Macro Crecimiento Solow

El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
El Crecimiento Económico1
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de Solow
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Miguel Ataurima Arellano1
Resumen
Referencias
1
Departamento de Economı́a
Pontificia Universidad Católica del Perú
Curso de Macroeconomı́a - Grupo Iddea
1 Apuntes
de clase basados en McCandless (2008).
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Introducción
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Solow (1956, 1970) introdujo un modelo de
crecimiento económico que ha servido de base
para la teorı́a del crecimiento más reciente, para el
modelamiento Real Business Cycle (RBC) y New
Keynesian (NK).
Este modelo es bastante simple elegante, y genera
una serie de resultados muy especı́ficos y
comprobables sobre el crecimiento; sin embargo:.
Referencias
No todos estos resultados fueron confirmados por
los datos y el modelo de Solow cayó en desuso.
Las revisiones posteriores del modelo hechas por
Romer (1986) y por Lucas (1988) hicieron que el
modelo sea más consistente con los datos de
crecimiento, y vuelva una vez más ha ser popular.
Kydland y Prescott (1982) utilizaron una versión
estocástica del modelo de Slow para estudiar los
ciclos económicos y ası́ iniciaron la rama de la
macroeconomı́a que ahora se conoce como la teorı́a
RBC (incluida la New Keynesian).
Introducción
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El modelo de Solow es bastante simple:
Hay una función de producción con rendimientos constantes a escala.
Hay una ley para la evolución del capital (K) y una tasa de ahorro (σ).
Las condiciones de equilibrio es solo una: la inversión es igual al ahorro.
A partir de esta base, se encuentra una ecuación en diferencia de primer orden para:
La evolución del capital por trabajador.
La senda temporal de la economı́a.
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
Versión simple del Modelo
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El Modelo Básico
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
La función de producción (fdp) es
Yt = At F (Kt , Ht )
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
(1)
yt =
donde:
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Expresamos el producto en términos por trabajador
Yt es la producción del único bien en la economı́a
en el periodo t;
At es el nivel de tecnologı́a,
Kt es el stock de capital, y
Ht es la cantidad de mano de obra utilizada en la
producción.
La fdp es homogénea de grado uno con las
propiedades habituales.
La dinámica de la tecnologı́a evoluciona según
t
At = (1 + α) A0
Usando las propiedades de retornos constantes a
escala de F (Kt , Ht )a , tenemos que
Kt Ht
Yt
= At F
,
= At F (kt , 1) ≡ At f (kt )
yt =
Ht
Ht Ht
(3)
Kt
es el capital por trabajador.
donde kt ≡
Ht
Reemplazando (2) en (3)
t
yt = (1 + α) A0 f (kt )
(2)
donde:
A0 es el nivel de tecnologı́a en el instante 0, y
α es la tasa neta de crecimiento de la tecnologı́a.
Yt
Ht
a Los
(4)
supuestos habituales sobre la forma de la función de producción son Fi (Kt , Ht ) > 0, Fii (Kt , Ht ) < 0, para i = K, H y
i 6= j. Fi (Kt , Ht ) → ∞ conforme la cantidad de factor i tiende
a 0, y Fi (Kt , Ht ) → 0 conforme la cantidad de factor i tiende a
∞. Además, F (Kt , 0) = F (0, Ht ) = 0.
El Modelo Básico
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
La fuerza de trabajo crece a una tasa
neta constante n, de modo que
st = σyt
Introducción
donde σ es la fracción del producto por trabajador que se ahorra.
El capital crece mediante
La Regla de Oro
Kt+1 = (1 − δ) Kt + It
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
(6)
Ht+1 = (1 + n) Ht
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
El ahorro se define como una fracción fija del producto
donde
Resumen
Referencias
δ es la tasa de depredación, e
It es la inversión en el periodo t.
