Elementos de Astronomía de posición (2009)

Elementos de
astronomı́a de posición
Reedición a la primera edición
José Gregorio Portilla Barbosa
José Gregorio Portilla B.
Elementos de astronomı́a
de posición
Reedición a la primera edición
José Gregorio Portilla B.
Observatorio Astronómico Nacional
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Bogotá
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Portilla Barbosa, José Gregorio, 1966Elementos de astronomı́a de posición / José Gregorio Portilla B. ed.
rev. Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias.
Observatorio Astronómico Nacional, 2009
xiv, 448 p.
ISBN : 978-958-719-264-3
1. Astronomı́a 2. Mecánica celeste 3. Calendario 4. Satélites artificiales
I. Tt.
CDD-21 520 / 2009
c
2009,
José Gregorio Portilla Barbosa
Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/paginas/docentes/grek.html
Correo-e: [email protected]
No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorporación
a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier
medio, sea este electrónico, mecánico, por fotocopia, por grabación u otros
métodos, sin el permiso previo y por escrito del autor.
Diseño y diagramación en LATEX: José Gregorio Portilla B.
Carátula: fotografı́a de la superficie lunar en el sector del Mar de las Crisis
tomada desde el Observatorio Astronómico Nacional por el profesor Guillermo
León Franco Alzate.
Universidad Nacional de Colombia, Bogotá
A mis padres:
Marı́a Teresa y
José Gregorio
Prefacio
Este libro constituye en su mayorı́a las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas de parte de los cursos de Astronomı́a General I, Mecánica Celeste e
Introducción a la Coheterı́a y Astronáutica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en numerosas ocasiones en la sede académica del Observatorio
Astronómico Nacional. Pretende ser una exposición sencilla, clara y no demasiado técnica de diversos temas de la astronomı́a esférica y la mecánica celeste,
pero procurando conservar cierto nivel de profundización necesario para abordar una ciencia que, como la astronomı́a, depende enteramente de la medida y
del cálculo.
El posicionamiento de la astronomı́a en Colombia como rama de las ciencias puras que demanda un desarrollo autóctono semejante al de otros campos
del conocimiento se ha venido expresando a través de varias manifestaciones: la
aparición de profesionales en el ramo formados tanto en el exterior como en el
interior, la conformación de la RAC (Red Astronómica Colombiana), el surgimiento y consolidación de grupos y asociaciones de aficionados en varios sitios
del paı́s, la puesta a punto de la maestrı́a en Astronomı́a en la Universidad
Nacional de Colombia, sede Bogotá, la apertura de la carrera de Astronomı́a
en la Universidad de Antioquia y la creación de la Comisión Colombiana del
Espacio. Es de esperarse entonces un avance significativo de la astronomı́a colombiana en los años venideros. El autor espera que este libro sea un grano
de arena que ayude a consolidar una ciencia que tradicionalmente ha estado
relegada, malentendida y desdeñada en nuestro medio.
Agradezco el apoyo de los profesores del Observatorio Astronómico Nacional, en particular a Benjamı́n Calvo. Con sus valiosos comentarios, aportes y
sugerencias han permitido en esta reedición revisada un escrito más consolidado
y depurado. Igualmente agradezco las sugerencias de profesores y estudiantes no
solo de la Universidad Nacional sino de otras universidades que han adoptado
el libro como texto guı́a en sus cursos de astronomı́a esférica.
Mi agradecimiento también se extiende al ingeniero William Martı́nez, del
Instituto Geográfico Agustı́n Codazzi, y a los fı́sicos Germán Montoya y Daniel
Izquierdo quienes, ya hace varios años, en su época de estudiantes, estuvieron
atentos a resolver las dudas que tuvo el autor con el manejo del sistema operativo Linux, el programa LATEX y varios programas graficadores; a los muchos
estudiantes de pregrado de la Universidad Nacional y en particular los de la
especialización y maestrı́a en Astronomı́a sin quienes mucho del contenido de
este libro estarı́a no solo oscuro sino también abundante en errores. A todos,
mi agradecimiento más profundo.
José Gregorio Portilla B.
Profesor, Observatorio Astronómico Nacional
Bogotá, MMIX
Índice general
1. LA ASTRONOMÍA
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Objeto de estudio . . . . .
1.2. La astronomı́a esférica y dinámica
1.3. La astronomı́a y la astrologı́a . . .
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2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
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2.1. Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. EL PLANETA TIERRA
3.1. Forma de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Coordenadas en la superficie de la Tierra . . .
3.2.1. Coordenadas geocéntricas . . . . . . . .
3.2.2. Coordenadas geodésicas . . . . . . . . .
3.2.3. Coordenadas geográficas (astronómicas)
3.3. Unidades de longitud . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Transformación entre latitudes . . . . . . . . .
3.5. Desarrollos recientes . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Transformación entre sistemas . . . . .
4. LA
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
BÓVEDA CELESTE
Conceptos fundamentales . . . . . . .
Observación del cielo según la latitud .
La eclı́ptica . . . . . . . . . . . . . . .
Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
Constelaciones . . . . . . . . . . . . .
Nombres de estrellas y designaciones .
Catálogos de estrellas . . . . . . . . .
Sistema y Marco Celeste Internacional
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x
ÍNDICE GENERAL
5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
5.1. Movimiento diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. La Luna y el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Los planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Perı́odo sinódico . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. COORDENADAS CELESTES
6.1. Coordenadas horizontales . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Coordenadas ecuatoriales horarias . . . . . . . . .
6.3. Coordenadas ecuatoriales . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Coordenadas eclı́pticas . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Coordenadas galácticas . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Transformación entre los sistemas de coordenadas .
6.6.1. Horizontales-ecuatoriales horarias . . . . . .
6.6.2. Ecuatoriales horarias-ecuatoriales absolutas
6.6.3. Ecuatoriales absolutas-eclı́pticas . . . . . .
6.6.4. Ecuatoriales absolutas-galácticas . . . . . .
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7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
7.1. El dı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. El dı́a sideral . . . . . . . . . . .
7.1.2. El dı́a solar verdadero . . . . . .
7.1.3. El dı́a solar medio . . . . . . . .
7.2. Conversión entre tiempos . . . . . . . .
7.3. El tiempo sideral local . . . . . . . . . .
7.4. El tiempo solar verdadero . . . . . . . .
7.5. El tiempo solar medio . . . . . . . . . .
7.6. El tiempo universal . . . . . . . . . . . .
7.7. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . .
7.8. La ecuación del tiempo . . . . . . . . . .
7.9. El cálculo del tiempo sideral local . . . .
7.9.1. El cálculo de la fecha juliana . .
7.9.2. El cálculo del TSG0 . . . . . . .
7.10. Sistemas de tiempo . . . . . . . . . . . .
7.10.1. Variaciones en la tasa de rotación
7.10.2. El tiempo de las efemérides (TE)
7.10.3. El tiempo dinámico . . . . . . .
7.11. El tiempo atómico . . . . . . . . . . . .
7.12. Tiempos universales . . . . . . . . . . .
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terrestre
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ÍNDICE GENERAL
xi
8. CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
8.1. Culminación de cuerpos celestes . . . . . . . . . . . .
8.2. Salida y puesta de un astro . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Una primera aproximación . . . . . . . . . .
8.2.2. Refinando el cálculo . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3. El cálculo especial del Sol y la Luna . . . . .
8.3. Paso por el meridiano del observador . . . . . . . . .
8.4. Paso por el cenit del observador . . . . . . . . . . . .
8.5. Navegación astronómica . . . . . . . . . . . . . . . .
9. CALENDARIO
9.1. El calendario romano primitivo . . . . .
9.2. El calendario juliano . . . . . . . . . . .
9.3. Calendario y cristianismo . . . . . . . .
9.4. El calendario gregoriano . . . . . . . . .
9.5. Cronologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. La determinación de la fecha de Pascua
9.6.1. Letra dominical . . . . . . . . . .
9.6.2. Número áureo . . . . . . . . . . .
9.6.3. La epacta . . . . . . . . . . . . .
9.6.4. Otros ciclos . . . . . . . . . . . .
9.6.5. Cálculo de la fecha de Pascua . .
9.7. Calendario colombiano . . . . . . . . . .
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10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
10.1. Precesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Nutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Aberración . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1. Aberración estelar . . . . . . . . . . .
10.3.2. Aberración planetaria . . . . . . . . .
10.4. Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . .
10.5. Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1. Paralaje diurno . . . . . . . . . . . . .
10.5.2. Paralaje anual . . . . . . . . . . . . .
10.6. Refracción astronómica . . . . . . . . . . . .
10.7. Deflección gravitacional de la luz . . . . . . .
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xii
ÍNDICE GENERAL
11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
11.1. Estado de las cosas en la antigüedad . . . . . . . . . .
11.2. Kepler y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Áreas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3. Perı́odos y distancias . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. El formalismo newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1. Ley de atracción newtoniana . . . . . . . . . .
11.3.2. La función potencial . . . . . . . . . . . . . . .
12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
12.1. Movimiento con respecto al centro de masas .
12.2. El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . .
12.2.1. Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Elección de un sistema de coordenadas . . . .
12.4. El momento angular . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1. Áreas y tiempos . . . . . . . . . . . .
12.5. Momento angular cero: la órbita rectilı́nea . .
12.6. Momento angular diferente de cero . . . . . .
12.6.1. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7. La energı́a total . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8. Cálculos de masa . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9. Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10. El cálculo de la anomalı́a verdadera . . . . .
12.10.1. Órbita elı́ptica . . . . . . . . . . . . .
12.10.2. Órbita hiperbólica . . . . . . . . . . .
12.10.3. Órbita parabólica . . . . . . . . . . .
13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1. Elementos orbitales . . . . .
13.1.2. Posición en el espacio . . . .
13.2. Velocidad en el espacio . . . . . . . .
13.3. La posición con respecto a la Tierra
13.4. Las coordenadas topocéntricas . . .
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14. PERTURBACIONES
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14.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
14.2. El problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 333
14.2.1. El problema restringido de tres cuerpos . . . . . . 340
ÍNDICE GENERAL
xiii
14.3. El problema de los n cuerpos . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Perturbaciones al problema de los dos cuerpos . . . . .
14.4.1. Presencia de uno o más cuerpos . . . . . . . . .
14.4.2. No esfericidad del cuerpo central . . . . . . . .
14.4.3. Perturbación por rozamiento atmosférico . . .
14.4.4. Perturbación por presión de radiación . . . . .
14.4.5. Perturbación por eyección de masa . . . . . . .
14.4.6. Perturbación por curvatura del espacio-tiempo
14.4.7. El efecto Poynting-Robertson . . . . . . . . . .
14.4.8. El efecto Yarkovsky . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.9. Resistencia por partı́culas cargadas . . . . . . .
14.5. Resolviendo las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.1. La integración numérica . . . . . . . . . . . . .
14.5.2. Teorı́a de perturbaciones . . . . . . . . . . . . .
15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
15.1. Una teorı́a sencilla del satélite artificial . . . . .
15.2. El satélite Tierra-sincrónico . . . . . . . . . . .
15.3. El satélite Sol-sincrónico . . . . . . . . . . . . .
15.4. El satélite geoestacionario . . . . . . . . . . . .
15.5. El satélite Molniya . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6. Órbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . .
15.6.1. Transferencia tipo Hohmann . . . . . .
15.6.2. Cambio de inclinación . . . . . . . . . .
15.7. Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.8. La ecuación de Tsiolkovsky . . . . . . . . . . .
15.9. Las condiciones de inyección y la órbita inicial .
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373
. 377
. 386
. 388
. 389
. 394
. 396
. 396
. 399
. 401
. 402
. 414
A. Constantes astronómicas
423
A.1. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
A.2. Constantes Astronómicas de la UAI (1976) . . . . . . . . 424
B. Cuerpos del sistema solar
B.1. Datos fı́sicos de los planetas (I) . . . . . . . .
B.2. Datos fı́sicos de los planetas (II) . . . . . . .
B.3. Elementos orbitales osculatrices heliocéntricos
B.4. Datos del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5. Datos de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6. Planetas enanos (I) . . . . . . . . . . . . . . .
B.7. Planetas enanos (II) . . . . . . . . . . . . . .
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425
. 425
. 426
. 426
. 427
. 427
. 428
. 428
xiv
ÍNDICE GENERAL
B.8. Algunos asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
C. Posiciones geográficas
429
D. Refracción astronómica a nivel del mar
433
E. Estrellas
435
E.1. Las estrellas más cercanas al Sol . . . . . . . . . . . . . . 435
E.2. Las estrellas más brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
F. Fecha juliana
437
G. Calendario
439
G.1. Descansos remunerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
G.2. Fechas de Pascua para algunos años . . . . . . . . . . . . 440
G.3. Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Capı́tulo 1
LA ASTRONOMÍA
1.1.
Introducción
La astronomı́a es la rama del saber cientı́fico que estudia el universo
en su conjunto. El universo comprende cuerpos tan familiares como la
Luna, el Sol, los planetas y las estrellas, hasta objetos exóticos como los
agujeros negros, quasares, pulsares y enanas marrones.
Entendemos aquı́ por universo todo el conjunto de cuerpos celestes
que han existido, existen y existirán. Por lo que sabemos hoy en dı́a, el
universo es extraordinariamente antiguo e inconmensurablemente enorme.
La astronomı́a busca explicar el universo (su composición, estructura,
origen, evolución, etc.) pero con un enfoque cientı́fico, lo que significa
que sus procedimientos y metodologı́as descansan en nuestros conocimientos de las leyes fı́sicas y quı́micas hasta ahora descubiertas y, por lo
tanto, de las bases matemáticas que las sustentan. Los resultados que se
derivan de las teorı́as propuestas son continuamente comparados con la
observación; las teorı́as que no explican satisfactoriamente los fenómenos observados son revaluadas e incluso desaparecen si una nueva teorı́a
surge con mayor poder explicatorio y predictivo. Nuestro conocimiento
del universo es aún muy limitado. Es cierto que hemos avanzado mucho
en su conocimiento, pero permanecen muchos interrogantes todavı́a por
esclarecer.
1
2
1.1.1.
CAPÍTULO 1. LA ASTRONOMÍA
Objeto de estudio
Son objetos de estudio de la astronomı́a los cuerpos que observamos
en el cielo —por lo que los llamamos “celestes”—. En la antigüedad los
astrónomos y filósofos contemplaron y estudiaron los objetos que son
visibles a simple vista: el Sol, la Luna, planetas, estrellas, cometas y estrellas fugaces. Con la aparición de instrumentos y herramientas como
telescopios y cámaras fotográficas se logró obtener, por un lado, una visión más completa y extraordinaria de todos los cuerpos conocidos hasta
entonces y, por otro, se descubrieron objetos y estructuras que habı́an
pasado desapercibidas hasta entonces sencillamente por la limitación de
nuestros sentidos.
La astronomı́a busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprender lo que lo rodea desde el punto de vista cósmico.
Hombres curiosos, animados por motivos teológicos, filosóficos, o de otra
clase, han dedicado sus vidas a la observación, medida y comprensión
de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus descubrimientos,
fruto de sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso
de muchos años, para que los que vienen detrás de ellos, más instruidos
y con una experiencia ya heredada, intenten completar el panorama y
continúen con ese anhelo de exploración y entendimiento.
El astrónomo estudia el cielo de una manera sistemática y formal.
Sus preguntas son del siguiente tenor: ¿Cuándo será el próximo eclipse
de Sol? ¿A qué horas exactamente saldrá el Sol en un dı́a y lugar determinados? ¿Por qué los planetas describen trayectorias aparentes tan
complicadas? ¿Qué tan antiguo es el Sol? ¿Qué composición quı́mica tiene la Luna? ¿A qué distancia están las estrellas? ¿Por qué brillan estas?
¿Qué tan antiguo es el universo?
Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicación a hombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos.
Algunas de ellas todavı́a no tienen una explicación que podamos llamar
satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astrónomos continúan
desarrollando técnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizando nuevos métodos analı́ticos y computacionales con el fin de
seguir desentrañando los profundos misterios e interrogantes que aún
encierra el universo.
1.2. LA ASTRONOMÍA ESFÉRICA Y DINÁMICA
3
La astronomı́a es actualmente una ciencia supremamente extensa que
cubre tan vastos campos de interés que se ha hecho necesario dividirla
en ramas o especializaciones. Para la persona de la calle el astrónomo
es el sujeto que se dedica meramente a la observación del cielo. Pero, en
realidad, es mucho más que eso. El astrónomo, para los cánones actuales,
es un profesional altamente preparado con sólidos conocimientos no solo
en temas eminentemente astronómicos, sino también en matemáticas,
fı́sica, quı́mica, biologı́a, geologı́a, computación, etc. Dependiendo de su
área de interés tendrá mayor preparación en algunas de esas ciencias más
que en otras. Los que se dedican por ejemplo al estudio de las propiedades
de los agujeros negros son profesionales con una formación muy sólida en
matemáticas y fı́sica, pues sus herramientas de trabajo son la geometrı́a
diferencial, la teorı́a de la relatividad general y la mecánica cuántica.
Los dedicados a la búsqueda del origen y formación de la Luna necesitan
conocimientos muy profundos de geologı́a, quı́mica y mecánica celeste.
Y ası́ ocurre con todas las demás ramas en las que se ha subdividido la
astronomı́a.
1.2.
La astronomı́a esférica y dinámica
Este libro trata especı́ficamente de dos ramas de la astronomı́a que
están ı́ntimamente relacionadas entre sı́. La astronomı́a esférica estudia cómo es posible relacionar las direcciones cambiantes de los cuerpos
celestes con sus posiciones sobre la superficie de la denominada esfera
celeste. La astronomı́a dinámica estudia todas las explicaciones de orden
fisicomatemático que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajo la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales,
aunque no se descarta otro tipo de fuerzas. La astronomı́a esférica requiere el dominio básico de la trigonometrı́a esférica; la astronomı́a dinámica
requiere el manejo de la mecánica newtoniana y, en casos especiales y
rigurosos, de la teorı́a de la relatividad general. En un contexto más
amplio, la astronomı́a esférica y la astronomı́a dinámica forman juntas
lo que se conoce como astronomı́a de posición1 .
1
No hay un consenso general sobre esta definición. En algunas referencias la astronomı́a de posición se entiende como un sinónimo de astrometrı́a, esto es, la rama
de la astronomı́a que se ocupa de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con los conceptos y métodos
observacionales involucrados en la realización de las medidas.
4
1.3.
CAPÍTULO 1. LA ASTRONOMÍA
La astronomı́a y la astrologı́a
Es muy raro el texto de astronomı́a que se atreva a dedicar siquiera
unas lı́neas dirigidas a dejar en claro la diferencia que existe entre la
astronomı́a y la astrologı́a. Sin embargo, el auge que cobran las prácticas adivinatorias y ocultistas entre la población, aun entre personas que
se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad con la
sociedad, hacer las siguientes apreciaciones.
Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronomı́a y la astrologı́a son una misma cosa. La realidad es que son
dos actividades completa y radicalmente diferentes. La astrologı́a parte
del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) y la posición aparente de estos en relación con las estrellas, tienen una influencia
marcada y directa en el destino y el carácter de las personas, grupos
humanos e incluso naciones enteras.
Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la
tecnologı́a, la astrologı́a es vista, por los medios intelectuales y cientı́ficos, como una simple práctica adivinatoria, a la misma altura de la
quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes y adeptos de la
astrologı́a insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella),
sus gustos e instintos dependen y están determinados por la ubicación
relativa de los cuerpos celestes en instantes cruciales de su existencia,
particularmente en el momento de su nacimiento. La astrologı́a, a diferencia de la astronomı́a, no busca explicar el universo. En su trabajo
diario y para el desempeño de su labor, al astrólogo lo tiene sin cuidado la constitución de las estrellas; no pretende conocer el origen y la
evolución del universo, le es indiferente el estudio formal y excitante de
la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matemáticas, fı́sica y
quı́mica son por lo tanto limitados, pues no es su intención desentrañar
los misterios del cosmos, por lo que no requiere todas esas herramientas
que son imprescindibles para el astrónomo. Eso sı́, le interesa conocer
las efemérides (las posiciones de los planetas con respecto a las estrellas)
para alguna fecha dada, no con la exactitud y precisión que requieren
los astrónomos, despreocupándose por el hecho de que estos utilizan en
sus cálculos la teorı́a de la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las teorı́as planetarias no son su
problema), pues su intención es adivinar —no calcular— lo que puede
ocurrir con el destino de las personas.
1.3. LA ASTRONOMÍA Y LA ASTROLOGÍA
5
La diferencia entre astronomı́a y astrologı́a es equivalente, en sus justas proporciones, a la existente entre la hepatologı́a y la haruspimancia.
La primera es el estudio cientı́fico del hı́gado, esto es, el estudio de este
órgano desde el punto de vista morfológico, fisiológico, etc.; la segunda
es la práctica adivinatoria que consiste en leer el futuro interpretando
la forma y los ligeros cambios de posición del hı́gado de animales que se
sacrifican con tal fin.
El astrólogo realiza predicciones sobre el destino de las personas, basado no en las leyes de la naturaleza sino en recetas y formulaciones
carentes por completo de fundamento. El origen de estas reglas puede trazarse hasta unos 2500 a. C. en la época de los antiguos caldeos,
cuando la ciencia y la magia eran una misma cosa. Es justo decir, sin embargo, que hasta tiempos relativamente recientes los astrónomos fueron
también practicantes de la astrologı́a, en particular cuando necesitaban
la protección de prı́ncipes y reyes a los cuales solo les interesaba saber
lo que los astros les deparaban en el futuro. Es el caso de Johannes Kepler, famoso astrónomo alemán, posiblemente el último de los grandes
astrónomos que cultivó también la astrologı́a. Sin embargo, ya para finales del siglo XVII, ambas actividades se separaron radicalmente hasta
hacerse casi irreconocibles.
Es muy normal encontrar hoy en dı́a en prácticamente todos los
periódicos y publicaciones seriadas dirigidas al gran público, secciones
enteras sobre horóscopos y avisos publicitarios de astrólogos “profesionales”. Que la población vea a la astrologı́a como un pasatiempo o divertimento jocoso, vaya y pase. Desdichadamente, son muchas las personas
que creen firmemente lo que les indica su horóscopo y que gastan enormes sumas de dinero en la consulta periódica de supuestos especialistas
en astrologı́a. Esto lo que revela no es la eficiencia del astrólogo en sus
predicciones, ni la aprobación de una práctica adivinatoria como una
ciencia “cierta” o “verdadera”, sino más bien la falta de cultura cientı́fica, la inseguridad y la crisis de identidad de muchos miembros de nuestra
sociedad.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronomı́a general, Mir, Moscú.
6
CAPÍTULO 1. LA ASTRONOMÍA
Texto de astronomı́a que ofrece, sin demasiada profundidad técnica, un
amplio espectro de la temática astronómica.
Brieva-Bustillo, E. (1985) Introducción a la astronomı́a: el sistema solar,
Empresa Editorial Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.
Un texto breve y descriptivo de la mayorı́a de temas de la astronomı́a
moderna, con énfasis en el sistema solar.
Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrologı́a: ¿mito
o realidad?, Tikal Ediciones, Gerona.
Excelente libro que expone con detalle las fallas conceptuales de la astrologı́a. Muy revelador para todos aquellos que no comprenden la diferencia
entre la astronomı́a y la astrologı́a.
Sagan, C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogotá.
Inmejorable libro de divulgación astronómica, ampliamente ilustrado, con
diversad de temas sobre la historia y proyección del pensamiento cientı́fico.
Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, México.
Una descripción autorizada sobre diversos temas astronómicos con algunos matices sobre la aplicación del método cientı́fico.
Sagan, C. (1997) El mundo y sus demonios, Planeta, Bogotá.
Un libro que llama la atención sobre la necesidad de cultivar una visión escéptica del universo y de los peligros que entraña la difusión de
prácticas ocultistas y seudociencias en nuestro mundo civilizado.
Senior, J.E. (1996) Epistemologı́a y divulgación de la astronomı́a, en Memorias del segundo encuentro nacional de astronomı́a, Universidad Tecnológica de Pereira.
Excelente ensayo epistemológico que plantea estrategias para la difusión
de la astronomı́a y en general del pensamiento racional en nuestro paı́s.
Unsöld, A., Baschek, B. (2002) The New Cosmos, Springer-Verlag, Berlı́n.
Con una descripción semejante al “Fundamental Astronomy” de Karttunen, constituye una buena exposición de la astronomı́a general a nivel
universitario.
http://www.badastronomy.com/bad/misc/astrology.html
En esta página electrónica se encuentran multitud de consideraciones en
contra de la astrologı́a con gran cantidad de enlaces y bibliografı́a.
Capı́tulo 2
TRIGONOMETRÍA
ESFÉRICA
Puesto que muchos problemas astronómicos de interés se reducen al
estudio de los triángulos esféricos, nos vemos en la necesidad de abordar
algunos conceptos mı́nimos en esta materia que nos serán de gran ayuda
más adelante.
ARISTA
Figura 2.1: Ángulo diedro
La trigonometrı́a esférica es la rama de las matemáticas que trata
de las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de triángulos
esféricos.
Definimos ángulo diedro (ver figura 2.1) como aquel formado por dos
planos que se cortan. Los planos reciben el nombre de caras del ángulo
7
8
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
diedro, en tanto que la recta de intersección recibe el nombre de arista
del ángulo diedro.
Definimos ángulo triedro (ver figura 2.2) como aquel formado por la
intersección en un solo punto de tres planos. El punto de intersección
es denominado vértice del ángulo triedro. Los planos reciben el nombre
de caras del ángulo triedro. Las caras, tomadas de dos en dos, forman
tres ángulos diedros cuyas aristas OX, OY, OZ son las aristas del ángulo
triedro.
Z
O
Y
X
Figura 2.2: Ángulo triedro
Ahora bien, cualquier intersección de un plano con una esfera es
una circunferencia. Llamamos circunferencia máxima (ver figura 2.3) a
aquella que resulta de la intersección de la superficie de una esfera y
un plano que pasa por el centro de dicha esfera. En el caso en que el
plano no pase por el centro de la esfera, dará origen a una circunferencia
menor. Definimos los polos (P y P’) de una circunferencia (máxima o
menor) como aquellos puntos sobre la superficie de la esfera que resultan
de la intersección de esta con una lı́nea perpendicular al plano que da
origen a las circunferencias.
Miremos ahora la figura 2.4 en la que tenemos la circunferencia máxima que pasa por los puntos CAB y tiene por polos P y P’. Perpendicularmente a ella tenemos dos arcos pertenecientes a circunferencias máximas que pasan por A y B respectivamente. Se llama ángulo esférico al
formado por dos arcos de circunferencias máximas. En nuestro caso, el
ángulo esférico es el APB. Los arcos conforman los denominados lados
del ángulo esférico, y el punto donde se interceptan los arcos es llamado
el vértice, esto es, P (o P’).
9
P
CIRCUNFERENCIA MENOR
O
CIRCUNFERENCIA MAXIMA
P’
Figura 2.3: Circunferencia máxima y circunferencia menor
Importante en trigonometrı́a esférica es definir la medida de un ángulo esférico. Esta viene dada por el ángulo diedro formado por los planos
de las circunferencias máximas cuyos arcos hacen parte de los lados del
ángulo esférico. Debe ser claro para el lector que el ángulo diedro APOB
corresponde a la medida del ángulo plano AOB que a su turno tiene por
medida la del arco AB.
Un triángulo esférico (ver figura 2.5) es la región sobre la superficie de una esfera que está limitada por los arcos de tres circunferencias
máximas. Los arcos corresponden a los lados del triángulo esférico; los
vértices de los tres ángulos esféricos son los vértices del triángulo esférico.
Siguiendo la notación usual en trigonometrı́a plana, los ángulos se denotan con letras mayúsculas (A, B, C) y los respectivos ángulos opuestos
con letras minúsculas (a, b, c). Nótese que al unir los vértices A, B y C
con el centro de la esfera se forma un ángulo triedro. Los lados a, b y c
del triángulo esférico se miden por los ángulos de las caras BOC, COA
y AOB, respectivamente, del ángulo triedro.
Ahora bien, es fácil verificar que tres circunferencias máximas que
se cortan determinan 8 triángulos esféricos. Por convención, consideraremos aquı́ únicamente aquellos triángulos esféricos en los que cualquier
lado y cualquier ángulo es menor que 180o . Para estos triángulos:
La suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.
10
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
P
C
O
A
B
P’
Figura 2.4: Ángulo esférico
La suma de los tres lados es menor que 360o .
Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales. Recı́procamente también es válido.
La suma de los tres ángulos es mayor que 180o y menor que 540o .
2.1.
Relaciones fundamentales
Procedemos ahora a derivar las ecuaciones fundamentales de la trigonometrı́a esférica. Considérese un sistema de coordenadas rectangular
(x, y, z) centrado en el origen de una esfera de centro O (ver figura 2.6).
Sea el plano xy el que forma un plano de referencia el cual tendrá por
polos a las intersecciones del eje z con la superficie de la esfera.
Suponiendo que la esfera tiene un radio unidad (esto es, la distancia
OK = 1) e introduciendo dos ángulos, ξ, η, de la forma como se muestra
en la figura 2.6, un punto K sobre la superficie de la esfera tiene por
11
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
C
O
a
b
A
c
B
Figura 2.5: Triángulo esférico
coordenadas rectangulares:
x = cos ξ cos η,
y = sen ξ cos η,
(2.1)
z = sen η.
Con el fin de crear un triángulo esférico en nuestra esfera, procedemos
a realizar una rotación de un ángulo ζ alrededor del eje x de tal forma
que las posiciones de los nuevos ejes y y z son como se ilustran en la
figura 2.7. Con la rotación estamos introduciendo un nuevo sistema de
coordenadas (x , y , z ).
Nótese que ahora existe un nuevo plano de referencia conformado
por los ejes x y . Introduciendo ahora los ángulos ξ , η con respecto al
nuevo sistema de coordenadas tenemos, para el mismo punto K:
12
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
z P
K
η
O
y
ξ
x
Figura 2.6: Definición de los ejes x, y y z
x = cos ξ cos η ,
y = sen ξ cos η ,
(2.2)
z = sen η .
Vemos que se forma un triángulo esférico por los vértices P, P’, K.
Es fácil darse cuenta de los valores que adquieren los ángulos internos
y los lados de dicho triángulo esférico en términos de ξ, η, ξ , η y ζ .
Al comparar dicho triángulo con el triángulo esférico de la derecha de la
figura 2.8, obtenemos:
A = 90 + ξ,
B = 90 − ξ ,
a = 90 − η ,
b = 90 − η,
c = ζ.
(2.3)
13
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
z’
P’
z P
K
ζ
y’
η’
ξ’
ζ
y
x=x’
Figura 2.7: Relación entre los ejes x, y y z y x , y y z Necesitamos encontrar la relación existente entre las coordenadas
(x, y, z) y (x , y , z ). Puesto que la rotación se ha hecho con respecto al
eje x, obtenemos la relación de equivalencia:
x = x.
(2.4)
Para hallar las relaciones entre (y, z) y (y , z ) hacemos uso de la
figura 2.9, la cual muestra la orientación de estos ejes con el eje x perpendicular al plano de la hoja.
Un punto K cualquiera que dista del origen por un radio igual a la
unidad tiene por coordenadas con respecto a y y z :
y = cos θ,
z = sen θ.
(2.5)
(2.6)
El mismo punto K tiene por coordenadas con respecto a y y z:
y = cos(θ + ζ),
z = sen (θ + ζ),
(2.7)
14
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
o, lo que es lo mismo:
y = cos θ cos ζ − sen θ sen ζ,
z = sen θ cos ζ + cos θ sen ζ.
(2.8)
Al reemplazar las ecuaciones (2.5) y (2.6) en estas últimas obtenemos:
y = y cos ζ − z sen ζ,
z = z cos ζ + y sen ζ.
(2.9)
De la ecuación (2.4) y de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir:
cos ξ cos η = cos ξ cos η ,
o, en términos de las relaciones (2.3):
cos(A − 90) cos(90 − b) = cos(90 − B) cos(90 − a),
y puesto que para cualquier ángulo α se tiene cos(90 − α) = sen α, la
ecuación anterior es equivalente a:
sen A
sen B
=
.
sen a
sen b
(2.10)
De idéntica forma, podemos utilizar la segunda de las ecuaciones
(2.9) y reemplazar en ella la última de las ecuaciones (2.1) y la segunda
y tercera de (2.2) para obtener:
ζ
90−ξ’
c
90+ξ
90−η
B
90−η’
Figura 2.8: Triángulos esféricos
A
a
b
C
15
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
z
z’
K
ζ
y’
θ
ζ
O
y
Figura 2.9: Relación entre los ejes y, z y y , z sen η = sen η cos ζ + sen ξ cos η sen ζ.
Al tener en cuenta las relaciones (2.3) obtenemos:
sen (90 − b) = sen (90 − a) cos c + sen (90 − B) cos(90 − a) sen c,
y puesto que para cualquier ángulo α se tiene sen (90 − α) = cos α, la
ecuación anterior es igual a:
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B.
(2.11)
Por último, al tomar la primera de las ecuaciones (2.9) y reemplazar
en ella las ecuaciones (2.1) y (2.2), obtenemos:
sen ξ cos η = sen ξ cos η cos ζ − sen η sen ζ.
Al tener en cuenta, como antes, las relaciones (2.3):
sen (A−90) cos(90−b) = sen (90−B) cos(90−a) cos c− sen (90−a) sen c,
equivalente a:
cos A sen b = − cos B sen a cos c + cos a sen c.
(2.12)
Las ecuaciones para los otros lados y ángulos pueden obtenerse simplemente al hacer permutaciones cı́clicas de los lados (a, b, c) y los ángulos (A, B, C), de tal forma que una generalización de (2.10), llamada
teorema del seno de la trigonometrı́a esférica, es:
sen A
sen B
sen C
=
=
.
sen a
sen b
sen c
(2.13)
16
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
De forma análoga, podemos encontrar las otras expresiones para
(2.11), llamadas en conjunto el teorema del coseno (para los lados) de
la trigonometrı́a esférica:
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B,
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C,
(2.14)
cos a = cos c cos b + sen c sen b cos A.
Las otras ecuaciones equivalentes a (2.12) son llamadas en conjunto
el teorema del seno por el coseno:
cos A sen b = − cos B sen a cos c + cos a sen c,
cos A sen c = − cos C sen a cos b + cos a sen b,
cos B sen a = − cos A sen b cos c + cos b sen c,
cos B sen c = − cos C sen b cos a + cos b sen a,
(2.15)
cos C sen a = − cos A sen c cos b + cos c sen b,
cos C sen b = − cos B sen c cos a + cos c sen a.
Por último, consideremos la parte izquierda de la figura 2.10. Sean
A, B y C los vértices de un triángulo esférico. Supongamos ahora que
cada vértice A, B y C constituye el polo de una circunferencia máxima,
representada cada una en la figura como sectores de circunferencias segmentadas. Sea entonces A la intersección de las circunferencias máximas
que tiene como polo tanto B como C, y que se encuentra, respecto de
BC, al mismo lado que A. Ası́ mismo, B es la intersección de las circunferencias máximas que tienen como polo A y C, y C es la intersección
de las circunferencias máximas que tienen como polo A y B. El triángulo
resultante, con vértices A , B y C , es también un triángulo esférico. Se
dice entonces que el triángulo A B C es el triángulo polar del triángulo
ABC y sus lados se denominarán a , b y c .
Puede demostrarse que si A B C es el triángulo polar de ABC, entonces ABC es el triángulo polar de A B C (parte derecha de la figura
2.10). A continuación encontraremos una propiedad interesante de los
triángulos polares. De nuevo consideremos la parte izquierda de la figura 2.10. Prolonguemos entonces los arcos CA y CB hasta que corten el
arco A B en los puntos D y E, tal y como se muestra en la figura 2.11.
Es evidente entonces que el ángulo C está dado por el arco DE. Ahora
bien, es claro que:
A B + DE = A E + DB .
17
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
C
C’
a’
C
b’
b
A
B
A’
b’
a’
B’
A’
c
B’
c’
A
c’
a
C’
b
a
B
c
Figura 2.10: Triángulos polares
Pero:
A B = c ,
A E = 90,
DB = 90,
por lo que tenemos:
C = 180 − c .
Un razonamiento semejante permite obtener las expresiones equivalentes:
A = 180 − a ,
B = 180 − b .
C’
a’
C
b’
a
b
A
B
c
A’
B’
D
c’
E
Figura 2.11: Triángulos polares (continuación)
Y, al tener en cuenta la parte derecha de la figura 2.10, es posible
también demostrar que:
18
CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
A = 180 − a,
B = 180 − b,
C = 180 − c.
Estas expresiones son útiles para encontrar unas relaciones trigonométricas importantes. Apliquemos el teorema del coseno (2.14) para
el triángulo A B C . Digamos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ,
que, de acuerdo con lo que acabamos de encontrar, puede escribirse
como:
cos (180−A) = cos (180−B) cos (180−C)+ sen (180−B) sen (180−C) cos (180−a),
y como cos (180 − α) = − cos α, tenemos:
cos A = − cos B cos C + sen B sen C cos a.
La generalización de esta expresión para los otros lados se conoce
con el nombre de teorema del coseno para los ángulos, y son:
cos A = − cos B cos C + sen B sen C cos a,
cos B = − cos C cos A + sen C sen A cos b,
(2.16)
cos C = − cos A cos B + sen A sen B cos c.
Las ecuaciones (2.13), (2.14), (2.15) y (2.16) son las expresiones básicas de la trigonometrı́a esférica. Se utilizarán frecuentemente en el transcurso del libro.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Ayres, F. (1970) Lecturas y problemas de Trigonometrı́a plana y esférica,
McGraw-Hill, México.
Como todos los libros de la serie Schaum, excelente. En los capı́tulos
19 a 24 se encuentra una buena descripción de conceptos útiles en la
astronomı́a esférica.
Barbieri, C. (2007) Fundamentals of Astronomy, CRC Press, Boca Ratón.
Excelente libro de astronomı́a fundamental. El capı́tulo 1 expone elementos básicos de trigonometrı́a esférica.
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
19
Todhunter, I. (2006) The Project Gutenberg eBook of Spherical Trigonometry, Cornell University Digital Collections.
Una exposición exhaustiva sobre trigonometrı́a esférica. El libro puede
descargarse gratuitamente de: http://www.gutenberg.org/etext/19770
Vives, T. (1971) Astronomı́a de posición, Alhambra, Bilbao.
Libro clásico de astronomı́a de posición en español. El capı́tulo 1 contiene una extensa exposición de las fórmulas de la trigonometrı́a esférica,
incluyendo fórmulas diferenciales.
http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html
Conceptos y fórmulas fundamentales de la trigonometrı́a esférica.
Capı́tulo 3
EL PLANETA TIERRA
La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto,
el sitio desde donde contemplamos el universo, es un planeta que dista unos 150 millones de kilómetros de una estrella de mediano tamaño
que llamamos el Sol. Posee un único satélite natural llamado la Luna, el
cual está a unos 384 400 kilómetros de distancia. La Tierra es de forma
aproximadamente esférica, con un radio de 6378 kilómetros.
En orden de distancia al Sol, la Tierra es el tercer planeta de dentro
hacia fuera y realiza una revolución en torno del Sol (movimiento de
traslación) en un perı́odo que llamamos año. La Tierra gira sobre sı́ misma (movimiento de rotación) en un perı́odo que llamamos dı́a. Técnicas
modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo: tiene,
al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de años.
La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo
denominada atmósfera. Dicha atmósfera está conformada en su mayor
parte de nitrógeno (78 %) y oxı́geno (21 %), y cantidades muy pequeñas
(1 %) de otros gases, como vapor de agua, bióxido de carbono, argón,
xenón, etc. El espesor de la atmósfera es ı́nfimo comparado con el radio del planeta, pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias
con respecto a la demarcación de sus lı́mites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kilómetros), lo cierto es que ya a una altura de 120
kilómetros está contenido el 99,9 % del peso total de la misma. Hasta el
momento en que se escriben estas lı́neas la Tierra posee aún el honor
de ser el único planeta donde se ha gestado el fenómeno que llamamos
vida. Pero es muy dudoso, a la luz de recientes investigaciones, que siga
20
3.1. FORMA DE LA TIERRA
21
siendo exclusivamente la poseedora de tan significativo privilegio. Y no
solo ha generado vida: también ha dado origen a seres vivos autoconscientes que poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender
lo que los rodea.
Hasta hace unos cuantos años las observaciones astronómicas se realizaban exclusivamente sobre la superficie de la Tierra, lo que implicaba
(y aún implica) multitud de inconvenientes y desventajas: el movimiento diurno (ver sección 5.1) es el más obvio: los astros aparentemente se
mueven de oriente a occidente, por lo que es necesario compensar dicho
movimiento para poder rastrear y observar adecuadamente los astros. La
atmósfera absorbe muchas longitudes de onda de interés, como los rayos
gamma, los rayos X, la radiación ultravioleta y gran parte del infrarrojo; aquella radiación que no es absorbida sufre de extinción atmosférica,
lo que significa que la luz se dispersa y se atenúa al pasar por el aire.
Además, el fenómeno de refracción atmosférica afecta la dirección real
de la luz que nos envı́an los astros. Hoy en dı́a se han colocado satélites
artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma espectacular el conocimiento que se tenı́a previamente
de cuerpos que solo se observaban a través de telescopios sobre el terreno.
3.1.
Forma de la Tierra
Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayorı́a de sus
satélites, la Tierra posee simetrı́a esférica, esto es, su forma es casi la de
una esfera. La rotación de los planetas es responsable de crear en el proceso de su formación una ligera acumulación de masa sobre el ecuador,
por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que
en los polos. En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el
radio en los polos es apenas de 21 385 metros. Aunque pueda parecernos
un valor muy pequeño (0,3 % del radio), el hecho es que esa diferencia
ha de ser tenida en cuenta en la conformación de mapas, en el cálculo
de eclipses, estimación de trayectorias de satélites, etc.
La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geométrica precisa de
la Tierra, los métodos que emplea y su significado es llamada geodesia.
Antes de 1957, esto es, antes del advenimiento de los satélites artificiales, el trabajo geodésico se realizaba por métodos de triangulación y de
22
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
GEOIDE
ELIPSOIDE
TOPOGRAFIA
Figura 3.1: Geoide, elipsoide (esferoide) y forma verdadera de la Tierra
gravimetrı́a hechos sobre el terreno. Con la utilización de satélites artificiales ha sido posible incrementar mucho más el conocimiento sobre la
forma verdadera de nuestro planeta.
Nos consta que nuestro planeta posee una superficie continental de
gran diversidad de formas y variaciones. Accidentes geográficos, como
montañas abruptas y escarpadas, se ubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra está cubierto, en
más de un 70 %, por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a
ajustar fácilmente su superficie normal a la dirección de la gravedad. Ello
quiere decir que en buena medida la superficie de nuestro planeta puede
describirse en términos del nivel medio de los océanos que la cubren en
un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geométrica que busca
representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura
coincida con el nivel medio de los océanos del mundo y continúe sobre
las áreas continentales como una superficie imaginaria (a nivel promedio
del mar). El geoide tiene por definición la propiedad de que cualquier
lugar de su superficie debe ser perpendicular a la dirección de la fuerza
de la gravedad.
Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial
dentro del campo gravitacional terrestre. Ahora bien, en la práctica es
imposible identificar el geoide con una figura geométrica sencilla, pues
resulta siendo completamente irregular (ver figura 3.1). Por ello se suele
adoptar como figura geométrica apropiada —en muy buena aproximación— un elipsoide de revolución, llamado también esferoide, cuya forma
tridimensional resulta de rotar por completo una elipse sobre su eje menor (ver figura 3.2).
El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revolución tanto como unos 100 metros, diferencia llamada “ondulación del
3.1. FORMA DE LA TIERRA
23
Figura 3.2: Una elipse rotando alrededor de su eje menor da lugar al elipsoide de
revolución
geoide”. Las ondulaciones más grandes se registran en una depresión al
sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevación al norte de
Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revolución o esferoide queda determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel
del semieje mayor del elipsoide, y una relación llamada achatamiento f .
El achatamiento está relacionado con el semieje menor de dicho elipsoide
que es el radio polar b (ver tabla 3.1) a través de la relación:
b = a(1 − f ).
(3.1)
Con el avance de la técnica y la puesta a punto de métodos más
precisos para medir las dimensiones de la Tierra, se han establecido
históricamente valores cada vez más refinados de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilización de los valores fijados por la Unión
Astronómica Internacional (UAI) en 19791 :
a = 6 378 140 metros,
f = (a − b)/a = 1/298,257.
Ahora bien, todos los cuerpos celestes giran sobre sı́ mismos, incluyendo por supuesto la Tierra. El movimiento de rotación del planeta
define instantáneamente una lı́nea imaginaria que pasa por el centro del
1
Ello no significa que sea de utilización obligatoria por todos los profesionales. Por
ejemplo, en navegación astronómica satelital las posiciones que da el GPS están con
referencia al elipsoide WGS84.
24
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Masa
Área
Área terrestre
Área cubierta por agua
Masa de la atmósfera
Masa de los océanos
Radio ecuatorial
Radio polar
Elevación continental promedio
Profundidad de los océanos promedio
Distancia media al Sol
Densidad media
Perı́odo de rotación
Perı́odo de traslación
Temperatura superficial
5,9737×1024 kg
5,100657×1014 m2
1,48×1014 m2 (29 %)
3,62×1014 m2 (71 %)
5,1×1018 kg
1,4×1021 kg
6 378 140 m
6 356 755 m
825 m
3770 m
1,495978×1011 m = 1 u.a.
5514,8 kg m−3
1 dı́a = 23h 56m 4,09s
1 año = 365,2421897 d
−35 a 50 o C
Tabla 3.1: Algunos datos del planeta Tierra
planeta, la cual es llamada eje de rotación. Dicho eje de rotación coincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado
también eje de figura. El eje de rotación y el eje de figura no coinciden
exactamente puesto que el eje de rotación se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasiperiódico con una amplitud que oscila entre los 0,05 y 0,25 segundos de arco, lo que equivale
a un desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la
Tierra. Dicho movimiento se conoce con el nombre de movimiento polar .
El astrónomo norteamericano Seth Carlo Chandler encontró, en 1892,
que el movimiento del polo es la resultante de la superposición de dos
componentes que poseen perı́odos distintos: una componente, llamada
ahora componente de Chandler, tiene una duración de 14 meses, y es
una oscilación libre que surge de la forma compleja de la Tierra; la otra
componente es de 12 meses y es una oscilación forzada originada por
efectos meteorológicos tales como cambios estacionales2 . La posición del
polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una espe2
El movimiento polar habı́a sido predicho por el matemático suizo Leonhard Euler
en 1765 utilizando la teorı́a dinámica y un modelo de la Tierra rı́gida. Sus cálculos
mostraron que la oscilación debı́a tener un perı́odo de 10 meses. En realidad el perı́odo
es cuatro meses mayor a causa de la elasticidad del manto terrestre y del movimiento
de los océanos, efectos que Euler no incluyó en su modelo.
3.1. FORMA DE LA TIERRA
25
cie de espiral irregular alrededor de un polo medio o promedio durante
un ciclo de seis años. Puesto que las magnitudes de las componentes
pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos no es el mismo. Dado
que este movimiento no puede ser predicho con precisión, es necesario
realizar observaciones regulares para ubicar la posición instantánea del
eje de rotación.
EJE DE ROTACION
PNT
ECUADOR TERRESTRE
PST
Figura 3.3: Polos terrestres y ecuador terrestre
Definido el eje de rotación de la Tierra, podemos determinar un plano perpendicular al mismo de tal forma que pase por el centro de masa
del planeta. La circunferencia que resulta de la intersección de dicho
plano con la superficie del esferoide es llamada ecuador terrestre (ET)
(ver figura 3.3). Los puntos sobre la superficie del esferoide (i. e., sobre
la superficie terrestre) por donde emerge el eje de rotación son llamados polos terrestres. El situado sobre el hemisferio norte es llamado polo
norte terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado polo sur terrestre (PST). Nótese que al moverse el eje de rotación, también se están
desplazando ligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente
equidistante de ambos polos.
26
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
3.2.
Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra
Para fijar la posición de un observador sobre la superficie de la Tierra
se utilizan tres tipos de coordenadas:
- Coordenadas geocéntricas,
- Coordenadas geodésicas,
- Coordenadas geográficas (astronómicas).
Una descripción de cada uno de estos tipos de coordenadas se presenta a continuación.
3.2.1.
Coordenadas geocéntricas
Este sistema de coordenadas tiene como origen el centro de masa de
la Tierra. El plano fundamental es, para los tres sistemas, el ET.
Las coordenadas geocéntricas son:
φ = latitud geocéntrica,
λ = longitud geocéntrica,
ρ = distancia radial.
La latitud geocéntrica φ de un punto sobre la superficie terrestre es
el ángulo existente entre una lı́nea que pasa por el punto y el centro del
planeta, y el ecuador terrestre (ver figura 3.4).
La latitud geocéntrica tiene valores comprendidos entre el siguiente
intervalo:
−90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N).
Nótese que:
φ(P N T ) = 90o ,
φ(P ST ) = −90o .
Para especificar en qué hemisferio de la superficie de la Tierra está ubicado el punto es necesario adicionar un indicativo. Este consiste en agregar la letra N (norte) en el caso de que el punto considerado esté en el
3.2. COORDENADAS EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA
27
hemisferio norte; de lo contrario se escribe la letra S (sur). Sin embargo,
en los cálculos trigonométricos que involucren la latitud es necesario expresar la latitud explı́citamente con un signo negativo cuando el punto
está ubicado en el hemisferio sur.
PNT
ρ
φ’
ET
CENTRO DE LA TIERRA
PST
Figura 3.4: Latitud geocéntrica φ
La longitud geocéntrica λ de un punto sobre la superficie terrestre
es el ángulo medido sobre el ecuador terrestre, desde el meridiano cero
(o de referencia) hasta el meridiano del punto correspondiente. La longitud puede medirse hacia ambos lados del meridiano cero; en este caso
se hace necesario especificar si el ángulo es al oeste (occidente) o si es
al este (oriente). Para tal fin utilizamos la notación siguiente: λE si el
ángulo de longitud se mide hacia el este del meridiano de referencia; λW
si el ángulo de longitud se mide hacia el oeste del meridiano de referencia. Se acostumbra a especificar la longitud geográfica de tal forma que
nunca exceda los 180o . Esto significa que si un punto posee una longitud
λE = 200o , aunque enteramente válida, es conveniente escribir λW =
160o . También se suele utilizar un signo (+ o −) en frente de la longitud
para especificar si un punto está hacia el este o al oeste del meridiano
de referencia. Se ha escogido el signo positivo (+) cuando la longitud se
toma hacia el este del meridiano de referencia; el signo negativo (−) se
usa en caso contrario.
28
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
AN
OD
ER
EF
ER
EN
CI
A
PNT
*
ρ
ME
RI
DI
φ’
λE
ECUADOR TERRESTRE
PST
Figura 3.5: Latitud geocéntrica, longitud geocéntrica y la distancia radial
El meridiano cero o meridiano de referencia puede definirse de tal
forma que atraviese en principio cualquier lugar sobre la superficie de
la Tierra. Sin embargo, desde el punto de vista histórico, los meridianos
de referencia definidos han pasado por los observatorios astronómicos
más notables de cada imperio o paı́s. Fue ası́ como el imperio británico
definió el meridiano de referencia como aquel que atraviesa el Observatorio Real de Greenwich, siendo Greenwich un municipio de Londres,
Inglaterra. De la misma forma, Francia estableció como meridiano de
referencia el que atraviesa el Observatorio de Parı́s, y España hizo lo
propio con el Observatorio Real de San Fernando. Actualmente, el meridiano cero o de referencia de uso general es, por acuerdo en una reunión
internacional realizada en 1884, el meridiano de Greenwich.
