ParciaL N°1 Autor( Guzmán T. Dayana A. Cod. 20182025002) Jun 20, 2020 1. a) Función Potencial Eléctrico Teniendo la Formula de potencial : v(x, y) = Obtenemos: v(x, y) = , con λ = k.dq −−→ → − r −drdq k.λ∗dydq −−→ → − r −drdq → dq dyx → dq =λ ∗ dyyq v(x, y) =k.λ ∗ dydq −−→ → − r −drdq Para la varilla Postiva tenemos que: → − r = (x, y) −−−→ drdq1 = (0, ydq1 ) p −−−→ → − r − drdq1 = x2 + (y − ydq1 )2 1 Reemplazando : v(x, y) =k.λ ∗ √ dydq1 x2 +(y−ydq1 )2 Haciendo la siguiente sustitución: y − ydq1 = x.tan(θ) dydq1 = −x.sec2 (θ) Obtenemos: v(x, y) =−k.λ ∗ v(x, y) =−k.λ ∗ √ x.sec2 (θ) x2 +(x.tan(θ))2 √ → dθ x.sec2 (θ) x2 (1+tan2 (θ)) v(x, y) = −k.λ ∗ → dθ v(x, y) =−k.λ ∗ → v(x, y) = −k.λ ∗ v(x, y) = −k.λ ∗ √ x.sec2 (θ) x2 +x2 .tan2 (θ) √x.sec 2 2 (θ) x .sec2 (θ) dθ dθ x.sec2 (θ) x.sec(θ) dθ sec(θ).dθ = −k.λ.ln(sec(θ) + tan(θ)) Devolviendo la sustitución: √ v(x, y) = −k.λ.ln x2 +(y−ydq1 )2 x + y−ydq1 x 1 0 Evaluando la integral: √ 2 2 2 x +y +y C v(x, y) = −8.9x109 NCm2 ∗ 5x10−9 m . ln √ 2 2 x +(y−1) +y−1 Para la varilla Negativa tenemos que: → − r = (x, y) −−−→ drdq1 = (1, ydq2 ) Reemplazando : v(x, y) =k.λ ∗ p −−−→ → − r − drdq1 = (x − 1)2 + (y − ydq2 )2 √ 2 dydq (x−1)2 +(y−ydq2 )2 Haciendo la siguiente sustitución: y − ydq2 = (x − 1).tan(θ) dydq2 = − (x − 1).sec2 (θ) Obtenemos: v(x, y) =−k.λ ∗ √ v(x, y) = −k.λ ∗ v(x, y) =−k.λ ∗ (x−1).sec2 (θ) (x−1)2 +((x−1).tan(θ))2 (x−1).sec2 (θ) √ √ v(x, y) = −k.λ ∗ (x−1)2 +(x−1)2 .tan(θ)2 (x−1).sec2 (θ) (x−1)2 (1+tan2 (θ)) (x−1).sec2 (θ) √ v(x, y) =−k.λ ∗ → v(x, y) = −k.λ ∗ Devolviendo la sustitución: dθ → dθ x.sec2 (θ) (x−1).sec(θ) dθ sec(θ).dθ = −k.λ.ln(sec(θ) + tan(θ)) √ v(x, y) = −k.λ.ln dθ (x−1)2 .sec2 (θ) → dθ (x−1)2 +(y−ydq2 )2 (x−1) + y−ydq2 (x−1) 1 0 Evaluando la integral: √ 2 (x−1)2 +y 2 +y C v(x, y) = 8.9x109 NCm2 ∗ 5x10−9 m . ln √ 2 2 (x−1) +(y−1) +y−1 El potencial de nuestro dipolo continuo es: √ v(x, y) = −45.ln √ √ x2 +y 2 +y x2 +(y−1)2 +y−1 3 + 45ln √ (x−1)2 +y 2 +y (x−1)2 +(y−1)2 +y−1 b) Gracas WolframApha Figure 1: Potencial Figure 2: Equipotenciales 4 c) Función campo electrico → − E (x, y) = −grad(V (x, y)) Calculo del Gradiente 5 Campo electrico d) Gracas Phet Interactive Simulation Figure 3: Campo Eléctrico 6 Figure 4: Equipotenciales e) Comparación Gracas WolframAlpha y Phet Figure 5: Equipotenciales 7 2. a) Coordenadas de Pocisión Teniendo el triangulo rectángulo formado por el pendulo: → r− m = (xm , ym ) xm = L 2 + ym = L − L 2 .sin(θ) L 2 .cos(θ) → 0.5m + 0.5m ∗ sin(15) = 0.63m → 1m + 0.5m ∗ cos(15) = 0.52m Finlamente tenemos: − r→ m = (0.63m, 0.52m) → − → − b) Campo Eléctrico en E (− r→ m ) = E (xm , ym ) Teniendo la formula de campo electrico: → − E (xm , ym ) = √k.q.(x2m ,ym ) 2 ( (xm ) +(ym ) )3 Reemplazando: → − E (xm , ym ) = √k.q.