Bajo estos supuestos, la regla de
crecimiento del capital por trabajador
es
(1 − δ) kt + it
kt+1 =
(5)
1+n
It
donde it =
es la inversión por
Ht
trabajador en el tiempo t.
NOTA: Este supuesto sobre el ahorro es probablemente la simplificación más importante del modelo de Solow.
El equilibrio en economı́a cerrada es
it = st
(7)
Luego de sustituir ahorros por inversión (7) en la regla de
crecimiento de capital (5), reemplazar los ahorros como fracción
constante de la producción (6), y el producto por la función de
producción por trabajador (4), obtenemos la siguiente ecuación
en diferencia
t
(1 + n) kt+1 = (1 − δ) kt + σ (1 + α) A0 f (kt )
(8)
Contenido
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1
Introducción
2
El Modelo Básico
Versión simple del Modelo
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Versión simple del
Modelo
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El Modelo Básico
Versión Simple del Modelo
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
El caso más simple es aquel en el que la tasa de
crecimiento de la tecnologı́a es cero
Las condiciones de estabilidad del ss positivo se
pueden ver a partir de la ecuación
Introducción
α=0
El Modelo Básico
kt+1 = g (kt ) =
Versión simple del
Modelo
Crecimiento
Tecnológico
(11)
simplificando la ecuación en diferencia (8)
a
La Regla de Oro
(1 + n) kt+1 = (1 − δ) kt + σA0 f (kt )
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
(1 − δ) kt + σA0 f (kt )
1+n
(9)
El estado estacionario (ss)a de (9) ocurre cuando
kt+1 = kt = k
Resumen
Referencias
reemplazando en (9) y simplificando
(δ + n) k = σA0 f k
(10)
Dadas las condiciones de la fdp, f (·), tenemos 2
posibles estados estacionarios:
Un ss nulo (en k = 0)
Un ss positivo (para un k positivo).
Un sistema o un proceso está en un estado estable o estado
estacionario (steady state) si las variables (denominadas variables
de estado) que definen el comportamiento del sistema o el proceso
son invariables en el tiempo.
El Modelo Básico
Versión Simple del Modelo
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Versión simple del
Modelo
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
Se observa que:
Para 0 < kt < k
La función g (kt ) es mayor que kt (está por encima
de la lı́nea de 45 grados), de modo que kt+1 es
mayor que kt (stock de capital aumenta).
Por lo tanto, el capital por trabajador crece y
converge al k positivo.
k t+1
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Para kt > k
La función g (kt ) es menor que kt (está por debajo
de la lı́nea de 45 grados), de modo que kt+1 es
menor que kt (el stock de capital disminuye).
Por lo tanto, el capital por trabajador disminuye y
converge al k positivo.
0
k
Figura 1. Condiciones de estabilidad
Todas las economı́as con k0 6= 0 convergen al ss
positivo.
kt
El Modelo Básico
Versión Simple del Modelo
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Un resultado importante del modelo de
crecimiento de Solow
Para ver cómo γt depende kt , tomamos la derivada
de γt con respecto a kt
Introducción
El Modelo Básico
Versión simple del
Modelo
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Si todas las economı́as tienen acceso a la misma tecnologı́a, las más pobres (aquellas con menos capital
inicial) crecerán más rápido que las más ricas (aquellas con más capital inicial).
Sea γt la tasa de crecimiento bruto del stock de
capital entre el instante t y t + 1
Resumen
kt+1
γt =
kt
Referencias
reemplazando (11) en la anterior ecuación, podemos
escribir la tasa de crecimiento γt como
γt =
kt+1
(1 − δ) kt + σA0 f (kt )
=
kt
(1 + n) kt
σA0
dγt
=
[f 0 (kt ) kt − f (kt )]
dkt
(1 + n) kt2
dγt
< 0 cuando kt > 0; por lo tanto, a
dkt
medida que ↑ kt :
Se observa
kt+1
kt
Como yt aumenta en kt ,
↓ γt =
yt = A0 f (kt )
+
entonces la tasa de crecimiento del producto por
trabajador también disminuye.
