Unidad 4 Función Arcotangente (x) 1

Unidad 4
4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral
Función Arcotangente (x)
Longitud de un arco de circunferencia
Tenemos que dada la circunferencia unitaria
x2 + y 2 = 1
y la recta
y = wx
p
x2 + y 2 = 1 ⇒ x = 1 − y 2
y
y = wx ⇒
=w
x
Por lo tanto
y
y
w
=w ⇒ p
=w ⇒ y= √
2
x
1 + w2
1−y
Por lo que su logitud en un intervalo de
sera:
[0, y]

Z
0
y
1
√
dt =
1 − t2
Z
√
0
w
1+w2
1
√
dt
1 − t2
Z
=
|{z}
t= √ u
1+u2
du
dt= √
1+u2 (1+u2 )
w
Z
=
0

w
0

r

1−
1
u2
1+u2



1
√
2
1 + u (1 + u2 )
du
1
du
1 + u2
Denición 1. Denimos la función
Z
w
du
, para u ∈ R
1 + u2
arctan w =
0
Teorema 1. (a) arctan
(−w) = − arctan(w),
(b) La función arctan(w) es diferenciable en R y
0
∀w∈R
(arctan(x)) =
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral II
1
,
1 + w2
∀w∈R
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
Unidad 4
4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral
(c) La función arctan(w) es continua
(d) La función arctan(w) es estrictamente creciente
(e) Existe
lı́m arctan(w)
y
w→∞
Demostración.
lı́m arctan(w)
w→−∞
Tenemos que para (a)
Z
−w
arctan(−w) =
0
w
Z
1
dt |{z}
= −
1 + u2
0
u=−t
du=−dt
1
(−1) dt = −
1 + (−t)2
Tenemos que para (b)
d
d
(arctan(w)) =
dw
dw
w
Z
0
dt
1 + u2
=
Z
0
w
1
du = − arctan(w)
1 + u2
1
1 + w2
Tenemos que para (c)
Al ser
arctan(w)
diferenciable entonces es continua
Tenemos que para (d)
0
(arctan(w)) =
por lo tanto
arctan(w)
1
>0 ⇔ w∈R
1 + w2
es estrictamente creciente en
R
Tenemos que para (e)
w
Z
lı́m arctan(w) = lı́m
w→∞
w→∞
0
Para la primer integral se tiene
Z
1
du = lı́m
w→∞
1 + u2
1
0
1
du <
1 + u2
Z
1
Z
0
1
du +
1 + u2
Z
w
1
1
du
1 + u2
1
1 du = 1
0
Para la segunda integral como
1
1
< 2 ⇒
2
1+u
u
w
Z
1
Z
1
du <
1 + u2
1
por lo tanto
lı́m arctan(w) < lı́m 1 +
w→∞
w
w→∞
1
1
du = − + 1
2
u
w
−1
+1=2
w
y por lo tanto si existe el limite. Analogamente existe
lı́m arctan(w)
w→−∞
Denición 2. El número π se dene
Z
π = 2 lı́m arctan(w) = 2
w→∞
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0
∞
1
du
1 + u2
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Como
4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral
arctan(w) es estrictamente creciente y acotada superiormente en (−∞, +∞), se tiene que existe
la inversa.
Denición 3. Denimos
tan(x) = (arctan(x))−1 ,
π π
x∈ − ,
2 2
donde
Como
Como
arctan(x) es creciente entonces tan(x) es creciente
arctan(x) es continua entonces tan(x) es continua en su
dominio
Tenemos que
1
0
tan0 (x) = arctan−1 (x) =
= 1 + (arctan−1 (x))2 = 1 + tan2 (x)
1
(1+arctan−1 )2 (x)
Función Seno (x) y Coseno (x)
Denición 4. Denimos
1
cos(x) = p
1 + tan2 (x)
tan(x)
sen(x) = p
1 + tan2 (x)
y
Ejercicio Calcular cos0 (x)
Solución En este caso
cos0 (x) =
1
p
p
!0
1 + tan2 (x)(1)0 − (1)
=
2
1 + tan (x)
tan(x)(1+tan2 (x))
√
1+tan2 (x)
= −p
2
1 + tan (x)
tan(x)
1 + tan2 (x)
= − sen(x)
Ejercicio Calcular sen0 (x)
Solución En este caso
tan(x)
sen0 (x) =
p
1 + tan (x)
=
Ejercicio
2
q
p
1 + tan2 (x)(1 + tan2 (x)) − tan(x)
!0
=
tan(x)(1+tan2 (x))
√
1+tan2 (x)
2
1 + tan (x)
1 + tan2 (x) − p
tan2 (x)
=p
1 + tan2 (x)
1
1 + tan2 (x)
= cos(x)
Demostrar que
arctan
Solución
√
x
1 − x2
= arcsin(x)
En este caso
arctan
x
√
1 − x2
Z
=
√
x
1−x2
0
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1
dt
1 + t2
Z
=
|{z}
t= √
u
1−u2
0
x
1
√
(1−u2 ) du =
2
1 − u (1 − u2 )
Z
0
x
√
1
du = arcsin(x)
1 − u2
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