La distancia radial ρ de un punto sobre la superficie terrestre es la
distancia en lı́nea recta existente entre dicho punto y el centro de masa
de la Tierra.
3.2. COORDENADAS EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA
3.2.2.
29
Coordenadas geodésicas
También llamadas elipsoidales. Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un esferoide (elipsoide de revolución) de referencia
que hay que especificar de entrada. Un esferoide queda determinado,
como se dijo antes, cuando se adoptan valores especı́ficos del radio ecuatorial terrestre a y del achatamiento f (o un parámetro equivalente).
La importancia de este sistema de coordenadas radica en que la latitud
geodésica es la que se encuentra en los mapas, atlas y diccionarios geográficos.
Las coordenadas geodésicas son:
φ = latitud geodésica,
λ = longitud geodésica,
h = altura sobre el esferoide.
La latitud geodésica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el
ángulo existente entre la normal al esferoide en dicho punto y el ecuador
terrestre (ver figura 3.6).
NORMAL AL ESFEROIDE
PNT
h
TANGENTE AL ESFEROIDE
CT
φ
ET
a
PST
Figura 3.6: Latitud geodésica φ
La latitud geodésica tiene valores comprendidos entre el siguiente
intervalo:
−90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N),
30
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
con:
φ(P N T ) = 90o ,
φ(P ST ) = −90o .
La latitud geodésica φ puede llegar a diferir de la latitud geocéntrica
hasta unos 11.5 minutos de arco a una latitud de 45o .
La longitud geodésica λ está definida de la misma forma que la longitud geocéntrica λ , de tal forma que λ = λ .
La altura h de un observador sobre el elipsoide es la distancia sobre
el esferoide medida a lo largo de la normal a dicho esferoide. En primera
aproximación se puede tomar h de un determinado sitio como su altura
sobre el nivel del mar.
En la tabla 3.2 se especifican varios esferoides de referencia.
Nombre y fecha
WGS 84, 1984
MERIT, 1983
GRS 80, 1980
UAI, 1979
HAYFORD, 1924
Radio ecuatorial a (metros)
6 378 137
6 378 137
6 378 137
6 378 140
6 378 388
Achatamiento
1/298,257223563
1/298,257
1/298,257222
1/298,257
1/297,0
Tabla 3.2: Algunos esferoides de referencia
3.2.3.
Coordenadas geográficas (astronómicas)
Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astronómicas, esto es, con respecto al polo celeste y al meridiano
local a través de la vertical local, a los valores obtenidos de estos ángulos se les adiciona el adjetivo geográficos (o también astronómicos).
La latitud geográfica (φ ) de un punto sobre la superficie terrestre
es el ángulo existente entre la dirección de la plomada (la vertical local)
y el ecuador terrestre (ver figura 3.7). Puesto que la vertical local de un
punto es afectada por las anomalı́as gravitacionales locales (montañas
3.2. COORDENADAS EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA
31
prominentes, depósitos subterráneos muy densos, etc.) y los campos gravitacionales cambiantes de la Luna, el Sol y los océanos —lo que implica
que la vertical extendida hasta el centro de la Tierra no pasa por el
centro del esferoide— existirá una pequeña diferencia en dirección entre
la vertical de dicho punto y la normal al esferoide (la que define φ). La
inclinación de la vertical local a la normal al esferoide de referencia se
conoce con el nombre de desviación de la vertical. Por lo tanto, lo que
diferencia la latitud geográfica de la latitud geodésica es la desviación
de la vertical.
La longitud geográfica (λ ) de un punto sobre la superficie terrestre
es el ángulo entre el plano del meridiano astronómico de dicho punto
y el plano del primer meridiano que pasa por Greenwich. El meridiano
astronómico es el plano que pasa por el observador y contiene la vertical y una paralela a la dirección del eje de rotación. Como ya se dijo,
la vertical de un punto no necesariamente pasa por el centro del esferoide, por lo que el meridiano astronómico no coincide por lo general
con el meridiano geodésico (que sı́ pasa por el centro del esferoide). De
ahı́ que las longitudes geográfica y geodésica difieran entre sı́ por una
pequeña diferencia. En este libro supondremos que las tres definiciones
de longitud son iguales: λ = λ = λ .
DIRECCION DE LA PLOMADA
NORMAL AL ESFEROIDE
PNT
CT
TANGENTE AL ESFEROIDE
φ
φ´´
ET
a
PST
Figura 3.7: Latitud geográfica o astronómica
NOTA: La desviación de la vertical es por lo general un valor muy
pequeño, de unos cuantos segundos de arco, pero hay algunos lugares
en los que se registra hasta un minuto de arco. En este libro, como en
la mayorı́a de los libros de astronomı́a, no haremos diferencia entre las
coordenadas geodésicas y geográficas.
32
3.3.
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Unidades de longitud y su relación con las
dimensiones terrestres
La unidad fundamental de longitud en el sistema métrico se llama
metro (m). En 1795 el gobierno francés decretó el uso de esta unidad para
hacerlo lo más popular que se pudiera pues entre las diferentes provincias se utilizaban distintas medidas. Para tal fin se nombró una comisión
cientı́fica que al cabo de un tiempo fijó el uso del sistema decimal y definió el metro como 1/10 000 de una cuarta parte del meridiano terrestre.
Como quien dice, con base en esta unidad de medida la circunferencia
de la Tierra se estimaba en aquella época en 40 000 metros exactamente.
Apenas en 1837 el sistema métrico decimal fue declarado obligatorio en Francia y paulatinamente fue adoptado por casi todos los paı́ses
salvo los anglosagones, los cuales solo recientemente lo han estado introduciendo de modo progresivo. Después, en 1875, la Convención del
Metro instituyó una Oficina Internacional de Pesos y Medidas cuya sede
se fijó en Parı́s donde, en el pabellón de Breteuil, se guardan el metro
internacional (de platino e iridio), como también el kilogramo internacional. Sin embargo, los avances incesantes de la técnica obligaron a una
redefinición del metro ya para comienzos de los años sesenta. Desde el
primero de enero de 1961 se define el metro como “la longitud igual a
1 650 763,73 veces la longitud de onda en el vacı́o de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de criptón
86”.
Otra unidad de longitud, muy popular en los paı́ses anglosajones, es
la milla náutica. Esta se define como la distancia sobre un cı́rculo máximo
que subtiende un ángulo de un minuto de arco en el centro de la Tierra.
Por lo tanto, y de forma aproximada, podemos encontrar fácilmente a
qué equivale una milla náutica. Puesto que una circunferencia comprende
360 grados, esto es, 360 × 60 = 21 600 minutos de arco, y estos deben
dar alrededor de 40 000 000 m, se desprende que una milla náutica debe
equivaler a 1851 m. Ahora bien, como la Tierra no es completamente
esférica, resulta que la milla náutica es distinta si se mide en el ecuador
que si se mide en los polos. Se ha tomado un valor promedio equivalente
a 1852 metros. Ha de tenerse cuidado con la posible confusión que pueda
surgir entre la milla náutica y la milla; esta es una unidad de longitud
utilizada en caminos y rutas, que equivale a 1609 metros.
33
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE LATITUDES
3.4.
Transformación entre latitudes
Aquı́ supondremos que la latitud geográfica (o astronómica) (φ ) se
puede aproximar a la latitud geodésica (φ), por lo que solo nos ocuparemos de la relación entre esta y la latitud geocéntrica (φ ).
y
b y
φ’
φ
x
a
x
Figura 3.8: Relación entre latitud geocéntrica y geodésica
Observemos la figura 3.8 donde están relacionadas las latitudes en
cuestión. Es evidente que:
y
.
(3.2)
x
Por otro lado, la ecuación de una elipse con centro en el origen y
cuyo eje mayor a está ubicado sobre el eje x y el eje menor sobre el eje
y, es:
x2 y 2
+ 2 = 1.
(3.3)
a2
b
De esta se deduce que la tangente a cualquier punto de la elipse,
dy
denotada por dx
, es:
dy
x b2
= − 2.
dx
ya
Ahora bien, aquella recta normal a la tangente del elipsoide tiene
como pendiente − dx
dy , pero a su vez dicha pendiente viene dada por
tan φ. De ello resulta que
tan φ =
tan φ =
y a2
,
x b2
(3.4)
34
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
que al comparar con (3.2) da:
a2
tan φ ,
b2
o, teniendo en cuenta la relación entre a y b (ver ecuación 3.1, pág. 23),
se obtiene:
1
tan φ =
tan φ .
(3.5)
(1 − f )2
tan φ =
Procedamos ahora a encontrar una relación entre la distancia radial
ρ y la latitud geodésica φ.
La excentricidad e de un elipsoide está definida por la siguiente relación entre el semieje mayor y el menor (ver sección 11.2.1, pág. 248):
2
b
e =1−
.
a
2
(3.6)
Puesto que el achatamiento f puede escribirse de la forma f = 1 −
b/a, entonces al comparar con (3.6) se deduce:
e=
f (2 − f ).
(3.7)
De la ecuación (3.3) obtenemos:
x2 = a2 −
a2 2
y ,
b2
y de (3.4):
y2 =
x2 b4 tan2 φ
,
a4
entonces:
x2 = a2 −
x2 b2 tan2 φ
.
a2
Al despejar x2 obtenemos:
x2 =
a2
1+
b2
2
a2 tan φ
,
o, teniendo en cuenta la ecuación (3.6):
x2 =
a2 cos2 φ
.
1 − e2 sen2 φ
(3.8)
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE LATITUDES
35
Un procedimiento similar permite encontrar:
y2 =
a2 (1 − e2 )2 sen2 φ
.
1 − e2 sen2 φ
(3.9)
La distancia radial ρ está relacionada con x y y mediante:
ρ 2 = x2 + y 2 ,
que al tener en cuenta (3.8) y (3.9) nos da la relación buscada:
1 − e2 (2 − e2 ) sen2 φ
ρ=a
,
1 − e2 sen2 φ
(3.10)
la cual representa la distancia desde el centro del planeta hasta la superficie del elipsoide. La distancia geocéntrica para un observador ubicado
a una altura h con respecto al nivel del mar se halla, en muy buena
aproximación, sumando h al valor de ρ con las unidades pertinentes.
Ejemplo 1
Calcular la latitud geocéntrica φ y la distancia geocéntrica de un
punto cerca de la población de Ciénaga (Magdalena) con las siguientes
coordenadas geodésicas: φ = 11o 1 34 , λ = 74o 15 35 y h =122 metros
sobre el nivel medio del mar.
Solución
Tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI
en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298,257 = 0,0033528. De la ecuación
(3.5) obtenemos:
tan φ = (1 − f )2 tan φ = (1 − 0,0033528)2 tan(11o 1 34 ) = 0,1935489.
Entonces:
φ = tan−1 (0,1935489) = 10o 57 15 .
Procedemos ahora a calcular la excentricidad e del elipsoide. Utilizando la fórmula (3.7) tenemos:
e = 0,0033528 × (2 − 0,0033528) = 0,0818191.
Encontramos para ρ de acuerdo con (3.10):
36
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
ρ=a×
1 − (0,0818191)2 × (2 − 0,08181912 ) × sen2 (11o 1 34 )
,
1 − 0,08181912 × sen2 (11o 1 34 )
ρ = 0,9998783 × a = 6 377 364 m.
Sumando el valor de la altura h obtenemos por fin:
ρ = 6377364 + 122 = 6 377 486 m.
Ejemplo 2
Calcular la latitud geodésica φ y la altura h a la que se encuentra
un determinado observador con los siguientes valores: φ = 6o 54 43 ,
ρ = 0,9999765.
Solución
Como en el ejemplo anterior, tomaremos como elipsoide de referencia
el recomendado por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298,257 =
0,0033528, e = 0,0818191. De la ecuación (3.5):
tan φ =
Entonces:
tan φ
tan(6o 54 43 )
=
= 0,1220418.
(1 − f )2
(1 − 0,0033528)2
φ = tan−1 (0,1220418) = 6o 57 29 .
Encontramos para ρ (la distancia a la superficie del elipsoide) de
acuerdo con (3.10):
ρ=a×
1 − (0,0818191)2 × (2 − 0,08181912 ) × sen2 (6o 57 29 )
,
1 − 0,08181912 × sen2 (6o 57 29 )
ρ = 0,9999512 × a.
Por lo tanto, la altura h sobre la superficie del mar, en unidades del
radio terrestre a, es:
h = 0,9999765 − 0,9999512 = 0,0000253,
lo que en unidades de metros es h = 0,0000741 × 6 378 140 = 161 m.
37
3.5. DESARROLLOS RECIENTES
NOTA: En la gran mayorı́a de los libros de astronomı́a se acostumbra a presentar la relación entre la latitud geocéntrica φ y la geodésica
φ y la distancia radial ρ en función de φ por medio de una serie trigonométrica. La deducción de tales fórmulas no es complicada pero sı́ algo
elaborada. Damos las expresiones (a la centésima del segundo de arco)
solo a manera de referencia:
φ = φ − 11 32,74 sen 2φ + 1,16 sen 4φ,
ρ = a(0,99832707 + 0,00167644 cos 2φ − 0,00000352 cos 4φ).
3.5.
(3.11)
(3.12)
Desarrollos recientes
El mundo moderno exige niveles de precisión y exactitud cada vez
más exigentes. Hoy en dı́a los geodestas requieren conocer la ubicación de
un punto sobre la superficie del planeta con errores de pocos centı́metros y hasta menos. Y ello tiene un precio: a medida que se alcanzan
esos niveles de precisión se ha de tener en cuenta fenómenos tales como el movimiento del polo y el movimiento de placas tectónicas. Estos
son fenómenos fı́sicos que tienen componentes no predecibles y se hace
necesario estar midiéndolos permanentemente. Por ello, a finales de los
años ochenta del siglo XX se decidió introducir el concepto del Sistema
de Referencia Terrestre Internacional (ITRS, por sus siglas en inglés3 ).
Este constituye un conjunto de normas y preceptos que definen cómo
ha de construirse un sistema de ejes tridimensionales (XY Z) con origen en el geocentro de la Tierra (incluyendo atmósfera y océanos) que
está corrotando con ella en su movimiento rotacional con relación a las
estrellas. El sistema es supervisado por un servicio creado conjuntamente por la Unión Astronómica Internacional y la Unión Internacional de
Geodesia y Geofı́sica, denominado Servicio Internacional de la Rotación
Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS). Para efectos de llevar a la
práctica el ITRS y aplicarlo a la vida real, esto es, para que cumpla el
propósito de ubicar un punto sobre la superficie terrestre teniendo en
cuenta los fenómenos que señalamos arriba, se define el Marco de Referencia Terrestre Internacional (ITRF). Se dice entonces que el ITRF
3
En lo que resta del capı́tulo, los acrónimos vienen por sus siglas en inglés.
38
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
es la “realización” del ITRS. En la práctica el ITRF lo constituye un
conjunto de puntos descritos por coordenadas cartesianas tridimensionales (en metros) y sus componentes de velocidades (en metros/año). A
su vez, dichos puntos han sido derivados a partir de un conjunto enorme
de datos geodésicos recogidos por multitud de estaciones distribuidas
por todo el planeta. Dichas estaciones se encargan de recolectar información que puede provenir de las siguientes técnicas: satélites de GPS,
Interferometrı́a de Base muy Grande (VLBI, que se lleva a cabo con
radiotelescopios), Mediciones Láser a Satélites (SLR), Mediciones Láser
a la Luna (LLR) y de Orbitografı́a Doppler y Radioposicionamiento Integrado por Satélite (DORIS). El ITRF es actualizado constantemente.
Por ello, desde 1988 han existido 11 “materializaciones” del IRTS, esto
es, han existido 11 ITRF y es claro que vendrán más en el futuro. En el
momento que se escriben estas lı́neas el más actualizado es el ITRF2005.
En Colombia solo una técnica (GPS) y a través de un único receptor
ubicado en Bogotá se pudo participar en la elaboración del ITRF2005.
Dicha antena (llamada BOGT) fue instalada por el JPL de la NASA y
está bajo la supervisión del Instituto Colombiano de Geologı́a y Minerı́a
(Ingeominas). Está ubicada a unos 100 metros al oriente del Departamento de Biologı́a en la Ciudad Universitaria (Universidad Nacional de
Colombia). Se espera que con nuevas estaciones de GPS ya adquiridas
por el Instituto Geográfico Agustı́n Codazzi (IGAC), Colombia pueda
participar con más puntos en las futuras materializaciones del ITRF4 .
3.5.1.
Transformación entre XY Z y las coordenadas geodésicas
Hemos dicho que el ITRS define un sistema de ejes tridimensional
(X, Y, Z) centrado en la Tierra que permite establecer las coordenadas
de un punto P sobre la superficie de la Tierra. Los ejes fueron orientados ası́: el eje Z va en dirección del Polo Norte Terrestre (pero aquı́ hay
que adicionar algo más: es el Polo Norte Terrestre Convencional definido por el Bureau International de L’Heure en la época 1984,0); el eje X
está dirigido en la dirección en la que se intercepta el meridiano cero, i.
e., Greenwich (el cual, por supuesto, parte del polo que definimos atrás)
4
Los receptores GPS tanto de Ingeominas como del IGAC han revelado datos
muy interesantes. Por ejemplo, con ellos se sabe que la mayor parte de la ciudad de
Bogotá se está hundiendo, aunque hay zonas que se hunden más que otras. La Ciudad
Universitaria, por ejemplo, se hunde a una velocidad bastante notoria, de 5 cm por
año.
39
3.5. DESARROLLOS RECIENTES
con el plano que contiene el centro de la Tierra (el ecuador terrestre)
y es perpendicular a Z; y el eje Y es perpendicular a Z y X, sobre el
plano ecuatorial y apunta hacia el este (ver figura 3.9).
Z
MERIDIANO CERO
ρ+h
P
ET
φ’
O
Y
λ
E
X
Figura 3.9: Relación entre las coordenadas rectangulares geocéntricas (X, Y, Z) y
las coordenadas geodésicas.
Se puede entonces establecer una relación entre las coordenadas rectangulares geocéntricas (X, Y, Z) y las coordenadas geodésicas (φ, λ, h).
Es claro que, para el punto P: OE = (ρ + h) cos φ . Nótese que estamos
suponiendo en primera aproximación que tanto ρ como h van en la misma dirección, lo que, estrictamente hablando, no es cierto (pero el error
surgido de esto es muy pequeño). Entonces, es fácil verificar que (ver
figura 3.9):
X = (ρ + h) cos φ cos λ,
Y
(3.13)
(3.14)
(3.15)
= (ρ + h) cos φ sen λ,
Z = (ρ + h) sen φ .
Las relaciones inversas se obtienen ası́: elevando al cuadrado (3.13),
(3.14) y (3.15) y sumando se obtiene, después de tomar la raı́z cuadrada:
ρ+h=
X 2 + Y 2 + Z 2.
(3.16)
40
CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
De (3.15) es inmediato obtener:
−1
φ = sen
Z
ρ+h
,
(3.17)
y con ayuda de la ecuación (3.5) se obtiene φ. Nótese que esto implica ya
contar con un elipsoide de referencia. Si X, Y, Z son de alguna realización
del IRTF, entonces el geoide debe ser WGS 84. Luego, con la expresión
(3.10) podemos obtener a ρ solamente y ası́, a partir de 3.16, hallamos
h. Finalmente, dividiendo (3.14) entre (3.13) llegamos a:
Y
−1
λ = tan
.
(3.18)
X
Ejemplo 1
El punto BOGT, receptor de señales GPS de Ingeominas, tiene por
coordenadas rectangulares (en unidades de metros): X = 1744398,99,
Y = −6116037,35, Z = 512731,76. Determinar las coordenadas geodésicas de dicho punto.
Solución
Aplicando la ecuación (3.16) tenemos:
ρ + h = 6 380 574,78 m.
Luego, con ayuda de (3.17) obtenemos la latitud geocéntrica:
φ = sen−1 (0,08035824) = 4o 36 32,97 ,
la que, al utilizar la ecuación (3.5) con f = 0,00335281, permite obtener
φ = 4o 38 24,31 . Luego hallamos ρ con ayuda de (3.10), habiendo hallado
previamente el valor de la excentricidad del elipsoide (e = 0,08181919):
ρ = 0,99997824 × a = 6 377 998,22 m. Esto da entonces para la altura
un valor de h = 6 380 574,78 − 6 377 998,22 = 2576,56 m. Finalmente
obtenemos la longitud:
λ = tan−1 (−3,5061000) = −74o 4 51,38”.
3.5. DESARROLLOS RECIENTES
41
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Seidelmann, P.K. (1992) Explanatory Supplement to the Astronomical
Almanac, University Science Books, Mill Valley.
La obra indispensable que expone, sin entrar en la rigurosidad, las modernas teorı́as y métodos de la astronomı́a de posición actual. Aunque se
supone que es un suplemento del Astronomical Almanac, es de todas formas un excelente libro para comprender con extensión muchos temas de
la astronomı́a moderna. El capı́tulo 4 contiene una completa descripción
acerca de las coordenadas terrestres.
Long, S. A. (1974) Derivation of Transformation Formulas Between Geocentric and Geodetic Coordinates for Nonzero Altitudes, NASA TN-7522,
Washington.
Este artı́culo técnico contiene desarrollos algebraicos que permiten encontrar fórmulas útiles entre la latitud geocéntrica y la geodésica.
Smart, W. M. (1965) Text-Book on Spherical Astronomy, Cambridge
University Press, Cambridge.
En el capı́tulo IX posee una excelente descripción de la relación matemática entre φ y φ.
The Astronomical Almanac, U.S. Government Printing Office, Washington.
En sus versiones recientes describe algunos geoides de referencia ası́ como
fórmulas para el cálculo de reducciones.
http://earth.google.es/
Desde aquı́ se puede descargar gratuitamente la versión básica del programa “Google Earth”, del cual es posible ver, estando el computador
conectado a internet, fotografı́as recientes y de alta resolución de diversas regiones del planeta, en particular de ciudades. Permite obtener las
coordenadas geodésicas de cualquier sitio con solo ubicarse sobre él.
http://maia.usno.navy.mil/
Información actualizada con emisión de reportes periódicos sobre el movimiento del polo ası́ como de la introducción de segundos bisiestos.
http://itrf.ensg.ign.fr/general.php
En esta página se encuentran conceptos fundamentales sobre el ITRF.
http://www.igac.gov.co
La página del Instituto Geográfico Agustı́n Codazzi contiene importante información sobre la cartografı́a nacional. En particular, aplicaciones
muy útiles que permiten realizar transformaciones entre sistemas de coordenadas.
Capı́tulo 4
LA BÓVEDA CELESTE
Imaginemos cómo es la visión del cielo para un observador que flota
en el espacio sideral ubicado entre las estrellas, lejos de la superficie de un
planeta o de cualquier otro cuerpo celeste. Dado que las distancias entre
las estrellas, e incluso entre los planetas, son tan extraordinariamente
enormes, el observador se enfrenta a algo que con los objetos cotidianos
de nuestra experiencia diaria es muy difı́cil de observar: al contemplar
los cuerpos celestes el sentido de percepción de profundidad y de estimación de distancia desaparece. Y al carecer de sentido de profundidad
y de perspectiva, todos los cuerpos celestes dan la ilusión óptica de estar
adheridos a una superficie, la cual, al extenderse en todas direcciones,
crea el engaño de conformar una esfera perfecta que rodea por completo
al espectador, esto es, el observador siente que está ubicado en el centro
de dicha esfera ilusoria (ver figura 4.1).
Para este observador (y para cualquier otro observador en el universo) la visión aparente del cielo es la de estar ubicado en el centro de una
gran esfera de color negro salpicada con puntos o manchones luminosos
distribuidos al azar. Para él, todas las estrellas, planetas, satélites, etc.,
parecen estar adheridos a la superficie de esa esfera negra.
La esfera ilusoria en la que los cuerpos celestes aparecen adheridos
como si estuvieran todos a la misma distancia del observador (éste ubicado exactamente en medio de ella) y sobre la cual es posible aplicar
las propiedades de los triángulos esféricos se conoce con el nombre de
bóveda celeste.
42
43
BOVEDA CELESTE
OBSERVADOR
Figura 4.1: Observador flotando en el espacio
Pero ahora imaginemos que ese observador esté situado sobre la superficie de un planeta, digamos la Tierra (ver figura 4.2). Nuestro planeta, comparado con objetos corrientes, o con nosotros mismos, es un
objeto de dimensiones colosales. Este simple hecho hace que cualquier
persona que observe el cielo contemple (suponiendo que no existen nubes, ni otros objetos naturales o artificiales que estorben su visión) el
siguiente panorama: él, ubicado en el centro de un gran disco rodeado
de forma simétrica por una enorme cúpula semiesférica (media esfera)
de color azul (en el dı́a) o negra con puntos luminosos (en la noche).
Lo importante aquı́ es recalcar el hecho de que es el borde de ese
disco aparente (el horizonte) lo que le demarca al observador qué es lo
que puede observar de la bóveda celeste y qué no (ver figura 4.3). En
otras palabras: el estar ubicado en la superficie de un planeta implica
que un observador no puede contemplar sino apenas la mitad del cielo
para un instante dado: el mismo planeta impide observar la otra mitad.
Esto sigue siendo más o menos válido para observadores que están ligeramente alejados de la superficie de la Tierra, como un piloto ubicado en
un avión de reacción o un astronauta situado en una estación espacial a
varios centenares de kilómetros de altura.
Al observar la bóveda celeste de dı́a, esto es, cuando el Sol es visible
para el observador, notamos que el cielo es de un color azul. De dı́a las
estrellas y los planetas son imposibles de observar en condiciones ordinarias (en ciertas situaciones muy favorables es posible observar el planeta
Venus, o pueden observarse las estrellas más brillantes en la breve du-
44
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE
VISIBLE AL OBSERVADOR
PLANETA
SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE
NO VISIBLE AL OBSERVADOR
Figura 4.2: Observador situado en la superficie de un planeta
ración de un eclipse total de Sol). En ausencia de la luz solar el cielo
adopta una coloración negra y aquellos astros que pasan desapercibidos
en el dı́a comienzan a observarse, como los planetas y las estrellas.
Un observador ubicado lejos de la superficie de un planeta no tiene
ningún tipo de inconveniente en observar el 100 % del cielo que lo rodea
por completo. Estrellas, planetas, el Sol y la Luna están al alcance de
su visión de manera permanente. Sólo tiene que dirigir la mirada en la
dirección que le llame la atención. Pero la situación cambia drásticamente cuando se está en la superficie de un planeta, un satélite o un
asteroide. Como veremos más adelante, no es lo mismo observar el cielo
si se está ubicado en los polos del planeta o en su ecuador. Existirán
lugares en la superficie de la Tierra donde para ciertas épocas del año
no es posible observar el Sol durante el dı́a, otros en los cuales se ve
durante las 24 horas del dı́a, etc.
El costo que se ha de pagar por estar observando la bóveda celeste
desde la superficie de un planeta, satélite, asteroide o cometa es que,
debido a la rotación de estos alrededor de un eje, las estrellas y objetos
conspicuos como una estrella cercana (por ejemplo el Sol), se moverán
con respecto al horizonte. La magnitud de dicho movimiento y su dirección dependerán del tipo de movimiento de rotación que tenga el objeto
4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
45
ONTE
HORIZ
Figura 4.3: Origen del concepto de horizonte
desde donde se hace la observación. La Tierra posee un movimiento de
rotación en el sentido oeste-este de tal forma que describe una revolución completa en 24 horas. Este movimiento del planeta sobre su eje
es visualizado por un observador ubicado sobre su superficie como un
movimiento de la bóveda celeste en dirección este-oeste (la dirección
contraria a la que rota el planeta) la cual describe una vuelta completa
alrededor de la Tierra en 24 horas. En la sección 5.1 se ampliará este
tema con más detalle.
A menos que estemos en un viaje interplanetario o interestelar —
circunstancia que desafortunadamente no es común dado nuestro actual
estado tecnológico— en adelante nos concentraremos en la forma como un observador, ubicado sobre la superficie de un planeta, contempla
aparentemente el cielo. Para ello necesitamos introducir unos conceptos
básicos para nuestro estudio.
4.1.
Conceptos fundamentales
Como ya se dijo, la bóveda celeste es la esfera ilusoria que resulta
del hecho de que, aparentemente, los cuerpos celestes se hallan ubicados
sobre un fondo de color negro (o azul si es de dı́a), dando la impresión
46
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
PNT
M
ER
ID
IA
NO
CE
LE
ST
E
PNC
TIERRA
ET
EC
PST
PSC
Figura 4.4: Definiciones sobre la bóveda celeste
de que dicha superficie es de hecho real y que el observador es el centro
de la misma. Por mucho tiempo los astrónomos antiguos creyeron que
la bóveda celeste era real, y que sobre la misma estaban ubicadas las
estrellas, de tal forma que todas estas estaban a la misma distancia de
la Tierra.
Bien puede uno estar tentado a asignar un determinado valor al radio de la bóveda celeste. De hecho, es claro que si se le ha de asignar
un radio, este debe ser muy grande, incluso infinito. Sin embargo, en
astronomı́a esférica dicho radio se adopta igual a la unidad con lo que
se obtienen enormes ventajas a la hora de poder describir con detalle la
posición de los astros sobre ella.
A continuación definimos sobre la bóveda celeste los siguientes conceptos:
- El polo norte celeste (PNC) y el polo sur celeste (PSC) son puntos
47
4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
C (CENIT)
MERIDIANO DEL
OBSERVADOR
PNC
φ
E
HORIZO
NTE
S
W
N
PSC
C’ (NADIR)
Figura 4.5: Meridiano del observador
que resultan de la intersección del eje de rotación terrestre con la esfera
celeste. Nótese que esto equivale a tomar los polos terrestres, ubicados
en el eje de rotación, y proyectarlos sobre la bóveda celeste (ver figura
4.4).
- El ecuador celeste (EC) es la circunferencia máxima que resulta de
la intersección del plano que contiene al ecuador terrestre (ET) con la
esfera celeste. La introducción del ecuador celeste permite dividir la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio norte celeste (que contiene
el polo norte celeste) y el hemisferio sur celeste.
- Los meridianos celestes son semicircunferencias máximas que pasan por los polos celestes PNC y PSC. Como el lector habrá notado, el
concepto de meridiano celeste resulta de la proyección de los meridianos
terrestres en la bóveda celeste.
Los anteriores conceptos son independientes de la posición del observador. Definimos ahora los siguientes conceptos:
48
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
- El cenit (o zenit) (C) de un observador es el punto de la esfera
celeste que está situado directamente sobre el observador. En un sentido
literal, decimos que el cenit es aquel punto imaginario en la bóveda celeste que está ubicado directamente encima de la cabeza del observador.
- El nadir (C ) de un observador es el punto de la esfera celeste que
es diametralmente opuesto a C. El nadir es entonces aquel punto imaginario en la bóveda celeste que está directamente debajo de los pies del
observador.
C
MERIDIANO DEL
OBSERVADOR
PNC
*
CIRCULO DE
DECLINACION
E
N
S
HORIZ
ONTE
W
E
T
ES
L
R
DO
CE
UA
EC
VERTICAL
PSC
C’
Figura 4.6: Definiciones sobre la bóveda celeste
- El horizonte de un observador es el plano perpendicular a la lı́nea
que existe entre el observador y su cenit (ver figura 4.7). La circunferencia máxima en la cual el horizonte del observador encuentra la esfera
celeste es llamada horizonte matemático. Y decimos que es matemático
porque con esta definición no estamos considerando lo que sucede en la
práctica: la existencia de obstáculos naturales (árboles y montañas) y
artificiales (como edificios) hacen que la demarcación no sea una “lı́nea
perfecta” sino más bien tenga un perfil irregular. Sin embargo, los cálcu-
4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
49
los astronómicos usuales que deben tener en cuenta el horizonte, como
la salida y puesta de los astros, se realizan con el concepto de horizonte
matemático.
PNC
PNC
CENIT
φ
φ
PLANO DEL
HORIZONTE
Figura 4.7: Plano del horizonte
- El meridiano del observador es el meridiano celeste que pasa por el
cenit C del observador. El meridiano del observador es entonces la semicircunferencia que va de polo a polo y pasa por el cenit del observador.
Cuando un astro pasa por el meridiano del observador se dice entonces
que dicho astro está culminando.
- Puntos cardinales. Definimos los puntos cardinales norte (N), sur
(S), este (E) y oeste (W) como los puntos ubicados en el horizonte de
un observador cualquiera (salvo situado en los polos geográficos) con las
siguientes caracterı́sticas:
Los puntos cardinales norte y sur resultan de la intersección del meridiano del observador con el horizonte matemático. La ubicación del
punto cardinal norte queda determinada por el grado de separación existente entre el PNC y el horizonte: dicho punto se ubica en la intersección
para la cual la separación entre el PNC y el horizonte es inferior (tanto
arriba como abajo del horizonte) a 90 grados. Lo mismo es válido para
el punto cardinal sur: este se ubica en la intersección entre el horizonte
y el meridiano del observador cuando la separación entre el PSC y el
horizonte es menor de 90 grados.
50
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
Los puntos cardinales este (oriente) y oeste (occidente) se originan
en la intersección del ecuador celeste con el horizonte. Un observador
que mira hacia el punto cardinal norte tendrá hacia su derecha el punto
cardinal este; a su izquierda se ubica el punto cardinal oeste.
Llamaremos vertical de un astro a la semicircunferencia que va de
cenit a nadir y pasa por el astro correspondiente. Es claro que la vertical
de cualquier astro es perpendicular al horizonte del observador.
Designamos como cı́rculo de declinación de un astro a la semicircunferencia que va de PNC a PSC y atraviesa el astro correspondiente.
Nótese que corresponde al meridiano celeste del astro. Obviamente, el
cı́rculo de declinación de un astro cualquiera es perpendicular al ecuador
celeste.
Se llama almicantarat a todo cı́rculo mı́nimo de la esfera celeste que
es paralelo al horizonte (ver figura 4.8). De igual forma, llamamos primer vertical a la semicircunferencia que va de este (E) a oeste (W) y
pasa por el cenit del observador.
C
PRIMER VERTICAL
ALMICANTARAT
E
N
S
HORIZONTE
W
MERIDIANA
C’
Figura 4.8: Definición de Almicantarat y de primer vertical
La lı́nea norte-sur trazada sobre el horizonte se llama meridiana.
4.2. OBSERVACIÓN DEL CIELO SEGÚN LA LATITUD
51
Existen varias formas de marcar la meridiana en un determinado lugar.
La más obvia es ubicar el norte geográfico, lo que puede hacerse en principio con una brújula. Sin embargo, es importante tener en cuenta que
las brújulas apuntan es hacia el polo norte magnético y este no coincide
con el polo norte geográfico (lo que hemos llamado polo norte terrestre,
PNT). Peor aun: el norte magnético se desplaza sensiblemente conforme
transcurre el tiempo. Sin embargo, si se conoce qué tanto está desviado
el norte geográfico del norte magnético, es posible tener en cuenta esta diferencia en la lectura que esté indicando la brújula. Se denomina
declinación magnética el valor angular que existe entre el norte geográfico y la dirección a la que apunta la brújula. Es un dato que depende
del lugar y del instante de la medición. En internet existen sitios donde es posible hallar dicho valor para un sitio determinado (ver al final
del capı́tulo). Supongamos que en un determinado lugar se tiene que el
valor de la declinación magnética es 5o 0 este. Ello significa que el polo
norte magnético está desplazado 5o 0 al este del polo norte geográfico.
En otros términos, el polo norte geográfico está desplazado 5o 0 oeste de
lo que indica la brújula.
4.2.
Observación del cielo según la latitud
Una de las consecuencias más notorias de observar el cielo desde un
planeta es la dependencia directa de dicha observación con la posición
geográfica del observador; no es lo mismo observar el cielo desde los polos
terrestres que desde el ecuador terrestre.
PNC
PNC
CENIT
PNT
EC
PSC
EC
ONTE
HORIZ
NADIR
PSC
Figura 4.9: Configuración del cielo para un observador en el PNT
52
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
Consideremos el caso de un observador ubicado en el polo norte
terrestre (PNT). Como es claro de la figura 4.9, dicho observador contempla siempre en su cenit al polo norte celeste (PNC). El ecuador celeste para dicho observador coincide con su horizonte. En consecuencia,
este observador podrá contemplar siempre las estrellas del hemisferio
norte celeste pero jamás podrá observar las estrellas del hemisferio sur.
Únicamente podrá observar la mitad de la bóveda celeste. Las estrellas
estarán girando alrededor del PNC cada una sobre el mismo almicantarat. Nótese que el ángulo existente entre el horizonte y el PNC, ángulo
que llamaremos la altura del PNC, para este observador, es de exactamente 90o .
La situación es análoga para un observador situado en el polo sur
terrestre (PST). Este tendrá en su cenit al polo sur celeste (PSC), el
ecuador celeste también coincide con su horizonte y solamente podrá observar las estrellas del hemisferio sur celeste. La altura del PNC para este
observador es de −90o donde el signo negativo indica que está por debajo del horizonte.
En cambio, consideremos a un observador ubicado en el ecuador
terrestre (ET). Dicho observador (ver figura 4.10) tendrá a los polos
ubicados exactamente en el horizonte. En su cenit siempre tendrá un
punto que hace parte del ecuador celeste (EC). Para un instante cualquiera podrá observar la mitad de cada hemisferio norte y sur, lo que
significa que puede observar (aunque no simultáneamente) toda la bóveda celeste. La altura del PNC es, en este caso, de 0o .
Generalicemos. Existe una relación entre la latitud a la cual está situado un observador (φ) y la altura del PNC con respecto al horizonte.
La regla fundamental es:
La altura del polo norte celeste con respecto al horizonte es igual a
la latitud del observador.
En los casos extremos vistos anteriormente la relación es clara: un
observador a latitud φ = +90 el PNC está a 90 grados de altura sobre
el horizonte; un observador a una latitud de φ = 0 el PNC está a 0 grados sobre el horizonte. Nótese que la distancia angular existente entre el
cenit del observador y el ecuador celeste equivale a su latitud en valor
absoluto (ver figura 4.11).
53
4.2. OBSERVACIÓN DEL CIELO SEGÚN LA LATITUD
PNC
CENIT
EC
PNT
EC
CENIT
PNC
ONTE
HORIZ
PSC
NADIR
PSC
Figura 4.10: Configuración del cielo para un observador en el ET
El PNC es un punto imaginario sobre la bóveda celeste que en la
práctica es difı́cil de ubicar. Por fortuna existe una estrella relativamente brillante a poca distancia de él. Dicha estrella se conoce con el nombre
de Polaris, o estrella polar. La distancia entre Polaris y el PNC es, para
esta época, cercana a los 45 minutos de arco, con lo que medir la altura
de esta estrella con respecto al horizonte constituye una primera aproximación para la determinación de la latitud de un observador. En los
CENIT
φ
PNC
φ
HORIZONTE
EC
EJE
DE
RO
TA
CIO
N
PSC
Figura 4.11: Latitud y altura del PNC sobre el horizonte
54
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
almanaques náuticos existen tablas de correcciones que permiten obtener valores más precisos para establecer la latitud observando la estrella
polar.
En las bajas latitudes la determinación de la latitud por la altura de
la estrella polar es impracticable.
E
12.5N
4.5N
4.3S
Puesto que Colombia está situada entre latitudes que van desde 4◦
S hasta 12◦ N (con San Andrés y Providencia) es claro que el ecuador
celeste desde nuestras ciudades es casi perpendicular al horizonte (ver
figura 4.12).
HORIZONTE MATEMATICO
Figura 4.12: Posición del ecuador celeste con respecto a la normal al horizonte
(lı́nea punteada) para Bogotá (4.5 N), San Andrés (12.5 N) y Leticia (4.3 S)
4.3.
La eclı́ptica
La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita casi circular. Describe una revolución completa de 360 grados en unos 365.25 dı́as. Puesto
que nosotros, como observadores del universo, estamos ubicados en la
Tierra, el movimiento de traslación se ve reflejado por el movimiento del
Sol con respecto a las estrellas “fijas”. Ahora bien, la Tierra se mueve
en dirección contraria de las agujas del reloj vista desde el PNC; es evidente, de la figura 4.13, que el Sol describe también un movimiento en
la dirección contraria de las agujas del reloj, visto desde el PNC. Como
la órbita de la Tierra está contenida en un plano (ver sección 12.4, pág.
4.3. LA ECLÍPTICA
55
274), es evidente que la “trayectoria” que va describiendo el Sol en el
cielo estará contenida en un plano, el cual, en la intersección de este con
la esfera celeste, resultará en una circunferencia máxima. La circunferencia máxima que resulta de la intersección del plano de la órbita de la
Tierra en torno al Sol con la esfera celeste se llama eclı́ptica. Otra forma
de decirlo es: la eclı́ptica es la trayectoria aparente que describe el Sol
en la bóveda celeste.
BOVEDA CELESTE
SOL
ORBITA DE LA TIERRA
Figura 4.13: El plano de la Tierra en torno al Sol da origen al concepto de eclı́ptica
Por otro lado, y por razones que no se conocen bien, y que se supone
ocurrieron en las primeras fases de formación del sistema solar, nuestro
planeta tiene su eje de rotación inclinado con respecto a la normal al
plano orbital. En otros términos: existe un ángulo diferente de cero entre
el eje de rotación terrestre y la normal al plano de la órbita de la Tierra
en torno del Sol (ver figura 4.14).
Este ángulo se conoce con el nombre de oblicuidad de la eclı́ptica y
se denota con la letra griega épsilon ( ). Tiene un valor de unos 23,5
grados, pero a causa de las perturbaciones gravitacionales de la Luna, el
Sol y los planetas, va cambiando ligeramente con el tiempo. Expresiones
matemáticas para hallar el valor de al segundo de arco están dadas en
la sección 10.2, pág. 214.
Si el valor de fuera cero, esto es, si el eje de rotación terrestre coincidiera con la normal al plano de la órbita terrestre, entonces ecuador
celeste y eclı́ptica serı́an una misma cosa. Pero como la realidad es dis-
56
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
Π
PNC
ε
ET
EJE DE ROTACION
PLANO DE TRASLACION TERRESTRE
PSC
Figura 4.14: La oblicuidad de la eclı́ptica
tinta, resulta que el ecuador celeste y la eclı́ptica forman un ángulo que
resulta siendo la oblicuidad de la eclı́ptica, (ver figura 4.15).
Los polos de la eclı́ptica están ubicados a 23,5o de los polos celestes. El polo norte eclı́ptico y el polo sur eclı́ptico se representan por los
sı́mbolos Π y Π respectivamente.
El hecho de que la Tierra esté inclinada con respecto a la normal al
plano de su órbita quiere decir que entre la eclı́ptica y el ecuador celeste
existe un ángulo igual a la oblicuidad de la eclı́ptica, . Como ecuador
Π
PNC
ECLIPTICA=ECUADOR CELESTE
Π
ECL
ε
IPT
ICA
PNS
ε PNC
ε
EC
Π’
Figura 4.15: Ecuador celeste y eclı́ptica. A la izquierda el caso hipotético = 0. A
la derecha el caso real
57
4.4. ESTACIONES
celeste y eclı́ptica son circunferencias máximas y estas están mutuamente
inclinadas un determinado ángulo, es evidente que existirán dos puntos
de corte entre ellas. Dichos puntos de corte entre la eclı́ptica y el ecuador
celeste son de una importancia capital en astronomı́a.
Π
PNC
PUNTO
ANTIVERNAL
ε
A
ECLIPTIC
ε
E
PUNTO VERNAL
LEST
R CE
ADO
ECU
PSC
Π’
Figura 4.16: Punto vernal y punto antivernal
Se llama punto vernal o primer punto de Aries o también equinoccio
vernal a uno de los dos puntos de corte entre el ecuador celeste y la
eclı́ptica, especı́ficamente aquel que surge del paso del Sol cuando atraviesa el ecuador celeste desde el hemisferio sur hacia el hemisferio norte.
El otro punto, situado a 180 grados, se llama punto antivernal. El punto
vernal, representado por el sı́mbolo , es un punto imaginario sobre la
bóveda celeste que se comporta como una estrella situada exactamente
en el ecuador celeste (ver figura 4.16). Su importancia radica en que es
el origen de varios sistemas de coordenadas celestes (ver secciones 6.3
y 6.4) como también el punto de referencia para la determinación del
tiempo sideral (ver sección 7.1.1).
4.4.
Estaciones
Muchas personas creen que la explicación de las estaciones descansa
en el hecho de que la órbita que describe la Tierra en torno del Sol es
58
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
ovalada, pues piensan que en perihelio (la menor distancia entre ambos
astros) ocurre el verano y en afelio (la mayor distancia) el invierno. Un
rápido vistazo a la tabla 4.1 permite cotejar que el perihelio de la Tierra
sucede en los primeros dı́as del año (cuando en el hemisferio norte ocurre
el invierno, y en el hemisferio sur el verano). De igual forma, el afelio
sucede en los primeros dı́as de julio (cuando en el hemisferio norte ocurre
el verano, y en el hemisferio sur el invierno). La razón verdadera de la
ocurrencia de las estaciones en la Tierra es la existencia de un ángulo
de inclinación diferente de cero.
Perihelio
19 horas de enero 2 de 2008
10 horas de enero 4 de 2009
19 horas de enero 2 de 2010
14 horas de enero 3 de 2011
19 horas de enero 4 de 2012
0 horas de enero 2 de 2013
7 horas de enero 4 de 2014
2 horas de enero 4 de 2015
Afelio
3 horas de julio 4 de 2008
21 horas de julio 3 de 2009
6 horas de julio 6 de 2010
10 horas de julio 4 de 2011
22 horas de julio 4 de 2012
10 horas de julio 5 de 2013
19 horas de julio 3 de 2014
14 horas de julio 6 de 2015
Tabla 4.1: Perihelios y afelios de la Tierra entre 2008 y 2015. Horas en hora legal
para Colombia
El Sol, en el transcurso del año, corta al ecuador celeste en dos puntos, que se llaman equinoccios. Esto ocurre dos dı́as en el año: el 20 (o
21) de marzo y el 22 (o 23) de septiembre. En estos dı́as la duración
del número de horas de luz es igual al número de horas de oscuridad.
Una vez que el Sol pasa por el equinoccio se va alejando lentamente del
ecuador celeste hasta alcanzar la mayor separación con este: la separación máxima entre el Sol y el ecuador celeste es un ángulo , esto es, de
23,5 grados. Estos puntos que están ubicados en la eclı́ptica se llaman
solsticios y ocuren el 20 (o 21) de junio y el 21 (o 22) de diciembre. Es
en los solsticios cuando ocurre la mayor diferencia de duración entre los
dı́as y las noches.
El verano se presenta en el hemisferio que recibe mayor cantidad
de radiación solar en términos de mayor duración del dı́a, esto es, los
observadores en este hemisferio verán el Sol sobre su horizonte un tiempo
59
4.4. ESTACIONES
que es mayor de 12 horas (ver figura 4.17). Para observadores situados
en o cerca del ecuador terrestre (como es el caso de observadores en el
territorio nacional) el efecto de las estaciones es muy poco perceptible.
La duración del dı́a y la de la noche varı́an solo unos pocos minutos en
el transcurso del año. En Bogotá, por ejemplo, a finales del mes de mayo
el Sol sale más temprano (5h 42m ) pero se oculta a eso de las 18h 3m ;
otro máximo lo vuelve a tener a finales de octubre (5h 41m ) cuando se
oculta a eso de las (17h 39m ). El Sol sale más tarde a finales de enero
y comienzos de febrero (6h 12m ) y se oculta para esos dı́as cerca de las
(18h 8m ).
PNC
PNC
HN
HS
HS
HN
SOL
Figura 4.17: Posición del hemisferio norte (HN) y el hemisferio sur (HS) en los dos
solsticios
Los solsticios y los equinoccios eran eventos que para los pueblos
antiguos cobraban especial importancia. Muchos monumentos de la anh
6
m
18
h
m
6
12
18 12
6
6
18 6
6
0
18 0
5
54
17 54
5
48
17 48
5
42
17 42
5
36
18 18
17 36
EN
FE
MAR
AB
MA
JUN
JUL
AG
SE
OC
NO
DI
EN
FE
MAR
AB
MA
JUN
JUL
AG
SE
OC
NO
DI
Figura 4.18: Tiempos de salida (izquierda) y puesta (derecha) del Sol para Bogotá en el transcurso del año
60
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
tigüedad ası́ como numerosos emplazamientos de carácter religioso estaban debidamente orientados en la dirección de la salida y puesta del Sol
en los solsticios y los equinoccios1 .
A medida que la latitud del observador tienda hacia los polos, el efecto de la diferencia entre el dı́a y la noche es más notorio: por ejemplo,
cerca del solsticio de verano (para un observador en el PNT) el Sol no
se pondrá sobre el horizonte: permanecerá las 24 horas del dı́a sobre el
horizonte; es el llamado sol de medianoche. El invierno es justamente lo
opuesto: el otro hemisferio recibe menor cantidad de radiación solar en
términos de mayor duración de la noche que del dı́a. Cerca del solsticio
de invierno (para un observador en el PST) el Sol no saldrá; existirán
24 horas de noche continua.
Año
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Equinoccio
de marzo
dı́a 20, 0h 48m
dı́a 20, 6h 44m
dı́a 20, 12h 32m
dı́a 20, 18h 21m
dı́a 20, 0h 14m
dı́a 20, 6h 2m
dı́a 20, 11h 57m
dı́a 20, 17h 45m
Solsticio
de junio
dı́a 20, 18h 59m
dı́a 21, 0h 45m
dı́a 21, 6h 28m
dı́a 21, 12h 16m
dı́a 20, 18h 9m
dı́a 21, 0h 4m
dı́a 21, 5h 51m
dı́a 21, 11h 38m
Equinoccio
de septiembre
dı́a 22, 10h 44m
dı́a 22, 16h 18m
dı́a 22, 22h 9m
dı́a 23, 4h 4m
dı́a 22, 9h 49m
dı́a 22, 15h 44m
dı́a 22, 21h 29m
dı́a 23, 3h 20m
Solsticio
de diciembre
dı́a 21, 7h 4m
dı́a 21, 12h 47m
dı́a 21, 18h 38m
dı́a 22, 0h 30m
dı́a 21, 6h 11m
dı́a 21, 12h 11m
dı́a 21, 18h 3m
dı́a 21, 23h 48m
Tabla 4.2: Equinoccios y solsticios de la Tierra entre 2008 y 2015
La tabla 4.2 contiene los tiempos (en hora legal para Colombia) de
la ocurrencia de los solsticios y equinoccios de la Tierra para los años
2008 a 2015.
1
La Navidad y el San Juan (celebrada principalmente en España) son dos fiestas
religiosas cuyo origen real fue la celebración de los solsticios (de invierno y verano
respectivamente) por muchos pueblos paganos: la primera celebraba el fin de las
noches largas y el inicio de los dı́as de mayor duración, interpretada por los romanos
como el renacimiento del dios solar Mitra y adoptada por la iglesia católica como
fecha de nacimiento de Jesucristo tan sólo hasta el año 360 A. D.
