ParciaL N°1
Autor( Guzmán T. Dayana A. Cod. 20182025002)
Jun 20, 2020
1.
a) Función Potencial Eléctrico
Teniendo la Formula de potencial :
v(x, y) =
Obtenemos:
v(x, y) =
, con λ =
k.dq
−−→
→
−
r −drdq
k.λ∗dydq
−−→
→
−
r −drdq
→
dq
dyx →
dq =λ ∗ dyyq
v(x, y) =k.λ ∗
dydq
−−→
→
−
r −drdq
Para la varilla Postiva tenemos que:
→
−
r = (x, y)
−−−→
drdq1 = (0, ydq1 )
p
−−−→
→
−
r − drdq1 = x2 + (y − ydq1 )2
1
Reemplazando :
v(x, y) =k.λ ∗
√
dydq1
x2 +(y−ydq1 )2
Haciendo la siguiente sustitución:
y − ydq1 = x.tan(θ)
dydq1 = −x.sec2 (θ)
Obtenemos:
v(x, y) =−k.λ ∗
v(x, y) =−k.λ ∗
√
x.sec2 (θ)
x2 +(x.tan(θ))2
√
→
dθ
x.sec2 (θ)
x2 (1+tan2 (θ))
v(x, y) = −k.λ ∗
→
dθ
v(x, y) =−k.λ ∗
→
v(x, y) = −k.λ ∗
v(x, y) = −k.λ ∗
√
x.sec2 (θ)
x2 +x2 .tan2 (θ)
√x.sec
2
2
(θ)
x .sec2 (θ)
dθ
dθ
x.sec2 (θ)
x.sec(θ) dθ
sec(θ).dθ = −k.λ.ln(sec(θ) + tan(θ))
Devolviendo la sustitución:
√
v(x, y) = −k.λ.ln
x2 +(y−ydq1 )2
x
+
y−ydq1
x
1
0
Evaluando la integral:
√ 2 2
2
x +y +y
C
v(x, y) = −8.9x109 NCm2 ∗ 5x10−9 m
. ln √ 2
2
x +(y−1) +y−1
Para la varilla Negativa tenemos que:
→
−
r = (x, y)
−−−→
drdq1 = (1, ydq2 )
Reemplazando :
v(x, y) =k.λ ∗
p
−−−→
→
−
r − drdq1 = (x − 1)2 + (y − ydq2 )2
√
2
dydq
(x−1)2 +(y−ydq2 )2
Haciendo la siguiente sustitución:
y − ydq2 = (x − 1).tan(θ)
dydq2 = − (x − 1).sec2 (θ)
Obtenemos:
v(x, y) =−k.λ ∗
√
v(x, y) = −k.λ ∗
v(x, y) =−k.λ ∗
(x−1).sec2 (θ)
(x−1)2 +((x−1).tan(θ))2
(x−1).sec2 (θ)
√
√
v(x, y) = −k.λ ∗
(x−1)2 +(x−1)2 .tan(θ)2
(x−1).sec2 (θ)
(x−1)2 (1+tan2 (θ))
(x−1).sec2 (θ)
√
v(x, y) =−k.λ ∗
→
v(x, y) = −k.λ ∗
Devolviendo la sustitución:
dθ
→
dθ
x.sec2 (θ)
(x−1).sec(θ) dθ
sec(θ).dθ = −k.λ.ln(sec(θ) + tan(θ))
√
v(x, y) = −k.λ.ln
dθ
(x−1)2 .sec2 (θ)
→
dθ
(x−1)2 +(y−ydq2 )2
(x−1)
+
y−ydq2
(x−1)
1
0
Evaluando la integral:
√
2
(x−1)2 +y 2 +y
C
v(x, y) = 8.9x109 NCm2 ∗ 5x10−9 m
. ln √
2
2
(x−1) +(y−1) +y−1
El potencial de nuestro dipolo continuo es:
√
v(x, y) = −45.ln √
√
x2 +y 2 +y
x2 +(y−1)2 +y−1
3
+ 45ln √
(x−1)2 +y 2 +y
(x−1)2 +(y−1)2 +y−1
b) Gracas WolframApha
Figure 1: Potencial
Figure 2: Equipotenciales
4
c) Función campo electrico
→
−
E (x, y) = −grad(V (x, y))
Calculo del Gradiente
5
Campo electrico
d) Gracas Phet Interactive Simulation
Figure 3: Campo Eléctrico
6
Figure 4: Equipotenciales
e) Comparación Gracas WolframAlpha y Phet
Figure 5: Equipotenciales
7
2.
