Índice
Unidad I
Capítulo 1
Expresiones algebraicas
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes I
9
Capítulo 3
Teoría de exponentes II
14
Capítulo 4
Ecuaciones exponenciales
19
Capítulo 5
Valor numérico en polinomios
24
Capítulo 6
Teoría de grados
29
Capítulo 7
Polinomios especiales
34
Capítulo 8
Multiplicación algebraica
39
Capítulo 9
Repaso I
44
Unidad II
Capítulo 10
Productos notables I
49
Capítulo 11
Productos notables II
54
Capítulo 12
División algebraica I
59
Capítulo 13
División algebraica II
64
Capítulo 14
Factorización I
69
Capítulo 15
Factorización II
74
Capítulo 16
Fracciones algebraicas I
79
Capítulo 17
Repaso II
84
Unidad III
Capítulo 18
Fracciones algebraicas II
89
Capítulo 19
Radicación I
94
Capítulo 20
Radicación II
99
Capítulo 21
Radicación III
104
Capítulo 22
Teoría de ecuaciones
109
Capítulo 23
Ecuaciones de 1er grado I
114
Capítulo 24
Ecuaciones de 1er grado II
119
Capítulo 25
Repaso III
124
Unidad IV
Capítulo 26
Sistemas de ecuaciones I
128
Capítulo 27
Sistemas de Ecuaciones II
134
Capítulo 28
Repaso IV
140
Capítulo 29
Sistemas de ecuaciones III
145
Capítulo 30
Desigualdades
150
Capítulo 31
Intervalos
155
Capítulo 32
Inecuaciones I
162
Capítulo 33
Inecuaciones II
167
Álgebra
1
Capítulo
Expresiones algebraicas
Lectura: Notación matemática y algebraica
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los
problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos
actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pide
calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular.
2 2
El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t , b ),
2
2
multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t + b
+ tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo:
“Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación
2
2
algebraica actual sería: V = h (t + b + tb) / 3, un polinomio
de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite
obtener la cuarta variable.
t=2
h=6
b=4
2
2
V = h (t + bt + b )
3
Así tenemos el volumen de una pirámide truncada:
2
Algunos polinomios, como: f(x) = x + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el
conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene
una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.
En este capítulo aprenderemos
Expresiones algebraicas
.. El término algebraico y sus componentes.
.. Cómo identificar términos algebraicos semejantes.
.. La reducción de términos algebraicos semejantes.
Colegios
4
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Expresiones Algebraicas
Definición
Término
algebraico
Términos semejantes
Notación
Reducción de términos
algebraicos semejantes
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Segundo año de secundaria
5
1
Capítulo
Saberes previos
3. Calcular el valor de: −3+8−11+2
1. Calcula en cada caso:
a) 4+9=
b) −8+3=
4. Calcular en cada caso:
c) −10+6=
a) (−2)(4)=
d) −9+(−4)=
b) (−5)(−3)=
2. Calcular en cada caso:
a) −4−5=
c) (7)(−5)=
b) −9−11=
d) (8)(9)(−2)=
c) −9+5=
5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)
d) 7−10=
Aplica lo comprendido
1. Indicar las
