Presion lateral suelo UNI

MECANICA DE SUELOS II
EC 513 G CICLO 2012 I
PRESIÓN LATERAL DE
TIERRA
PORF. MANUEL F. CORREA MOROCHO
MAYO DEL 2012
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO
 o   o
y
 h   h
 'h
Ko 
 'o
A
Peso especifico del suelo = 
 f = c +  tan
z
´h = Ko´o
B
Como
´o = z, tenemos
´h = Ko (z)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la
relación empírica (Jaki,1944)
Ko = 1 – sen 
Donde  = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,
Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :
 IP (%) 
K o  0.44  0.42 
 100 
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
K o  preconsolidada  K o normalmenteconsolidada  OCR
Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como
OCR =
presión de preconsolidación
presión de sobrecarga efectiva presente
La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores
mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO
Peso específico del suelo = 
H
Po 
1
K o H 2
2
H
3
Ko  H
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE
SUMERGIDO
A
H1
E
C
H
Peso específico del suelo = 
z
Nivel de Agua
freática
I
KoH1
Peso específico saturado
del suelo = sat
+
H2
F
B
Ko(H1 + ’H2)
-(a)
G
J
wH2
(b)
K
H1
KoH1
=
H2
Ko(H1 + ’H2) + wH2
(c)
Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido
Presión efectiva vertical =
 o  H1   ( z  H1 )
Presión efectiva horizontal =
 h  K o o  K o H1   ( z  H1 )
u   w ( z  H1 )
 h   h  u
Presión total horizontal =
 K o H1   ( z  H1 )   w ( z  H1 )
Po 
1
1
K oH12  K oH1 H 2  ( K o    w ) H 22
2
2
o
Po 


1
K o H12  2H1 H 2   H 22   w H 22
2
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
L
A´ A
Peso especifico del suelo = 
 f = c +  tan
´O
´h
(a)
B´ B
Presión activa de tierra de Rankine
z
Esfuerzo normal
A


D
b
c
C
O
a
O
KoO
a
D´
(b)
Presión activa de tierra de Rankine
Esfuerzo normal
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ,
ACTIVA Y PASIVA
sen 
CD
CD

AC AO  OC
Pero
CD = radio del círculo de falla =
 o   a
2
AO = c cot 
y
OC 
 o   a
2
Por lo que
 o   a
sen 
2
c cot  
 o   a
2
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
c cos  
o
 o   a
 a   o
o
2
sen 
 o   a
2
1  sen
cos 
 2c
1  sen
1  sen
Pero
o  presión de sobrecarga efectiva vertical = z
1  sen


 tan 2  45  
1  sen
2

y
cos 


 tan  45  
1  sen
2

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos




 a  z tan 2  45    2c tan  45  

2

2
La Variación de a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y


 a   o tan 2  45  

2
La razón de a respecto a o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,
Ka,o
 a

2
Ka 
 tan  45  
 o
2

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA
 2c K a
45 
2c


45 
2

tan (45  )
2
z
zK a  2c K a
(c)
(d)

2
ESTADO PASIVO DE RANKINE
L
A
A´
Peso especifico del suelo = 
 f = c +  tan
´O
´h
B
B´
(a)
Presión pasiva de tierra de Rankine
z
Esfuerzo Normal
A


D
b
a
O
Koo
C
o
p
Esfuerzo Normal
D
(b)
Presión pasiva de tierra de Rankine
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA



2


 p   o tan  45    2c tan  45  
2
2






 z tan 2  45    2c tan  45  
2
2


La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee


 p   o tan 2  45  

2
o
 p


 K p  tan 2  45  
 o
2

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
45 

45 
2
z
zK p
2c K p
(c)
(d)

2
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retención en voladizo
La
La
45  2
A´
C´
45  2
A
z
H
B
(a)
Lp
Lp
A
45 
A

45 
2

2
H
45 

2
(b)
Rotación de un muro sin fricción respecto al fondo
C
Presión de tierra
Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro
Presión pasiva
p
Presión en reposo
Presión activa a
Inclinación
del muro
La
H
LP
H
Inclinación
del muro
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA
MUROS DE RETENCIÓN
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
Caso Activo
 a   a  K az
 a  K aH
1
Pa  K aH 2
2
(Nota: c = 0)
45 

2
Cuña de
falla
H
H


a=a
c=0
Pa
H
3
KaH
(a)
45 

2
Cuña de falla
H


H
p=p
c=0
Pp
H
3
KpH
(b)
Caso Pasivo
 p   p  K pH
1
Pp  K pH 2
2
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO
SOBRECARGA
Caso Activo
 a  K a o
Donde o y a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0
y
 o   o  q
 a   a  K a q
A la profundidad z = H1,
y
 o   o  q  H1 
 a   a  K a q  H1 
A la profundidad z = H,
 o  q  H1   H 2 
y
 a  K a q  H1   H 2 
Donde =sat - w. La Variación de a con la profundidad se muestra .
La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta
linealmente con la profundidad. En z = H,
u   wH2
El diagrama de la presión lateral total a´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza
Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,
1
1
Pa  K a qH  k aH12  K aH1 H 2  K a    w H 22
2
2
Sobrecarga = q
45+
2
H1
Cuña de
falla
Nivel del Agua Freática
H
H2
sat

