1 Ecuaciones diferenciales exactas . E: Â x C y 1 C x - Canek

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Ecuaciones diferenciales exactas .
xCy
E:
dx C .y C arctan x / dy D 0;
1 C x2
con y.0/ D 1.
D: H Verifiquemos primero si la ED es exacta:
@M
@
x
y
1
D
C
D
@y
@y 1 C x 2
1 C x2
1 C x2
@N
@
1
D
.y C arctan x/ D
@x
@x
1 C x2
…
) la ED es exacta.
Entonces la solución de la ED es f .x; y/ D C , donde f .x; y/ satisface:
Z y
@f
@f
DN )
D y C arctan x ) f D
.y C arctan x/ dy )
@y
@y
y2
) f D
C y arctan x C k.x/:
2
(1)
Derivando f con respecto a x e igualando a M :
y
x
y
x
@f
0
0
D
C
k
.x/
D
C
)
k
.x/
D
)
@x
1 C x 2Z
1 C x2
1 C x2
1 C x2
1
2x dx
1
) k.x/ D
D ln.1 C x 2 /:
2
2
1Cx
2
Sustituyendo k.x/ en (1) e igualando a C , obtenemos la solución general de la ED:
y2
1
C y arctan x C ln.1 C x 2 / D C:
2
2
Considerando la condición inicial:
y.0/ D 1 )
1
1
C0C0DC ) C D I
2
2
la solución particular de la ED es
y2
1
1
C y arctan x C ln.1 C x 2 / D :
2
2
2
Multiplicando por 2 se tiene:
y 2 C 2y arctan x C ln.1 C x 2 / D 1:
201. canek.azc.uam.mx: 23/ 11/ 2010