Clase 01 · 17/08/2015 - Giuseppe De Nittis

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Clase de ejercicios 01 - 17/08/2015
Curso: Variable Compleja I
Sigla: MAT2705 - Segundo Semestre 2015
Profesor:
Giuseppe De Nittis.
([email protected])
Ayudante: Victor Cañulef Aguilar. ([email protected])
Pagina Web: https://gdenittis.wordpress.com/courses/variable-compleja-i-mat2705/clase-de-ejercicios/
Ejercicio 1: Identidad ciclotmica
Las n raı́ces de la ecuación zn = 1 se llaman raı́ces n-ésimas de la unidad.
(a) Muestre que estas raı́ces están dadas por
!
!
k
k
zk := cos 2π
+ i sin 2π
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1 .
(b) Sea zk , z0 = 1 cualquier raı́z n-ésima de la unidad y pruebe que
n−1
X
(zk ) j = 0 .
j=0
Solución.
(a) Notemos que si z = eiθ es tal que zn = 1, entonces inθ = 2πik, de lo que se deduce que n raı́ces
distintas de la unidad están dadas por zk = e
2πik
n
con k = 0, 1, ..., n − 1. Además, los polinomios de
grado n tienen a lo más n raı́ces distintas, por lo que todas las soluciones están dadas por lo anterior.
(b) Sea zk , 1 tal que znk = 1. Luego
znk
− 1 = 0 = (zk − 1)
n−1
X
j
zk .
j=0
Como zk − 1 , 0, tenemos que:
n−1
X
j
zk = 0 .
j=0
1
2
Ejercicio 2: Identidad de Lagrange y desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sean z1 , . . . , zn números complejos.
(a) Prueba por inducción que
2
n−1 X
n
n n
X
X
X
z 2 + 2
z j =
Re(zk z j ) .
j
j=1
j=1 k=1 j=k+1
(0.1)
(b) Deduce, a partir de la igualdad (0.1), la identidad de Lagrange
2
 


n 
n−1
n
n 
X
X

X
X
2



z j w j =  z j 2   w j 2  − 2
zk w j − z j wk .




 


j=1
j=1
j=1
16k< j6n
(0.2)
(c) Deduce, a partir de la igualdad (0.2), la desigualdad de Cauchy-Schwarz
2

 

n
n 
n 
X
X
 X

2
2

z j w j 6  z j   w j  .





 
j=1
j=1
j=1
Solución.
(a) Para n = 2 tenemos:
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 + z1 z2 + z1 z2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re(z1 z2 )
Ası́, se cumple para n = 2. Ahora veamos el paso inductivo:
 n+1   n+1   n   n 
n+1 2
n
n
X
X
X  X  X  X 
X
2








zk =  zk   zk  =  zk   zk  + zn+1
zk + |zn+1 | + zn+1
zk
k=1 k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1

 n+1
n
n+1
n−1 X
n
n−1 X
n
n
X
X
X
X
X

 X
Re(zk zn+1 )
=
|zk |2 + 2
zk  =
|zk |2 + 2
Re(zk z j ) + 2Re zn+1
Re(zk z j ) + 2
k=1
k=1 j=k+1
k=1
=
n+1
X
|zk |2 + 2
k=1
k=1
n X
n+1
X
k=1 j=k+1
Re(zk z j )
k=1 j=k+1
(b) Primero notemos que:
|zk w j − z j wk |2 = |zk w j |2 + |z j wk |2 − 2Re(zk wk z j w j )
Si usamos la fórmula (a) obtenemos:
2
n
n
n−1 X
n
X
X
X
zk wk =
|zk wk |2 + 2
Re(z j w j zk wk ).
k=1
k=1 j=k+1
k=1
Si remplazamos lo anterior obtenemos:
2
n
n
n−1 X
n
X
X
X
2
zk wk =
|zk wk | +
|zk w j |2 + |z j wk |2 − |zk w j − z j wk |2
k=1
k=1
k=1 j=k+1
=
n
X
k=1
|zk wk |2 +
X
1≤k< j≤n
|zk w j |2 + |z j wk |2 −
X
1≤k< j≤n
|zk w j − z j wk |2
k=1
3
 n
 n

X
X
 X

=  |zk |2   |wk |2  −
|zk w j − z j wk |2
k=1
k=1
(c) La desigualdad se deduce de (b) notando que:0 ≤
1≤k< j≤n
P
1≤k< j≤n |zk w j
− z j wk |2
Ejercicio 3: Continuidad de la estructura compleja
(a) Prueba que las funciones
w(z) = Re(z) ,
w(z) = Im(z) ,
w(z) = |z| ,
w(z) = z ,
son continuas en C.
(b) Suponga que z 7→ f (z) es una función continua en un dominio Ω ⊆ C. Prueba que las funciones
w(z) = Re f (z) ,
w(z) = Im f (z) ,
w(z) = f (z) ,
w(z) = f (z) ,
son continuas en Ω.
Solución.
(a) Para ver que dichas funciones son continuas, basta probar que | f (z + h) − f (z)| → 0si|h| → 0.
Notemos que: |Re(z + h) − Re(z)| ≤ |z + h − z| = |h|, |Im(z + h) − Im(z)| ≤ |z + h − z| = |h|, ||z + h| − |z|| ≤
|z + h − z| = |h| y |z + h − z| = |h| = |h|. De lo que se deduce la continuidad.
(b) Las primeras tres funciones son composición de funciones continuas, por lo que son continuas en
Ω. La última función es continua por lo antes mencionado, pero en Ω∗ := {z ∈ C : z ∈ Ω}
Ejercicio 4: Continuidad del argumento principal
Sea
!
Im(z)
Arg(z) := 2 arctan
,
Re(z) + |z|
la funcin argumento principal.
z ∈ C − {0}
(a) Prueba que Arg(z) es continua en C − (−∞, 0] y es discontinua en (−∞, 0).
(b) Prueba que la funcióne (0.3) coincide con la función
y




arctan



x


y





arctan
+π



x





y
Arg(x + i y) := 
arctan
−π



x




π



+



2




π


−
2
si
x>0
si
x < 0, y > 0
si
x < 0, y < 0
si
x = 0, y > 0
si
x = 0, y < 0 .
(0.3)
4
Solución.
(a) La función es continua (en C \ (−∞, 0]) por ser composición de funciones continuas. Ahora veamos
que es discontinua en (−∞, 0): Sea x > 0, definamos la sucesión zn := −x − i n1 . Claramente Arg(zn ) →
−π, zn → −x, pero Arg(−x) = π, por lo que no es continua en x.
√x
(b) Para ver la primera igualdad, basta ver que arctan(x) = 2 arctan
. Ası́:
1+ 1+x2






y
y


y


x


2 arctan 
=
arctan
=
2
arctan


q
p



x
 1 + 1 + y2 
x + x 2 + y2
2
x
Para la segunda igualdad, recordemos que si x > 0, arctan(x) = π2 − arctan 1x . Por lo que:






p



 x + x2 + y2 

y
−y/x






2 arctan 
 = π − 2 arctan 
 = π − 2 arctan 
p
p
y
x + x 2 + y2
1 + 1 + (y/x)2
y
= π + arctan
x
Para la tercera, basta usar la segunda y para la cuarta y la quinta, basta evaluar la función.