Ejercicios resueltos. Elipse.

1) Dada la elipse 3x2 + 4y2 – 6x + 24y + 27 = 0, calcúlense las coordenadas del centro y su
excentricidad.
3x2 + 4y2 – 6x + 24y= -27
3(x2 – 2x + 1) + 4(y2 + 6y + 9) = - 27 + 3 + 36 (sumamos 3 y 36 en ambos miembros)
3(x – 1)2 + 4(y + 3)2 = 12
(𝑥−1)2
4
+
(𝑦+3)2
3
=1
Luego: a=2; b=√3 ; de c=√𝑎2 − 𝑏 2 ,resulta c=1 ; C tiene coordenadas (1; -3)
La excentricidad e= 0,5
2)
Dada la elipse 4x2 + y2 + 24x - 4y + 36 = 0, calcúlense las coordenadas de los focos y de
los vértices.
4x2 + y2 + 24x - 4y= - 36
4(x2 + 6x +9 ) + (y2 – 4y +4) = - 36 + 36 +4 (sumamos 36 y 4 en ambos miembros)
4(x + 3)2+ (y – 2)2 = 4
(𝑥+3)2
1
+
(𝑦−2)2
4
=1
C≡ (−3; 2)
Centro:
𝐷e c=√𝑎2 − 𝑏 2 ,resulta c=√3
F≡ (- 3; √3 +2) y F’≡(-3;-√3 +2)
Vértices: Si C≡ (−3; 2) ; a=1 ; b=2
A≡(-3;4) ; A’≡(-3;0) ; B≡(-2;2) ; B’≡(-4;2)
3) Los vértices de una elipse son A≡ (- 3; 4) y A’ ≡ (- 3; 0). Dedúzcase la ecuación sabiendo que
su semieje menor mide 1.
Centro:
4−0
2
= 2 Entonces yc = 2 Entonces C≡(-3;2)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅| =|𝐶𝐴′| = 2 =˃ a=2 y como b=1
|𝐶𝐴
Entonces B≡(-2;2) ; B’≡(-4;2)
(𝑥+3)2
1
+
(𝑦−2)2
4
=1
4) Dados los vértices B≡ ( - 4;2) y B’≡(- 2; 2), calcúlense las coordenadas de los focos de una
elipse, sabiendo que su semieje mayor mide 2.
Se deduce que b=1 y el centro C≡(- 3;2)
Y que A≡(-3;4) y A’≡(-3;0)
Entonces
Entonces
(𝑥+3)2
1
+
(𝑦−2)2
4
=1
F≡ (- 3; √3 +2) y F’≡(-3;- √3 +2)
2
3
5) Los focos de una elipse son F≡( 1; -2) y F’≡(5; - 2) y su excentricidad es e=
Dedúzcase la ecuación de la elipse y calcúlese la longitud de la cuerda principal.
De F≡( 1; -2) y F’≡(5; - 2) se deduce |1 − 5| = 2c=4. Entonces c=2.
2
2
Excentricidad es e=3 = 𝑎 =˃ a=3
|1 − 5| = 4 =˃ C≡(3; - 2 )
Centro:
Como a2 = b2 + c2 =˃ b=√5
La ecuación de la elipse es
(𝑥+3)2
9
+
Longitud de la cuerda principal:
(𝑦+2)2
4
L=|
=1
2𝑏2
2∗5
10
| =| 3 | = 3
𝑎
6) Dados los vértices B≡( 2;3) y B’≡( 2; - 5) y los focos F≡( -1; -1) y F’≡(5; -1) de una 2 ; -1)
elipse, calcúlense la excentricidad y la longitud de la cuerda principal.
Como F≡( -1; -1) y F’≡(5; -1) =˃ 2c = √(5 + 1)2 + ( −1 + 1)2 = √36 =˃ c= 3
Como B≡( 2;3) y B’≡( 2; - 5) =˃ C≡(2; -1) =˃ b=4
Como a2 = b2 + c2 =˃ a=5
𝑐
3
Excentricidad e=𝑎 =˃ e = 5
Longitud de la cuerda principal:
L=|
2𝑏2
32
32
| =| 5 | = 5 =˃
𝑎
L= 6,4
7) Dedúzcase la ecuación correspondiente de la elipse de vértices A≡( -2;6) ; A’≡( -2; -4)
B≡( - 6; 1) y B’≡(2; 1).
De A≡( -2;6) ; A’≡( -2; -4) =˃ yc=
6−4
2
=1
De B≡( - 6; 1) y B’≡(2; 1) =˃ xc=
− 6+2
2
= -2
Centro C≡(1 ; -2)
Además
a= |6 − 1| = |− 4 − 1| = 5
La ecuación de la elipse es:
(𝑥+2)2
16
+
b= |−6 + 2| =|2 + 2| = 4
(𝑦−1)2
25
=1
8) Determínese la ecuación de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados que pasa por
los puntos E≡( -2; 2) ; G≡( -3; 4) ; Q≡( - 4; 2) y P≡( -3; 0).
E≡( -2; 2) y Q≡( - 4; 2) =˃ xc = -3
G≡( -3; 4) y P≡( -3; 0) =˃ yc = 2
El centro C≡ ( - 3; 2)
̅̅̅̅ | = |𝐶𝑃
̅̅̅̅| = √( −3 + 3)2 + (2 − 4)2 = √4 =˃ a =2
a= |𝐶𝐺
̅̅̅̅ | = |𝐶𝑄
̅̅̅̅ | = √( −3 + 2)2 + (2 − 2)2 = √1 =˃ b =1
b= |𝐶𝐸
La ecuación de la elipse es :
(𝑥+3)2
1
+
(𝑦−2)2
4
=1