algebraico:
partes
del
siguiente
T(x)=−4x
término
3. Reducir en cada caso:
4
4
a) 5x +8x =
9
3
•
Variable : _____________
•
Exponente
•
: _____________
: _____________
Coeficiente
3
b) 2m −7m =
c) −4ab−5ab=
2
2
d) 11x y−5x y=
2
•
: _____________
Parte literal
2
2
2
4. Reducir: −2x y+x y−3x y+5x y
2. Indicar con un aspa (x), el término algebraico
que no es semejante a los demás:
5x
3
−8x
3
4x
2
9x
3
3
2
3
2
5. Reducir: 4x −2x −5x +7x
2 3
4x y
Colegios
6
TRILCE
2 3
5x y
3 2
9y x
5xy
2
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
3
1. Siendo: A=5xy–4xy–2xy
B=–xy+3xy–4xy
Hallar A–B
a) 0
d) –xy
Determine 2 P(x)+ Q(x)
b) 3xy
e) –3xy
2
c) xy
2
2
2
2
P(x;y)=5x –2xy+y –4x +xy+2y –x +3xy–5y
a) 2xy–2y
2
d) 2xy–y
2
2
b) 2xy+y
2
e) –y –2xy
c) 2xy+2y
3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)
B=2xy–[xy–2xy]
b) 2xy
e) 5xy
c) −3xy
c) –13mn
b) 3mnp
e) mnp
c) 0
6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]}
a) 2xyz
d) 4xyz
b) –2xyz
e) –6xyz
c) –4xyz
b) –8xy
e) 0
c) 3xy
2
P(x)=–x +x–1
2
Q(x)=2x –x+2
Hallar P(x)+ Q(x)
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2a–3
, hallar
a) 2
d) 5
a) 8
d) 11
5
c) 3x+2y
es semejante con
a
b) 3
e) 6
c) 4
4 5
; R(x;y)=5x y son semejantes,
b) 9
e) 12
c) 10
13. Si:
2m+p
3n+p
17
+3x
=px ; entonces “m+n+p”
2x
será:
a) 15
d) 11
b) 9
e) 26
c) 10
a) 1
b) 2
d) 4
3
e)
1
2
;
c) 3
2
15. Si la expresión:
b+2
a+3
6
+2x
+(b+4)x , se reduce a
P(x)=(a+3)x
un solo término. Calcule su coeficiente.
8. Siendo
2
b) 8x+10y
e) 5x+2y
a–b
3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}
a) x –x+1
2
d) x –x–1
a) 5x+5y
d) 13x+15y
14. Si los términos en variable "x", T1=mx
b–c
T2=nx
son semejantes; calcular: a + c
b
7. Reducir:
a) 8xy
d) –3xy
2
16x + 20y − 2 (3x + 5y)
2
a b–1
5. Restar –2mnp de –mnp
a) –3mnp
d) –mnp
E(x;y)=
12. Si T(x;y)=3x y
hallar “a+b”
b) –15mn
e) 12mn
c) 2x +8
10. Reducir la siguiente expresión:
Q(x)=–5x
4. De 14mn restar –mn
a) 13mn
d) 15mn
2
2
b) 2x –8
2
e) 2x +6
11. Sabiendo que P(x)=4x
Hallar A–B
a) xy
d) 4xy
2
a) x +8
2
d) x
2. Reducir:
2
2
9. Si P(x)=x +3x +2x+3
3
2
Q(x)=–2x –4x –4x+2
2
b) x +1
2
e) x
2
a) 10
d) 16
b) 12
e) 18
c) 14
c) x –1
Segundo año de secundaria
7
1
Capítulo
Practica en casa
1. Siendo: A=6xy–4xy–5xy
B=–2xy+5xy–6xy
Hallar: A+B
10. Reducir la siguiente expresión:
E(x;y)= 18x − 30y − 4 (2x − 5y)
5
2. Reducir:
11. Sabiendo que Q(x)=3x
2
2
2
2
2
P(x;y)=2x +xy–2y –x –3xy+y +xy–2x +y
2
3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)]
B=–mp–(mp–4mp)
Hallar: A+B
12. Si: M(x;y)=5x
, hallar:
a+1 b+2
y
es semejante con
a
7 7
; A(x;y)=7x y
son semejantes, hallar: a+b
4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)
13. Si: 3x
5. Restar: (3m+4) de (5m+4)
m–1
+4x
p+1
=qx
5
Hallar: m+p+q
6. Reducir:
–{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn
7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y
14. Si se cumple: (a–2)x
b–1
4
+(a+3)x ≡ 11x
c+1
Hallar: ab–c
b+1
15. Si la expresión: P(x)=(a+6)x
2
8. Siendo: P(x)=2x +4x–2
2
Q(x)=x –4x+1
Hallar: P(x)+Q(x)
3
R(x)=–5x
2a–6
12
a+2
+5x
8
+(b+3)x
se reduce a un solo término, calcule su
coeficiente.