a) Coordenadas de Pocisión
Teniendo el triangulo rectángulo formado por el pendulo:
→
r−
m = (xm , ym )
xm =
L
2
+
ym = L −
L
2 .sin(θ)
L
2 .cos(θ)
→
0.5m + 0.5m ∗ sin(15) = 0.63m
→
1m + 0.5m ∗ cos(15) = 0.52m
Finlamente tenemos:
−
r→
m = (0.63m, 0.52m)
→
−
→
−
b) Campo Eléctrico en E (−
r→
m ) = E (xm , ym )
Teniendo la formula de campo electrico:
→
−
E (xm , ym ) = √k.q.(x2m ,ym ) 2
(
(xm ) +(ym ) )3
Reemplazando:
→
−
E (xm , ym ) = √k.q.(0.63m,0.52m)
2
2
(
(0.63m) +(0.52m) )3
8
→
−
E (xm , ym ) = k.q
√
(
0.52m
0.63m
, √
(0.63m)2 +(0.52m)2 )3 ( (0.63m)2 +(0.52m)2 )3
→
−
E (xm , ym ) = k.q ∗ [1.156, 0.954]
−
→
→
−
c) Fuerza Eléctrica Fe = (q) ∗ E (xm , ym )
Expresión vectorial, de fuerza eléctrica
−
→
Fe = (q) ∗ (k.q ∗ [1.156, 0.954])
d) Diagrama de Cuerpo Libre
Figure 6: Diagrama de Cuerpo Libre
Como nuestro sistema está em equilibrio podemos determinar:
P
Fx = −T ∗ sin(θ) + Fe = 0−→ T =
Fe
sin(θ)
P
Fy = T ∗ cos(θ) − m.g = 0−→ T =
m.g
cos(θ)
9
e) Hallar el valor de la carga y el valor de la tensión de la cuerda
Tenemos:
T =T
Fe
sin(θ)
Fe = m.g ∗
sin(θ)
cos(θ)
=
m.g
cos(θ)
−→ Fe = m.g ∗ tan(θ)
Calculamos la fuerza eléctrica que se produce entre la partícula y la línea de
carga:
Fe = (0.01kg)(9.8 sm2 )(tan(15)) = 26.26 ∗ 10−3 N
Hallar las tensiones:
T =
T =
Fe
sin(θ)
m.g
cos(θ)
=
=
26.26∗10−3 N
sin(15)
= 0.1014N
(0.01kg)(9.8 m2 )
s
cos(15)
= 0.1014N
Teniendo la formula de la Fuerza Eléctrica:
Fe = k ∗
|q 2 |
r2
Despejamos q:
q=
q
Fe ∗r 2
k
Sabiendo que K es la constante de Coulomb y r es la distancia de la particula
y la línea de carga positiva, reemplazamos:
q=
r
(26.26∗10−3 N )(0.63m)
2
k=8.9∗109 N m2
C
3.