(0.63m,0.52m) 2 2 ( (0.63m) +(0.52m) )3 8 → − E (xm , ym ) = k.q √ ( 0.52m 0.63m , √ (0.63m)2 +(0.52m)2 )3 ( (0.63m)2 +(0.52m)2 )3 → − E (xm , ym ) = k.q ∗ [1.156, 0.954] − → → − c) Fuerza Eléctrica Fe = (q) ∗ E (xm , ym ) Expresión vectorial, de fuerza eléctrica − → Fe = (q) ∗ (k.q ∗ [1.156, 0.954]) d) Diagrama de Cuerpo Libre Figure 6: Diagrama de Cuerpo Libre Como nuestro sistema está em equilibrio podemos determinar: P Fx = −T ∗ sin(θ) + Fe = 0−→ T = Fe sin(θ) P Fy = T ∗ cos(θ) − m.g = 0−→ T = m.g cos(θ) 9 e) Hallar el valor de la carga y el valor de la tensión de la cuerda Tenemos: T =T Fe sin(θ) Fe = m.g ∗ sin(θ) cos(θ) = m.g cos(θ) −→ Fe = m.g ∗ tan(θ) Calculamos la fuerza eléctrica que se produce entre la partícula y la línea de carga: Fe = (0.01kg)(9.8 sm2 )(tan(15)) = 26.26 ∗ 10−3 N Hallar las tensiones: T = T = Fe sin(θ) m.g cos(θ) = = 26.26∗10−3 N sin(15) = 0.1014N (0.01kg)(9.8 m2 ) s cos(15) = 0.1014N Teniendo la formula de la Fuerza Eléctrica: Fe = k ∗ |q 2 | r2 Despejamos q: q= q Fe ∗r 2 k Sabiendo que K es la constante de Coulomb y r es la distancia de la particula y la línea de carga positiva, reemplazamos: q= r (26.26∗10−3 N )(0.63m) 2 k=8.9∗109 N m2 C 3. 10 = 1.08 ∗ 10−6 C a) Función Potencial Eléctrico Teniendo los datos: k = 8.9 ∗ 109 NCm2 R = 1m 2 q = 1nC Hallamos los vectores pocisión de las cargas sabiendo que el octagono esta centrado en el origen, oara las cargas que estan en las diagonales (q2,q4,q6,q8) utilizamos el siguiente triangulo rectangulo: Haciendo uso de las entidades trignometricas: √ sin(θ) = c.o h c.o = sin(θ) h = sin(45) 1 = cos(θ) = c.a h c.a = cos(θ) h = cos(45) 1 = 11 2 2 √ 2 2 Ubicandonos en nuestro plano cartesiano obtenemos: → − r1 = (0, 1) → − r2 = ( → − r5 = (0, −1) → − r6 = (− √ √ 2 2 , 2 2 ) → − r3 = (1, 0) √ √ 2 2 2 ,− 2 ) → − r4 = ( → − r7 = (−1, 0) √ √ 2 2 , − 2 2 ) → − r8 = (− √ √ 2 2 2 , 2 ) − Sabiendo que → r = (x, y) → − − r −→ r1 = (x, y − 1) → − − r −→ r2 = (x − → − − r −→ r3 = (x − 1, y) → − − r −→ r4 = (x − → − − r −→ r5 = (x, y + 1) → − − r −→ r6 = (x + → − − r −→ r7 = (x + 1, y) → − − r −→ r8 = (x + √ 2 2 ,y √ 2 2 ) − √ 2 2 ,y √ 2 2 ) + √ 2 2 ,y √ 2 2 ) + √ 2 2 ,y √ 2 2 ) − Funcion potencial: k.q v(x, y) = → + −k.q→ + −k.q→ + −k.q→ + − r −→ r1 k k→ r −− r2 k k→ r −− r3 k k→ r −− r4 k k− k.q k.q k.q k.q + − → + − → + − → − − r −→ r5 k k→ r −− r6 k k→ r −− r7 k k→ r −− r8 k k→ 1 v(x, y) = k.q. → + − 1→ + − 1→ + − 1→ + − r −→ r1 k k→ r −− r2 k k→ r −− r3 k k→ r −− r4 k k− 1 + − 1→ + − 1→ + − 1→ − − r −→ r5 k k→ r −− r6 k k→ r −− r7 k k→ r −− r8 k k→ 1 v(x, y) = k.q. √ 2 1 +√ 12 +p √ √ 2 x +(y−1) √ 1 x2 +(y+1)2 v(x, y) = p √ (x− +p √ (x+ 2 2 2 2 2 ) +(y− 2 ) (x− 1 √ 2 2 2 2 2 ) +(y+ 2 ) +√ 2 (8.9∗109 NCm2 )(1∗10−9 C).. 1 √ 2 2 2 2 2 ) +(y+ 2 ) +√ 1 x2 +(y+1)2 1 (x+1)2 +y 2 √ +p 1 x2 +(y−1)2 (x+ b) Gracas Wolfram Alpha 12 √ 1 (x−1) +y 2 +p +p √ 2 2 2 2 2 ) +(y+ 2 ) + +√ 1 + (x−1)2 +y 2 √ √ 2 2 2 2 2 ) +(y+ 2 ) √ 2 2 2 2 2 ) +(y− 2 ) √ (x− 1 (x− 1 √ (x+ +p 1 √ 2 2 2 2 2 ) +(y− 2 ) +√ 1 (x+1)2 +y 2 +p 1 (x+ √ √ 2 2 2 2 2 ) +(y− 2 ) Figure 7: Potencial Figure 8: Equipotenciales 13 c)Función campo electrico → − E (x, y) = −grad(V (x, y)) Calculo del Gradiente Campo electrico 14 d) Gracas Phet Interactive Simulation Figure 9: Campo Eléctrico 15 Figure 10: Equipotenciales e) Comparación Gracas WolframAlpha y Phet Figure 11: Equipotenciales 16
