campo-electrico-distribuciones-continuas-carga

Campo eléctrico para distribuciones continuas de carga.
1. Ejercicio 1.
2. Ejercicio 2
3. Bibliografía
En cualquier región del espacio en donde una carga eléctrica llamada prueba qo
experimenta una fuerza eléctrica Fe , entonces se refiere que se ha generado un

campo eléctrico E en dicho espacio. La fuerza corresponde a la acción de otras
cargas eléctricas en los alrededores de dicha carga prueba.
Para definir operacionalmente el campo eléctrico, se considera un pequeño cuerpo
cargado de prueba que tenga una carga qo (positiva) situado en un punto en el
espacio,
en donde, se requiere examinar y medir la intensidad del campo eléctrico,

E en dicho se expresa formalmente en la forma:


Fe
E  lim
qo 0 q
o
(1)
La ecuación anterior nos conduce
 a considerar una carga prueba qo muy pequeña,
en donde el campo eléctrico E esta definido en el limite del valor de la carga
prueba.
Para el caso de dos cargas q1 y q2 la fuerza eléctrica que actúa entre las cargas
esta dada por la ley de Coulomb dada por la siguiente expresión:

Fe 
q1 q 2  
1
r1  r2 

4   o r1  r2 3
(2)
Donde:
o; es llamada constante de permisividad eléctrica y depende su valor del medio
donde se encuentren las cargas eléctricas.
 
r1 y r2 ; corresponden a los vectores de posición de q1 y q2 respectivamente.
Aplicando el principio de superposición en la expresión (1), resulta:
Caso discreto:

E
1
4  o
n
q
 r  r r  r 
i
i 1
3
i
i
(3)
Caso continuo:

E
1
4  o
dq  
 r  r r  r 
i
3
(4)
i
considerando el tema del presente trabajo a continuación utilizando la expresión
para el caso continuo expresado en la ecuación (4), conviene expresar las
siguientes condiciones para las diferentes distribuciones continuas de carga, de la
siguiente forma:
a) Para densidad lineal de carga,  :
  lim
l0
q dq

l
dl
(5)
b) Para densidad superficial de carga,  :
  lim
S 0
q dq

S dS
(6)
c) Para densidad volumétrica de carga,  :
  lim
V 0
q dq

V d V
(7)
Sustituyendo a), b) y c) en la expresión (4), resulta:
i) Caso de distribución lineal:

E
1
4  o
 dl  
 r  r r  r 
1

1 3
(8)
ii) Caso de distribución superficial:

E
1
4  o
 ds  
 r  r r  r 
1
S
iii) Caso de distribución volumétrica:
1 3
(9)

E
1
4  o
 dV  
 r  r r  r 
1
V
(10)
1 3
Ejercicio 1.
A continuación consideremos una barra de lucita que se frota con una franela de
modo que adquiera una carga +Q uniformemente distribuida a todo lo largo. Si la
longitud de la barra es 2d y su sección transversal es despreciable en
comparación con su longitud, entonces el campo eléctrico , debido a esta
distribución lineal para los casos:
a) Un punto A situado a una distancia x de la barra y sobre la línea que la corta
perpendicularmente, a la mitad.
b) Un punto B situado a una distancia x de la barra y sobre la línea que la corta
perpendicularmente, a una altura yo del centro.
Considerando la siguiente figura:
De acuerdo con la figura anterior, el elemento de carga dq ejercerá un campo
eléctrico dado por:

dE 
dq
rˆ
4  or 2
(11)

r 1
En donde: rˆ    iˆ x  ˆj y  se denomina el vector unitario.
r r
De modo que el campo eléctrico debido al elemento de carga, dq, tiene las
siguientes componentes:
dE x 
dq
cos 
4  or 2
dE y  
(12)
dq
sen 
4   or 2
(13)
dE z  0
(14)
Por simetría se establece que Ey = Ez = 0, sin embargo mas adelante obtendremos
los valores explícitamente.
El campo eléctrico en la dirección x.
De la ecuación (12) y considerando que para una distribución uniforme de carga
se tiene: dq =  dy, entonces:
dE x 
d y
cos 
4   or 2
(15)
Obsérvese que la ecuación anterior depende explícitamente de las variables y, r y
. Por lo tanto hay que encontrar una relación entre estas variables. Directamente
de la figura anterior se encuentra:
tan  
y
, por lo tanto, y = x tan 
x
es decir:
d y = x sec2  d
(16)
Por otra parte:
cos  
x
x
 x sec 
, por lo tanto, r 
r
cos 
Sustituyendo las relaciones (16) y (17) en (15) resulta:
(17)
dE x 

x sec 2  d

cos  
cos  d
2
2
4   o x sec 
4 o x
d 
d 
Integrando la expresión anterior entre:  o   arc sen  hasta   arc sen 
r
r
Es decir:
Ex 

