Estabilidad de Lyapunov de una viga de Euler-Navier

Quehacer Científico en Chiapas 2006, 1,41-49
Estabilidadde Lyapunovde una v¡ga de Euler-Navier-Bernoulli
Lyapunov stability of a Euler-Navtér-Bernoulli beam
Armando Mendoza Pérezl
EIí Santos Rodríguez 2
RESUMEN
La viga es uno de los elementosfundamentalesen la ingenieríade estructuras.Fenómenosinteresantesocurren en la
estructurabajo la presenciade fuerzas,vibracionesmodales,etc. Estudiaremos
la estabilidadde una viga de Euler-NavierBernoullisujetaa una fuerzaaxial,vistacomo un problemade valoresa la frontera,usandoel métodode Lyapunov.
También
estudiamosuna viga sujetaa una fuerzade control.Probamosque bajo ciertascondiciones
físicas,el sistemaes estable.
Palabras clave: Estabilidad,punto de equilibrio,funcionalde Lyapunov.
physicat
phenomena
The beamis one of the fundamentat
occurin the
elements
Interesting
"r..ttnt"Tffntlru.arr..
structure
withthe presence
of forces,resonances,
modalvibrations,
etc.Westudythe stabilityof an Euler-Navier-Bernoulli
beamsubjected
Wealsostudy
to an axialforce,as an initialboundary
DirectMethod,
valueproblem,
usingthe Lyapunov's
the stabilityof a beamundera controlforce.Weprovethat undercertainphysical
stabilityis assured.
condition,
pointof balance,
Keywords:Stability,
Lyapunov
functional.
Enparticular
nosinteresa
modelan
al fenómeno.
y/o
necesarias
suficientes
condiciones
establecer
y el controlaeroelástico
(y/o la inestabilidad)
La estabilidad
parala estabilidad
del
de
determinadas
estructuras
relacionánde la ingeniería
de laestructura,
civil, estadodeequilibrio
comolospuentes
físicos
suspendidos/
vigas,pasarelas/ dolasconvalores
críticos
delosparámetros
etc,,hansidoobjetode estudios,
deestabilitantoexperi- delfenómeno.
Lanociónmatemática
mentales
comonuméricos.
Laecuac¡ón
delestadode equilideEuler- dado estabilidad
asintótica
por
permiteencontrar
Navier-Bernoulli
en primerainstancia
el esfuerzo
o
brio se caracterizará
torcaen vigasdelgadas.
delsistema:
Se ha desarrollado
comportamiento
un
reflejar
el siguiente
que ha permitido
aparatoteórico-matemático
precisarla nociónde estabilidadnumerosos ' Elequilibrio
i,e.,todas
esatractivo/
delsistema
fenómenos
dondeintervienen
lasestructuras
haciael equilibrio
lastrayectorias
convergen
son
m o d e l a d opso r u n a e c u a c i ó n
en derivadas
del sistema(comoocurrecon una viga o
parciales,
puentesujetoa unapefturbación
la cualtomaen cuentalas diversas
externa,la
(conservación
características
Una
del problema
en la estructura.
cualinducevibraciones
de la
energía,cant¡dadde movimiento,
un
o aplicado
interacción
vez pasadala perturbación
que
fluido-estructura,
etc.).Enotrasocasiones
esperamos
buscacontrolsobrela estructura,
mosactuarsobreestosfenómenos
(porejemplo,
éstaretornea su estadode equilibrio).
' El equilibrio
aplicando
unafuerza)conla finalidad
de queel
es estable,i.e.,lastrayectorias
(durante
sistemanosproporcione
una respuesta
no sealejandemasiado
controdelsistema
lada(estossistemasse dicencontrolados)
y en
delestadodeequilibrio
el periodo
transitorio)
estecasola ecuacióndiferencial
(en el casodel ejemplode arriba,se desea
deoenderá
de
unparámetro
quelaestructura
llamado
control.
Encualquier
responda
detal maneraque
caso,
predecirel comportamiento
deseamos
de estas
no la alejendel estadode
susoscilaciones
y porelcontrario
estructuras
a paftirdelestudiocualitativo
seacerque
a este
de las
equilibrio,
soluciones
de las ecuaciones
diferenciales
oue
estadolo másrápidoposible).