El Modelo Básico
El Crecimiento
Económico
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Introducción
El Modelo Básico
Versión simple del
Modelo
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
'
Los principales resultados de la versión más simple
del modelo de Solow son :
1. Cuando todos los paı́ses tienen acceso a la misma
tecnologı́a y todos tienen la misma tasa de ahorro,
todos los paı́ses convergen a los mismos niveles de
capital y producción por trabajador
2. Los paı́ses más pobres crecen más rápido que los
más ricos.
$
Tarea No. 1
1. Hacer un resumen de Solow (1956) y Solow
(1970).
2. Suponga que en cada perı́odo una economı́a
necesita pagar el 4 por ciento de su
producción al resto del mundo como pagos
de intereses sobre la deuda gubernamental
pasada. El gobierno recauda los fondos para
la transferencia usando impuestos a tanto
alzado. ¿En qué se diferencia la tasa de
crecimiento de este paı́s de una que no
necesita hacer los pagos?.
3. ¿Qué le sucede a la tasa de alquiler del
capital (el producto marginal del capital) a
medida que una economı́a crece a partir de
un stock de capital inicial por trabajador
por debajo del estado estacionario positivo?
&
%
Contenido
El Crecimiento
Económico
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1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Crecimiento Tecnológico
El Crecimiento
Económico
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Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
Con α constante todas las economı́as convergen
hacia una senda de crecimiento donde la tasa de
crecimiento de capital (γt ) y de producción (gt ) son
constantes, a la que se conoce como la senda de
crecimiento equilibrado.
Sea una economı́a con una fdp tipo Cobb-Douglas,
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Usando la ecuación en diferencia con γt = γ (cte.) y
normalizando el capital inicial, A0 = 1, obtenemos
t
γ=
t
=
f (kt ) = ktθ
donde θ es la fracción del ingreso de la economı́a
que se destina al capital.
Referencias
Para encontrar la senda de crecimiento constante de
esta economı́a buscamos un equilibrio donde
γt = γ
esto es, el capital crece a una tasa γ constante
desconocida
γt =
kt+1
γ
=
|{z}
kt
constante
(1 − δ) kt + σ (1 + α) ktθ
kt+1
=
kt
(1 + n) kt
1−δ
σ (1 + α)
+
1 + n (1 + n) kt1−θ
despejando kt obtenemos
1
# 1−θ
t
σ (1 + α)
kt =
(1 + n) γ − (1 − δ)
1
1−θ
t
σ
= (1 + α) 1−θ
(1 + n) γ − (1 − δ)
"
Crecimiento Tecnológico
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Económico
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El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Esto implica que a lo largo de la senda de
crecimiento equilibrado
Como se observa, la tasa de crecimiento del
producto por trabajador (gt ) es la misma que la tasa
de crecimiento del capital por trabajador (γt ).
1
i 1−θ
h
t+1
σ
(1 + α) 1−θ (1+n)γ−(1−δ)
kt+1
=
γ=
1
h
i 1−θ
t
kt
σ
(1 + α) 1−θ (1+n)γ−(1−δ)
1
gt = γt = (1 + α) 1−θ
1
= (1 + α) 1−θ
Como resultado, a lo largo de esta senda, el
producto por trabajador crece según
Referencias
t+1
θ
(1 + α)
kt+1
yt+1
gt =
=
= (1 + α)
t
yt
(1 + α) ktθ
1
= (1 + α) 1−θ
kt+1
kt
θ
Contenido
El Crecimiento
Económico
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1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
La Regla de Oro
El Crecimiento
Económico
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Arellano
Fue desarrollada por Phelps (1961)
Para
Introducción
maximizar el bienestar (welfare) en
estado estacionario
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
maximizar el nivel de consumo en
estado estacionario
El Modelo de
Solow Estocástico
Resumen
Referencias
ct = (1 − σ) yt = (1 − σ) A0 f (kt )
se debe
La Regla de Oro
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Dado que la producción puede ser ahorrada
(invertida) o consumida, el consumo por trabajador
en cada perı́odo es igual a
puesto que el bienestar es una función únicamente
del consumo,
Consideramos:
El bienestar de en una economı́a sin crecimiento
tecnológico (α = 0).
