Integrales Trigonométricas (II) Potencias

Integrales Trigonométricas (II)
Potencias Trigonométricas (II)
II.) Potencias de la Tangente y la Secante (Separadas)
2.1 Potencias de Tangente
Aquı́ te mostraré como resolver integrales de la forma
Z
tann (x)dx
La idea es sacar un factor tan2 (x) y convertirlo en secante, usando la fórmula (2).
Z
Ejemplo 5: Evalúa
tan4 (x)dx
Separo un factor tan2 (x) junto con el dx.
Z
tan2 (x)[tan2 (x)dx]
Utilizo la fórmula (2) para transformar el término tan2 (x) (que separé junto con el dx) en sec2 (x).
Z
=
tan2 (x)(sec2 (x) − 1)dx =
Z
tan2 (x)sec2 (x)dx −
Z
tan2 (x)dx
Para la primera integral utilizo la sustitución u = tan(x) → du = sec2 (x)dx (la integración te
la dejaré a ti). Transformaré el término tan2 (x) en la segunda integral a secante (es el mismo
procedimiento).
tan3 (x)
=
−
3
Z
(sec2 (x) − 1)dx
1
Ya puedes resolver esta integral para llegar a la respuesta
Z
tan4 (x)dx =
Z
Problema Práctico 3: Resuelve
tan3 (x)
− tan(x) + x + C
3
tan6 (t)dt
2.2 Potencias de Secante
Trataré con integrales de la forma
Z
secn (x)dx
Para resolverlas, separaré un factor sec2 (x) y haré una integración por partes. Para la integración
por partes usaré la sustitución dv = sec2 (x)dx → v = tan(x), y la u será lo que quede.
Z
Ejemplo 6: Evalúa
sec4 (x)dx
Separo el factor sec2 (x)
Z
sec2 (x)[sec2 (x)dx]
Aplico integración por partes. Diré dv = sec2 (x)dx → v = tan(x), recuerda que u será lo que quede
por eso u = sec2 (x) → du = 2sec(x)sec(x)tan(x)dx = 2sec2 (x)tan(x)dx. Usando la fórmula de
integración por partes
2
= sec (x)tan(x) −
Z
tan(x)[2sec2 (x)tan(x)dx]
= sec2 (x)tan(x) − 2
Z
2
sec2 (x)tan2 (x)dx
Para la integral que quedó usa la sustitución t = tan(x) → dt = sec2 (x)dx y resuelve. La solución
Z
Z
Ejemplo 7: Evalúa
2
sec4 (x)dx = sec2 (x)tan(x) − tan3 (x) + C
3
sec6 (y)dy
Separo un factor sec2 (x)dx
Z
sec4 (y)[sec2 (y)dy]
Uso integración por partes donde dv = sec2 (y)dy → v = tan(y) y u = sec4 (y) →
du = 4sec3 (y)sec(y)tan(y)dy = 4sec4 (y)tan(y)dy. Usando la formula de integración por partes
= sec4 (y)tan(y) −
Z
tan(y)[4sec4 (y)tan(y)dy]
= sec4 (y)tan(y) − 4
Z
tan2 (y)sec4 (y)dy
Lo mas simple será transformar tan2 (y) = sec2 (y) − 1
= sec4 (y)tan(y) − 4
Z
= sec4 (y)tan(y) − 4
= sec4 (y)tan(y) − 4
Mira que si I =
R
Z
(sec2 (y) − 1)sec4 (y)dy
Z
(sec6 (y) − sec4 (y))dy
sec6 (y)dy + 4
Z
sec4 (y)dy
sec6 (y)dy entonces
Z
4
I = sec (y)tan(y) − 4I + 4
3
sec4 (y)dy
Despeja I
5I = sec4 (y)tan(y) + 4
Z
sec4 (y)dy
Por eso
Z
sec6 (y)dy =
4
1 4
sec (y)tan(y) +
5
5
Z
sec4 (y)dy
Usando el ejemplo 6 para resolver la última integral
Z
sec6 (y)dy =
1 4
4
8
sec (y)tan(y) + sec2 (y)tan(y) − tan3 (y) + C
5
5
15
4