INTRODUCCIÓN
Facultadde Ingeniería,Unjversidad
Autónomade Chiapas.Blvd.BelisarioDomínguezkm 1081,TuxtlaGutiérrez,Chiapas.Méxco.
Licenciaturaen Físicay Matemáticas,Facultadde Ingeniería,Un¡versidadAutónomade Chiapas.4a. Oriente entre 13a. y 14a. Norte, Col. Los Almendros,Tuxtla
GutiérrezCh¡apas,N4éxico.
Departamentode Física,Univers¡dadAutónoma ¡4etropolitana-Iztapa¡apa.
4L
Enel presente
a la formarectade la
artículo
expondremos
lanoción solucióncorrespondiente
puntode equilibrio barra,conloqueEulerintrodujo
tempranamente
matemática
de estabilidaddel
en la teoríade
de una ecuacióndiferencial.
En un artículo un problemade eigenvalores
posterior
ordinarias.
nosocuparemos
diferenciales
delcasocuandoexiste ecuaciones
loscuales
lospuntoscríticos,
un controlsobreel sistema(Briffau,1999).Se
Enla ingeniería,
con ciertosestadosde
daránejemplos
de cómose aplicaesteaparato están relacionados
teóricoparaestudiar
laestabilidad
deestructuras e q u i l i b r i os, o n a s o c i a d ocso n p é r d i d ad e
experimentalde la ingeniería
civil,en particular
estolo confirmamos
el elemento estabilidad:
lacargaporencima
constitutivo
de numerosas
multiestructuras
incrementamos
flexi- mentecuando
que
y observamos
blescomosonlasvigasdeEuler-Navier-Bernoulli.
delvalorcríticodelaestructura
primer
hasta
forma,
de
El
ejemplo
seenmarcará
enuncasoestá- éstacambiacualitativamente
tico.Elsegundo
ejemplo
a la ruptura.El métodode
consistirá
en un proble- llegarposiblemente
pertenece
En
madínámico
a la estática.
en el queactúaun controlsobrela
linealización
de Euler,
estructura.
l o q u e s i g u ec o n s i d e r a r e m loasn o c i ó nd e
desdeunpuntodevistadinámico.
estabilidad
de estabilidad
MATERIALY MÉTODOS
Laformafinalde la definición
porel matemático
ruso
fuedesarrollada
dinámica
(1857-1918)
la
relacionando
Teoría matemáticade la estabilidad
A. M. Lyapunov
del
iniciales
con las condiciones
estabilidad
consismecánico
simple
movimiento.
Unsistema
Antecedentes
te en un puntode masamt ligadoa un resode,
de rigidezt, Y gue
el cualtieneun coeficiente
La nociónde estabilidad
tienesu fuenteen la
mecánica
clásica,
Fuea partirde estasnociones oscilabajounafuerzaarmónica
At.
F = I COS
es
q u e p e r m i t i e r oe
n s t a b l e c eur n a d e f i n i c i ó n Laecuación
del movimiento
rigurosade esteconcepto.
paraentender
Losprimeros
avances
la noción
m x(t) + lü(t) - f cos(Dot
de estabilidad
de las estructuras
elásticas
fue
hechapor Euler(L707-t783)en su trabajo
Si f =0, se tieneun movimientooscilatorio
llamadoElástica,
el cualtratabasobrelasfuerzas
a,:l|. Cuando
armónico
simpleconfrecuencia
de compresión
axialen barras,considerando
el
pequeña
a)*
as,
alsistema
fproporcionará
una
casocuandola compresión
de un extremode la
pequeñas
perturbaciones
Cuando
el
en
amplitud.
y es medidorespecto
barrase incrementa,
a un
parámetro.
