½ θ)].cos(½ θ) dθ =
∫ cos(½ θ).dθ - ∫ sen2(½θ).cos(½ θ) dθ =
2 ∫ cos(½ θ).½.dθ - 2 ∫ [sen(½ θ)]2.cos (½ θ) .½.dθ =
2.sen(½ θ) - 2 [sen(½θ )]2+1 = 2.sen(½ θ) - 2 [sen(½θ)]3
2+1
3
2sen(½ θ ) - 2 [sen3(½θ )] + c
3
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146
Solucionario de Calculo Integral
15.
∫ sen 2x cos 2x dx .
∫ 2sen x cos x .(cos2x - sen2x) dx .
∫ 2sen x cos3x dx - ∫ 2sen3x cos x dx = 2∫ (cos x)3.sen x dx - 2∫ (sen x)3.cos x
dx
Completando los diferenciales en ambas integrales:
2(-) ∫ (cos x)3.(-)senx - 2∫ (sen x)3.cos x dx =
-2(cos x)3+1 - 2(sen x)3+1 = -2(cos x)4 - 2(sen x)4 =
4
4
-(cos x)4 - (sen x)4 = - ½{ (cos x)4 + (sen x)4} + c .
2
2
16.
∫ sen3 t cos3 t dt .
∫ sen2t .sen t .cos2t .cos t dt = ∫ sen2t .sen t .(1 - sen2t) .cos t dt
∫ sen3t .cos t.(1 - sen2 t) dt = ∫ (sen3t .cos t - sen5t .cos t) dt
∫ sen3t.cost dt - ∫ sen5t.cost dt = ∫ (sen t)3.cost dt - ∫ (sen t)5.cost
dt
Ambos diferenciales estan completos, se procede a integrar.
Se emplea: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
(sen t)3+1 - (sen t)5+1 = (sen t)4 - (sen t)6 = sen4t - sen6t + c .
3+1
5+1
4
6
4
6
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147
Solucionario de Calculo Integral
Prueba por Diferenciación:
d (sen4t) - d (sen6t) + d (c) . dt
4
dt 6
dt
. 1 . 4 . sen3t.cost - . 1 . 6 .sen5t .cost . dt
4
6
.
(sen3t.cost - sen5t .cost) .dt = [cos t . sen3t (1 - sen2t)].dt =
[cos t . sen3t .cos2t].dt = [sen3t. cos3t].dt .
Obteniendo asi el origen de la integral: ∫ sen3t cos3 t dt .
17.
∫ cos3 ɸ sen2 ɸ dɸ
2
2
∫ (cos2 ½ɸ).cos ½ɸ .sen2 ½ɸ dɸ = ∫ cos2 ½ɸ.sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ =
∫ (1 - sen2 ½ɸ).sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ =
∫ sen2 ½ɸ.cos ½ɸ - sen2 ½ɸ.sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ
∫ sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ - ∫ sen4 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ.Completando
diferenciales.
2∫ (sen ½ɸ)2.(½)cos ½ɸ .dɸ - 2∫ (sen ½ɸ)4.(½)cos ½ɸ dɸ.
2(sen ½ɸ)2+1 - 2(sen ½ɸ)4+1 = 2(sen ½ɸ )3 - 2(sen ½ɸ )5 + c .
2+1
4+1
3
5
18.
∫ sen3 mt cos2 mt dt .
∫ sen3 mt cos2 mt dt = ∫ sen2 mt sen mt cos2 mt dt =
∫ (1 - cos2 mt). cos2 mt sen mt dt =
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148
Solucionario de Calculo Integral
∫ (cos2 mt .sen mt - cos2 mt .cos2 mt.sen mt) dt =
∫ cos2mt .sen mt .dt - ∫ cos4mt .sen mt dt .
∫ (cos mt)2.sen mt.dt - ∫ (cos mt)4.sen mt.dt.Completando los
diferenciales.
(-1/m)∫ (cos mt)2 .(-m)sen mt.dt -(-1/m)∫ (cos mt)4 .(-m)sen mt.dt
(-1/m) (cos mt)2+1 + (1/m) (cos mt)4+1 =
2+1
4+1
- (cos mt)3 + (cos mt)5
3m
5m
18.
=
- cos3 mt + cos5 mt + c .
3m
5m
∫ sen5 nx dx
∫ sen2nx .sen2nx .sen nx dx = ∫ (1 - cos2nx)(1 - cos2nx).sen nx dx
∫ (1 - cos2nx)2 .sen nx dx = ∫ (1 - 2cos2nx + cos4nx) .sen nx dx
∫ (sen nx - 2cos2nx .sen nx + cos4nx .sen nx) dx
∫ sen nx dx - 2∫ cos2nx .sen nx dx + ∫ cos4nx .sen nx dx .
(1/n)∫ sen nx . (n)dx - 2(-1/n)∫ (cos nx) .(-n)sen nx dx +
(-1/n)∫ (cos nx)4 (-n).sen nx dx =
(1/n)∫ sen nx .(n)dx + (2/n)∫ (cos nx).(-n)sen nx dx (1/n)∫ (cos nx)4 (-n).sen nx dx =
(1/n)(- cos nx) + (2/n)(cos nx)2+1 - (1/n) (cos nx)4+1
2+1
4+1
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149
Solucionario de Calculo Integral
(- cos nx) + (2)(cos nx)3 - (1)(cos nx)5
n
n(3)
n(5)
- cos nx + 2cos3 nx - cos5 nx + c .
n
3n
5n
20.
∫ cos3 (a + bt) dt .
∫ cos2 (a + bt). cos (a + bt) dt =
∫ [1 - sen2 (a + bt)] .cos (a + bt) dt
∫ cos (a + bt) - [sen2 (a + bt)]. cos (a + bt)dt .
∫ cos (a + bt) . dt - ∫ [sen (a + bt)]2. cos (a + bt)dt .
Completando los diferenciales:
v = (a + bt)
dv = b dt
v = sen (a + bt)
dv = [cos (a + bt)].(b) dt
(1/b)∫ cos (a + bt) .(b) dt - (1/b)∫ [sen (a + bt)]2.(b) cos (a + bt)dt
(1/b) .sen (a + bt) - (1/b) [sen (a + bt)]2+1 =
2+1
sen (a + bt) - [sen (a + bt)]3 = sen (a + bt) - [sen (a + bt)]3 + c .
b
b(3)
b
3b
sen (a + bt) - [sen3 (a + bt)] + c .
b
3b
21.
∫
cot θ
dθ
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150
Solucionario de Calculo Integral
√sen θ
Por Trigonometría: cot θ = cos θ .
sen θ
∫ cos θ . 1 . dθ = ∫ cos θ . dθ = ∫ (sen θ)-3/2 cos θ . dθ
sen θ (sen θ)1/2
(sen θ)3/2
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
(sen θ)-3/2+1 = (sen θ )-1/2 = - 2(sen θ)-1/2 =
-2
=
1/2
-3/2+1
-1/2
(sen θ)
=
22.
-2
+c.
√sen θ
∫ sen3 2x dx
∛cos 2x
∫ sen3 2x dx = ∫ sen3 2x . (cos 2x)-1/3 dx =
(cos 2x)1/3
∫ sen2 2x .sen 2x.(cos 2x)-1/3 dx =
∫ (1 - cos2 2x).sen 2x.(cos 2x)-1/3dx
∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x . (1 - cos2 2x) dx
∫ {(cos 2x)-1/3. sen 2x - [(cos 2x)-1/3. sen 2x. cos2 2x]} dx
∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x - [(cos 2x)-1/3. sen 2x. (cos 2x)2]}dx
∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x dx - ∫ [(cos 2x)-1/3 .(cos 2x)6/3. sen 2x.]} dx
∫ (cos 2x)-1/3.sen 2x dx - ∫ [(cos 2x)5/3.sen 2x.]} dx
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151
Solucionario de Calculo Integral
v = (cos 2x)
dv = - 2sen 2x .dx
n = - 1/3
v = (cos 2x)
dv = -2 sen 2x dx
n = 5/3
(-1/2)∫ (cos 2x)-1/3.(-2)sen 2x dx - (-1/2)∫ [(cos 2x)5/3.(-2)sen 2x]}dx
(-1/2).(cos 2x)-1/3+1 + (1/2).(cos 2x)5/3+1 =
-1/3+1
5/3+1
-(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 =
2(2/3)
2(8/3)
4/3
16/3
-3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)8/3 = -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)6/3.(cos 2x)2/3
4
16
4
16
-3 .(cos 2x)2/3 + 3 . 1 .(cos 2x)6/3.(cos 2x)2/3 =
4
4 4
{
}
-3 (cos 2x)2/3 1 - 1 .(cos 2x)6/3
4
4
-3∛(cos 2x)2
4
=
{2 - (cos 2x) } -3∛ cos
2
2
=
{
}
-3∛(cos 2x)2 1 - (cos 2x)2
4
2
2
{
}
2x 2 - (cos 2x)2 + c .
8
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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152
Solucionario de Calculo Integral
Problemas. Páginas 262 y 263
Demostrar las siguientes Integraciones:
1.
∫ tg3 x dx = 1/2 tg2 x + ln cos x + c .