4.5. CONSTELACIONES
4.5.
61
Constelaciones
Nuestro Sol es una de las miles de millones de estrellas que conforman la galaxia de la Vı́a Láctea. Podemos ver fácilmente y a simple vista
que se trata de un objeto redondo que emite a cada instante enormes
cantidades de luz y calor que sustentan prácticamente toda la vida en
nuestro planeta. Esta observación es común a todos nosotros gracias al
hecho de que vivimos en un sitio relativamente cercano al Sol. Si observáramos el Sol desde Plutón, o más lejos, estarı́amos tan alejados de
él que pasarı́a a convertirse en una simple estrella. De hecho, las estrellas más cercanas al Sol son contempladas a simple vista desde la Tierra
como puntos luminosos, algunos brillantes, otros no tanto. Ahora bien,
notamos que las estrellas están dispersadas de forma completamente desordenada: no existe un patrón regular de distribución de las mismas en
el cielo. Hoy sabemos que no tiene por qué haberlo: las estrellas que vemos a simple vista, al igual que el Sol, se mueven alrededor del centro de
la galaxia gracias a la atracción gravitacional que existe entre ellas; van
desplazándose por el espacio a velocidades y direcciones ligeramente distintas las unas de las otras. Muchas de esas estrellas son jóvenes (recién
formadas) y otras moribundas: en un proceso azaroso, por el espacio, a
medida que transcurren los milenios surgen, evolucionan y desaparecen
estrellas. Nosotros, como espectadores efı́meros de estos sucesos, tan solo
estamos contemplando un cuadro de esa pelı́cula galáctica.
Cuando los seres humanos observamos las estrellas, nos vemos con el
impulso de encontrar alguna clase de ordenamiento, algún tipo de forma geométrica entre las mismas. También es posible que, casualmente,
una determinada distribución de estrellas nos recuerde inmediatamente
algún animal, objeto o cualquier otra cosa de nuestra experiencia diaria.
Fue ası́ como, desde tiempos inmemoriales, los antiguos observadores del
cielo comenzaron a establecer patrones dentro de esa distribución caótica de estrellas.
Por ejemplo, un grupo de estrellas brillantes que aparentemente conforman una especie de triángulo recordaba a varios pueblos antiguos la
cabeza de un “toro”. Pero, lo que para unos era la cabeza de un toro,
para otros podı́a ser “la punta de la flecha” o el “triángulo” o cualquier
otra figura más elaborada. Cada quien se vio con la libertad de interpretar y bautizar dicho grupo de estrellas conforme a sus creencias, vivencias y tradiciones. Otras agrupaciones de estrellas correrı́an igual suerte.
62
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
.
ERIDANUS
TAURO
ORION
.
.
.
GEMINIS
..
..
BELLATRIX
.
.
.
..
RIGEL
...
.
.
BETELGEUSE
.
LEPUS
.. . .
MONOCEROS
Figura 4.19: Constelación de Orión
Lentamente surgieron caballos, leones, pescados, perros, serpientes, etc.
También aparecerı́an dioses y héroes mitológicos. Aunque en algunos
casos el nombre de una constelación hacı́a justicia con el nombre que
se le adjudicaba (como en el caso de Escorpión o Leo, donde no hace
falta ser muy imaginativo para darse cuenta que en efecto las estrellas
conforman una figura tal que recuerda de inmediato a esos animales),
por lo general los grupos de estrellas fueron bautizados con nombres que
evocaban muy poco lo que realmente se veı́a en el cielo: piénsese en la
gran dificultad con que se encuentra uno al tratar de buscar la figura de
una virgen en el grupo de estrellas de la constelación de Virgo, o de la
reina Casiopea en la constelación del mismo nombre.
Un número significativo de constelaciones utilizadas hoy en dı́a nos
vienen directamente de los antiguos griegos. Sin embargo, las investigaciones históricas que se han hecho al respecto apuntan a que estos
copiaron algunos de los patrones que astrónomos babilonios y sumerios
usaban ya unos 2000 a. C. El origen de los nombres de algunas de las
constelaciones más populares se pierde, pues, en las profundidades del
tiempo.
4.5. CONSTELACIONES
63
La descripción más antigua de las constelaciones de que tengamos
noticias, tal y como las conocemos modernamente, proviene de un trabajo titulado “fenómenos” (el cual no alcanzó a llegar hasta nosotros),
escrito por el célebre matemático y astrónomo griego Eudoxo de Cnidos
(408-355 a. C.). Pero sobrevivirı́a la obra que cien años después (alrededor del 270 a. C.) el poeta griego Arato compuso al hacer una versión
poética de la obra de Eudoxo llamándola también “fenómenos”, muy
popular en la antigüedad. Posteriormente, Claudio Ptolomeo (100-170),
uno de los astrónomos y geógrafos más famosos de la antigüedad, en su
obra el Almagesto, realizó, en los libros séptimo y octavo, un inventario del cielo que incluyó un catálogo muy completo de estrellas. Ahı́ se
describen los nombres y las figuras de 48 constelaciones, las cuales, con
cambios muy sutiles, son prácticamente idénticas a las que se usan en
astronomı́a actualmente. Sin embargo, existı́a una que otra región del
cielo que no era cubierta por algún tipo de figura, esto es, habı́a parches
en la bóveda celeste que no estaban rotulados con el nombre de alguna
persona, animal o cosa, particularmente aquellos sectores del cielo imposibles de observar desde las latitudes en que vivieron babilonios, egipcios
y griegos. Estos vacı́os (sobre todo la región que rodea el polo sur celeste) fueron lentamente llenados por hombres de la talla de Gerhardus
Mercator (1512-1594), Johannes Hevelius (1611-1687) y Nicolas-Louis
de Lacaille (1713-1762); este último llegó a introducir 14 nuevas constelaciones. Con el tiempo, cualquier sector de la bóveda celeste estuvo
“dentro” de alguna constelación definida.
En la primera reunión de la Unión Astronómica Internacional (UAI),
en el año de 1922, oficialmente se adoptó la lista completa de 88 constelaciones que usamos hoy. De la misma manera que cualquier terreno,
isla, pueblo o ciudad existente en el continente americano pertenece a
alguno de los 36 paı́ses oficialmente allı́ reconocidos, ası́, cualquier estrella, nebulosa, galaxia, etc., “pertenece” a alguna de las 88 constelaciones
en que se ha dividido el cielo. Para evitar confusiones y malos entendidos los paı́ses establecen fronteras lo más definida posible entre ellos.
De igual forma, los astrónomos se vieron en la necesidad de establecer
fronteras entre las mismas constelaciones, las cuales se definieron por
medio de coordenadas ecuatoriales ya para el año de 1930.
Por lo tanto, el concepto moderno de constelación es distinto del que
le dieron los antiguos. Para nosotros ya no se trata de “un grupo de
64
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
estrellas que nos recuerda determinado dios, persona, animal o cosa”,
sino más bien una constelación es tan solo una de las 88 partes en que
arbitrariamente se ha dividido la bóveda celeste.
En la figura 4.19 podemos observar una de las constelaciones más
conocidas y fáciles de identificar: la de Orión, el cazador del cielo. Las
fronteras entre las constelaciones son representadas como trazos segmentados. Son de uso común, como ayuda para distinguir y ubicar rápidamente las estrellas principales, los trazos continuos entre las estrellas
más representativas y que permitan, si es posible, esbozar la figura que
dio origen al nombre de la constelación.
El concepto de constelación es útil porque nos permite ubicar rápidamente un cuerpo celeste en un sector definido del cielo. Alguien que
conoce la bóveda celeste tendrá una buena idea de dónde se encuentra
la Luna si se le dice que está, para un instante dado, en la constelación
de Cáncer.
Las constelaciones que casi todo el mundo ha oı́do mencionar —
aunque muy pocos tienen la habilidad de distinguir unas cuantas a simple vista— son sin duda las zodiacales: Aries (el carnero), Tauro (el toro),
Géminis (los gemelos), Cáncer (el cangrejo), Leo (el león), Virgo (la virgen), Libra (la balanza), Escorpión, Sagitario (el arquero), Capricornio
(la cabra), Acuario y Piscis (los peces). La astrologı́a ha tenido mucho
que ver en la fama de estas doce constelaciones. La difusión que tienen
entre la mayorı́a de la población se debe al hecho de que la eclı́ptica (la
trayectoria aparente que describe el Sol por entre las estrellas) pasa a
través de estas constelaciones. Siendo estrictos, el número de constelaciones zodiacales deberı́a ser de 13 y no de 12, pues la eclı́ptica atraviesa
parte de la constelación de Ofiuco (el portador de serpientes). Debido a
la pequeña inclinación que tienen los planetas y la Luna con respecto al
plano de la eclı́ptica, es un hecho que estos cuerpos celestes se encuentren ubicados permanentemente entre las constelaciones zodiacales (ver
pie de página de la página 80).
4.6.
Nombres de estrellas y designaciones
Aproximadamente se pueden ver a simple vista unas cinco mil estrellas. Sin embargo, solo unos pocos centenares poseen nombres propios y
4.6. NOMBRES DE ESTRELLAS Y DESIGNACIONES
65
alrededor de unas sesenta son utilizadas por los navegantes, ingenieros
geógrafos y otros profesionales.
Los nombres propios de las estrellas poseen diversos orı́genes. Algunos provienen directamente del griego, como Procyon, Canopus y Antares. Estrellas como Sirius y Arcturus ya aparecen mencionadas en la
obras de los célebres poetas griegos Homero y Hesiodo, alrededor del siglo
VIII a. C. Es conocido que muchos de los nombres de las estrellas provienen del árabe. El prefijo Al (que en árabe significa el artı́culo definido
“el”) comienza el nombre de algunas estrellas: Aldebaran (el seguidor),
Algenib (el costado) y Algol (el demonio). Tan solo unas cuantas estrellas tienen nombres recientes, por ejemplo Cor Caroli, la estrella más
brillante de la constelación de Canes Venatici, cuyo nombre fue colocado
por Edmond Halley.
El astrónomo alemán Johann Bayer publicó en 1603 un libro llamado
Uranometria en el cual introdujo un sistema de letras griegas para designar las estrellas más brillantes de una constelación. Basado en el trabajo
de Tycho Brahe, quien determinó las posiciones estelares y magnitudes
de un gran número de estrellas visibles a simple vista, Bayer asignó a
cada estrella de una constelación una de las 24 letras del alfabeto griego. De esta manera la designación de una estrella está dada por la letra
griega seguida de la forma genitiva (la declinación que da la idea de
pertenencia) del nombre de la constelación. Ası́ por ejemplo la estrella
Sirius, la más brillante de la constelación de Canis Major (el can mayor),
queda, bajo la designación de Bayer, Alfa Canis Majoris. John Flamsteed, para comienzos del siglo XVIII, numeró las estrellas dentro de cada
constelación de manera consecutiva de acuerdo con su ascensión recta.
Aún hoy se siguen utilizando los números de Flamsteed para designar
estrellas poco brillantes, por ejemplo 61 Cygni.
Con el tiempo se han elaborado catálogos que incluyen gran cantidad
de estrellas, con lo que la designación de las mismas se complica. Por
lo general estos catálogos ignoran la pertenencia de una estrella a una
constelación dada y la numeración se basa en el sentido creciente de la
ascensión recta. Por ejemplo, la estrella Vega (Alfa Lyrae) es designada
como BD+38o 3238 en el catálogo Bonner Durchmusterung; al mismo
tiempo se llama HD 172167 en el catálogo de Henry Draper de clasificaciones espectrales; o también GC 25466 en el “Catálogo general de
66
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
33 342 estrellas” de Benjamı́n Rose; o ADS 11510 en el “Nuevo catálogo
general de estrellas dobles” de Robert Aitken.
4.7.
Catálogos de estrellas
El primer catálogo de estrellas propiamente dicho se atribuye a Ptolomeo en el siglo II A. D. Se ha sugerido que Ptolomeo lo que hizo
fue copiar y actualizar ligeramente el trabajo hecho en el mismo sentido por el célebre astrónomo griego Hiparco en el siglo I a. C. Pero las
evidencias históricas apuntan a que Ptolomeo obtuvo por sı́ mismo las
posiciones de al menos 850 estrellas de las 1022 que aparecen en el Almagesto. Es de notar que el catálogo de Ptolomeo permaneció en uso por
más de quince siglos, haciéndose obsoleto solamente hasta bien entrado
el Renacimiento. Con la aparición de Tycho Brahe a finales del siglo
XVI comenzó a surgir el espı́ritu de búsqueda frenética de la exactitud
en las observaciones astronómicas. Con ayuda de cuadrantes y sextantes monumentales (el telescopio fue utilizado por primera vez con fines
astronómicos por Galileo ocho años después de la muerte de Brahe), el
hábil astrónomo danés midió las posiciones de 1000 estrellas. Puesto que
el poder de resolución de un ojo normal humano alcanza los dos minutos
de arco, es de suponer que las observaciones de Brahe alcanzaran una
precisión de dos a cuatro minutos de arco. Un catálogo equivalente al de
Brahe pero para el hemisferio sur celeste tuvo que esperar hasta unos 90
años después, cuando Edmond Halley publicó las posiciones de unas 350
estrellas fruto de observaciones realizadas por una expedición británica
en una diminuta isla ubicada en el Atlántico Sur llamada Santa Helena2 .
John Flamsteed fue el primero en utilizar el telescopio para medir las
posiciones de las estrellas. El catálogo de sus observaciones, que contiene
unas 3000 estrellas, llamado Historia Coelistis Britannica, fue publicado
completo seis años después de su muerte. El tercer astrónomo real de
inglaterra, James Bradley, logró, a los pocos años, medir las posiciones de
estrellas con la precisión de unos cuantos segundos de arco, por lo que no
es de extrañar que haya descubierto él mismo los fenómenos de nutación
y aberración anual (ver secciones 10.2 y 10.3.1). Ya para comienzos del
siglo XIX Friedrich Bessel lograrı́a precisiones del segundo de arco o
menores, lo que le permitirı́a con el tiempo ser el primero en detectar la
paralaje de una estrella (ver sección 10.5.2).
2
El mismo sitio que se harı́a célebre, unos 150 años después, por ser el lugar donde
Napoleón I pasarı́a, como prisionero de los ingleses, sus últimos dı́as.
4.7. CATÁLOGOS DE ESTRELLAS
67
En 1862 el astrónomo Friedrich Argelander publicó un catálogo, llamado Bonner Durchmusterung o, más sencillamente, catálogo BD, el
cual contiene unas 324 000 estrellas (casi todas más brillantes que la
magnitud 9.5) ubicadas entre las declinaciones +90o y −2o , lo que se explica si se tiene en cuenta que las observaciones las realizó en la ciudad
alemana de Bonn (φ = 50,75o ). Con ayuda de un telescopio de apenas 8
cm de abertura Argelander habı́a superado ampliamente los catálogos y
cartas que existı́an hasta entonces. Aún hoy el catálogo BD es de gran
utilidad. Además sirvió de base para la elaboración posterior de otros
dos catálogos que cubrı́an el cielo completamente. En total se estima
que el número de estrellas que están registradas al menos en uno de los
catálogos existentes es cercano a los tres millones, un número bastante
grande, pero que constituye tan solo 1/30 000 de las estrellas que se estima existen en la galaxia de la Vı́a Láctea.
Hoy en dı́a existen los denominados catálogos fundamentales. La idea
es seleccionar algunas estrellas a las cuales, paciente y dedicadamente,
se les determina su posición con extrema exactitud. Los catálogos fundamentales se realizan con base en las llamadas observaciones fundamentales (cı́rculo meridiano). La fotografı́a sirve para determinar posiciones de
las demás estrellas con base en las estrellas fundamentales. Con ayuda
de las placas fotográficas tomadas a intervalos regulares es posible determinar movimientos propios y paralajes. Una lista de esas estrellas que
contenga las posiciones y movimientos propios (preferiblemente también
su velocidad radial y paralaje) con respecto a un equinoccio estándar
y una época determinada (1950.0, 1975.0, 2000.0) que se distribuyan
regularmente a través del cielo, es llamada un catálogo fundamental.
Las posiciones de las demás estrellas se miden con respecto a las estrellas que constituyen el catálogo fundamental. De hecho, el sistema de
coordenadas que define un catálogo fundamental es una aproximación
muy cercana a un marco fijo de referencia. Los catálogos fundamentales son revisados y actualizados cada pocas décadas. Son conocidos el
Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs el
cual se acostumbra a abreviar simplemente como FK3. Este catálogo
fue publicado en 1937 y expandido el año siguiente hasta incluir unas
1600 estrellas referidas al equinoccio de 1950.0. Unos 25 años después
fue publicada una revisión del FK3 conocida como FK4. En 1988 apareció una revisión del FK4, con adopción de nuevas constantes (para
la precesión) y correcciones al equinoccio, conocida como FK5, la cual
refiere las posiciones de las estrellas al equinoccio del 2000.0.
68
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
Ahora bien, el catálogo fundamental da las posiciones de las estrellas
para un equinoccio determinado (el 2000 para el FK5). Pero, como se
verá con más profundidad en el capı́tulo 10, sucede que, conforme pasa
el tiempo, las posiciones de las estrellas están cambiando a causa de los
fenómenos de precesión, nutación, aberración anual, movimiento propio,
paralaje y deflección gravitacional de la luz. Existen fórmulas complejas
(necesarias para los niveles de resolución que se manejan hoy en dı́a) que
permiten determinar la posición aparente de una estrella para un tiempo
dado cualquiera. Sin embargo, para facilitar la labor del astrónomo, una
publicación anual denominada Apparent Places of Fundamental Stars
contiene las posiciones aparentes (corregidas ya por todos los fenómenos anteriormente citados) de las estrellas del catálogo fundamental en
vigencia a intervalos de 10 dı́as.
Actualmente se dispone de catálogos de estrellas realizados por satélites artificiales. Es el caso del satélite europeo Hipparcos (acrónimo de
HIgh Precision PARallax COllecting Satellite) cuya pronunciación es parecida al nombre del astrónomo griego Hiparco. Del análisis de las placas
tomadas por Hipparcos se ha realizado el catálogo Hipparcos el cual es
fundamentalmente un catálogo astrométrico. Dicho catálogo contiene
118 000 estrellas con precisiones a nivel astrométrico del milisegundo de
arco.
Dos tratamientos posteriores han sido llevados a cabo de todos los
datos básicos recogidos por Hipparcos y de ello han resultado los catálogos Tycho (en honor a Tycho Brahe). La primera versión (Tycho-1)
contiene más de un millón de estrellas. La segunda (Tycho-2), más precisa, contiene más de 2.5 millones de estrellas con datos astrométricos y
fotométricos.
4.8.
Sistema y Marco Celeste Internacional
Las deficiencias inherentes del catálogo FK5 se relacionan con los
errores relativamente grandes que se obtienen al trabajar con fuentes
en el óptico, esto es, con estrellas, las cuales, si bien están a distancias
enormes, sufren de movimiento propio. La observación de radiofuentes
extragalácticas ha mostrado que es posible fijar las coordenadas de una
de las mismas con incertidumbres de 0,5 × 10−3 segundos de arco y, lo
que es mejor, por sus fabulosas distancias, no tienen movimiento propio.
4.8. SISTEMA Y MARCO CELESTE INTERNACIONAL
69
Por ello, a finales de los años ochenta del siglo XX, varios astrónomos
comenzaron a trabajar en la implementación de un sistema de referencia que se basara en galaxias con emisión fuerte en radio. A partir de
1998, la Unión Astronómica Internacional adoptó como sistema de referencia celeste el Sistema de Referencia Celeste Internacional (ICRS,
por sus siglas en inglés) en reemplazo del FK5. Estrictamente hablando,
el ICRS constituye el conjunto de normas y convenciones junto con el
modelamiento requerido para definir, en cualquier instante, una trı́ada
de ejes. En otros términos, el ICRS constituye un conjunto de dictámenes que permiten definir cómo ha de crearse un sistema de coordenadas
para cuerpos celestes. El ICRS define el origen (el cual es el baricentro del sistema solar) y los planos fundamentales (o ejes) del sistema
de coordenadas ası́ como las constantes, modelos y algoritmos usados
para transformar entre cantidades observables y los datos de referencia
que definen el sistema. Para llevar la “realización” del sistema, se ha
definido el Marco de Referencia Celeste Internacional (ICRF, por sus
siglas en inglés). El ICRF es la materialización del ICRS. Con ello se
quiere decir que con él se define el conjunto real de objetos identificables
en el cielo junto con sus coordenadas3 . O sea, con el ICRF se define
un catálogo de objetos. Especı́ficamente se escogieron 608 radiofuentes
extragalácticas (la mayorı́a quasares) observadas con Interferometrı́a de
Base muy Grande (VLBI). De estas galaxias, 212 son llamadas fuentes
de definición, las cuales establecen la orientación de los ejes del ICRS.
Sin embargo, es importante mencionar que el ICRS se “realiza”, para el
sector óptico del espectro, con estrellas del catálogo Hipparcos, con lo
que le da incertidumbres de 1,0 × 10−3 en posición y 0,5 × 10−3 /año en
movimiento propio.
El polo celeste medio y el origen de la ascensión recta (ver sección
6.3) que definen los objetos (todos estrellas) y que constituyen el FK5,
están nominalmente alineados con el ecuador y eclı́ptica del J2000,0.
Tanto el FK5 como el ICRF difieren por muy poco: están orientados
dentro de 50 × 10−3 segundos en la posición del polo y en 80 × 10−3
segundos en el origen de la ascensión recta (en el J2000,0); el FK5 rota
con respecto al ICRS unos 3 × 10−3 /año.
3
El lector podrá observar la equivalencia en la definición entre el ITRS (Sistema
de Referencia Terrestre Internacional) y el ICRS al igual que entre el ITRF (Marco
de Referencia Terrestre Internacional) y el ICRF; ver sección 3.5.
70
CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Apparent Places of Fundamental Stars, Astronomisches Rechen-Institut,
Heidelberg.
Con publicación anual, contiene las posiciones aparentes con intervalos
de 10 dı́as de unas 1500 estrellas del FK5.
The Astronomical Almanac, U.S. Government Printing Office, Washington.
Con publicación anual, contiene la más completa documentación de las
posiciones del Sol, Luna, planetas, satélites, estrellas brillantes, radiofuentes, tiempos de salida y puesta del Sol y Luna, etc.
Levy, D. H. (1998) Observar el cielo, Editorial Planeta, Singapur.
Escrito por un célebre descubridor de cometas, este libro constituye una
excelente guı́a para los iniciados en la astronomı́a. La descripción de cada
una de las constelaciones es excelente.
Martı́n-Ası́n, F. (1999) La cartografı́a del cielo: las constelaciones del
zodı́aco, Revista colombiana de astronomı́a, astrofı́sica, cosmologı́a y
ciencias afines, vol. 1, p. 145.
Breve descripción de las constelaciones, en particular de las que definen
el zodı́aco.
http://www.iau.org/public_press/themes/constellations/
En esta hoja electrónica se encuentra bastante información sobre las
constelaciones.
http://www.seds.org/Maps/Stars_en/Fig/const.html
Al igual que el anterior, contiene información abundante sobre las constelaciones.
http://ad.usno.navy.mil/star/star_cats_rec.html
En este sitio se encuentran varios catálogos astrométricos, incluido el
FK5.
http://www.physics.csbsju.edu/astro/CS/CSintro.html
Contiene conceptos básicos sobre la esfera celeste y coordenadas astronómicas.
http://geomag.nrcan.gc.ca/apps/mdcal_e.php
Una calculadora del valor de la declinación magnética conociendo las
coordenadas del lugar.
http://www.stellarium.org/
Desde esta página es posible descargar gratuitamente el programa “stellarium” para distintos sistemas operativos. Permite reproducir la bóveda
celeste, a manera de planetario, de una forma bastante realista.
Capı́tulo 5
MOVIMIENTO
APARENTE DE LOS
CUERPOS CELESTES
Los cuerpos celestes están en movimiento unos con respecto a otros.
Todos giran sobre sı́ mismos (la Tierra en 24 horas, la Luna en 27 dı́as,
el Sol en 25 dı́as, la Vı́a Láctea en 250 millones de años, etc.). Cualquier
observador ubicado en un lugar especı́fico del universo observará los otros
cuerpos celestes desplazándose de cierta forma particular. No es lo mismo
observar el movimiento de los planetas desde la Tierra que desde el Sol.
El movimiento de cuerpos celestes visto desde la superficie de un planeta
resulta siendo la combinación de varios movimientos. Debido a esto a la
humanidad le tomó bastante tiempo encontrar cuál era la ubicación real
de la Tierra en el sistema solar, y aún más tiempo descubrir la trayectoria
verdadera que describen los planetas en torno al Sol.
5.1.
Movimiento diurno
Lo que más llama la atención del cielo nocturno es que se mueve
lentamente. El techo esférico de apariencia “sólida” que hemos llamado
cielo o, mejor, bóveda celeste se mueve lentamente en dirección esteoeste (de oriente a occidente) dando una revolución completa alrededor
de la Tierra en un dı́a. Los filósofos griegos elaboraron una visión del
universo llamada geocentrista derivada de lo que sencillamente observaban: la Tierra es el centro del universo, inmóvil, y alrededor de ella giran
los planetas, la Luna y el Sol y un poco más allá la bóveda celeste, sitio
71
72
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
donde están ubicadas las estrellas. Por más de 2000 años fue lo que se
creyó la interpretación correcta del universo. Hoy en dı́a sabemos que
no existe una “bóveda celeste” en el sentido de que no es una superficie
sólida, ni siquiera un techo. Es una ilusión derivada del hecho de que las
distancias en el universo son increı́blemente enormes.
Ahora bien, el movimiento de rotación aparente de la bóveda celeste
alrededor de la Tierra se explica si suponemos que la Tierra rota sobre
sı́ misma en dirección oeste-este (de occidente a oriente) en un perı́odo de
un dı́a. Un astronauta ubicado en la superficie de la Luna observará que
la bóveda celeste gira mucho más lentamente que en la Tierra, también
en dirección este-oeste. Esto se debe a que la Luna gira sobre sı́ misma
en 27 dı́as terrestres en dirección oeste-este.
Los astrónomos llaman movimiento diurno al movimiento aparente
de la bóveda celeste originado por la rotación del cuerpo desde donde se
realiza la observación. Este movimiento es el que más facilmente percibimos, pues las estrellas, los planetas, la Luna y el Sol se mueven, vistos
desde la superficie de la Tierra, de oriente a occidente.
El movimiento diurno es el responsable de que el Sol salga en o muy
cerca del punto cardinal este aproximadamente a las 6:00 a. m. (claro,
para observadores ubicados cerca del ecuador terrestre), que alcance su
máxima altura cerca del mediodı́a y que se oculte en o cerca del punto
cardinal oeste aproximadamente a las 6:00 p. m. Aunque notemos que el
Sol recorre 180 grados en 12 horas, en realidad estamos hablando de un
movimiento aparente surgido del hecho de que nosotros, como observadores, estamos ubicados en un cuerpo en rotación que gira en el sentido
oeste-este.
Puesto que la Tierra tarda 24 horas en realizar una revolución completa, de 360 grados, se deduce que por cada hora transcurrida la bóveda
celeste se mueve 15 grados en dirección este-oeste.
5.2.
La Luna y el Sol
La Luna y el Sol, como todos los cuerpos celestes vistos desde nuestro planeta, son afectados por el movimiento diurno. En consecuencia,
veremos siempre que se desplazan lentamente en dirección este-oeste.
5.2. LA LUNA Y EL SOL
73
Ahora bien, esto no significa que estén adheridos a la bóveda celeste, o
mejor, que estén ubicados siempre en una determinada constelación o
grupo estelar. La Luna y el Sol son cuerpos que están, comparados con
las estrellas, mucho más cerca al planeta Tierra. Esto hace que la Luna
y el Sol se muevan con respecto a las estrellas y por lo tanto queden
fuera de sincronización con respecto al movimiento diurno.
Consideremos primero el Sol. Sabemos que los planetas (incluyendo
la Tierra) se mueven en órbitas casi circulares alrededor del Sol. Todos
los planetas, desde Mercurio hasta Neptuno, se mueven en dirección contraria a la que tienen las agujas del reloj, si miramos el sistema solar
desde el polo norte celeste. La Tierra tarda 365,25 dı́as en realizar una
traslación completa, esto es, tarda 1 año en describir 360 grados alrededor del Sol. Esto significa que la Tierra con respecto al Sol se desplaza
diariamente unos 360/365,25 = 0,98 grados como promedio. Este movimiento que realiza la Tierra con respecto al Sol es visto por nosotros
como un desplazamiento de este con respecto a las estrellas de fondo, de
0,98 grados por dı́a (véase la figura 4.13 de la página 55). Lentamente el
Sol se está desplazando por las constelaciones a razón de casi un grado
por dı́a. Visto desde la Tierra, el Sol tardará 365,25 dı́as en volver a
pasar por una determinada estrella, perı́odo que llamamos año, o más
exactamente, año sideral. Es fácil ver que la dirección del movimiento
del Sol visto desde la Tierra es también en la dirección contraria a las
agujas del reloj (antihoraria). Con esto estamos diciendo que para un
observador ubicado en la Tierra, el Sol se desplaza a razón de 0,98 grados
por dı́a en la dirección oeste-este (en el sentido opuesto al movimiento
diurno). Ahora bien, imaginemos brevemente que la Tierra está exenta
de rotación (eliminamos el movimiento diurno). En tal caso dejamos de
observar que el Sol se desplaza a razón de 15 grados por hora en dirección este-oeste, para que ahora observemos al Sol con un movimiento
supremamente lento, de casi un grado por dı́a en la dirección oeste-este.
El movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra es pues la combinación de dos movimientos que tienen direcciones contrarias: el movimiento diurno (rotación de la Tierra) y el desplazamiento del Sol con
respecto a la bóveda celeste (traslación de la Tierra). La traslación de la
Tierra alrededor del Sol, que es interpretada aquı́ en la Tierra como un
desplazamiento de 0,98 grados por dı́a del Sol con respecto a las estrellas
de fondo, crea el efecto, como es apenas obvio, de que las estrellas salgan
74
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
o
por el oriente, por cada dı́a transcurrido, unos 0,98 ×24horas
= 0,0653 ho360o
ras = 4 minutos más temprano. Esto hace que a medida que transcurran
los dı́as se aprecien “nuevas” constelaciones saliendo por el oriente a la
misma hora de observación. Es como si, por cada dı́a que pasa, la bóveda
celeste se desplazara con respecto al Sol 0,98 grados de este a oeste. En
promedio, la bóveda celeste realiza lentamente dicho movimiento unos
30 grados por mes, por lo que apreciamos, a la misma hora, diferentes
constelaciones a medida que transcurre un año.
CUARTO CRECIENTE
LUZ PROVENIENTE
DEL SOL
TIERRA
LUNA NUEVA
LUNA LLENA
CUARTO MENGUANTE
Figura 5.1: Fases de la Luna
Concentrémonos ahora en la Luna. Nuestro único satélite natural
posee un movimiento de traslación alrededor de la Tierra cuyo sentido es también antihorario. Tarda unos 27 dı́as en completar una vuelta
en torno a su planeta materno. Debido a esto, desde la Tierra contemplamos que la Luna se desplaza con respecto a las estrellas de fondo
unos 360/27 = 13 grados por dı́a en dirección oeste-este (insistimos, en
dirección contraria al movimiento diurno). Como en el caso del Sol, el
movimiento aparente de la Luna visto desde la Tierra es una combinación del movimiento diurno (15 grados por hora en dirección este-oeste)
y del movimiento de traslación de la Luna (13 grados por dı́a en dirección oeste-este). La Luna, entonces, sale por el oriente, por cada dı́a que
o
transcurre, unos 13 ×24horas
= 0,866 horas = 52 minutos más tarde. Los
360o
antiguos astrónomos conocı́an que la trayectoria aparente que traza la
Luna en el cielo no se sobrepone a la trayectoria aparente que describe
el Sol (la eclı́ptica). Sin embargo, ambas trayectorias están muy próximas la una de la otra, intersectándose en dos puntos llamados nodos de
75
5.2. LA LUNA Y EL SOL
la Luna. La inclinación existente entre dichas trayectorias es de unos 5
grados.
Al tener en cuenta la configuración geométrica del sistema Sol, Tierra
y Luna quedan explicadas las fases de esta última (ver figura 5.1). En
efecto, cuando la Luna se interpone entre la Tierra y el Sol, la Luna, que
es un cuerpo opaco, no tiene forma de reflejar luz hacia la Tierra, pues
esta cae completamente en el lado de la Luna que no es posible ver desde
la Tierra. Decimos entonces que la Luna está en fase de luna nueva. Es
en esta fase cuando ocurren los eclipses de Sol. Nótese que a causa de
la inclinación entre los planos de la Luna y la eclı́ptica no hay eclipse
de Sol cada mes. Como se deduce de la figura 5.2, los eclipses ocurrirán
cuando la lı́nea de los nodos lunar1 esté en la misma dirección Tierra-Sol.
ORBITA LUNAR
LINEA DE LOS NODOS
TIERRA
5o
PLANO DE LA ECLIPTICA
SOL
Figura 5.2: Orientación de la órbita lunar en el espacio
A medida que la Luna se desplaza alrededor de la Tierra comienza
a reflejar luz del Sol hacia la Tierra. Puesto que la Luna se mueve en
dirección antihoraria, comenzará a ser observable fácilmente después de
que se haya ocultado el Sol. Supóngase que deseamos ver la Luna tres
dı́as después de luna nueva. Sabemos que la Luna se desplaza de occidente a oriente unos 13 grados por dı́a; por lo tanto, al cabo de tres dı́as,
se habrá separado casi 40 grados del Sol en dirección hacia el este. Esto
significa que si observamos el cielo a las 6 p. m., y si estamos muy cerca
del ecuador terrestre, el Sol estará ocultándose en el horizonte occidental
1
La lı́nea de los nodos lunar es la lı́nea que surge de la intersección del plano de
la órbita lunar con el plano de la eclı́ptica. Dicha lı́nea no está fija en el espacio, de
hecho realiza una revolución completa en 18,6 años en dirección horaria.
76
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
y la Luna, visible para nosotros, tendrá una altura aproximada sobre el
horizonte de unos 40 grados. Teniendo en cuenta el movimiento diurno,
podemos calcular que la Luna se ocultará por el occidente entre 8:30 y
9 p. m.
¿Qué ocurrirá unos 7 dı́as después de transcurrida la luna nueva?
Para entonces la Luna se habrá separado del Sol unos 90 grados. En
tal caso, la superficie de la Luna estará 50 % iluminada y decimos que
existe cuarto creciente. Por lo tanto, en esta fase a las 6 p. m. la Luna
tendrá una altura máxima sobre el horizonte, ubicada en o cerca del
cenit del observador. Es claro que la Luna se ocultará por el occidente
muy cerca de medianoche. A medida que transcurren los dı́as la Luna
mostrará más superficie iluminada hasta que se alcanza la configuración
particular, unos 14 dı́as después de la luna nueva, donde la Tierra se
interpone entre la Luna y el Sol. La Luna reflejará hacia la Tierra toda
la superficie que podemos ver de ella. Tenemos la luna llena. Es en esta
fase que tienen ocurrencia los eclipses de Luna. En esta fase, próximo
a las 6 p. m., un observador verá el Sol ocultarse por el occidente en
tanto que la Luna estará saliendo por el oriente. Existe una separación
entre ambos astros de 180 grados. Es por ello que en fase llena la Luna
se observará durante toda la noche, ocultándose por el occidente cerca
de las siete de la mañana del dı́a siguiente. Dı́as después de la fase llena, la Luna vuelve a mostrarnos solamente cierto sector de su superficie
iluminada. ¿Qué ocurre unos tres dı́as después de luna llena? La Luna
se habrá desplazado otros 40 grados hacia el este por lo que a las 6 p.
m. no es posible observarla. En tal caso habrı́a que esperar hasta cerca
de las 9 p. m. a que salga por el horizonte oriental; culminarı́a hacia las
3 a. m. del dı́a siguiente y se ocultarı́a en el horizonte occidental hacia
las 10 a. m. Cuando de nuevo ocurre una conformación de 90 grados
entre el ángulo Luna-Tierra-Sol, obtenemos 50 % de iluminación de la
cara visible de la Luna. En tal caso tenemos cuarto menguante y ocurre
a unos 21 dı́as después de la luna nueva. En cuarto creciente la Luna
sale por el oriente a medianoche y culmina a las 6 a. m. del dı́a siguiente,
ocultándose a mediodı́a. Al cabo de 29 dı́as y medio la Luna vuelve a
encontrarse entre la Tierra y el Sol, haciéndose invisible de nuevo para
nosotros.
El perı́odo entre dos lunas nuevas (o lunas llenas) consecutivas es
llamado un mes sinódico. El concepto de mes que manejamos en nues-
5.2. LA LUNA Y EL SOL
77
tra vida diaria se deriva directamente del mes sinódico. Sin embargo,
existe otra definición de mes2 . El mes sidéreo es el tiempo que le toma
a la Luna pasar de forma consecutiva por el mismo lugar de la bóveda
celeste (o sea, con respecto a las estrellas fijas). El mes sidéreo tiene una
duración de 27,3 dı́as. La pregunta obvia es: ¿por qué la diferencia entre
los perı́odos sinódico y sideral? El asunto se resuelve cuando tenemos en
cuenta el movimiento del Sol, pues este se desplaza 0,98 grados por dı́a
de oeste a este con respecto a las estrellas fijas. En un mes sidéreo el Sol
se habrá corrido 0,98 × 27,3 = 26,7 grados más hacia el este, por lo que
a la Luna (que también se mueve en la misma dirección), para alcanzar
al Sol, le tomará en primera aproximación 26,7/13 = 2 dı́as más para
que se cumpla de nuevo la configuración Luna-Tierra-Sol (ver figura 5.3).
TIERRA
ORBITA LUNAR
TRAYECTORIA APARENTE
DEL SOL
Figura 5.3: Origen del mes sinódico
A manera de referencia colocamos a continuación los valores exactos
de la duración del mes sideral y el mes sinódico:
2
Realmente existen en total cinco definiciones de mes. Adicional al sideral y al
sinódico está el mes tropical (duración entre dos pasos consecutivos de la Luna por
el punto vernal); el mes anomalı́stico (duración entre dos pasos consecutivos de la
Luna por el perigeo de su órbita) y el mes draconı́tico (duración entre dos pasos
consecutivos de la Luna por el nodo de su órbita).
78
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
27,321662 dı́as = 27 d 7h 43m 11,6s
29,530589 dı́as = 29 d 12h 44m 2,9s
Mes sidéreo
Mes sinódico
5.3.
Los planetas
Los antiguos conocı́an “estrellas” brillantes que a diferencia de todas
las demás se desplazaban a través del cielo. A simple vista es posible
identificar cinco: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Si se tiene
la paciencia de rastrear su movimiento con respecto a las estrellas “fijas”
por perı́odos extendidos de tiempo, se encuentra algo al parecer desconcertante: todos sin excepción se desplazan en dirección oeste-este, lo que
se conoce con el nombre de movimiento directo; pero en ocasiones alguno
de ellos se detiene (se convierte en un punto estacionario) y comienza a
moverse en dirección este-oeste (movimiento retrógrado), lo que hace en
unos cuantos dı́as, para detenerse de nuevo (otro punto estacionario) y
recuperar su movimiento en la dirección original. Con ello logra realizar
un pequeño bucle o rizo.
ESTE
OESTE
5
4
8
9
8
7
3
6
1
2
7
6
5
9
4
3
2
1
ORBITA TERRESTRE
Figura 5.4: Retrogradación de los planetas vistos desde la Tierra
Dichas retrogradaciones se explican al tener en cuenta el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Los planetas poseen velocidades de
traslación que son distintas entre ellos, pues dicha velocidad depende de
su distancia promedio al Sol. Esta velocidad diferencial de los planetas
origina que unos tomen más tiempo que otros en dar una revolución en
torno del Sol. Por ejemplo, por cada revolución de la Tierra el plane-
79
5.3. LOS PLANETAS
ta Mercurio completa más de cuatro; por cada revolución de Júpiter la
Tierra completa más de once, etc. Por lo tanto, es apenas obvio que los
planetas se estén atrasando o adelantando unos con respecto a los otros.
Cuando se observa el movimiento de los planetas desde uno de ellos, se
verá con el tiempo que a causa de la diferencia de velocidad los planetas observados formarán pequeños bucles sobre la bóveda celeste. En
la figura 5.4 se aprecia una retrogradación de un planeta exterior visto
desde la Tierra. Nótese que la retrogradación se presenta para aquellas
épocas en que la Tierra está más próxima al planeta, esto es, cerca de
la oposición (ver más adelante).
Las estrellas errantes de la antigüedad recibieron el nombre de planetas. Historias mitológicas llegadas hasta nuestros dı́as nos permiten saber
que les fueron asignadas identidades de deidades y, con ello, carácter y
temperamento como si se tratara de entes vivos. Explicar lo enrevesado
de su movimiento fue una tarea que demostró no ser trivial. Filósofos
y geómetras griegos estaban de acuerdo en que los cuerpos celestes y
sus movimientos a través del cielo tendrı́an que explicarse en términos
de circunferencias. Se creı́a que todo lo que estaba en la bóveda celeste
era inmutable y perfecto, por lo que allı́ tenı́a que manifestarse la figura
perfecta, la cual, creı́an ellos, era la circular. Por lo tanto, los astrónomos tenı́an que explicar el complicado movimiento de los planetas en
términos de movimiento y figuras circulares. Ello hizo que con el tiempo
los matemáticos utilizaran la combinación de dos o más cı́rculos por los
que se desplazaba supuestamente el planeta.
Π
SECTOR DE LAS
CONSTELACIONES
ZODIACALES
ECLIPTICA
SOL
PLANOS ORBITALES
DE LOS PLANETAS
Π’
Figura 5.5: Debido a la poca inclinación de los planetas con relación a la eclı́ptica, los
planetas vistos desde la Tierra se desplazan a través de las constelaciones zodiacales
80
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
Desde la antigüedad se habı́an identificado caracterı́sticas orbitales
muy propias de los planetas. Todos sin excepción se desplazan muy cerca de la eclı́ptica (la trayectoria aparente que describe el Sol en el cielo
durante el año). El Sol pasa en un año por las clásicas doce constelaciones del zodı́aco, a saber: Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo,
Libra, Escorpión, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis (en realidad
pasa por trece constelaciones, pues la eclı́ptica alcanza a atravesar la
constelación de Ofiuco). La razón de que todos se encuentran muy cerca
de la eclı́ptica descansa en el hecho de que las órbitas están muy poco inclinadas las unas con respecto a las otras (salvo en el caso de Mercurio).
La consecuencia obvia es que los planetas estarán casi siempre ubicados
en alguna de las trece constelaciones referidas3 (ver figura 5.5).
Los planetas Mercurio y Venus exhiben además una curiosa predilección por permanecer cerca del Sol, pues son relativamente fáciles de
observar o bien antes del amanecer o inmediatamente después de sucedido el ocaso del Sol. Nunca es posible observar a Mercurio o a Venus
a medianoche (para observadores ubicados cerca del ecuador terrestre).
En cambio, los restantes planetas (desde Marte en adelante) pueden ser
vistos cerca del Sol, o ubicados a 180 grados de separación (opuestos)
del mismo.
Ahora bien, ¿qué tan rápido se desplazan los planetas por la bóveda
celeste? Desde la antigüedad se descubrió que existen planetas que se
mueven más rápido que otros. En el caso del planeta Mercurio, el que
más rápido viaja por el cielo, se observa un desplazamiento que puede
alcanzar hasta unos 2,5 grados por dı́a en dirección oeste-este. (Nota:
en términos comparativos, el tamaño aparente del Sol y de la Luna en
fase llena es de 0,5 grados). En ocasiones se aprecia que el planeta disminuye su velocidad aparente en el cielo y al final se detiene; luego, por
espacio de unos veinte a veinticinco dı́as, se mueve en dirección contraria (este-oeste). De nuevo se estaciona y continúa con la dirección
usual oeste-este. Venus se desplaza por el cielo a una velocidad inferior
a la de Mercurio, de 1 grado por dı́a como máximo. Los demás planetas
observados por los antiguos se desplazan más lentamente. Saturno, por
ejemplo, se desplaza a razón de unos 30 segundos de arco por dı́a.
3
A causa de la relativa cercanı́a de la eclı́ptica con otras constelaciones no zodiacales (de acuerdo con los lı́mites de las constelaciones fijados por la UAI) los planetas
pueden atravesar, aunque sea sutilmente, incluso otras 29 constelaciones (ver Culver
& Ianna, 1994).
81
5.3. LOS PLANETAS
Los planetas también presentan configuraciones parecidas a las que
exhibe la Luna en un mes. En cuanto a la configuración que muestra
un planeta visto desde la Tierra se ha de clasificar a los planetas en dos
grupos: los llamados interiores en razón a que se encuentran más cerca
del Sol que la Tierra (Mercurio y Venus) y los planetas exteriores, que
son todos los que se encuentran más lejos del Sol que la Tierra (Marte
hasta Plutón).
CONJUNCION SUPERIOR
SOL
MAXIMA
ELONGACION
MAXIMA
ELONGACION
CONJUNCION INFERIOR
TIERRA
Figura 5.6: Configuración de un planeta interior con respecto a la Tierra
Un planeta interior (ver figura 5.6) girando en torno del Sol presenta,
en relación con nuestro planeta, dos puntos, llamados conjunciones, en
los cuales es imposible observarlo desde la Tierra. Cuando el planeta se
ubica exactamente entre el Sol y la Tierra se dice que está en conjunción
inferior. Es en este instante cuando, en ocasiones, ocurre “eclipse” de Sol
producido por el planeta. No es usual llamar a esto un “eclipse”, pues
en realidad el tamaño aparente de los planetas vistos desde la Tierra es
tan pequeño que en la práctica se observa un punto atravesando el disco
solar, lo que se conoce con el nombre de paso del planeta a través del
disco solar. La razón por la cual no se presenta en cada conjunción inferior un paso por el disco del Sol es porque la eclı́ptica está ligeramente
inclinada con respecto al plano de la órbita de los planetas interiores.
82
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
En conjunción superior el planeta está en el punto de su órbita más
alejado de la Tierra. De la figura también es claro que los mejores momentos para observar el planeta son cuando están ubicados en máxima
elongación (que puede ser este u oeste). Para el lector no debe ser difı́cil
deducir que un planeta interior nunca mostrará el 100 % de iluminación
de su superficie hacia la Tierra (nunca podremos ver “lleno” un planeta
interior). Nótese también que aparentemente desde la Tierra un planeta
interior está siempre relativamente cerca del Sol.
Un planeta exterior es otro asunto (ver figura 5.7). Presenta una sola
conjunción: el planeta se ubica por detrás del Sol y por lo tanto es imposible observarlo desde la Tierra. Pero presenta la denominada oposición,
donde la Tierra se ubica entre el Sol y el planeta, de manera análoga
a la fase llena de la Luna. La oposición constituye el mejor momento
de observar un planeta pues aparte de que está en el punto en que la
distancia entre la Tierra y el planeta es mı́nima, el planeta es observado
durante toda la noche (sale por el oriente a, o muy cerca de, las 6 p. m. y
se oculta por el occidente a, o muy cerca de, las 6 a. m. del dı́a siguiente).
CONJUNCION
SOL
CUADRATURA ESTE
TIERRA
CUADRATURA OESTE
OPOSICION
Figura 5.7: Configuración de un planeta exterior con respecto a la Tierra
NOTA: En realidad la oposición y la distancia más cercana a la
Tierra no ocurren simultáneamente debido a que las órbitas de los planetas son elı́pticas, pero uno y otro fenómeno se presentan con una
diferencia de unos pocos dı́as.
5.3. LOS PLANETAS
83
Ejemplo 1
Determinar la máxima distancia angular aparente, vista desde la
Tierra, que existe entre el Sol y Mercurio, y entre el Sol y Venus.
Solución
La máxima distancia angular entre el Sol y alguno de los planetas
interiores se presenta en las elongaciones (este u oeste), es decir, cuando
el ángulo centrado en el planeta, entre las direcciones del Sol y la Tierra,
es recto.
De la figura 5.8 se deriva que el ángulo Γ aparente existente entre el
planeta interior y el Sol, visto desde la Tierra, es:
sen Γ =
a
,
d
(5.1)
donde a es la distancia Sol-planeta y d es la distancia Sol-Tierra. Suponiendo en primera aproximación que los planetas se mueven en órbitas
circulares (con lo que a y d son constantes) y adoptando, en unidades
astronómicas, a = 0,387 para Mercurio, a = 0,723 para Venus y d = 1,0,
entonces:
ΓM ercurio = 23o ,
ΓV enus = 46o .
En la práctica el ángulo Γ puede ser mayor o menor de estos valores,
pues en realidad las órbitas de los tres planetas son excéntricas, particularmente la de Mercurio, por lo que en este el ángulo de elongación
va desde un valor mı́nimo de unos 17,9o hasta un valor máximo de 27,5o .
Ejemplo 2
Determinar la máxima distancia angular aparente existente entre la
Tierra y el Sol que un astronauta observarı́a si estuviera ubicado en el
planeta Marte.
84
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
ORBITA DEL
PLANETA INTERIOR
SOL
a
PLANETA EN MAXIMA
ELONGACION
d
Γ
TIERRA
Figura 5.8: Configuración planetaria en la máxima elongación
Solución
La fórmula (5.1) nos es de utilidad, pero en este caso la distancia
a es la distancia Tierra-Sol y la distancia d es la distancia Sol-Marte.
Puesto que d = 1,523 se deduce que:
Γ = 41o .
5.3.1.
Perı́odo sinódico
El perı́odo sinódico P de un planeta es el intervalo de tiempo existente entre dos conjunciones (u oposiciones en el caso de planetas exteriores) consecutivas. El perı́odo sideral de un planeta es el intervalo
de tiempo que gasta dicho planeta en dar una revolución completa en
torno al Sol, con referencia a las estrellas. El perı́odo sideral es de importancia fundamental en mecánica celeste, pues es el tiempo real de
revolución de un cuerpo en torno de otro con respecto a cuerpos que en
muy buena aproximación pueden considerarse fijos (las estrellas). Pero
como las observaciones del cielo se hacen desde la Tierra, y esta, por ser
un planeta, se mueve también en torno al Sol, resulta que en la práctica
es relativamente complicado medir de forma directa el perı́odo sideral
de un planeta (salvo la misma Tierra). Pero se puede calcular fácilmente
85
5.3. LOS PLANETAS
en función del perı́odo sinódico. En efecto, es una tarea de lo más sencilla hacer observaciones continuas de los planetas por un buen tiempo y
con tales observaciones calcular el tiempo entre, digamos, dos oposiciones consecutivas o dos elongaciones oeste; en otras palabras: calcular a
partir de las observaciones el perı́odo sinódico. Con este, es inmediato el
cálculo del perı́odo sideral. Consideremos la figura 5.9, donde se muestra
el caso de un planeta exterior. Supondremos que las órbitas de ambos
cuerpos son circulares, con el Sol en el centro de las mismas, y que la
velocidad de ambos cuerpos es uniforme en toda la trayectoria. En el
momento t = t0 el planeta exterior se encuentra en oposición. Al estar
la Tierra más cercana al Sol, esta se mueve más rápido (tercera ley de
Kepler, ver sección 11.2.3) en tanto que el planeta exterior se mueve en
su órbita más despacio. Al cabo de un tiempo la Tierra habrá completado una revolución sideral (habrá completado 360 grados) en tanto que
el planeta exterior se ubicará en el punto C. Poco tiempo después, al
haber la Tierra recorrido un ángulo θ, sucederá de nuevo la oposición.