Paraun valorcrÍticoalcanzado
del valor de a¡ estámuy próximoa alo, estas
y cuando
perturbaciones
a crecer,
comenzarán
parámetro--<onocidocomoel ualorcríttcode
contendru
án término
Euler- la barratiendea Dermanecer
recta.Más ú ) : a o l a s o l u c i ó n
a / cos@rt. Estetérminocrecerá
allá de estevalo4la barrapuedetomarotras proporcional
conforme
el tiempotranscurra.
dosformassimétricas
enequilibrio,
detal manera indefinidamente
delasestructuras
queen el valorcríticose observan
tres oosibles Lomismoocurreconladinámica
resonantes
en las
frecuencias
existen
elásticas:
soluciones;
másaún,ladependencia
respecto
al
externa
arbitrariamente
una
fuerza
parámetrode cargaresultacontinua.Táles cuales
puededarlugara oscilaciones
crecientes.
puntosse denominanpuntos de ramifrcación. pequeña
podemos
términos
explicar
en
lo
Este
fenómeno
Mientras
máscercano
estéel parámetro
decarga
que
en
el
sistema
se
acumula
la
energía
de
al valorcríticode Eulenla combade la barra
Raramente
observamos
ciclo.
durante
cada
tenderáa permanecer
en formarectilínea.
Euler
cuyaamplitudcreceinfinitamente,
queestevalorcríticorepresenta
supuso
lamínima oscilaciones
que
puesto
real,la fricción
sistema
en
cualquier
compresión
axialen la queporencimade é1,la
y
parte
la
asílasfuerzas
de
energía,
absorberá
formarectade la barradevieneinestable.
Seve
resonantes,
las
fuerzas
a
de
fricción
amortiguarán
también
unadependencia
continua
de latensión
que
y
por
estudiarla
nos
interesa
razón
es
esta
y el desplazamiento
de la barrarespecto
al
La
desdeun puntodevistadinámico.
estabilidad
---estocercanoal puntocrítico-, lo
parámetro
(también
Lyapunov
de
noción
de
estabilidad
quenosobliga
a usarlasherramientas
delcálculo.
llamadométododirectode Lyapunot)es la llave
Unaaproximación
en esesentidose basaen la
paraentender
laestabilidad
enunagranvariedad
l i n e a l i z a c i ódne l p r o b l e m aa l r e d e d odr e l a
42
I
y secaracteriza
portomar
desistemas
dinámicos
encuentalaenergía
delsistema.
Enparticular,
la
estabilidad
de Lyapunov
seutilizaconéxitoen las
estructuras
elásticas
sobrelas cualesactúan
fuerzasy cargasde diversos
tipos.
Método directo de Lyapunov, Nociones
fundamentales
lr=49=s
Y
Ir={'
fat=o
\e=o (s)
PÉNDuLo
(ordinaria
Todaecuación
diferencial
o enderivadas parciales),
de cualquier
orden,se puede
expresar
de la forma:
-dÍ= p ( i , t ) ,
dt
(1)
r (i,t)es unafunción
Donde
suavede* Vde
la variablet, * estaráen el espaciofasede la
ecuación
diferencial.
Decimosque un punto,to es un punto de
equilibrio
de la ecuación
diferencial
1, si
F (*o,t) -0,
(2)
Figura 1. En los trabajos pioneros de Ch. Huygens
y R. Hooke sobre la oscilación del péndulo, el último
objetivo era la medición del t¡empo' enfocándose
principalmente al estudio de la establlidad y el
control del movimiento, con la finalidad de construir
dispositivos que sirviesen a la navegación y al
posicionamiento de los navíos,
En lo que sigue,trabajaremos
ecuaciones
diferenciales
autónomas,
es decir,cuandoF no
dependeexplícitamente
de f. En estecasoF
definiráun campovectorialen
el espacio
fasede
la ecuación
diferencial.
Comose ha dichoantes,un númeroimporParaejemplifical
consideremos
la ecuación
y físicos
delsiglo
matemáticos
quegobierna
elmovimiento
deunpéndulo
simple tantedeeminentes
de
de estudiarlos problemas
XIXse ocuparon
confricción:
Lagrange,
entreellossobresalen
estabilidad,
y Poincaré.
