1.5 Longitud de un camino Estela de Lourdes Juárez Ruiz En esta sección definiremos y calcularemos la longitud de curvas. La motivación de la siguiente definición, de longitud de una curva es la siguiente. Sea 𝒇: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 un camino 𝒇(𝑡) recorrido en términos físicos, por una partícula en el tiempo, con una rapidez 𝒇′(𝑡) = 𝑘 unidades/seg y quisiéramos calcular la longitud total del camino recorrido. Todo lo que tendríamos que hacer (𝑣 = 𝑑/𝑡) es multiplicar la rapidez por el tiempo, es decir, 𝑘 𝑏 − 𝑎 unidades. Sin embargo, en general, la rapidez es una función del tiempo (i.e., no es constante). Si pensamos “infinitesimalmente”, al multiplicar la rapidez que lleva la partícula 𝒇′(𝑡) en el punto 𝒇(𝑡), por la diferencial del tiempo 𝑑𝑡, tendríamos la longitud infinitesimal del recorrido en el instante 𝑡 Sumando estos productos desde 𝑡 = 𝑎 hasta 𝑡 = 𝑏 tendríamos calculada la longitud de todo el recorrido. Como sabemos, la suma de una infinidad de sumandos 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡, con 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], es la integral 𝑏 න 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎 Estas consideraciones, más bien imprecisas pero con buena intención, tienen la finalidad de hacer plausible la siguiente definición formal DEFINICIÓN. Sea 𝒇: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 un camino de clase 𝒞 1 . La longitud de 𝒇 entre 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏, denotada por 𝑙(𝒇) se define como 𝑏 𝑙 𝒇 = 𝒇 𝑎′(𝑡) 𝑑𝑡 NOTA: La función 𝒇´(𝑡) es continua, porque al ser 𝒇 de clase 𝒞 1 , 𝒇′(𝑡) es continua, y como la función 𝜑: ℝ𝑛 → ℝ, 𝜑 𝒙 = 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ𝑛 , también es continua, su composición φ 𝒇′ 𝑡 = 𝒇´(𝑡) lo es. Así, la integral de la función anterior existe siempre (funciones continuas son integrables). NOTA. Como el camino en la definición solo es de clase 𝒞 1 , entonces es posible que tengamos curvas con picos y aún así calculemos su longitud. EJEMPLO. Sea 𝒇: [0, 2𝜋] → ℝ2 el camino dado por 𝒇 𝑡 = (𝑎(𝑡 − sin 𝑡 ), 𝑎(1 − cos 𝑡)) donde 𝑎 es un número real positivo. La curva que este describe es el arco del cicloide de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 2𝜋. Calculemos la longitud de este arco 𝒇´(𝑡) = (𝑎 1 − cos 𝑡 , 𝑎sin 𝑡) = = 𝑎2(1 − 2 cos 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡) + 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 𝑎2(1 − cos 𝑡)2+𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑎2 1 − 2 cos 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 𝑎 2 1 − cos 𝑡 Entonces 𝑏 2𝜋 2𝜋 𝑙 𝒇 = 𝒇 𝑎′(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 𝑎 2 1 − cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑎 0 Pero, sabemos que 