Reglas de derivacin 3[1]

UCAB. Facultad de Ingeniería.
Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata
Actividad: Reglas de derivación o diferenciación.
Objetivo: Derivar funciones aplicando las reglas de derivación
Contextualización: Las reglas de derivación son teoremas o leyes que permiten derivar funciones sin aplicar la definición. Todas se pueden demostrar
f (x + h) − f ( x)
aplicando la definición de derivada f ' ( x ) = lim
, si ese límite existe.
x →a
h
Estrategia de aprendizaje: Cuadro comparativo.
Es una estrategia de aprendizaje que permite identificar las semejanzas y diferencias de dos o más objetos o eventos.
Características:
1. Identificar los elementos que se desean comparar
2. Establecer los parámetros de comparación
3. Identificar y escribir las características de cada objeto o evento
4. Construir afirmaciones donde se mencionen las semejanzas y diferencias más relevantes de los eventos comparados.
Enunciado
Nombre
Derivada de
una
constante
Derivada de
una potencia
(exponente
un número
real)
(La regla de
derivación
expresada en
palabras)
La derivada de
una constante es
cero.
La derivada de
una potencia es
otra potencia que
tiene por
coeficiente el
exponente
original y el
exponente
disminuido en
una unidad
Ejemplo
Función
(Es una
generalización)
y=k
y= xn
Función derivada
y’ = 0
y’ = n xn-1
Función
Derivada
y=ln(2)
y’ =0
y= x3
y’=3x2
Planificación y
argumentación
Analizo la función, observo que
es un número real, no depende de
ninguna variable, por lo tanto su
derivada es cero.
Analizo la función, observo que
es una función potencial, es
decir, base variable exponente
constante. Identifico cada uno de
esos elementos, la base es x, el
exponente es 3. Para derivar,
mantengo la base de la potencia,
le resto uno al exponente y la
multiplico por el exponente
original.
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UCAB. Facultad de Ingeniería.
Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata
Derivada de La derivada de
una
una constante por
constante una función es la
misma constante
por una
por la derivada
función
y=k f(x)
y’=k f’(x)
y= 5x3
y=f(x)+g(x)
y’=f’(x)+g’(x)
y = 3+2x5
y=f(x).g(x)
y’=f’(x). g(x)+ f(x).g’(x)
y= x2cos(x)
de la función.
Derivada de
una suma de
funciones
Derivada de
un producto
de funciones
Derivada de
un cociente
de funciones
La derivada de
una suma (o
diferencia ) de
funciones es la
suma (o la
diferencia) de las
derivadas
La derivada de
una producto de
funciones es la
derivada de la
primera función
por la segunda
sin derivar, más
la derivada de la
segunda función
por la primera sin
derivar
La derivada de
un cociente de
funciones es un
fracción que
tiene por
numerador la
derivada del
númerador por el
denominador sin
derivar, menos la
derivada del
denominador por
el numerador sin
Estudio las características de la
función. En este caso observo
que 5 es una constante que
y’=5.3x2
multiplica a la función potencial,
entonces, derivo la función
y’=15x2
aplicando la regla anterior y la
multiplico por la misma
constante.
Estudio las características de la
función. En este caso observo
y’=0+10x4
que se suman dos funciones, la
constante 3 y la potencia 2x5,
derivo cada función aplicando las
y’= 10x4
reglas anteriores y sumo ambas
derivadas
Estudio las características de la
En este caso observo
y’= 2xcos(x)+x2(- función.
que se multiplican dos
sen(x))
funciones, la potencia x2 y la
función trigonométrica cos(x),
2
y’= 2xcos(x)-x sen(x) derivo cada función y multiplico
la derivada de la potencia por el
coseno sin derivar, y a ese
producto le sumo la derivada del
coseno por la potencia sin derivar
Estudio las características de la
función. En este caso observo
que se dividen dos funciones,
3
2
2 (el numerador varía, depende de
2 x x − 2 − 3 x .x
y'=
x y el denominador también).
2
x3 −2
Derivo cada una de las funciones,
4
la potencia x2 usando la regla
− x − 2x
y'=
derivada de una potencia, y
2
x3 −2
derivo la resta x3-2, usando las 3
primeras reglas. Como ambas
funciones se están dividiendo,
aplico la regla del cociente. Es
(
y=
f (x )
g(x)
y'=
f ' ( x ).g ( x ) − g ' ( x ).f ( x )
2
(g ( x ))
y=
x2
x3 −2
)
(
(
)
)
2
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decir la derivada de x2 por x3-2
sin derivar, menos la derivada de
x3-2 por x2 sin derivar, todo eso
dividido entre la resta x3-2 toda
al cuadrado
derivar, todo
dividido entre el
denominador
original al
cuadrado
Derivada de
logaritmo
neperiano
Derivada de
exponencial
Derivada de
función
compuesta
Es una fracción
que tiene
numerador 1 y
denominador el
argumento del
logaritmo
Es la misma
función
multiplicada por
el logaritmo
neperiano de la
base
y=ln(x)
x
y=a
y'=
x
1
x
y’=a .lna
y=3
x
y’=3x.ln(3)
y’= ln(3)3x
Estudio las características de la
función. En este caso observo
que un exponencial porque la
base es constante y el exponente
variable. Para derivarla mantengo
la misma potencia y la multiplico
por el neperiano de la base, que
es 3. Ese es un número constante.
SE ESTUDIARÁ CON DETALLE EN OTRO MATERIAL
3
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Función
trigonométrica
Derivada
y=cos (x)
y=sen(x)
y=tg(x)
y=ctg(x)
y=sec(x)
y=csc(x)
y’=-sen (x)
y’=cos(x)
y’=sec2(x)
y’=- csc2 (x)
y’=sec(x).tag(x)
y’=-csc(x).ctg(x)
Función
trigonométrica
compuesta con y=f(x)
Derivada
Planificación y
argumentación
Ejemplo
SE ESTUDIARÁ CON DETALLE EN OTRO MATERIAL
Una vez analizado el cuadro, responde:
• Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?
• ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?
• ¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué?
Actividad # 1:
Elabora un cuadro comparativo de las reglas de derivada, usando tus propias palabras para enunciar cada regla y en el que resaltes
aspectos que consideres relevantes.
Actividad# 2: Deriva las siguientes funciones aplicando la estrategia que planificaste en la actividad anterior.
1.
2.
3.
4.
y= x2-10x+100
y=(16x)
y=
3
10
x7
1
y=x + 2
x
2
5.
6.
y=
x+2
x−1
2
y=
9.
y=x
x +1
2
y= (x +x+1)(x +2)
2
7.
x −1
8.
y=
x + 4x + 3
x
10. y =
4
3
−x
2
3
x + cos( x )
x 2 + 2x
4
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11. y = tg( x ) cos( x )
2
12. y = x − 3x cos( x )
x
13. y = ln( x.e )
 x3 + 7 