4  o x
d
arc sen 
r

 cos  d  4  
d
 arc sen 
r
2d
o
x
x2  d 2
(18)
En forma análoga, el campo eléctrico en la dirección y esta dado por la relación
(13), es decir:
d y
dq
sen   
sen 
2
4  or
4  o r2
dE y  
Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, entonces resulta:
dE y  

sen  d
4  o x
Entonces:

Ey  
4  o x

 sen  d 

Dado que:

 sen  d   0

Por lo tanto de las dos relaciones anteriores, resulta:
Ey  0
Finalmente el campo eléctrico en el punto A es:

E  iˆ
 d
2  o x x2  d 2
(19)
Para el punto B la situación es diferente, sin embargo el campo eléctrico en la
dirección del eje Z sigue siendo nulo y el campo en el eje X esta dado por la
expresión:
a

Ex  
4  o x
 sen  d 
1
En donde 1 y 2 son los ángulos dados por:
dy
 1  arc sen
d  y 2  x 2
dy
 2  arc sen
d  y 2  x 2
De modo que:
Ex 

4  o x
dy
d  y 2  x 2

dy
(20)
d  y 2  x 2
Ahora la expresión correspondiente al Campo eléctrico en la dirección Y:

Ey  
4  o x


 sen  d    4  

 cos  
2
o
x
1
Resolviendo resulta:
Ey  



4  o 

1
d  y 2  x 2

1
d  y 2


 x 2 
(21)
El Campo eléctrico en cualquier punto fuera del eje de simetría tienen
componentes Ex y Ey diferentes de cero. Las líneas de Campo eléctrico que
pasan por el punto B tienen una pendiente en ese punto dado por:
Ey
Ex
Ejercicio 2
0
Calcule el Campo eléctrico en cualquier punto sobre el eje de simetría de una
espira circular de radio R con una distribución de carga eléctrica:
a) Uniforme.
b) Alternada tal que:

3

  Q si 0    2 ;     2 
Q
3

 Q si     ;
  2 
2
2

Para el caso a) Consideremos un elemento de carga dq en un elemento de
longitud ds, de acuerdo a la siguiente figura:
Considerando la condición de la ecuación (5), resulta:
d q   ds   d
(22)

De acuerdo a la figura, r esta dada por:


r  kˆ z o  R
(23)
En términos de , esta dado por:

R  iˆ R cos   ˆj R sen 
De modo que:

r  kˆ z o  iˆ R cos   ˆj R sen 
(24)
De manera que el Campo eléctrico debido al elemento de carga eléctrica dq esta
dado por:

dE
dq
rˆ
4  o r2
(25)

Con el vector unitario r , dado por:

r 1
rˆ    kˆ z o  iˆ R cos   ˆj R sen  
r r
(26)
Nótese que r es constante y considerando las relaciones (22), (23). (24), (25) y
(26), resultan:
dE x  
 R2d 
cos 
4  o r3
(27)
dE y  
 R2d 
sen 
4  o r3
(28)
dE z  
Rd
zo
4  o r3
(29)
Integrando las ecuaciones (27), (28) y (29) resulta:
 R2
Ex  
4  o r3
2
 R2
Ey  
4  o r3
2
 R zo
Ez  
4  o r3
2

0
 cos  d  0
(30)
0
 sen  d  0
(31)
0
d 
 R zo

2 o r3
 R zo

2  o zo  R
2

3
2 2
(32)
En el caso b). Analicemos ahora el caso en que se alternan las cargas eléctricas,
Aquí las ecuaciones, (30), (31) y (32) toman la siguiente forma (según como se
alternen las cargas):
 R2
Ex  
cos  d  0
4   o r 3 0
 2
   R  cos  d   cos  d 
Ex  


4   o r 3  0

2

2


 cos  d  3cos  d 

2

3
2
2
Resolviendo la expresión anterior, resulta:
Ex  
   R 2 1  1  1  1  0
3
4  o r
(33)
En forma análoga se obtiene:
Ey  0
Finalmente:
Ez  
(34)
 R zo
4  o r3
    
    0
2 2 2 2
(35)
Es decir, el Campo eléctrico sobre cualquier punto en el eje de simetría es cero,
en donde cualquier partícula cargada que se mueva en esta dirección “no actuara
fuerza eléctrica sobre dicha partícula”, de manera tal no se afectara su energía
cinética y por lo tanto su energía potencial no cambiara, es decir, la partícula
cargada se moverá sobre un equipotencial.
Bibliografía
-Alonso M y Finn E Física Vol II Campos y Ondas, Edit. Addison- Wesley
Iberoamericana (1970)
-Resnick R., Holliday D., Física vol. II, CECSA, (1993).