PRACTICA 1-FISICA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA
PRACTICA DIRIGIDA N°01
Curso: Algebra lineal
Tema: Matrices
Semestre: 2020-I
a b 
c
1) Pruebe que las matrices A  
y B

b a 
d
d
son conmutativas para todos los
c 
valores reales de a, b, c, d .
2
1  a

2) Dada la matriz A   2 4  b 2
 3
4
3 
4  , determinar los valores de a, b, c tales que A
3  c 
sea una matriz antisimétrica.
 1
3) Si A   a
 2 x  a
x y
3
2y
1 
y  2a  es una matriz simétrica, calcule A².
2 
 5 2 3
4) Si A  1 3 1 , compruebe que: A3  7 A2  13 A  I  0 .
 2 2 1
5) Si A es una matriz simétrica, demuestre que A² es simétrica, y si B es una matriz
antisimétrica; demuestre que B² es también simétrica.
6) Indicar qué matrices son idempotentes o involutivas:
 2 2 4 
A   1 3 4 
 1 2 3
 1 2 4 
B   1 2 4 
 1 2 4 
7) Si A es una matriz involutiva, pruebe que
4 3 3
C   1 0 1
 4 4 3
 2 3 5
D   1 4 5 
 1 3 4 
1
 I  A I  A  0 .
4
 1 0
8) Sea A  
, demuestre que A2  2 A  I y calcule: A100 , An .

 1 1 
9) Determinar: An , A100
1 1
A 

0 1
n
,
an
a 1 


0 a 


0
na n 1 

an 
,
0 1 0 
A  1 1 0 
0 0 1
2 1 2
1
10) Determinar si A   2 2 1  es una matriz ortogonal.
3
 1 2 2 
11) Si A y B son matrices cuadradas y I  A  AB   ; pruebe que A es no singular, y que
A1  I  B .
12) Sea A una matriz de orden 3, tales que A   I   D , D es una matriz de orden 3
donde los elementos de su diagonal principal son ceros y los demás unos. Hallar  y
 de tal manera que A2  I .
13) Sea A 
nn
; B  aA  bI ; a, b . Pruebe que AB  BA .
14) Si A es una matriz involutiva
A
2
 I  . Pruebe que
1
1
 I  A y  I  A son
2
2
idempotentes  B 2  B  .
15) Si A y B son matrices cuadradas simétricas, de orden n, demostrar usando propiedades
que AB es simétrica sí y sólo si AB =BA.
16) Hallar la inversa de las siguientes matrices:
1 1 1
1 2 1
a) A  
1 1 2

1 3 3
nn
17) Sea A, B 
1
2 
;
1

2
nn
; D
a) Si AD  DA 

e)  An    At  ;
t
n
0
1
c) C  
2

2
diagonal, pruebe que:
AD n  D n A;  n
b) Si AB   B;  
c) AB  BA
1 2 3 4
 1 1 2 2 
 ;
b) B  
1 3 5 6


1 4 5 9
 An B   n B;  n
 A  kI  y  B  kI  sonconmutativas ;
k
 n
0 1 0 
1
18) Dada A  1 0 0  , halle
2
0 0 1 
n
 A , n par.
i
i 0

1 n
1 1 1

19) Sabiendo que A   0 1 1 , demostrar que An  0 1
0 0
 0 0 1


n  n  1 

2 
n 
1 


cos x sen x 
cos nx sen nx 
20) Si B  
; demostrar que Bn  

.
 sen x cos x 
 sen nx cos nx 
21) Sean A, B 
nn
, A posee inversa, pruebe que:
 A  B A1  A  B   A  B A1  A  B
0 1
22) Sea B  A  A2  A3  A4  . . .  A200 . Halle la traza de B donde A  
.
1 0
FCF; Junio 2020
WMQ.
1 2 2
1 2 3 
2 2 3

3 3 3