∫ tg2 x.tg x dx = ∫ (sec2 x - 1).tg x dx = ∫ tg x.(sec2 x - 1).dx
∫ (tg x. sec2 x - tg x) dx = ∫ (tg x).sec2 x.dx - ∫ tg x dx
v = tg x
dv = sec2 x dx
n =1
v =x
dv = dx
(tg x)1+1 - [- ln (cos x)] = (tg x)2 + [ ln (cos x)] =
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153
Solucionario de Calculo Integral
1+1
2
½ (tg x)2 + [ ln (cos x)] + c .
2.
∫ cot3 x dx
=
3
- 3 . cot2 x - 3 ln sen x + c .
2
3
Por Trigonometría: cot2 x = csc2 x - 1.
∫ cot2 x . cot x dx = ∫ cot x . (csc2 x - 1) .dx =
3
.dx
3
∫ {cot x
3
. csc2 x - cot x }. dx = ∫ cot x . csc2 x . dx - ∫ cot x
3
3
3
v = cot x .
3
3
v= x
3
3
.
3
dv = - 1 .csc2 x . dx
3
3
3
dv = 1 dx
3
n =1
(-3)∫ cot x . - 1 csc2 x .dx - (3)∫ cot x . 1 dx =
3 3
3
3 3
- 3 (cot 1/3 x)1+1 - 3 ln sen ( x ) = - 3 (cot 1/3 x)2 - 3 ln sen ( x ) =
1+1
3
2
3
=
3.
- 3 cot2 x - 3 ln sen x + c .
2
3
3
∫ cot3 2x csc 2x dx = ½ csc 2x - 1/6 csc3 2x + c .
∫ cot 2x . cot 2 2x . csc 2x dx = ∫ cot 2x . csc 2x. (csc2 2x - 1) dx =
∫ (cot 2x .csc2 2x . csc 2x - cot 2x .csc 2x) dx =
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154
Solucionario de Calculo Integral
∫ csc2 2x . csc 2x . cot 2x .dx - ∫ csc 2x . cot 2x . dx =
v = (csc 2x)
dv = [- csc 2x . cot 2x][2] .dx
dv = - 2csc 2x . cot 2x . dx
n =2
v = 2x
dv = 2 . dx
(-½) ∫ (csc 2x)2 .(-2)csc 2x.cot 2x.dx - (½) ∫ csc 2x .cot 2x.(2)
dx
(-½)(csc 2x)2+1 - (½)(-csc 2x) = - (csc 2x)2+1 + (csc 2x) =
2+1
2(3)
2
- (csc 2x)3 + (csc 2x) = - (csc3 2x) + (csc 2x) =
6
2
6
2
- 1 csc3 2x + 1 csc 2x = 1 csc 2x - 1 csc3 2x + c .
6
2
2
6
4.
∫ csc4 x dx
4
=
- 4 cot3 x - 4 cot x + c .
3
4
4
∫ csc4 x dx = ∫ csc2 x . csc2 x dx
=
∫ (cot 2 x + 1)2. csc 2 x dx
=
4
4
4
4
4
∫ [cot x .csc x + csc x ]dx = ∫ cot x .csc x .dx + ∫ csc 2 x ]dx
2
4
2
2
4
2
4
4
2
4
4
(- 4) ∫ (cot x )2.(- 1 )csc 2 x .dx + (4)∫ csc 2 x . ( 1 )dx
4
4
4
4 4
- 4(cot x/4 )2+1 + 4(- cot x/4) = - 4(cot x/4 )3 - 4 cot x/4 =
2+1
3
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155
Solucionario de Calculo Integral
- 4 (cot x/4 )3 - 4 cot x/4
3
5.
∫ tg5 3θ dθ
=
=
- 4 cot3 x - 4 cot x + c .
3
4
4
1/12 tg4 3θ - 1/6 tg2 3θ + 1/3 ln sec 3θ + c .
∫ tg 4 3θ . tg 3θ dθ = ∫ tg 2 3θ . (sec 2 3θ - 1) . tg 3θ dθ =
∫ tg3 3θ.(sec 2 3θ - 1).dθ = ∫ (tg3 3θ.sec 2 3θ - tg3 3θ).dθ =
∫ tg3 3θ.sec2 3θ.dθ - ∫ tg3 3θ.dθ = ∫ tg3 3θ.sec2 3θ.dθ - ∫ tg2 3θ.tg
3θdθ
∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (sec 2 3θ - 1). tg 3θ dθ
=
∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ .sec 2 3θ - tg 3θ) dθ
=
∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ) . sec 2 3θ dθ + ∫ tg 3θ dθ
v = (tg 3θ)
dv = 3sec2 3θ .dθ
n =3
v = (tg 3θ)
dv = 3 sec2 3θ .dθ
n =1
Se aplica en las dos primeras ∫ vn dv = vn+1 + c
integrales
n+1
=
v = 3θ
dv = 3 .dθ
Se aplica en la 3ra integral
∫ tg v dv = ln sec v + c .
(1/3)∫ (tg 3θ)3.(3)sec23θ.dθ - (1/3)∫ (tg 3θ).(3)sec23θ dθ + (1/3)∫ tg 3θ .
(3)dθ
(1/3)(tg 3θ )3+1 - (1/3)(tg 3θ)1+1 + (1/3)ln sec 3θ
3+1
1+1
(tg 3θ)4 - (tg 3θ)2 + ln sec 3θ =
3(4)
3(2)
3
tg4 3θ - tg2 3θ + ln sec 3θ = 1 tg4 3θ - 1 tg2 3θ + 1 ln sec 3θ + c
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156
Solucionario de Calculo Integral
12
6.
6
∫ sen2 ɸ dɸ
cos4 ɸ
3
=
12
6
3
1 tg3 ɸ + c .
3
Por Trigonometría: tg2 x = sec2 x - 1 ; sen2ɸ /cos2ɸ = tg2ɸ
∫ sen2 ɸ . 1 . dɸ
cos2 ɸ cos2 ɸ
=
∫ sen2 ɸ . sec2 ɸ . dɸ
cos2 ɸ
∫ tg2 ɸ . sec2 ɸ .dɸ = ∫ (tg ɸ)2.sec2 ɸ .dɸ
=
=
v = (tg ɸ) El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = sec2 ɸ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n =1
n+1
(tg ɸ)2+1 = (tg ɸ)3 = (tg3 ɸ ) + c .
2+1
3
3
7.
∫
3
dx
= tg 2x + 1/6 tg 2x - ½ cot 2x + c .
sen2 2x cos 4 2x
∫ csc2 2x . sec 4 2x dx = ∫ csc2 2x . sec 2 2x. sec 2 2x dx =
∫ csc2 2x.sec 2 2x.(1 + tg 2 2x)dx
∫ (csc2 2x.sec 2 2x + csc2 2x.sec 2 2x.tg 2 2x)dx =
∫ [csc2 2x.(1 + tg 2 2x) + csc2 2x.tg 2 2x.(1 + tg 2 2x)]dx =
∫ (csc2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x tg2 2x) dx
∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x . tg2 2x) dx
∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x . (sec2 2x -1) dx
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157
Solucionario de Calculo Integral
∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x - csc2 2x .tg2 2x) dx
∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x - csc2 2x .tg2 2x) dx
∫ (csc2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x ) dx
∫ [csc2 2x + (1 + cot2 2x).tg2 2x + tg2 2x. sec2 2x .(1 + cot2 2x)] dx
dx
∫ [csc2 2x + tg2 2x + cot2 2x. tg2 2x + tg2 2x.sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x .cot2 2x)]
Por Trigonometría:
tg x . cotx = 1 ⇒ tg2 x . cot2 x = 1
1 + tg2 x = sec2 x
∫ [csc2 2x + tg2 2x + (1) + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x .(1) ] dx
∫ [csc2 2x + tg2 2x + 1 + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx
∫ [csc2 2x + (tg2 2x + 1) + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx
∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx
∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx
∫ [csc2 2x + 2sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x] dx
∫ csc2 2x . dx + 2∫ sec2 2x . dx + ∫ tg2 2x. sec2 2x . dx
∫ csc2 2x . dx + 2∫ sec2 2x . dx + ∫ (tg 2x)2. sec2 2x . dx
v = 2x
dv = 2 dx
v = 2x
dv = 2 dx
v = tg 2x
dv = 2 sec2 2x . dx
n =2
Para la 1ra integral, se aplica: ∫ csc2 v .dv = - cot v + c .
Para la 2 da integral, se aplica: ∫ sec2 v dv = tg v + c .
Para la 3 ra integral, se aplica: ∫ v n.dv = v n+1 dx
n+1
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158
Solucionario de Calculo Integral
(1/2)∫ csc2 2x .(2) dx + 2(1/2)∫ sec2 2x .(2) dx + (1/2)∫ (tg 2x)2.(2) sec2 2x .
dx
(1/2) (- cot 2x) + 2(1/2) (tg 2x) + 1 . (tg 2x)2+1
2
2+1
=
- 1/2 cot 2x + tg 2x + (tg 2x)3 = - 1/2 cot 2x + tg 2x + tg3 2x
2(3)
6
Ordenando: tg 2x + 1 tg3 2x - 1 cot 2x + c .
6
2
8.
dx
∫ cos 4 x dx = - 1/5 ctg5 x + c .
sen6 x
∫ cos 4 x .