Perofue
Kelvin,Routh,Shukovskii
d0
ruso
Alexander
el
matemático
hasta1893cuando
-=(t)
(3)
con
introduce
unadefinición
Lyapunov,
Mijailovich
dt
muchomás generalque el
rigor matemático
conceptoque se entendíaen la mecánica.
de estabilidad
introduce
losconceptos
Lyapunov
d
a
(Lyapuno4
s
^
k
y
1949).
asintótica
estabilidad
--:-=-=Sen A--ú)
(4)
de
aparecenlos conceptos
Posteriormente
dtlm
global,
uniforme,
uniforme,
asintótica
estabilidad
y un largoetcétera,los cualesse
exponencial,
t-*4,
Poniendot
=(e.,¡yr ¡e-ilr¡=r1x¡-[,o.-s*"
adecuanal fenómenoparticularque se esté
la ecuación
d e l p é n d u l o3 s e p u e d ep o n e r
estudiando.
d e l a f o r m a1 . L o sp u n t o sd e e q u i l i b r isoo n
quex, es un punto
Supongamos
Definición.
e n e s t e c a s o l o s p a r e s( e , r ) , t a l e s q u e deequilibrio
(1).Decimos
diferencial
delaecuación
r (a,o)=la-f sae- L a).i0,0)'
región
queesunpuntodeequilibrio
establesitoda
para
Lúegoexistén
dospuntosdeequilibrio
tendráuna
fasequelocontenga,
Uenel espacio
a, de tal
elpéndulo:
U, la cualtambiéncontiene
subregión
43
formaquetodasolución
de(1)dondelacondición
inicialpertenezca
a U' entoncesla solución
pertenecerá
a U>0.
Elsignificado
físicode laestabilidad
esobvio:
unobjetofísico(comounaestructura,
un puente,
unamáquina,
etc.),cuyaleyde movimiento
está
por unaecuación
expresada
diferencial,
sólo se
puedehallaren la posición
deequilibrio
X^ si es
estable;
encasocontrario,
unadesviación
in"significanterespectoa estaposición
de equilibriolo
alejarásensiblemente
de estaposición.
I
Xo
x(ül
U
Figura 3. Xo es un punto de equilibrio
asintóticamenteestable
que la matrizjacobianade F en
Supongamos
propios(eigen-valores)
Í *lJñ,i,)1, tieneualores
paftes
realesseanmenores
de tal formaquesean
gue-c, paraun c > 0. Entonces:
1, El punto de eguilibrio*o es asintóticamente estable,
xirj
x,ll<
t,*lilo;-4ll vr>o
2.dist(*Q),x,¡=lI.lt¡Figura 2. X
o es un
punto de equilibrio estable
Teoretqa 2. (SegundoTeoremade Estabilipuntode equil¡briodela ecuactón
dad),Seaf, n
- un
diferencial
)v
(7)
Si ademásse tieneque
dt\/
yn-rX(t) = Xo
/-+€
Supongamosque existeuna funcionalsuave
V : D -+ R defrnidaenunentornoD dert ny bma
valoresen los númerosreales.
Asumimosque Vsatisface:
-
entonces
sedicequeel puntodeequilibrio
in
"t
asin6 ticamente estab/e.
a)Existea>0
tatque v(x)>dllxll' y i eD
Teoremas de Estabilidad Dinámica
b)Existe|>)talque
rtv,-
-¡2
\ x ) < p l l x l vl x e D
A travésde la definición
v t , donde
de cieñasfuncionales c¡
* (t) essolución
¡\x[l)<o
asociadas
(funcionales
a la ecuación
diferencial
problemas
deLyapunov),
algunos
relacionados
con de(s).
Entonces
elpuntodeequilibrio
Í nesestab/e.
y con la estabilidad
la acotación
puedenser
Además,
sívale:
tratadosde manerasistemática.
Damosdos teoremasfundamentales
en el
estudiodel concepto
de estabilidad,
tal y como
se ha definido
arriba(Hahn,1963).
Teorema7, (PrimerTeorema
deEstabilidad.)
Sea un punto de equilibrio de la ecuación
dtferencia/
4=r8).
clt
4
(6)
Figura 4: Viga de Euler-Navier-Bernoulli
,'lv, - .
v r , d o n d e* ¡ ) e s
0;?(,0<-qv(x?\)
soluciónde(5).