2
9. Si: F(x)=2x +2x –x+4
3
2
Q(x)=x +x +2x+3
Hallar: F(x)–2Q(x)
Tú puedes
4
n+1 m
1. Si x y; 3x
y son semejantes; ¿qué podemos
5 3
5 m+2
?
afirmar de: (m+2)x y ∧ nx y
a) Diferentes
b) Iguales
c) Semejantes
d) Hay 2 correctas
e) Constantes
2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales
8+m
10
b 5–n
+x =a x
tales que: 3x
de: m+n+a+b, si: a!b
a) 1
d) 4
, hallar la suma
b) 2
e) 5
6
6
c) 3
6
3. Al sumar x +2x +3x +....+nx
6
2
55x , indique: n
a) 76
d) 100
Colegios
8
TRILCE
b) 81
e) 196
6
4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b).
El primero le costo $a y el segundo $(2a–b).
¿Cuánto le costó el tercero?
a) $a
d) 3a+2b
b) 7a
e) a+2b
c) 3a–b
5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9x
B(x)=2x+4x+6x+8x+10x
Reducir
S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}
a) 35x
d) 65x
b) 45x
e) 75x
c) 55x
se obtuvo
c) 49
Central: 6198 – 100
Capítulo
2
Teoría de exponentes I
Lectura: Gauss
los tiempos.
es, sin duda, uno de los mejores matemáticos de todos
Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad
y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo
porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los
números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias
horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco
minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución.
Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara
el procedimiento que había seguido.
En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo
siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y
debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100
al 1. Después sumó las dos filas.
1
100
101
2
99
101
3 ... 98 98 100
98
3
2
1
101 ... 101 101 101
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría
dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los
números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.
Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
o lo que es lo mismo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050
No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
En este capítulo aprenderemos
Teoría de exponentes I
.. Exponente cero, natural, negativo.
.. Teoremas de multiplicación y división de potencias.
.. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.
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Segundo año de secundaria
9
2
Capítulo
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes I
Definiciones
Teoremas
Exponente Cero
Multiplicación
División
Exponente Natural
Bases iguales
Exponente Negativo
Exponentes iguales
Potencia de potencia
Colegios
10
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
Calcular las siguientes operaciones:
1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)
4. 5 − 4
2 3
2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)
5. 5 − 2
2
3. 5 + 3
4 4
Aplica lo comprendido
0
0
0
0
1. Efectuar: 4 –2 –(–4) –5(–7 )+3
0
2
–1
–2 –1
4. Calcular: (4 + 4 )
50 veces
6 44 7 44 8
a
2. Reducir: .a.a.....a ; a ^ 0