1
dx = ∫ cot 4 x .csc2 x . dx = ∫ (cot x)4 . csc2 x .
sen4 x . sen2 x
v = cot x
dv = - csc2 x dx
9.
Se aplica: ∫ v n .dv = v n+1 + c .
n+1
(-)∫ (cot x)4.(-)csc2 x .dx = (-)(cot x)4+1 = -cot5 x) = - 1 cot5 x + c
4+1
5
3/2
5/2
9/2
∫ sen x dx = 2/5 tg x + 2/9 tg x + c .
cos11/2 x
∫ sen3/2 x dx = ∫ sen3/2 x . 1 .dx = ∫ tg3/2 x . 1
cos11/2 x
cos3/2 x cos 8/2 x
cos 4 x
.dx
∫ tg3/2 x.sec4 x.dx = ∫ tg3/2 x.sec2 x.sec2 x.dx =
∫ tg3/2 x.sec2 x.(1 + tg2 x).dx =
∫ (tg3/2 x.sec2 x + tg3/2 x . sec2 x. tg2 x) . dx =
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159
Solucionario de Calculo Integral
∫ (tg3/2 x . sec2 x + tg3/2 x.sec2 x.tg4/2 x) . dx =
∫ (tg3/2 x.sec2 x + tg7/2 x.sec2 x).dx =
∫ tg3/2 x.sec2 x.dx + ∫ tg7/2 x.sec2 x.dx =
El diferencial esta completo en ambas integrales.
Se aplica: ∫ vn .dv = vn+1 + c .
n+1
3/2
2
∫ (tg x) . sec x. dx + ∫ (tg x)7/2 . sec2 x . dx =
(tg x)3/2+1 + (tg x)7/2+1 = (tg x)5/2 + (tg x)9/2 =
3/2+1
7/2+1
5/2
9/2
2 (tg x)5/2 + 2 (tg x)9/2 = 2 tg5/2 x + 2 tg9/2 x + c .
5
9
5
9
10.
∫ tg3 α + sec5/2 α . dα = 2 sec5/2 α - 2 sec5/2 α + c .
9
5
∫ tg3 α . sec5/2 α . dα = ∫ (tg2 α. tg α . sec5/2 α) . dα =
∫ [(sec2 α - 1). tg α . sec5/2 α] . dα =
∫ [sec2 α . sec5/2 α .tg α - sec5/2 α . tg α] . dα =
∫ [sec9/2 α . tg α - sec3/2 α . sec2/2 α . tg α] . dα =
∫ [sec7/2 α . sec2/2 α . tg α - sec3/2 α . sec α . tg α] . dα =
∫ sec7/2 α . sec α . tg α . dα - ∫ sec3/2 α . sec α . tg α . dα =
∫ (sec α)7/2 . sec α .tg α . dα - ∫ (sec α)3/2 . sec α . tg α . dα =
v = sec α
dv = sec α .tg α . dα
v = sec α
dv = sec α .tg α . dα
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160
Solucionario de Calculo Integral
Ambos diferenciales estan completos, se aplica en ambos: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
(sec α)7/2+1 - (sec α)3/2+1
7/2+1
3/2+1
=
(sec α)9/2 - (sec α)5/2 =
9/2
5/2
2(sec α)9/2 - 2(sec α)5/2 = 2 (sec α)9/2 - 2 (sec α)5/2 =
9
5
9
5
2 sec9/2 α - 2 sec5/2 α + c .
9
5
11.
∫
sec ax
tg ax
4
. dx = - 1 cot ax + 1 cot3 ax + c .
a
3
Por Trigonometría: sec v =
1 ; cot v = 1 ; csc v = 1 ; csc2 v = 1 + cot2 v.
cos v
tg v
sen v
∫ sec4 ax . dx = ∫
1 . 1 . dx = ∫
1 . cot4 ax . dx =
tg4 ax
cos4 ax tg4 ax
cos4 ax
4
4
∫
1 . cos ax . dx = ∫
1 . cos ax . dx = ∫
1 dx =
4
4
4
4
4
cos ax sen ax
cos ax sen ax
sen ax
∫ csc4 ax dx = ∫ csc2 ax . csc2 ax dx = ∫ csc2 ax . (1 + cot2 ax) dx =
∫ (csc2 ax + cot2 ax .csc2 ax) dx = ∫ csc2 ax dx + ∫ cot2 ax .csc2 ax dx
=
(1/a) . ∫ csc2 ax . (a)dx + (-1/a) . ∫ (cot ax)2 .(-a)csc2 ax dx =
v = ax
dv = a dx
v = (cot ax)
dv = a.csc2 ax dx
Para la 1ra integral, aplicamos: ∫ csc2 v . dv = - cot v + c .
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161
Solucionario de Calculo Integral
Para la 2da integral, aplicamos: ∫ vn .dv = v n+1 + c.
n+1
(1/a) (- cot ax) - (1/a)(cot ax)2+1 = - 1 .cot ax - 1 .(cot ax)2+1 =
2+1
a
a
2+1
=
=
12.
- 1 .cot ax - 1 .(cot ax)3 = - 1 .cot ax - 1 .cot3 ax
a
a
3
a
a
3
-1
a
cot x + 1 cot3 ax + c .
3
∫ (cot2 2θ + cot4 2θ ) . dθ
=
- 1/6 cot3 2θ + c .
∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . cot2 2θ) dθ . Por Trigonometría: cot2 v = csc2 v - 1 .
∫ [cot2 2θ + cot2 2θ .( csc2 2θ - 1)] dθ
∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . csc2 2θ - cot2 2θ) dθ
∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . csc2 2θ - cot2 2θ) dθ
∫ cot2 2θ . csc2 2θ . dθ = (-½) . ∫ (cot 2θ)2 .(-2) csc2 2θ . dθ
(-½)(cot 2θ)2+1 = - 1 . (cot 2θ)3
2+1
2
3
13.
=
- 1 cot3 2θ + c .
6
∫ (tg bt - cot bt)3 dt = 1 [tg2 bt + cot2 bt] + 4 ln sen 2 bt + c .
2b
b
∫ (tg3 bt - 3tg2 bt . cot bt + 3 tg bt . cot2 bt - cot3 bt)dt
∫ (tg3 bt - 3tg bt .tg bt . 1 + 3. 1 . cot bt . cot bt - cot3 bt)dt
tg bt
cot bt
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162
Solucionario de Calculo Integral
∫ (tg3 bt - 3tg bt + 3cot bt - cot3 bt)dt
∫ (tg2 bt . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - cot2 bt . cot bt)dt
∫ [(sec2 bt - 1) . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - (csc2 bt - 1) . cot bt]dt
∫ [sec2 bt . tg bt - tg bt - 3tg bt + 3cot bt - csc2 bt . cot bt + cot bt]dt
∫ [sec2 bt . tg bt - 4tg bt + 4cot bt - csc2 bt . cot bt ]dt
dt
∫ tg bt . sec2 bt .dt - 4∫ tg bt . dt + 4∫ cot bt . dt - ∫ cot bt . csc2 bt .
(1/b) ∫ (tg bt)1.(b)sec2 bt . dt - 4(1/b)∫ tg bt .(b) dt +
4(1/b)∫ cot bt .(b) dt - (-1/b)∫ (cot bt)1 . (-b)csc2 bt . dt
1 (tg bt)1+1 - 4 [- ln cos bt] + 4 [ln sen bt] + 1 (cot bt)1+1 =
b 1+1
b
b
b
1+1
1 . (tg bt)2 + 4 . ln cos bt + 4 [ln sen bt] + 1 . (cot bt)2
b
2
b
b
b
2
1 . tg2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt + 1 . cot2 bt.
2b
b
b
2b
Ordenando:
1 . tg2 bt + 1 . cot2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt
2b
2b
b
b
1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt + ln sen bt
2b
b
=
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163
Solucionario de Calculo Integral
1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt .sen bt
2b
b
14.
∫ cot5 ax dx .
∫ cot4 ax. cot ax dx = ∫ cot2 ax. cot2 ax . cot ax dx =
∫ (csc2 ax - 1). (csc2 ax - 1). cot ax dx = ∫ (csc2 ax - 1)2.cot ax dx =
∫ [csc4 ax - 2csc2 ax + 1]. cot ax dx =
∫ [csc3 ax . csc ax .cot ax - 2csc ax .csc ax .cot ax + cot ax].dx =
(-1/a)∫ (csc ax)3.[-csc ax .cot ax .(a)]dx - 2(-1/a)∫ (csc ax).[-csc ax.
cot ax.(a)]dx + (1/a)∫ cot ax .(a)dx .
- (-1/a) (csc ax)3+1 + 2(1/a) (csc ax)1+1 + (1/a)ln sen ax
4
2
(csc ax)3+1 + 2 (csc ax)1+1 + ln sen ax + c .
4a
2a
a
15.
∫ sec6 θ dθ
∫ sec4 θ . sec2 θ dθ = ∫ (tg2 θ + 1)2 . sec2 θ dθ =
∫ (tg4 θ + 2 tg2 θ + 1)2 . sec2 θ dθ =
∫ tg4 θ.sec2 θ dθ + 2∫ tg2 θ.sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ =
∫ (tg θ)4.sec2 θ dθ + 2∫ (tg θ)2.sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ =
(tg θ )4+1 + 2 (tg θ)2+1 + tg θ = tg5 θ + 2 tg3 θ + tg θ + c .
