2 2 3 2 2 y y xy xy x x x ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Problemas propuestos en los 11 Tribunales de Madrid
(MATEMÁTICAS) el 25 de junio de 2002.
En octubre de 2013, cuando se publique el volumen Problemas de Oposiciones 2006 a 2012 o
[Vol.5], se incluirá algún método más de resolución si se considera conveniente.
Cuestión 1 ª.- Se eligen al azar e independientemente dos puntos X e Y en el
intervalo [0,1]. Hallar la longitud media del segmento que determinan X e Y.
Solución.- Si la longitud del segmento es Z = X − Y nos piden la esperanza de Z.
Se tiene:
E (Z ) =
∫∫
y − x dy dx +
0≤ x ≤ y ≤1
∫∫
0 ≤ y ≤ x ≤1
1
1 1
1 x
0 x
0 0
y − x dy dx = ∫ ∫ ( y − x) dy dx + ∫ ∫ ( x − y ) dy dx =
x
⎡ y2
⎤
⎡
y2 ⎤
x
∫ ⎢ − xy ⎥ dx + ∫ ⎢ xy − ⎥ dx = ∫ ( 2
2⎦
⎣2
⎦
⎣
⎡ x3 x 2 x ⎤ 1
⎢ − + ⎥ =3
⎣ 3 2 2⎦
1
1
0
1
0
0
2
1
1
1
x2
1
− x + )dx + ∫ dx = ∫ ( x 2 − x + )dx =
2
2
2
0
0
0
x
1
0
Cuestión 2 ª.- Sean p,q,r tres números naturales tales que la suma p 3 + q 3 + r 3 es
múltiplo de 9. Demostrar que al menos uno de los tres números p, q, r es múltiplo
de 3.
Solución.Denotemos p1 = p, p2 = q, p3 = r y supongamos que ninguno es múltiplo de 3.
Entonces se escribirán:
pi = (3ni + ε i ), ε i ∈ {1, 2} , i = 1, 2,3
Elevando al cubo: pi = 9mi + ε i para un cierto entero mi .
3
Sumando:
3
p1 + p2 + p3 = 9(m1 + m2 + m3 ) + (ε1 + ε 2 + ε 3 ) ,
3
3
3
3
3
3
luego
ha
de
ser
ε13 + ε 23 + ε 33 múltiplo de 9. Pero cada ε i 3 es 1 u 8., por lo que ε13 + ε 23 + ε 33 toma uno
de los valores siguientes: 3,10,17,24 y ninguno de ellos es múltiplo de 9, lo que
3
3
3
contradice la hipótesis de que ε1 + ε 2 + ε 3 era múltiplo de 9.
Luego al menos uno de los tres números p, q, r es múltiplo de 3.
1
Cuestión 3 ª.- Se considera una elipse y sea A uno de sus puntos. Por cada punto X
de la elipse sea X’ el punto medio del segmento AX. Determinar el lugar
geométrico descrito por X’ cuando X recorre la elipse.
Calcúlese dicho lugar en el caso 4 x 2 + 9 y 2 − 8 x − 36 y − 140 = 0 y A(4, 6)
Solución.Sean A(p, q), el punto fijado de la elipse, y X(x,y) un punto genérico en ella. El punto
medio X’, del segmento que tiene por extremos A y X, tiene por coordenadas
p+x q+ y
(
,
) = ( x ', y ') .
2
2
Despejando, obtenemos: x = 2 x '− p, y = 2 y '− q
En un sistema de referencia formado por los ejes de la elipse, ésta tiene una ecuación
x2 y 2
del tipo 2 + 2 = 1 .
a
b
Sustituyendo se obtiene:
p
q
( x '− ) 2 ( y '− ) 2
(2 x '− p) 2 (2 y '− q) 2
2 +
2 = 1 que es la ecuación de la
+
= 1 , es decir,
2
2
a
b
a
b
( )2
( )2
2
2
elipse de semiejes a/2 y b/2 y centro (p/2,q/2).
En el caso particular citado es p=4, q=6 , x = 2 x '− 4, y = 2 y '− 6 .
Sustituyendo en la ecuación de la elipse, resulta:
4(2 x '− 4) 2 + 9(2 y '− 6) 2 − 8(2 x '− 4) − 36(2 y '− 6) − 140 = 0 ⇔
4 x '2 + 9 y '2 − 20 x '− 72 y '+ 124 = 0
que es la ecuación del lugar geométrico pedido respecto al sistema de referencia en el
que nos dan la ecuación de la elipse y no respecto a uno determinado por sus ejes.
Cuestión 4ª.- Calcular el límite de la suma
n
n
n
+ 2
+ ... + 2
2
2
n +1 n + 2
n + n2
2
Solución.Es el apartado a) del problema de Agregados 1981, turno libre, Tribunal nº 2 de
Madrid. Está resuelto en la página 65 del volumen nº 2: Problemas de Oposiciones
1981 a 1987 de Braulio de Diego y Elías Gordillo. Editorial Deimos.
2