Fundamentos matemáticos

FUNDAMENTOS
MATEMÁ TICOS.
PRIMER PARCIAL.
FEBRERO 2002.
1- De la matriz cuadrada
(
A=
12
a
2 1.8
22'1
)
se sabe que >.1 = 1 es uno de 8U8valores propios y que (I, I, I) es un vector
propio de A asociado al valor propio >.1. Se pide:
(a) hallar a, {3, 1;
(b) hallar los valores propios y los subespacios propios de A;
(c) comprobar que A es diagonalizable y hallar la correspondiente matriz diagonal D.,
(d) analizar si A es ortogonalmente diagonalizable y, en CaBOafirmativo, hallar
una matriz ortogonal p tal que D = pT AP .
2- Sea f : R2 -+
IR2la función dada por
f(x,y)
= (y + e2:Y,x-exy).
(a) Calcular su matriz jacobiana en cualquier punto (x,y).
(b) Calcular la matriz jacobiana de la función f o f en el punto (0,~).
3- Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función
f(x,y)
I
= xy+ -+
x
-8
V
4- Sea T(x, y, z) = 100 + X2 + y2 la temperatura en cada punto de la superficie
esférica x2 + y2 + z2 = 50. Hállese la temperatura máxima en la curva fonnada
por la intersección de dicha superficie esférica y el plano x -z = 0.
5- Dada la función
f(x,y)
= ez2-If2 (2xy~(2xy)
+ (x2 -y2)sin(2xy»)
calcular
~f
tJ2f
~f
= aX2 + "8'Y2