(1) Respuesta: Sea t = Arctan / x ⇒ x = tan 2 t ⇒ dx = 2 tantsec 2 t dt

Encontrar la integral:
∫
𝐼 :=
√
Arctan 𝑥 𝑑𝑥
(1)
Respuesta:
√
Sea 𝑡 = Arctan 𝑥 ⇒ 𝑥 = tan2 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 2 tan 𝑡 sec2 𝑡 𝑑𝑡.
Si reemplazamos en (1) lo obtenido anteriormente se sigue que:
∫
𝐼 = 2 𝑡 tan 𝑡 sec2 𝑡 𝑑𝑡
Sea 𝐽 :=
∫
𝑡 tan 𝑡 sec2 𝑡 𝑑𝑡, por lo tanto 𝐼 = 2𝐽. Definamos también:
𝑢 := 𝑡 tan 𝑡 ⇒ 𝑑𝑢 = (tan 𝑡 + 𝑡 sec2 𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝑣 := sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑣 = tan 𝑡
∫
Notamos que 𝐽 =
obtenemos:
𝑢 𝑑𝑣, entonces si usamos la integración por partes 𝐽 = 𝑢𝑣 −
𝐽
2
∫
]
tan 𝑡(tan 𝑡 + 𝑡 sec2 𝑡) 𝑑𝑡
∫
∫
2
2
= 𝑡 tan 𝑡 − tan 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑡 sec2 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡
∫
2
= 𝑡 tan 𝑡 − tan2 𝑡 𝑑𝑡 − 𝐽
= 𝑡 tan 𝑡 −
∫
𝑣 𝑑𝑢
[
(2)
De (2) se sigue que:
𝐼 = 2𝐽 = 𝑡 tan2 𝑡 −
Si definimos 𝑄 :=
∫
tan2 𝑡 𝑑𝑡
(3)
tan2 𝑡 𝑑𝑡 y usamos la identidad tan2 𝑡 = −1 + sec2 𝑡 podemos ver que:
∫
𝑄 = (−1 + sec2 𝑡) 𝑑𝑡 = −𝑡 + tan 𝑡 + 𝑐0 , 𝑐0 ∈ ℝ
∫
Reemplazando el valor obtenido de 𝑄 en (3), y definiendo 𝑐 := −𝑐0 ∈ ℝ se tiene que:
𝐼 = 𝑡 tan2 𝑡 + 𝑡 − tan 𝑡 + 𝑐,
𝑐∈ℝ
(4)
Volviendo a la 𝑥 en lo obtenido en (4) se concluye que la integral buscada es:
√
√
√
𝐼 = 𝑥Arctan 𝑥 + Arctan 𝑥 − 𝑥 + 𝑐,
𝑐∈ℝ
Q.E.F.