20 de Octubre

Nombre:
r r
a2
 a 
Dado el campo electrostático D(r ) = rˆK 2 arctan
 determine las cargas que lo generan:
r
r −a
a) Posición y densidad de posibles cargas volumétricas
b) Posición y densidad de posibles cargas superficiales
c) Posición y densidad de posibles cargas lineales
d) Posición y valor de posibles cargas puntuales.
Una representación del campo ayuda a localizar las distribuciones de carga:
5
2.5
π
2
0
−
− 2.5
K
⋅ Dr
Dr
Electricidad y Magnetismo | Curso 20010/101 | Grupo 21.1 | Control del 20 de octubre del 2010
Apellidos:
a
2
π
2
−5
− 7.5
− 10
− 12.5
− 15
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
r/a
Figura 1: Representación de la componente radial del campo
a) Cargas volumétricas:
Su posición se podrá extender a todos los puntos en que exista campo y su densidad se puede
calcular con la ley de Gauss en forma diferencial
r 1 ∂ 2
1 ∂  2 a2
a 
=
 r K 2 arctan
(
ρv = ∇ ⋅ D = 2
r Dr ) = 2
r − a 
r ∂r
r ∂r 
r
1
a3
−a
C/m 3
= −K 2
2
2
2
 a  (r − a )
r (r − a ) + a
1+ 

 r − a 2
b) Cargas superficiales;
Su posición se limitará a las superficies en que haya discontinuidades de la componente
r
r
normal del campo D y se pueden calcular con la condición de frontera nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ S
a2
=K 2
r
[
]
(
Es este caso la única superficie de discontinuidad es r = a :
)
S


nˆ = rˆ
r
r
π 
D1 = lim− D1 = − K rˆ  ⇒ ρ S
S
r →a
2 
r
r
π 
D2 = lim+ D2 = K rˆ 
S
r →a
2 
r =a
= Kπ C/m 2
c) Cargas lineales:
Su posición se limitará a las líneas en que no esté definido el campo. No hay ninguna de estas líneas,
luego no hay cargas lineales.
d) Cargas puntuales:
Su posición se limitará a los puntos aislados en que no esté definido el campo, lo que en este caso se
reduce al origen de coordenadas. Su valor se puede calcular como el límite al que tiende la carga
encerrada dentro de un volumen que se hace tender a cero manteniendo el punto dentro.
Tomando una superficie esférica de radio R:
r r
q 0 = lim QS R = lim ∫∫ D·dS = lim
R →0
R →0
SR
R →0
π
2π
∫ ∫
θ =0 ϕ= 0
K
a2
 a 
2
arctan
rˆ ⋅ rˆR sen θdϕdθ =
2
R
−
a
R


 a 
2
2
= lim 4πKa 2 arctan
 = −π Ka C
R →0
R−a
Como cierre, ahora que se han identificado las cargas, se puede proceder a calcular sus contribuciones
y representarlas:
r ⋅ ( r − a) + a 
5
2.5
π
2
0
−
2
− 2.5
Dr/K·a·a
π
−5
− 7.5
− 10
Total
Carga Puntual
Carga Superficial
Carga Volumetrica
− 12.5
− 15
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
r/a
Figura 2: Representación del campo creado por cada distribución de carga.
Las contribuciones de las diferentes distribuciones son:
r r
π a2
Carga puntual: Dq (r ) = − K
rˆ
4 r2
; r<a
r r  0 2
Carga superficial DS (r ) =  a
ˆ
 Kπ r 2 r ; a < r

a2  π
a 
K
π
+
arctan

rˆ ; r < a

2
r r 
r−a
r 4
Carga volumétrica DV (r ) = 
2
 Kπ a  − 3π + arctan a rˆ ; a < r
 r 2  4
r −a