La tasa de ahorro σ es variable.
La tasa de ahorro σ que maximiza el consumo se
conoce como la tasa de ahorro de la regla de oro
(σ ∗ ).
por lo tanto el ss del consumo es
c = (1 − σ) A0 f k
(12)
Sustituimos la condición para el ss del capital (10)
(δ + n) k = σA0 f k
en la ecuación de ss del consumo (12)
c = A0 f k − (δ + n) k
La Regla de Oro
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El problema de maximización del consumo de la
regla de oro es
c
max
∗
k
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
La condición de primer orden arroja la ecuación
A0 f 0 k = δ + n
∗
siendo k el valor de k que la resuelve.
∗
Colocando el valor de k que resuelve la ecuación
anterior en (10)
∗
∗
(δ + n) k = σA0 f k
obtenemos el valor de la regla de oro de σ
∗
σ∗ =
(δ + n) k
∗
A0 f k
Contenido
El Crecimiento
Económico
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Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
Simulación
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Contenido
El Crecimiento
Económico
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1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
Simulación
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Formulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
El Crecimiento
Económico
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Introducción
El Modelo Básico
Existen varias formas de agregar un choque
estocástico al modelo estándar de Solow.
Entre las variables que podrı́an hacerse seguir un
proceso estocástico se encuentran:
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Formulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El nivel de tecnologı́a (At ).
El factor de descuento.
La tasa de ahorro (σ).
La tasa de crecimiento de la población (n).
En nuestra versión del modelo, un choque
tecnológico y un impacto en la tasa de ahorro son
esencialmente idénticos en la forma en que afectan
la evolución de la producción.
Desarrollaremos una versión donde la tecnologı́a es
estocástica.
Los efectos del crecimiento de la tecnologı́a estocástica son la base de la teorı́a RBC.
Los cambios en la tecnologı́a que provienen de
intentar hacer coincidir el modelo de Solow con los
datos a menudo se denominan residuos de Solow
(ver Solow, 1957).
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
Existen 2 formas comunes de definir el proceso estocástico de la tecnologı́a.
1. Definir At como un promedio móvil de primer orden
de la forma
2. Definir At como
At = Aet
El Modelo Básico
At = ψA + (1 − ψ) At−1 + t
donde t tiene una distribución normal con media 0
donde 0 < ψ < 1 y A es una constante no negativa.
t ∼ N (0, σ2 )
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Formulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
En este caso, la distribución de probabilidad de t
necesita tener como lı́mite inferior a −ψA o con
alguna probabilidad positiva, la tecnologı́a se
volverá negativa.
Normalmente, un lı́mite inferior no es un problema
cuando se simula la economı́a, pero hace más
complicada la formulación analı́tica .
En este caso, At tiene una distribución normal
logarı́tmica de la forma
log At = log A + t
Estsa alternativa que no tiene el problema de lı́mite
inferior.
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
El Crecimiento
Económico
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Arellano
Usaremos la segunda formulación y supondremos
que la tecnologı́a sigue el proceso estocástico
Introducción
At = Aet
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
donde A es positivo y el término aleatorio t tiene
una distribución normal con media cero
El Modelo de
Solow Estocástico
t ∼ N (0, σ2 )
Formulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Dividiendo ambos lados de esta ecuación por kt para
kt+1
en el lado
obtener la tasa de crecimiento, γt =
kt
izquierdo, reorganizamos y luego tomamos
logaritmos. Al terminar tendremos
1−δ
σA
f (kt )
log γt −
= log
+ log
+ t
1+n
1+n
kt
(14)
La ecuación en diferencia de primer orden que
describe la senda temporal de la economı́a en el
modelo es mecánicab , en el sentido de que la tasa de
ahorro es constante, y la ecuación 11 se escribe
simplemente como
kt+1 =
(1 − δ) kt + σAet f (kt )
1+n
(13)
b El
proceso es mecánico en el sentido de que no hay
retroalimentación del choque tecnológico sobre la decisión de
ahorro. Un modelo con formación de hábitos implicarı́a que la tasa
de ahorro disminuirı́a en respuesta a un choque negativo en la
producción. Aquı́ la tasa de ahorro es siempre σ.