Entoncesel punto de equilibrioes asintóticamente estable.
Unafuncionalt/ que satisface
las hipótesis
a), b) y c) del Teoremaprecedente
se llama
funcionalde Lyapunovasociadaa la ecuación
diferencial(6).
es
Lavelocidad
transversal
v(x,t) =Y'
dt'
(10)equivale,
entonces
Elsistema
- ^.
lav
v
t:-ldt
1^
CompoÉamientoestablede una ecuación
de una viga de Euler-Navier-Bernoulli
ld, _
d-y
^.
,d'y
(13)
Lt-- a---t a*'
p o n i e n d o i = 1 y . , y F ( x )= t , . - { l - t } , ,
Consideremos
unavigaencastrada
en susdos
extremos,
sobrela cualactúauna presiónde
de Ia viga
de equilibrio
vemosque la posición
compresión
axialde magnitudconstante
E La corresponde
delaecuación
al puntodeequilibrio
quemodelaestefenómeno diferencial
ecuación
diferencial
(10).Dehecho,noteque
vienedadaporBartuccelli&Gentile,
2003,y Plaut,
dx =F(x\:-AX,
1967:
G4)
d
t
\
/
- . a 4 Y ^ a 2 Y+ v 4. a 2 Y_ o
--I _ + F - '
E
(B)
''ax4 ax2
aT'
D o n d eA : D ( A ) c H + H 3 e s u n o p e r
a
d
or no acotadode dominio denso
potencial
Laenergía
totalde la vigaes
D (A) : al fo'tlll/¿ [0,1]^sobreel espacio
de Hilbert
H = tl\, llxf [0, 1]:
^.t/^.--\
rL.()v\2
-+I[#] *
n=+
2 dll[{+tdx
2 d\dxl
a x ,)
(e)
dondeX es la coordenada xial, Y el
desplazamiento
transversal,
T el tiempo,F/el
coeficiente
de rigidez,A el áreade sección
transversal
de nuestravigay Jzsu densidad
de
m a s aA
. q u í0 3 7 V 0 < X < 2 , d o n d eL e s l a
longitudde la viga.Haciendo
los cambiosde
variables
vfm
'
ñ
X
FI:
,=l,t=o
l u '
-\yt^'
L'
(10)
(7) setransforma
la ecuación
en
dov
;--;--r-
dx-
^d'v
,f :--;T:--;
dx'
d'v
dt'
=
w
(1 1 )
dondelas nuevasvariables
resultan
adimens i o n a l e s<
,0 tyQ < y 1l,f >0.
La energíapotencial
totalde la vigaes, con
estasvariables
adimensionales:
n = n(t)=
d.-t'!(*)'*
i¡W)'
(0-1.]
[#.r#')
(1s)
,4,el
Resulta
fundamental
definirel operador
con dominio
cualseráun operadordisipativo
densosobreun espaciode Hilbertinfinitoy unicidadde las
La existencia
dimensional.
parciales
enderivadas
deunaecuación
soluciones
relacionada
a las propieestarádirectamente
dadesdel operador.4,a travésde un teorema
Aquí se trata con
del tipo de Hille-Yosida.
generalizadas,
lo queobliganecesasoluciones
de Sobolev
los espacios
riamentea introducir
=10,llY H¿= [0, 1]'
H'zo
U = (h fi en D (A)es
Lanormade cualquier
=i[,,.[#)'.[31
r,r'
)'.,'J,'
(16)
Además,
todot/ : (y,v) e D(A) satisface
y ( o ) : - v ( 1 )= o
(r7)
(12)
45
t
dv.^
dv,
;'(U) =i(l)=U
ox
ox
(18)
D'y ^.
d'v.-.
:-;(o)=:-;(l)=0
( 1e)
dx-
dx'
El dominioD (A) expresalas condiciones
iniciales
delsistema,
(16)
esdecirlascondiciones
por unaparte,que la viga
a la (18)establecen
porsusextremos.
estáencastrada
(16) significa
que la vigano
La condición
presentadesplazamiento
en los extremos.Las
r e l a c i o n e(s1 6 ) , ( 1 7 ) y ( 1 8 ) i m p l i c a nl a s
desigualdades
(Bartuccelli
integrales
siguientes
and
Gentile,2003).