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 2𝜋 1 2 1 − cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 2 1 − cos 2𝜃 , entonces 2 𝑠𝑖𝑛2 = 1 − cos 𝑡 2𝜋 𝑡 𝑡 2 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑡 = 2𝑎 න sin 𝑑𝑡 =∗ 2 2 0 = 2𝑎 න 0 𝑡 El periodo de la función sin 2 es 𝑡 = 4𝜋, y en el intervalo 0, 2𝜋 es positiva, por lo tanto 2𝜋 ∗= 2𝑎 න 0 2𝜋 𝑡 𝑡 sin 𝑑𝑡 = −4𝑎 cos ቤ = 8𝑎 2 20 EJERCICIO. Sea 𝒇: [0, 2𝜋] → ℝ3 el camino dado por 𝒇 𝑡 = cos 𝑡, sin 𝑡, 𝑡 . Halle su longitud. NOTA. Dado 𝒇 = 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ2 𝑜 ℝ3 un camino que tiene por traza la curva 𝐶, no es cierto en general, que la longitud de 𝐶 sea la longitud del camino 𝒇, porque puede ocurrir, por ejemplo, que 𝐶 sea una curva cerrada y 𝒇 es un camino que recorre a 𝐶 dos veces o más, entonces la longitud de 𝒇 será el número de veces que 𝒇 recorre 𝐶, multiplicado por la longitud de 𝐶. Supongamos que 𝒇: 𝑎, 𝑏 → ℝ𝑛 es un camino regular y que 𝒇ത = [𝑐, 𝑑] → ℝ𝑛 es una reparametrización de 𝒇. Es de esperarse que la longitud de 𝒇 entre 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 sea igual a la de 𝒇ത entre 𝑡 = 𝑐 y 𝑡 = 𝑑, pues la carretera recorrida por 𝒇 y 𝒇ത es la misma, solo cambia la manera de recorrerla. En efecto, si 𝒇ത = 𝒇 ∘ 𝜑, donde 𝜑: 𝑐, 𝑑 → [𝑎, 𝑏] es de clase 𝒞 1 , sobreyectiva tal que 𝜑 ′ 𝑠 ≠ 0, para todo 𝑠 ∈ 𝑐, 𝑑 , entonces 𝑑 𝑙 𝒇ത = න 𝑐 𝑑 𝑑 ത 𝒇′(𝑠) 𝑑𝑠 = න 𝜑 ′ 𝑠 𝒇′(𝜑 𝑠 ) 𝑑𝑠 = න 𝑐 𝒇′(𝜑 𝑠 ) 𝜑′(𝑠) 𝑑𝑠 = (∗) 𝑐 Si 𝜑 ′ 𝑠 > 0, para todo 𝑠 ∈ [𝑐, 𝑑], entonces 𝜑 𝑐 = 𝑎, 𝜑 𝑑 = 𝑏, haciendo 𝑏 𝑡 = 𝜑(𝑠), 𝑑𝑡 = 𝜑 ′ 𝑠 𝑑𝑠 tenemos que (∗) = 𝒇 𝑎′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑙(𝒇) Si 𝜑 ′ 𝑠 < 0, para todo 𝑠 ∈ [𝑐, 𝑑], entonces 𝜑 𝑐 = 𝑏, 𝜑 𝑑 = 𝑎 y 𝜑′(𝑠) = −𝜑 ′ 𝑠 . Haciendo 𝑡 = 𝜑(𝑠), 𝑑𝑡 = 𝜑 ′ 𝑠 𝑑𝑠 tenemos que 𝑑 𝑙 𝒇ത = න 𝑑 𝒇′(𝜑 𝑠 ) (−𝜑′(𝑠))𝑑𝑠 = − න 𝒇′ 𝜑 𝑠 𝑐 𝜑 ′ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑐 𝑎 𝑏 − න 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 = න 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑙(𝒇) 𝑏 𝑎 Como asegurábamos que ocurriría. Entonces concluimos que la longitud de un camino y de una reparametrización de este es la misma EJERCICIO. Considere la curva 𝐶 intersección de las superficies 2 𝑦=𝑥 , 2 𝑧 = 𝑥𝑦 3 2 5 Calcule su longitud desde (0,0,0) hasta (1, 1, 3). Sol. 3 (Sug. Parametrice la curva intersección haciendo 𝑥 = 𝑡, y expresando 𝑦 y 𝑧 en términos de 𝑡 ) EJERCICIO. Calcule la longitud del camino 𝒇: 0, 2𝜋 → ℝ2 dado por 𝒇 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠 3𝑡, 𝑠𝑖𝑛3 𝑡) llamado astroide DEFINICIÓN. Diremos que un camino 𝒇: 𝑎, 𝑏 → ℝ𝑛 es seccionalmente de clase 𝓒𝟏 si existe una partición del intervalo 𝑎, 𝑏 , 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑏 De modo que restringiendo el camino a cada subintervalo 𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 se obtenga un camino de clase 