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
El Crecimiento
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El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Formulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Asumiendo una función de producción de
Cobb-Douglas, la función de producción por
trabajador es
f (kt ) = ktθ
y la ecuación 14 se vuelve
1−δ
= ϕ − (1 − θ) log kt + t
log γt −
1+n
(15)
σA
1+n
A partir de (15) se observa que la tasa bruta de
crecimiento del capital por trabajador γt es una
función no lineal del capital por trabajador actual
kt y de los choques t .
donde ϕ ≡ log
La varianza de γt depende del nivel inicial de capital
por trabajador ası́ como de la varianza de t .
Contenido
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Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
Formulación
Simulación
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Simulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El Modelo de Solow Estocástico
Simulación
El Crecimiento
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Los parámetros utilizados son
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Simulación
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
A=1
n = 0.02
δ = 0.1
θ = 0.36
σ = 0.2
y el error estándar del choque es
σ = 0.2
La figura muestra 3 simulaciones de la versión
estocástica exacta del modelo de Solow que se da en
la ecuación 13.
Figura 2. Tres simulaciones del modelo exacto de Solow
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2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Log-linealización
Reglas útiles de aproximación de primer orden
Capital
Producto
7
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Introducción
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Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
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Referencias
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Log-linealización
Reglas útiles de aproximación de primer orden
Capital
Producto
7
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Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Log-linealización
Resumen
Referencias
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Log-linealización
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El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
et como la log diferenciac de una variable
Defina X
Xt como
et = log Xt − log X
X
Referencias
et
Xt = XeX
donde
Xt es el valor de la variable X en el instante t, y
X es el valor de estado estacionario de la variable
X .
Esta definición de las log-diferencias nos permite
escribir la variable Xt como
Log-linealización
Resumen
Esta definición de las log-diferencias nos permite
escribir la variable Xt como
et
Xt = XeX
Para encontrar una versión log-lineal de un modelo,
con frecuencia es posible simplemente reemplazar la
variable por la versión en log diferencias.
Para encontrar una versión log-lineal de un modelo,
con frecuencia es posible simplemente reemplazar la
variable por la versión en log diferencias.
