PRÁCTICA 1: Ejercicios de los capítulos 1 y 3

PRÁCTICA 1: Ejercicios de los capítulos 1 y 3
1.
Supongamos que una población con 3 elementos adopta los valores 2, 4 y 6 en la
variable aleatoria X.
a). Calcular los parámetros media y varianza de dicha población
X:
f (xi)
2
1/3
4
1/3
6
1/3
E(X) = Σ xi f(xi) = µ = 2 . 1/3 + 4 . 1/3 + 6 . 1/3 = 12/3 = 4
σ2(X) = Σ xi2 f(xi) - [E(X)]2 = 4 + 16 + 36 / 3 – (4)2 = 8/3 = 2,67
b). Extraer, con reposición, todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcular la
media y varianza en cada muestra
N=3yn=2
1
2
2
2
0
x1
x2
x
i
2
S
i
V Nn = N n = 3 2 = 9
2
2
4
3
1
3
2
6
4
4
4
4
2
3
1
5
4
4
4
0
6
4
6
5
1
7
6
2
4
4
8
6
4
5
1
9
6
6
6
0
c). Calcular la distribución muestral de la media y la varianza
x
i
f( x i )
S
f( S
2
i
2
i
)
2
1/9
3
2/9
4
3/9
0
3/9
1
4/9
4
2/9
5
2/9
6
1/9
d). ¿Cuál es la probabilidad de que la media tome su valor verdadero?
P ( X = µ ) = P ( X = 4 ) = 3 / 9 = 0,33
e). ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza valga al menos 1 punto?
P (S2 ≥ 1 ) = P (S2 = 1 ) + P (S2 = 4 ) = 4 / 9 + 2 / 9 = 6 / 9 = 0,67
2.
Un informe de tráfico ha desvelado que la población de jóvenes madrileños se
distribuye normalmente con media 5 y varianza 3 en las pruebas de atención del
examen de conducir. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 9 jóvenes:
a). Si se extrae un sujeto al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que puntúe al
menos 4 puntos en la prueba?
P (X ≥ 4 ) = P (Z ≥ -0,58) = 0,7190
Donde: z i =
1
X−µ
σ
=
4−5
= −0,58
3
b). ¿Cuál es la probabilidad de que los sujetos obtengan una media de como
mínimo 4 puntos?
P ( X ≥ 4 ) = P (Z ≥ -1,73) = 0,9582
Donde z i =
X−µ
4−5
=
= −1,73
3/ 9
σ/ n
c). ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral adopte como máximo el
valor 5?
P (S2 ≤ 5 ) = P (X2 ≤ 15) = 0,95
Donde X
3.
2
i
=
n⋅S2
σ
2
=
9⋅5
= 15 → χ n2−1 = χ 82
3
Un psicólogo clínico afirma que con su terapia para tratar “el miedo a volar en
avión” se recupera el 85% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 40
pacientes que han acudido a su consulta durante el último año con este
problema, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 30 se hayan recuperado y
puedan tomar aviones?
P (X ≥ 30 ) = P (Z ≥ - 1,76) = 0,9616
Donde: Zi =
X − E( X ) 30 − 34
=
= −1,76
2,26
σ (X )
E(X) = n π = (40) (0,85) = 34
σ ( X ) = nπ (1 − π ) = (34 )( 0,15) = 2,26
4.
Un estadístico de contraste X tiene las funciones de distribución de probabilidad
bajo H0 verdadera y bajo H0 falsa que aparecen en la tabla inferior.
X
F(x) / H0
F(x) / H1
1
0,05
0,35
2
0,16
0,45
3
0,39
0,63
4
0,65
0,77
5
0,90
0,85
6
0,95
0,94
Se ha llevado a cabo un contraste unilateral izquierdo con α = 0,05.
a) ¿Qué valores de X forman la zona de rechazo? 1
¿y la de aceptación?
2, 3, 4, 5, 6 y 7
b) ¿Cuál es la regla de decisión en términos de probabilidad?
Rechazar H0 si P (X ≤ xi) ≤ 0,05
c) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar H0 cuando ésta es verdadera?
Error tipo I: α = 0,05
2
7
1,00
1,00
d) ¿Cuál es la probabilidad de mantener H0 cuando ésta es falsa?
Error tipo II: β = 1 - 0,35 = 0,65
e) Si X = 2 ¿Qué decisión tomará sobre H0?¿Por qué?
Mantener H0 pues X cae dentro de la zona de aceptación
f) ¿Cuál será el valor del nivel crítico?
p = P(X ≤ 2) = 0,16
g) ¿Cuál es la potencia del contraste?
1 - β = 0,35
h) ¿A partir de qué nivel de significación puede rechazarse H0?
α = 0,16
5.
Un estadístico de contraste Y tiene las funciones de probabilidad bajo H0 y bajo
H1 que aparecen en la tabla inferior.
Y
f (y) / H0
f (y) / H1
1
0,025
0,10
2
0,025
0,05
3
0,25
0,15
4
0,45
0,05
5
0,20
0,25
En un contraste unilateral derecho con Y = 3 y α = 0,05.
a). ¿Qué decidirá sobre H0?
Mantener H0 pues Y = 3 cae dentro de la zona de aceptación
b). ¿Cuál es el valor del nivel crítico?
p = P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0,05 = 0,95
c). ¿Cuál es la probabilidad de rechazar H0 y equivocarnos?
Error tipo I: α = 0,05
d). ¿Cuál es la potencia del contraste?
1 - β = 0,40
3
6
0,05
0,40