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circulo trig

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
El círculo trigonométrico es un círculo unitario que tiene su centro en el origen
de coordenadas.
Y
r =1
X
0
Figura 1. Círculo trigonométrico.
Para la obtención de las Identidades Pitagóricas, puede apoyarse en el círculo
trigonométrico. También se puede determinar el signo de las funciones
trigonométricas como a continuación se ilustra.
Signos de las funciones trigonométricas sen θ
y cosθ .
Y
Y
r=1
θ
0
Abril de 2011
sen θ
sen θ
cos θ
X
r=1
θ
cos θ 0
X
sen θ
positivo
sen θ
positivo
cos θ
positivo
cos θ
negativo
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DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Y
Y
cos θ
sen θ
θ
cos θ
X
0
0
r=1
sen θ
cos θ
θ
r=1
sen θ
cos θ
negativo
negativo
Figura 2. Signo de las funciones trigonométricas
sen θ
X
negativo
positivo
sen θ y cos θ .
Ejemplo:
El sen 30° es positivo y el cos 30° es positivo.
El sen 135° es positivo y el cos 135° es negativo.
El sen 225° es negativo y el cos 225° es negativo.
El sen 315° es negativo y el cos 315° es positivo.
En la siguiente gráfica de la función senθ , se observa que en el intervalo
( 0°,180° )
o bien ( 0, π ) el senθ es positivo, mientras que de (180°,360° ) o bien
(π , 2π ) el
senθ es negativo.
f (θ )
θ
Figura 3. Función
Abril de 2011
sen θ .
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
En la siguiente gráfica de la función cos θ , se observa que en los intervalos
( 0°,90°)
y
( 270°,360°)
⎛ π⎞
⎛3
⎞
o bien ⎜ 0, ⎟ y ⎜ π , 2π ⎟ , el cos θ es positivo, mientras
⎝ 2⎠
⎝2
⎠
⎛π 3 ⎞
que en el intervalo ( 90°, 270° ) o bien ⎜ , π ⎟ el cos θ es negativo.
⎝2 2 ⎠
f (θ )
θ
Figura 4. Función
cos θ .
Identidades Pitagóricas
Utilizando el círculo trigonométrico, se pueden obtener las Identidades
Pitagóricas, como se muestra a continuación.
Y
1
1
θ
θ
sen θ
X
cos θ
sen θ
cos θ
Empleando el teorema
de Pitágoras se obtiene:
sen 2 θ + cos2 θ = 1
Figura 5. Representación gráfica del seno y del
coseno del ángulo
θ
en el círculo
trigonométrico.
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Y
sec θ
θ
Recta
tangente
tan θ
sec θ
1
tan θ
θ
X
1
Empleando el teorema
de Pitágoras se obtiene:
1 + tan 2 θ = sec 2 θ
Figura 6. Representación gráfica de la tangente
y de la secante del ángulo
θ
en el
círculo trigonométrico.
Y
cot θ
1
cot θ
θ
csc θ
1
X
θ
csc θ
Empleando
el
teorema
de Pitágoras se obtiene:
1 + cot 2 θ = c sc 2 θ
Figura 7. Representación gráfica de la cotangente
y de la cosecante del ángulo
θ
en el
círculo trigonométrico.
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