c Se
puede encontrar material más extenso sobre este tema en Uhlig
(1998)
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Log-linealización
Reglas útiles de aproximación de primer orden
Capital
Producto
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Reglas útiles de
aproximación de
primer orden
Resumen
Referencias
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Reglas útiles de aproximación de primer orden
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Las siguientes reglas son útiles para valores
et y Yet :
pequeños de X
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Reglas útiles de
aproximación de
primer orden
Resumen
Referencias
et ≈ 1 + X
et
eX
et +aYet ≈ 1 + X
et + aYet
eX
et Yet ≈ 0
X
h
i
h
i
et+1 ≈ E aX
et+1 + una constante
Et aeX
t
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Log-linealización
Reglas útiles de aproximación de primer orden
Capital
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Capital
Resumen
Referencias
Simulación
Producto
7
Resumen
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Capital
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
Comenzamos con una versión estocástica,
Cobb-Douglas, con crecimiento tecnológico cero
(α = 0) de la ecuación en diferencia de primer orden
En el estado estacionario no estocástico
(1 + n) k = (1 − δ) k + σAk
θ
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
(1 + n) kt+1 = (1 − δ) kt + σAet ktθ
Eliminamos los términos del estado estacionario no
estocástico de la aproximación de primer orden
Log linealizandod tenemos
θ
kt+1 = (1 − δ) ke
kt + σAt k
(1 + n) ke
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Capital
Resumen
Referencias
θ θe
kt
(1 + n) keekt+1 = (1 − δ) keekt + σAet k e
Usando la primera regla de aproximación de primer
orden
et ≈ 1 + X
et
eX
θ
y como t e
kt ≈ 0 la ecuación se convierte en
θ
θ
kt+1 = (1 − δ) ke
kt + σAt k + σAk θe
kt
(1 + n) ke
tenemos
(1 + n) k 1 + e
kt+1 = (1 − δ) k 1 + e
kt
θ
kt
+ σA (1 + t ) k 1 + θe
θ
+ σAk θe
kt + σAk θt e
kt
d Esto
kτ , donde e
es, reemplazando kτ por kee
kτ = log kτ − log k
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Capital
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Combinando términos, llegamos a la ecuación en
diferencia de primer orden
Introducción
e
kt+1 = B e
kt + Ct
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
(16)
donde
La Regla de Oro
i=0
θ−1
El Modelo de
Solow Estocástico
θσAk
1−δ
θ (δ + n)
1−δ
B=
+
=
+
1+n
1+n
1+n
1+n
1 + θn − δ (1 − θ)
=
<1
1+n
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Capital
Resumen
Referencias
Podemos usar la expresión 17 para calcular la
varianza del capital en torno a su estado
estacionario, e
kt+1 como

!2 
∞
h
i
h
i
X
2
var e
kt+1 = E e
kt+1
=E C
B i t−i 
∞
h
i
X
var e
kt+1 = C 2
B 2i var [t ] =
y
θ−1
C=
σAk
δ+n
=
1+n
1+n
i=0
Sustituyendo recursivamente e
kt−j para j = 0, . . . , ∞
en la ecuación 16 resulta en la aproximación
e
kt+1 = C
∞
X
i=0
B i t−i
Si los choques tecnológicos son independientes, esto
es E [t s ] = 0 si t 6= s, la expresión anterior se
convierte en
(17)
C2
var [t ]
1 − B2
donde
2
C2
(δ + n)
=
2
2
1 − B2
(1 + n) − [1 + θn − δ (1 − θ)]
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Capital
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Asumiendo que
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
δ = 0.1
σ = 0.2
n = 0.02 y
θ = 0.36
encontramos que la varianza del capital en torno a
su estado estacionario es 0.0955 veces la varianza
del impacto de la tecnologı́a.
La siguiente figura muestra una simulación de la
versión log-lineal del modelo de Solow junto con
otra basada en el modelo exacto utilizando el mismo
proceso de error.
Figura 3. Simulaciones del modelo de Solow exacto y
log-linealizado
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Log-linealización
Reglas útiles de aproximación de primer orden
Capital
Producto
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Producto
Resumen
Referencias
Simulación
7
Resumen
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Producto
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Producto
Como t e
kt ≈ 0 y y = Ak , esta expresión se
convierte en
yet = t + θe
kt
Esto se encuentra a partir de
Para encontrar la varianza aproximada de yet , usamos
el hecho de que e
kt es independiente de t (ver
ecuación 17), obteniendo
2 var [e
yt ] = E yet2 = E t + θe
kt
h i
= var [t ] + θ2 var e
kt
yt = Aet ktθ
que es aproximado por
y (1 + yet ) = A (1 + t ) k
θ
1 + θe
kt
Resumen
Referencias
θ
Para determinar la varianza del choque tecnológico
relación con el del producto, primero encontramos
una versión log-lineal de la función de producción.