C
θ
OPOSICION EN t=t 0
SOL
ORBITA DE LA TIERRA
Figura 5.9: Dos oposiciones sucesivas de un planeta
Una simple regla de tres nos permite inferir lo siguiente para el planeta exterior con perı́odo sideral Tp :
P =
θTp
.
360
(5.2)
Igualmente, para el perı́odo sideral de la Tierra tenemos que la rela-
86
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
ción con el perı́odo sinódico es:
θTt
(360 + θ)Tt
= Tt +
.
(5.3)
360
360
Reemplazando el valor de θ dado en (5.2) en la ecuación (5.3) tenemos:
P =
P Tt
,
Tp
(5.4)
1
1
1
= + .
Tt
P
Tp
(5.5)
P = Tt +
que al dividir por P Tt llegamos a
Esta ecuación es válida siempre y cuando el perı́odo sideral Tp corresponda a un planeta exterior. Si queremos calcular el perı́odo sinódico para un planeta interior hay que hacer la siguiente consideración: la figura
5.9 muestra a la Tierra como planeta interior. Sencillamente hagamos
un cambio de órbitas en el sentido de que la órbita del planeta exterior
sea ahora la de la Tierra y la que habı́a tomado la Tierra que sea ahora
la de un planeta interior. En tal caso la ecuación pasa a ser:
θTt
θTp
,
P = Tp +
,
360
360
de las cuales es fácil obtener:
1
1
1
= + .
Tp
P
Tt
P =
(5.6)
(5.7)
Ejemplo 1
Determinar el perı́odo sideral del planeta Júpiter si el perı́odo sinódico de este, visto desde la Tierra, es de 398,9 dı́as terrestres.
Solución
En este caso Tt = 365,25 dı́as y P = 398,9 dı́as. Utilizamos la ecuación (5.5) para despejar Tp , pues Júpiter es un planeta exterior a la
Tierra:
1
1
1
=
−
= 2,3095 × 10−4 ,
Tp
365,25 398,9
de la que se deduce que Tt = 4329 dı́as, esto es, 11,85 años terrestres.
5.3. LOS PLANETAS
87
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronomı́a general, Mir, Moscú.
Excelente texto de astronomı́a básica. El capı́tulo 2 explica con sencillez
algunos conceptos sobre el movimiento aparente de los astros.
Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrologı́a: ¿mito
o realidad?, Tikal Ediciones, Gerona.
Libro escrito por dos astrónomos que expone las contradicciones conceptuales de la astrologı́a.
Meeus, J. (1988) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets,
Willman-Bell, Inc., Richmond.
Contiene multitud de datos útiles para la observación de los planetas, la
Luna y el Sol. Muy completo en lo que respecta a fechas de oposiciones,
conjunciones, máximas elongaciones, etc.
Roy, A.E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam
Hilger, Bristol.
El capı́tulo 11 contiene una exposición clara y detallada sobre fenómenos
planetarios geocéntricos.
Capı́tulo 6
COORDENADAS
CELESTES
Para especificar con exactitud y de forma unı́voca la posición de los
astros en la bóveda celeste los astrónomos utilizan varios sistemas de
coordenadas. De uso común existen los siguientes sistemas:
1.
2.
3.
4.
5.
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
horizontales,
ecuatoriales horarias,
ecuatoriales (o ecuatoriales absolutas),
eclı́pticas,
galácticas.
A continuación examinaremos con detalle cada uno de estos sistemas.
6.1.
Coordenadas horizontales
Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matemático del observador. Tales coordenadas permiten ubicar
la posición aparente de un astro para un observador cualquiera situado
a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempo especificado.
Las coordenadas son (ver figura 6.1):
A = azimut (o acimut),
h = altura.
88
89
6.1. COORDENADAS HORIZONTALES
El azimut A de un astro es el ángulo contado sobre el horizonte que
comienza a medirse desde el punto cardinal norte en dirección hacia el
este (oriente) hasta la vertical del astro correspondiente.
C
∗
W
S
h
N
O
HORIZONTE
E
A
VERTICAL
C’
Figura 6.1: Coordenadas horizontales
El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
0o ≤ A < 360o .
La altura h de un astro es el ángulo contado sobre la vertical del astro
que comienza a medirse desde el horizonte hasta el astro correspondiente.
El signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye un criterio de visibilidad del mismo. Si el astro está por encima del
horizonte (visible para el observador), tendremos h > 0; pero si está por
debajo del horizonte (invisible para el observador), obtenemos h < 0.
La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
90
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
−90o ≤ h ≤ 90o .
Nótese que:
h(cenit) = 90o ,
h(nadir) = −90o ,
h(horizonte) = 0o .
El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado
por z, de tal forma que:
z = 90 − h.
(6.1)
Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno
las coordenadas horizontales de un astro están cambiando permanentemente, por lo que es necesario especificar el tiempo de la observación con
la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de tiempo,
las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes
o longitudes difieren también.
NOTA: El lector ha de tener presente que muchos libros de astronomı́a esférica definen el azimut de tal forma que comienza a medirse
desde el punto cardinal sur en dirección hacia el oeste. Al llamar A al
azimut ası́ definido tendremos la relación: A = A + 180.
6.2.
Coordenadas ecuatoriales horarias
Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste.
Las coordenadas son (ver figura 6.2):
H = ángulo horario,
δ = declinación.
El ángulo horario H de un astro es el ángulo contado sobre el ecuador celeste que comienza a medirse desde el meridiano del observador
en dirección hacia el oeste (occidente) hasta el cı́rculo de declinación del
astro correspondiente.
Es de uso muy frecuente especificar el ángulo horario en unidades de
tiempo. Puesto que la bóveda celeste describe una circunferencia completa (360 grados) en 24 horas, tendremos que:
91
6.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS
C
PNC
*
MERIDIANO
DEL OBSERVADOR
δ
H
E
N
S
O
HORIZONTE
W
CIRCULO
DE DECLINACION
ECUADOR
CELESTE
PSC
C’
Figura 6.2: Coordenadas ecuatoriales horarias
15o = 1 hora.
Por ejemplo, H = 35o 25’ 36” (en unidades de grados) equivale a
35o 25’ 36” = 35,4266666o/15 = 2,36177777h = 2h 21m 42,4s .
El ángulo horario tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
0o ≤ H < 360o ,
o
mejor : 0h ≤ H < 24h .
La declinación δ de un astro es el ángulo medido sobre el cı́rculo
de declinación de este que comienza a contarse desde el ecuador celeste
hasta el astro correspondiente.
La declinación es positiva si la estrella está ubicada en el hemisferio
norte celeste, de lo contrario es negativa.
Nótese que:
δ(P N C) = 90o ,
δ(P SC) = −90o ,
δ(E. C.) = 0o .
92
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
Las coordenadas ecuatoriales horarias son parcialmente absolutas.
Con ello queremos decir que, aunque la declinación de un astro es la
misma para un observador independientemente de su posición geográfica
y de la hora de observación, el ángulo horario no lo es.
6.3.
Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas)
Al igual que las coordenadas ecuatoriales horarias, las coordenadas
ecuatoriales absolutas tienen como plano de referencia el ecuador celeste.
Las coordenadas son (ver figura 6.3):
α = ascensión recta,
δ = declinación.
C
PNC
MERIDIANO
DEL OBSERVADOR
*
δ
E
N
O
HORIZONTE
α
S
W
CIRCULO
DE DECLINACION
ECUADOR
CELESTE
PSC
C’
Figura 6.3: Coordenadas ecuatoriales absolutas
6.4. COORDENADAS ECLÍPTICAS
93
La declinación es el mismo ángulo que definimos al introducir las
coordenadas ecuatoriales horarias.
La ascensión recta α de un astro es el ángulo medido sobre el ecuador
celeste contado desde el punto vernal en dirección contraria a la de las
agujas del reloj, visto desde el PNC, hasta el cı́rculo de declinación del
astro.
Al igual que el ángulo horario, la ascensión recta de un astro se acostumbra expresar en unidades de tiempo.
La ascensión recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
0o ≤ α < 360o ,
o
mejor : 0h ≤ α < 24h .
Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son válidas para
cualquier observador independiente de su latitud y longitud geográfica.
Por tal razón, los almanaques astronómicos expresan la posición de las
estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos celestes en términos de las
coordenadas ecuatoriales.
6.4.
Coordenadas eclı́pticas
Las coordenadas eclı́pticas tienen como plano de referencia la eclı́ptica, esto es, la trayectoria aparente del Sol en la bóveda celeste.
Las coordenadas son (ver figura 6.4):
λ = longitud eclı́ptica,
β = latitud eclı́ptica.
Nótese que estamos utilizando el mismo sı́mbolo (λ) para designar
tanto la longitud geográfica como la longitud eclı́ptica. El lector debe
estar atento para evitar confusiones.
La longitud eclı́ptica λ de un astro es el ángulo medido sobre la
eclı́ptica que se cuenta a partir del punto vernal en dirección contraria
94
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
ε
PNC
Π
∗
β
ε
λ
O
ECUADOR
CELESTE
ε
ECLIPTICA
PSC
Π’
Figura 6.4: Coordenadas eclı́pticas
de las agujas del reloj, visto desde el PNC, hasta la semicircunferencia
que pasa por los polos eclı́pticos (Π y Π ) y el astro en cuestión.
La longitud eclı́ptica tiene valores comprendidos entre el siguiente
intervalo:
0o ≤ λ < 360o .
La latitud eclı́ptica β de un astro es el ángulo medido sobre la semicircunferencia que pasa por los polos eclı́pticos y el astro en cuestión,
que comienza a contarse desde la eclı́ptica hasta el astro correspondiente.
Nótese que:
β(Π) = 90o ,
β(Π ) = −90o ,
β(ecl.) = 0o .
6.5. COORDENADAS GALÁCTICAS
6.5.
95
Coordenadas galácticas
Las coordenadas galácticas tienen como plano de referencia el plano
de la galaxia en la que se encuentra el Sol, esto es, la Vı́a Láctea. En una
noche despejada, oscura y lejos de la luz de la ciudad, es posible observar
un gran manchón neblinoso que se extiende por el cielo. Dicho manchón
resulta de la acumulación de miles de millones de estrellas situadas en su
mayorı́a a cientos y miles de años luz de distancia. Puesto que nuestra
galaxia es de tipo espiral, su forma, para un observador exterior a ella,
será similar a la de una lente muy delgada. Nosotros, por estar ubicados
muy cerca al plano central de dicha lente e inmersos en ella, contemplamos la Vı́a Láctea como un anillo luminoso que circunda la bóveda
celeste. En estudios de la galaxia e incluso de objetos extragalácticos es
frecuente designar las posiciones de ciertos objetos utilizando las coordenadas galácticas.
Las coordenadas son (ver figura 6.5):
l = longitud galáctica,
b = latitud galáctica.
La longitud galáctica l de un astro es el ángulo medido sobre el plano
galáctico, que comienza a contarse desde un punto próximo al centro de
la galaxia (CG), en la misma dirección en que se cuentan la ascension
recta y la longitud eclı́ptica, hasta la semicircunferencia que pasa por el
astro y los polos galácticos.
La longitud galáctica tiene valores comprendidos entre el siguiente
intervalo:
0o ≤ l < 360o .
La latitud galáctica b de un astro es el ángulo medido sobre aquella semicircunferencia que pasa por los polos galácticos y el astro en
cuestión que comienza a contarse desde el plano galáctico hasta el astro
correspondiente.
Designando como PG y PG los polos galácticos norte y sur respectivamente tenemos:
96
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
PNC
PG
∗
b
O
l
GA
LA
CT
IC
O
ECUADOR
CELESTE
PL
AN
O
CG
PǴ
PSC
Figura 6.5: Coordenadas galácticas
bPG = 90o ,
bPG = −90o ,
b(plano gal.) = 0o .
La posición del cero de la longitud galáctica (el centro galáctico nominal) fue acordada en 1959 por la Unión Astronómica Internacional y
está situada en las siguientes coordenadas ecuatoriales (2000.0):
α = 17h 45,6m ,
δ = −28o 56,3 .
Observaciones recientes han mostrado que el centro galáctico real
coincide con una fuente de radio e infrarroja (Sagitario A) la cual está situada a unos pocos minutos de arco de su posición nominal; sin embargo, el centro nominal se sigue usando como punto cero para la longitud
galáctica. De ello resulta que la posición del verdadero centro galáctico
esté situada a:
l = −3,34 ,
b = −2,75 .
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
6.6.
97
Transformación entre los sistemas de coordenadas
Para encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas
necesitamos de los conceptos de trigonometrı́a esférica vistos en la sección 2.1.
El caso clásico de transformación entre coordenadas celestes es el
paso de las horizontales a ecuatoriales horarias o viceversa.
6.6.1.
De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa
Considérese la figura 6.6 donde están representadas las coordenadas
horizontales y las ecuatoriales horarias de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atención en el triángulo esférico resaltado en la figura.
Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y ángulos
de dicho triángulo:
Lados
Ángulos
90 − φ
90 − δ
90 − h
Ξ
360 − A
H
El ángulo Ξ, centrado en la estrella, se denomina ángulo paraláctico,
también llamado ángulo de posición.
Utilizando el teorema del seno (ecuación 2.13) obtenemos:
sen (90 − δ)
sen (90 − h)
=
,
sen (360 − A)
sen H
puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (360 − x) = − sen x (siendo x
cualquier ángulo), se deduce:
cos δ sen H = − cos h sen A.
(6.2)
98
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
C
PNC
Ξ
∗
φ
h
δ
H
E
N
S
O
HORIZONTE
W
E
RC
DO
A
ECU
TE
LES
A
PSC
C’
Figura 6.6: Relación entre coordenadas horizontales y ecuatoriales horarias
De igual forma, al aplicar el teorema del coseno (ecuación 2.14) obtenemos:
cos(90−δ) = cos(90−φ) cos(90−h)+ sen (90−φ) sen (90−h) cos(360−A),
y como cos(90 − x) = sen x, y cos(360 − x) = cos x, se obtiene:
sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos A.
(6.3)
Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:
cos(90 − h) = cos(90 − δ) cos(90 − φ) + sen (90 − δ) sen (90 − φ) cos H,
que se convierte en:
sen h = sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H.
(6.4)
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
99
Las ecuaciones (6.2), (6.3) y (6.4) son suficientes para pasar del sistema horizontal al ecuatorial horario o viceversa.
El ángulo paraláctico puede hallarse fácilmente a través del teorema
del seno:
sen Ξ =
cos φ sen H
− cos φ sen A
=
.
cos h
cos δ
(6.5)
Cuando el ángulo paraláctico es igual a 90o se dice que el astro está en
máxima digresión.
De horizontales a ecuatoriales horarias: Conocidos φ, h y A,
determinar δ y H.
Mediante la ecuación (6.3) se halla inmediatamente la declinación δ:
δ = sen −1 ( sen φ sen h + cos φ cos h cos A).
(6.6)
Habiendo determinado δ y con la ecuación (6.2) calculamos H:
H = sen −1
− cos h sen A
cos δ
,
(6.7)
es evidente que de la ecuación (6.4) encontramos otra expresión para H:
H = cos−1
sen h − sen δ sen φ
cos δ cos φ
.
(6.8)
NOTA: En el cálculo de H se ha de tener mucho cuidado con el
verdadero cuadrante en el que está situado el astro. Puesto que H va
de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversas de los valores entre
paréntesis de la ecuaciones (6.7) y (6.8) las calculadoras y computadoras solo muestran uno de los dos valores que satisfacen la ecuación. Una
manera inmediata de determinar el correcto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valor calculado con la fórmula del
coseno inverso (6.8):
Si
A < 180 entonces
H = 360 − H,
Si
A > 180 entonces
H = H.
100
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
Ejemplo 1
Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son:
A = 210o 34 , h = 35o 43 para un observador situado a φ = 3o 25 N.
Solución
Utilizamos la ecuación (6.6) para calcular la declinación:
δ=
sen −1 [ sen (3o 25 ) sen (35o 43 ) + cos(3o 25 ) cos(35o 43 ) cos(210o 34 )] ,
δ = sen −1 (−0,6630548) = −41o 32 .
Hacemos uso ahora de la ecuación (6.7) para determinar el ángulo horario:
o 43 ) sen (210o 34 )
H = sen −1 − cos(35
,
cos(−41o 32 )
H = sen −1 (0,5515730) = 33o 28,5 = 2h 13,9m .
Hagamos el mismo cálculo con la ecuación (6.8):
o 43 )− sen (−41o 32 ) sen (3o 25 )
H = cos−1 sen (35 cos(−41
,
o 32 ) cos(3o 25 )
H = cos−1 (0,8341279) = 33o 28,5 = 2h 13,9m .
En este caso no existe problema con determinar el verdadero cuadrante de H. Con el valor del ángulo H hallado con (6.8) y puesto que en
nuestro caso A > 180, es claro que el valor de H permanece inalterado.
Ejemplo 2
Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son:
A = 47o 34 , h = 67o 45 para un observador situado a φ = 17o 36 S.
Solución
Antes de proceder con el cálculo hay que tener en cuenta que a φ
debe anteponérsele el signo negativo a causa de que es una latitud sur.
Calculamos la declinación:
101
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
sen −1 [ sen (−17o 36 ) sen (67o 45 )
δ=
+ cos(−17o 36 ) cos(67o 45 ) cos(47o 34 )] ,
δ = sen −1 (−0,0363284) = −2o 5 .
Calculamos el ángulo horario con (6.7):
o 45 ) sen (47o 34 )
H = sen −1 − cos(67cos(−2
,
o 5 )
H = sen −1 (−0,2796513) = −16o 14,3 = 343o 45,7 = 22h 55m .
Hagamos el mismo cálculo con la ecuación (6.8):
o 45 )− sen (−2o 5 ) sen (−17o 36 )
H = cos−1 sen (67 cos(−2
,
o 5 ) cos(−17o 36 )
H = cos−1 (0,9600947) = 16o 14,3 = 1h 5m .
En este caso tenemos dos valores para H: 343o 45,7 y 16o 14,3 . ¿Cuál
es el correcto? Con el valor del ángulo H hallado con el coseno inverso
(16o 14,3 ) y dado que A < 180 entonces: H = 360 − H = 343o 45,7 =
22h 55m .
De ecuatoriales horarias a horizontales: Conocidos φ, δ y H,
determinar h y A.
Antes de comenzar a reemplazar en las fórmulas se ha de tener cuidado en convertir el ángulo horario H (que usualmente viene en unidades
de tiempo) en unidades de grados.
Mediante la ecuación (6.4) se halla inmediatamente la altura h :
h = sen −1 ( sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H).
(6.9)
Habiendo determinado h y con la ecuación (6.2) calculamos A:
−1 − cos δ sen H
A = sen
.
(6.10)
cos h
De la ecuación (6.3) encontramos otra expresión para A:
sen δ − sen φ sen h
−1
A = cos
.
cos φ cos h
(6.11)
102
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
NOTA: Al igual que en el cálculo de H para determinar A se ha de
tener cuidado con el verdadero cuadrante en el que está situado el astro.
Como antes, una manera segura de determinar el correcto cuadrante de
A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valor calculado con la
fórmula del coseno inverso (6.11):
Si
H < 180 (12h ) entonces
A = 360 − A,
Si
H > 180 (12h ) entonces
A = A.
Ejemplo 1
Calcular el azimut y la altura de una estrella para un observador
ubicado en Mocoa (Putumayo) si las coordenadas ecuatoriales horarias
de dicha estrella en ese instante son: δ = 34o 14 y H = 5h 35,3m .
Solución
En el apéndice C encontramos la latitud de Mocoa: 1o 9 . Convertimos
el ángulo horario en unidades de grados: H = 5h 35,3m × 15 = 83o 49,5 .
Reemplazando en la ecuación (6.9) hallamos la altura h:
h = sen −1 [ sen (34o 14 ) sen (1o 9 ) + cos(34o 14 ) cos(1o 9 ) cos(83o 49,5 )] ,
h = sen −1 (0,1002029) = 5o 45 .
Calculado h, determinamos ahora el azimut con ayuda de la ecuación
(6.11):
o 14 )− sen (1o 9 ) sen (5o 45 )
A = cos−1 sen (34 cos(1
,
o 9 ) cos(5o 45 )
A = cos−1 (0,5635018) = 55o 42 ,
pero, puesto que H < 180, entonces el verdadero ángulo de A es:
A = 360 − 55o 42 = 304o 18 .
Ejemplo 2
Determinar la altura y el azimut de la estrella Rigel para un observador situado en Cartagena si su ángulo horario para ese instante es
H = 20h 45,1m .
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
103
Solución
Del apéndice E extraemos la declinación aproximada al minuto de
arco de la estrella Rigel (δ = −8o 12 ). Ası́ mismo, del apéndice C encontramos la latitud de Cartagena: 10o 27 . El ángulo horario es, en unidades
de grados: 311o 16,5 . Calculamos la altura:
sen −1 [ sen (−8o 12 ) sen (10o 27 ) +
h=
cos(−8o 12 ) cos(10o 27 ) cos(311o 16,5 )] ,
h = sen −1 (0,6162300) = 38o 2,5 .
Luego calculamos el azimut con (6.11):
A = cos−1
sen (−8o 12 )− sen (10o 27 ) sen (38o 2,5 )
cos(38o 2,5 ) cos(10o 27 )
,
A = cos−1 (−0,3284699) = 109o 10,5 ,
y dado que H > 180, entonces el ángulo A que acabamos de hallar es el
valor buscado.
6.6.2.
Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa
Puesto que la declinación δ es común a ambos sistemas, lo único
que hay que considerar aquı́ es la relación entre la ascensión recta α y
el ángulo horario H. La conexión se establece a través de algo que nos
indique la posición del punto vernal. Y este algo se llama tiempo sideral
local, T SL. El tiempo sideral local de un observador en un instante dado
se define como el ángulo horario del punto vernal:
T SL = H.
(6.12)
En la figura 6.7 podemos apreciar la relación entre α, H y T SL y
deducir una ecuación supremamente importante:
T SL = H = α + H.
(6.13)
La obtención del T SL para cualquier observador y para cualquier
instante de tiempo se verá con detalle en la sección 7.9.
104
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
C
PNC
MERIDIANO
DEL OBSERVADOR
*
H
TSL
E
N
α
O
HORIZONTE
S
W
ECUADOR
CELESTE
PSC
C’
Figura 6.7: Relación entre α, H y T SL (H )
Ejemplo 1
Determinar el ángulo horario de la estrella Sirius para un observador
cuyo tiempo sideral local en ese instante es de T SL = 3h 51,8m .
Solución
En el apéndice E encontramos la ascensión recta de Sirius: α =
6h 45m . Entonces:
H = T SL − α = 3h 51,8m − 6h 45m = −2h 53,2m ,
como el ángulo es negativo, sumamos en tal caso 24 horas:
H = −2h 53,3m + 24h = 21h 6,8m .
Ejemplo 2
Calcular el ángulo horario del punto vernal para un observador cuyo
ángulo horario de la estrella Procyon es de 22h 7,4m .
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
105
Solución
Del apéndice E extraemos el valor de la ascensión recta para Procyon:
7h 39s . Por lo tanto:
H = α + H = 7h 39s + 22h 7,4m = 29h 46,4m ,
y puesto que el valor excede las 24 horas, sencillamente le restamos 24:
H = T SL = 29h 46,4m − 24h = 5h 46,4m .
Ejemplo 3
Se desea conocer la altura y el azimut de una estrella en el instante
de hora legal de la República de Colombia del 4 de marzo
de 2000 para un observador situado en las siguientes coordenadas: φ =
4o 58 17 N, λ = 75o 3 45 W. Las coordenadas ecuatoriales de la estrella
son: α = 23h 34m 34,5s y δ = 45o 23 45 .
4h 55m 36s
Solución
La resolución de este ejercicio implica el conocimiento de varios conceptos que aún no se han visto, pero que se estudiarán a su debido
tiempo. El asunto clave es la determinación del T SL. El lector puede
ver con detalle el cálculo de este valor en la sección 7.9. Supondremos
en este ejemplo que el lector ya conoce el concepto de hora local, tiempo
universal, fecha juliana y T SG0. El tiempo universal T U en el instante
dado es, de acuerdo con la ecuación (7.8): T U = (T L)Colombia + 5, donde
T L es la hora legal en Colombia. Entonces: T U = 9h 55m 36s .
Con ayuda del apéndice F o con la ecuación (7.15) determinamos
la fecha juliana del 4 de marzo de 2000: 2 451 607,5. Con la fecha juliana calculamos el valor T dado en (7.17), el cual para nuestro caso da:
T = 0,001711157. Con la fórmula (7.16) calculamos el T SG0, esto es, el
tiempo sideral local para un observador en el meridiano de Greenwich a
las cero horas de T U . Al hacer el cálculo da: T SG0 = 10h 48m 15,26s . Pero
la ecuación (7.16) permite calcular solo el T SG0 medio, sin corrección
por nutación. Hallar el valor verdadero del T SG0 implica una corrección en el valor medio que puede llegar a ser tanto como un segundo
de tiempo, lo cual ya representa un error de 15 segundos de arco en
la determinación del ángulo horario del astro. El inconveniente es que
106
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
calcular el T SG0 verdadero exige determinar, para el instante dado, la
nutación en oblicuidad (Δ ) y la nutación en longitud (Δψ) (ver página
213) constituidas de numerosos términos trigonométricos que son funciones de ángulos que ayudan a determinar la posición de la Luna y el
Sol. En este ejercicio nos conformaremos con el T SG0 medio. El paso
siguiente es calcular el T SGt . Este se calcula con la ecuación (7.12):
T SGt = 10h 48m 15,26s + (9h 55m 36s ) × 1,0027379 = 20h 45m 29,1s .
Luego calculamos el tiempo sideral local para nuestro observador a
una longitud λ al oeste de Greenwich (ecuación (7.13)):
T SL = 20h 45m 29,1s − (75o 3 45 )/15 = 15h 45m 14,1s .
Con el T SL calculamos el ángulo horario H:
H = T SL − α = 15h 45m 14,1s − 23h 34m 34,5s = −7h 49m 20,4s =
16h 10m 39,6s .
En unidades de grados H es: 242o 39 54 . Aplicando la ecuación (6.9)
hallamos la altura:
h=
sen −1 [ sen (45o 23 45 ) sen (4o 58 17 ) + cos(45o 23 45 ) cos(4o 58 17 ) cos(242o 39 54 )] ,
h = sen −1 (−0,2595355) = −15o 2 33 .
Luego calculamos el azimut con (6.11):
o
45 )− sen (−15o 2 33 ) sen (4o 58 17 )
A = cos−1 sen (45 23cos(−15
,
o 2 33 ) cos(4o 58 17 )
A = cos−1 (0,7633982) = 40o 14 7 ,
y dado que H > 180, entonces el ángulo A que acabamos de hallar es el
valor buscado.
6.6.3.
Ecuatoriales absolutas a eclı́pticas y viceversa
Consideremos la figura 6.8 en la cual se muestran las coordenadas
ecuatoriales (α, δ) y eclı́pticas (λ, β) de un astro cualquiera. El punto
vernal está ubicado exactamente a medio camino entre los puntos D y
D . Del triángulo esférico resaltado en la figura obtenemos como ángulos
y lados correspondientes los siguientes:
107
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
Π
ε
PNC
Ψ
∗
β
δ
ε
D
λ
O
ECUADOR
D’
α
ECLIPTICA
Π’
PSC
Figura 6.8: Relación entre coordenadas ecuatoriales absolutas y eclı́pticas
Lados
Ángulos
90 − β
90 − δ
90 + α
90 − λ
Ψ
Aplicando el teorema del seno:
sen (90 − δ)
sen (90 − β)
=
,
sen (90 − λ)
sen (90 + α)
y puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (90 + x) = cos x, se deduce:
cos δ cos α = cos λ cos β.
(6.14)
Al aplicar el teorema del coseno:
cos(90 − δ) = cos(90 − β) cos + sen (90 − β) sen cos(90 − λ),
y como cos(90 − x) = sen x, se obtiene:
108
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
sen δ = sen β cos + cos β sen sen λ.
(6.15)
Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:
cos(90 − β) = cos(90 − δ) cos + sen (90 − δ) sen cos(90 + α),
y como cos(90 + x) = − sen x, se obtiene:
sen β = sen δ cos − cos δ sen sen α.
(6.16)
Podemos encontrar otras dos relaciones utilizando el teorema del
seno por el coseno, ecuaciones (2.15). No nos interesan expresiones donde
aparezca el ángulo ubicado en el astro (Ψ). Ello significa que tendremos
solo dos ecuaciones del seno por el coseno. Estas son:
cos(90 − λ) sen (90 − β) = − cos(90 + α) sen (90 − δ) cos + cos(90 − δ) sen ,
cos(90 + α) sen (90 − δ) = − cos(90 − λ) sen (90 − β) cos + cos(90 − β) sen ,
o mejor:
sen λ cos β = sen δ sen + cos δ cos sen α,
(6.17)
sen α cos δ = − sen β sen + cos β cos sen λ.
(6.18)
De eclı́pticas a ecuatoriales: Conocidos λ y β, determinar α y δ.
De la ecuación (6.15) se obtiene la declinación:
δ = sen −1 ( sen β cos + cos β sen sen λ) .
(6.19)
Para evitar confusiones con la verdadera ubicación del cuadrante no
utilizaremos ecuaciones simples que pueden dar el valor de α. En su lugar
trabajaremos con una expresión un poco más complicada y seguiremos
unas reglas especı́ficas que ayudarán a erradicar los dolores de cabeza
que surgen con el cálculo de los cuadrantes verdaderos.
Al dividir la ecuación (6.18) por (6.14) obtenemos una expresión para
hallar α sin tener que haber calculado previamente δ:
−1 − sen β sen + cos β cos sen λ
α = tan
.
(6.20)
cos λ cos β
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
109
La ecuación (6.20) es de la forma:
α = tan
−1
p
,
q
(6.21)
donde p y q representan los términos que conforman el numerador y el
denominador respectivamente en la ecuación (6.20). El ángulo verdadero
se encuentra sometiendo el ángulo α hallado directamente en (6.21) a
las siguientes reglas:
Si p · q < 0
Si p · q < 0 y
y
q < 0 entonces
q > 0 entonces
Si p + q < 0 entonces
α = α + 180,
α = α + 360,
(6.22)
α = α + 180.
Si no se cumple alguna de las reglas anteriores entonces el ángulo
verdadero es el que se halló directamente de (6.20). Lo que sigue es dejar α en unidades de tiempo.
Ejemplo 1
Las coordenadas eclı́pticas de la Luna en un instante dado son: λ =
221o 23 , β = 4o 54 . Calcular las coordenadas ecuatoriales.
Solución
Tomaremos
= 23o 26 . De la ecuación (6.19):
δ=
sen −1 [ sen (4o 54 ) cos(23o 26 ) + cos(4o 54 ) sen (23o 26 ) sen (221o 23 )] ,
δ = sen −1 (−0,1835720) = −10o 34,7 .
La ascensión recta se calcula con la ecuación (6.20):
p = − sen (4o 54 ) sen (23o 26 ) + cos(4o 54 ) cos(23o 26 ) sen (221o 23 ) =
−0,6383208,
q = cos(221o 23 ) cos(4o 54 ) = −0,7475613.
110
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo α = 40o 29,6 . Pero, al aplicar las reglas (6.22) se deduce que se
cumple en este caso p + q < 0, por lo que es necesario sumar 180 grados
al valor hallado. Por lo tanto: α = 40o 29,6 + 180 = 220o 29,6 , que al
convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 14o 42m .
Ejemplo 2
Las coordenadas eclı́pticas del Sol en un instante dado son: λ =
= 0o 0 . Calcular las coordenadas ecuatoriales.
325o 36 , β
Solución
De nuevo:
= 23o 26 . De la ecuación (6.19):
δ = sen −1 [ sen (0o 0 ) cos(23o 26 ) + cos(0o 0 ) sen (23o 26 ) sen (325o 36 )] ,
δ = sen −1 (−0,2246770) = −12o 59 .
La ascensión recta se calcula con la ecuación (6.20):
p = − sen (0o 0 ) sen (23o 26 ) + cos(0o 0 ) cos(23o 26 ) sen (325o 36 ) =
−0,5183705,
q = cos(325o 36 ) cos(0o 0 ) = 0,8251135.
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo α = −32o 8 . Pero, al aplicar las reglas (6.22) se deduce que se
cumple en este caso p · q < 0 y q > 0, por lo que es necesario sumar 360
grados al valor hallado. Por lo tanto: α = −32o 8 + 360 = 327o 52 , que
al convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 21o 51,5m .
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
111
De ecuatoriales a eclı́pticas: Conocidos α y δ, determinar λ y β.
De la ecuación (6.16) obtenemos la latitud eclı́ptica β:
β = sen −1 ( sen δ cos − cos δ sen sen α) .
(6.23)
Dividimos entre sı́ las ecuaciones (6.17) y (6.14) para hallar la longitud eclı́ptica λ en términos de la tangente:
sen δ sen + cos δ cos sen α
−1
λ = tan
.
(6.24)
cos α cos δ
El ángulo λ ası́ hallado es sometido a las mismas reglas establecidas
en (6.22).
Ejemplo 1
Las coordenadas ecuatoriales de la Luna en un instante dado son:
α = 5h 27,5m , δ = 19o 45m . Calcular sus correspondientes coordenadas
eclı́pticas.
Solución
Tomaremos = 23o 26 . Convertimos la ascensión recta en unidades
de grados: α = 5h 27,5m = 81o 52,5 . De la ecuación (6.23):
sen −1 [ sen (19o 45 )
cos(23o 26 ) −
β=
cos(19o 45 ) sen (23o 26 ) sen (81o 52 )] ,
β = sen −1 (−0,0604850) = −3o 28 .
La longitud eclı́ptica se calcula con la ecuación (6.24):
p = sen (19o 45 ) sen (23o 26 ) + cos(19o 45 ) cos(23o 26 ) sen (81o 52,5 ) =
0,9892661,
q = cos(81o 52,5 ) cos(19o 45 ) = 0,1330195.
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo λ = 82o 20 . Al aplicar las reglas (6.22) se deduce que el valor que
acabamos de hallar es el ángulo buscado.
112
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
Ejemplo 2
Las coordenadas ecuatoriales del Sol en un instante dado son: α =
12h 29m 49,21s , δ = −3o 13m 9,6 . Calcular sus correspondientes coordenadas eclı́pticas.
Solución
Tomaremos = 23o 26 18,50 . Convertimos la ascensión recta en unidades de grados: α = 12h 29m 49,21s = 187o 27 18,15 . De la ecuación
(6.23):
β = sen −1 ( sen (−3o 13 9,6 ) cos(23o 26 18,50 )−
cos(−3o 13 9,6 ) sen (23o 26 18,50 ) sen (187o 27 18,15 )),
β = sen −1 (0,00000307) = 0o 0 0,01 .
Procedemos a calcular la longitud eclı́ptica:
p = sen (−3o 13 9,6 ) sen (23o 26 18,50 ) +
= −0,1411923,
cos(−3o 13 9,6 ) cos(23o 26 18,50 ) sen (187o 27 18,15 )
q = cos(187o 27 18,15 ) cos(−3o 13 9,6 ) = −0,9899822.
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo λ = 8o 7 0,65 . Al aplicar las reglas (6.22) se tiene que debemos sumar 180 al valor anterior. Por lo tanto: λ = 8o 7 0,65 +180 = 188o 7 0,65
es el ángulo buscado.
6.6.4.
Ecuatoriales absolutas a galácticas y viceversa
La figura 6.9 muestra la relación entre las coordenadas ecuatoriales (α, δ) y las coordenadas galácticas (l, b). Llamaremos αP g y δP g la
ascensión recta y la declinación del polo norte galáctico, el cual está situado en la constelación de la Cabellera de Berenice, con las siguientes
coordenadas:
αP g = 12h 51,4m ,
δP g = 27o 8 .
113
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
Igualmente necesitamos especificar la longitud galáctica del polo norte celeste (PNC), que designaremos lN . Puesto que el origen de coordenadas de l está muy cerca del verdadero centro galáctico (CG) y este
dista unos 33 grados con respecto al nodo, esto es, el punto donde el
plano galáctico cruza de sur a norte el ecuador celeste, se tiene que de
la figura 6.9, donde el nodo está exactamente en la mitad de D y D’:
lN = 33 + 90 = 123.
(6.25)
Del triángulo esférico resaltado en la figura se deduce:
Lados
Ángulos
90 − b
90 − δ
90 − δP g
α − αP g
lN − l
Γ
PNC
Γ
PG
∗
δP
G
b
lN
δ
α PG
D
O
l
α
PL
AN
O
CG
GA
LA
CT
IC
O
ECUADOR
CELESTE
D’
NODO
P´G
PSC
Figura 6.9: Relación entre coordenadas ecuatoriales absolutas y galácticas
Aplicando el teorema del seno:
114
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
sen (α − αP g )
sen (lN − l)
=
,
sen (90 − b)
sen (90 − δ)
y como sen (90 − x) = cos x, obtenemos:
cos δ sen (α − αP g ) = sen (lN − l) cos b.
(6.26)
Al aplicar el teorema del coseno:
cos(90−δ) = cos(90−δP g ) cos(90−b)+ sen (90−δP g ) sen (90−b) cos(lN −l),
o mejor:
sen δ = sen δP g sen b + cos δP g cos b cos(lN − l).
(6.27)
Al aplicar el teorema del coseno con otro de los lados:
cos(90−b) = cos(90−δP g ) cos(90−δ)+ sen (90−δP g ) sen (90−δ) cos(α−αP g ),
o también:
sen b = sen δP g sen δ + cos δP g cos δ cos(α − αP g ).
(6.28)
Aplicando el teorema del seno por el coseno (el ángulo Γ no interesa)
obtenemos:
cos(lN − l) sen (90 − b) =
− cos(α − αP g ) sen (90 − δ) cos(90 − δP g ) + cos(90 − δ) sen (90 − δP g ),
cos(α − αP g ) sen (90 − δ) =
− cos(lN − l) sen (90 − b) cos(90 − δP g ) + cos(90 − b) sen (90 − δP g ),
o mejor:
cos(lN − l) cos b = sen δ cos δP g − cos δ sen δP g cos(α − αP g ),
(6.29)
cos(α − αP g ) cos δ = sen b cos δP g − cos b sen δP g cos(lN − l).
(6.30)
De ecuatoriales a galácticas: Conocidos α y δ, determinar l y b.
De la ecuación (6.28) se obtiene la latitud galáctica:
b = sen −1 ( sen δP g sen δ + cos δP g cos δ cos(α − αP g )) .
(6.31)
115
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
Al dividir las ecuaciones (6.26) y (6.29) entre sı́, obtenemos la longitud galáctica a través de la tangente:
l = lN − tan
−1
cos δ sen (α − αP g )
sen δ cos δP g − cos δ sen δP g cos(α − αP g )
.
(6.32)
El ángulo hallado por intermedio de la tangente en el segundo término del lado derecho de la anterior ecuación debe someterse a las reglas
(6.22). Con el valor correcto se procede con el resto de la ecuación (6.32)
con el fin de determinar el verdadero cuadrante.
Ejemplo 1
Las coordenadas ecuatoriales de un objeto dado son: α = 3h 18m , δ =
61o 13 . Calcular sus correspondientes coordenadas galácticas.
Solución
Convertimos las ascensiones rectas en unidades de grados: α = 3h 18m =
αP g = 12h 51,4m = 192o 51 . De la ecuación (6.31):
49o 30 ;
sen −1 [ sen (27o 8 ) sen (61o 13 )
b=
+ cos(27o 8 ) cos(61o 13 ) cos(49o 30 − 192o 51 )] ,
b = sen −1 (0,0559235) = 3o 12 .
La longitud galáctica se calcula con la ecuación (6.32). Primero calculamos el lado derecho:
p = cos(61o 13 ) sen (49o 30 − 192o 51 ) = −0,2874187,
q = sen (61o 13 ) cos(27o 8 ) − cos(61o 13 ) sen (27o 8 ) cos(49o 30 −
192o 51 ) = 0,9561710.
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo igual a −16o 44 . Al aplicar las reglas (6.22) se deduce que a este
valor se le debe sumar 360 grados. Por lo tanto el ángulo es: 343o 16 .
Entonces la longitud galáctica queda: l = 123 − 343o 16 = −220o 16 , el
cual, al sumarle 360 grados, queda finalmente: l = 139o 44 .
116
CAPÍTULO 6. COORDENADAS CELESTES
De galácticas a ecuatoriales: Conocidos l y b, determinar α y δ.
De la ecuación (6.27) se obtiene la declinación:
δ = sen −1 ( sen δP g sen b + cos δP g cos b cos(lN − l)) .
(6.33)
Al dividir las ecuaciones (6.26) y (6.30) entre sı́, obtenemos la ascensión recta a través de la tangente:
α = αP g + tan−1
cos b sen (lN − l)
sen b cos δP g − cos b sen δP g cos(lN − l)
.
(6.34)
El ángulo hallado en el término de la tangente inversa debe someterse a las reglas (6.22) antes de proceder con el resto de la ecuación.
En caso de exceder los 360 grados se resta este mismo valor al ángulo.
Posteriormente se convierte a unidades de tiempo.
Ejemplo 1
Las coordenadas galácticas de un objeto dado son: l = 171o 15 , b =
−17o 15 . Calcular sus correspondientes coordenadas ecuatoriales.
Solución
De nuevo: αP g = 12h 51,4m = 192o 51 . De la ecuación (6.33):
sen −1 [ sen (27o 8 ) sen (−17o 15 ) +
δ=
cos(27o 8 ) cos(−17o 15 ) cos(123 − 171o 15 )] ,
δ = sen −1 (0,4307031) = 25o 30 .
La ascensión recta se calcula con la ecuación (6.34). Primero calculamos el lado derecho:
p = cos(−17o 15 ) sen (123 − 171o 15 ) = −0,7124996,
q = sen (−17o 15 ) cos(27o 8 ) − cos(−17o 15 ) sen (27o 8 ) cos(123 −
171o 15 ) = −0,5539306.
6.6. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
117
Al tomar la tangente inversa (tan−1 (p/q)) obtenemos un valor del
ángulo igual a 52o 8 . Al aplicar las reglas (6.22) se deduce que a este
valor se le debe sumar 180 grados. Por lo tanto, el ángulo es: 232o 8 .
Entonces la ascensión recta queda: α = 232o 8 + 192o 51 = 424o 59 , que
por ser mayor de 360 le restamos este valor: α = 64o 59 , que al convertir
en unidades de tiempo da: α = 4h 20m .
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Roy, A., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam
Hilger, Bristol.
Muy buen libro de astronomı́a fundamental. El capı́tulo 7 es particularmente claro en exponer las coordenadas celestes.
Vorontsov-Veliamı́nov, B.A. (1979) Problemas y ejercicios prácticos de
astronomı́a, Mir, Moscú.
Contiene un buen número de problemas propuestos en astronomı́a esférica.
Vives, T. (1971) Astronomı́a de posición, Alhambra, Bilbao.
Contiene varios capı́tulos que tratan extensivamente la relación entre los
diferentes sistemas de coordenadas celestes.
http://seds.org/~spider/spider/ScholarX/coords.html
Contiene explicaciones detalladas sobre transformación entre coordenadas celestes.
Capı́tulo 7
EL TIEMPO EN
ASTRONOMÍA
El tiempo es un concepto de importancia fundamental en la vida
moderna. El ritmo acelerado predominante en la sociedad actual está en
gran medida asociado a la necesidad que tenemos de medir la sucesión
de los eventos que acaecen en nuestra vida diaria con la mayor exactitud posible. Vivir en sociedad, en las actuales circunstancias, ha hecho
indispensable tener conciencia en especificar con detalle los sucesos que
ya ocurrieron (lo que ya pasó) y lo que sucederá.
Para la medida del tiempo es indispensable contar con la existencia de un fenómeno periódico, esto es, algo que se presente o suceda a
intervalos grandes o pequeños de tiempo de forma repetitiva (esto es,
con la mayor monotonı́a posible) y completamente ininterrumpido. La
observación hábil y paciente en las culturas antiguas puso en evidencia
la existencia de algunos fenómenos astronómicos que cumplı́an aproximadamente con estos requerimientos.
7.1.
El dı́a
La sucesión de los dı́as es el fenómeno astronómico periódico más
obvio: el ciclo incesante de los dı́as y las noches influye decididamente
sobre nuestro ritmo de vida de tal modo que el dı́a, entendido de forma
primitiva como el tiempo que tarda el Sol en salir por el oriente consecutivamente, es una medida del tiempo muy fácil de verificar.
118
7.1. EL DÍA
119
Desde el punto de vista astronómico, llamamos dı́a al tiempo que
tarda un cuerpo celeste en girar sobre sı́ mismo. Ahora bien, cuando se
considera el concepto de rotación de un cuerpo, lo primero que hay que
especificar es con respecto a qué punto (o puntos) de referencia está rotando el objeto. Y aquı́ se pone complicado el asunto, pues aparecen
varias definiciones de dı́a dependiendo de la elección de los puntos de
referencia. En lo que sigue consideraremos que el cuerpo en rotación es
el planeta Tierra.
7.1.1.
El dı́a sideral
Hablamos de dı́a sideral cuando nos referimos al intervalo de tiempo
que le toma a la Tierra dar una revolución completa sobre sı́ misma con
respecto a las estrellas fijas. En la práctica lo que se hace es escoger
como referencia un punto en el cielo de caracterı́sticas especiales que
se comporte como una estrella: el punto vernal (). Para un observador
ubicado en la superficie de la Tierra, la siguiente definición de dı́a sideral
es más discernible: intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones
superiores (o inferiores) consecutivas del punto vernal. El dı́a sideral se
divide en veinticuatro segmentos a los que llamaremos horas siderales;
cada hora sideral se divide en 60 partes llamadas minutos siderales y
a su vez cada uno de estos se divide en 60 partes llamadas segundos
siderales. Un segundo sideral es entonces 1/(60 × 60 × 24) = 1/86 400
parte de un dı́a sideral.
7.1.2.
El dı́a solar verdadero
Llamaremos dı́a solar verdadero al intervalo de tiempo que le toma
a la Tierra dar una revolución completa sobre sı́ misma con respecto
al centro del Sol, o lo que es completamente equivalente: intervalo de
tiempo entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivas
del Sol. En lo que sigue, y aunque se corra el riesgo de ser redundantes,
llamaremos al centro del Sol el “Sol verdadero”. El dı́a solar verdadero y
el dı́a sideral no son iguales, pues, como se recordará, el Sol verdadero se
desplaza a través de las estrellas a razón de casi un grado por dı́a. Puesto
que, independientemente del movimiento diurno, el Sol verdadero se va
moviendo aparentemente en dirección hacia el este, al transcurrir un dı́a
sideral completo, el Sol no habrá completado su “revolución” alrededor
de la Tierra, con lo que el dı́a solar verdadero es un poco más largo que
el sidéreo (ver figura 7.1).
120
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
SOL
SOL
W
E
W
(a)
Figura 7.1: (a) Sol y equinoccio vernal coinciden.
E
(b)
(b) Sol y el punto vernal un
dı́a sideral después
Pero el dı́a solar verdadero adolece de un problema serio que lo hace
poco útil a la hora de utilizarlo como medida de tiempo confiable.
Lo que vemos como el movimiento del Sol a través del cielo no es
otra cosa que el movimiento reflejo de la Tierra alrededor del Sol. Sin
embargo, la órbita de la Tierra (y la de los otros planetas del sistema
solar) no es circular sino elı́ptica. Además, los cuerpos celestes se mueven
barriendo áreas iguales en tiempos iguales, lo que en términos cualitativos significa que el planeta se mueve más rápido cuando está cerca
del Sol que cuando está lejos de él. Aunque la órbita de la Tierra posee
una excentricidad muy pequeña, es lo suficientemente notable como para apreciarse que la Tierra, al estar más cerca del Sol (en los primeros
dı́as de enero) este, visto desde la Tierra, se desplaza a través del cielo
un poco más rápido que lo normal; ası́ mismo, cuando la distancia entre
ellos es máxima (seis meses después), el Sol se desplaza un poco más
despacio de lo corriente. Esto significa que, al medir el tiempo que le
toma al Sol pasar de forma consecutiva por el meridiano a través del
año, este tiempo no es constante; varı́a conforme transcurren los meses.
Este hecho se ve agravado aún más por la inclinación del eje de la Tierra
con respecto a la normal al plano de la eclı́ptica, esto es, que la eclı́ptica
no coincida con el ecuador celeste.
Vemos entonces que el dı́a solar verdadero no es una unidad de medida de tiempo confiable, pues su duración varı́a de dı́a en dı́a. Sin embargo, puesto que el Sol regula nuestras actividades diarias y el hecho de
que las diferencias en duración son relativamente pequeñas, es necesario
7.1. EL DÍA
121
“obligar” al Sol a que sea un punto de referencia útil, esto es, que la
duración de un dı́a basado en el Sol sea constante para todos los dı́as
del año.
7.1.3.
El dı́a solar medio
Llamamos dı́a solar medio al intervalo de tiempo que le toma a la
Tierra dar una revolución completa sobre sı́ misma con respecto al centro del Sol medio o, lo que es lo mismo, el intervalo de tiempo existente
entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivas del Sol medio. El Sol medio es un Sol ideal, llamado también fantasma o ficticio,
el cual los astrónomos introdujeron con el fin de subsanar los problemas
de variabilidad en la duración del dı́a solar verdadero.
Imaginemos el siguiente escenario: 1. La Tierra describe una órbita
perfectamente circular en torno al Sol; 2. El eje de la Tierra es perpendicular al plano de la eclı́ptica (ecuador celeste y eclı́ptica coinciden). El
Sol resultante de estas dos condiciones hipotéticas que verı́amos desde
la Tierra en el transcurso de los dı́as es el Sol medio. Es útil imaginarse
al Sol medio como un Sol invisible que está cerca del Sol verdadero, en
ocasiones adelantándose a él, en otras, atrasándose y en algunas pocas
ocasiones coincidiendo con él.
El dı́a solar medio contempla el hecho de que el punto de referencia
(el Sol medio) se desplace a razón de 0.98 grados por dı́a en dirección
hacia el este. Esto implica que el dı́a solar medio y el dı́a sideral no
poseen igual duración.
El dı́a solar medio se divide en veinticuatro segmentos que llamaremos horas solares medias; cada hora solar media se divide en 60 partes
llamadas minutos solares medios y a su vez cada uno de estos se divide
en 60 partes llamadas segundos solares medios. Un segundo solar medio
es entonces 1/(60 × 60 × 24) = 1/86 400 parte de un dı́a solar medio.
122
7.2.
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
Conversión entre tiempo sideral y tiempo
solar medio
En astronomı́a es igualmente necesario medir eventos en dı́as siderales y en dı́as solares medios, por lo que surgen los conceptos de tiempo
sideral y tiempo solar medio respectivamente. De ahı́ que sea indispensable encontrar una conversión que permita fácilmente pasar de una
unidad de tiempo a otra.
