Introducción a Ecuaciones Diferenciales
Curso 2014
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 6
1. Determinar los valores de los coeficientes a y b que hacen que
V (x, y) = ax2 + by 2
sea una función de Lyapunov para cada uno de los siguientes sistemas:
0
0
3
x = 3xy
x = −x3 + xy 2
x0 = − x2 + 2xy 2
a)
b)
c)
0
2
3
0
2
3
0
3
y = −x − y
y = −2x y − y
y = −y
¿Qué puede decirse de la estabilidad en (0, 0) en cada caso? ¿Y en el
pasado?
2. Mostrar que V (x, y) = x2 + y 2 es una función de Lyapunov estricta para
0
x = −x/2 − y/2 − x2 − xy
y 0 = −x/4 − y/2 − y 2 − xy/2
en algún entorno de (0, 0) y concluir que es asintóticamente estable.
3. Sea λ un número real. Determinar los valores a y b que hacen que V (x, y) =
ax2 + by 2 sea una función de Lyapunov para
0
x = λx
y 0 = x + λy
Discutir según λ, incluyendo la estabilidad en el origen en la discusión.
4. Sea H : R2 → R es una función de clase C 2 . Consideremos el sistema de
Hamilton-Jacobi definido por:
0
x = ∂H
∂y (x, y)
y 0 = − ∂H
∂x (x, y)
a) Demostrar que para toda solución ϕ se verifica que H ◦ϕ es constante.
Hallar las soluciones del sistema cuando H(x, y) = x2 + y 2 .
b) La ecuación de Newton para un péndulo es ẍ = − sin x. Verificar que
el sistema (de dimensión 2) correspondiente es de Hamilton-Jacobi.
c) Bosquejar el diagrama de fase del sistema anterior.
1
5. Las ecuaciones que se estudian ahora corresponden a un modelo para el
estudio de una enfermedad de transmisión sexual. Supongamos que la población está constituida por M machos y N hembras. Las variables x(t)
e y(t) representan la cantidad de machos y hembras infectadas en cada
instante de tiempo. Supongamos que la cantidad x aumenta proporcional
a (M − x)y cuando no se ejerce ninguna acción curativa, y que en caso de
existir tal acción, supondremos que la cantidad de curados es proporcional a la de pacientes tratados. Para la cantidad y supondremos hipótesis
análogas, y obtendremos el sistema de ecuaciones:
0
x = α(M − x)y − λx
y 0 = β(N − y)x − µy
¿Qué relación deben verificar los parámetros de la ecuación para que sea
posible la erradicación de la enfermedad? Sugerencia: Mostrar que en todos
los casos todas las trayectorias tienden a un único punto de equilibrio y
hallar una condición para que dicho punto de equilibrio sea el (0, 0).
6. Sea a > 0 y f : R2 → R2 , f (x, y) = (a(x2 + y), 3x4 + 3x2 y). En este
ejercicio estudiaremos el sistema autónomo (x0 , y 0 ) = f (x, y).
a) Encontrar los puntos de equilibrio del sistema.
b) Definimos H : R2 → R como H(x, y) = xn − y, n ∈ N. Hallar a y
n para que las curvas de nivel de H contengan a las trayectorias del
sistema.
c) Dibujar el diagrama de fase para el caso de la parte anterior.
7. Estudiar (todo lo que se pueda) el sistema:
0
x = x2 − y 2
y 0 = 2xy
0
z = −z
8. Sea Ω = {(x, y) ∈ R2 : 1/2 < x2 + y 2 < 2} y el sistema
0
p
x = (1 − ρ2 )x + (ρ − y)y
con ρ = x2 + y 2
0
2
y = (1 − ρ )y − (ρ − y)x
definido para todo (x, y) ∈ Ω.
a) Mostrar que el punto P = (0, 1) es el único punto de equilibrio del
sistema.
b) Mostrar que el conjunto que cumple ρ = 1 es invariante.
c) Mostrar que toda trayectoria tiende a P cuando t → +∞ pero no es
un punto estable (ni asintóticamente estable). (Sugerencia: descomponer el campo en función de (x, y) e (−x, y) y estudiar las trayectorias en función de esa descomposición)
2
0
