La elipse

Tema 50
La elipse
Matemáticas
Pensamiento numérico
Ejemplo
Ejemplo
El perímetro de un triángulo es 50 y los puntos (–10, 0) y (10, 0)
son dos de sus vértices. Tracemos la gráfica donde puede localizarse el tercer vértice.
Solución
Uno de los lados del triángulo tiene longitud 20 (el que se encuentra entre (–10, 0) y (10, 0), entonces la suma de las longitudes de
los otros dos lados es 30; por tanto, buscamos todos los puntos
P(x, y) del plano, tales que d(P, (–10, 0)) + d(P, (10, 0)) = 30,
ecuación que corresponde a una elipse con focos en (–10, 0) y
(10, 0) y lado mayor de longitud 2a = 30, luego a = 15; utilizando
la ecuación b2 = a2 – c2 obtenemos b2 = 125, así la ecuación será:
2
x + y = 1.
225 125
2
10
8
P1
P
4
−16−14−12 −10 −8 −6 −4 −2
−4
−6
−8
−10
−12
Solución
Elegimos un sistema de referencia XY, de tal manera que el eje X
corresponda al piso del túnel y el eje Y a la recta vertical que pasa
por el centro, como se muestra en la figura.
Y
9m
X
5m
La ecuación de la elipse se deduce de 2a = 20 y b = 9, entonces:
2
x 2 + y = 1.
100 81
6
2
El arco de un túnel es una semielipse de 20 m de ancho y 9 m de
alto. Encontremos la altura que corresponde a la orilla de un carril
que se encuentra a 5 m del centro.
20 m
Y
12
10
X
2 4 6 8 10 12 14 16
Como la orilla del carril está ubicada en x = 5, remplazando en la
2
y2
y2
5
=1– 1,
ecuación tenemos:
+
= 1 ; por tanto
81
4
100 81
luego y 2 = 81  3  ; así y = 9 3 ≈ 7, 8 .
 4
2
Por consiguiente, la altura que corresponde a la orilla del carril
que dista 5 m del centro es aproximadamente 7,8 m.