La diferencia entre las dos escalas de tiempo estriba en el hecho de
que el Sol medio se va desplazando con respecto a las estrellas de fondo
a razón de 360/365,2564 = 0,98561 grados/dı́a, lo cual, en unidades de
tiempo (24 horas corresponden a 360 grados) da un valor de 3m 56,55s .
Es claro entonces que al completarse 24 horas de tiempo sideral, esto
es, al cabo de un dı́a sideral, todavı́a no se han completado 24 horas de
dı́a solar medio, pues este, como dijimos atrás, resulta ser un poco más
largo en duración. En el momento en que se completen las 24 horas
de tiempo solar medio, ya se habrán acumulado casi 4 minutos más de
tiempo sideral. De ahı́ que tengamos (con la precisión que tenemos hoy
en dı́a):
24h de tiempo solar medio (1 dı́a solar medio) = 24h 3m 56,5553678s
de tiempo sideral.
De forma equivalente, al completar 24 horas de dı́a sideral, faltan
algunos minutos para que se completen las 24 horas de dı́a solar medio:
24h de tiempo sideral (1 dı́a sideral) = 23h 56m 4,090524s de tiempo
solar medio.
Por lo tanto, si tenemos una lectura en tiempo solar medio y deseamos convertirla en tiempo sideral, lo que debemos es multiplicar por el
factor de conversión siguiente:
24h 3m 56,5553678s
24h
=
= 1,00273790935079.
24h
23h 56m 4,090524s
(7.1)
CONVERSIÓN ENTRE TIEMPOS
123
De igual forma, al pasar de tiempo sideral a tiempo solar medio
necesitamos multiplicar por:
24h
23h 56m 4,090524s
=
= 0,997269566329.
24h 3m 56,5553678s
24h
(7.2)
Ejemplo 1
Un reloj marca 3h 56m 34,6s de tiempo solar medio. Calcular el
tiempo sideral.
Solución
De acuerdo con la ecuación (7.1) tenemos:
3h 56m 34,6s ×1,002737909 = 3h 57m 13,4s .
Ejemplo 2
Un reloj marca 14h 5m 17,8s de tiempo sideral. Calcular el tiempo
solar medio.
Solución
De acuerdo con la fórmula (7.2) tenemos:
14h 5m 17,8s × 0,997206957 = 14h 2m 56,1s .
Las siguientes definiciones de tiempo son locales, esto es, están definidas para un determinado observador ubicado sobre la superficie de la
Tierra:
124
7.3.
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
El tiempo sideral local
El tiempo sideral local (T SL) para un observador dado es el ángulo
horario del punto vernal que aprecia dicho observador:
T SL = H.
(7.3)
Por lo tanto, el tiempo sideral local es cero para un observador cuando este nota que el punto vernal está culminando superiormente.
Nótese entonces que el tiempo sideral local comienza a contarse una
vez que el punto vernal pasa por el meridiano del observador, esto es, el
dı́a sideral tiene su origen en el instante de la culminación superior del
punto vernal.
7.4.
El tiempo solar verdadero
El tiempo solar verdadero (T SOLV ) para un observador dado es el
ángulo horario del Sol verdadero que aprecia dicho observador, más doce
horas:
T SOLV = H + 12h ,
(7.4)
donde H representa el ángulo horario del Sol1 verdadero. Como sabemos, esta escala de tiempo no es uniforme y, por lo tanto, es de escasa
utilidad al momento de medir la duración de los eventos.
7.5.
El tiempo solar medio
El tiempo solar medio (T SOLM ) para un observador dado es el
ángulo horario del Sol medio que aprecia dicho observador, más doce
horas:
T SOLM = H + 12h ,
(7.5)
donde H denota el ángulo horario del Sol medio. Esto significa que el
dı́a solar medio comienza a contarse a partir de la culminación inferior
del Sol medio, esto es, cerca de lo que llamamos en nuestra vida diaria
1
El sı́mbolo se utiliza extensivamente en astronomı́a para representar al Sol.
Era un jeroglı́fico utilizado por los antiguos egipcios para representar el astro Sol (ra)
como también para designar el concepto de dı́a.
7.6. EL TIEMPO UNIVERSAL
125
la media noche. Vemos inmediatamente la conexión existente entre el
concepto de tiempo solar medio y el tiempo que estamos acostumbrados
a utilizar. En efecto, cuando el Sol está en, o muy cerca de su culminación (Hsol 0), sabemos que son cerca de las 12 meridiano; si el Sol
está próximo a ocultarse cerca del occidente (Hsol 6h ) son cerca de
las 6 p. m. o las 18 horas, y ası́ sucesivamente.
7.6.
El tiempo universal
Llámese tiempo universal (T U ) al tiempo solar medio para un observador situado exactamente en el meridiano de Greenwich.
Conociendo el tiempo universal, un observador ubicado en cualquier
otra longitud puede calcular su tiempo solar medio sin que recurra a la
observación del ángulo horario del Sol medio. Basta tener presente que a
causa de la rotación de la Tierra en dirección de oeste a este, por cada 15
grados que un observador esté desplazado hacia el oeste del meridiano
de Greenwich, el Sol medio, para dicho observador, está ubicado unos
15 grados al este de su meridiano, por lo que, para él, el tiempo solar
medio está una hora retrasado con respecto al meridiano de Greenwich.
De igual forma, por cada 15 grados que un observador está desplazado
al este del meridiano de Greenwich, el Sol medio está ubicado al oeste de
su meridiano de tal forma que, para él, el tiempo solar medio está una
hora adelantado con respecto al meridiano de Greenwich.
Entonces, el tiempo solar medio de un observador situado a una
longitud λ del meridiano de Greenwich, en función del tiempo universal,
está dado por:
T SOLMλ = T U ± (λo /15),
(7.6)
donde λo representa la longitud en grados. El signo se toma positivo si
la longitud del observador es hacia el este, y negativo hacia el oeste.
7.7.
Husos horarios
La ecuación (7.6) tiene una gran desventaja, pues significa que, rigurosamente, dos observadores separados por unos cuantos segundos de
arco en longitud han de poseer una diferencia de tiempo solar medio
126
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
también de unos cuantos segundos en tiempo. Desde el punto de vista
operativo en cuanto a la administración de un paı́s o una región no conviene que ciudades próximas unas con respecto a las otras posean relojes
que indiquen tiempos distintos. Por ello se decidió dividir al planeta en
24 segmentos o franjas que van de polo a polo (llamados husos horarios
o zonas de tiempo), cada uno con un ancho de 15 grados, de tal forma
que existiera entre cada huso y su vecino inmediato una diferencia de
una hora. Con ello se pretende que los observadores ubicados dentro de
un huso horario posean todos el mismo tiempo solar medio con respecto
al tiempo universal. La zona de tiempo que contiene al meridiano cero
o de referencia es llamada zona de tiempo cero. La zona de tiempo 12
(aquella que es dividida por el meridiano 180) es llamada lı́nea internacional de cambio de fecha. Esta lı́nea separa las fechas consecutivas
entre dos dı́as. Los primeros hombres en experimentar un cambio de fecha fueron aquellos marineros que acompañaron a Fernando Magallanes
y Sebastián Elcano en el primer viaje que circunnavegó el mundo entre 1519 y 1522 habiendo sido los primeros europeos en cruzar por vez
primera el Océano Pacı́fico de América hacia Asia. Los pocos marineros
que sobrevivieron a tan penosa travesı́a fueron, al regresar a Europa,
fuertemente sorprendidos al enterarse de que su calendario de a bordo
andaba retardado un dı́a con respecto al calendario en Tierra.
La lı́nea internacional de la fecha se desvı́a frecuentemente del meridiando 180 a causa de las decisiones locales adoptadas por los territorios
afectados. La lı́nea se deflecta hacia el este a través del estrecho de Bering y hacia el oeste de las islas Aleutianas para prevenir la separación
de estas áreas por una fecha. Por la misma razón la lı́nea se deflecta otra
vez hacia el este de Tonga y algunas islas de Nueva Zelandia en el Pacı́fico Sur. Recientemente la lı́nea se ha desviado notoriamente hacia el este
para incluir todo Kiribati. Estos cambios son variables y arbitrarios: no
existe autoridad internacional que defina un curso de la lı́nea de cambio
de fecha.
Se llama “tiempo local” (T L) o “tiempo legal” —en algunos paı́ses se
denomina tiempo estándar— de un paı́s o de una región determinada al
tiempo solar medio correspondiente a su huso horario (HH) de acuerdo
con (la versión práctica de la ecuación (7.6)):
T L = T U + HH,
(7.7)
7.7. HUSOS HORARIOS
127
donde HH viene en unidades de horas y es un número (casi siempre
entero) positivo o negativo. En el caso de la República de Colombia se
ha escogido un huso horario HH = −5, puesto que el meridiano 75 oeste
(múltiplo exacto de 15) atraviesa aproximadamente el centro-occidente
del paı́s2 .
Figura 7.2: Mapa de Colombia
2
Poblaciones casi situadas sobre el meridiano 75 son, entre otras: Pilón (Atlántico),
Jesús del Monte (Bolı́var), San Andrés de Palomo (Sucre), San Carlos, San Luis y
Aquitania (Antioquia), Samaná (Caldas), Chicoral y Chenche (Tolima) y Lusitania
(Caquetá).
128
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
Dicha zona de tiempo, que va de longitud 67o 30 oeste hasta 82o
30 oeste cubre toda la plataforma continental del territorio nacional,
inclusive los territorios insulares de San Andrés, Providencia y Santa
Catalina en el océano Atlántico y Malpelo en el océano Pacı́fico. El
tiempo local para Colombia se conoce con el nombre de hora legal de la
República de Colombia 3 , el cual está dado por:
(T L)Colombia = T U − 5h
(7.8)
Paı́ses que se ubican aproximadamente dentro de este sector han
adoptado también este valor de huso horario, como Ecuador, Perú, y
algunos estados de la costa este de los Estados Unidos.
Hasta hace poco, la hermana República Bolivariana de Venezuela
tenı́a por huso horario HH = −4. Sin embargo, a partir del 24 de septiembre de 2006, se cambió a HH = −4,5 con base en que dicho cambio
permitirı́a “efectos positivos en el metabolismo de las personas desde el
punto de vista orgánico, funcional, intelectual”.
Ejemplo 1
Un reloj marca la hora legal para la República de Colombia en los
siguientes tres casos. Determinar para cada uno de ellos el tiempo universal T U :
a) 2h 35m 15s p. m. del 4 de abril de 2003.
b) 5h 14m 6s a. m. del 17 de septiembre de 2010.
c) 9h 55m 16s p. m. del 10 de mayo de 2015.
Solución
a) Las 2h 35m 15s de la tarde (pasado el meridiano, p. m.) equivalen
a un tiempo de 14h 35m 15s transcurrido desde el inicio del dı́a. Por lo
tanto:
T U = 14h 35m 15s + 5h = 19h 35m 15s del dı́a 4 de abril de 2003.
3
Mediante el decreto 2153 de 1992, artı́culo 20, numeral 5, el ente encargado de
mantener, coordinar y suministrar la hora legal de la República de Colombia es la
Superintendencia de Industria y Comercio.
7.7. HUSOS HORARIOS
129
b) Las 5h 14m 6s equivalen a un tiempo de 5h 14m 6s transcurrido
desde el inicio del dı́a. De ahı́ que:
T U = 5h 14m 6s + 5h = 10h 14m 6s del dı́a 17 de septiembre de 2010.
c) Las 9h 55m 16s p. m. equivalen a un tiempo de 21h 55m 16s
transcurrido desde el inicio del dı́a. Por lo tanto:
T U = 21h 55m 16s + 5h = 26h 55m 16s .
Un tiempo superior a 24 horas significa que estamos en el dı́a siguiente, por lo que al valor anterior le restamos 24h :
T U = 2h 55m 16s del dı́a 11 de mayo de 2015.
Pero fue claro desde el principio que la intención de dividir el globo
terrestre en 24 segmentos, donde a cada uno de ellos se le ha de asignar
una hora dada con respecto a T U , no iba a ser adoptada unánimemente.
La razón es clara: la forma irregular y los tamaños disı́miles de los paı́ses,
como también razones polı́ticas, de conveniencia y de otra clase, han hecho que muchas naciones hayan adoptado como valor de huso horario
otro distinto del que deberı́a corresponderles por estar situadas en determinada posición geográfica con respecto al meridiano de Greenwich.
Es obvio que paı́ses con extensiones territoriales muy notorias como Rusia, Canadá, Estados Unidos y Brasil, se ven cubiertos por dos o más
zonas de tiempo. El territorio de Rusia es atravesado por once zonas de
tiempo; Estados Unidos, teniendo en cuenta sus posesiones de ultramar,
es cubierto por diez zonas de tiempo, en tanto que Canadá registra seis
y China cinco. Pero no necesariamente significa que cada paı́s se vea
en la necesidad de definir horas locales correspondientes a cada zona de
tiempo. Un ejemplo notorio es China, que, aunque cubierto su territorio
por cinco zonas de tiempo, ha escogido un tiempo fijo para todo el paı́s
con HH = 8.
Una complicación adicional a la conversión entre los tiempos locales
y el tiempo universal es la costumbre, entre algunos paı́ses ubicados con
latitudes altas (φ > 25 N y S), de adelantar en una hora la hora local en
los meses de verano (aunque se incluye también parte de la primavera y
el otoño). La razón es que en verano el Sol está por encima del horizonte
unas 14 a 15 horas (la duración cambia con la latitud y la época del año).
130
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
En solsticio de verano el Sol sale aproximadamente a las 4 a. m., una hora
en la que buena parte de la población aún está durmiendo. La puesta del
Sol se verifica a eso de las 8 p. m. Por ello, y para ajustar el tiempo de
una forma más adecuada al huso civil, algunos paı́ses, usualmente por
decreto gubernamental, adelantan los relojes 1 hora. Entonces, la hora
local en este perı́odo del año, llamada “hora de verano”, es igual a:
(T L)verano = T U + HH + 1.
(7.9)
Con este adelanto de la hora se logra además disminuir el consumo
de energı́a eléctrica por la población civil, pues con la medida se pretende que la mayorı́a de la gente se vaya a la cama una hora más temprano.
Como ilustración considérese la región de la costa este de los Estados Unidos. La hora local de estados como Florida, Virginia, Pensilvania,
ambas Carolinas, Georgia, New York, etc., llamada hora estándar del este, está determinada por un huso horario de HH = −5, por lo que la
hora de ciudades como Miami, New York, Washington, etc., es idéntica
a la hora en la República de Colombia. Sin embargo, desde el primer domingo de abril hasta el último domingo de octubre, la hora para dichos
estados es aumentada en uno, por lo que, si en Colombia son las 10 a.
m., en estos estados serán las 11 a. m.
Pero paı́ses como China y Japón, aunque situados en latitudes altas, no adelantan su hora en verano. Paı́ses situados en el hemisferio sur
adelantan sus relojes una hora en los meses de octubre hasta marzo. En
los paı́ses situados en o muy cerca del ecuador terrestre no se justifica
adelantar la hora con el mismo propósito que se hace en otros paı́ses:
el de ahorrar energı́a eléctrica. Ya se vio que en cercanı́as del ecuador
terrestre la diferencia de duración entre el dı́a y la noche es escasa y relativamente poco perceptible. Por tal razón en dichos paı́ses no se realizan
modificaciones a la hora legal. Sin embargo, ello no impidió que en 1992,
en nuestro paı́s, durante el gobierno de César Gaviria, se adelantara temporalmente la hora (de HH = −5 se pasó a HH = −4) como medida de
último recurso ante la grave sequı́a que afectó el normal funcionamiento
de las hidroeléctricas. La idea, con muy poco respaldo astronómico, era
la de forzar el ahorro de energı́a eléctrica.
7.8. LA ECUACIÓN DEL TIEMPO
7.8.
131
La ecuación del tiempo
La ecuación del tiempo (ET ) es la diferencia existente entre el tiempo
solar verdadero y el tiempo solar medio:
ET = T SOLV − T SOLM.
(7.10)
Figura 7.3: Ecuación del tiempo
De las definiciones de estos tiempos en función de los ángulos horarios
del Sol verdadero y medio (ecuaciones (7.4) y (7.5)) obtenemos :
E.T. = H − H .
(7.11)
Esta es una simple diferencia en tiempo sideral que en ocasiones puede ser positiva, negativa o nula (ver figura 7.3). La ecuación del tiempo
es cero aproximadamente los dı́as 16 de abril, 18 de junio, agosto 30 y
diciembre 16. Por lo tanto, en dichos dı́as el ángulo horario del Sol medio
y del Sol verdadero coinciden, lo que significa que a mediodı́a de tiempo
solar medio, esto es, cuando un reloj marca las 12h 0m 0s para un observador situado exactamente en el meridiano de Greenwich, el Sol medio
pasa por el meridiano en el mismo momento en que el Sol verdadero lo
hace.
132
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
SOL MEDIO CULMINANDO
(12 HORAS TU)
SOL VERDADERO
H > H
.
.
SOL VERDADERO
H < H
.
.
S
E
W
N
Figura 7.4: Posición del Sol verdadero a las 12h de T U dependiendo del signo de la
ecuación del tiempo
La ecuación del tiempo es máxima positiva aproximadamente en noviembre 3 (+ 16m 26s ). Una diferencia positiva significa que H > H ,
por lo que, al pasar el Sol verdadero por el meridiano del observador,
el Sol medio todavı́a no ha culminado; en otras palabras, a mediodı́a
de tiempo solar medio para un observador exactamente ubicado en el
meridiano de Greenwich (H = 0) el Sol verdadero hace ya unos momentos que ha pasado por el meridiano del observador (ver figura 7.4).
El 3 de noviembre a las 12 m. de T U el Sol verdadero está ubicado ya a
un ángulo horario de 0h 16m 26s , obviamente hacia el oeste.
La ecuación del tiempo es máxima negativa aproximadamente en febrero 11 (−14m 16s ).
Una diferencia negativa significa que H > H , por lo que, al pasar el
Sol verdadero por el meridiano de un observador situado en el meridiano
de Greenwich, el Sol medio ya hace un tiempo que ha culminado; en otras
palabras, a mediodı́a de tiempo solar medio (H = 0) el Sol verdadero
todavı́a no ha pasado por el meridiano del observador. El 11 de febrero
7.9. EL CÁLCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL
133
a las 12 m. de T U el Sol verdadero está ubicado a un ángulo horario de
24h - 0h 14m 16s = 23h 45m 44s .
7.9.
El cálculo del tiempo sideral local
En la sección 6.6.2 introdujimos el concepto del tiempo sideral local
(T SL) sin mayores complicaciones, para poder convertir el ángulo horario H de un astro en su correspondiente ascensión recta o viceversa.
En los ejemplos vistos allı́ el T SL se suponı́a conocido. En las siguientes
lı́neas veremos cómo puede calcularse para cualquier fecha y hora local.
Primero que todo supongamos que conocemos el T SL para un observador situado en el meridiano de Greenwich a las 0h de T U . Abreviaremos el tiempo sideral para un observador en Greenwich a las cero
horas de tiempo local (T U ) como T SG0, que es el ángulo horario del
punto vernal para un observador situado en el meridiano de Greenwich
exactamente a las 0h de T U . Por lo tanto, el ángulo horario del punto
vernal para un observador en Greenwich es, para un tiempo t cualquiera
de T U (que llamaremos T SGt ):
T SGt = T SG0 + T U × 1,0027379,
(7.12)
pues es claro que, a medida que avanza el tiempo, el punto vernal se va
desplazando hacia el oeste (por el movimiento diurno), en la dirección
en que se incrementa el ángulo horario. Vemos que es necesario el factor
de conversión para pasar de tiempo solar medio (las unidades en que
viene el T U ) a unidades de tiempo sideral.
El cálculo del tiempo sideral local para cualquier otro observador
que está situado al oeste del meridiano de Greenwich es, para el mismo
instante t (ver figura 7.5):
T SL = T SGt − (λoW /15),
(7.13)
donde λoW denota la longitud hacia el oeste en grados, por lo que es
necesario dividir por 15 para obtener este término de longitud en las
unidades apropiadas de tiempo.
134
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
TSG t
TSL
m
OESTE
er
id
.a
λ
lo
es
te
mer. Greenwich
TSL
W
de
Gr
ee
λ
E
.
rid
al
n.
ree
te
es
G
de
e
n. m
ESTE
Figura 7.5: Tiempo sideral en Greenwich y tiempos siderales locales
Si el observador está al este del meridiano de Greenwich, su tiempo
sideral local en el instante t es:
T SL = T SGt + (λoE /15),
(7.14)
donde λoE denota la longitud hacia el este en grados.
7.9.1.
El cálculo de la fecha juliana
En algunos cálculos astronómicos es imperativo determinar con exactitud el número de dı́as transcurrido entre dos eventos. Supóngase que
se desea conocer el número de dı́as existentes entre el dı́a en que aconteció la Batalla de Boyacá (7 de agosto de 1819) y el dı́a en que ocurrió la
muerte del lı́der polı́tico Jorge Eliécer Gaitán (9 de abril de 1948). Podemos hacer este cálculo comenzando por determinar el número de dı́as
restantes de 1819 (agosto tiene 31 dı́as, septiembre 30, octubre 31, noviembre 30 y diciembre 31) y luego sumando el número de dı́as que hay
entre ambos años, sin olvidar que cada cuatro años es bisiesto (tiene
366 dı́as), etc., etc., etc. Vemos que la manera más obvia de hacer este
7.9. EL CÁLCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL
135
cálculo tiene la desventaja de ser tediosa y se presta para caer fácilmente en errores. Si queremos determinar el número de dı́as entre eventos
históricos anteriores a la fecha del nacimiento de Jesucristo el cálculo
se complica aún más, pues hay que considerar que, por deficiencias en
conocimientos matemáticos, los cronistas no incluyeron en la historia el
año cero (ver sección 9.5), y que para complicación adicional, en 1582,
por orden papal, no solo se perdieron diez dı́as de la historia sino que se
instauró una regla mediante la cual ciertos años que deberı́an ser bisiestos, no lo son (ver sección 9.4).
Por tal razón los astrónomos recurren al concepto de fecha juliana
(F J).
La idea fue buscar un dı́a lo suficientemente atrás en el tiempo como
para cubrir el perı́odo histórico (los eventos registrados mediante escritura). Dicho dı́a de referencia es el primero de enero del año 4713 antes
de Jesucristo a mediodı́a de Greenwich (12h de T U ). La razón de haber
escogido este año como fecha de referencia se verá en la sección 9.6.4.
Se llama “número de dı́a juliano” al número de dı́as que han pasado (a
mediodı́a de Greenwich) desde la fecha de referencia. Entonces, al dı́a
3 de enero del 4713 a. C. a mediodı́a de Greenwich le correspondió un
número de dı́a juliano igual a 2. Por supuesto que a finales del siglo XX
y comienzos del XXI, habiendo transcurrido más de 6700 años desde la
fecha de referencia, el número de dı́as juliano se ha incrementado a un
valor cercano a los dos millones cuatrocientos cincuenta mil. Al dı́a 31
de diciembre del año 2000 (a mediodı́a de Greenwich) le corresponde el
número de dı́a juliano de 2 451 910.
Llámese fecha juliana (F J) de un instante dado a su correspondiente
número de dı́a juliano más la fracción de dı́a transcurrido.
Ejemplo 1
Calcular la fecha juliana del instante 17h 34m 57s , hora legal de la
República de Colombia, del dı́a 1 de enero de 2001.
Solución
Comentábamos unas cuantas lı́neas atrás que el número de dı́a juliano de la fecha diciembre 31 de 2000 (a las 12h de T U ) es de 2 451 910. Por
136
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
lo tanto, el dı́a siguiente (el 1 de enero de 2001 a las 12h de T U ) tiene por
número de dı́a juliano 2 451 911. Pero nuestro T U es 17h 34m 57s + 5h
= 22h 34m 57s , por lo tanto, debemos considerar el tiempo que ha transcurrido desde el mediodı́a: 22h 34m 57s − 12h = 10h 34m 57s = 10,5825h
que en fracción de dı́a equivale a 10,5825h /24h = 0,4409375, por lo
que la fecha juliana del instante requerido es: 2 451 911 + 0,4409375 =
2 451 911,4409375.
La fecha juliana fue introducida por Joseph Justus Scaliger en 1582.
La fecha del 1 de enero del 4713 a. C. fue escogida como el origen de un
gran perı́odo de 7980 años (ver sección 9.6.4), que llamó perı́odo juliano, en honor de su padre (Julius Scaliger), por lo que el perı́odo juliano
no tiene nada que ver con el calendario juliano —el nombre de juliano
en este último viene de Julio César— que miraremos con detalle en la
sección 9.2.
En el apéndice F están contenidas unas tablas cuya rápida consulta
permite hallar fácilmente la fecha juliana de cualquier fecha comprendida
entre los años −1990 hasta 2999 A. D.
Ejemplo 2
Calcular la fecha juliana del dı́a 19 de septiembre del año 2710.
Solución
Nos remitimos al apéndice F. En la tabla F.1 se busca la fecha juliana
correspondiente a la centena del año en cuestión (2700): 2 707 213,5.
Luego se halla en la tabla F.2 el número que corresponde a la parte
adicional del año sin tener en cuenta la centena, en nuestro caso 10:
3652. Luego se busca en la tabla F.3 el número que corresponde al mes,
que en nuestro caso es 243. A la suma de los tres números anteriores
adicionamos el dı́a:
2 707 213,5 + 3652 + 243 + 19 = 2 711 127,5.
Existen en la literatura astronómica varias rutinas matemáticas creadas para calcular la fecha juliana. Describiremos aquı́ la fórmula dada
por Meeus (Meeus, 1991):
Sea A el año, M el número de mes (1 para enero, 12 para diciembre)
y D el dı́a del mes (incluidos los decimales si los tiene). Entonces:
7.9. EL CÁLCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL
137
Si M = 1 o 2, entonces: A = A − 1, M = M + 12,
Si M > 2, entonces A = A, M = M.
La fecha juliana se calcula mediante:
FJ
= EN T (365,25 × (A + 4716)) + EN T (30,6001 × (M + 1))
(7.15)
−EN T (A/100) + EN T (EN T (A/100)/4) + D − 1522,5,
donde EN T () significa la parte entera de lo que está dentro de los
paréntesis:
EN T ( 4,234) = 4,
EN T (3,99999) = 3.
Ejemplo 3
Calcular la fecha juliana del dı́a 4 de febrero de 2002.
Solución
Mientras no haya más información, se supone que estamos hablando
de las 0 horas de T U del dı́a en cuestión.
Aquı́ A = 2002, M = 2, D = 4. Entonces: A = 2001, M = 14.
Ası́ mismo:
EN T (365,25 × (A + 4716)) = 2 453 384,
EN T (30,6001 × (M + 1)) = 459,
EN T (A/100) = 20,
EN T (EN T (A/100)/4) = 5.
Finalmente:
F J = 2 453 384 + 459 − 20 + 5 + 4 − 1522,5 = 2 452 309,5.
Ejemplo 4
Calcular la fecha juliana del instante 3h 54m 15s del 23 de septiembre
de 2126. La hora está dada en hora legal de la República de Colombia.
138
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
Solución
Calculamos el T U : 3h 54m 15s + 5h = 8h 54m 15s . En fracción de
dı́as es: (8h 54m 15s )/24h = 0,371007.
Aquı́: A = 2126, M = 9, D = 23,371007.
Ası́ mismo:
EN T (365,25 × (A + 4716)) = 2 499 040,
EN T (30,6001 × (M + 1)) = 306,
EN T (A/100) = 21,
EN T (EN T (A/100)/4) = 5.
Finalmente:
F J = 2 499 040 + 306 − 21 + 5 + 23,371007 − 1522,5 = 2 497 830,871007.
Ya estamos en condiciones de responder al reto que nos habı́amos
planteado al inicio de esta sección, esto es, hallar el número de dı́as existentes entre el 7 de agosto de 1819 y el 9 de abril de 1948. Sencillamente
calculamos las fechas julianas de ambos eventos:
7 de agosto de 1819 =⇒
9 de abril de 1948 =⇒
2 385 653,5,
2 432 650,5,
y la diferencia entre ambos números nos da el dato buscado: 46 997 dı́as.
7.9.2.
El cálculo del TSG0
El T SG0 (el tiempo sideral en Greenwich a las 0h de T U , o el ángulo horario que tiene el punto vernal a las 0h de T U para un observador
situado exactamente en el meridiano de Greenwich) para un dı́a determinado se puede calcular por medio de la siguiente fórmula:
T SG0 = 6h 41m 50,54841s + 2400h 3m 4,81286s T + 0,09310s T 2 , (7.16)
donde T está dado por:
T =
F J − 2 451 545,0
,
36 525
(7.17)
7.9. EL CÁLCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL
139
siendo F J la fecha juliana del dı́a en cuestión. El número 2 451 545,0 es
la fecha juliana del instante enero 1 a las 12h de T U del año 2000.
Ejemplo 1
Calcular el T SG0 del dı́a 5 de julio de 2003.
Solución
Calculamos la fecha juliana del 5 de julio de 2003. El cálculo da:
2 452 825,5. A continuación determinamos T , el cual da T = 0,0350582.
Entonces:
2400h 3m 4,81s × 0,0350582 = 84,141479h .
Reemplazando en la fórmula (7.16) obtenemos, sin considerar el
término cuadrático que es muy pequeño:
T SG0 = 6h 41m 50,55s + 84,141479h = 90,838854h .
Este resultado tiene que ser llevado a un valor de tiempo comprendido entre 0 y 24 horas, lo que llamaremos llevar al primer reloj. Por
ejemplo, 26 horas es equivalente a tener 2 horas. Esto se hace sencillamente utilizando la ecuación:
T SG0∗
∗
T SG0 = T SG0 − EN T
(7.18)
× 24h ,
24
donde T SG0∗ representa el valor del T SG0 cuando es mayor de 24 horas.
Por lo tanto:
T SG0 = 90,838850h − 3 × 24h = 18,83885h = 18h 50m 19,87s .
NOTA: El T SG0 se designa de dos formas, dependiendo del grado
de exactitud con que se calcula. Uno, definido por la fórmula sencilla
(7.16), se llama tiempo sideral medio en Greenwich a las 0 horas de
T U (T SG0m ). La palabra medio quiere decir que se está hablando del
ángulo horario del punto vernal medio, esto es, aquel que resulta de la
intersección del ecuador celeste medio con la eclı́ptica de la fecha. En
140
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
otras palabras, el punto vernal ası́ calculado no está siendo corregido
por nutación (ver la sección 10.2). El otro T SG0, más exacto, es llamado tiempo sideral aparente en Greenwich a las 0 horas de T U (T SG0a ).
Indica el ángulo horario del punto vernal aparente o verdadero, esto es,
ya corregido por nutación.
La relación entre estos dos tiempos es la ecuación de los equinoccios
(EE). La ecuación de los equinoccios se define ası́:
EE = T SG0a − T SG0m = Δψ cos
v,
(7.19)
donde Δψ representa la nutación en longitud (en unidades de tiempo)
definida por la ecuación (10.11) y v es la oblicuidad verdadera de la
fecha, ecuación (10.17). Sin embargo, EE es un valor pequeño, del orden
de un segundo de tiempo. Por lo tanto, en cálculos donde no se requiera
demasiada precisión se puede hacer EE = 0 y trabajar con el T SG0
medio.
Ya estamos en capacidad, por fin, de calcular el tiempo sideral local, esto es, el ángulo horario del punto vernal para un instante y un
observador cualesquiera.
Ejemplo 2
Calcular el tiempo sideral local de un observador situado en Miami
el dı́a 8 de agosto de 2003 para la hora local 6h 30m 0s . La longitud de
Miami es 80o 12 25 W.
Solución
Primero calculamos el tiempo universal T U . Puesto que se trata de
la hora local, esto es, tiempo estándar del este y como la fecha indica que
es verano, la hora está adelantada con respecto al huso horario que le
corresponde (H = −5). En otras palabras, utilizamos la ecuación (7.9).
Entonces:
T U = (T L)verano − HH − 1,
por lo que T U = 6h 30m 0s − (−5h ) − 1h = 10h 30m 0s . La fecha juliana
del 8 de agosto del 2003 es: 2 452 859,5. Por lo tanto T = 0,0359890.
Entonces el T SG0 es igual a: 93h 4m 22,16s que llevado al primer reloj
da: 21h 4m 22,16s .
7.9. EL CÁLCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL
141
A continuación calculamos el T SGt con ayuda de la ecuación (7.12):
T SGt = 21h 4m 22,16s + 10h 30m 0s × 1,0027379 = 31h 36m 5,65s ;
al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para obtener:
T SGt = 7h 36m 5,65s .
Por último calculamos el T SL con ayuda de la ecuación (7.13):
T SL = H = 7h 36m 5,65s − 80o 12 25 /15 = 2h 15m 15,99s .
Ejemplo 3
Calcular el ángulo horario del punto vernal el dı́a 28 de noviembre
de 2015 a una hora local de 8h 15m 30s de la noche, para un observador
situado en el municipio colombiano de Mompós (Bolı́var). La longitud
de Mompós es: 74o 25 8 W.
Solución
Calculamos el tiempo universal T U . Las 8h 15m 30s de la noche hora local, esto es, hora legal de la República de Colombia, representan
las 20h 15m 30s . Puesto que para Colombia HH = −5, tenemos que, de
acuerdo con la ecuación (7.8):
T U = 20h 15m 30s + 5h = 25h 15m 30s .
El hecho de habernos excedido en 24h quiere decir que en Greenwich,
para el mismo instante, son la 1h 15m 30s pero del dı́a siguiente. Y aquı́ se
ha de andar con cuidado porque esto puede dar lugar a confusiones y
errores en el cálculo. Se puede determinar el T SGt de dos formas. Bien
con la fecha del 28 de noviembre o con la del 29 de noviembre. Haremos
el cálculo de ambas maneras.
Con la fecha del 28 de noviembre de 2015: la fecha juliana es: 2 457 354,5.
Por lo tanto T = 0,1590554. Entonces el T SG0 es igual a: 388h 26m 18,60s
que llevado al primer reloj da: 4h 26m 18,60s .
142
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
A continuación calculamos el T SGt :
T SGt = 4h 26m 18,60s + 25h 15m 30s × 1,0027379 = 29h 45m 57,56s ;
al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para obtener:
T SGt = 5h 45m 57,66s .
Con la fecha del 29 de noviembre de 2015: la fecha juliana es obviamente: 2 457 355,5. Por lo tanto: T = 0,1590828. Entonces el T SG0 es
igual a: 388h 30m 15,34s que llevado al primer reloj da: 4h 30m 15,34s .
A continuación calculamos el T SGt :
T SGt = 4h 30m 15,34s + 1h 15m 30s × 1,0027379 = 5h 45m 57,66s .
Por último, calculamos el T SL con ayuda de la ecuación (7.13):
T SL = H = 5h 45m 57,66s − 74o 25 8 /15 = 0h 48m 17,13s .
7.10.
Sistemas de tiempo
El mundo moderno exige medir el tiempo lo más exactamente posible, bien sea por propósitos cientı́ficos, militares, religiosos, industriales
o civiles. De todas las cantidades fı́sicas medibles el tiempo es aquella
que se puede medir con mayor exactitud.
Se deben definir dos cantidades con el fin de establecer un sistema de
tiempo: la primera es la unidad de duración, por ejemplo el segundo o el
dı́a; la segunda es el cero (o la época) de dicho tiempo. Ya hemos visto
dos sistemas de tiempo: el tiempo universal (T U ) y el tiempo sideral.
Es nuestro propósito en las siguientes secciones complementar algunos
conceptos con respecto a los sistemas de tiempo ya vistos e introducir
varios más, todos necesarios y de uso extensivo en astronomı́a.
7.10.1.
Variaciones en la tasa de rotación terrestre
Conviene recordar que el tiempo solar medio (del que se deduce el
tiempo universal T U ) y el tiempo sideral descansan en un fenómeno periódico “regular”, el cual es la rotación de la Tierra sobre su eje.
7.10. SISTEMAS DE TIEMPO
143
Hasta tiempos relativamente recientes se pensaba que el dı́a era uniforme. Con ello en mente se definió el segundo como una fracción especificada del dı́a solar medio:
1 segundo= 1/86 400 del dı́a solar medio.
Para mediados del siglo XIX se disponı́a de teorı́as muy elaboradas
sobre el movimiento de la Luna, cosa que no es fácil a causa de las enormes dificultades con que se encuentran los astrónomos teóricos al tratar
de resolver por aproximaciones las complicadas ecuaciones diferenciales
del movimiento lunar. Con todo, los esfuerzos heroicos de estos astrónomos se veı́an frustrados pues la Luna se resistı́a a seguir por el camino
que los astrónomos predecı́an; en otras palabras, no se podı́a explicar de
forma satisfactoria el movimiento lunar. Cierto que las diferencias entre las posiciones calculadas y las observadas eran pequeñas, pero no lo
suficiente como para ignorarlas. Una de tales desigualdades se llamaba
“aceleración secular del movimiento medio” que, se pensaba, se debı́a
a la acción perturbadora de los campos gravitacionales de los planetas
del sistema solar sobre nuestra Luna. Sin embargo, Adams, en 1853, demostró más allá de toda duda razonable que dicha desigualdad no podı́a
deberse a la perturbación gravitacional producida por los planetas del
sistema solar. ¿De dónde entonces se producı́a la aceleración secular del
movimiento medio lunar? Ferrel y Delaunay demostraron, en 1865, con
base en principios enteramente dinámicos, que las fuerzas de marea existentes entre la Luna y la Tierra ejercen una acción cuya consecuencia
directa es un frenado secular4 en la rotación de la Tierra. Como contraprestación, la velocidad orbital de la Luna aumenta. Esto representaba
una evidencia basada en las teorı́as newtonianas de que la duración del
dı́a era variable. Algunos astrónomos, como Simon Newcomb, a finales
del siglo XIX y comienzos del XX, al elaborar sofisticadas efemérides
planetarias, descubrieron que aún existı́an algunas discrepancias en el
movimiento lunar y sugirieron que el responsable era la existencia de
cambios completamente irregulares en la rotación terrestre. Con la aparición de relojes más precisos en la década de 1930 fue posible descubrir
que la tasa de rotación de la Tierra adolecı́a también de variaciones
periódicas ligadas con las estaciones. Todas estas investigaciones demostraron que nuestro planeta no rota con perfecta uniformidad. Las variaciones hoy en dı́a se clasifican como: seculares, que, como ya vimos, son
4
En mecánica celeste la palabra secular indica un cambio lento y continuo de la
cantidad conforme transcurre el tiempo.
144
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
debidas a la acción de mareas; irregulares, atribuidas a movimientos del
núcleo terrestre, y periódicas, originadas por fenómenos meteorológicos
ligados a la sucesión de las estaciones. En general, estas variaciones son
impredecibles y la única manera de cuantificarlas es comparando la duración de un dı́a sideral (o un dı́a solar medio) con una escala de tiempo
completamente uniforme como la que pueden dar los relojes atómicos.
7.10.2.
El tiempo de las efemérides (TE)
No es conveniente trabajar con una escala de tiempo que no es uniforme pues ello implica el uso de una unidad como el segundo, que, habiendo
sido definido como una fracción del dı́a solar medio, tiene como consecuencia una duración también variable. Algunos astrónomos sugirieron
la adopción, ya para 1929, de un sistema de tiempo, este sı́ uniforme,
que fuera la variable independiente de las ecuaciones de Newton para el
movimiento de los planetas. Esto último exige un breve comentario. En
mecánica celeste clásica las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de los planetas tienen la forma (ver por ejemplo las ecuaciones
(12.26) y (14.18)):
→
d2 −
ri
→
= fi (−
ri ),
dt2
→
cuya solución numérica o analı́tica permite hallar los vectores −
ri para un
tiempo t que se supone uniforme. Ahora bien, los astrónomos calculan
las posiciones de los astros para el futuro o el pasado. Por lo tanto t se
extiende hacia adelante o atrás en el tiempo tanto como el astrónomo
desee. Esta escala de tiempo, no sobra decirlo, debe ser perfecta y uniforme. Pero es una escala teórica que ha de tener una conexión directa
con una escala de tiempo que puedan leer los usuarios. Y aquı́ es donde
surge toda la complicación, pues si el astrónomo elige como variable independiente al dı́a solar medio, y este, como vimos, no es uniforme (unas
veces es más grande, otras más pequeño) surgirá una discrepancia entre
lo que se calcula (utilizando un tiempo que se supone es uniforme) y lo
que se mide, la rotación de la Tierra. Un tiempo t en las ecuaciones de
movimiento no será igual al tiempo t que se registra en un reloj con una
escala no uniforme.
La escala de tiempo uniforme que fue adoptada en 1952 por la Unión
Astronómica Internacional se llamó tiempo de las efemérides (T E), entendida como la variable independiente en las teorı́as gravitacionales del
7.10. SISTEMAS DE TIEMPO
145
Sol, la Luna y los planetas, pero que en los detalles se basaba estrictamente en el movimiento del Sol dado por las tablas del mismo hechas
por Simon Newcomb a finales del siglo XIX. Pero no fue sino hasta 1958
que se acordó definir plenamente la unidad del tiempo de las efemérides,
ya no en términos de una fracción de dı́a solar medio sino en fracción
del año trópico (ver página 181), pero no de cualquier año sino de uno
especı́fico. Se definió el segundo de las efemérides a 1/31 556 925,9747 de
la duración del año trópico en el instante enero 0 de 1900 a las 12h de
T E. Para determinar el tiempo de las efemérides en cualquier instante
lo que se hace es observar las posiciones aparentes de la Luna, el Sol y
los planetas (particularmente la primera debido a su rápido movimiento
a través de las estrellas) y se comparan con las posiciones registradas
→
en los almanaques. Para la posición −
r observada se deduce el tiempo t.
Esto es, a las posiciones que se han calculado previamente a través de
una teorı́a dinámica, las cuales en la práctica se tabulan en un almanaque en función del tiempo (supuesto éste completamente uniforme), se
comparan en la vida real con las observaciones que se hacen de los astros
→
y se invierte el asunto: a la posición −
r le debe corresponder el tiempo
t. Si la Tierra rotara uniformemente, el tiempo universal y el tiempo
de las efemérides serı́an uno solo. Sin embargo, la no uniformidad de
la rotación de la Tierra hace que entre las dos escalas de tiempo exista
una discrepancia que aumenta o disminuye de forma imprevista. Para
cuantificar esta discrepancia se introdujo el concepto de ΔT el cual se
definió como:
ΔT = T E − T U.
(7.20)
La forma usual de determinar el valor de ΔT es mediante la observación sistemática de cuerpos como la Luna. Como es de esperarse, las
observaciones astronómicas antiguas no son tan exactas como las modernas, por lo que un registro más o menos fiable sobre el valor de ΔT
es posible darlo solo en los últimos cuatro siglos.
La tabla 7.1 contiene algunos valores que ha tomado ΔT desde 1650
hasta el 2000. En la práctica, el tiempo de las efemérides se usó por más
de treinta años, hasta que en 1984, debido a las múltiples dificultades
con su uso, se decidió cambiarlo de nombre y de definición.
7.10.3.
El tiempo dinámico
Con el fin de subsanar las deficiencias en el uso del tiempo de las
efemérides, la Unión Astronómica Internacional definió un nuevo con-
146
Año
1650
1660
1670
1680
1690
1700
1710
1720
1730
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
ΔT (s)
+48
+46
+26
+16
+10
+9
+10
+11
+11
Año
1740
1750
1760
1770
1780
1790
1800
1810
1820
ΔT (s)
+12
+13
+15
+16
+17
+17
+13,7
+12,5
+12,0
Año
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
ΔT (s)
+7,5
+5,7
+7,1
+7,9
+1,6
−5,4
−5,9
−2,7
+10,5
Año
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
ΔT (s)
+21,2
+24,0
+24,3
+29,1
+33,1
+40,2
+50,5
+56,9
+63,9
Tabla 7.1: Algunos valores de ΔT en el tiempo
junto de escalas de tiempo que comenzó a operar formalmente en 1984.
El propósito era seguir con el concepto de una escala de tiempo ideal
como variable independiente de las ecuaciones de movimiento de los
cuerpos en el sistema solar, pero adoptar, con todas sus consecuencias,
el formalismo de la teorı́a de la relatividad general elaborada por Albert
Einstein en 1916. Y esto complica las cosas porque dicha teorı́a mantiene que el tiempo, es decir, nuestra variable independiente, depende del
sistema de coordenadas que se use como sistema de referencia: no es lo
mismo medir el tiempo en el centro del Sol que en el centro de la Tierra.
Cada observador ubicado en alguno de estos dos sitios puede medir el
tiempo y notará que este “fluye” de manera normal. El problema surge
cuando comparan entre ellos las lecturas de sus respectivos relojes: detectarán que no coinciden. La necesidad de describir el movimiento del
sistema solar con respecto a estrellas o cuerpos muy lejanos ha hecho
que los astrónomos elijan el baricentro del sistema solar como origen
de un sistema de referencia sobre el cual describir el movimiento de los
cuerpos principales del sistema solar. Sin embargo, los astrónomos, al
menos por ahora, están ubicados en la superficie de la Tierra (no en el
baricentro del sistema solar, el cual está situado cerca del centro del Sol
en la dirección de Júpiter). Ello significa que un sistema de tiempo utilizado en la superficie de la Tierra no coincide con un sistema de tiempo
utilizado en el baricentro del sistema solar (ver Hellings, 1986). De ahı́ la
necesidad de la definición de los dos siguientes sistemas de tiempo.
7.11. EL TIEMPO ATÓMICO
147
El tiempo dinámico baricéntrico (TDB)
El tiempo dinámico baricéntrico (T DB), es el argumento independiente de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos principales del
sistema solar (y por lo tanto de las efemérides) referido al baricentro del
sistema solar.
El tiempo dinámico terrestre (TDT)
El tiempo dinámico terrestre (T DT ), es el argumento independiente
de las efemérides aparentes geocéntricas (con referencia a la superficie
de la Tierra) de los cuerpos del sistema solar. Desde 1984 el argumento
tiempo para establecer las posiciones de los cuerpos en el sistema solar
(Sol, Luna, planetas, etc.) es el T DT . Las posiciones de los astros más
utilizadas a nivel mundial están contenidas en el Astronomical Almanac
el cual es publicado conjuntamente por el Observatorio Naval de los Estados Unidos y el Observatorio Real de Greenwich, y da a conocer, año a
año, las efemérides de los cuerpos celestes tal y como fueron calculadas
por el Laboratorio de Propulsión a Chorro, dependencia adscrita a la
NASA (Administración Nacional de la Aeronáutica y el Espacio). Dicho cálculo involucró la integración numérica simultánea de los cuerpos
principales del sistema solar, llamada DE405/LE405 comprendiendo el
intervalo 1600-2201.
La definición del T DT y del T DB hace que la diferencia entre ambas
escalas sea puramente periódica, con una amplitud que nunca excede los
0,002 segundos. Por lo tanto, en cálculos que no requieran gran exactitud se puede hacer: T DT = T DB.
Para complicación adicional, en 1991 la Unión Astronómica Internacional renombró el T DT el cual pasó a llamarse sencillamente tiempo
terrestre (T T ). El lector debe tener presente que dondequiera que aparezca T DT también se quiere decir T T .
7.11.
El tiempo atómico
El tiempo atómico se basa en el conteo de los ciclos de una señal
eléctrica de alta frecuencia que se mantiene en resonancia con una transición atómica. La unidad fundamental del tiempo atómico es el segundo del sistema internacional (SI), el cual se define como la duración de
148
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
9192 631 770 perı́odos de la radiación que corresponde a la transición
entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio
133. Las ventajas del reloj de cesio, con respecto a otros relojes atómicos (como de hidrógeno o rubidio), son: la invariancia de la frecuencia
fundamental que gobierna su operación; error fraccional muy pequeño
y su uso conveniente. Se han construido, a nivel comercial, varios miles
de relojes de la versión de baja exactitud, los cuales pesan unos 30 kg
y poseen un error de una parte en 1012 . Unos pocos laboratorios han
construido grandes y sofisticados relojes que sirven como estándares primarios de frecuencia que poseen errores de 5 partes en 1014 .
La escala de tiempo conocida con el nombre de tiempo atómico internacional (T AI) es un tiempo estándar práctico que trata de llevar hasta
donde sea posible la definición del segundo del sistema internacional SI.
Pero un solo relojito de cesio no basta. Alrededor de seis relojes estándares primarios (operados continua o periódicamente) junto con otros 175
relojes comerciales de cesio están distribuidos por el mundo en unos 30
laboratorios y observatorios. Las medidas de tiempo de cada uno de estos relojes son reunidas por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas,
localizada en Sèvres, Francia. Después de un exhaustivo análisis de esas
lecturas se reajusta la escala y se publica como T AI. Con reajustar la
escala se quiere decir que se envı́an boletines a cada uno de los relojes
que contribuyen al conteo para que hagan sus respectivas correcciones.
Se estima que el segundo de T AI reproduce el segundo SI (tal y como
está definido) en una parte en 1013 .
Importante es tener en cuenta que el T AI es una escala de tiempo
completamente independiente de la observación astronómica. Descansa
en un fenómeno fı́sico distinto al de la rotación o traslación del planeta
o cualquier otro movimiento de cuerpos celestes.
La definición del T AI permite darle una consistencia definida al
T DT . De hecho, el T DT se define, en términos medibles, con base en el
T AI, mediante la ecuación:
T DT = T AI + 32,184 segundos.
(7.21)
Esta es una igualdad con la que hay que tener un serio cuidado conceptual. T AI es una escala estadı́stica que descansa en un número de
relojes atómicos sobre la Tierra la cual está sujeta a errores sistemáticos
7.12. TIEMPOS UNIVERSALES
149
en la duración del segundo T AI y en la misma manera de derivar el
T AI, en tanto que el T DT es una escala de tiempo uniforme e idealizada. La ecuación (7.21) indica que la unidad de tiempo del T DT , al igual
que la del tiempo atómico, es el segundo SI. La diferencia constante entre ambas escalas (de 32,184 segundos) fue necesaria con el fin de hacer
continuo el T DT con el T E para perı́odos anteriores a la introducción
del T AI.
La pregunta ahora es: ¿cuál es la relación entre estos tiempos, llenos
de tecnicismos, y el tiempo de uso corriente en el plano civil, esto es,
con el tiempo universal T U ?
7.12.
Tiempos universales
En la sección (7.6) se introdujo el concepto del tiempo universal.
Sabemos que es el tiempo solar medio para un observador situado en el
meridiano de Greenwich. Esto es, el T U descansa en nuestra definición
de dı́a solar medio. Pero, ¿cómo se hace para medirlo? Puesto que el
punto de referencia que define el dı́a solar medio es el Sol medio y este,
por obvias razones, no es posible observarlo directamente, es necesario
recurrir a otra manera de medirlo. Existe una forma que permite ligar
la duración entre un dı́a solar medio y el dı́a sideral y es a través de la
ecuación (7.16) con T definido por la ecuación (7.17) donde ahora F J
es la fecha juliana medida en términos del número de dı́as en tiempo
universal. Entonces se soluciona el problema midiendo el tiempo sideral
y obteniendo estadı́sticamente la variable T U contenida en F J. Aunque la definición del dı́a sidéreo se hizo con respecto al punto vernal, en
la práctica se hace con respecto a radiofuentes extragalácticas. De esta
forma la medición de la duración del dı́a sideral queda relacionada con
la hora de uso corriente (el T U ). Pero la rotación de la Tierra no es
uniforme. Aparte de eso, las mediciones que haga cualquier observatorio
de la duración del dı́a sideral van a sufrir un ligero error originado en el
movimiento incesante e irregular del polo (ver página 23). En efecto, en
los cálculos para determinar la duración de un dı́a sideral, con respecto a radiofuentes, están involucradas la latitud y la longitud, las cuales
cambian ligeramente si se desplaza el polo. Todas estas anomalı́as son
responsables de que el dı́a solar medio no sea uniforme. Por lo tanto, la
escala de tiempo que define el tiempo universal tampoco lo es.
