CLASE1

MAT024
Clase N◦ 1: Integrales dobles
Departamento de Matemática.
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
,
Depto. Matemática (UTFSM)
Clase N◦ 1: La integral doble
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2016
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
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Depto. Matemática (UTFSM)
Clase N◦ 1: La integral doble
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2016
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
,
Depto. Matemática (UTFSM)
Clase N◦ 1: La integral doble
,
2016
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
El problema del volumen.
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Clase N◦ 1: La integral doble
,
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
El problema del volumen.
La integral doble sobre un rectángulo.
,
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Clase N◦ 1: La integral doble
,
2016
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
El problema del volumen.
La integral doble sobre un rectángulo.
Propiedades de la integral.
,
Depto. Matemática (UTFSM)
Clase N◦ 1: La integral doble
,
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
El problema del volumen.
La integral doble sobre un rectángulo.
Propiedades de la integral.
Criterio de integrabilidad.
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Clase N◦ 1: La integral doble
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Contenidos de la clase
En esta clase estudiaremos lo siguiente:
La integral de Riemann en R.
El problema del volumen.
La integral doble sobre un rectángulo.
Propiedades de la integral.
Criterio de integrabilidad.
Integrales iteradas.
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La integral de Riemann en R
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La integral de Riemann en R
En MAT022 enfrentamos el problema de determinar el área bajo la gráfica de una
función de una variable, ese problema nos llevó a definir la integral de Riemann.
Recordemos cuando una función era Riemann integrable.
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La integral de Riemann en R
Definición
Sea [a, b] un intervalo cerrado. Diremos que P = {x0 , x1 , . . . , xn } es una partición
de [a, b] si se cumple
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
Observación
Notar que P tiene n + 1 elementos y determina n subintervalos de [a, b] de la
forma [xi−1 , xi ].
usaremos la notación ∆xi = xi − xi−1 y llamaremos norma de la partición P al
número
kPk = máx {∆xi : i = 1, 2, . . . , n}
,
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La integral de Riemann en R
Sea f : [a, b] → R una función acotada y P = {x0 , x1 , . . . , xn } es una partición de
[a, b]. Para i = 1, . . . , n denotaremos por
mi
=
ı́nf {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
Mi
=
sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
(Como [a, b] 6= ∅ y f es acotada se sigue que para cada i el conjunto
{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} es no vacı́o y acotado, por ende existen su ı́nfimo y
supremo).
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La integral de Riemann en R
Definición
Si P = {x0 , x1 , . . . , xn } es partición de [a, b] se define la suma superior de f
asociada a la partición P como el número
S (f , P) =
n
X
Mi ∆xi
i=1
de manera similar se define la suma inferior de f asociada a la partición P como el
número
n
X
s (f , P) =
mi ∆xi
i=1
,
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La integral de Riemann en R
y = f (x)
a
x1
··· xk−1 xk
y = f (x)
··· xn−1 b
a
x1
··· xk−1 xk
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··· xn−1 b
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La integral de Riemann en R
Definición
Llamaremos integral inferior de f en el intervalo [a, b] al número real
b
Z
f (x) dx = sup {s (f , P) : P particiones de [a, b]}
a
de manera similar se define la integral superior de f en el intervalo [a, b] como el
número
Z b
f (x) dx = ı́nf {S (f , P) : P particiones de [a, b]}
a
,
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La integral de Riemann en R
Definición
Diremos que f es Riemann integrable si se cumple
Z
b
Z
f (x) dx =
b
f (x) dx
a
a
y en tal caso escribiremos
Z
b
f (x) dx
a
para el número en común.
,
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La integral de Riemann en R
Definición
Sea f : [a , b] → R acotada y P
una partición del intervalo [a , b] .
Una Suma de Riemann para la
función f respecto de la partición P
es una suma finita de la forma
S(f , P , εi ) =
n
X
f (εk )(xk − xk−1 )
k=1
donde los εi ∈ [xi−1 , xi ] .