a.a.a.....a
1 44 2 44 3
40 veces
–1
5. Calcular: 9.3 +16.2
–1
2
24
32
3. Reducir: (3 ) .4(35 )
(3 )
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Segundo año de secundaria
11
2
Capítulo
Aprende más
1. Reducir: 3 # 3 # 3 # ..... # 3 − (− 3) 38 .32
1 4444 2 4444 3
0
40 veces
a) 1
d) 0
b) –3
e) 1
c) 2
4
b) x
5
e) x
c) x
–3 5
8
23
3. Efectuar: M=(b ) .(–b) .(b ) .(–b)
6
a) b
2
d) b
b) –b
5
e) b
6
2
7
c) b
b) 160
e) 40
18
2
c) 162
2 3
c) ab
2
-4
-8
7. Si: M = e a 8 o e a 4 o ;
aa-
Calcular: M
b) 3
e) 6
a
13. Si: a =3, calcular: aa
c) 4
a+ 1
b) 27
e) 39
c) 81
Exponente negativo
a) 10
10
d) n
b) 6
e) 18
3
c) m
n+ 4
n+ 3
12. Reducir: 2 n 2 − 2 n 1
+
2
−n +
14. Reducir:
3x + 2 x + 12
6. Reducir: 272x 3 .32x 4
81 + .3 +
a) 3
d) 12
2
b) m
5
e) m
a) 25
d) 243
b) a b
19
e) a .b
c) 3
m+ 5
m+ 3
11. Reducir: m m 3 + m m 1
m + +m +
a) 2
d) 5
2
4
5 2
5. Reducir: (((a 3.b) 2.b3 ) .a7)
((a .b ) .b)
a) a .b
5
d) a.b
b) 2
e) 5
a) m
4
d) m
2
3
4. Reducir: 6 .18
362
a) 150
d) 62
a) 1
d) 4
Descomposición de potencias
30
23
42
2. Reducir: x 7. (x12) . (7x 3) ; x ! 0
x .x . (x )
a) x
6
d) x
- 50
10. Reducir: 89- 2 + 2.3- 2B
5n + 2n
5- n + 2- n
–n
b) 10
e) 10n
c) 10
n
c) 9
–n
2n
15. Si: x =9; reducir: 81x +x
a) 81/82
d) 82/81
a!0
b) 1/82
e) 82
–2n
c) 1/81
–1
3
4
a) a
6
d) a
b) a
7
e) a
c) a
5
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
-5 2 -4
N = ((7x ) 4) 3 ;
x . (x- )-
a) 19
d) 22
b) 20
e) 23
9. Si: A = ` 1 j
3
-2
de:
a) 6
d) 9
Colegios
12
TRILCE
x!0
+ ` 1j
4
-3
c) 21
+ ` 1j
2
-3
entonces el valor
A
b) 7
e) 10
c) 8
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
9. Si: B = ` 1 j
5
1. Reducir: 2 # 2 # 2 # ... # 2 − (− 2) 30 .25
1 444
4 2 444
43
-2
35 veces
2
24
3
6. Reducir:
x+ 5
x+ 3
11. Reducir: x x 3 + x x 1
x + +x +
3
n+ 5
n+ 3
12. Reducir: 3 n 3 − 3 n 1
3 + −3 +
4
(((xy) .x) .y)
; xy ! 0
((x2 .y) 2 .y) 8
13. Si: b b = 2,
492x - 1.7x + 3
343x - 2 .72x + 7
14. Reducir:
bb
b+ 1
7a + 2a
7- a + 2- a
–n
15. Si: x =8
2n
–2n
Reducir: 64x +x
2
-3
-6
7. Si: N = e x 6 o e x 3 o ; x ! 0
xx-
Calcular: N
B
Descomposición de potencias
4
2
4. Reducir: 15 .75
453
5. Reducir:
+2
0
0
0
10. Reducir: (16- 3 + 15.16- 4 )- 11
3. Efectuar: R=(x ) .(–x) .(–x ) .(–x)
2
-2
entonces el valor de:
20
32
52
2. Reducir: x 5. (x 7) . (3x 6) ; x ! 0
(x ) (x ) (x )
–4 2
+ ` 1j
3
–1
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
M=
((x- 4) 2)- 3 ;
3
x6 . (x(- 2) )- 2
x!0
Tú puedes
4. Determinar el valor de:
x
2x
x
1. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j
3
4
27
a) 2
3
d) 9
4
b) 3
2
e) 4
9
5x + 5x + 1 + 5x + 2 +
5x + 5x - 1 + 5x - 2 +
c) 1
a) 5
d) 625
2
2
2
2. Efectuar: A = (− x2) 3 (− x- 3) 2 (x3 ) (− x(- 3) ) (x- 3 )
9
a) x
6
d) x
b) –x
3
e) x
9
c) –x
6
59 60
)
5. Efectuar: ;^5 5
a) 0,1
d) 0,55
5x + 3
5x - 3
b) 25
e) 3125
c) 125
5 5
5 5
3
/
5
3
-1 5 E
h
b) 0,2
e) 0,5
c) 0,25
-3 -2
3. Efectuar: A = c`... `^2011- 4h j ...j m
a) 0
d) infinito
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b) 1
e) absurdo
c) 30
Segundo año de secundaria
13
