UCAB Extensión Guayana Escuela de Ingeniería Industrial Cátedra: Vectores e inferencia Profesor: Alessandre Bastardo Ejemplos: Pruebas de Hipótesis continuación Ejemplo 4 Contrastar la hipótesis de que la varianza de una población normal es 2, si en una muestra de quince elementos la varianza muestral fue 3, 𝛼 = 0.05 Solución 𝐻0 : 𝜎 2 = 2 𝐻𝑎 : 𝜎 2 ≠2 Como 𝐻𝑎 : 𝜎 2 ≠2, tenemos el contraste de dos colas ℎ1 ℎ2 Calculemos los valores críticos ℎ1 y ℎ2 , como el parámetro es la varianza poblacional usamos Chi cuadrada 2 ℎ1 = 𝑋1−𝛼⁄ 𝜎2 2 𝑛 2 2 𝑋1− 𝛼⁄ =𝑋1−0.975 (14)= 5,63.recuerda g.l = n – 1 =15- 1 =14 ; 2 Luego 2 ℎ1 = 𝑋1−𝛼⁄ 𝜎2 2 𝑛 =5.63 2 15 = 0.75 1 2 ℎ2 = 𝑋𝛼⁄ 𝜎2 2 𝑛 2 ℎ2 = 𝑋𝛼⁄ 𝜎2 2 𝑛 ; 2 𝑋𝛼2⁄ = 𝑋0.025 (14) = 26.1 2 =26.1 2 15 = 3.48 Finalmente ℎ1 = 0.75 y ℎ2 = 3.48 𝑆 2 = 3 está entre ℎ1 = 0.75 y ℎ2 = 3.48; por lo que no se rechaza 𝐻0 Ejemplo 5 Contrastar la hipótesis nula 𝐻0 : 𝜎 2 = 8 contra la hipótesis alterna 𝐻𝑎 : 𝑠 2 >6, si en una muestra de 20 elementos 𝑠 2 = 11, 𝛼 = 0.10 Solución Contraste de una cola por la derecha h h= 𝑋𝛼2 h= 𝑋𝛼2 𝜎2 𝑛 𝜎2 𝑛 2 ; 𝑋𝛼2 = 𝑋𝛼.1 (19) = 27.3 = 27.3 8 20 = 10.88 Contrastemos 𝑠 2 y h Como 𝑠 2 = 11> h =10.88, se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 2 Ejemplo 6 En una población se tomó una muestra de 21 elementos, siendo 𝑋̅ =200 y 𝑠𝑥2 = 40.. En otra población una muestra aleatoria de 31 elementos dio 𝑦̅ =180 y 𝑠𝑦2 = 30. ¿Hay una diferencia significativa en las varianzas?. Tome 𝛼 = 0.05 Solución Empleamos la distribución F porque queremos saber si hay diferencia de las varianzas de las dos poblaciones Hipótesis 𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 𝐻𝑎 : 𝜎𝑦2 ≠ 𝜎𝑦2 𝑛𝑥 =21; 𝑠𝑥2 = 40 𝑛𝑦 =31; 𝑠𝑦2 = 30 1 𝐹1−𝛼⁄2 (𝑛𝑥 − 1; 𝑛𝑦 − 1) = 𝐹𝛼⁄ (𝑛𝑦 −1;𝑛𝑥 −1) 2 𝐹0,975 (20; 30) = 1 𝐹0.025 (30;20) = 1 2.35 𝐹𝛼⁄2 (𝑛𝑥 − 1; 𝑛𝑦 − 1) = 𝐹0.025 (20; 30)= 2.20 Calculemos ahora nx s2x (nx −1) ny s2y (ny −1) = 21∗40∗30 31∗30∗20 = 1,354 Como 1,354 está entre 0,425 y 2,20, se acepta 𝐻0 : 3 Ejemplo 7 Se quiere determinar si los estudiantes diurnos y nocturnos de la facultad de Ciencias Económicas y Sociales dedican el mismo tiempo a sus estudios. Por estimaciones anteriores se supone que las varianzas ene le tiempo de estudios semanales son 8 y 5 horas respectivamente. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes diurnos dio un promedio de 12 horas semanales, mientras que una muestra de 80 estudiantes nocturnos dio un promedio de 9 horas semanales. ¿Con un nivel de significancia del 5% hay una diferencia significativa en las horas estudiada por cada grupo? Solución Sea x; muestra estudiantes diurnos Y muestra de estudiantes nocturnos Planteamiento de hipótesis 𝐻0 :𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 𝐻𝑎: : 𝜇𝑥 ≠ 𝜇𝑦 contraste de dos colas Datos ̅=12 𝒚 ̅ =9 𝝈𝟐𝒙 = 8 𝝈𝟐𝒚 = 5 𝒏𝒙 =100 𝒏𝒚 = 80 𝒙 𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.025 = 1,96 Calculemos 𝜎2 𝜎2 𝑥 𝑦 8 5 𝒉𝟏 = - 𝑧𝛼⁄2 √𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 =- 1,96√100 + 80 = -0.74 𝒉𝟏 =0.74 𝜎2 𝜎2 𝑥 𝑦 8 5 𝒉𝟐 =𝑧𝛼⁄2 √𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 = 1,96√100 + 80 = 0.74 𝒉𝟐 = 0.74 4 Por otro lado ̅=12 𝒚 ̅ =9 y 𝒙 ̅ - 𝒚 ̅ = 3 > 𝒉𝟐 = 0.74 𝒙 Luego se rechaza la hipótesis nula Atte Alessandre B 5