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La integral de Riemann en R
Observación
En los libros de cálculo se acostumbra a definir la integral de la siguiente forma:
Sea f : [a , b] → R acotada. Diremos que f es integrable Riemann si
lı́m
kPk→0
S(f , P , εi ) =
lı́m
kPk→0
r
X
f (εi )(xk − xk−1 )
k=1
existe y no depende del tipo de particiones nı́ de los εi escogidos. En tal caso se
denota
Z b
f (x) dx
lı́m S(f , P , εi ) =
kPk→0
a
la definición mediante integral superior e inferior es equivalente.
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El problema de volumen
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Integrales Dobles
Supongamos ahora que queremos determinar el volumen bajo la gráfica de una
función positiva de dos variables f : [a, b] × [c, d] → R
,
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Integrales Dobles
Usaremos ideas parecidas al caso unidimensional para aproximar el valor del
volumen.
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊆ R un rectángulo, consideremos particiones [a, b] de
m + 1 puntos y en [c, d] de n + 1 puntos, esto es, consideramos colecciones
m
n
{xi }i=0 y {yj }j=0 tales que
a = x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xm = b
y
c = y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < yn = d
la grilla formada por las rectas x = xi para i ∈ {0, . . . , m} e y = yj para
j ∈ {0, . . . , n}, determina mn sub-rectángulos de R los que denotaremos por
Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]. Llamaremos a la colección P = {R11 , R12 , . . . , Rmn }
una partición de R.
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Integrales Dobles
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Integrales Dobles
Sea f : [a, b] × [c, d] → R una función positiva, la partición regular
P = {R11 , R12 , . . . , Rmn } divide el sólido bajo la gráfica de z = f (x, y ) en mn
sólidos, digamos Sij donde tales sólidos están limitados por abajo por Rij y por
arriba por la superficie z = f (x, y ) que se encuentra directamente sobre el
rectángulo.
,
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Integrales Dobles
Sea xi∗ , yj∗ ∈ Rij un punto cualquiera, el paralelepı́pedo de base Rij , altura
f xi∗ , yj∗ y volumen
Vij = f xi∗ , yj∗ ∆xi ∆yj
aproxima el volumen del sólido Sij
,
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Integrales Dobles
se sigue que el volumen total es aproximado por
V =
m X
n
X
f xi∗ , yj∗ ∆xi ∆yj
i=1 j=1
intuitivamente, si n, m → ∞ la aproximación debe ser cada vez mejor.
,
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Integrales Dobles
Definición
Sea f : R = [a, b] × [c, d] → R una función y P = {R11 , R12 , . . . , Rmn } una
partición de R. Se define la integral doble de f sobre R como
ZZ
f (x, y ) dA = lı́m
R
kPk→0
m X
n
X
f xi∗ , yj∗ ∆xi ∆yj
i=1 j=1
siempre que este
lı́mite exista y sea el mismo para cualquier elección posible de los
puntos xi∗ , yj∗ ∈ Rij . En este caso diremos f es integrable en [a, b] × [c, d].
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Integrales Dobles
Mediante la definición de la integral, es complicada la obtención del valor de la
integral y la existencia de la misma, necesitamos un método práctico que nos
permita calcular el valor de la integral y algun resultado que asegure su existencia.
,
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Integrales Dobles
Del curso Mat022 recordamos el método para el cálculo de volúmenes por área de
secciones transversales conocidas. Si A (x) es el área de la sección transversal de
un sólido (perpendicular al eje x) y x ∈ [a, b] entonces el volumen es dado por
Z b
V =
A (x) dx
a
,
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Integrales Dobles
Supongamos que f : [a, b] × [c, d] → R es una función continua, calcularemos el
volumen bajo z = f (x, y ) utilizando secciones transversales. Sea x fijo, el área de
la sección transversal determinada por el plano perpendicular al eje x en x es dada
por
Z d
A (x) =
f (x, y ) dy
c
luego el volumen del sólido es
Z b
Z
V =
A (x) dx =
a
b
Z
d
f (x, y ) dy dx
a
c
de la misma manera, tomando secciones transversales perpendiculares al eje y se
tiene
Z d
A (y ) dy
V =
c
Z
d
Z
=
b
f (x, y ) dxdy
c
a
,
estas integrales son llamadas integrales
iteradas.