(20)
\r
I zr
el valorde , = +f
Sustituyendo
sesigue
r',r' -r' ' , ( 1, .1"^,!- ) ld1* v | fgl' - ' "' - ¿' ¡?v1'l a'
| 2 z ' ] [a * ' I [ 4 , ] \ d * r | + l l ¿ ¡ r l
J[
(2s)
De la desigualdad(I9) se tiene
'(
¡)(!)' ,r>'lV- {)t
"'4
I
J( a )\dx)
T
y,dr>( l-,f )'¡y,a,
\2n )l
(26)
'{(*)'*>o"!t"d'
| /t2
í'(u)>'o
f["'.t'-'t[#)' *('o'-t)(*)'] dxQ4)
\2
* er)
ll{+lo*.+o'll?l
d\4"/
d(d"'/
Lasúltimas
dosdesigualdades
nospermitirán
quelafuncional
por
demostrar
definida
=[,, .(#)' -,(*)')*
v(u)
Q2)
satisface
lashipótesis
deunafuncional
deLyapunov.
Lema 1. S¡f 1 ft', entoncesexisteuna
constante6¿>Q talque
-o = Í , _ L
2i ,, de (24)
Finalmente, basta tomar
y (25), teniendo en mente que qe (o,t) y
1t,_ f se sigue inmediatamente gue
4
- t (*)' 0,.o|u|'
v(u)=i[",.
[#)'
)
lo quepruebaellema 1.
comolo prueba
V(l) esacotada
Lafuncional
el siguiente:
Lema 2. Existep > Otalque
vtu)<Bllull'
(27)
Dem,BastadefinirF: máx{1,f}.
Lema 3.,1,rtfi> = 0 v Í: 0, v¡ solución
de la ecuacióndiferencial(12).
Dem. Usandola regla de Leibnitzy nuestras
definiciones
V\u\
=2|l,+.**-¡P*)¿,
v(x) = 4L
df
+n'
fum. hnsideremos
unaconsbntec = .f
t
2fi'
claramente
-.)(#l
,*r,=,{,-,(,
..[#J'
-,(*)')-
de la desigualdad(20)
ffi
d\
d1
dx- dx-
dx dx )
(28)
Integrandopor partes, la ecuación(27) se
expresa
-#"-'#.)l:
#=;f*.#.rp),*.'[##
(2s)
Tomando en cuenta las condiciones de
frontera(16), (17) y (IB), ademásde que la
velocidad trans versaI cIaramente satisface v (0,
0 = v(I, A = 0, observamosgue el segundo
sumando de (28) es nulo. Por otro lado, el
integrando resulta ser exactamente el lado
izquierdode la ecuacióndiferencial(L0), Porlo
tantola integralnecesariamente
se anula,lo que
pruebael lema3.
que l/definido
por
LoslemasI,2y 3 prueban
(21),esunafuncional
de Lyapunov
asociada
a la
(7) -la cual modelael
ecuación
diferencial
movimiento
transversal
de unavigasujetaa una
presión
axialF.Másprecisamente
enunciamos
el
siguiente
teorema:
Teorema. Bajolas notacionesy definiciones
anteriores,si una vigade Euler-Navier-Bernoulli
sobrela que actúauna fuerzaaxial constantefi
satisfacela hipótesisdel lema 1, es deci6,
f<n'
queIaenergía
esunade las
viga,lo quesignifica
c a r a c t e r í s t i c adse l s i s t e m aq u e i n f l u i r á
desuestado
enelcomportamiento
decididamente
deequilibrio.
Estabilidadde unaecuaciónno disipativade
una viga controladalinealmente
deuna
laestabilidad
estudiaremos
Enestasección
por
enunaextremidad
linealmente
vigacontrolada
velocidad
en
funciónde la
unafuerzadecontrol,
La
libre,
se
halla
esteextremo.El otro extremo
junto
que
las
con
respuesta
modela
esta
ecuación
iniciales
son
condiciones
d='!