Z
(a)
qKa
H1
K aH1  K a q
H2
+
 a
=
a
u
K a q  H1   H 2 
(b)
 wH2
(c)
K a q  H1 
K a H 2   w H 2
(d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno
De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga
Caso Pasivo
 p  K p po
Pp  K p qH 
1
1
K pH12  K pH1 H 2  K p    w H 22
2
2
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
Caso Activo
 a  K a z  2c K a
K azo  2c K a  0
o
2c
zo 
 Ka
Para la condición no drenada, esto es, = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)
tenemos
zo 
2cu

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una
Profundidad zo
Sobrecarga = q
45 -
2
H1


Cuña de falla
Nivel del Agua Freática
H
H2
sat

Z
(a)
qKa
H1
K aH1  K a q
+
H2
 p
qK p
K p H1   H 2 
(b)
=
p
u
 wH2
(c)
K p q  H1 
K p H 2   w H 2
(d)
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno
De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga
45+
2
Cuña de
falla
Z
H
(a)
 2c K a
zo
=
-
H
H - zo
a
K aH
(b)
2c K a
(c)
K aH  2c K a
(d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con
relleno de un suelo cohesivo
La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de
presión total
Pa 
1
K aH 2  2 K a cH
2
Para la condición  = 0
1
Pa  H 2  2cu H
2
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como
no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de
grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(Ka) y , H es
la única considerada. En este caso

1
2c
Pa  K aH  2 K a c  H 
2
 Ka



1
c2
2
 K aH  2 K a cH  2
2





Para la condición  = 0,
C
1
Pa  H 2  2cu H  2 u
2

2
Caso Pasivo
Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de
Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
 p  K pz  2 K p c
En z = 0,
 p  2 K pc
Y en z = H,
 p  K pH  2 K p c
45 -
2
Cuña de
falla
H
p
Z
K pH
2c K p
(a)
(b)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con
Relleno de un suelo cohesivo
La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de
presión como
Pp 
1
KpH 2  2 K p cH
2
Para la condición  = 0, Kp = 1 y
1 2
Pp  H  2cu H
2
EJEMPLO
Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la
figura, y determine también la posición de la resultante
Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos
 a  K a o  K az
Ka 
1  sen 1  sen30 1


1  sen 1  sen30 3
5m
 = 15.7 KN/m3
 = 30°
c=0
5m
65.5 KN/m2
1.67 m
26.2kN/m2
(a)
(b)
5m
588.8 kN/m
1.67 m
235.5 kN/m2
(c)
El diagrama de la distribución de presión se muestra
Fuerza activa
Pa 
1
526.2
2
 65.5kN / m
La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del
muro.
Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
 p   p  K p o  K pz
Kp 
1  sen 1  0.5

3
1  sen 1  0.5
En z = 0, p = 0; en z = 5m, p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.
La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
Pp 
1
5235.5  588.8kN / m
2
La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.
EJEMPLO 2
Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución
si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
 h  h  Ko o  Ko z 
K o  1  sen
o
K o  1  sen30  0.5
Y en z = 0, h = 0; en 5m, h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2
El diagrama de distribución de presión total se muestra
Po 
1
539.3  98.3kN / m
2
EJEMPLO 3
Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada ( = 0)
del relleno, determine los siguientes valores:
a.
b.
c.
La profundidad máxima de la grieta de tensión
Pa antes de que ocurra la grieta de tensión
Pa después de que ocurra la grieta de tensión
5m
98.3 KN/m
1.67 m
39.3 kN/m2
34 kN/m2
2.17m
Arcilla blanda saturada
6m
 = 15.7 kN/m3
 =0
Cu = 17 kN/m2
3.83m
60.2 kN/m2
(a)
(b)
Para  = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos
Solución
 a  z  2cu
En z = 0,
 a  2cu  217   34kN / m 2
En z = 6m,
 a  15.7 6  217   60.2kN / m 2
La variación de a con la profundidad se muestra
a.
De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a
zo 
b.
2cu


217  2.17m
15.7
Antes de que ocurra la grieta de tensión
1
Pa  H 2  2cu H
2
o
Pa 
1
15.7 62  217 6  78.6kN / m
2
c.
Después de que ocurre la grieta de tensión,
Pa 
1
6  2.17 60.2  115.3kN / m
2
Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación
EJEMPLO 4
Se muestra un muro de retención sin fricción.
a.
b.
Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.
¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?
Solución
a.
Dado  = 26°, tenemos
Ka 
1  sen 1  sen 26

 0.39
1  sen 1  sen 26
De la ecuación
 a  a  K a o  2c K a
q = 10 kN/m2
-6.09kN/m2
z=1.04m
4m
 = 15kN/m3
 = 26°
4 – z = 2.96m
c = 8kN/m2
17.31kN/m2
(a)
(b)
153.6 kN/m2
51.2kN/m2
(c)
En z = 0
 a   a  0.3910  28 0.39  3.9  9.99  6.09kN / m2
En z = 4 m
 a   a  0.3910  415  28 0.39  27.3  9.99
 17.31kN / m 2
De este diagrama vemos que
6.09 17.31

z
4 z
o
z  1.04m
Después de que ocurre la grieta de tensión
Pa 
1
4  z 17.31   1 2.9617.31  25.62kN / m
2
2
Dado  = 26°, tenemos
Kp 
1  sen 1  sen 26 1.4384