4+1
16.
2+1
5
3
∫ csc6 x dx
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164
Solucionario de Calculo Integral
2
∫ (csc4 x dx. csc2 x ) dx = ∫ (1+ cot2 x )2. csc2 x .dx
2
2
2
2
∫ (1 + 2 cot2 x + cot4 x ) . csc2 x .dx
2
2
2
∫ csc2 x .dx + 2∫ cot2 x . csc2 x .dx + ∫ cot4 x . csc2 x .dx
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)∫ csc ½ x .(½)dx + 2(2)∫ cot ½ x . csc ½ x .(½)dx +
(2)∫ cot4 ½ x .csc2 ½ x .½dx
v =½ x
dv = ½ dx
Falta ½ para completar el diferencial en la
1ra integral.
v = (cot ½ x)
dv = - ½ csc2 ½ x .dx
n =1
Falta (- ½) para completar el diferencial,
en la 2da integral .
(2)∫ csc2 ½ x .(½)dx + 2(-2)∫ (cot ½ x)2 . csc2 ½ x .(- ½)dx +
(-2)∫ (cot ½ x)4 .csc2 ½ x .(- ½)dx
- 2cot ½ x - 4 (cot ½ x)2+1 - 2 (cot ½ x)4+1 + c
2+1
4+1
3
5
= - 2cot ½ x - 4(cot ½ x) - 2(cot ½ x) + c
3
5
=
17.
∫ sec4 t dt
tg3 t
∫ sec4 t.cot3 t dt = ∫ sec4 t.cot3 t dt = ∫ sec2 t. sec2 t.cot3 t dt =
∫ (1 + tg2 t) (1 + tg2 t).cot3 t dt = ∫ (1 + tg2 t)2.cot3 t dt =
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165
Solucionario de Calculo Integral
∫ (1 + 2tg2 t + tg4 t).cot3 t dt =
∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.cot3 t dt + ∫ tg4 t.cot3 t dt =
∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.cot2 t . cot t dt + ∫ tg3 t. tg t.cot3 t dt =
∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg3 t. 1 .tg t dt =
tg2 t
tg3 t
∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg3 t. 1 .tg t dt =
tg2 t
tg3 t
∫ tg t dt
∫ cot3 t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ cot2 t .cot t dt + 2∫ cot t dt +
Por Trigonometría: cot2 t = csc2 t - 1 ,reemplazando en la integral.
∫ (csc2 t - 1).cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
∫ csc2 t .cot t dt - ∫ cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt .
Simplificando:
∫ (cot t) .csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
v = (cot t)
Falta (-) para completar el diferencial, en la
2
dv = - csc t dt
1ra integral.Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 n+1 + c
da
ra
La 2 y 3 integral, estan listas para ser integradas.
(-)∫ (cot t) .(-)csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
- (cot t)1+1 + ln sen t + ln sec t = - (cot t)2 + ln sen t + ln sec t + c
1+1
2
Otra solución:
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166
Solucionario de Calculo Integral
∫ csc2 t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
∫ (csc t) . csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
v = csc t
dv = - csc t.cot t dt
n =1
Falta (-) para completar el diferencial.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
(-)∫ csc t . (-)csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt =
- (csc t)1+1 + ln sen t + ln sec t = - (csc t)2 + ln sen t + ln sec t + c .
1+1
2
18.
∫ sec4 x dx
√tg x
∫ sec2 x. sec2 x.(tg x)-1/2 dx =
∫ (1 + tg2 x). sec2 x.(tg x)-1/2 dx
∫ sec2 x.(tg x)-1/2 dx + ∫ tg2 x.(tg x)-1/2. sec2 x. dx
∫ (tg x)-1/2. sec2 x dx + ∫ (tg x)3/2. sec2 x. dx
v = (tg x)
1ra integral. La integral esta completa.
dv = sec2 x dx
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n = -1/2
n+1
da
v = (tg x)
2 integral. La integral esta completa.
dv = sec2 x dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n = 3/2
n+1
(tg x)-1/2+1 + (tg x)3/2+1 = (tg x)1/2 + (tg x)5/2 = 2(tg x)1/2 + 2(tg x)5/2 + c
-1/2+1
3/2+1
1/2
5/2
5
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167
Solucionario de Calculo Integral
19.
dx
∫
csc ax
cot ax
4
dx
∫ csc4 ax.tg4 axdx = ∫
1
. sen4 ax dx = ∫
sen4 ax cos4 ax
1 dx = ∫ sec4 ax
cos4 ax
∫ sec2 ax. sec2 ax dx = ∫ (1 + tg2 ax).sec2 ax dx =
∫ sec2 ax dx + ∫ tg2 ax.sec2 ax dx =
∫ sec2 ax dx + ∫ (tg ax)2.sec2 ax dx =
(1/a)∫ sec2 ax .(a)dx + (1/a)∫ (tg ax)2.(a)sec2 ax dx =
(1/a)tg ax + (1/a)(tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)3 =
2+1
a
3a
tg ax + tg3 ax + c .
a
3a
19.
∫ tg3 x . sec3 x dx
3
3
∫ tg2 x . tg x . sec3 x dx
3
3
3
Por Trigonometría: sec2 x - 1 = tg2 x .
3
3
2
3
∫ (sec x - 1). tg x . sec x dx
3
3
3
∫ sec5 x . tg x .- ∫ sec3 x . tg x . dx
3
3
3
3
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168
Solucionario de Calculo Integral
∫ sec4 x . sec x . tg x .dx - ∫ sec2 x . sec x . tg x . dx
3
3
3
3
3
3
3∫ (sec x )4.(1/3)sec x .tg x .dx - 3∫ (sec x )2 .(1/3)sec x .tg x .dx
3
3
3
3
3
3
3(sec x )4+1
3
4+1
3(sec x )2+1 3(sec x )5
3
3
=
2+1
5
3(sec x )3
3
3
=
3 (sec x )5 (sec x )3 + c .
5
3
3
21.
∫
dx
.
sen4 3x . cos2 3x
∫ csc4 3x . sec2 3x dx = ∫ sec2 3x . csc2 3x . csc2 3x .dx
Por Trigonometría: sec2 3x = tg2 3x + 1 ; csc2 3x = 1 + cot2 3x .
∫ (tg2 3x + 1)( 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx
∫ (tg2 3x + tg2 3x.cot2 3x + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx
∫ (tg2 3x + tg2 3x.
1 + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx
tg 3x
2
∫ (tg2 3x + 1 + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx = ∫ (tg2 3x + 2 + cot2 3x).csc2 3x.dx
∫ (tg2 3x.csc2 3x.dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx
∫ sen2 3x . 1 .dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx
cos2 3x sen2 3x
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169
Solucionario de Calculo Integral
∫
1 .dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx
cos 3x
2
∫ sec2 3x dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx
dx
(1/3)∫ sec2 3x.(3)dx + 2(1/3)∫ csc2 3x.(3)dx + (-1/3)∫ (cot 3x)2.(-3)csc2 3x.
(1/3) tg 3x + 2/3(-cot 3x) + (-1/3) (cot 3x)2+1 =
2+1
tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x)3 = tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x)3 + c .
3
3
3(3)
3
3
9
22.
∫
csc bx 2 dx
tg bx
∫ csc2 bx . cot2 bx . dx = ∫ cot2 bx . csc2 bx .dx
(-1/b)∫ (cot bx)2 .(- b) csc2 bx .dx
(-1/b)(cot bx)2+1 = - (cot bx)3 = - (cot3 bx) + c .
2+1
3b
3b
23.
∫
tg φ
cot φ
3
dφ
∫ tg3 φ .tg3 φ .dφ
φ .dφ
=
∫ tg2 φ .tg φ .tg2 φ .dφ
∫ (sec2 φ - 1).(sec2 φ - 1). tg2 φ .dφ
=
∫ (sec2 φ - 1)2. tg2
∫ (sec4 φ - 2 sec2 φ + 1). tg2 φ .dφ
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170
Solucionario de Calculo Integral
tg φ + 1
∫ (sec2 φ .sec2 φ - 2sec2 φ + 1).tg2 φ .dφ .Por Trigonometría: sec2 φ
=
2
∫ [(tg2 φ + 1). sec2 φ - 2sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ
∫ [(tg2 φ . sec2 φ + sec2 φ - 2 sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ
∫ [(tg2 φ . sec2 φ - sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ
∫ [(tg2 φ . tg2 φ . sec2 φ - tg2 φ .sec2 φ + tg2 φ ]. dφ
Por trigonometría: tg2 φ
=
sec2 φ - 1.
∫ [(tg φ ) . tg2 φ . sec2 φ - tg2 φ .sec2 φ + sec2 φ - 1]. dφ
∫ dφ
∫ dφ
∫ tg4 φ .sec2 φ .dφ - ∫ tg2 φ .sec2 φ .dφ + ∫ sec2 φ .dφ ∫ (tg φ )4 . sec2 φ .dφ - ∫ (tg φ )2 .sec2 φ .dφ + ∫ sec2 φ .dφ v = (tg φ )
Esta completo el diferencial de la 1ra integral .
dv = sec2 φ .dφ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n =4
n+1
v = (tg φ )
dv = sec2 φ .dφ
Esta completo el diferencial de la 2da integral.