150
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
De uso corriente son los siguientes conceptos:
TU0 Es el tiempo rotacional terrestre en unidades de dı́a solar
medio que se mide en un lugar particular de observación. Las mediciones se hacen observando la duración de una revolución terrestre
con respecto a radiofuentes extragalácticas.
TU1 Es aquella escala de tiempo que resulta de corregir el T U 0
del sitio que ha realizado la observación por el movimiento del
polo. Pero al igual que el T U 0 el T U 1 es una escala de tiempo no
uniforme a causa de la rotación variable del planeta.
Si tanto el T U 0 como el T U 1 son escalas de tiempo no uniformes,
¿cómo relacionar estas mismas con escalas de tiempo que sı́ son uniformes, como el T AI y el T DT ? La conexión se realiza a través del tiempo
universal coordinado (T U C).
TUC El tiempo universal coordinado es una escala de tiempo que
se define uniforme de modo que pueda relacionar directamente el
T U 1 con el T AI y el T DT . El T U C es, en realidad, el tiempo
que muestran nuestros relojes corregidos por huso horario, por
supuesto, si están apropiadamente sincronizados. Por lo tanto, la
fórmula (7.7) ha de escribirse con T U C en lugar de T U . Es un
tiempo que se distribuye al mundo a través de señales de radio, por
ejemplo la señal que emite la emisora de Fort Collins en Colorado,
Estados Unidos.
La relación entre el T AI, el T U C y el T U 1 está dada por las siguientes ecuaciones:
T AI = T U C + N,
|T U 1 − T U C| < 0,9 segundos,
(7.22)
(7.23)
donde N es un número entero de segundos.
¿Cómo se procede? Tenemos dos escalas de tiempo uniformes que
difieren en un número entero de segundos, N . Este número posee un
valor constante sólo por un intervalo de tiempo dado. Cuando se estima
necesario, este número N aumenta (o disminuye) en uno. Lo que obliga
a cambiar el número N es la desigualdad en (7.23). Puesto que el T U 1
7.12. TIEMPOS UNIVERSALES
151
no es uniforme (recordar la variabilidad de la rotación de la Tierra), la
diferencia entre este y el T U C aumentará conforme transcurre el tiempo.
Cuando la diferencia entre ellos se haya acumulado de tal forma que se
corra el riesgo de no cumplir con la ecuación (7.23), lo que se hace es
aumentar (o disminuir) en uno el valor de N en la ecuación (7.22) para
ası́ conservar la desigualdad. El organismo encargado de tomar estas
decisiones es el Service International de la Rotation Terrestre (IERS, por
sus siglas en inglés). Ahora bien, en los últimos cien años se ha notado
que a nuestro planeta le está tomando más tiempo dar una revolución
completa con respecto a las estrellas y radiofuentes extragalácticas, esto
es, se está desacelerando. Los valores de ΔT en la tabla 7.1 indican la
manera caprichosa como nuestro planeta se ha acelerado y desacelerado
en los últimos 350 años. Al estar la Tierra desacelerando completará una
revolución ya no en 86 400 segundos SI (medida en una escala uniforme
como el T AI) sino en un poquito más. De seguir la desaceleración, al ir
transcurriendo los meses, se van acumulando más diferencias hasta que
es posible que se esté acercando el dı́a solar medio a 86 401 segundos.
Los astrónomos se ven abocados a eliminar ese segundo extra que se
ha acumulado; se hace aumentando en uno el número N : tanto el T AI
como el T U C deben tener un dı́a de 86 400 segundos SI. Esto explica
la ecuación (7.22). El segundo extra que se va acumulando en N de
tanto en tanto se llama segundo bisiesto. Actualmente nuestro planeta se
está desacelerando a una tasa acumulativa de 0,0009 segundos por dı́a, lo
que significa que por término medio cada 1/0,0009 = 1100 dı́as ≈ 3 años
es necesario introducir un segundo bisiesto. Estos segundos se insertan
cuando se estima necesario o bien el 30 de junio o el 31 de diciembre.
En el momento que se escriben estas lı́neas (principios de 2009) el valor
de N es igual a 34, esto es: T U C − T AI = −34. Recomendamos estar
revisando la página del IERS para efectos de actualizarse en el valor de
N . Los segundos bisiestos se comenzaron a introducir en 1972. Hasta
ahora todos han sido positivos, esto es, en todos los casos N > 0. Con la
introducción del T DT fue claro que la definición del ΔT también debı́a
cambiar. El ΔT se define ahora como:
ΔT = T DT − T U 1.
(7.24)
Por supuesto que N está relacionado con ΔT . Al reemplazar (7.21)
en (7.24) obtenemos:
ΔT = T AI + 32,184 − T U 1,
(7.25)
152
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
y dado que T U 1 = T U C + δt se tiene (al tener en cuenta (7.23), donde
δt es una pequeña diferencia inferior a 0,9 segundos):
ΔT = N + 32,184 + δt.
(7.26)
De ello resulta que el ΔT actualmente es superior al minuto de tiempo.
Ejemplo 1
El Almanaque Astronómico (The Astronomical Almanac) contiene
las posiciones de la Luna, el Sol y los planetas para las 0h de T T . ¿A
qué horas de hora legal de la República de Colombia corresponde el
siguiente instante de tiempo: 0 horas de T T del 4 de marzo de 2009?
Solución
Para el primer semestre de 2009 el valor de N es igual, de acuerdo con
el Boletı́n C36 del 4 de julio de 2008 emitido por el IERS, a 34 segundos.
Colocando δt igual a cero y utilizando la ecuación (7.26) obtenemos el
valor de ΔT para el primer semestre de 2009:
ΔT = 34 + 32,184 = +66,184s = 1m 6,184s .
Por lo tanto, con la ecuación (7.24) haciendo T U 1 = T U C (δt = 0),
obtenemos:
T U C = T DT − ΔT = 0h 0m 0s − 1m 6,184s = −1m 6,184s .
Esto equivale a 24h − 1m 6,184s = 23h 58m 53,816s del dı́a inmediatamente anterior. De la ecuación (7.8), con T U como T U C, calculamos
finalmente la hora legal para Colombia:
(T L)Colombia = T U C − 5h = 23h 58m 53,816s − 5h = 18h 58m 53,816s ,
del dı́a 3 de marzo de 2009.
7.12. TIEMPOS UNIVERSALES
153
LECTURAS Y SITIOS DE INTERNET RECOMENDADOS
Cepeda, W. (1992) Sobre el adelanto de la hora en Colombia, Revista
Colombiana de Estadı́stica, Nos. 25 y 26, pp. 83-91.
Artı́culo de divulgación en el que se analizan los tiempos de la salida del
Sol en el transcurso del año para latitudes colombianas.
Hellings, R.W. (1986) Relativistic Effects in Astronomical Timing Measurements, Astronomical Journal, vol. 91, p. 650.
Artı́culo de carácter técnico que describe las diferentes transformaciones
necesarias para reducir las medidas de tiempo que se toman en la Tierra
teniendo en cuenta la teorı́a de la relatividad general.
Meeus, J. (1991) Astronomical Algorithms, Willman-Bell, Inc., Richmond.
El capı́tulo 9 contiene una descripción ilustrativa de la relación entre el
tiempo dinámico y el tiempo universal.
Seidelmann, K. (1992) Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley, CA.
El capı́tulo 2 contiene lo que a juicio del autor es la mejor descripción
técnica y autorizada de los modernos conceptos que existen sobre el tiempo en astronomı́a.
Audoin, C. & Guinot, B. (2001) The Measurement of Time, Cambridge
University Press, Cambridge.
Un excelente libro dedicado por entero a la medida del tiempo, con magnı́ficas exposiciones conceptuales.
http://physics.nist.gov/GenInt/Time/time.html
Se encuentra un breve resumen sobre la evolución de las medidas del
tiempo a través de la historia.
http://aa.usno.navy.mil/data/docs/JulianDate.php
En esta hoja electrónica se puede calcular directamente la fecha juliana
para cualquier dı́a.
http://maia.usno.navy.mil
Aquı́ existe bastante información relacionada con el Servicio Internacional de Rotación Terrestre, al igual que se anuncian los próximos segundos
bisiestos.
http://tycho.usno.navy.mil/sidereal.html
Esta hoja calcula para tiempo real el tiempo sideral local.
http://www.ubr.com/clocks/default.aspx
Gran cantidad de información sobre el tiempo y los diferentes tipos de
relojes para medirlo.
154
CAPÍTULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
http://horalegal.sic.gov.co/
En esta página se puede consultar la hora legal de la República de Colombia para efectos de calibrar el tiempo.
Capı́tulo 8
CÁLCULO DE ALGUNOS
FENÓMENOS
ASTRONÓMICOS
8.1.
Culminación de cuerpos celestes
La culminación de un cuerpo celeste ocurre cuando dicho astro pasa
por el meridiano del observador. Dependiendo de la ubicación de este,
es decir, de su latitud, se podrá observar si un astro en algún momento
deja de ser visible (h < 0), o sea, se ubica por debajo del horizonte; o
puede darse el caso que siempre se ubique sobre el horizonte para todo
tiempo (h > 0 siempre).
Si un astro es siempre visible para un observador situado a la latitud φ, se dice que es circumpolar, pues parece estar describiendo una
trayectoria circular alrededor de la estrella polar o, más exactamente,
alrededor del PNC (ver figura 8.1). Si un astro es circumpolar para un
observador dado, este podrá advertir que el astro atraviesa su meridiano en dos ocasiones. Ello da lugar a dos definiciones de culminación. La
que se verifica a mayor altura se denomina culminación superior , que es
aquella que intersecta el meridiano del observador. La otra es llamada
culminación inferior . La forma inequı́voca de diferenciar las dos culminaciones es a través del ángulo horario. En la culminación superior
H = 0h ; en la culminación inferior H = 12h .
155
156
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
CULMINACION
SUPERIOR
MERIDIANO DEL OBSERVADOR
PNC
CULMINACION
INFERIOR
HORIZONTE
TE
S
LE
R
DO
EJE DE
ROTACION
CE
UA
EC
PSC
Figura 8.1: Culminación superior e inferior
Para que un observador ubicado a la latitud φ pueda contemplar una
culminación inferior de una estrella con declinación δ, la relación que se
tiene que cumplir es (ver figura 8.2):
δ 90 − φ,
(8.1)
donde, si el observador está situado en el hemisferio norte (φ > 0), la
declinación es positiva; si, por el contrario, el observador está situado
en el hemisferio sur (φ < 0), el signo de la declinación es negativo. Por
ejemplo, examinemos el caso extremo de un observador ubicado en el
PNT; este verá que todas las estrellas del hemisferio norte son circumpolares (δ ≥ 0); más aún, aquı́ todas las estrellas culminan “superior e
inferiormente” a la misma altura. Pero seamos más prácticos. Un observador situado en San Andrés (φ = 12,5 N) podrá observar las estrellas
circumpolares cuya declinación sea mayor o igual que 90 − 12,5 = +77,5.
Por lo tanto, desde San Andrés es posible ver solo estrellas circumpolares como γ Cephei (Errai), ζ Ursae Minor, δ Ursae Minoris (Yildun)
y Ursae Minoris.
Desde Bogotá (φ = 4,5 N) el asunto de observar estrellas circumpolares es más complicado. Es posible observar únicamente estrellas circumpolares con declinaciones mayores o iguales que 90 − 4,5 = +85,5.
Dadas las malas condiciones observacionales de la capital de la Repúbli-
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
157
PNC
CENIT
φ
δ
PSC
Figura 8.2: Condición de circumpolaridad
ca, en la práctica es poco menos que imposible observar allı́ estrellas
circumpolares.
Para el caso de Leticia (φ = 4,3 S), la única capital de departamento
que está situada por debajo del ecuador terrestre, es evidente que solo
son visibles estrellas circumpolares cuya declinación sea mayor o igual
que 90 − 4,3 = 85,7 en el hemisferio sur, esto es δ = −85,7.
Ejemplo 1
Determinar desde qué latitud es posible observar las siguientes estrellas como estrellas circumpolares:
a) Aldebarán (δ = +16o 31 ).
b) Rigil Kentarus (δ = −60o 50 ).
Solución
a) Puesto que la estrella queda en el hemisferio norte (δ > 0) es claro
que el valor de la latitud estará en el hemisferio norte terrestre. De la
ecuación 8.1 se deduce: φ ≥ 90 − δ. Por lo tanto, a partir de una latitud
158
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
de 73o 29 ya es posible observar a Aldebarán como estrella circumpolar
alrededor del PNC.
b) Puesto que la estrella queda en el hemisferio sur (δ < 0) es claro
que el valor de la latitud estará en el hemisferio sur terrestre. De la
ecuación 8.1 se deduce: φ ≥ 90−δ = 90−60o 50 = 29o 10 S. Por lo tanto,
a partir de una latitud de 29o 10 S (y dirigiéndose desde ahı́ hacia el PST)
ya es posible observar a Rigil Kentarus como estrella circumpolar pero
alrededor del PSC.
8.2.
Salida y puesta de un astro
Un problema interesante en astronomı́a esférica es la determinación
del tiempo de la salida (orto) y la puesta (ocaso) de un astro para un
observador dado. El cálculo es relativamente sencillo e involucra el dominio de conceptos que ya vimos.
8.2.1.
Una primera aproximación
La condición de salida o puesta de un astro para un observador dado
es:
h = 0,
(8.2)
esto es, cuando el astro se encuentra en el horizonte.
As
N
E
*
W
SALIDA
E
S
N
PUESTA
*
S
W
Figura 8.3: Salida y puesta de un astro
Ap
8.2. SALIDA Y PUESTA DE UN ASTRO
159
En el cálculo de los tiempos de salida y puesta se suponen conocidas
las coordenadas del observador (φ y λ), las coordenadas del astro en
cuestión (usualmente α y δ) y el T SG0 del dı́a en cuestión.
La ecuación (6.4) con h = 0 permite obtener los ángulos horarios
para los cuales se cumplen las condiciones de salida y puesta, que designaremos por Hsp :
sen φ sen δ + cos φ cos δ cos Hsp = 0,
(8.3)
de la cual se obtiene inmediatamente:
Hsp = cos−1 (− tan φ tan δ) ,
(8.4)
donde se supone que el astro no cambia significativamente de posición
(entre el tiempo que se verifican ambos fenómenos) por lo que los ángulos
δ y α se consideran constantes en el intervalo en que se verifica la salida
y la puesta. Esta ecuación permite calcular las dos condiciones con base
en el valor que se deduce de Hsp . Si se obtiene que Hsp está en el primero
o segundo cuadrante entonces el valor corresponde a la puesta Hp . El
valor del ángulo horario a la salida Hs se obtiene con Hs = 360 − Hp .
El valor del azimut para ambos casos está dado por la ecuación (6.3)
con h = 0:
Asp = cos
−1
sen δ
cos φ
.
(8.5)
El valor de Asp comprendido entre el primero y el segundo cuadrantes corresponde al azimut de salida As . El valor de Asp entre el tercero
y el cuarto cuadrantes corresponde al azimut de la puesta Ap que se
calcula con Ap = 360 − As .
Veamos cómo se calculan los tiempos de salida y de puesta.
Habiendo hallado los valores de Hs y Hp procedemos a encontrar
los tiempos siderales locales en que se suceden ambos eventos. Como
sabemos, el T SL está dado por la ecuación (6.13):
T SLsp = α + Hsp .
(8.6)
160
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
La conexión con el tiempo local del observador se ve al relacionar los
instantes de salida y puesta con el tiempo sideral en Greenwich en los
instantes correspondientes (ver ecuaciones (7.13) y (7.14)):
o λW E
(T SGt )sp = T SLsp ±
,
(8.7)
15
donde el signo positivo corresponde a una longitud al oeste (λoW ) y el
negativo al este (λoE ). Puesto que es fácil calcular el T SG0 para cualquier
dı́a que se desee o, más fácil aún, hallarlo en un almanaque astronómico,
entonces de la ecuación (7.12) se deducen los tiempos universales:
T Usp =
(T SGt )sp − T SG0
.
1,0027379
(8.8)
La hora local se calcula mediante (ecuación (7.7)):
T Lsp = T Usp + HH.
(8.9)
Ejemplo 1
Calcular los tiempos de salida y puesta en hora legal de la República
de Colombia de la estrella Betelgeuse el dı́a 22 de noviembre de 1997
para un observador situado en la ciudad de Cali. Determinar también
los azimuts correspondientes.
Solución
De los apéndices (C) y (E) extraemos los datos necesarios: para Betelgeuse: α = 5h 55,0m , δ = 7o 24 . Para Cali: φ = 3o 27 , λ = 76o 31 W.
Necesitamos también el T SG0 para el dı́a en cuestión. La fecha juliana es: F J = 2 450 774,5, luego T = −0,02109514. Al reemplazar en
(7.16), pág. 138, obtenemos: T SG0 = 4h 4,0m . Procedemos a calcular los
ángulos horarios de salida y puesta de acuerdo con (8.4):
Hsp = cos−1 [− tan(3o 27 ) × tan(7o 24 )] = cos−1 (−0,007830).
Los ángulos que satisfacen esta ecuación son: 90o 26,9 y 269o 33,1 .
8.2. SALIDA Y PUESTA DE UN ASTRO
161
Teniendo en cuenta la definición del ángulo horario (contado desde
el meridiano hacia el oeste) es evidente que:
Hp = 90o 26,9 = 6h 1,8m ,
Hs = 269o 33,1 = 17h 58,2m .
Calculamos con ayuda de la ascensión recta los tiempos siderales
locales en que ocurren estos eventos (ver ecuación (8.6)):
T SLp = 5h 55,0m + 6h 1,8m = 11h 56,8m ,
T SLs = 5h 55,0m + 17h 58,2m = 23h 53,2m .
Luego procedemos a determinar, por medio de (8.7), los T SGt de los
instantes correspondientes :
o 76 31
h
m
(T SGt )p = 11 56,8 +
= 17h 2,9m ,
15
o 76 31
h
m
(T SGt )s = 23 53,3 +
= 28h 59,3m = 4h 59,3m .
15
Los tiempos universales de la salida y puesta se hallan aplicando la
fórmula (8.8):
T Up =
17h 2,9m − 4h 4,0m
= 12h 56,8m ,
1,0027379
T Us =
4h 59,3m − 4h 4,0m
= 0h 55,1m .
1,0027379
La hora local se calcula con (8.9) donde HH = −5.
T Lp = 12h 56,8m − 5 = 7h 56,8m ,
T Ls = 0h 55,1m − 5 = −4h 4,9m = 19h 55,1m .
Los azimuts correspondientes se pueden calcular con ayuda de (8.5):
sen 7o 24
−1
Asp = cos
= cos−1 (0,129029).
cos 3o 27
Los ángulos que satisfacen esta ecuación son: 82o 35,2 y 277o 24,8 .
Teniendo en cuenta la definición del azimut, es claro que se tiene:
Ap = 277o 24,8 ,
As = 82o 35,2 .
162
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
8.2.2.
Refinando el cálculo
La descripción anterior ignora el fenómeno de la refracción astronómica (ver sección 10.6). Esta aumenta la altura aparente de los astros y es
más pronunciada cuando el astro está ubicado en el horizonte.
ATMOSFERA
POSICION APARENTE
DEL ASTRO
*
*
34’
POSICION REAL
DEL ASTRO
Figura 8.4: Corrección por refracción en la salida y puesta de un astro
De manera estándar se considera que la refracción en el horizonte
aumenta la altura de los astros unos 34 minutos de arco. Por lo tanto, la
condición realista de la salida o puesta de un astro es cuando la altura
geométrica posee un valor de:
h = −0o 34 .
(8.10)
El no tener en cuenta la refracción para un cuerpo celeste “puntual”
y cuyo movimiento con respecto a las estrellas sea muy lento (de un dı́a
para otro), tal y como es el caso de las mismas estrellas o un planeta con
movimiento medio muy pequeño, da un error en los tiempos de salida y
puesta de varios minutos.
La variación que hay que tener en cuenta en esta corrección es colocar
el valor de h dado en (8.10) y reemplazarlo en la ecuación (6.4):
Hsp = cos
−1
−9,89 × 10−3 − sen φ sen δ
cos φ cos δ
.
(8.11)
8.2. SALIDA Y PUESTA DE UN ASTRO
163
La depresión del horizonte
Hasta ahora se ha supuesto que el observador está ubicado a nivel
medio del mar de tal forma que el horizonte del observador es tangente a
la superficie de la Tierra en la posición del observador. Pero obviamente
este no es siempre el caso. Al estar ubicado un observador a una altura a
sobre el nivel medio del mar, su horizonte cambia ligeramente. Es claro
de la figura 8.5 que un observador situado a una altura a verá un ligero aumento de porcentaje de bóveda celeste. Este efecto, tanto mayor
cuanto mayor es la altura a, se denomina depresión del horizonte.
a
θ
HORIZONTE A NIVEL DEL MAR
TE
N
O
IZ
R
HO
HO
RI
ZO
NT
E
R
C
Figura 8.5: Depresión del horizonte
Estamos interesados en calcular el ángulo θ que da cuenta del grado
de depresión de una estrella con respecto al horizonte para un observador
ubicado a una altura a sobre el nivel medio del mar. De la figura 8.5
tenemos que:
sen (90 − θ) = cos θ =
R
,
R+a
donde R es el radio terrestre.
R
En la práctica la relación R+a
es muy pequeña, por lo que podemos
utilizar los dos primeros términos en que se expande la función coseno
en serie de potencias:
1−
θ2
R
=
,
2
R+a
164
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
de la cual es inmediato obtener:
θ=
2a
.
R+a
De nuevo, puesto que R + a ≈ R y al multiplicar por 180/π para
obtener el ángulo en grados:
180
2a
θ=
.
π
R
Al tomar R = 6 378 140 metros y multiplicar por 60 para que el
resultado se obtenga en minutos, obtenemos:
√
θ = 1,93 a,
(8.12)
donde θ está en minutos de arco y a debe darse en metros.
Teniendo en cuenta la refracción en el cálculo anterior, la fórmula
(8.12) se modifica ahora por la expresión:
√
θ = 1,78 a.
(8.13)
El cálculo de la depresión del horizonte tiene sentido solo para observadores ubicados en altamar o situados en terrenos costeros donde
sea posible observar la lı́nea del océano como horizonte. El cálculo se
hará colocando el valor de h en (6.4) igual a h = −θ y despejar para
Hsp .
8.2.3.
El cálculo especial del Sol y la Luna
Con el Sol y la Luna el cálculo es un poco más complicado. Comenzando por el hecho de que el Sol y la Luna no son cuerpos “puntuales”,
esto es, tienen una dimensión aparente. Por una afortunada coincidencia, ambos cuerpos presentan, vistos desde la Tierra, un radio angular
aparente casi idéntico de unos 16 minutos de arco. Pero las coordenadas
(α y δ) de estos cuerpos se refieren al centro de sus discos y puesto que se
suele referir al borde superior del disco como el punto a tener en cuenta
en la salida y la puesta, resulta que la altura geométrica de dicho punto
viene siendo (teniendo en cuenta la refracción), para ambos casos, igual
a:
165
8.3. PASO POR EL MERIDIANO DEL OBSERVADOR
h = −(0o 34 + 0o 16 ) = −0o 50 .
(8.14)
Ello significa que en la ecuación (8.11) se ha de reemplazar el valor
de −9,89 × 10−3 por el de −1,45 × 10−2 .
La verdadera complicación en el cálculo de la salida y puesta de estos
objetos es que poseen un movimiento a través de las estrellas bastante
pronunciado. El Sol en doce horas puede moverse unos 30 minutos de
arco, que de no tenerse en cuenta puede representar un error de cerca
de cinco minutos. Con la Luna el movimiento es aún más acentuado,
pues en un término de doce horas puede barrer unos seis grados. Todo
esto quiere decir que en los cálculos anteriores ya no es válido asumir
que las coordenadas α y δ que se leen, por ejemplo en los almanaques
astronómicos (que vienen dadas para las 0 horas de Tiempo Terrestre
con un intervalo de un dı́a), son constantes, sino que, para el fenómeno
del orto y el ocaso de ambos astros, las coordenadas serán ligeramente
distintas.
8.3.
Paso por el meridiano del observador
Análogo a la determinación de los tiempos de salida y puesta está el
determinar los tiempos del paso por el meridiano.
C
C
h cs
δ
PN
C
PN
C
δ
h cs
φ
φ
S
N
δ
W
N
S
W
HORIZONTE
E
ST
TE
LE
ES
R
DO
L
CE
δ
PS
C
UA
EC
HORIZONTE
R
DO
CE
UA
EC
PS
C
hci
90 − φ
E
E
Figura 8.6: Paso por el meridiano del observador. A la izquierda, cuando el astro
culmina al norte del cenit. A la derecha, el caso en que el astro culmina al sur del
cenit.
166
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
El paso por el meridiano corresponde al momento en el cual la altura
del astro es un máximo (esto es, la culminación superior). Matemáticamente, el instante corresponde al momento en el cual el ángulo horario
del astro es cero:
Hcs = 0.
(8.15)
La altura del astro en el paso por el meridiano, que llamaremos hcs
(no corregida por refracción), es, de acuerdo con (6.4):
sen hcs = sen φ sen δ + cos φ cos δ = cos(φ − δ),
(8.16)
y puesto que el coseno es una función par (cos −x = cos x) y que además
cos x = sen (90 − x), podemos escribir:
sen hcs = cos{±(φ − δ)} = sen {90 − [±(φ − δ)]},
y al tomar el seno inverso a ambos lados tenemos entonces dos expresiones:
hcs = 90 + φ − δ,
hcs = 90 − φ + δ.
La existencia de dos ecuaciones para el paso por el meridiano radica
en la manera como se verifica dicho paso con relación al cenit: una ecuación se aplica cuando el astro atraviesa el meridiano hacia el norte del
cenit (NC) (ver parte izquierda de figura 8.6) y la otra cuando el paso
se realiza al sur del cenit (SC) (parte derecha).
Es fácil demostrar esto. Primero el caso de la culminación al norte
del cenit (NC). Observemos a la izquierda de dicha figura que:
hcs −φ+δ = 90,
esto es,
hcs = 90+φ−δ
(caso NC). (8.17)
De igual manera, a la derecha de la figura 8.6, es fácil ver que:
hcs = 90 − φ + δ
(caso SC).
(8.18)
Si se realizan medidas de la altura del astro en culminación inferior
(hci ), es posible obtener resultados muy interesantes. Consideremos como ejemplo que se trata del caso NC. De la parte izquierda de la figura
8.6 se deduce que:
8.3. PASO POR EL MERIDIANO DEL OBSERVADOR
167
φ − hci + δ = 90.
De esta ecuación, combinada con la ecuación (8.17), es sencillo obtener las siguientes dos expresiones:
φ=
hcs + hci
,
2
δ=
180 − hcs + hci
,
2
ecuación esta última que tiene el encanto de determinar la declinación
del astro.
El cálculo del tiempo del paso por el meridiano es completamente
equivalente al descrito en la sección 8.2. Como es claro, el tiempo sideral
local en el instante en que se verifica la culminación superior es:
T SLcs = α,
(8.19)
donde se supone que α es el valor de la coordenada del astro, muy cercano (si no igual) al valor que debe tener en el tiempo que se está buscando.
El cálculo del instante del tiempo del paso por el meridiano sigue,
como antes, la siguiente secuencia:
(T SGt )cs = T SLcs ±
T Ucs =
λoW E
15
(T SGt )cs − T SG0
,
1,0027379
T Lcs = T Ucs + HH.
,
(8.20)
(8.21)
(8.22)
Para calcular el tiempo de la culminación inferior basta con saber que
ello se verifica en el instante en que Hci = 12h y el T SLci es entonces
igual a T SLci = α + 12h . El cálculo prosigue de manera semejante a
como se acabó de describir.
168
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
Ejemplo 1
Calcular el tiempo del paso por el meridiano en hora legal de la
República de Colombia de la estrella Betelgeuse el dı́a 22 de noviembre
de 1997 para un observador situado en la ciudad de Cali. Determinar la
altura del astro en ese instante.
Solución
Los datos de partida son los mismos del ejemplo 1 de la pág. 160.
El T SL en el que ocurre el paso por el meridiano es igual a la ascensión recta del astro:
T SLcs = 5h 55,0m .
El cálculo del T SGt se realiza con ayuda de (8.20):
o 76 31
h
m
(T SGt )cs = 5 55,0 +
= 11h 1,1 .
15
Luego se calcula el tiempo universal:
T Ucs =
11h 1,1 − 4h 4,0m
= 6h 55,9 ,
1,0027379
que en hora legal de la República de Colombia es:
T Ocs = 1h 55,9 .
La altura del paso por el meridiano se calcula con (8.16):
hcs = sen −1 [ sen (3o 27 ) sen (7o 24 )+cos(3o 27 ) cos(7o 24 )] = sen −1 (0,99762) = 86o 3 .
8.4.
Paso por el cenit del observador
La condición de paso por el cenit del observador se establece fácilmente a partir de la figura 8.7.
8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR
PNC
169
90−φ
δ
CENIT
φ
E
ELEST
OR C
ECUAD
HORIZONTE
PSC
Figura 8.7: Condición de paso por el cenit
Un astro con declinación δ está en el cenit de un observador con
latitud φ cuando se verifica:
90 − φ + δ = 90,
de la que se desprende inmediatamente:
φ = δ.
(8.23)
Las condiciones de observabilidad del Sol en el transcurso del año
para un observador sobre la superficie terrestre dan lugar a unas zonas
geográficas claramente definidas sobre la superficie del planeta.
Puesto que la declinación del Sol está comprendida entre el intervalo:
− ≤ δ ≤ ,
(8.24)
donde es la oblicuidad de la eclı́ptica, es claro que, de la ecuación (8.23),
el Sol solamente podrá estar en el cenit para observadores comprendidos
entre latitudes 23o 27 sur y 23o 27 norte.
La zona terrestre que está demarcada por estas latitudes se denomina
zona tórrida. Los paralelos de latitud con valores φ = ± se conocen con
el nombre de trópicos. El que está en el hemisferio norte (φ = + 23o 27 )
170
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
se denomina trópico de Cáncer ; el del hemisferio sur (φ = − 23o 27 ) se
llama trópico de Capricornio. La razón de que tengan estos nombres es
la misma por la cual al punto vernal todavı́a se le llama primer punto de
Aries, cuando en realidad en nuestra época está situado en Piscis. Unos
dos mil años atrás el Sol se ubicaba en la constelación de Cáncer cuando
alcanzaba el máximo valor positivo de declinación; seis meses después
(cuando tenı́a el valor máximo negativo de la declinación) se hallaba en
Capricornio. Pero a causa del fenómeno de precesión de los equinoccios
el Sol ya no se ubica en tales constelaciones cuando llega el momento de
los solsticios. Actualmente el Sol alcanza los valores máximo y mı́nimo
de la declinación en las constelaciones de Géminis y Sagitario respectivamente.
Observadores ubicados dentro de la zona tórrida pueden observar el
Sol en su cenit en dos dı́as del año.
Puesto que los asentamientos humanos de importancia en Colombia
se extienden desde una latitud φ = +12o 28 hasta φ = − 4o 27 , es claro
que todo el territorio continental e insular está ubicado dentro de la zona
tórrida.
Ciudad
Bogotá
Medellı́n
Cali
Barranquilla
Bucaramanga
Riohacha
Popayán
San Andrés
Leticia
Fechas del año
abril 2 y septiembre 11
abril 6 y septiembre 7
marzo 30 y septiembre 15
abril 19 y agosto 25
abril 9 y septiembre 5
abril 21 y agosto 23
marzo 27 y septiembre 17
abril 23 y agosto 21
marzo 10 y octubre 5
Tabla 8.1: Dı́as en que el Sol está en o muy cerca del cenit para algunas ciudades
colombianas
La tabla 8.1 contiene las fechas aproximadas en el transcurso del año
en que el Sol se encuentra en el cenit1 para varias ciudades colombianas.
1
Rigurosamente, el Sol no pasa por el cenit de dichos observadores a causa de
171
8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR
Observadores situados a latitudes mayores que φ > 23o 27 N y φ >
S nunca tendrán el Sol en su cenit. La situación es más crı́tica
cuando la latitud se va aproximando a latitudes cercanas a los polos.
Estamos acostumbrados aquı́ en el trópico a que todos los dı́as del año
el Sol salga en o cerca del oriente y se oculte en o cerca del occidente. Pero
a partir de cierta latitud comenzará a observarse algo sorprendente: el
Sol, en solsticio de verano (si está el observador situado en el hemisferio
norte), se torna un astro circumpolar, esto es, es posible observar el Sol
durante las 24 horas del dı́a: tenemos el Sol de medianoche. El mismo
observador, seis meses después (en solsticio de invierno), notará que
el Sol nunca sale durante el transcurso del dı́a. Es fácil ver que el valor
mı́nimo de latitud para que comience a observarse esta clase de fenómeno
debe cumplir:
23o 27
φ = ± (90 − |δM |) = ± (90 − ) = ±66o 33 ,
(8.25)
donde δM representa el valor máximo de la declinación del Sol.
CIRCULO POLAR ARTICO
φ=23o 27’ Ν
ZONA TORRIDA
φ= 23o 27’ S
φ= 66o 33’ N
TROPICO DE CANCER
SOL CON δ=23o 27’
ET
SOL CON δ=− 23o 27’
TROPICO DE CAPRICORNIO
CIRCULO POLAR ANTARTICO
φ= 66o 33’ S
Figura 8.8: Zonas geográficas definidas por la declinación del Sol
Los paralelos que corresponden a estos valores de latitud se llaman
cı́rculo polar ártico y cı́rculo polar antártico para los hemisferios norte y
sur, respectivamente. Es claro que el fenómeno es más acentuado en los
que casi siempre en el momento de la culminación superior la declinación del Sol no
coincide (por varios minutos de arco) con la latitud del observador en dichas ciudades.
172
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
polos. En estos la situación es tan extrema que el Sol está siempre visible
por seis meses del año; los restantes seis meses son de noche permanente.
Ejemplo 1
Determinar en qué dı́as del año observadores situados en la ciudad
de Múrmansk (Rusia) observan el fenómeno del Sol de medianoche.
¿Qué dı́as dejan de ver el Sol por completo?
Solución
La latitud de Múrmansk es de 68o 58 N. Por lo tanto, de la ecuación
(8.1) es evidente que el Sol no se pone siempre y cuando la latitud del
Sol sea:
δ ≥ 90 − φ.
(8.26)
En nuestro caso, δ ≥ 21o 2 . La consulta de un almanaque astronómico nos permite verificar (mirando las coordenadas ecuatoriales
absolutas del Sol, particularmente su declinación) que esto sucede aproximadamente entre el 26 de mayo y el 18 de julio.
El Sol no es visible para dicho observador cuando la declinación del
Sol es:
δ ≥ − (90 − φ) ,
(8.27)
donde el valor de la declinación al lado izquierdo ha de tomar valores
de la declinación “mayores” (en el sentido de desplazarse hacia el PSC)
que −21o 2 . Esto ocurre entre el 27 de noviembre y el 15 de enero.
8.5.
Navegación astronómica
En la era de la navegación satelital con GPS (Global Positioning
System, sistema de posicionamiento global), en la que se ha hecho rutinario manejar aparatos similares a calculadoras de bolsillo cuyo costo es
inferior a los 200 dólares o que aparecen como una de las tantas funciones que realizan los teléfonos celulares de alta gama, y que registran, en
unos cuantos segundos y con oprimir dos o tres teclas, la posición de un
8.5. NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA
173
observador sobre la superficie terrestre, con una exactitud del orden de
8 metros o menos, es difı́cil imaginar que esta tarea, en los cuatro siglos
anteriores, era una labor observacional, astronómica y matemática muy
lejos de ser sencilla.
En la época de los grandes descubrimientos geográficos y la posterior
conquista y colonización de territorios como América, Asia y Australia,
llevada a cabo en su mayor parte en los siglos XVI y XVII, se desarrollaron técnicas muy fecundas para tratar de satisfacer el anhelo de los
marineros que cruzaban los océanos y deseaban a toda costa conocer su
posición en altamar con una exactitud razonable. La astronomı́a de posición muy rápidamente llenó ese anhelo por lo que no es de extrañar que
sucediera la revolución astronómica de Copérnico, Brahe, Kepler y Galileo más o menos por los mismos tiempos, dada la necesidad imperiosa
de marineros y cartógrafos de pulir y mejorar cada vez más las técnicas
observacionales y el cálculo de las posiciones de los cuerpos celestes para
poder hallar con mayor exactitud su posición geográfica.
En principio, es fácil conocer aproximadamente la latitud de un observador midiendo la altura aparente de la estrella polar con respecto
al horizonte. Pero esto no siempre es posible, bien sea por condiciones
climatológicas adversas o porque sencillamente el observador se halla en
el hemisferio sur. La observación de la estrella Polaris (que dista menos
de un grado del PNC) es difı́cil aun desde sitios donde es teóricamente
posible observarla. El autor recuerda haber visto sólo en una ocasión
la estrella Polaris desde Bogotá aun cuando se supone que con 4,5o de
altura sobre el horizonte deberı́a observarse con mayor frecuencia.
La observación de la altura de la culminación de una estrella o del
Sol puede arrojar datos importantes. Tal y como vimos en la sección
8.3, si se puede medir la altura de un astro en el momento de su culminación superior y adicionalmente se conoce su declinación, entonces
es posible hallar la latitud del observador. Como quedó evidenciado en
dicha sección, es necesario saber si la culminación se verifica al norte
(NC) o al sur del cenit (SC), para poder aplicar una u otra ecuación. De
las ecuaciones (8.17) y (8.18) es evidente que tendremos:
φ = hcs + δ − 90
NC
(8.28)
φ = hcs − δ + 90
SC
(8.29)
174
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
La altura que entra en este cálculo ha de pasar previamente por varias correcciones. Independiente de la corrección hecha al instrumento
con el que se realiza la observación (usualmente un sextante), se ha de
corregir también por la refracción astronómica (ver sección 10.6) y la
altura a la que se encuentra el observador con respecto al nivel medio
del mar (depresión del horizonte). En el caso de que el cuerpo observado
sea el Sol, se ha de corregir adicionalmente por semidiámetro (pues la
lectura se realiza casi siempre midiendo la altura de la parte baja del
disco solar) y por paralaje (ver sección 10.5), pues la declinación del
Sol viene dada para un observador hipotético ubicado en el centro de la
Tierra.
Hay que tener en cuenta que, en la práctica, el usuario que recurre
a la navegación por estrellas siempre tiene previamente una idea muy
aproximada de cuál es su posición real puesto que un marino o piloto
experto navega o pilotea por el método llamado de estima, esto es, el
cálculo de la posición teniendo en cuenta parámetros como la velocidad
de la nave, tiempo transcurrido desde la última medición, velocidad y
dirección del viento, etc. Cristóbal Colón2 , por ejemplo, se movı́a con
toda confianza y libremente a través del Atlántico y el mar Caribe casi
exclusivamente a base de navegación por estima. Por lo tanto, las medidas que se hacen frecuentemente de la altura del paso de los astros en
la culminación para hallar la latitud tienen la finalidad de pulir y llevar
a exactitud el cálculo de la posición.
Ejemplo 1
Determinar la latitud de un observador si al momento del paso del
Sol por el meridiano se registró una altura de 75o 13 al norte del cenit.
La declinación del Sol para el momento de la observación es de −14o 10 .
Solución
En vista de que no nos suministran más información se hará el cálculo
despreciando la contribución de la refracción, de la depresión del hori2
Los conocimientos astronómicos de Colón eran muy pobres. De hecho, en una
medición realizada en su primer viaje a América llegó a confundir la estrella Polaris
con Alfirk (β Cephei) lo que lo llevó a concluir que el sitio donde se encontraba (costa
noreste de Cuba) tenı́a una latitud de 42o N cuando en realidad se encontraba a 21o N
(ver Morison, 1970, p. 258.)
8.5. NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA
175
zonte, del paralaje y del semidiámetro. Como se trata de un paso hacia
el norte del cenit (NC), entonces, de la ecuacion (8.28), se obtiene:
φ = 75o 13 + (−14o 10 ) − 90o = −28o 57 = 28o 57 S.
Ejemplo 2
Un marinero zarpó de la isla Malpelo y desea al cabo de un tiempo
determinar su posición en altamar. Para ello realiza una observación del
Sol en el momento del paso por el meridiano midiendo con su sextante
una altura de 83o 34,1 teniendo como referencia el borde inferior del disco solar. De acuerdo con el almanaque náutico del barco, la declinación
del Sol para el momento de la observación (25 de agosto de 1999) era de
10o 44,5 y el semidiámetro era de 15.8 . La altura del sextante con respecto al agua fue estimada, en el momento de la medición, en 5 metros.
Determinar la latitud del marinero si la culminación se verificó al norte
del cenit.
Solución
Supondremos que los errores instrumentales ya han sido tenidos en
cuenta. El valor de la altura ha de ser corregido por los fenómenos de
semidiámetro (pues la declinación viene dada para el centro del Sol), depresión del horizonte, refracción y paralaje. Si el objeto de observación
es el Sol, la corrección por semidiámetro es del orden de 15 minutos de
arco; la corrección por paralaje es pequeña, cuyo valor máximo es del
orden de 0,15 minutos de arco (para alturas cercanas a los cero grados)
y tendiendo a cero a medida que la altura del astro tiende a los 90 grados. Puesto que su valor es tan pequeño, no será tenido en cuenta en la
corrección.
La fórmula para hallar la altura real del Sol es:
hreal = hmedida + SD − Re − θ − p,
donde SD es el semidiámetro del Sol el dı́a de la observación, Re es
el valor de la refracción, el cual se puede leer en la tabla principal del
apéndice D para condiciones normales de temperatura de 20 o C (no hay
datos especı́ficos de temperatura) y al nivel del mar; θ es el valor de la
depresión del horizonte y p el valor del paralaje.
176
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
La refracción a la décima del minuto de arco es (ver tabla principal
en el apéndice D) de 0,1 . La depresión del horizonte es, de acuerdo con
la fórmula (8.13):
θ = 1,78 ×
√
5 = 4,0 .
Puesto que la altura del Sol es considerable, tomaremos p = 0,0 .
Entonces, la altura real del Sol es:
hreal = 83o 34,1 + 15,8 − 0,1 − 4,0 − 0,0 = 83o 45,8 .
Por lo tanto, al reemplazar en la fórmula (8.28) encontramos que la
latitud del observador es:
83o 45,8 + 10o 44,5 − 90o = 4o 30,3 .
En los almanaques náuticos se encuentran tablas muy útiles que
permiten, por ejemplo, determinar en una sola tabla la corrección por
semidiámetro, refracción y paralaje dados en función solamente de la
altura medida. Nótese que los cálculos se llevan a una precisión de la
décima del minuto de arco. Recuérdese (ver página 32) que un error de
1 minuto de arco representa un error de casi 2 kilómetros en posición
para un observador ubicado en el ecuador terrestre.
El cálculo de la longitud es más complicado. En la época del descubrimiento de América el cálculo de la longitud se hacı́a exclusivamente
por estima. Con el tiempo se vio que era muy necesario que los tripulantes de los barcos pudieran no solo conocer su latitud sino también su
longitud con exactitudes del orden del medio grado o menos.
El naufragio de cuatro navı́os de guerra al mando del almirante Sir
Clowdisley Shovell que ocasionó la muerte de dos mil marinos en las
cercanı́as de las islas Scilly (suroeste de Inglaterra) en 1704, debido a un
error fatal en la estimación de la posición, originó un clima de necesidad
imperiosa por resolver el denominado “problema de la longitud”. Este
problema fue de tan ardua solución que llegó a compararse con problemas legendarios como el del movimiento perpetuo o la transmutación
del plomo en oro.
Con el transcurso de los años se propusieron varias soluciones realistas, todas de carácter astronómico, pero a la larga triunfó el método de
8.5. NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA
177
preservar la hora (con la mayor exactitud) de un meridiano de referencia
dado. El problema de la longitud quedó entonces reducido a la búsqueda
de un reloj que conservara la hora con la mayor exactitud posible con
independencia del movimiento del barco y los bruscos cambios de temperatura y presión en el transcurso del viaje.
Con el descubrimiento del péndulo como regulador de los relojes
hecho por el cientı́fico holandés Christian Huygens en 1658, y con la
invención del verdadero cronómetro marino realizada por el mecánico
inglés John Harrison un siglo más tarde3 , se logró un método confiable y
seguro para medir la longitud a base de conservar la medida del tiempo
con la mayor precisión posible.
Figura 8.9: John Harrison (1693-1776)
Supóngase que un observador está en el meridiano de Greenwich
y dispone de un reloj que registra el tiempo en unidades de tiempo
sideral, esto es, se está midiendo el tiempo sideral en Greenwich para un
tiempo cualquiera t, lo que se llamó en la sección 7.9 el T SGt . Ahora
3
Harrison ganó en 1773 (después de no pocos problemas e inconvenientes) el premio
propuesto por el parlamento inglés establecido en el Acta de 1714, consistente en
20 000 libras para aquel que pudiera resolver el problema de la longitud (ver Sobel,
1995).
178
CÁLCULO DE FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
bien, un avión o un barco parte hacia cualquier otro lugar del mundo,
pero preservando intacto el registro y la hora que está dando este reloj.
Supóngase entonces que el piloto o marino hace una observación del
paso por el meridiano de un astro y anota para ese instante de tiempo
la lectura del reloj que mide (y conserva) el T SGt . Con esto, la longitud
puede calcularse fácilmente. En efecto, en el momento del paso por el
meridiano se cumple H = 0, por lo que el tiempo sideral local (el ángulo
horario del punto vernal del observador en ese instante) es igual a:
T SL = α,
(8.30)
y puesto que en ese instante se conoce el T SGt con leer el reloj que
preserva el tiempo sideral en Greenwich, y de las ecuaciones (7.13 y
7.14) se obtiene:
λoW
= 15 × (T SGt − α),
(8.31)
λoE
= 15 × (α − T SGt ).
(8.32)
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Dixon, C. (1985) Navegación astronómica básica, Paraninfo, Madrid.
Libro ilustrativo que enseña, con base en pocos conocimientos astronómicos, a determinar la posición de un observador valiéndose del sextante.
Morison, S. E. (1970) Admiral of the Ocean Sea: A Life of Christopher
Columbus, MJF Books, New York.
Excelente biografı́a de Cristóbal Colón con muchos detalles náuticos y
astronómicos por parte de su autor, un marino consumado.
Roy, A. E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam
Hilger, Bristol.
El capı́tulo 7 contiene detallada información sobre estrellas circumpolares, medida de la declinación y cálculo de amanecer y atardecer.
Sobel, D. (1995) Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved
the Greatest Scientific Problem of His Time, Penguin Books, New York.
Notable descripción de la historia de John Harrison y su búsqueda para
obtener el reloj perfecto.
http://aa.usno.navy.mil/faq/
Este sitio contiene bastante información relacionada con salidas y puestas del Sol y de la Luna, ası́ como fases de la Luna, determinacion de la
Pascua, solsticios, equinoccios, etc.
Capı́tulo 9
CALENDARIO
Se llama calendario a un sistema destinado a agrupar de forma coherente los intervalos de tiempo fundamentado en la periodicidad de
ciertos fenómenos astronómicos. Los calendarios son útiles porque permiten el conteo de los dı́as durante perı́odos extensivos de tiempo y de
esta forma reunirlos en una disposición conveniente para satisfacer los
requerimientos de las actividades civiles y religiosas.
La unidad fundamental de cómputo en un calendario es el dı́a, el
fenómeno astronómico consecuencia de la rotación de nuestro planeta
sobre su eje. Modernamente medimos los dı́as de medianoche a medianoche, pero esto no siempre fue ası́. Las primeras civilizaciones y los
pueblos primitivos comenzaban a medir el dı́a en el instante de la salida
del Sol. Ası́ lo hacı́an por ejemplo los hindúes y los egipcios. Posteriormente, babilonios, judı́os y griegos contaban el dı́a desde la puesta
del Sol. Nuestra forma actual de medir los dı́as tiene su origen en los
romanos quienes consideraban el inicio del dı́a a partir de la medianoche.
Pero para las primitivas culturas se hacı́a necesario establecer una
unidad conformada por grupos de dı́as. La forma más inmediata de hacerlo descansa en otro fenómeno periódico: el tiempo que tarda la Luna
en presentar consecutivamente una determinada fase, esto es, una lunación, la cual es de un perı́odo de unos 29 dı́as y medio. Sin embargo,
pronto se vio que era muy conveniente introducir un perı́odo de dı́as
inferior al de una lunación. Culturas antiguas adoptaron grupos de 4
dı́as; los asirios utilizaron grupos de 5 y los egipcios de 10. El mundo occidental adoptó el grupo de 7 dı́as, que llamamos semana, el cual
179
180
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
probablemente fue introducido por los babilonios bien sea porque este
número es aproximadamente el tiempo que transcurre entre dos cuartos
de Luna consecutivos (29,5/4 ≈ 7,3) o por el culto que guardaban sus
sacerdotes al número 7 a causa de la existencia de los siete planetas (incluidos el Sol y la Luna) hasta entonces conocidos.
El mes que utilizamos actualmente está basado en la lunación, entendida esta, como el perı́odo en el cual la Luna completa un ciclo de sus
fases o, de otra forma, como el tiempo existente entre dos fases llenas
(o nuevas) consecutivas de la Luna. Este perı́odo es conocido por los
astrónomos como mes sinódico y es igual a: 29d 12h 44m 2,9s .
Este perı́odo tuvo gran importancia en muchas culturas de la antigüedad, no solo por su conexión astronómica sino también por su muy
cercana igualdad con el perı́odo menstrual de la mujer y el comportamiento cı́clico de algunas criaturas marinas. No es de extrañar entonces
que muchos de los calendarios de civilizaciones antiguas adoptaran como
unidad básica la lunación y midieran perı́odos prolongados con base en
el número de lunaciones transcurridas. Ahora bien, el hecho de que la
lunación no sea exactamente equivalente a un número entero de dı́as comienza, como es obvio, a crear cierto tipo de dificultades. Es por ello que
los babilonios se vieron obligados a utilizar meses que consistı́an de 29 y
30 dı́as de forma alternativa. Como veremos más adelante, algunos siglos
después los romanos se vieron en circunstancias similares estableciendo
meses conformados por un número de dı́as que oscila entre 30 y 31, y
que en últimas terminó siendo el calendario que actualmente utilizamos.
Sin embargo, ciertas culturas antiguas cuyo hábitat estaba localizado
en zonas geográficas donde el ciclo de las estaciones es bastante pronunciado y que por razones de supervivencia necesitaban correlacionarse y
hasta predecirse, pronto encontraron una estrecha relación entre estas y
el tiempo que tarda el Sol en pasar aparentemente y de forma consecutiva por el mismo grupo de estrellas, esto es, un año.