 2.56
1  sen 1  sen 26 0.5616
De la ecuación
 p   p  K p o  2 K p c
En z = 0, o = 10 Kn/m2 y
 p   p  2.5610  2 2.568  25.6  25.6  51.2kN / m2
De nuevo, en z = 4m, o = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y
 p   p  2.5670  2 2.568  204.8kN / m2
La distribución de p (=p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es
Pp  51.24 
1
4153.6  204.8  307.2  512kN / m
2
EJEMPLO
Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria
De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución dado c = 0, sabemos que a = Kao. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de
presión activa de tierra de Rankine es
K a  K a 1 
1  sen30 1

1  sen30 3
6m
Muro sin fricción
1.2m
Arena
1 = 16.5kN/m3, 1 = 30°, c1= 0
Nivel agua freática
Arena
2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3
2 = 35°
C2 = 0
(a)
Para el estrato inferior,
K a  K a 2  
1  sen35 0.4264

 0.271
1  sen35 1.5736
En z = 0, o = o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior),
o = o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2
1
3
 a   a  K a 1 o   19.8  6.6kN / m 2
De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) o = o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y
 a   a Ka2  o  0.27119.8  5.37kN / m2
En z = 6 m,
 o 1.216.5  4.819.2  9.81  64.87kN / m 2
y
 a  Ka2  o  0.27164.87  17.58kN / m2
La variación de a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son
como sigue
En z = 0, u = 0
En z = 1.2m, u = 0
En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2
5.37
6.6
(kN/m2)
1.2
z (m)
1.2
0
u
+
6
z (m)
0
a (kN/m2)
6
17.58
(b)
47.1
(c)
a (kN/m2)
0
1
=
z (m)
1.2
6.6
2
Pa
3
1.8m
6
5.37
64.68
(d)
La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de  ( presión activa total) entonces
1
1
P a   6.61.2  4.85.37    4.864.68  5.37 
2
2
 3.96  25.78 142.34  172.08kN / m
La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así
entonces
1.2 

 4.8 
3.96 4.8 
  25.782.4  142.34

3 
3 


z
 1.8m
172.08
MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN
45 

45 
2
A
D

2
A
H
+
H
3
Pa
C
B
(a) Caso activo (+)
(b)
45 

2
D
A
45 

2
A
H
-
H
3
C
B
(c) Caso activo (-)
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
45 

2
A A
D
45 

2
A
Pp
H
C
+
H
3
B
(d) Caso pasivo (+)
(e)
45 

2
45 
A A
H
C
H
3
-
B
(f) Caso pasivo (-)

2
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo
C
A

-
90 - +
Pa
W
90 -  - 
90 + +  -  + 

D
H
90+-

Pa


W
F
-
F
B
(a)
(b)
Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzas
La ley de los senos, tenemos
Pa
W

sen90          sen   
o
Pa 
sen   
W
sen90         
La ecuación precedente se puede escribir en la forma


1
cos    cos   sen   
Pa  H 2  2

2
 cos sen   sen90         
Donde  = peso especifico del relleno. Los valores de , H, , , , y  son constantes, y es la unica
Variable. Para determinar el valor crítico de  para Pa, máxima, tenemos
dPa
0
d
Después de resolver la Ec., cuando la relación de  se sustituye en la Ec., obtenemos la presión
activa de tierra de Coulomb como
1
K aH 2
2
Pa 
Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
Ka 
cos 2    

sen   sen    
cos  cos   1 





cos



cos





2
2
Caso Pasivo
Pp 
1
K pH 2
2
Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
Kp 
cos 2    

sen   sen    
cos  cos   1 





cos



cos





2
2
C

A
90 - +
Presión pasiva de coulomb:
(a) Cuña de falla de prueba
W

H

Pp
90 + +

F

B
(a)
[180 - (90 -  + ) – ( + )]
Pp
90 -  + 
(b) Polígono de fuerzas
F
W
+
(b)
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN
Pa 
1
K aH 2
2
Donde
Ka 
1  sen


 tan 2  45  
1  sen
2

A
C1
A
Ws
Pa (coulomb)
H

(o)
H
W
Wc
c
Wc
Pa (Rankine)
H
3
H
3
B
B
(a)
KaH

A
Pa (coulomb)
H

(o)
Wc

H
3
C2
A
(b)
Ws
B
Pa (Rankine)
H
H

W
Wc
c
H
3

B
Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular
El valor de Pa(Rankine) se da por la relación
Pa 
Donde
1
K aH 2
2
H   BC 2
 cos 
y
cos   cos 2   cos 2 
cos   cos 2   cos 2 
Donde  = talud de superficie del terreno
Ka 
1  sen

 tan 2 (45 
1  sen
2