*20,r:r,
dt'
dx*
o<x<r,
20,1¡=p1o,r¡,
'
dt'
dx'
t)0,
-o
\!(r,t)
dx'
:-r!p,t¡
*(0,,)
dx'
dt'
entonceselequilibrio de la vigaes estable.
Dem.Loslemas1, 2 y 3 nosdicenque la
(30)
funcionall/ es de Lyapunov,
asociadaa la
ecuación
diferencial
de la viga,Porel segundo conk> 0.
teorema
de estabilidad
sesiguequeel equilibrio
se
se pruebaquela solución
Enestasección
de la vigaes estable,
q
donde
hacia
axt+
bx+
asintóticamente
compofta
6. Sin pérdidade
a, b y c son constantes
Obseruaciones
quea = b= c= 0t
podemos
generalidad
suponer
( b a s t ae s t a b l e c eer l c a m b í od e f u n c i o n e s
La hipótesis
del lema1 tieneun importante y(x,t) = y(x,t)-axt-bx-cy así bastaprobar
significado
físico.El teoremanosdiceque una quecualquier
a
asintóticamente
converge
solución
paraque nuestravigasea
condición
suficiente
probar
puede
se
de
funciones
0).Conestecambio
establees
que modelael fenómenosigue
que la ecuación
(29).
laecuación
siendo
ft2f
)
" Fr
para
Deflnimos cadau = (b v), con, =!-,
"EIFE
dt
funcionalT:
lasiguiente
,,
-- n'EI
donde'"
L' es la presión
de Eulerde una
viga simplemente
soportada.
Así,el teorema
que la presiónde EulerFF es una
establece
presióncríticade tal formaque parapresiones
axialesF < FE,la vigapermanece
estable.De
hechovaleel resultado
recíproco:
Sila cargaaxial
que soporta una viga es F > FE, entoncesel
equilibriode la vigaes inestable(Plaut,1967).
Otro hechoimportantede observares la
relación
estrecha
entrela funcional
de Lyapunov
(2L)V la energíapotencial
total(11)de nuestra
v(u)=i[",*
(#)')*
(31)
definida
esni másni
Enestecaso,lafuncional
menosque la energíanaturaldel sistemaen
que esta
cualquierinstantet. Se demostrará
asociada
deLyapunov
energía
defineunafuncional
(29).
diferencial
a laecuación
N o t e l a s e m e j a n zcao n l a f u n c i o n adl e
(21).Deigual
Lyapunov
delejemploprecedente
anteriolse
maneraa comose hizoen la sección
47
puedeprobarque VUl rz)satisface
losincisosa)
defuncional
(Ver
deLyapunov.
V b)deladefinición
Ioslemas1 y 2 precedentes).
quese
Probemos
satisface
el incisoc)dedichadefinición:
Lema4.V (X)=0 V x =(y.v) solución
de
la ecuacióndiferehcial(29).
Dem. Usandopor segundaocasiónla regla
de Leibnitzy nuestrasdefiniciones
6'r(o) (36)
n1,;
<ce
llro,o,!a,'ll.
esta desigualdadimplica que cuando t -+ q:
(o,o)
4,*Q,r))-+
[r(",
(37)
,(*):#=,[,#.
Esdecir(A0 esasintóticay exponencialmente
##)d,Gz)estable
en cierto espacionormadode funciones
Integrandopor partes, la ecuación(31) se
expresa
,6)=#=,J[#.#)
.*.,(#*#"),
33)
Elintegrandocorespondeal ladoderecho
de la primerarelaciónde (29) el cual es igual a
0. Usandolos valoresde fronteraconsignados
en (29), se tiene
H.
CONCLUSIONES
R e g r e s a n dcoo n e l c a m b i od e f u n c i o n e s
iG, t\ = y(x, r\ - axt - bx - ¿, se sigue
i¡uela'soluóión
converge
a axt
asintóticamente
+bx+c
!:gY(*,t)
= axt + bx + c
(38)
dondea, by cdependen
físicos
delosparámetros
y de lascondiciones
delsistema
iniciales,
Elcontrol
deunavigadeEuler-Navier-Bernoulli a travésde una fuerzade controlen un
extremo,proporcional
a la velocidad
transversal
en dichoextremo,proporciona
una respuesta
(34)
estable(exponencialmente
estable)porpartede
y el estadodel sistemaconverge
la estructura,
conlo que el lemaquedademostrado.
asintóticamente
a un polinomio
de gradodosen
Sedesprende
de estelemaque la funcional lasvariables
y tiempo).
xy f (posición
longitudinal
definida
en (30)es unafuncional
de Lyapunov.