Esto se puede simplificar aún más al eliminar el valor
de estado estacionario del producto para obtener
θ
θ
θ
ye
yt = Ak t + Ak θe
kt + Ak t θe
kt
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
Capital
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
Usando los mismos valores usados para encontrar la
varianza del capital en relación con la del choque
tecnológico, encontramos que
El Modelo Básico
var [e
yt ] = 1.0123 var[t ]
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
Esto significa que en el modelo de Solow:
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
La varianza en el producto es casi exactamente
igual a la varianza en el choque tecnológico.
Los choques muestran muy poca persistencia. Con
nuestros valores de parámetros, un choque
tecnológico en el perı́odo t representa solo 1.23 %
de la varianza en el producto en el perı́odo t + 1.
No se explica bien la varianza en el producto o la
persistencia de los choques tecnológicos.
Tarea No. 2
'
$
Tarea No. 2
Encuentre en términos de la varianza del choque
tecnológico:
1. La covarianza entre la desviación del
producto respecto del estado estacionario
en el periodo t, yet .
2. La desviación del producto respecto del
estado estacionario en el periodo t − 1, yet−1 .
&
%
Contenido
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
1
Introducción
2
El Modelo Básico
3
Crecimiento Tecnológico
4
La Regla de Oro
5
El Modelo de Solow Estocástico
6
Versión Log-lineal del Modelo de Solow
7
Resumen
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Resumen
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
El modelo de crecimiento presentado no es un
modelo de optimización.
La cantidad de ahorro es fija y no está determinada
por una decisión de los consumidores o las empresas.
No obstante, el modelo puede incluir una serie de
caracterı́sticas:
Problemas de estabilidad,
Importancia del capital y
La posibilidad de producir series de tiempo que
tengan algunas de las propiedades observadas para
las economı́as reales.
El modelo de Solow falla en su predicción respecto a
que, en general, los paı́ses pobres deberı́an crecer
más rápido que los ricos, al no estar muy bien
respaldada por los datos (ver Parente y Prescott,
1993).
La log-linealización del modelo no es realmente
necesaria para generar series temporales
estocásticas, pero nos brinda un ejemplo inicial de
las técnicas que se utilizan más adelante en el curso.
Existe una enorme literatura sobre el modelo de
crecimiento de Solow. Una buena referencia estándar
está en Barro y Sala-i-Martin (2003).
Referencias I
El Crecimiento
Económico
Miguel Ataurima
Arellano
Introducción
El Modelo Básico
Crecimiento
Tecnológico
La Regla de Oro
El Modelo de
Solow Estocástico
Versión Log-lineal
del Modelo de
Solow
Resumen
Referencias
Barro, R. J. y Sala-i-Martin, X. (2003). Economic Growth, 2nd Edition, volume 1 of MIT Press Books. The MIT
Press.
Kydland, F. E. y Prescott, E. C. (1982). Time to Build and Aggregate Fluctuations. Econometrica, 50 No. 6,
1345–1370.
Lucas, R. J. (1988). On the mechanics of economic development. Journal of Monetary Economics, 22 No. 1, 3–42.
McCandless, G. (2008). The ABCs of RBCs: An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models. Harvard
University Press, Cambridge.
Parente, S. L. y Prescott, E. C. (1993). Changes in the wealth of nations. Quarterly Review, No. Spr, 3–16.
Phelps, E. (1961). The golden rule of accumulation: A fable for growthmen. American Economic Review, páginas
548–67.
Romer, P. M. (1986). Increasing Returns and Long-run Growth. Journal of Political Economy, 94 No. 5,
1002–1037.
Solow, R. M. (1956). A Contribution to the Theory of Economic Growth. The Quarterly Journal of Economics, 70
No. 1, 65–94.
Solow, R. M. (1957). Technical change and the aggregate production function. The Review of Economics and
Statistics, 39 No. 3.
Solow, R. M. (1970). Growth Theory: An Exposition. Oxford University Press.
Uhlig, H. (1998). A toolkit for analysing nonlinear dynamic stochastic models easily.