Los egipcios lograron medir que dicho perı́odo comprendı́a aproximadamente 365 dı́as. Tratar de relacionar este perı́odo con la lunación
probó ser una empresa que contradecı́a toda estética numérica pues 365
no es múltiplo de 29,5. Correlacionar ambos perı́odos fue una tarea que
muchos astrónomos y sacerdotes antiguos trataron de buscar no siempre
181
con éxito. Los egipcios, por ejemplo, solucionaron fácilmente el problema: establecieron 12 meses constituidos por 30 dı́as cada uno; esto da
apenas 360 dı́as. Los cinco restantes se adicionaban al final del último
mes.
Como sabemos, el año es el perı́odo que tarda nuestro planeta en
dar una revolución completa en torno al Sol con respecto a un punto
de referencia dado. Pero el punto de referencia puede ser una estrella o
puede ser el punto vernal. En el primer caso se habla del año sideral;
en el segundo, del año trópico. Estos tiempos no son iguales, pues el
punto vernal se mueve lentamente a través de las estrellas fijas a causa
del fenómeno de la precesión de los equinoccios (ver sección 10.1).
Estos perı́odos, en términos de dı́as solares medios, son los siguientes:
1 año sideral = 365,2564 dı́as = 365d 6h 9m 10s ,
1 año trópico = 365,2422 dı́as = 365d 5h 48m 45s .
La definición de año que cuenta para correlacionarlo con el paso de
las estaciones es por supuesto el año trópico, pues es el paso del Sol por
el punto vernal el que fija los equinoccios. El año que utilizamos actualmente en nuestros asuntos diarios y que es de uso común en casi todo
el mundo es el denominado año civil, el cual es un perı́odo convencional compuesto de un número entero de dı́as, diseñado de tal forma que
coincida lo más posible con el año trópico.
Y aquı́ es donde se torna interesante el asunto: la relación entre la
duración del año trópico y del mes sinódico es inconmensurable. Doce
meses sinódicos apenas dan cuenta de 12 × 29,5306 dı́as = 354,3672 dı́as,
esto es, casi 11 dı́as más corto que el año trópico. Además, está el problema de que ninguno de los dos perı́odos está compuesto de un número
entero de dı́as. Por lo tanto, para tratar de conformar un calendario que
esté en concordancia con las fases de la Luna o con las estaciones, esto
es, con el Sol (que es el caso de nuestro actual calendario gregoriano), es
necesario insertar dı́as en intervalos apropiados. Como veremos, esto ha
ocasionado serios trastornos en el conteo de eventos cronológicos y ha
dado lugar a que ocurran múltiples correcciones, algunas de ellas muy
singulares.
182
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
9.1.
El calendario romano primitivo
Este calendario fue adoptado en Roma poco después de su fundación, supuestamente realizada por Remo unos siete u ocho siglos antes
del nacimiento de Jesucristo; constaba de diez meses, 4 de ellos de 31
dı́as y los restantes 6 de 30, lo cual daba un total de 304 dı́as (ver tabla
9.1).
El primer mes del año era Martius (nuestro actual marzo) y estaba
dedicado al dios de la guerra, Marte; el segundo a Apolo (de sobrenombre
Aperta), el tercero a Júpiter (de sobrenombre Maius), el cuarto a Juno
(principal diosa latina, esposa de Júpiter); de ahı́ en adelante los meses
recibı́an el nombre equivalente al número de meses transcurrido desde el
inicio del año. Puesto que aún faltaban cerca de 60 dı́as para cuadrar el
calendario con las estaciones, al parecer las autoridades decretaban un
perı́odo pobremente definido de dı́as para conformar la estación invernal.
No.
1
2
3
4
5
Nombre
Martius
Aprilis
Maius
Junius
Quintilis
Dı́as
31
30
31
30
31
No.
6
7
8
9
10
Nombre
Sextilis
September
October
November
December
Dı́as
30
30
31
30
30
Tabla 9.1: Los meses y su duración en Roma antes de Numa Pompilio
Pero, pronto, Numa Pompilio (715-673 a. C.), una figura que, al
igual que Remo, pertenece más a la mı́tica que a la realidad, y que se
constituyó, de acuerdo con la tradición, en el segundo rey de Roma,
modificó el anterior calendario, adicionando dos meses más a los diez
existentes: Januarios (dedicado al dios Jano) y Februarius. También se
cambió la duración del número de dı́as que conforman un mes pues los
romanos de aquellos tiempos habı́an adquirido la superstición negativa
hacia los números pares, de tal forma que se estableció que los meses
estuvieran constituidos por un número impar de dı́as, a excepción de
uno de ellos. Ası́, el orden quedó como se registra en la tabla 9.2.
183
9.2. EL CALENDARIO JULIANO
Esto da un año de 355 dı́as, el cual resultaba todavı́a corto, del orden
de 10 dı́as, comparado con el año trópico. Para subsanar este defecto los
romanos tuvieron la idea, un tanto extraña pero lógica, de introducir un
mes de 27 ó 28 dı́as, alternativamente, cada dos años. Con esto se lograba más o menos acoplar el año civil con el trópico. Este mes adicional
se llamó Merkedinus y resulta curioso el hecho de que se iniciaba el dı́a
23 de febrero, eliminándose los últimos cinco dı́as (esto es, del 24 al 28).
No.
1
2
3
4
5
6
Nombre
Martius
Aprilis
Maius
Junius
Quintilis
Sextilis
Dı́as
31
29
31
29
31
29
No.
7
8
9
10
11
12
Nombre
September
October
November
December
Januarius
Februarius
Dı́as
29
31
29
29
29
28
Tabla 9.2: Los meses y su duración en tiempos de Numa Pompilio
Valga la pena aclarar el hecho de que el equinoccio de primavera
para el hemisferio norte caı́a, en los tiempos de Numa, el dı́a 25 (o 24)
de marzo, lo que significa que el solsticio de invierno para el mismo hemisferio se presentaba el 25 (o 24) de diciembre.
9.2.
El calendario juliano
El calendario establecido por Numa daba como promedio un año
constituido de 366,25 dı́as, que lentamente, con el transcurrir de los
años, se desacoplaba del año propiamente astronómico. Además, el ente
encargado, dentro de la sociedad romana, de mantener el curso correcto
de las reglas del calendario y con el atributo de adicionar meses si ası́ lo
consideraba necesario, era una casta de pontı́fices, asesores religiosos de
los que ostentaban el poder polı́tico, que en ocasiones no seguı́a al pie
de la letra las normas establecidas, adicionando arbitrariamente distintos perı́odos, que obviamente convenı́an para sus propios intereses. Esto
184
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
llevó a que en el transcurso de varios siglos el desacople entre el calendario civil y el astronómico fuera bastante notorio.
Ya en los tiempos del primer triunvirato (Pompeyo, Lépido y Julio César), cerca del 60 a. C., la diferencia entre los calendarios era de
cerca de tres meses, pues cuando se presentaba la estación invernal el
almanaque indicaba los meses de primavera (Martius, Aprilis y Maius).
Julio César, habiéndose hecho con el poder en Roma, decretó, entre otras
cosas, una modificación del calendario tendiente a acoplar de nuevo el
calendario civil con el astronómico de tal forma que el equinoccio de
primavera coincidiera de nuevo con el 25 de marzo, como habı́a sido en
tiempos de Numa, y además, siguiendo el consejo del astrónomo alejandrino Sosı́genes, asegurar que en el futuro no se volviese a presentar un
desfase entre los calendarios. Para lograr lo primero se decidió convertir
el año 47 a. C. en el año más largo de la historia pues se convino introducir un mes Merkedinus de 28 dı́as después del 23 de febrero, y dos meses
más entre noviembre y diciembre, uno de 33 y el otro de 34 dı́as. Con
ello, el año 47 a. C. quedó de 445 dı́as y pasarı́a a la historia, con justa
razón, como el “año de la confusión”. De ello resultó también la práctica
de que el comienzo del año no fuera el dı́a primero de Martius sino el
primero de Januarius. Con el fin de evitar futuros desacoples, Sosı́genes,
quien sabı́a que el año trópico duraba aproximadamente 365,25 dı́as,
recomendó a Julio César que el año fuera fijado en 365 dı́as y que un
dı́a extra fuera añadido (entre el 23 y 24 de febrero) cada cuatro años,
siendo estos años exactamente divisibles por cuatro, esto es, sin generar
decimal. El año de 366 dı́as fue llamado con el tiempo año bisiesto. El
calendario instituido de esa manera se conoce con el nombre de calendario juliano.
La duración de los meses también cambió lentamente en este perı́odo,
haciéndose más fácil de recordar, pues, con excepción de febrero, se
fijó una secuencia de duración de los meses que tuvieran de forma alternante 30 y 31 dı́as (ver tabla 9.3).
Con la muerte de Julio César, en el 44 a. C., Marco Antonio quiso
honrar la memoria de su ilustre antecesor rebautizando el mes en el
que habı́a nacido este, Quintilis, por el de Julio. Varios años después,
Octavio, llamado Augusto (el “aumentador”) por el senado romano, el
primer emperador de Roma, decretó que el mes Sextilis fuera de ahora
185
9.2. EL CALENDARIO JULIANO
Figura 9.1: Julio César (100 a. C.-44 a. C.)
en adelante llamado por el nombre con el que habrı́a de pasar a la
historia. Pero, puesto que Sextilis tenı́a 30 dı́as (y dado que, según el
emperador, Augusto no podı́a ser menos que Julio), se estableció que
este mes tuviera de ahora en adelante 31 dı́as; el dı́a extra fue extraı́do
del pobre Februarius, el cual ahora tendrı́a 28 dı́as en años normales y
29 cada cuatro. Pero esto creaba una secuencia de tres meses seguidos de
31 dı́as: Julio, Augusto y September. Con el fin de evitar esta monotonı́a
se decidió cambiar la duración de September y November que pasarı́an
de 31 a 30 dı́as para fijar ahora a October y December como meses de
31 dı́as. Los nombres de estos meses (con muy ligeras modificaciones) y
sus duraciones son los que usamos actualmente (ver tabla 9.4).
No.
1
2
3
4
5
6
Nombre
Januarius
Februarius
Martius
Aprilis
Maius
Junius
Dı́as
31
29-30
31
30
31
30
No.
7
8
9
10
11
12
Nombre
Quintilis
Sixtilis
September
October
November
December
Dı́as
31
30
31
30
31
30
Tabla 9.3: Los meses y su duración en la época de Julio César
186
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
No.
1
2
3
4
5
6
Nombre
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Dı́as
31
28-29
31
30
31
30
No.
7
8
9
10
11
12
Nombre
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Dı́as
31
31
30
31
30
31
Tabla 9.4: Los meses y su duración actualmente
El dı́a adicional caracterı́stico de los años bisiestos se agregaba al
último dı́a de febrero.
9.3.
Calendario y cristianismo
Como ya dijimos, el año trópico no consta de 365,25 dı́as sino de
365,2422, con lo que resulta que el calendario juliano (que origina el
año civil) lentamente se va adelantando con respecto al año trópico a
razón de 365,25 − 365,2422 = 0,0078 dı́as por cada año que transcurre,
que es equivalente a 0,0078 × 24 × 60 = 11 minutos y 14 segundos. En
otras palabras, a medida que transcurren las centurias, el equinoccio de
primavera, un evento astronómico de importancia para muchas culturas
antiguas, se presentará cada vez más temprano (se irá adelantando) con
respecto a la fecha dada por el almanaque. De acuerdo con el cálculo anterior, se necesitarán alrededor de 1/0,0078 = 128 años para que
el año civil adelante en un dı́a al año trópico. Por lo tanto, al cabo
de unos 360 años de estar instaurado el calendario juliano el solsticio de
primavera ya no ocurrı́a el 25 (o 24) de marzo sino el 22 (o 21) de marzo.
Para ese entonces el imperio romano habı́a cambiado mucho. El
emperador Constantino abrazó la religión cristiana, cuyos practicantes
habı́an sido cruelmente perseguidos por algunos de sus antecesores, decidiendo además instaurar dicha religión como la oficial del imperio.
A pesar de haber transcurrido casi tres siglos desde la muerte de
Jesucristo, los adeptos de la fe cristiana no lograban ponerse de acuerdo
en muchos aspectos internos y fundamentales del culto. Pululaban en
9.3. CALENDARIO Y CRISTIANISMO
187
ese entonces muchas interpretaciones sobre la naturaleza verdadera de
Jesucristo que amenazaban seriamente con resquebrajar la unidad de la
iglesia. A Constantino, quien se habı́a hecho cristiano más por interés
polı́tico que por otra cosa, no le convenı́a para nada esa situación que
amenazaba seriamente la estructura doctrinal de la mayorı́a de la población, decidió convocar un concilio ecuménico (asamblea universal) con el
fin expreso de que los obispos de las distintas ciudades se pusieran enteramente de acuerdo con respecto a los preceptos de su credo. El concilio
fue llevado a cabo en la población de Nicea, muy cerca de lo que ahora se
conoce como la ciudad de Izmir al noroeste de Turquı́a, en el año 325 A.
D. Allı́ se definieron aspectos fundamentales del catolicismo, como el de
seleccionar como únicos exponentes de la verdad revelada por Dios los
evangelios escritos por Marcos, Mateo, Lucas y Juan —que constituyen
gran parte de lo que conocemos ahora como Nuevo Testamento—, de
cerca de 60 evangelios, redactados por muy diversos personajes, y que
circulaban libre y desordenadamente por las manos de los fieles de ese
entonces. Pero para lo que nos interesa aquı́, que es la historia del calendario, debemos concentrarnos en lo que resolvió el concilio de Nicea1
con respecto a la celebración de la Pascua.
La Pascua, para el pueblo hebreo, es una celebración que conmemora
la salida de los judı́os de su cautiverio en Egipto tal y como se relata
en la Biblia, particularmente en el Éxodo (12, 1-20). Allı́ se establece
en qué dı́a y en qué mes ha de celebrarse la “cena pascual”. Pero los
judı́os se rigen por un calendario lunar el cual crearon con una serie de
reglas para ajustarlo a sus necesidades civiles y religiosas. La complicación es que los cristianos llaman Pascua a otro evento: el dı́a de la
resurrección de Jesucristo. Tal y como se relata en el nuevo testamento,
Jesucristo, como buen practicante de la religión judı́a, celebró el rito de
la “cena pascual” y al dı́a siguiente fue asesinado, resucitando luego al
tercer dı́a. Necesitando los cristianos celebrar la Pascua, llamada ahora
de resurrección, se vieron en la necesidad de ajustarse parcialmente al
calendario lunar judı́o. Como los evangelios no eran muy explı́citos con
respecto a las fechas de tan trascendentales eventos, distintas facciones
1
Este concilio es considerado por los especialistas como el verdadero origen de la
iglesia católica, siendo su principal móvil erradicar definitivamente el arrianismo, una
doctrina propuesta por un presbı́tero alejandrino llamado Arrio quien sostenı́a que
Jesucristo era tan sólo un hombre de excepcionales cualidades pero en ningún caso
podı́a ser identificado como hijo de Dios, esto es, Jesucristo no era consustancial con
Dios.
188
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
de cristianos celebraban la Pascua con normas y preceptos que cambiaban de región en región, cosa que también podı́a ocasionar a la larga un
cisma. Se decidió, en el Concilio de Nicea, establecer unas normas fijas
y universales para fijar esta fiesta. Primero se estableció por decreto que
el equinoccio vernal debı́a caer siempre el 21 de marzo (como en efecto
caı́a ya para aquella época). Con ello se acordó que el dı́a en que cae la
Pascua cristiana debe: a) celebrarse en domingo; b) que dicho domingo
sea el siguiente a aquel en que la luna llena eclesiástica cae en o después
del equinoccio vernal.
Antes de seguir hay que aclarar que la luna llena eclesiástica no siempre coincide con la luna llena verdadera, pero por fortuna las diferencias
entre ambas se presentan muy rara vez.
Como se verá en la sección 9.6.5, la Pascua rige la ocurrencia de otras
fiestas religiosas por lo que es fundamental su cálculo acertado. De ello se
desprende que sea de trascendental importancia para la iglesia católica
que el equinoccio vernal se verifique siempre el 21 (o 20) de marzo. Por
desgracia, los obispos que asistieron al concilio de Nicea no cayeron en
cuenta del pequeño desfase que comentamos atrás: el lento incremento,
año tras año, del año juliano (civil) con respecto al año trópico.
9.4.
El calendario gregoriano
En efecto, el tiempo transcurrió y las centurias se fueron acumulando, con lo que el año civil se fue adelantando varios dı́as con respecto
al año trópico. Para finales del siglo XVI la diferencia era muy notoria.
Ya habı́an pasado cerca de 1300 años desde el concilio de Nicea, esto
es, el año civil se adelantaba por: 1300/128 ≈ 10 dı́as; en otras palabras, cuando el almanaque indicaba el 21 de marzo, el equinoccio de
primavera realmente habı́a ocurrido 10 dı́as antes, esto es, el 11 de marzo (recuérdese que el año trópico —lo que sucede astronómicamente—
se está rezagando con respecto al año civil). Es lógico suponer que las
autoridades eclesiásticas tenı́an un serio problema entre manos, pues se
estaba dejando de cumplir lo que sus antecesores habı́an fijado con tanto
celo.
9.4. EL CALENDARIO GREGORIANO
189
Figura 9.2: Papa Gregorio XIII (Ugo Boncompagni) (1502-1585) y Cristóbal Clavius
(1537-1612)
Por ello, el papa Gregorio XIII, en 1582, decidió poner fin a este enojoso asunto y, aconsejado por el astrónomo Cristóbal Clavius,
mandó corregir el calendario con el fin expreso de cumplir lo establecido casi 1300 años atrás. Al igual que se habı́a hecho con la reforma
juliana, lo primero era colocar las aguas de nuevo en su cauce. Puesto
que el problema era que el equinoccio vernal se estaba rezagando con
respecto al año civil, se decidió eliminar de cuajo 10 dı́as del calendario
civil. Por decreto, el dı́a siguiente al 4 de octubre de 1582 no fue el 5 sino
el 15 de octubre. Con tan arbitraria y extraña solución se sincronizaba
de nuevo el año civil con el trópico. Ahora bien, ¿cómo evitar que en
el transcurso de los años siguiera ocurriendo el desfase? Se trataba de
eliminar la ligera ventaja que le toma el año civil al año trópico, que
al cabo de 128 años alcanza a ser de 1 dı́a. Los asesores de Gregorio
XIII pensaron: al transcurrir casi 400 años se acumulan 3 dı́as de exceso
(128 × 3 = 384 ≈ 400); luego hay que buscar una manera de que cada
400 años se eliminen 3 dı́as del calendario civil (que era el juliano). La
solución fue ingeniosa. Se seguirı́a conservando la norma fijada por el
calendario juliano, salvo en un ligero detalle.
Consideremos la siguiente secuencia de años bisiestos:
1600, 1700, 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400
De 1600 a 2000 hay 400 años, al igual que entre 2000 y 2400. De esta
secuencia, los únicos números que son exactamente divisibles por 400
190
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
sin dejar resto son 1600, 2000 y 2400, esto es, entre 1600 y 2000 hay tres
centurias que no son divisibles por 400 exactamente, al igual que entre
2000 y 2400.
El ligero detalle, como lo habrá intuido el atento lector, y que constituye el fundamento del denominado calendario gregoriano (el calendario
que se utiliza actualmente en casi todo el orbe), consiste en fijar aquellos
años que conforman centurias que no son divisibles por 400 sin generar
decimal (1700, 1800 y 1900) como años comunes de 365 dı́as. Tres años
(que deberı́an ser bisiestos) pasan a ser años comunes, con lo que se
eliminan tres dı́as cada 400 años.
La ausencia de un sistema eficiente de comunicaciones y la desavenencia en asuntos teológicos que habı́a entre el Papa y varios estados
europeos ocasionó que no todos adoptaran las reglas que el papado recomendaba. El calendario gregoriano fue inmediatamente adoptado por
Portugal, España y parte de Italia, mientras que otros sectores europeos
siguieron conservando el calendario juliano2 . Sin embargo, con el correr
del tiempo, muchas otras regiones de Europa y América terminarı́an
adoptándolo y eventualmente casi todo el planeta.
9.5.
Cronologı́a
Se llama cronologı́a a cualquier método usado con el fin de ordenar
y colocar los eventos en la secuencia en que ellos ocurrieron. Los sistemas de cronologı́a que se han usado para registrar la historia humana
están ı́ntimamente relacionados con los calendarios y por lo tanto varı́an
en alcance, exactitud, grado de refinamiento, etc. La cronologı́a cientı́fica pretende situar todos los eventos de la forma más correcta posible
a intervalos proporcionales sobre una escala fija en el orden en que dichos eventos ocurrieron. La astronomı́a, la geologı́a y la paleontologı́a
requieren, pues, de este tipo de cronologı́a. La cronologı́a histórica, por
otro lado, varı́a con las diferentes habilidades y propósitos de las civilizaciones que las empleaban. Ello significa que es difı́cil hacer concordar
las cronologı́as históricas con las cronologı́as cientı́ficas debido, por un
2
Esto explica que personajes de la talla de Isaac Newton tengan en sus datos
biográficos dos fechas distintas, tanto para su nacimiento como para su deceso. El
cambio de calendario se presta por supuesto para toda clase de confusiones y aporta
un fértil campo para la literatura. Umberto Eco aprovecha este evento histórico para
crear una trama entretenida en su novela El péndulo de Foucault.
9.5. CRONOLOGÍA
191
lado, a la falta de refinamiento de las antiguas civilizaciones, y por otro,
a la pérdida de documentación y de registros que ha sido inevitable en
el transcurso histórico convulsionado y violento de casi todos los pueblos.
El primer requisito de un sistema histórico cronológico es la era,
esto es, un punto fijo de tiempo —de importancia trascendental para la
civilización o pueblo que la crea— desde el cual se indicará la posición
de todos los demás eventos acaecidos antes o después.
Los musulmanes, por ejemplo, fijan el inicio de su cronologı́a la fecha
en que el profeta Mahoma y sus seguidores huyeron de la Meca y que
corresponde al año 622; los judı́os fijaron como era el año que, según
ellos, ocurrió la creación del mundo: el 3761 a. C.
La era cristiana fue introducida alrededor del año 527 por Dionisio el
Exiguo llamado ası́ a causa de su corta estatura. Dionisio fue un monje
que residió en Roma y que calculó como fecha del nacimiento de Cristo el
año 753 de la fundación de Roma. Dionisio designó a este año el número
uno de dicha era, contando los años que siguieron en un curso regular
a partir de él llamándolos años del Señor, designación que aún usamos
cuando colocamos A. D. (Anno Domini ). El año anterior a 1 A. D. es el
año uno a. C. (ante Christium). En la escala no hay un año cero entre
a. C. y A. D. Las investigaciones históricas han permitido revelar que
Dionisio cometió una serie de errores en sus cálculos por lo que Jesucristo
en realidad no nació en el año 1 de nuestra era sino unos 3 a 5 (y algunos
autores llegan a calcular hasta 9) años antes3 . La incertidumbre existente
en cuanto a la determinación de la fecha real del nacimiento de Jesucristo
es completamente irrelevante para los propósitos de la cronologı́a: hay
un año fijo, ası́ Dionisio haya tenido o no razón. El hecho de que la era
cristiana sea una escala sin cero genera un ligero inconveniente y es que
al medir el tiempo de forma continua a partir del comienzo de la era
el intervalo de años realmente transcurrido es una unidad menos que el
número ordinal del año del calendario. Debido a esto, el primer siglo,
esto es, el primer intervalo de cien años de la era cristiana terminó con
el dı́a 31 de diciembre del año 100 A. D. El siglo II comenzó el 1 de
enero del año 101 A. D. De ello resulta que el siglo XX comience con el
1 de enero de 1900 y termine con el dı́a 31 de diciembre de 2000. Luego,
3
Semejante incertidumbre en la fecha de nacimiento, tratándose de un hombre que
tal vez sin proponérselo terminó fundando una de las religiones más importantes del
mundo, es explicable si consideramos que Jesucristo terminó convertido en personaje
digno de atención solo hasta mucho tiempo después de su muerte.
192
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
el siglo XXI comienza el 1 de enero de 2001 y ası́ sucesivamente. Esta
forma de contar los años trae el inconveniente de complicar el cálculo de
fechas anteriores al año 1 A. D. Por ejemplo, el número de años existentes
entre el año 20 a. C. y el 20 A. D. no es de 40 sino de 39. Para evitar
confusiones, los astrónomos, siempre tan cuidadosos en sus cálculos, han
introducido el año cero en sus cómputos. Y para hacer esto, llaman al
año 1 a. C. como año cero. Entonces especifican los años con un signo
negativo para designar los años anteriores al año cero. Ello hace que el
año contado por los historiadores difiera en uno en comparación con el
que cuentan los astrónomos:
Cómputo histórico
Cómputo astronómico
...
...
3 a. C.
-2
2 a. C.
-1
1 a. C.
0
1 A. D.
+1
2 A. D.
+2
...
...
Los dos cómputos coinciden cuando los años son mayores o iguales
que el año 1 A. D. Ası́ por ejemplo, el año 465 a. C. equivale al año
−464.
9.6.
La determinación de la fecha de Pascua
Como ya se dijo, la fecha de Pascua está ı́ntimamente relacionada con
el suceso de dos fenómenos astronómicos, a saber, la fase de luna llena
y el equinoccio vernal. La importancia de la fecha de Pascua es que ella
determina todas las fechas móviles religiosas que celebran los paı́ses con
marcada población practicante del culto católico. En épocas antiguas,
cuando no se disponı́a de teorı́as complejas que permitieran calcular la
posición de la Luna con una exactitud acorde a las circunstancias, los
astrónomos y calculistas hicieron uso de los curiosos ciclos que presentan
las fases lunares. El más conocido de ellos es el ciclo de Metón. Este ciclo
es un perı́odo de 19 años solares (de 235 meses sinódicos), que, una vez
transcurrido, las fases de la Luna tienen lugar aproximadamente en los
mismos dı́as del año, lo que constituye una técnica de predicción más o
menos exacta. Considérese como ejemplo la siguiente secuencia de lunas
llenas:
Luna
Luna
Luna
Luna
llena
llena
llena
llena
enero
enero
enero
enero
22
21
22
22
de
de
de
de
1970
1989
2008
2027
193
9.6. LA DETERMINACIÓN DE LA FECHA DE PASCUA
Para facilitar los cálculos de la fecha de Pascua con base en el ciclo de
Metón, y dado que este no es rigurosamente exacto, los calculistas se vieron en la necesidad de definir algunos conceptos intermedios tendientes
a hallar de forma expedita la fecha de la Pascua. Pasaremos brevemente
a dar revista a algunos de ellos.
9.6.1.
Letra dominical
Designemos a los siete primeros dı́as del año por las letras A, B, C,
D, E, F y G. Por lo tanto el primero de enero queda como A, el dos de
enero como B, y ası́ sucesivamente hasta enero siete que le corresponde
la G; el ciclo continúa entonces con el ocho de enero de nuevo como A,
enero nueve como B y ası́ sucesivamente. La letra dominical de un año es
la letra que le corresponde al primer domingo del año, y que caracteriza
por lo tanto a todos los domingos del año. Ası́, por ejemplo, si un año
empieza el dı́a viernes la letra dominical es C. La complicación aparece
en los años bisiestos. En estos años al dı́a 29 de febrero no se le asigna
una letra, pero, puesto que es contado como un dı́a de la semana, la
serie de letras se cambiará (a partir del primero de marzo) en favor de
la letra precedente. Esto obliga a que un año bisiesto tenga dos letras
dominicales: la primera funcionará en los meses de enero y febrero; la
segunda, que es su precedente, regirá a partir del primero de marzo
en adelante. Considérese como ejemplo el año 2000. Por ser bisiesto
tendrá dos letras dominicales. El primer domingo del año ocurrió el dos
de enero, lo que significa que la primera letra es B. La segunda letra
es su precedente en la serie, esto es, la letra A. Por lo tanto las letras
dominicales del año 2000 son BA. Un año como 1998 (no bisiesto) tiene
una sola letra dominical, la cual fue D, lo que significa que el primer
domingo del año tuvo lugar el dı́a cuatro de enero. Una fórmula que
permite hallar la letra dominical L (entre 1 y 7) de un año Y cualquiera
es la siguiente:
L=
2T + 1 − EN T ( T4 ) − U − EN T ( U4 )
7
,
(9.1)
r
donde T son los dos primeros dı́gitos del año y U los dos últimos; el
subı́ndice r en (9.1) significa el resto de la división. Se ha de tener cuidado
además con lo siguiente: si L ≤ 0 entonces L = L + 7. Además, si el año
es bisiesto, esto es, si Y es divisible por cuatro sin generar resto (salvo
años como 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, etc.) entonces con (9.1)
se obtiene la segunda letra dominical.
194
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
Ejemplo 1
Calcular la letra dominical del año 2002.
Solución
Entonces Y = 2002. Por lo tanto T = 20, U = 02 = 2. Puesto que
EN T (20/4) = 5, EN T (2/4) = 0, entonces:
40 + 1 − 5 − 2 − 0
34
28 6
=
=
+ ,
7
7
7
7
por lo tanto el resto es L = 6. Esto significa que la letra dominical es F.
Ejemplo 2
Calcular la letra dominical del año 2008.
Solución
Este es un año bisiesto. Entonces Y = 2008. Por lo tanto T = 20,
U = 08 = 8. Puesto que EN T (20/4) = 5, EN T (8/4) = 2, entonces:
40 + 1 − 5 − 8 − 2
26
21 5
=
=
+ ,
7
7
7
7
por lo tanto el resto es L = 5. Esto significa que la segunda letra dominical de este año bisiesto es E. Pero como la segunda letra dominical de
un año bisiesto es la precedente de la primera se deduce que la primera
letra es F. Por consiguiente, la letra dominical de 2008 es FE.
9.6.2.
Número áureo
El número áureo está relacionado directamente con el ciclo de Metón.
En la antigüedad este ciclo era considerado como una de las verdades
más sólidamente establecidas; se creı́a que bastaba con conocer las lunaciones de 19 años para predecir de ahı́ en adelante las que vinieran.
El número que ocupa un año en este ciclo es llamado número áureo,
llamado ası́ porque los calendarios solı́an encabezar con este número
pintado en oro o rojo. Se ha dispuesto que el primer ciclo de Metón
empezó el año en que el novilunio acaeció el primero de enero del año
1 a. C. Por lo tanto, el año 1 a. C. tuvo por número áureo 1. Puesto
que en cronologı́a el año cero no existe, el año 1 A. D. tuvo por número
9.6. LA DETERMINACIÓN DE LA FECHA DE PASCUA
195
áureo 2 y ası́ sucesivamente hasta el año 18 A. D. al que le correspondió por número áureo 19; el año 19 A. D. continúa con el número áureo
1 y ası́ sucesivamente. La importancia del número áureo residı́a en que
era un valor indispensable en el cálculo de la Pascua antes de la reforma
gregoriana, la cual reemplazó el número áureo por el concepto de epacta.
El número áureo G de un año cualquiera Y puede calcularse con la
siguiente fórmula:
Y
G=1+
,
(9.2)
19 r
donde el subı́ndice r significa el resto de la división.
Ejemplo 1
Calcular el número áureo del año 1999.
Solución
Aquı́ Y = 1999. Entonces:
1999
1995
4
=
+ .
19
19
19
Entonces:
G = 1 + 4 = 5.
9.6.3.
La epacta
La epacta es un vocablo de origen griego que se utiliza para indicar
la edad de la Luna al empezar el año. La edad de la Luna es un número
(entre 1 y 29) que indica el número de dı́as transcurridos desde la última
luna nueva. El concepto de epacta para calcular la Pascua fue sugerido
por Luis Lilio Guiraldi y se adoptó como otra corrección que introdujo
la reforma ordenada por el papa Gregorio XIII. La epacta se puede calcular con ayuda de las siguientes fórmulas.
Para un año dado Y se comienza por calcular el valor de C dado por:
C = 1 + EN T (Y /100),
luego calculamos los valores de X y Z definidos por:
3C
8C + 5
X = EN T
− 12,
Z = EN T
− 5,
4
25
196
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
entonces la epacta está dada por:
11G + 20 + Z − X
,
E=
30
r
(9.3)
donde G es el número áureo calculado con ayuda de (9.2), y el subı́ndice
r significa el resto de la división.
Ejemplo 1
Calcular la epacta del año 1966.
Solución
Aquı́ Y = 1966. Entonces:
1966
1957
9
=
+ .
19
19
19
Entonces:
G = 1 + 9 = 10.
Ası́ mismo: C = 1+EN T (1966/100) = 1+19 = 20. X = EN T ( 3×20
4 )−
12 = 15 − 12 = 3, Z = EN T ( 8×20+5
)
−
5
=
6
−
5
=
1.
Al
reemplazar
en
25
(9.3):
11 × 10 + 20 + 1 − 3
128
120
8
=
=
+ ,
30
30
30
30
por lo tanto E = 8.
Ejemplo 2
Calcular la epacta del año 2011.
Solución
Aquı́ Y = 2011. Entonces:
2011
1995 16
=
+ ,
19
19
19
esto es:
G = 1 + 16 = 17.
Ası́ mismo: C = 1+EN T (2011/100) = 1+20 = 21. X = EN T ( 3×21
4 )−
12 = 15 − 12 = 3. Z = EN T ( 8×21+5
)
−
5
=
6
−
5
=
1.
Al
reemplazar
en
25
(9.3):
11 × 17 + 20 + 1 − 3
205
180 25
=
=
+ ,
30
30
30
30
por lo tanto E = 25.
9.6. LA DETERMINACIÓN DE LA FECHA DE PASCUA
9.6.4.
197
Otros ciclos
En los almanaques astronómicos se acostumbra a reseñar los valores que adopta el año con respecto a otros ciclos no tan conocidos. La
indicción romana es uno de ellos. Este ciclo posee una duración de 15
años y fue introducido por el emperador romano Constantino en el 312
A. D., el cual originalmente fue concebido como un plazo fiscal pero
terminó siendo un modo de contar regularmente los años. La indicción
romana se ha fijado de tal forma que el año 1 de nuestra era (1 A. D.)
corresponde al año 4 del ciclo de indicción correspondiente. Para el año
2000 ya habı́an transcurrido 133 de tales ciclos correspondiéndole una
indicción de 8. La fórmula que permite hallar la indicción romana IR
para un año cualquiera Y es fácil de deducir:
Y +3
IR =
.
15
r
Otro ciclo es el denominado ciclo solar el cual posee una duración de
28 años. Se ha dispuesto que el año 1 de nuestra era (1 A. D.) corresponde
al año 10 de dicho ciclo solar. La fórmula que permite hallar el ciclo solar
CS para un año cualquiera Y es:
Y +9
CS =
.
28
r
La importancia del ciclo solar estribaba en que en el calendario juliano dos años con el mismo ciclo solar tenı́an las mismas letras dominicales,
lo que significaba que los dı́as de la semana (y en particular los domingos) tenı́an lugar en la misma fecha del año. Esto explica el origen de la
denominación ciclo solar (el domingo es el dı́a del Sol). La introducción
del calendario gregoriano desbarató este esquema.
Otro ciclo es el denominado perı́odo juliano. Este resulta de la multiplicación del ciclo de Metón, la indicción romana y el ciclo solar. Por
lo tanto, el ciclo posee una duración de 19 × 15 × 28 = 7980 años. Este
perı́odo fue propuesto por Joseph Justus Scaliger a finales del siglo XVI.
Se fijó al mismo tiempo el dı́a y el año en que deberı́a comenzar dicho
perı́odo. Se eligió aquel año para el cual el número áureo, la indicción romana y el ciclo solar coinciden en uno. Es relativamente sencillo calcular
que esto sucede en el año 4713 a. C. (−4712). Como ya para finales del
siglo XVI era costumbre comenzar el año desde el primero de enero, se
eligió como fecha origen de la fecha juliana (ver sección 7.9.1) el primero
198
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
de enero de dicho año. Por lo tanto, el año del perı́odo juliano AP J para
un año dado cualquiera Y puede calcularse con la fórmula:
AP J = 4713 + Y.
9.6.5.
Cálculo de la fecha de Pascua
La fecha de Pascua F P de un año Y cualquiera se puede calcular
por intermedio de la siguiente fórmula:
F P = 21 + P + (L − l),
(9.4)
donde F P representa el dı́a en que se verifica la fecha de Pascua en dı́as
del mes de marzo; L es la letra dominical del año Y (en caso de año
bisiesto se toma la segunda) y P y l toman los siguientes valores:
Si E < 24 entonces
P = 24 − E, l = 27 − E, pero si: 27 − E > 7 entonces: l = ( 27−E
7 )r ,
Si E > 23 entonces
P = 54 − E, l = 57 − E, pero si: 57 − E > 7 entonces: l = ( 57−E
7 )r ,
donde E es la epacta del año Y . Además:
Si (L − l) < 0 entonces (L − l) = (L − l) + 7.
Ejemplo 1
Calcular la fecha de Pascua para el año 2011.
Solución
La letra dominical L del año 2011 se calcula con ayuda de (9.1):
Y = 2011; por lo tanto T = 20, U = 11. Puesto que EN T (20/4) = 5,
EN T (11/4) = 2, entonces:
40 + 1 − 5 − 11 − 2
23
21 2
=
=
+ ,
7
7
7
7
por consiguiente el resto es L = 2. Esto significa que la letra dominical
es B.
Ya habı́amos calculado la epacta E del año 2011 la cual dio un valor
de E = 25. Puesto que 25 > 23 entonces: P = 54 − 25 = 29 y l =
((57 − 25)/7)r = 4. Por lo tanto: (L − l) = (2 − 4) = −2, esto es
−2 + 7 = 5, por lo que:
9.6. LA DETERMINACIÓN DE LA FECHA DE PASCUA
199
F P = 21 + 29 + 5 = 55 dı́as de marzo = 24 de abril.
Entonces la fecha de Pascua para el año 2011 cae el domingo 24 de
abril.
Ejemplo 2
Calcular la fecha de Pascua para el año 2027.
Solución
La letra dominical L del año 2027 se calcula con ayuda de (9.1):
Y = 2027; por lo tanto T = 20, U = 27. Puesto que EN T (20/4) = 5,
EN T (27/4) = 6, entonces:
40 + 1 − 5 − 27 − 6
3
0 3
= = + ,
7
7
7 7
por lo tanto el resto es L = 3. Esto significa que la letra dominical es C.
Calculamos ahora el valor de la epacta para el año 2027. Comenzamos
por calcular el número áureo:
2027
2014 13
=
+ .
19
19
19
Entonces:
G = 1 + 13 = 14.
Ası́ mismo: C = 1+EN T (2027/100) = 1+20 = 21. X = EN T ( 3×21
4 )−
12 = 15 − 12 = 3. Z = EN T ( 8×21+5
)
−
5
=
6
−
5
=
1.
Al
reemplazar
en
25
(9.3):
11 × 14 + 20 + 1 − 3
172
150 22
=
=
+ ,
30
30
30
30
por lo tanto E = 22.
Puesto que 22 < 24 entonces: P = 24 − 22 = 2 y l = ((27 − 22)/7)r =
5. Por lo tanto: (L + l) = (3 − 5) = −2, esto es: −2 + 7 = 5, por lo que:
F P = 21 + 2 + 5 = 28 dı́as de marzo.
La fecha de Pascua para el año 2027 cae el domingo 28 de marzo.
200
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
9.7.
Calendario colombiano
La fecha de Pascua, como se dijo atrás, determina todas las fiestas
religiosas movibles. Colombia, por ser un paı́s mayoritariamente católico, celebra varias fechas de importancia de este culto. La fecha en que
ocurren estas fiestas, en relación con la fecha pascual, viene dada por la
tabla 9.5.
Fiesta
Domingo de septuagésima
Miércoles de ceniza
Domingo de ramos
Jueves santo
Viernes santo
La Ascensión del Señor
Pascua de Pentecostés
Corpus Christi
Sagrado Corazón de Jesús
Dı́a de celebración
63 dı́as antes
46 dı́as antes
7 dı́as antes
3 dı́as antes
2 dı́as antes
39 dı́as después
49 dı́as después
60 dı́as después
68 dı́as después
Tabla 9.5: Ocurrencia de varias fiestas católicas con relación a la Pascua
Las fiestas que están en la tabla 9.5 (a excepción del Sagrado Corazón de Jesús, que es considerada una fiesta civil) junto con la Pascua
constituyen los dı́as de fiesta movibles del calendario eclesiástico. De
estas fiestas movibles la República de Colombia reconoce, a los trabajadores de los sectores público y privado, como descansos remunerados
los siguientes dı́as: jueves y viernes santos, la Ascensión del Señor, el
Corpus Christi y el Sagrado Corazón.
Existen otras fiestas eclesiásticas que no dependen de la fecha de Pascua que se denominan fiestas fijas eclesiásticas por ocurrir siempre en los
mismos dı́as del año: la circuncisión del Señor (1 de enero), la Epifanı́a
o fiesta de los reyes magos (6 de enero), dı́a de San José (19 de marzo),
dı́a de San Pedro y San Pablo (29 de junio), Asunción (15 de agosto),
dı́a de todos los santos (1 de noviembre), la Inmaculada Concepción (8
de diciembre) y la Natividad o nacimiento del Señor (25 de diciembre).
Todas estas fiestas son consideradas por la República de Colombia como
descansos remunerados.
9.7. CALENDARIO COLOMBIANO
201
Las fiestas de orden civil se suceden todas en los mismos dı́as del año
(a excepción del Sagrado Corazón de Jesús) y son: dı́a del trabajo (1 de
mayo), Independencia Nacional (20 de julio), Batalla de Boyacá (7 de
agosto), dı́a de la raza (12 de octubre) e Independencia de Cartagena
(11 de noviembre). Todas estas fiestas son consideradas por la República
de Colombia como descansos remunerados.
Hay que tener presente, sin embargo, que en la actualidad está vigente una ley de la República que modifica parcialmente las fechas en que
se deben celebrar algunas fiestas. La ley 51 de 1983 traslada el descanso
remunerado de algunos dı́as festivos. Especı́ficamente, el artı́culo 2 de
la mencionada ley decreta que los dı́as 6 de enero, 19 de marzo, 29 de
junio, 15 de agosto, 12 de octubre, 1 de noviembre, 11 de noviembre, Ascensión del Señor, Corpus Christi, y Sagrado Corazón de Jesús, cuando
no caigan en dı́a lunes se trasladarán al lunes siguiente a dicho dı́a. Pero
cuando las mencionadas festividades caigan en domingo, el descanso remunerado igualmente se trasladará al lunes. La tabla G.1 del apéndice
G contiene los descansos remunerados reconocidos por la República de
Colombia e indica aquellas fiestas cuyos dı́as son trasladados en virtud
de la ley 51 de 1983.
Ejemplo 1
Calcular en qué dı́as y en qué dı́a de la semana cayeron los descansos
remunerados en la República de Colombia en el año de 1995.
Solución
Comenzamos por calcular la fecha de Pascua del año 1995. Realizando el cálculo vemos que la Pascua cayó en aquel año el domingo 16 de
abril. Ello significa que el jueves y el viernes santos cayeron los dı́as 13 y
14 de abril. En lo que sigue se supone que para cada fecha se determina
en las tablas G.3, G.4 y G.5 del apéndice G el dı́a correspondiente de la
semana. La ascensión deberı́a ocurrir 39 dı́as después de la Pascua, esto
es, el 25 de mayo (jueves), pero por la ley 51 cae el lunes 29 de mayo.
El Corpus Christi deberı́a ocurrir 60 dı́as después de la Pascua, esto es,
el 15 de junio (jueves), pero por la ley 51 cae el lunes 19 de junio. El
Sagrado Corazón deberı́a ocurrir 68 dı́as después de la Pascua, o sea,
el 23 de junio (viernes), pero por ley 51 cae el lunes 26 de junio. Otras
fiestas modificadas por la ley 51 son: la Epifanı́a, que del 6 de enero
202
CAPÍTULO 9. CALENDARIO
(viernes) pasa a celebrarse el lunes 9 de enero; San José, que del 19 de
marzo (domingo) se celebra el lunes 20 del mismo mes; San Pedro y San
Pablo, que del 29 de junio (jueves) pasa a celebrarse el lunes 3 de julio; la
Asunción, que del 15 de agosto (martes) pasa a celebrarse el lunes 21 de
agosto; el dı́a de la raza, que del 12 de octubre (jueves) pasa al lunes 16
de octubre; el dı́a de todos los santos, que del 1 de noviembre (miércoles)
pasa a celebrarse el lunes 6 de noviembre y la Independencia de Cartagena, que del 11 de noviembre (sábado) pasa al lunes 13 de noviembre.
Las fiestas restantes no son modificadas por la ley 51: la circuncisión
del Señor el 1 de enero que cayó en domingo; el dı́a del trabajo (1 de
mayo) que cayó en lunes; la Independencia Nacional (20 de julio) que
cayó en jueves; la Batalla de Boyacá (7 de agosto) que cayó en lunes;
la Inmaculada Concepción (8 de diciembre) que cayó en viernes y la
Natividad (25 de diciembre) que cayó en lunes.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Meeus, Jean (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond.
En el capı́tulo 8 se encuentra una rutina que permite determinar la fecha
de Pascua.
Meeus, Jean (1995) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets,
Willmann-Bell, Richmond.
En su capı́tulo 7 se hallan multitud de tablas para calcular la fecha juliana, fechas de Pascua, calendario judı́o y calendario musulmán.
Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac (1961), Her Majesty’s Stationery
Office, Londres.
Excelente referencia para algunos temas de astronomı́a esférica. La sección de calendario es altamente ilustrativa y rebosante en referencias.
Enciclopedia universal ilustrada europeo-americana, Espasa-Calpe, Madrid.
Tal vez la mejor enciclopedia que se haya hecho en idioma castellano.
Bajo la palabra calendario se encuentra la descripción más completa y
detallada de la historia de múltiples calendarios.
http://www.personal.ecu.edu/MCCARTYR/calendar-reform.html
Contiene bastante información sobre reforma e historia del calendario.
http://www.calendarzone.com/
Todo lo que usted desee saber sobre calendarios se encuentra aquı́.
Capı́tulo 10
CORRECCIÓN A LAS
COORDENADAS
Existen varios fenómenos de distinta naturaleza que afectan en mayor o en menor grado las coordenadas de los cuerpos celestes.
Estos fenómenos son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Precesión
Nutación
Aberración
Movimiento en el espacio
Paralaje
Refracción astronómica
Deflección gravitacional de la luz
Daremos una rápida exposición de cada uno de ellos.
10.1.
Precesión
Técnicamente y de forma general el fenómeno de precesión consiste
en el movimiento del eje de rotación de un cuerpo alrededor de un eje
fijo, que es originado por la presencia de una fuerza externa (torque). El
ejemplo más sencillo para visualizar la precesión es observando un trompo en rotación (figura 10.1). El trompo corriente es un cuerpo que tiene
203
204
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
una acumulación de masa sobresaliente en su parte superior. Al poner
a girar el trompo sobre una superficie dura perfectamente horizontal, el
eje de rotación (que tiene la misma dirección de la púa) no permanece perpendicular al suelo, pues cualquier perturbación, o la pérdida de
energı́a generada por el rozamiento con la superficie y con el aire, hace
que el eje forme un ángulo de inclinación con respecto a un eje normal
(y fijo) a la superficie. La inclinación es causada por la atracción gravitacional terrestre sobre el exceso de masa existente en la parte superior
del trompo, lo cual origina un torque.
EJE NORMAL A
LA SUPERFICIE
EJE DE ROTACION
Figura 10.1: Trompo precesando
El efecto resultante es curioso: el eje de rotación del trompo comienza
a girar lentamente alrededor del eje normal a la superficie, esto es, el eje
de rotación describe una circunferencia en el espacio con un determinado
radio. Como sabemos, la fricción causa que el trompo termine perdiendo
todo su momento angular (su velocidad de rotación se hace cero), con lo
que el trompo termina acostándose sobre la superficie horizontal. Obtenemos inmediatamente el mismo efecto si colocamos un trompo estático
—no rotante— sobre su púa (con su eje de rotación perpendicular a la
superficie), esto es, en una alta configuración de equilibrio inestable, y
lo soltamos.
Ahora bien, el planeta Tierra en su movimiento de rotación también
adolece de precesión. Esto se debe a que la Tierra tiene un ligero exceso
de masa ubicado alrededor del sector ecuatorial (recuérdese que el radio
terrestre es más grande en el ecuador que en los polos) y los campos
gravitacionales de cuerpos como la Luna, el Sol y los planetas se encargan
de generar el torque externo (ver figura 10.2).
205
10.1. PRECESIÓN
Π
PNC
ε
LUNA
SOL
TIERRA
ECLIPTICA
o
5
ORBIT
A DE L
A LUN
A
Figura 10.2: Precesión del eje de rotación terrestre
Si la Tierra dejara de rotar el efecto de la atracción gravitacional sobre el exceso de masa harı́a que con el tiempo la oblicuidad de la eclı́ptica
pasara de un valor de 23o 27 a un valor cercano a cero, esto es, que el
ecuador celeste se alinee con un plano intermedio entre la eclı́ptica y el
plano de la órbita lunar. Pero el caso real es que no existen fuerzas de
rozamiento lo suficientemente fuertes como para que se detenga el movimiento de rotación de la Tierra. El efecto de la precesión sobre el eje de
rotación terrestre es que este describe en el espacio una circunferencia
de radio constante alrededor del polo de la eclı́ptica. Esto significa que
la Tierra responde al torque externo no cambiando su eje de inclinación
sino haciendo rotar el eje muy lentamente alrededor de la normal al plano de la eclı́ptica. El movimiento de precesión para nuestro planeta es
muy lento, de unos 50 segundos de arco por año, que equivale a una
rotación completa al cabo de unos 25 800 años. Astronómicamente ¿cuál
es el efecto? Uno que se aprecia inmediatamente es que el polo norte celeste no está fijo con respecto a la bóveda celeste: se mueve lentamente
realizando una vuelta completa alrededor del polo eclı́ptico cada 25 800
años. Conociendo que el cı́rculo que describe el PNC alrededor de Π (el
polo eclı́ptico) tiene un radio constante de 23o 27 , podemos conocer cuál
es la posición del PNC para cualquier tiempo en el pasado o en el futuro.
Actualmente el PNC está a unos 3/4 de grado (45 minutos) de la estrella
Polaris (α Ursae Minor). Unos 4600 años atrás el PNC estaba muy cerca
de la estrella Thuban (α Draconis). Hace tres mil años, el PNC se habı́a
desplazado hasta pasar cerca de la estrella Kochab (β Ursae Minor). En
el futuro, dentro de diez mil años, el PNC se ubicará cerca de la estrella
Vega (α Lyrae).
206
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
8000
CISNE
10000
.
LIRA
α
. .
δ
. ..
.
β
14000
γ
.
.
DRAGON .
..
-6000
. CEFEO
.
..
γ
. . 4000
β
.χ
ζ
2000
. α.OSA
.
.. .. β MENOR
γ
χ
.