La 3ra y 4ta integrales,estan completos sus diferenciales, se procede a integrar
.
(tg φ )4+1 - (tg φ )2+1 + tg φ - φ
4+1
2+1
(tg φ )5 - (tg φ )3 + tg φ - φ
=
tg5 φ - tg3 φ + tg φ - φ
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171
Solucionario de Calculo Integral
5
24.
3
∫ tg at dt
cos at
5
3
4
∫ tg4 at . sec4 at dt = ∫ tg4 at . sec2 at . sec2 at dt
∫ tg4 at . sec2 at . (1 + tg2 at) .dt
∫ (tg4 at . sec2 at + tg4 at . sec2 at .tg2 at) .dt
∫ tg4 at . sec2 at . dt + ∫ tg6 at . sec2 at .dt
∫ (tg at)4 . sec2 at . dt + ∫ (tg at)6 . sec2 at .dt
v = (tg at)
dv = a.sec2 at
n =4
Falta (a) para completar el diferencial en la
1ra integral. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
v = (tg at)
dv = a.sec2 at
n =6
Falta (a) para completar el diferencial en la
2da integral. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
(1/a)∫ (tg at)4 .(a)sec2 at . dt + (1/a)∫ (tg at)6 .(a)sec2 at .dt
(1/a) (tg at)4+1 + (1/a) (tg at)6+1 = (tg at)5 + (tg at)7 =
4+1
6+1
5a
7a
tg5 at + tg7 at + c .
5a
7a
25.
∫ tg3 x dx
√sec x
∫ tg3 x . (sec x)-1/2 .dx = ∫ tg2 x . tg x (sec x)-1/2 .dx
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172
Solucionario de Calculo Integral
∫ (sec2 x - 1 ).(sec x)-1/2 . tg x dx =
∫ [(sec x)2.(sec x)-1/2 - (sec x)-1/2] . tg x dx =
∫ [(sec x)3/2 - (sec x)-1/2] . tg x dx =
∫ (sec x)3/2 .tg x dx - ∫ (sec x)-1/2 .tg x dx =
En la 2da integral se hace un artificio:-1/2 = - 3/2 + 2/2 = - 3/2 + 1 .
∫ (sec x)1/2 .(sec x)2/2 .tg x dx - ∫ (sec x)-3/2 . (sec x)1 .tg x dx =
∫ (sec x)1/2.(sec x).tg x dx - ∫ (sec x)-3/2.(sec x).tg x dx =
c.
El diferencial de ambas integrales esta completo.Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 +
n+1
(sec x)1/2+1 - (sec x)-3/2+1 = (sec x)3/2 - (sec x)-1/2 =
1/2+1
-3/2+1
3/2
-1/2
2(sec x)3/2 + 2(sec x)-1/2 = 2(sec x)3/2 +
2 +c.
3
3
√sec x
26.
∫ tgn x . sec4 x dx
∫ sec2 x . tgn x . sec2 x dx = ∫ [(1 + tg2 x). tgn x . sec2 x] dx
∫ tgn x . sec2 x . dx + ∫ tg2 x. tgn x . sec2 x .dx
∫ (tg x)n . sec2 x . dx + ∫ (tg x)n+2 . sec2 x .dx
v = (tg x)
El diferencial de la 1ra integral, esta completo.
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173
Solucionario de Calculo Integral
dv = sec2 x .dx
n =n
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
v = (tg x)
dv = sec2 x .dx
n = n+2
El diferencial de la 2da integral, esta completo.
Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c
n+1
(tg x)n+1 + (tg x)[(n+2)+1] = (tg x)n+1 + (tg x)n+3 =
n+1
[(n+2)+1]
n+1
n+3
tgn+1 x + tgn+3 x + c .
n+1
n+3
27.
∫ tg5 2θ dθ
sec3 2θ
∫ tg3 2θ . tg2 2θ . cos3 2θ . dθ = ∫ sen3 2θ . tg2 2θ . cos3 2θ . dθ
cos3 2θ
∫ tg2 2θ.sen3 2θ dθ = ∫ (sec2 2θ - 1).sen2 2θ . sen 2θ dθ
∫ (sec2 2θ . sen2 2θ . sen 2θ - sen2 2θ. sen 2θ) dθ
∫
1 . sen2 2θ . sen 2θ - (1 - cos2 2θ). sen 2θ dθ
cos2 2θ
∫ (tg2 2θ . sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
∫ [(sec2 2θ - 1) . sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ)] dθ
∫ sec2 2θ . sen 2θ - sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
∫ sec2 2θ . sen 2θ - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
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174
Solucionario de Calculo Integral
∫
1
. sen 2θ - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
cos 2θ cos 2θ
∫ (tg 2θ. 1 . - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
cos 2θ
∫ (tg 2θ . sec 2θ . - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ
∫ sec 2θ . tg 2θ. dθ - 2∫ sen 2θ . dθ + ∫ (cos 2θ)2 .sen 2θ. dθ
Completando los diferenciales, tenemos:
½∫ sec 2θ . tg 2θ.(2)dθ - 2(½)∫ sen 2θ .(2) dθ +(-½) ∫ (cos 2θ)2.(-2)sen
2θ.dθ
(½)sec 2θ - 2(½) (- cos 2θ) - ½(cos 2θ )2+1 =
2+1
sec 2θ + cos 2θ - (cos 2θ )3 = sec 2θ + cos 2θ - cos3 2θ + c .
2
2(3)
2
6
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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175
Solucionario de Calculo Integral
Problemas. Páginas 265
Demostrar las siguientes Integraciones:
1.
∫ sen2 x . dx = x - sen 2x + c .
2
4
∫ (½ - ½ cos 2x) dx = ½ ∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x . dx =
x - ¼ sen 2x = x - sen 2x + c .
2
4
2.
∫ sen4 x . dx = 3x - sen 2x + sen 4x + c .
8
4
32
∫ sen2 x . sen2 x dx = ∫ (½ - ½ cos 2x)2 dx =
∫ {(½)2 - 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx
∫ {¼ - ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx
¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx
¼ ∫ dx - ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2x)] dx
¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx
¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx
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176
Solucionario de Calculo Integral
(4)dx
¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x .
¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x .(4)dx
¼ x - ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x =
¼ x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =
2/8 x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =
⅜ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .
3.
∫ cos4 x dx = 3x + sen 2x + sen 4x + c .
8
4
32
∫ cos2 x. cos2 x dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]2 dx dx =
∫ {(½)2 + 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx
∫ {¼ + ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx
¼ ∫ dx + ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx
¼ ∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2)x] dx
¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx
¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx
¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x (4)dx
¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x (4)dx
¼ x + ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x =
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177
Solucionario de Calculo Integral
¼ x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =
4.
2/8
x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =
3/8
x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .
∫ sen6 x dx = 5x - sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .
16
4
48
64
∫ sen2 x . sen2 x . sen2 x dx = ∫ (sen2 x)3dx =
∫ [½ - ½ cos 2x]3 dx
∫ {(½)3 - 3.(½)2. ½ cos 2x + 3(½). (½ cos 2x)2 - (½ cos 2x)3} dx
∫ (⅛ - 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½)2.cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx
∫ (⅛ - ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx
∫ (⅛ - ⅜cos 2x + ⅜cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx
∫ {⅛ - ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] - ⅛.cos2 2x. cos 2x} dx
dx
2x]}dx
2x}dx
∫ {⅛ - ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x - ⅛.[(1 - sen2 2x). cos 2x]}
∫ {⅛ + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛[cos 2x - sen2 2x.cos
∫ {2/16 + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛cos 2x + ⅛sen2 2x.cos
∫ {5/16 - ⅜ cos 2x - ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx
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178
Solucionario de Calculo Integral
∫ {5/16 - 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx
∫ {5/16 - ½ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx
5/16∫ dx - ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx + ⅛∫ (sen2x)2.cos2x dx
5/16∫ dx
(2)cos2xdx
5/16∫
- ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx + ⅛.½∫ (sen2x)2.
dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx + 1/16∫ (sen2x)2.(2)cos2xdx
5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/16(sen3 2x) =
3
5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/48 (sen3 2x) =
5x - sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .
16
4
48
64
5.
∫ cos6 x dx = 5x + sen 2x - sen3 2x + 3sen 4x + c .
16
4
48
64
∫ cos2 x. cos2 x. cos2 x dx = ∫ (cos2 x)3 dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]3 dx
dx
∫ [(½)3 + 3.(½)2 (½ cos 2x) + 3(½).(½ cos 2x)2 + (½ cos 2x)3 ]3
∫ (⅛ + 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½)2.cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx
∫ (⅛ + ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx
∫ (⅛ + ⅜cos 2x + ⅜ cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx
dx
∫ {⅛ + ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] + ⅛.cos2 2x. cos 2x}
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179
Solucionario de Calculo Integral
∫ {⅛ + ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x + ⅛[(1 - sen2 2x).cos 2x]}
dx
2x]}dx
2x}dx
∫ {⅛ + 3/16 + ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛[cos 2x - sen2 2x.cos
∫ {2/16 + 3/16 + ⅜cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛cos 2x - ⅛sen2 2x.cos
∫ {5/16 + ⅜ cos 2x + ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen
2x) .cos2x}dx
2
∫ {5/16 + 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx
∫ {5/16 + ½ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx
5/16∫ dx + ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx -
⅛∫ (sen2x)2.cos2x dx
5/16∫ dx
+ ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx - ⅛.½∫ (sen2x)2.