𝒞 1 . En tal caso definimos la longitud del camino 𝒇 entre 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 como 𝒏 𝑡𝑖 𝑙 𝒇 = න 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 𝒊=𝟏 𝑡𝑖−1 Donde la derivada 𝒇′ se calcula en la función 𝒇 restringiendola al subintervalo 𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 El camino 𝒇: [−𝛼, 𝛼] → ℝ2 dado por 𝒇 𝑡 = (𝑡, 𝑡 ) no es de clase 𝒞 1 porque no es diferenciable en 𝑡 = 0, sin embargo, podemos particionar el intervalo en los subintervalos ∶ [−𝛼, 0] y [0, 𝛼] de tal forma que 𝒇 restringida a cada subintervalo sí es de clase 𝒞 1 . Así 𝒇 es un camino seccionalmente de clase 𝒞 1 y su longitud es 0 𝑙 𝒇 =න 𝛼 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 + න −𝛼 0 𝒇′(𝑡) 𝑑𝑡 = න 0 0 =න −𝛼 𝛼 (−1,1) 𝑑𝑡 + න −𝛼 𝛼 2𝑑𝑡 + න 0 2𝑑𝑡 = 2𝛼 + 2𝛼 = 2 2𝛼 0 (1,1) 𝑑𝑡 Ejercicios En los ejercicios siguientes, calcule la longitud de la gráfica de la función 𝑦 = 𝜑(𝑥), comprendida en los intervalos indicados 1. 𝑦 = ln 𝑥 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 2. 𝑦 = 𝑥 3/2 , 0 ≤ 𝑥 ≤1 𝜋 3. 𝑦 = ln cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 En los ejercicios siguientes, calcule la longitud de los caminos 4. 𝒇: [0, 3] → ℝ2 dado por 𝒇 𝑡 = (𝑡, 5𝑡 + 1) 5. 𝒇: [0, 2𝜋] → ℝ2 dado por 𝒇 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑡, 𝑠𝑖𝑛4 𝑡 6. 𝒇: [0, 1] → ℝ3 dado por 𝒇 𝑡 = cosh 𝑡, sinh 𝑡, 𝑡 EJERCICIO. Calcule la longitud de la gráfica de la función 𝑦 = ln 𝑥 comprendida en el intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 Sol. Sea 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = ln 𝑡 , entonces 𝒇: [1, 5] → ℝ2 dado por 𝒇 𝑡 = (𝑡, ln 𝑡) 1 De esta manera 𝒇′ 𝑡 = (1, ) y 𝒇′ 𝑡 𝑡 5 𝑙 𝒇 =න 1 𝑡 = tan 𝜃 Sea 𝑑𝑡 = sec 2𝜃 = 1+ 1 𝑡2 = 𝑡 2 +1 𝑡2 5 𝑡2 + 1 𝑡2 + 1 𝑑𝑡 = න 𝑑𝑡 = (∗) 𝑡2 𝑡 1 𝑡 2 + 1 = tan2 𝜃 + 1 = sec 2 𝜃 𝑠𝑖 𝑡 = 1, tan 𝜃 = 1, 𝜃 = arctan 1 = 𝜋/4 (𝑠𝑖 𝑡 = 5, tan 𝜃 = 5, 𝜃 = arctan 5) arctan 5 ∗ =න 𝜋/4 arctan 5 =න 𝜋/4 arctan 5 sec 𝜃 1 + tan2𝜃 2 sec 𝜃𝑑𝑡 = න sec 𝜃 𝑑𝑡 = tan 𝜃 tan 𝜃 𝜋/4 arctan 5 1 sec 𝜃 + tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝑡 = න + tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝑡 tan 𝜃 tan 𝜃 𝜋/4 arctan 5 =න 𝜋/4 arctan 5 න 𝜋/4 arctan 5 1 𝑑𝑡 + න tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝑡 sin 𝜃 𝜋/4 arctan 5 =න 𝜋/4 arctan 5 sec 𝜃 𝑑𝑡 + න tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝑡 tan 𝜃 𝜋/4 arctan 5 csc 𝜃 𝑑𝑡 + න tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝑡 𝜋/4 5 arctan 5 ] = ln csc 𝜃 − cot 𝜃 ]arctan + sec 𝜃 𝜋/4 𝜋/4 𝜋 𝜋 ln csc arctan 5 − cot(arctan 5) − ln csc − cot 4 4 Analicemos: arctan 5 = 𝜃 ⇔ 5 = tan 𝜃 = 𝑐.𝑜. 𝑐.𝑎. = 𝜋 + sec arctan 5 − sec = (∗) 4 5 1 26 2 5 1 𝛱 4 1 𝜃 1 Entonces csc arctan 5 − cot(arctan 5) = csc 𝜃 − cot 𝜃 = sec 𝜃 = 26, por lo que ∗ = ln 26−1 5 26 5 − 1 5 y sec arctan 5 = − ln 2 − 1 + 26 − 2 ≅ 4. 3675