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Integrales Dobles
Note que tenemos dos formas de calcular el volumen, con las sumas de Riemann y
con las integrales iteradas, el teorema de Fubini que enunciaremos a continuación
establece condiciones bajo las cuales estas cantidades coinciden, lo que nos
entrega un método para el cálculo de integrales dobles mediante integrales de una
variable (integrales iteradas), antes, enunciaremos un criterio de integrabilidad
para funciones dos variables.
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Integrales Dobles
Teorema
Sea f : [a, b]×[c, d] ⊆ R2 → R una función acotada que es
continua salvo quizás en un conjunto que es unión finita de
gráficas de funciones continuas de una variable, entonces
f es integrable en [a, b] × [c, d].
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Integrales Dobles
Observación
Existe un teorema de integrabilidad que caracteriza de mejor forma las funciones
integrables. Consultar apunte del curso en Aula
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Integrales Dobles
Ejemplo
La función f (x, y ) = sin
1
|x|−|y |
para |x| =
6 |y | y f (x, y ) = 0 para |x| = |y | es
integrable en cualquier rectángulo [a, b] × [c, d] pues es continua salvo en el
conjunto
D =
(x, y ) ∈ R2 : |x| = |y |
=
(x, y ) ∈ R2 : y = x ∪ (x, y ) ∈ R2 : y = −x
que es unión de dos gráficas de funciones continuas.
,
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Integrales Dobles
Teorema de Fubini
Sea f : [a, b] × [c, d] ⊆ R2 → R una función acotada que
es continua salvo quizás en un conjunto que es unión finita
de gráficas de funciones continuas de una variable, si para
Z d
f (x, y ) dy existe entonces
todo x ∈ [a, b] la integral
c
RbRd
f (x, y ) dy dx existe además
a c
ZZ
Z
b
Z
f (x, y ) dA =
R
d
f (x, y ) dy dx
a
c
de manera similar en la otra variable.
,
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Ejemplo
RR
Si R = [0, 1] × [0, 1], calcular R x 3 y + x dA.
La función f (x, y ) = x 3 y + x es continua en R2 , en particular en [0, 1] × [0, 1] se
sigue que el teorema de Fubini es aplicable de donde obtenemos
ZZ
x 3 y + x dA =
R
Z
1
0
Z
1
x 3 y + x dxdy
0
1
x4
x2
=
y+
dy
4
2 0
0
Z 1
y
1
=
+
dy
4 2
0
5
=
8
Z
1
,
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Integrales Dobles
Proposición
Sean f , g : R = [a, b] × [c, d] ⊆ R2 → R funciones integrables, α, β ∈ R:
1
αf + βg es integrable en R además
ZZ
ZZ
ZZ
(αf (x, y ) + βg (x, y )) dA = α
f (x, y ) dA + β
g (x, y ) dA
R
2
R
R
Si R1 y R2 son subrectángulos de R tales que R = R1 ∪ R2 y R1 , R2
comparten solo un borde entonces
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y ) dA =
f (x, y ) dA +
f (x, y ) dA
R1 ∪R2
R1
,
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R2
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Integrales Dobles
Proposición
Sean f , g : R = [a, b] × [c, d] ⊆ R2 → R funciones integrables:
1
Si f ≥ 0 en R entonces
ZZ
f (x, y ) dA ≥ 0
R
2
Si f ≥ g en R entonces
ZZ
ZZ
f (x, y ) dA ≥
R
f (x, y ) dA
R
,
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