10
= 1.08 ∗ 10−6 C
a) Función Potencial Eléctrico
Teniendo los datos:
k = 8.9 ∗ 109 NCm2
R = 1m
2
q = 1nC
Hallamos los vectores pocisión de las cargas sabiendo que el octagono esta
centrado en el origen, oara las cargas que estan en las diagonales (q2,q4,q6,q8)
utilizamos el siguiente triangulo rectangulo:
Haciendo uso de las entidades trignometricas:
√
sin(θ) =
c.o
h
c.o =
sin(θ)
h
=
sin(45)
1
=
cos(θ) =
c.a
h
c.a =
cos(θ)
h
=
cos(45)
1
=
11
2
2
√
2
2
Ubicandonos en nuestro plano cartesiano obtenemos:
→
−
r1 = (0, 1)
→
−
r2 = (
→
−
r5 = (0, −1)
→
−
r6 = (−
√
√
2
2
,
2
2 )
→
−
r3 = (1, 0)
√
√
2
2
2 ,− 2 )
→
−
r4 = (
→
−
r7 = (−1, 0)
√
√
2
2
,
−
2
2 )
→
−
r8 = (−
√
√
2
2
2 , 2 )
−
Sabiendo que →
r = (x, y)
→
−
−
r −→
r1 = (x, y − 1)
→
−
−
r −→
r2 = (x −
→
−
−
r −→
r3 = (x − 1, y)
→
−
−
r −→
r4 = (x −
→
−
−
r −→
r5 = (x, y + 1)
→
−
−
r −→
r6 = (x +
→
−
−
r −→
r7 = (x + 1, y)
→
−
−
r −→
r8 = (x +
√
2
2 ,y
√
2
2 )
−
√
2
2 ,y
√
2
2 )
+
√
2
2 ,y
√
2
2 )
+
√
2
2 ,y
√
2
2 )
−
Funcion potencial:
k.q
v(x, y) = →
+ −k.q→
+ −k.q→
+ −k.q→
+
−
r −→
r1 k k→
r −−
r2 k k→
r −−
r3 k k→
r −−
r4 k
k−
k.q
k.q
k.q
k.q
+ − →
+ − →
+ − →
−
−
r −→
r5 k k→
r −−
r6 k k→
r −−
r7 k k→
r −−
r8 k
k→
1
v(x, y) = k.q. →
+ − 1→
+ − 1→
+ − 1→
+
−
r −→
r1 k k→
r −−
r2 k k→
r −−
r3 k k→
r −−
r4 k
k−
1
+ − 1→
+ − 1→
+ − 1→
−
−
r −→
r5 k k→
r −−
r6 k k→
r −−
r7 k k→
r −−
r8 k
k→
1
v(x, y) = k.q. √ 2 1
+√ 12
+p
√
√
2
x +(y−1)
√
1
x2 +(y+1)2
v(x, y) =
p
√
(x−
+p
√
(x+
2 2
2 2
2 ) +(y− 2 )
(x−
1
√
2 2
2 2
2 ) +(y+ 2 )
+√
2
(8.9∗109 NCm2 )(1∗10−9 C)..
1
√
2 2
2 2
2 ) +(y+ 2 )
+√
1
x2 +(y+1)2
1
(x+1)2 +y 2
√
+p
1
x2 +(y−1)2
(x+
b) Gracas Wolfram Alpha
12
√
1
(x−1) +y 2
+p
+p
√
2 2
2 2
2 ) +(y+ 2 )
+
+√
1
+
(x−1)2 +y 2
√
√
2 2
2 2
2 ) +(y+ 2 )
√
2 2
2 2
2 ) +(y− 2 )
√
(x−
1
(x−
1
√
(x+
+p
1
√
2 2
2 2
2 ) +(y− 2 )
+√
1
(x+1)2 +y 2
+p
1
(x+
√
√
2 2
2 2
2 ) +(y− 2 )
Figure 7: Potencial
Figure 8: Equipotenciales
13
c)Función campo electrico
→
−
E (x, y) = −grad(V (x, y))
Calculo del Gradiente
Campo electrico
14
d) Gracas Phet Interactive Simulation
Figure 9: Campo Eléctrico
15
Figure 10: Equipotenciales
e) Comparación Gracas WolframAlpha y Phet
Figure 11: Equipotenciales
16
0