(2)cos2xdx
5/16∫ dx + ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx - 1/16∫ (sen2x)2.
(2)cos2xdx
5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16(sen 2x)2+1 =
2+1
5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16 (sen 2x)3 =
3
5x + sen 2x - sen3 2x + 3sen 4x + c .
16
4
48
64
6.
∫ sen2 ax dx = x - sen 2ax + c .
2
4a
.
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180
Solucionario de Calculo Integral
∫ [½ - ½ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax]dx =
½ ∫ dx - ½.1/2a ∫ cos 2ax . (2a)]dx =
½
7.
x - 1/4a .sen 2ax = x - sen 2ax + c .
2
4a
∫ sen2 x/2 . cos2 x/2 dx = x - sen 2x + c .
8
16
∫ [½ - ½ cos 2(x/2)].[½ + ½ cos 2(x/2)]dx . Simplificando:
∫ [½ - ½ cos x].[½ + ½ cos x]dx. Tenemos una diferencia de
cuadrados.
∫ {[½]2 - [½ cos x]2} dx = ∫ {[¼] - [¼ cos2 x]} dx =
2x dx
¼∫
dx - ¼ ∫ cos2 x dx = ¼∫ dx - ¼ {∫ [½ + ½ cos 2x] dx}
¼∫
dx - ¼.½ ∫ dx - ¼.½ ∫ cos 2x dx = ¼∫ dx - ⅛ ∫ dx - ⅛ ∫ cos
¼∫
dx - ⅛ ∫ dx - ⅛.(½) ∫ cos 2x .(2) dx =
¼∫
dx - ⅛ ∫ dx - 1/16 ∫ cos 2x .(2) dx
¼x-⅛
1/8
8.
x - 1/16 sen 2x = 2/8 x - ⅛ x - 1/16 sen 2x =
x - 1/16 sen 2x = x - sen 2x + c .
8
16
∫ sen4 ax dx
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181
Solucionario de Calculo Integral
∫ sen2 ax . sen2 ax dx = ∫ sen2 ax . sen2 ax dx = ∫ [½ - ½ cos
2ax] dx
2
∫ {(½)2 - 2(½)(½).cos 2ax + [(½)cos 2ax]2} dx
∫ {¼ - ½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax} dx
¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax dx + ¼ ∫ cos2 2ax dx
¼ ∫ dx - ½.½a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2ax)] dx
¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4ax] dx
¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4ax dx
(4a)dx
¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼a ∫ cos 4ax
¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32a ∫ cos 4ax (4a)dx
¼ x - ¼a sen 2ax + ⅛ x + 1/32a sen 4ax =
¼ x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax =
2/8 x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax =
⅜ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax =
⅜ x - sen 2ax + sen 4ax + c .
4a
32a
9.
.
∫ sen2 2x .cos4 2x dx
∫ sen2 2x .cos4 2x . cos2 2x dx
∫ [½ - ½ cos 2(2x)]. [½ + ½ cos 2(2x)]. cos2 2x dx
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182
Solucionario de Calculo Integral
∫ [½ - ½ cos 4x]. [½ + ½ cos 4x]. cos2 2x dx
∫ [¼ - ¼ cos2 4x].cos2 2x dx
∫ [¼ .cos2 2x - ¼.cos2 2x .cos2 4x] dx
∫ {¼[½ + ½ cos 2(2)x] - ¼.cos2 2x (1 - sen2 4x)} . dx
∫ {¼[½ + ½ cos 4x] - ¼ cos2 2x + ¼ sen2 4x.cos2 2x} . dx
∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 2(2)x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos
2(2)x]}.dx
4x]}.dx
4x]}.dx
4x]}.dx
∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 4x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos
∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos
∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos
∫ [⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos 4x].dx
⅛ ∫ [½ - ½ cos 2(4)x]dx + ⅛ ∫ (sen 4x)2.cos 4x.dx
⅛ ∫ [½ - ½ cos 8x]dx + ⅛.¼ ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx
⅛ .½ ∫ dx - ⅛.½ ∫ cos 8x dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx
1/16
∫ dx - 1/16.⅛ ∫ cos 8x .(8)dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx
1/16
x - 1/128 sen 8x +
1/32 (sen
4x)2+1
=
2+1
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183
Solucionario de Calculo Integral
x - sen 8x + (sen 4x)3 = x + (sen 4x)3 - sen 8x
16
128
32(3)
16
96
128
=
x + sen3 4x - sen 8x + c .
16
96
128
10.
2θ]}dθ
2θ]}dθ
∫ (2 - sen θ)2 dθ = 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .
2
4
∫ [4 - 2.2.sen θ + (sen θ)2] dθ = ∫ [4 - 4sen θ + sen2 θ] dθ =
∫ {4 - 4sen θ + [½ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {4 - 4sen θ + ½ + ½ cos
∫ {8/2 + ½ - 4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {9/2 - 4sen θ + ½ cos
9/2 ∫
dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½ ∫ cos 2θ .dθ =
9/2 ∫
dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½.½ ∫ cos 2θ .(2)dθ =
9/2 θ
- 4(- cos θ) + ¼ (sen 2θ) = 9/2 θ + 4cos θ + ¼ (sen 2θ)
9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .
2
4
11.
∫ [sen2 Ф + cos Ф]2 d Ф =
∫ [(sen2 Ф)2 + 2.(sen2 Ф).cos Ф + cos2 Ф]2 d Ф =
∫ [(½ - ½ cos 2Ф)2 + 2.(sen2 Ф).cos Ф + (½ + ½ cos 2Ф)] d Ф =
∫ [(¼ - 2.½. ½ cos 2Ф + (½ cos 2Ф)2 + 2(sen2 Ф).cos Ф + ½ + ½ cos
2Ф]d Ф =
∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos
2Ф]d Ф =
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184
Solucionario de Calculo Integral
∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos
2Ф]d Ф =
∫ [(¼ + ½ + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =
∫ [(¼ + ½ + ¼ (½ + ½ cos 2(2Ф) + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =
∫ [(¼ + ½ + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =
∫ [(2/8 + 4/8 + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =
∫ [(7/8 + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =
7/8 ∫
d Ф + ⅛ ∫ cos 4Ф + 2 ∫ (sen Ф)2.cos Ф.d Ф =
7/8 ∫
d Ф + ⅛.¼ ∫ cos 4Ф .(4 Ф).d Ф + 2 ∫ (sen Ф)2.cos Ф.d Ф =
7/8 Ф
+ 1/32 sen 4Ф + 2(sen Ф)2+1
2+1
7 Ф + sen 4Ф + 2(sen Ф)3
=
=
7 Ф + 2sen3 Ф + sen 4Ф +
c.
8
12.
32
3
8
3
32
∫ sen 2x cos 4x dx = cos 2x - cos 6x + c .
4
12
Por Trigonometría: sen 2x cos 4x = ½ sen[2+4]x + ½ sen[2-4]x
sen 2x cos 4x = ½ sen 6x + ½ sen[-2]x
∫ {½ sen 6x + ½ sen[-2]x}dx = ∫ {½ sen 6x - ½ sen 2x}dx
½ ∫ sen 6x .dx - ½ ∫ sen 2x .dx = ½.1/6 ∫ sen 6x.(6)dx - ½.½∫ sen 2x
.(2)dx
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185
Solucionario de Calculo Integral
1/12 (- cos 6x) - ¼ (- cos 2x) = - cos 6x + cos 2x
12
4
=
cos 2x - cos 6x + c .
4
12
13.
∫ sen 3x sen 2x dx = sen x - sen 5x + c .
2
10
Por Trigonometría: sen 3x sen 2x = -½ cos[3+2]x + ½ cos[3-2]x
sen 3x sen 2x = -½ cos 5x + ½ cos x
∫ [-½ cos 5x + ½ cos x] dx = -½ ∫ cos 5x . dx + ½ ∫ cos x . dx =
-½.(1/5) ∫ cos 5x .(5) dx + ½ ∫ cos x .dx = -(1/10) sen 5x + ½ sen x
=
½ sen x - (1/10) sen 5x
14.
=
sen x - sen 5x + c .
2
10
∫ cos 4x cos 3x dx
Por Trigonometría: cos 4x cos 3x = ½ cos[4+3]x + ½ cos[4-3]x
cos 4x cos 3x = ½ cos 7x + ½ cos x
∫ (½ cos 7x + ½ cos x) dx = ½ ∫ cos 7x dx + ½ ∫ cos x dx
½.(1/7) ∫ cos 7x .(7)dx + ½ ∫ cos x dx
1/14(sen
7x) + ½ (sen x) = sen 7x + sen x
14
2
=
sen x + sen 7x + c
14
2
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186
Solucionario de Calculo Integral
15.
∫ cos2 ax dx =
∫ [ ½ + ½ cos 2(ax) ]dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax ]dx =
½ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) ]dx =
16.
x/2 + 1/4a sen 2ax = x/2 + sen 2ax /4a + c .