2
 x 
15. y = ln
3
16. y = 2 x ln( x + 3)
2
x
ln x
14. y = e .5
17. y =
5
x
e +x
18. y =
1 x2
e + 5 ln 1 − 2 x 3
4
19. y = π
(
 x2 


 x +1 


.5
)
ln ( x )
( ( ))
20. y = ln 2 tg x 3
Actividad# 3:
Un estudiante de Cálculo I de Ingeniería Informática, llamado Diego Revilla, elaboró su propia estrategia para derivar. La cual
consistía en responder las unas interrogantes, en tres momentos cuando resolvía una derivada. Las mismas se presentan a
continuación:
Antes de empezar a derivar
1.
2.
3.
4.
5.
de que tipo es esta función? Compuesta o simple?
que estructura tiene? Cociente? Suma? Producto?
es logarítmica? Exponencial? Trigonométrica? Normalita?
tendré que usar la regla de la cadena? (lo estudiaremos con detalle en otro material)
he hecho anteriormente alguna derivada parecida a esta?
Durante la derivación… una vez respondidas las preguntas anteriores
1.- que reglas tengo que usar?
Después de derivar
1.- ¿están bien los signos?
2.-¿apliqué bien las reglas?
3.- ¿apliqué bien el algebra en el momento de simplificar la derivada?
4.- ¿derivé todo lo derivable? Deje alguna raíz?
5
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5.-¿ se me olvido algún miembro de la regla de la cadena?
Con base en el cuadro y la estrategia presentada, planifica tu propia estrategia para derivar funciones. ¿Qué cambiarías? ¿Qué
quitarías? Debes tener presente que hacerte preguntas y buscar sus respuestas antes de derivar, mientras derivas y después que
derivas te facilita la aplicación de las reglas de derivación, es clave la identificación de las características de la función que quieres
derivar.
Referencias
Galván, D. y Otros. (2006). Cálculo diferencial para administración y ciencias sociales. Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la
interacción. México: Pearson Educación.
Pimienta, J. (2005). Constructivismo. Estrategias para aprender a aprender. México: Pearson Educación.
Prado, C. y Otros. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería. México: Pearson Educación.
Stewart, J. (1999) . Cálculo diferencial e integral. México: Thomson
Thomas, G. y Finney, R. (1998). Cálculo una variable. México: Pearson. Addison Wesley Longman
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