(30)
Nuevamente,
la funcional
de Lyapunov
Sesigueinmediatamente
del segundo
teorema estáíntimamente
relacionada
con la energíadel
de estabilidad
de Lyapunov
el siguiente:.
potencial.
sistema,
sobretodoconlaenergía
Ensu
Teorema.Elpuntodeequilibnou [ ;,,ff J=to,ot
y Dirichlet
queel
momento,
Lagrange
demostraron
de la ecuacióndiferencial(29), es estableen el
estadodeequilibrio
de unamasapuntualsujetoa
sentidodeLyapunov.
una fuerzaconservativa,
en el cual la energía
De hechovaleel siguiente
quees
resultado
potencial
totaltomasu valormínimo,lastrayecmásgeneral(Cherkoui,
2002):
pequetoriasquecomienzan
enalguna
vecindad
Teorema. Paratodo C > ! existeun ti > 0
ña del puntode equilibrio,
en todo momento
tal que para cadasoluciónde la ecuación(29)
pertenecerán
pequeña
a unavecindad
de dicho
vale
punto.Elmétododirectode Lyapunov
generaliza
-basadoen el
el criteriode Lagrange-Dirichlet
v(t) <ce-5'v70¡
(3s) teorema
paraun
de laconservación
de laenergía
puntuales,
sistema
de masas
Lasfuncionales
de
y
(21)
(30)
Lyapunov
son
un
tipo
especial
de
De aquíy del hecho de que Vseauna funcional
quejueganel papeldeenergía
funcionales
enlos
de Lyapuno4 se sigue que
dosproblemas
estudiados
arriba.Identificando
a
r,(!)'=o,
# =#,o,t¡!p,t¡'J-
¿18
V (fl dadoen (30) con la energíanaturaldel
sistemaen cadainstantede tiempof, la relación
(34)establece
quelaenergía
mecánica
delsistema
sufreundecaimiento
exponencial,
fundamento
del
compodamiento
exponencialmente
estable
dela
viga.
E n l a s d e m o s t r a c i o na
en
s t e r i o r e sp, a r a
simplificar
el método,hemosomitidolosespacios
(normados)
y lascorresfuncionales
asociados,
pondientes
normas,
objetosformales
delAnálisis
que nosproporcionan
Funcional
el marcode la
teoría,desdeel concepto
de vecindad
del punto
deequilibrio,
hastalaconvergencia
asintótica
de
la solución
respecto
a unanormay la existencia
y unicidad
de lassoluciones
de lasecuaciones
parciales.
en derivadas
y los puntosde equilibrio
Lassoluciones
"viven"en estosespaciosnormadosinfinitodimensionales,
su comportamiento
asintótico
se
da entérminosde lasnormasde estosespacios.
De allí su importancia.
Tambiénnos revelala
necesidad
creciente
de introducir
en la ingeniería
teoríasmatemáticas
másabstractas.
En la práctica
en ingeniería,
vemosque los
valorescríticosmedidospuedendiferirde los
valorescríticospredichos,
Estoocurreen parte
debidoa queel modelo
notomaencuentatodas
las características
del fenómeno,
es decirlos
modelosson limitados.Puedenofrecerbuenas
y pobres
descripciones
enalgunas
circunstancias,
paralosdosproblemas
en otras,Sinembargo,
tratadosen el artículo,los modelosaplicados
de la estabilidad
ofrecenunabuenadescripción
delsistema.
AGRADECIMIENTOS
y CosmoAgradecemos
al grupode Gravitación
de Físicade la Universilogíadel Depaftamento
y al
dad AutónomaMetropolitana-Iztapalapa
por
Nucleares
de la UNAM,
Institutode Ciencias
trabajo.
al presente
suscomentarios
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