∫ cos4 ax dx =
∫ cos2 ax . cos2 ax .dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax] [½ + ½ cos 2ax] dx =
∫ [½ + ½ cos 2ax]2 dx = ∫ [¼ + 2.½ .½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax]dx
=
∫ {¼ + ½ cos 2ax + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)]}dx =
∫ {¼ + ½ cos 2ax + ⅛ + ⅛ cos 4ax}dx .Haciendo
operaciones:
∫ {⅜ + ½ cos 2ax + ⅛ cos 4ax}dx
⅜ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) dx + ⅛.¼a ∫ cos 4ax .(4a)}dx
3x/8
17.
+ 1/4a sen 2ax + 1/32a sen4ax + c .
∫ sen2 ax . cos2 ax .dx =
∫ [ ½ - ½ cos 2(ax)] [½ + ½ cos 2(ax)] dx =
∫ [(½)2 - (½ cos 2ax)2] dx = ∫ [¼ - ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)2] dx =
∫ [¼ - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ∫ [2/8 - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx =
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187
Solucionario de Calculo Integral
∫ [⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ⅛∫ dx - ⅛.¼a ∫ cos 4ax.(4a)] dx =
x/8 - 1/32a .sen 4ax = x/8 - sen 4ax/32a + c .
18.
∫ sen4 θ /2 cos2 θ /2 .dθ
=
∫ sen2 θ/2.cos2 θ/2.sen2 θ/2 dθ = ∫ (sen θ/2 .cos θ/2)2 .sen2 θ/2 dθ =
Por Trigonometría :sen
2x = 2senx.cosx ; sen θ/2 .cos θ/2 = sen(2.θ/2)
sen θ/2 .cos θ/2 = ½ sen θ .
∫ (sen θ/2 .cos θ/2)2 .sen2 θ/2 dθ =
∫ (½sen θ. sen 2θ/2) dθ = ∫ {(½sen θ [½ - ½ cos (2.θ/2)]} dθ =
∫ [½sen θ ( ½ - ½ cos θ)] dθ = ∫ [¼ sen θ - ¼ sen θ .cos θ] dθ =
¼ ∫ sen θ dθ - ¼ ∫ (sen θ)1 .cos θ dθ .
v = sen θ
dv = cos θ dθ
n =1
El diferencial esta completo, se procede a integrar.
Se usa: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
¼ (- cos θ ) - ¼ .sen2 θ
2
19.
∫
=
- cos θ - sen2 θ + c .
4
8
csc ax 4 . dx =
cot ax
Por Trigonometría: csc ax
cot ax
1
sen
ax
=
cos ax
sen ax
.
=
1 = sec ax
cos ax
.
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188
Solucionario de Calculo Integral
∫
csc ax 4.dx = ∫ (sec ax)4.dx = ∫ sec4 ax.dx =∫ sec2 ax. sec2 ax dx
=
cot ax
∫ (1 + tg2 ax). sec2 ax . dx = ∫ (sec2 ax + tg2 ax . sec2 ax). dx =
∫ sec2 ax . dx + ∫ tg2 ax . sec2 ax). dx =
∫ sec2 ax . dx + ∫ (tg ax)2 . sec2 ax. dx =
v = ax
1ra integral : Falta (a) para completar el diferencial.
dv = a dx Se aplica: ∫ sec2 v = tg v + c .
v = tg ax
2da integral : Falta (a) para completar el diferencial.
2
dv = a.sec ax dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .
n+1
. 1 .∫ sec2 ax .(a) dx + . 1 . ∫ (tg ax)2 .(a) sec2 ax. dx =
a
a
tg ax + (tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)2+1 + c .
a
(2+1)a
a
3a
20.
∫ sen2 x . cos6 x . dx .
∫ sen2 x . cos2 x . cos2 x . cos2 x . dx .
∫ (sen x . cos x)2 .(cos x . cos x)2 . dx .
Por trigonometría: sen x.cos x = sen 2x ;
2
cos2 x = cos 2x + 1 = ½ cos 2x + ½ .Sustituyendo en la integral .
2
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189
Solucionario de Calculo Integral
∫ (sen x . cos x)2 .(cos x . cos x)2 . dx .
∫ ( ½ sen 2x)2 .( ½ cos 2x + ½)2 . dx .
∫ (½ sen 2x)2 .( ½ cos 2x + ½)2 . dx .Haciendo operaciones.
∫ (1/4 sen2 2x) .[1/4 cos2 2x + 2. ½ cos 2x . ½ + ¼] . dx .
∫ (1/4 sen2 2x) .[1/4 cos2 2x + ½ cos 2x + ¼] . dx .
∫ [1/16 sen2 2x . cos2 2x + 1/8 sen2 2x . cos 2x + 1/16 sen2 2x].dx .
1/16∫ sen2 2x . cos2 2x + 1/8 . ½ ∫ (sen 2x)2.cos 2x.(2)+ 1/16∫ sen2 2x.dx .
.dx .
1/16∫ sen2 2x.cos2 2x +1/16 ∫ (sen 2x)2.cos 2x.(2)+ 1/16∫ [1/2 - ½ cos 2(2x) ]
1/16∫ (sen 2x .cos 2x)2 dx + (sen 2x)2+1 + 1/16.1/2 ∫ dx - 1/16 . ½ .1/4 ∫ cos 4x .(4)dx .
16(2+1)
1/16∫ [1/2sen 2(2x)]2 dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 ∫ cos 4x .(4)dx .
16(3)
1/16∫ [1/4sen2 4x)] dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
1/16 . 1/4 ∫ [sen2 4x]. dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
1/16 . 1/4 ∫ [1/2 – ½ cos 2(4x)]dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
1/64 ∫ [1/2 – ½ cos 8x]dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
1/64 . 1/2 ∫ dx – 1/64 . ½ ∫ cos 8x dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
1/128 x – 1/128 . 1/8 ∫ cos 8x . (8)dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x .
48
5/128 x - 1/1024 sen 8x + (sen3 2x) - 1/128 sen 4x + c .
48
21.
dx .
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(1 + cos x)3 . dx .
(13 + 3.12.cos x + 3.1.cos2 x + cos3 x) . dx .
(1 + 3cos x + 3cos2 x + cos3 x) . dx .
[1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + cos2 x .cos x] . dx .
[1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + (1 - sen2 x) .cos x] . dx .
[2/2 + 3cos x + 3/2 + 3/2 cos 2x + cos x - sen2 x .cos x] . dx .
[5/2 + 4cos x + 3/2 cos 2x - sen2 x .cos x] . dx .
5/2 ∫ dx + 4 ∫ cos x dx + 3/2 . ½ ∫ cos 2x .(2) dx - ∫ (sen x)2 .cos x .
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190
Solucionario de Calculo Integral
5/2 x + 4 sen x + ¾ sen 2x - (sen x)2+1 + c .
2+1
5x + 4 sen x + 3sen 2x - (sen x)3 + c .
2
22.
dθ
∫
∫
∫
∫
∫
4
3
(√sen 2θ - cos 2θ)2 dθ
[√sen 2θ )2 - 2(√sen 2θ ) . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ
[sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ
{sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + [1/2 + ½ cos 2(2θ)]} dθ
{sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + 1/2 + ½ cos 4θ} dθ
∫ sen 2θ . dθ - 2.½ ∫ (sen 2θ )1/2.cos 2θ.(2) + 1/2∫ dθ + ½ .1/4 ∫ cos 4θ.(4)
½∫
sen 2θ.(2). dθ - (sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ
½+1
½ (- cos 2θ) - (sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ
½+1
- ½ (cos 2θ) - (sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ
3/2
- ½ (cos 2θ) - 2(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ + c .
3
Ordenando:
θ/2 + 1/8 sen 4θ - 2(sen 2θ )3/2 - ½ (cos 2θ) + c .
3
23.
∫ (√cos θ - 2sen θ)2 dθ
∫ [(√cos θ )2 - 2 (√cos θ .2sen θ + (2 sen θ)2 ] dθ
∫ [(cos θ ) - 2.2 (cos θ)1/2.sen θ + (4 sen2 θ)] dθ
∫ [cos θ - 4(cos θ)1/2.sen θ + 4(1/2 - 1/2 cos 2θ] dθ
∫ [(cos θ ) - 4(cos θ)1/2.sen θ + 4/2 - 4/2 cos 2θ] dθ
∫ [cos θ - 4(cos θ)1/2.sen θ + 2 - 2 cos 2θ] dθ
∫ (cos θ ) dθ - 4∫ (cos θ)1/2.sen θ dθ + 2∫ dθ - 2.½ ∫ cos 2θ.(2) .dθ
sen θ - 4(cos θ)1/2+1 + 2θ - sen 2θ
½+1
sen θ - 4(cos θ)3/2 + 2θ - sen 2θ + c .
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191
Solucionario de Calculo Integral
3/2
sen θ - 8(cos θ)3/2 + 2θ - sen 2θ + c .
3
24.
∫ (sen 2x - sen 3x)2 dx
∫ (sen2 2x - 2 sen 2x .sen 3x + sen2 3x)dx
∫ {(½ - ½ cos 2(2x) - 2[- ½ cos(2+3)x + ½ cos(2-3)x] + [½ - ½ cos
∫ {(½ - ½ cos 4x) - 2[- ½ cos 5x + ½ cos (-x)] + [½ - ½ cos
2(3x)]dx
6x]}dx
∫ {½ - ½ cos 4x + cos 5x - cos (-x) + ½ - ½ cos 6x}dx
Por Trigonometría: cos (-x) = cos (x) .
