UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO El círculo trigonométrico es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de coordenadas. Y r =1 X 0 Figura 1. Círculo trigonométrico. Para la obtención de las Identidades Pitagóricas, puede apoyarse en el círculo trigonométrico. También se puede determinar el signo de las funciones trigonométricas como a continuación se ilustra. Signos de las funciones trigonométricas sen θ y cosθ . Y Y r=1 θ 0 Abril de 2011 sen θ sen θ cos θ X r=1 θ cos θ 0 X sen θ positivo sen θ positivo cos θ positivo cos θ negativo 1 de 4 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS Y Y cos θ sen θ θ cos θ X 0 0 r=1 sen θ cos θ θ r=1 sen θ cos θ negativo negativo Figura 2. Signo de las funciones trigonométricas sen θ X negativo positivo sen θ y cos θ . Ejemplo: El sen 30° es positivo y el cos 30° es positivo. El sen 135° es positivo y el cos 135° es negativo. El sen 225° es negativo y el cos 225° es negativo. El sen 315° es negativo y el cos 315° es positivo. En la siguiente gráfica de la función senθ , se observa que en el intervalo ( 0°,180° ) o bien ( 0, π ) el senθ es positivo, mientras que de (180°,360° ) o bien (π , 2π ) el senθ es negativo. f (θ ) θ Figura 3. Función Abril de 2011 sen θ . 2 de 4 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS En la siguiente gráfica de la función cos θ , se observa que en los intervalos ( 0°,90°) y ( 270°,360°) ⎛ π⎞ ⎛3 ⎞ o bien ⎜ 0, ⎟ y ⎜ π , 2π ⎟ , el cos θ es positivo, mientras ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π 3 ⎞ que en el intervalo ( 90°, 270° ) o bien ⎜ , π ⎟ el cos θ es negativo. ⎝2 2 ⎠ f (θ ) θ Figura 4. Función cos θ . Identidades Pitagóricas Utilizando el círculo trigonométrico, se pueden obtener las Identidades Pitagóricas, como se muestra a continuación. Y 1 1 θ θ sen θ X cos θ sen θ cos θ Empleando el teorema de Pitágoras se obtiene: sen 2 θ + cos2 θ = 1 Figura 5. Representación gráfica del seno y del coseno del ángulo θ en el círculo trigonométrico. Abril de 2011 3 de 4 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS Y sec θ θ Recta tangente tan θ sec θ 1 tan θ θ X 1 Empleando el teorema de Pitágoras se obtiene: 1 + tan 2 θ = sec 2 θ Figura 6. Representación gráfica de la tangente y de la secante del ángulo θ en el círculo trigonométrico. Y cot θ 1 cot θ θ csc θ 1 X θ csc θ Empleando el teorema de Pitágoras se obtiene: 1 + cot 2 θ = c sc 2 θ Figura 7. Representación gráfica de la cotangente y de la cosecante del ángulo θ en el círculo trigonométrico. Abril de 2011 4 de 4