∫ {½ + ½ - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx
∫ {1 - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx
∫ dx - ½.1/4 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - ½ .1/6 ∫ cos 6x .
(6)dx
∫ x dx -1/8 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - 1/12 ∫ cos 6x .(6)dx
x -1/8 sen 4x + 1/5 sen 5x + sen x - 1/12 sen 6x .
x - sen 4x + sen 5x + sen x - sen 6x + c .
8
5
12
25.
∫ (sen x + cos 2x)2 dx
∫ (sen2 x + 2 sen x .cos 2x + cos2 2x) dx
Por Trigonometría: cos 2x = cos2x – sen2x ; sen2x = ½-½cos 2x ; cos2x = ½+½ cos 2x.
∫ [(½ - ½ cos 2x) + 2 sen x (cos2x - sen2x) + ½ + ½ cos 2(2x)] dx
∫ [½ - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2sen2 x. senx + ½ + ½ cos 4x] dx
∫ [½ + ½ - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2sen2 x. senx + ½ cos 4x] dx
∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2(1 - cos2x).senx + ½ cos 4x] dx
∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2 sen x + 2cos2 x.senx + ½ cos 4x] dx
∫ [1 - ½ cos 2x + 4 cos2 x .sen x - 2 sen x + ½ cos 4x] dx .
∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x .(2)dx + (-)4 ∫ (cos x)2 .(-)sen x dx - 2 ∫ sen x .dx +
½.1/4 ∫ cos 4x.(4) dx
∫ dx -1/4∫ cos 2x .(2)dx - 4∫ (cos x)2.(-)sen x dx -2∫ sen x .dx + 1/8∫ cos 4x.
(4) dx
x - sen 2x - 4(cos x)3 -2 (- cos x) + sen 4x + c .
4
3
8
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192
Solucionario de Calculo Integral
x - sen 2x - 4(cos x)3 + 2 cos x + sen 4x + c .
4
3
8
26.
∫ (cos x + 2cos 2x)2 dx
∫ [(cos x)2 + 2(cos x).(2cos 2x) + (2 cos 2x)2 dx
∫ (cos2 x + 4 cos x .cos 2x + 4cos2 2x) dx
∫ (½ + ½ cos 2x + 4 cos x .(cos2 x - sen2 x) + 4(½ + ½ cos 2(2x) dx
∫ ½ + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 + 2 cos 4x] dx
∫ ½ + 2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx
∫ 5/2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx
∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4(1 - sen2 x) . cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx
∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 4sen2 x .cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx
∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 8sen2 x .cos x + 2 cos 4x] dx
5/2∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 4(-)∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x)2 .cos x.dx
+ 2.1/4 ∫ cos 4x.(4)dx
5/2∫ dx + 1/4 ∫ cos 2x.(2)dx - 4 ∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x)2.cos x.dx + ½ ∫ cos 4x.
(4)dx
5x + sen 2x - 4sen x – 8(sen x)2+1 + sen 4x + c .
2
4
2+1
2
5x + sen 2x - 4sen x - 8(sen x)3 + sen 4x + c .
2
4
3
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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193
Solucionario de Calculo Integral
Problemas. Páginas 268 - 269
Cuando ocurre √a2 - u2 ; hágase u = a sen z
Cuando ocurre √a2 + u2 ; hágase u = a tg z
Cuando ocurre √u2 - a2 ; hágase u = a sec z
En efecto:
√a2 - a2 sen2 z
√a2 + a2 tg2 z
√a2sec2 z - a2
1.-
∫
dx
(x2 + 2)3/2
a √1 - sen2 z
a √1 + tg2 z
a √sec2 z - 1
=
=
=
a cos z (1)
a sec z (2)
(3)
= a tg z
=
=
.
u = x Como: (x2 + 2)3/2 = {√(x2 + 2)}3 es similar a √a2 + u2
a = √2 ⇒ hágase u = a tg z
a2 = 2
u = a tg z
du = asec2 z dz dz.
dx = du
Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (2) resulta:
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194
Solucionario de Calculo Integral
∫
dx
=
∫
du
=
∫ a sec2 z dz dz
=
∫ a sec2 z dz
=
(x2 + 2)3/2
∫ sec2 z dz
a2 sec3 z
u = a tg z .
a tg z = u
tg z = u .
a
sen z
a2
2.-
∫
=
{√(u2 + a2)}3
=
1 ∫ dz
a2 sec z
sen z =
=
{a sec z}3
1 ∫ cos z dz = sen z +.
a2
a2
u
√u + a
2
a3 sec3 z
.
√u2 + a2
2
u
z
a
u
√u2 + a2
a2
x2 dx
√(x2 - 6)
=
.
=
u
a √u2 + a2
2
=
x
+c.=
2
2 √x + 4
x √(x2 - 6) + 3 ln (x + √(x2 - 6) ) + c .
u = x Como: √(x2 - 6) = es similar a √u2 - a2
a = √6 ⇒ hágase u = a sec z
a2 = 6
u = a sec z
du = a sec z .tg z dz .
dx = du
Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (3) resulta:
∫
x2 dx
u2 du = ∫ (a sec z)2 .a sec z .tg z dz dz =
= ∫
√(x2 - 6)
√u2 - a2
a tg z
∫ a2 sec2 z . sec z dz = a2 ∫ sec3 z dz =
Se integra por partes:
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ sec3 z dz = ∫ sec z . sec2 z dz =
u = sec z
dv = sec2 z dz
du = sec z . tg z dz
v = tg z
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195
Solucionario de Calculo Integral
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg z .sec z . tg z dz =
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg2 z .sec z .dz =
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ (sec2 z - 1) .sec z .dz =
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - [∫ (sec3 z - sec z) .dz] =
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec3 z dz - ∫ sec z .dz =
∫ sec3 z dz + ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec z .dz =
2 ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) =
∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) =
2
Pero: a2 ∫ sec3 z dz = a2 sec z . tg z - ln (sec z + tg z) =
2
2
2
a sec z . tg z - a ln (sec z + tg z) =
2
2
u = a sec z
sec z = u ; tg z = √u2 - a2
a
a
√u2 - a2
u
z
a
∫
x2 dx
√(x2 - 6)
=
a2 sec z . tg z - a2 ln (sec z + tg z) =
2
2
a2 u . √u2 - a2 a2 ln u + √u2 - a2 =
a.a
a
a
=
2
2
1
1
=
.
a2 u .√u2 - a2 - a2 ln u + √u2 - a2
2a2
2
a
u.√u2 - a2 - a2 ln u + √u2 - a2
2
2
a
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
196
Solucionario de Calculo Integral
Sustituyendo valores:
x . √x2 - 6 - 6 ln x + √x2 - 6
2
2
√6
Aplicando logaritmos naturales:
x . √x2 - 6 - 3ln x + √x2 - 6 - 3 ln √6 + c . Pero: 3 ln √6 = c
2
x . √x2 - 6 - 3ln x + √x2 - 6 + c .
2
3.-
∫
dx
(5 - x2)3/2
.
u = x Como: (5 - x2)3/2 = {√(5 - x2}3 es similar a √a2 - u2
a = √5 ⇒ hágase u = a sen z
a2 = 5
u = a sen z
du = a cos z dz.
du = dx
Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta:
∫
dx
du
= ∫
= ∫ a cos z dz
= ∫ a cos z dz
(5 - x2)3/2 {√a2 - u2}3 {a cos z}3 a3 cos3 z
∫
dz = 1 ∫ sec2 z dz = 1 tg z = tg z
a2 cos2 z a2
a2
a2
u = a sen z .
a sen z = u
sen z = u .
a
tg z
=
tg z =
u
√a2 - u2
=
.
u .
√a2 - u2
a
u
z
√a2 - u2
.
=
u
=
x
+c.
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
197
Solucionario de Calculo Integral
a2
a2 √a2 - u2
a2
5 √5 - x2
.
4.-
∫
t2 dt
√(4 - t2)
=
u = t Como: √(4 - t2 ) = es similar a √a2 - u2
a =2
⇒ hágase u = a sen z
2
a =4
u = a sen z
du = a cos z dz .
du = dt
Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta:
∫
t2 dx
u2 du = ∫ (a sen z)2. a cos z dz =
= ∫
2
2
√(4 - t )
√a - u2
a cos z
Aplicando la formula: ∫ sen2 u du = ½ u - ¼ sen 2u + c
∫ a2 sen2 z .dz = a2 (½ - ¼ sen 2z) =
u = a sen z .
cos z = √a2 - u2 .
a
u
a sen z = u
a
z
sen z = u .
z = arc sen u/a
√a2 - u2
a
sen 2z = 2 sen z . cos z
a2 (½ z- ¼ sen 2z) = a2 [½ z - ¼ (2 sen z . cos z)] =
a2 [½ z - ½ sen z .cos z)] = a2z - a2 sen z .cos z)] =
2
2
2
2
2
2
4z - 4 u . √a - u = 2z - 2 u . √a - u =
2
2 a
a
a2
Pero: z = arc sen u/a ; u = t ; a2 = 4
2 arc sen u/a - 2 t . √4 - t2 = 2 arc sen t/2 - t . √4 - t2 + c .
4
2
.
Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón
198