.λ
.α
−4000
Figura 10.3: Movimiento del PNC en varios miles de años
Pero el movimiento del polo tiene una consecuencia importante en lo
que se refiere a la observación de la bóveda celeste para un observador
ubicado siempre a una latitud determinada. Es claro de la figura 10.4
que al desplazarse lentamente el polo celeste alrededor del polo eclı́ptico, el punto vernal (uno de los dos puntos de corte de la eclı́ptica con
el ecuador celeste) se va desplazando en la misma dirección (y con la
misma velocidad). Esto es, los puntos equinocciales se van desplazando
a lo largo de la eclı́ptica con una velocidad del orden de 50 de arco por
año. El punto vernal atraviesa las trece constelaciones por las que pasa la
eclı́ptica en un término de 25 800 años. Esto explica por qué el fenómeno
es conocido también como precesión de los equinoccios. También explica por qué el punto vernal se llama “punto de Aries”. Actualmente, el
punto vernal está ubicado en la constelación de Piscis. Pero hace 2500
años, en la época en que se consolidó la astrologı́a griega, el punto vernal estaba ubicado en la constelación de Aries. El nombre ha perdurado
hasta nuestra época pero se ha de estar atento para evitar confusiones.
Dentro de unos 600 años el punto vernal dejará de estar en Piscis para
10.1. PRECESIÓN
207
entrar a la constelación de Acuario (teniendo en cuenta la actual definición de las fronteras entre las constelaciones). Pero este desplazamiento
de los puntos equinocciales es el responsable de que dentro de 12 000
años, cuando el PNC se encuentre en algún punto entre las constelaciones de Hércules y la Lira, constelaciones que actualmente están en
el hemisferio norte celeste, como Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo y
el Can Menor, se ubiquen en el hemisferio sur celeste. De igual forma,
constelaciones como El Cuervo, Libra, Escorpión, Sagitario, Capricornio
y Acuario (ahora ubicadas en el hemisferio sur celeste) se encontrarán,
para ese perı́odo de tiempo, en el hemisferio norte. Un observador para
una latitud fija de, digamos, unos 40o norte observará, suponiendo que
pueda vivir centenares e incluso miles de años, que, con el transcurso
de los siglos, estrellas que eran fácilmente visibles para él pasarán a ser
imposibles de observar (insistimos, para una latitud fija); y a la inversa,
aparecerán “nuevas” estrellas sobre su horizonte, que anteriormente eran
imposibles de observar. Tal parece que fue de esta manera como el astrónomo Hiparco de Nicea descubrió el fenómeno de precesión alrededor
del año 150 a. C., comparando sus observaciones de estrellas con las de
astrónomos babilonios realizadas unos 1000 a 2000 años antes. Hiparco
evaluó el corrimiento del punto vernal en una magnitud de 36 segundos
de arco por año.
Se suele denominar a la contribución de los torques producidos por
el Sol y la Luna como “precesión lunisolar”. La contribución de los planetas se llama “precesión planetaria”. La suma de la precesión lunisolar
y planetaria es llamada “precesión general”.
La precesión hace desplazar lentamente el punto vernal a lo largo
de la eclı́ptica y, puesto que es desde este punto que comienza a contarse la ascensión recta, se deduce que las coordenadas ecuatoriales de
cualquier astro irán cambiando con el tiempo. Ello quiere decir que las
coordenadas de las estrellas deben ir acompañadas por el instante que
indique con respecto a qué equinoccio se está haciendo referencia (ver
figura 10.5).
Un estudio riguroso de la precesión (y la nutación) requiere el manejo
de perturbaciones en mecánica celeste. Una descripción relativamente
técnica del procedimiento puede encontrarse en Smart (1960), Plummer
(1960) y Chandrasekhar (1995). Aun más descriptivo es el cálculo del
movimiento del punto vernal expuesto en Kaula (1968).
208
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
ε
P1
Π
P
2
LI
EC
1
CA
I
PT
LESTE
ECUADOR CE
2
Π´
Figura 10.4: Desplazamiento del punto vernal a través de la eclı́ptica
El fenómeno de precesión obliga a que se establezca una fecha arbitraria y fija que se usa como un dátum de referencia al cual se denomina
“época”. Las coordenadas de las estrellas se especifican con respecto a
dicha época. La época puede ser el inicio de un año o el comienzo (o
mitad) del siglo, etc. Una “época estándar” especifica el sistema al cual
se refieren las coordenadas de las estrellas. Desde el año 1984 la época
estándar utilizada se designa como J2000,0, donde la J significa año juliano1 . Cuando se escribe J2000,0 lo que se quiere decir es el instante 1
de enero a las 12 meridiano hora de Greenwich del año 2000. Antes de
1984 la época estándar utilizada se designaba como B1950,0, donde la
B significa año beseliano2 .
Para calcular el efecto de la precesión sobre las coordenadas α y δ
se pueden utilizar varios métodos alternativos de los cuales existen unos
1
El año juliano es un perı́odo conformado exactamente por 365,25 dı́as.
El año beseliano es un perı́odo de tiempo que completa una revolución en ascensión recta del Sol medio tal y como fue definido por Simon Newcomb.
2
209
10.1. PRECESIÓN
más exactos que otros. Fórmulas rigurosas para la determinación de la
precesión pueden consultarse en Simon et al., 1994.
Damos a continuación las fórmulas que permiten reducir las coordenadas ecuatoriales absolutas al equinoccio medio y ecuador medio de
una fecha t.
Llamaremos: (α0 , δ0 ) las coordenadas de un astro referido a la época fundamental (J2000,0); (α, δ) las coordenadas de un astro referido al
equinoccio y ecuador medio de una fecha t.
Las fórmulas son:
M = 1◦ ,2812323T + 3◦ ,879 × 10−4 T 2 + 1◦ ,101 × 10−5 T 3 ,
◦
◦
−4
N = 0 ,5567530T − 1 ,185 × 10
◦
−5
T − 1 ,16 × 10
2
3
T ,
(10.1)
(10.2)
donde T es la variable definida por la ecuacion (7.17).
Paso del J2000,0 a la fecha (t)
El cálculo se hace con ayuda de las siguientes expresiones:
α = α0 + M + N sen αm tan δm ,
(10.3)
δ = δ0 + N cos αm ,
(10.4)
donde (αm , δm ), llamados valores medios, se utilizan como cantidades
auxiliares:
1
αm = α0 + (M + N sen α0 tan δ0 ),
2
1
δm = δ0 + N cos αm .
2
(10.5)
(10.6)
Paso de la fecha (t) al J2000,0
Las ecuaciones son ahora:
α0 = α − M − N sen αm tan δm ,
(10.7)
δ0 = δ − N cos αm ,
(10.8)
210
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
donde:
1
αm = α − (M + N sen α tan δ),
2
1
δm = δ − N cos αm .
2
*
(10.9)
(10.10)
ECLIPTICA
δ0
δ
0
α0
ECUADOR MEDIO EN to
ECUADOR MEDIO EN t
1
α
Figura 10.5: Coordenadas ecuatoriales en la época de referencia y en la fecha t
Ejemplo 1
La ascensión recta y declinación de la estrella Canopus para el instante J2000,0 son: α0 = 6h 23m 57,119s y δ0 = −52o 41 44,5 . Calcular los
valores correspondientes de α y δ corregidos por precesión el dı́a 8 de
mayo del año 2010.
Solución
Este es el caso de pasar de la época del catálogo (J2000,0) al equinoccio medio de una fecha dada.
Calculamos la fecha juliana del dı́a en cuestión (8 de mayo de 2000):
FJ=2 455 324,5. Luego determinamos el valor de T = 0,103477071. Con
ello reemplazamos en las ecuaciones (10.1) y (10.2) para el cálculo de M
y N:
M = 0,1325823312,
N = 0,057609889.
211
10.2. NUTACIÓN
Luego calculamos los valores de αm y δm dados por las ecuaciones
(10.5) y (10.6), con la precaución de haber pasado la ascensión recta a
unidades de grados antes de proceder a reemplazar:
αm = 96,01668728,
δm = −52,69871372.
Estos valores se reemplazan en las ecuaciones (10.3) y (10.4) para
hallar las coordenadas ecuatoriales referidas al equinoccio medio del 8
de mayo de 2010:
α = 96o 2 43,35 = 6h 24m 10,89s ,
10.2.
δ = −52o 42 6,24 .
Nutación
La nutación es un pequeño efecto que se origina también del torque
generado por la atracción gravitacional del Sol, la Luna y los planetas
sobre la figura dinámica de la Tierra. La principal contribución de la
nutación proviene de la Luna. Desde el punto de vista práctico y matemático la precesión y la nutación surgen como un mismo fenómeno en
el estudio de la teorı́a de la rotación de la Tierra perturbada gravitacionalmente por la Luna y el Sol (y en algunos casos muy rigurosos, de
los planetas). Los términos que dan cuenta de la evolución de las variables (por ejemplo longitud eclı́ptica y oblicuidad) que son seculares en el
tiempo se denominan conjuntamente precesión. Los términos periódicos
se llaman conjuntamente nutación.
El fenómeno de nutación fue descubierto por el astrónomo inglés James Bradley. Este astrónomo habı́a notado, ya para el año 1727, que
las declinaciones de ciertas estrellas parecı́an mostrar un movimiento
sutilmente errático. Cinco años después encontró la explicación: el eje
de la Tierra estaba dotado de un movimiento de cabeceo originado por
la atracción de la Luna sobre el ligero exceso de masa que la Tierra posee en el ecuador. El cabeceo del eje terrestre origina un desplazamiento aparente de las estrellas de tal forma que parecen describir elipses
minúsculas alrededor de sus posiciones promedio o medias.
La nutación, como se entiende hoy, es la combinación de numerosas
oscilaciones de corto perı́odo del eje de rotación terrestre, cuyo efecto es
cambiar muy ligeramente la posición del polo norte celeste y por consiguiente del punto vernal tanto en la dirección de longitud eclı́ptica como
212
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
en la latitud eclı́ptica. El término más conocido y de mayor amplitud
(el que descubrió Bradley) es aquel que está ı́ntimamente ligado con la
longitud de los nodos de la órbita lunar. La lı́nea de los nodos lunar, en
su órbita en torno a la Tierra, describe una revolución completa en unos
6800 dı́as (18.6 años). El efecto de nutación es el responsable de que
el PNC verdadero difiera del PNC medio (el que describe la precesión)
tanto en longitud como en latitud eclı́ptica. Para el término principal de
la nutación, la amplitud de la longitud es de 17.2 segundos y la amplitud
en latitud de 9.2 segundos.
Π
PNC (MEDIO)
PNC (VERDADERO)
Figura 10.6: Polo norte celeste medio y polo norte celeste verdadero
Las componentes que conforman en su totalidad el fenómeno de la
nutación (teniendo en cuenta la contribución de la Luna y el Sol solamente) son del orden, en las teorı́as actuales, de unos ciento cincuenta
términos periódicos (ver Kinoshita, 1975).
NOTA: Cuando se especifica el equinoccio para una fecha dada,
al referir la posición de un astro con respecto al punto vernal (y por lo
tanto del ecuador celeste) en un instante dado sólo teniendo en cuenta la
precesión, se está hablando del equinoccio medio. Cuando al equinoccio
medio se le han hecho las correcciones pequeñas de la nutación entonces,
al equinoccio que resulta, se le denomina equinoccio verdadero.
Si el usuario no necesita demasiada precisión para hallar la corrección por nutación (digamos del orden de 1 segundo de arco) es posible
utilizar las siguientes fórmulas aproximadas que tienen la ventaja de
10.2. NUTACIÓN
213
evitar cálculos muy largos (recuérdese la secuencia de 150 términos algebraicos) que sı́ son necesarios cuando se buscan precisiones del orden
de la milésima de segundo de arco.
Se comienza por calcular la contribución por longitud Δψ y la contribución por oblicuidad Δ :
Δψ = −17,2 sen Ω +
+ 0,2 sen 2Ω −
− 1,3 sen (2Ω + 2F − 2D) +
(10.11)
− 0,2 sen (2Ω + 2F ),
Δ = 9,2 cos Ω −
− 0,1 cos Ω +
+ 0,6 cos(2Ω + 2F − 2D) +
(10.12)
+ 0,1 cos(2Ω + 2F ),
donde: Ω es la longitud media del nodo ascendente de la órbita lunar
sobre la eclı́ptica medida desde el equinoccio medio de la fecha; D es la
longitud media de la Luna menos la longitud media del Sol y F es la
longitud media de la Luna menos la longitud media del nodo lunar. Estos ángulos cambian notablemente con el tiempo y sus correspondientes
valores son:
Ω = 125,04 − 1934,13T,
D = 297,85 + 445267,11T,
F
(10.13)
= 93,27 + 483202,0175T,
donde T es la variable tiempo definida en la ecuacion (7.17). Las coordenadas ecuatoriales verdaderas αv y δv (con respecto al equinoccio verdadero de la fecha t) son calculadas en primera aproximación a partir
de las coordenadas ecuatoriales α y δ referidas al equinoccio medio de
la fecha (esto es, corregidas solo por precesión) mediante:
αv = α + Δα,
δv = δ + Δδ,
(10.14)
214
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
donde:
Δα = (cos + sen sen α tan δ)Δψ − cos α tan δΔ ,
Δδ = sen cos αΔψ + sen αΔ ,
siendo
(10.15)
la oblicuidad media de la eclı́ptica dada por:
= 23◦ 26 21,4 − 46,81 T.
(10.16)
El valor verdadero de la oblicuidad en la fecha t se calcula con:
v
= +Δ .
(10.17)
Ejemplo 1
En el ejemplo 1 de la pág. 210 corregir las coordenadas de la estrella
Canopus por nutación, esto es, pasar del equinoccio medio de la fecha
al equinoccio verdadero de la fecha.
Solución
En el ejemplo 1 de la pág. 210 se pasó de coordenadas dadas por el
catálogo al equinoccio medio de la fecha (8 de mayo de 2010). Comenzamos calculando los valores Ω, D y F dados en las ecuaciones (10.13):
Ω = −75,098 = 284,902,
D = 46372,79 = 292,79,
F
= 50093,62 = 53,62,
donde se ha tenido la precaución de pasar todos los ángulos a la primera
circunferencia.
Estos valores se reemplazan en las ecuaciones (10.11) y (10.12):
Δψ = 0,004266,
Δ = 0,000666.
Ası́ mismo, calculamos el valor de la oblicuidad media de la eclı́ptica
por intermedio de (10.16):
= 23o 26 16,56 .
10.3. ABERRACIÓN
215
Con estos valores procedemos a calcular Δα y Δδ dados por (10.15):
Δα = 0,001607,
Δδ = 0,000484.
Finalmente calculamos los valores de α y δ para el equinoccio verdadero de la fecha con ayuda de (10.14):
α = 6h 24m 11,28s ,
10.3.
δ = −52o 42 4,5 .
Aberración
La aberración es el desplazamiento angular aparente de la posición
de un cuerpo celeste de su posición geométrica que es originada o bien
por el movimiento del observador (o del objeto observado), o por la velocidad finita de la luz, o la combinación de ambos efectos.
La luz, o más exactamente la radiación electromagnética, se desplaza
en el vacı́o a una velocidad de casi 300 000 km/s (299 792,458 km/s, para
ser exactos). Aunque se trate de una velocidad muy grande, las enormes
distancias que existen entre los cuerpos celestes son de tal magnitud
que la luz de los planetas tarda minutos e incluso horas en atravesar las
distancias entre ellos y nosotros. Las estrellas cercanas están situadas a
distancias aun más grandes; su luz tarda decenas y hasta centenas de
años en llegar a la Tierra. Ahora bien, los observadores en la superficie
de la Tierra no se encuentran estáticos con respecto a la luz que llega del
universo. Está el movimiento de traslación alrededor del Sol que hace
que la Tierra se desplace a una velocidad promedio de unos 30 km/s.
Además, existe el movimiento de rotación alrededor de su eje.
En la práctica existen varias definiciones de aberración dependiendo
de la clase de movimiento del observador y de la clase de objetos que se
están observando.
10.3.1.
Aberración estelar
La aberración estelar es el desplazamiento angular aparente de la
posición observada de un cuerpo celeste que resulta del movimiento del
observador.
216
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
La aberración estelar anual (ver más adelante) fue explicada correctamente por el astrónomo James Bradley, quien, como se recordará,
descubrió también la nutación. Desde los tiempos de John Flamsteed
se habı́a observado que las estrellas mostraban un desplazamiento alrededor de sus posiciones medias que sin lugar a dudas dependı́a del
desplazamiento de la Tierra alrededor del Sol, esto es, mostraban un
ciclo anual, el cual Flamsteed al igual que Robert Hooke atribuyeron al
paralaje anual. Sin embargo, el astrónomo italiano Jean Dominique Cassini habı́a demostrado que dichos desplazamientos no se podı́an atribuir
al paralaje anual pues lo que se observaba era que las estrellas se desplazaban de sus posiciones medias en la misma dirección en que se movı́a
la Tierra, lo cual es justo lo opuesto si el fenómeno es originado por
paralaje anual. Ası́ estaban las cosas, sin una explicación lógica, cuando
Bradley abordó el problema en 1725. Inicialmente estaba interesado en
poder medir la paralaje de una estrella. Por ello concentró sus esfuerzos
en una estrella relativamente brillante (¿cercana a la Tierra?) llamada
γ Draconis la cual posee una declinación de 51o , casi idéntica a la latitud de Londres (donde hacı́a sus observaciones astronómicas) lo que
significa que dicha estrella pasa muy cerca del cenit de Londres y con
ello se reduce el efecto de la refracción. Bien pronto pudo constatar que,
en efecto, γ Draconis mostraba una variación anual en su declinación,
pero Cassini tenı́a razón: no podı́a ser atribuida a paralaje. Después extendió sus observaciones a otras estrellas y detectó también el mismo
fenómeno. El misterio para Bradley se acentuaba.
Se afirma que Bradley encontró la explicación correcta del fenómeno
cuando navegaba por el rı́o Támesis en un viaje de recreo. Al observar
la bandera del mástil llamó su atención el hecho de que la dirección
en que ondeaba la bandera en el viento se corrı́a con cada ocasión que
el bote cambiaba de curso. Habiendo comentado a los navegantes que
era curioso que el viento cambiase justo en el momento en que el barco modificaba su curso, ellos le replicaron que de ningún modo habı́a
cambio en la dirección del viento y que el movimiento aparente de la
bandera era debido simplemente al cambio de dirección del movimiento
del barco. Bradley entendió entonces que la dirección de la bandera, en
cada instante, estaba determinada por la combinación de la velocidad
del viento y la velocidad del bote y cayó en cuenta que esto era lo que
pasaba con la dirección aparente de las estrellas.
10.3. ABERRACIÓN
217
Figura 10.7: James Bradley (1693-1762)
Lo que Bradley habı́a observado como un corrimiento de las estrellas
en la misma dirección en que se desplaza la Tierra alrededor del Sol era
debido a la combinación de dos efectos: el movimiento de traslación de
la Tierra y la velocidad finita de la luz (de la que tenı́a un valor aproximado debido al trabajo del astrónomo danés Olaüs Römer quien en 1676
midió la velocidad de la luz merced a las variaciones en los tiempos de las
ocultaciones de los satélites de Júpiter). Bradley presentó su descubrimiento a la Royal Society en 1729. El anuncio fue importante por varias
razones: no solo explicaba el misterio del cambio de la posición aparente
de las estrellas sino que por primera vez en la historia de la ciencia se
disponı́a de una demostración real y concluyente de que la Tierra giraba
alrededor del Sol. Además Bradley, con sus finas observaciones, concluı́a
que el paralaje anual de las estrellas, de haberlo, serı́a muy pequeño,
inferior al segundo de arco, con lo que los astrónomos se daban una idea
de lo realmente enorme que eran las distancias existentes entre ellas y el
Sol. Finalmente, con la medición de los desplazamientos de las estrellas
de sus posiciones medias, Bradley pudo realizar un nuevo estimativo de
velocidad de la luz (ver más adelante) y calculó que era de unos 301 000
km, un error de 0.3 % con respecto al valor aceptado hoy en dı́a.
218
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
La aberración estelar se aplica, como su nombre indica, a estrellas
y en general a objetos ubicados a distancias estelares y extragalácticas.
El efecto notable de que la luz haya tardado centenares, miles, e incluso
millones de años en llegar hasta nosotros (las posiciones reales de esos
objetos deben ser distintas de las que observamos ahora) no es tenido en
cuenta en la aberración estelar, ni en ninguno de los tipos de aberración
salvo el de la aberración planetaria.
La aberración estelar está conformada por tres componentes: secular,
anual y diurna.
Aberración secular
Es la componente de la aberración estelar que resulta del movimiento
uniforme y rectilı́neo del sistema solar con respecto al vecindario estelar.
Por lo general esta contribución es considerada despreciable y no se tiene
en cuenta en las correcciones.
Aberración anual
Esta es la aberración “clásica” y de la que tratan extensivamente
la gran mayorı́a de los libros de astronomı́a. Es la componente de la
aberración estelar que resulta del movimiento de la Tierra alrededor del
Sol. Dicho de una manera práctica: la dirección aparente de un astro
es distinta si se observa desde el Sol que si se observa desde un objeto
alrededor de él dotado de cierta velocidad v en torno a él.
Observemos la figura 10.8. La Tierra gira en una órbita aproximadamente elı́ptica alrededor del Sol. Al estar observando una estrella E
desde el Sol la dirección geométrica de la misma está dada por el vector
velocidad p. Pero un observador en la Tierra T, a causa de la velocidad v
alrededor del Sol, verá a la estrella E en la dirección del vector velocidad
p1 , esto es, en el punto E .
Sea c el vector velocidad de la luz que tiene una dirección y magnitud
opuesta a la del vector p. Vectorialmente se deduce la siguiente suma de
velocidades:
p1 = p + v ,
219
10.3. ABERRACIÓN
E’
E
*
POSICION *
APARENTE
POSICION
GEOMETRICA
Δθ
p
p
1
v
θ
T
c
SOL
Figura 10.8: Aberración anual
puesto que de esta última se deduce que: p1 = −c +v , un vector unitario
(p̂1 ) en la dirección de p1 está dado por:
p̂1 =
v − c
.
|v − c|
Ahora bien, c = cĉ, entonces ĉ = −p̂. Por lo tanto, al dividir por c en
el numerador como en el denominador de la última ecuación obtenemos:
p̂1 =
v
c
| vc
+ p̂
+ p̂|
,
(10.18)
o, puesto que el vector p̂ es unitario:
p̂1 = v
c
+ p̂
1 + 2 vc + ( vc )2
.
(10.19)
Llamando Δθ a la diferencia entre la dirección geométrica y aparente
de la estrella y θ al ángulo entre el vector velocidad de la Tierra y
la posición geométrica de la estrella, entonces, al multiplicar por p̂× a
ambos lados y puesto que |p̂× p̂1 | = sen Δθ, |p̂× p̂| = 0, |p̂×v | = v sen θ,
se tiene:
220
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
sen Δθ = v
c
sen θ
1 + 2 vc + ( vc )2
,
y, como v/c es pequeño (la velocidad de la Tierra alrededor del Sol es diez
mil veces más pequeña que la velocidad de la luz), podemos expandir en
serie de Taylor el término del denominador, con lo que:
v
1 v 2
sen 2θ + · · · .
sen θ −
c
2 c
Es claro que el orden de la desviación existente entre la dirección
geométrica y aparente, esto es, la magnitud del fenómeno de aberración, tiene un valor máximo de 29,8/299 792,46 = 0,0000994 radianes,
lo que significa que en unidades de grados (al multiplicar por 180/π)
es de 0,00569 grados = 20,5”. Este valor es conocido como constante de
aberración. El desplazamiento aparente de la estrella ocurre en la misma
dirección en que se mueve la Tierra, por lo que una estrella observada a
través del año describe una elipse aparente en el cielo.
sen Δθ =
Al aparecer la teorı́a especial de la relatividad fue necesario modificar
ligeramente la ecuación (10.18), pues ella exige que la velocidad de la
luz sea la misma en marcos de referencia tanto estacionarios como en
movimiento uniforme y obliga a utilizar las fórmulas de Lorentz. La
corrección que se introduce aquı́ es tan pequeña que solo en casos de
cálculo de rigurosa precisión (milésima del segundo de arco) es necesario
utilizarla.
Aberración diurna
La aberración diurna es la componente de la aberración estelar que
resulta del movimiento diurno del observador alrededor del centro de
la Tierra (ver figura 10.9). En otras palabras, un observador, por estar
ubicado en la superficie de la Tierra, posee cierta velocidad con respecto
al centro de la Tierra, y ello origina un pequeñı́simo desplazamiento de
la posición aparente ya corregida por aberración anual.
El tratamiento para hallar la magnitud de esta clase de aberración
es análogo al realizado para la aberración anual. Pero aquı́ hay que tener
en cuenta que la velocidad de un observador sobre la superficie de un
planeta depende de su latitud geocéntrica. La velocidad es máxima en
el ecuador del planeta y nula cuando el observador está ubicado en sus
10.3. ABERRACIÓN
POSICION
APARENTE
*
221
* POSICION
GEOMETRICA
.
PNT
TIERRA EN ROTACION
Figura 10.9: Aberración diurna
polos. En otros términos, la velocidad de un observador vo a una latitud
geocéntrica φ es:
vo = ve cos φ ,
donde ve es la velocidad de un observador situado en el ecuador terrestre.
La magnitud ve /c es hallada fácilmente. Si la circunferencia terrestre es
del orden de 40 040 km y esta distancia se cubre en 86 164 segundos, es
claro que la velocidad para un observador a latitud cero es 0,46 km/s.
Ello quiere decir que la magnitud de la aberración es, en radianes, de
1,56 × 10−6 , o del orden de 0,32 . Por supuesto que en cálculos de gran
precisión es necesario tener en cuenta esta contribución.
10.3.2.
Aberración planetaria
La aberración planetaria se llama ası́ porque se aplica a los miembros
del sistema solar. Es debida al desplazamiento de los cuerpos celestes
junto con el tiempo que le toma a la luz que reflejan (o emiten en el caso
del Sol) estos objetos en llegar hasta la Tierra.
Sea un objeto P en órbita alrededor del Sol en un tiempo t (ver
figura 10.10). Para el mismo instante t la Tierra se ubica en el punto
T. Pero, debido a la finitud de la velocidad de la luz, en el tiempo
t se está recibiendo, en la Tierra, la luz del cuerpo P cuando este se
222
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
P (t)
LUZ QUE SALE DE P´
EN EL TIEMPO τ
LUZ QUE SALE DEL PLANETA
EN EL TIEMPO t
P’(t- τ)
cτ
LUZ QUE LLEGA A LA TIERRA
EN EL TIEMPO t
T(t)
Figura 10.10: Aberración
encontraba en la posición P’, en un tiempo t−τ , donde τ es el tiempo-luz,
esto es, el tiempo que tarda la luz en ir desde P’ hasta T. Luego, aunque
en el instante de tiempo t el cuerpo de interés se encuentre localizado
en P, lo que ve el observador en T no es el cuerpo ubicado en P (a
menos que la velocidad de la luz fuera infinita) sino la luz que emitió el
cuerpo cuando se ubicaba en el punto P’. Este efecto es necesario tenerlo
en cuenta cuando se está calculando con precisión la posición de un
planeta, cometa o asteroide en el cielo. Como se verá en la sección 13.3,
la distancia de un cuerpo celeste a la Tierra puede calcularse resolviendo
las ecuaciones diferenciales que se estudian en la mecánica celeste. Para
corregir por este efecto en muy buena aproximación se determina el
tiempo que tarda la luz en cubrir la distancia que separa T de P. Ello
exige primero conocer la distancia TP y dividir por la velocidad de la luz
para hallar el tiempo. Luego se repite el cálculo de la posición del objeto
pero para el tiempo t − τ . Esta es tan solo una primera aproximación.
En algunos casos, donde es necesaria una alta precisión, se requiere un
cálculo iterativo.
10.4.
Movimiento en el espacio
Como dijimos las estrellas se van desplazando en el espacio. Nuestro Sol, como es obvio, también lo hace. Es claro que con el tiempo las
estrellas irán cambiando de posición las unas con respecto a las otras.
Sin embargo, este movimiento es tan lento que, comparado con el tiem-
10.4. MOVIMIENTO EN EL ESPACIO
223
po de vida de una persona, es muy poco perceptible por lo que resulta
apreciable solamente a escalas grandes de tiempo.
El movimiento en el espacio de una estrella se puede dividir en dos
movimientos: el movimiento propio, denotado por μ, y la velocidad radial, denotada por vr (ver figura 10.12).
Figura 10.11: Edmond Halley (1656-1742)
El primero en reportar movimientos propios de estrellas fue el célebre astrónomo inglés Edmond Halley en 1718. Halley habı́a medido las
posiciones de varias estrellas y las habı́a comparado con las posiciones
del catálogo de Ptolomeo (siglo II A. D.) y encontró importantes diferencias. Concluyó que ni la precesión ni los errores de observación eran
suficientes como para explicar la diferencia. Entre las estrellas a las que
se les habı́a detectado movimiento propio estaban Sirius, Aldebarán y
Arcturus. Veinte años después Cassini confirmó las observaciones de Halley. Ya para 1760 Tobias Mayer reportaba el movimiento propio de 80
estrellas. Dos décadas después William Herschel calculaba correctamente
la dirección en que se movı́a el sistema solar con respecto a las estrellas
cercanas, esto es, el ápex solar.
224
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
μ(Vt)
Vt
μ
δ
TIERRA
ESTRELLA
*
Vr
μα
BOVEDA
CELESTE
Figura 10.12: Movimiento en el espacio
El movimiento propio es aquel que ocurre perpendicularmente en
la lı́nea de visión del observador, por lo que da cuenta de la velocidad
tangencial (vt ) de la estrella. Se suele expresar en componentes de la ascensión recta (μα cos δ) y de la declinación (μδ ). Es necesario multiplicar
por cos δ la componente del movimiento propio en ascensión recta con
el fin de corregir la escala de esta y ası́ obtener la verdadera distancia
angular pues los cı́rculos horarios (por donde se va midiendo la ascensión recta) se van aproximando a medida que la declinación aumenta y
eventualmente se encuentran en los polos. Las estrellas del vecindario
solar se mueven aparentemente a velocidades tangenciales del orden de
unos 0,5 a 4 segundos de arco por año, aunque hay estrellas que pueden
barrer 7 y hasta 9 segundos de arco anuales. El récord lo tiene la estrella
de Barnard, una pequeña estrella, visible solo por telescopio, que alcanza la sorprendente cifra de 10,3 segundos de arco anuales. Ello significa
que puede barrer el diámetro aparente de la luna llena (30 minutos de
arco) en unos 175 años. Para determinar estas velocidades es necesario realizar fotografı́as de una misma región del cielo y compararlas con
una realizada 40 y hasta 80 años antes. Con ello es posible determinar
el desplazamiento angular de las estrellas que aparecen en dicha placa
fotográfica.
10.5. PARALAJE
225
El movimiento propio μ a partir de sus componentes es:
μ=
(μα cos δ)2 + μ2δ .
Se ha de tener mucho cuidado al consultar los catálogos pues algunos
muestran los movimientos propios en segundos de arco por siglo, y otros
los tienen en segundos de arco por año.
Mientras que para cuantificar el movimiento propio de una estrella se tiene que esperar varias decenas de años, la velocidad radial se
puede obtener a partir de la simple observación contando con un espectrómetro. Con el espectro de una estrella es posible medir el denominado
efecto Doppler, el cual consiste en el cambio de la longitud de onda (o
frecuencia) debido a la velocidad radial (que puede ser de acercamiento
o alejamiento) de la fuente de luz, i. e., la estrella.
10.5.
Paralaje
Se llama paralaje a la diferencia en la dirección aparente de un objeto cuando es visto desde dos lugares diferentes. La magnitud del corrimiento observado depende de la distancia: a menor distancia del objeto,
mayor corrimiento, y viceversa. Por lo tanto, sabiendo la magnitud del
desplazamiento de la posición del objeto con respecto a los objetos del
fondo estelar y sabiendo la distancia entre los puntos desde donde se
realizan las observaciones, es posible, por simple trigonometrı́a, conocer
la distancia al cuerpo observado.
Existen varios tipos de paralaje bien definidos en astronomı́a: el paralaje diurno y el paralaje anual.
10.5.1.
Paralaje diurno
El paralaje diurno es el cambio de dirección aparente de un cuerpo
celeste visto desde dos puntos distintos del planeta Tierra (figura 10.13).
El paralaje diurno es perceptible cuando la distancia entre el astro y la
Tierra no puede considerarse excesivamente grande comparada con el
radio de la Tierra.
226
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
*
*
*
*
*
ET
*
*
PNT
*
ASTRO
TIERRA
*
*
*
*
*
ECUADOR CELESTE
*
BOVEDA CELESTE
Figura 10.13: Paralaje diurno
Es necesario corregir por paralaje diurno las coordenadas de los cuerpos cercanos a la Tierra como el Sol, la Luna y los planetas. Puesto que
las estrellas, aun las más cercanas a la Tierra, están a distancias miles
de veces más lejanas que la distancia existente entre el planeta Plutón
y la Tierra, el paralaje diurno es prácticamente nulo para estrellas.
Por lo general las coordenadas de los cuerpos que integran el sistema
solar dadas en los almanaques astronómicos y náuticos están referidas a
un observador hipotético ubicado en el centro de la Tierra, por lo que se
dice que son geocéntricas. Para observaciones de alta precisión es necesario ubicar la posición del observador en la superficie de la Tierra. Ello
requiere entonces establecer, para el instante de la observación, el vector
posición del observador en la superficie terrestre (ver sección 13.4, pág.
325).
Un tipo especial de paralaje diurno es el denominado paralaje horizontal. Este se define como el cambio de dirección de un cuerpo celeste
cuando uno de los observadores tiene el astro en el cenit y el otro observador lo tiene en su horizonte (ver figura 10.14). Otra manera más
apropiada de definir el paralaje horizontal es como aquel ángulo, medido
en el astro, que subtiende el ecuador terrestre de la Tierra. La Luna es
el cuerpo natural que más registra paralaje horizontal, del orden de los
227
10.5. PARALAJE
57 minutos de arco. El del Sol llega a ser del orden de los 8,7 segundos
de arco.
De la figura 10.14 es claro que:
R
,
(10.20)
d
donde R es el radio ecuatorial de la Tierra y d es la distancia Tierra-astro.
sen P.H. =
En muchos almanaques astronómicos la distancia de los cuerpos celestes del sistema solar se da en paralaje horizontal.
Ejemplo 1
En un instante dado la Luna está situada a 385 699,65 km de distancia del centro de la Tierra. Determinar su paralaje horizontal.
Solución
Lo usual es colocar las distancias en términos del radio terrestre (1
R.T. = 6378.14 km), de tal forma que en (10.20) R = 1. Entonces:
d = 385 699,65/6378,14 = 60,4721 R.T.
Este valor se reemplaza en la ecuación (10.20):
P.H. = sen−1
1
= 0,9475178 = 0o 56 51 .
60,4721
OBSERVADOR CON EL
ASTRO EN EL HORIZONTE
d
R
ASTRO
P.H.
TIERRA
OBSERVADOR CON EL
ASTRO EN EL CENIT
Figura 10.14: Paralaje horizontal
228
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
Ejemplo 2
El paralaje horizontal del Sol en una fecha dada es 8,67 . Determinar
su distancia a la Tierra.
Solución
Al despejar d de la ecuación (10.20) encontramos la distancia en
términos de radios terrestres:
d=
1
= 23 790,63 R.T.
sen 0o 0 8,67
En unidades astronómicas la distancia es igual a:
d=
10.5.2.
23 790,63 × 6378,14
= 1,014 u. a.
149 597 870
Paralaje anual
El paralaje anual es el cambio de dirección aparente de un cuerpo
celeste visto desde dos puntos distintos de la órbita que realiza la Tierra
en torno al Sol (ver figura 10.16). El paralaje anual es perceptible cuando
la distancia entre el astro y el sistema solar no puede considerarse excesivamente grande comparada con la distancia que hay entre la Tierra y
el Sol.
El paralaje anual fue extensivamente buscado por los astrónomos como medio de hallar las distancias entre las estrellas y el Sol y sobre todo
como prueba irrefutable del movimiento de la Tierra en torno del Sol. Ya
habı́amos comentado que Flamsteed, Hooke, Halley, Cassini y Bradley
realizaron en su momento observaciones y mediciones muy detalladas y
en su búsqueda terminaron por hallar otros fenómenos. Quien primero
tuvo éxito en reportar con validez el paralaje anual de una estrella fue
el astrónomo alemán Friedrich Bessel en 1838. Para aquel entonces era
claro que algunas estrellas débiles mostraban movimientos propios apreciables, indicando que estrellas poco luminosas no eran siempre garantı́a
de que estuvieran muy alejadas del Sol3 . Por tal razón Bessel escogió a
3
Hoy se sabe que de las primeras 50 estrellas más cercanas al Sol, 41 son visibles
solo con telescopio.
10.5. PARALAJE
229
Figura 10.15: Friedrich Bessel (1784-1848)
la estrella 61 Cygni (una estrella doble con magnitudes visuales aparentes de 5,2 y 6,0 respectivamente), que para la época era la estrella
que presentaba mayor movimiento propio (5 /año). La lógica indicaba
que si una estrella mostraba un movimiento propio notable era a causa
de su “gran” cercanı́a al Sol. En efecto, a Bessel le tomó 18 meses de
observaciones para detectar un paralaje anual de esta estrella del orden
de 0,3 segundos de arco. A los pocos meses se anunció el descubrimiento
de paralaje en Vega debido a Wilhem Struve y de α Centauri debido a
Thomas Henderson.
El paralaje anual se aplica a las estrellas. Puesto que las distancias
que hay entre ellas y nosotros son tan enormes, el paralaje anual es muy
pequeño, del orden de menos de un segundo de arco. Obtener el paralaje
de una estrella constituye un logro de mucha importancia, pues es la
forma más confiable de conocer la distancia de una estrella a nosotros.
De hecho la única manera de poder afirmar cuál de las estrellas es la
más cercana a nuestro sistema solar es medir el paralaje de todas ellas;
aquella que presente un mayor paralaje anual es la más cercana. Hasta
ahora, de todas las estrellas a las que se les ha medido el paralaje, la
que tiene el valor más grande (0,772”) se llama Próxima del Centauro,
230
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
*
* *
*
*
SOL
π
*
d
*
*
TIERRA
*
*
*
BOVEDA *
CELESTE
Figura 10.16: Paralaje anual
una pequeña estrella visible solo por telescopio. El paralaje anual π se
relaciona con la distancia por medio de la siguiente ecuación (ver figura
10.16):
1
,
(10.21)
d
donde d es la distancia en unidades astronómicas que existe entre la
Tierra y la estrella en cuestión.
sen π =
Como las distancias interestelares son muy grandes es impráctico expresarlas en unidades astronómicas. La unidad que se utiliza es el añoluz, entendida como la distancia que cubre la radiación electromagnética
en un año.
Puesto que la luz viaja a 300 000 km por segundo y en un año de
365.25 dı́as hay 31 557 600 segundos, se deduce que en kilómetros un
año-luz es:
300 000 × 31 557 600 = 9,46 × 1012 km.
De igual forma se deduce que:
1 año-luz = 63 235 u. a.
El concepto de paralaje anual da lugar a una escala de distancia muy
utilizada en astrofı́sica. Imaginemos un cuerpo situado a una distancia
tal de la Tierra cuyo paralaje anual sea exactamente el de un segundo de
arco. Dicha distancia se conoce con el nombre de parsec (de las palabras
10.5. PARALAJE
231
inglesas “parallax” y “second”). A finales de la década de los años ochenta la Agencia Espacial Europea colocó en órbita alrededor de la Tierra
un satélite de nombre Hipparcos cuya tarea fue medir con una precisión
sin precedentes los movimientos estelares de unas 120 000 estrellas. El
Hipparcos logró medir paralajes del orden de los 0,001 segundos de arco.
Esto significa que puede medir con precisión razonable las distancias de
estrellas ubicadas hasta los 3200 años luz (1000 parsecs). Es una distancia notable, pero es tan solo el 6 por ciento del radio estimado de la Vı́a
Láctea.
El parsec equivale a:
1
= 206 265 u. a. = 3,26 años-luz.
sen 0o 0 1
Ejemplo 1
Calcular la distancia (en unidades astronómicas, años-luz y parsecs)
entre el Sol y la estrella Sirius.
Solución
El paralaje anual de varias estrellas se encuentra en el apéndice E,
pág. 435. El de Sirius (A o B) es 0,377 .
Al despejar d de la ecuación (10.21) encontramos la distancia en
términos de unidades astronómicas:
d=
1
= 547 120 u. a.
sen 0o 0 0,377
En años luz la distancia es:
547 120
= 8,65 años-luz,
63 235
y en parsecs la distancia es:
8,65
= 2,65 parsecs.
3,26
232
10.6.
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
Refracción astronómica
La refracción es el fenómeno de cambio de la dirección de un rayo de
luz cuando pasa oblicuamente de un medio a otro en los cuales la velocidad de la luz es distinta (ver figura 10.17). Cuando la luz que proviene de
los cuerpos celestes, y que viene viajando a través del vacı́o, comienza a
penetrar la atmósfera terrestre experimenta ligeros y sucesivos cambios
de dirección debidos a las propiedades fı́sicas sutilmente distintas entre
las capas de aire.
El grado de cambio de dirección depende de las condiciones atmosféricas a lo largo de la lı́nea de visión y de la altura del astro en
cuestión. Esto lo que significa es que la refracción depende, no solo de
la altura (o distancia cenital) del astro sino también de las condiciones
de temperatura y presión existentes en el momento de la observación.
Como resultado de la refracción la altura observada de un cuerpo celeste es más grande que su altura geométrica. O dicho de otra manera: la
refracción tiende a aumentar la altura real de los astros por lo que un
observador termina viendo el astro un poco más alto sobre su horizonte
de lo que realmente está.
POSICION APARENTE *
DE LA ESTRELLA
* POSICION GEOMETRICA
DE LA ESTRELLA
Re
TIERRA
AT
M
OS
FE
RA
Figura 10.17: Refracción astronómica
Para un astro ubicado en el cenit la refracción es nula. En cambio,
la refracción es máxima para un astro ubicado en el horizonte. En el
horizonte un astro sufre una refracción de 34 minutos de arco (mayor
que el diámetro aparente del Sol y la Luna vistos desde la Tierra), por
lo que en cálculos de tiempos de salida y puesta de astros es necesario
tener en cuenta esa diferencia (ver sección 8.2.2).
10.6. REFRACCIÓN ASTRONÓMICA
233
Existen en la literatura diversas ecuaciones propuestas para calcular
la magnitud de la refracción. También existen tablas que permiten calcularla rápidamente. Un ejemplo de una de tales tablas se encuentra en
el apéndice D.
A manera de ejemplo presentamos aquı́ una fórmula que permite
hallar la refracción, denotada por Re , en función de la altura aparente
(u observada) ha (no corregida por refracción), la temperatura T en
grados centı́grados y la presión P en milibares:
0,28P
0,0167o
Re =
.
(10.22)
T + 273 tan(ha + h 7,31
)
+4,4
a
La altura geométrica o verdadera hg está dada entonces por:
hg = ha − Re .
(10.23)
Recuérdese que 1 atmósfera = 76 cm de mercurio = 1,013 × 105
pascales = 1013 milibares.
Ejemplo 1
La altura que se mide de una estrella a nivel del mar (altura aparente)
es h = 56o 45 30 . Determinar la altura real (geométrica) de la estrella
si en el momento de la observación la temperatura era de T = 20 o C.
Solución
Primero utilicemos la fórmula (10.22). Al nivel del mar la presión
es de una atmósfera por lo que P = 1013 milibares. También T = 20o .
Entonces:
Re =
0,28 × 1013
20 + 273
0,0167o
= 0,0105o = 38 .
7,31
o
tan(56 45 30 + 56o 45 30 +4,4 )
Una consulta de la tabla principal del apéndice D permite obtener
para una altura de 57o a 20o centı́grados un valor de 37 , lo que da un
error de un segundo con respecto al valor anterior.
Por lo tanto, la altura geométrica correspondiente a la altura en
cuestión es, de acuerdo con (10.23):
234
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
hg = 56o 45 30 − 38 = 56o 44 52 .
Ejemplo 2
Se hace un cálculo para determinar la altura teórica de una estrella
para un observador ubicado en Bogotá. Dicha altura geométrica en cuestión es 41o 27 32 . Determinar la distancia cenital que se observarı́a de
dicha estrella teniendo en cuenta la refracción atmosférica si al momento
de la observación la temperatura es T = 10 o C.
Solución
Necesitamos saber la presión atmosférica de Bogotá. Tomando como
base la atmósfera estándar norteamericana de 1976 es posible para la
troposfera (alturas inferiores a los 11 000 metros) expresar la presión
de la atmósfera P en términos de la altura sobre el nivel del mar H
mediante la ecuación (ver Lide, 1991, pág. 14-12):
H = 44331,5 − 11880,5P 0,19026 ,
donde H está dada en metros y P en milibares.
De esta ecuación es fácil expresar H en términos de P como:
h
P =e
i
ln(44331,5−H)
−49,31
0,19026
.
(10.24)
Conocemos el valor de la altura de Bogotá sobre el nivel del mar que
se halla en el apéndice C (pág. 429): H = 2620 metros. Reemplazando
este valor en (10.24) obtenemos P = 735 milibares.
Utilizando la fórmula (10.22) tomando ha = hg obtenemos:
Re =
0,28 × 735
5 + 273
0o ,0167
= 0,0137o = 49 .
7,31
o
tan(41 27 32 + 41o 27 32 +4,4 )
Una consulta a la tabla principal del apéndice D permite obtener para
una altura de 42o 30 a 10o centı́grados un valor de 1o 6 . Multiplicando
este valor por el factor de corrección por altura (tabla pequeña de la
página 434) obtenemos: 1 6 × 0,73 = 48 , lo que da un error de un
10.7. DEFLECCIÓN GRAVITACIONAL DE LA LUZ
235
segundo con respecto al valor anterior. La altura aparente del astro es,
de acuerdo con (10.23):
ha = 41o 27 32 + 49 = 41o 28 21 .
La distancia cenital se calcula con ayuda de la fórmula (6.1), pág.
90: z = 48o 31 39 .
10.7.
Deflección gravitacional de la luz
La deflección gravitacional de la radiación electromagnética es un
fenómeno que consiste en el cambio de la dirección de un rayo de luz
a causa del campo gravitacional originado por un cuerpo de masa de
magnitud considerable (ver figura 10.18). En el caso de la observación
de las estrellas desde la Tierra, el Sol, por ser el objeto de mayor masa,
genera un campo gravitacional que cambia la trayectoria de un rayo de
luz (una lı́nea recta) y lo curva ligeramente en dirección hacia el Sol.
El fenómeno fue predicho por Albert Einstein en 1916 en su célebre
teorı́a de la relatividad general y fue por primera vez medido tres años
más tarde con ocasión de un eclipse de Sol4 . Una descripción completa
del fenómeno requiere el dominio del cálculo tensorial, lo cual está más
allá del propósito de esta obra.
La magnitud ΔΦ de la deflección gravitacional puede calcularse con
la siguiente fórmula5 :
2GMJ 1 + cos Φ
ΔΦ =
,
(10.25)
c2 r
1 − cos Φ
donde G es la constante de Cavendish, MJ la masa del Sol, c la velocidad de la luz en el vacı́o, r la distancia del observador al Sol y Φ el
ángulo existente entre la estrella y el centro del Sol.
Puesto que las observaciones se hacen desde la Tierra (al menos por
ahora), el valor de r es la unidad astronómica. Reemplazando los valores
de las constantes (en unidades MKS) en el coeficiente obtenemos:
4
Utilizando la teorı́a newtoniana es posible mostrar que los rayos de luz también
son curvados por una gran masa. En particular, el valor que se calcula de la desviación
de un rayo de luz proveniente de un astro que pasa por todo el borde del Sol es
exactamente la mitad del valor predicho por la teorı́a de la relatividad general.
5
Ver Misner, Thorne y Wheeler, 1973, pág. 1103.
236
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
2GMJ
2 × 6,67 × 10−11 × 1,998 × 1030
=
= 1,97 × 10−8 rad =
c2 r
(300 000 0002 × 1,49 × 1011 )
1,134 × 10−6 grad = 0,00408 .
De la ecuación (10.25) obtenemos la fórmula de deflección gravitacional de una estrella situada a una distancia ángular Φ del centro del
Sol para un observador ubicado en la Tierra:
ΔΦ = 0,00408
POSICION GEOMETRICA
DE LA ESTRELLA
*
*
ΔΦ
1 + cos Φ
.
1 − cos Φ
POSICION APARENTE DE LA ESTRELLA
Φ
SOL
r
TIERRA
Figura 10.18: Deflección gravitacional de la luz
Valores de ΔΦ se encuentran en la tabla 10.1 para varios valores de
Φ.
10.7. DEFLECCIÓN GRAVITACIONAL DE LA LUZ
Φ
0,25o
0,5o
1o
5o
10o
20o
50o
90o
237
ΔΦ
1,866”
0,933”
0,466”
0,093”
0,047”
0,023”
0,009”
0,004”
Tabla 10.1: Deflección gravitacional de la luz. Algunos valores de ΔΦ
Un comentario adicional
Como se vio, las coordenadas de los astros son alteradas sensiblemente por la precesión, llegando a un valor máximo de variación de unos 50
segundos de arco por año. El siguiente fenómeno a tener en cuenta, sobre
todo para ubicar el ecuador verdadero, es la nutación, que puede tener
un efecto de hasta unos 17 segundos de arco. La aberración anual no
se le queda atrás: puede tener un efecto máximo en las coordenadas de
hasta 20 segundos de arco.
Los demás efectos son de magnitud muy pequeña. El movimiento
propio, salvo casos excepcionales, cambia las coordenadas de las estrellas unos pocos segundos de arco por año. El efecto de la aberración
diurna posee una magnitud máxima de 0,32 segundos de arco para un
observador ubicado en el ecuador terrestre y es nulo para un observador
en los polos. El efecto de paralaje anual es inferior al segundo de arco
para absolutamente todas las estrellas. La deflección gravitacional posee
un valor máximo de 1,87 segundos de arco (para una estrella situada
en todo el borde del disco del Sol) pero en la práctica para estrellas
separadas del Sol más de noventa grados el efecto está en la milésima de
segundo. La refracción astronómica es tenida en cuenta principalmente
en las observaciones de las culminaciones de los astros para efectos de
navegación (ver sección 8.5).
238
CAPÍTULO 10. CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Chandrasekhar, S. (1995) Newton’s Principia for the Common Reader,
Clarendon Press, Oxford.
Fabuloso libro que expone en un lenguaje moderno las principales ideas
y descubrimientos que Newton publicó en sus Principia. El capı́tulo 23
contiene una exposición detallada y en un lenguaje relativamente sencillo
sobre la precesión de los equinoccios.
Green, R. (1985) Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge.
Excelente libro de astronomı́a esférica. Aparte de describir claramente
algunos temas de interés actual, contiene las correcciones relativı́sticas
sin entrar de lleno a exponer el formalismo.
Kaula, W. M. (1968) An Introduction to Planetary Physics, John Wiley
& Sons, New York.
Excelente libro de fı́sica planetaria. En su capı́tulo 4 se encuentra una
descripción sencilla del efecto de la Luna sobre la dinámica rotacional de
la Tierra y con un cálculo sencillo se determina el perı́odo de precesión
para la Tierra.
Kinoshita, H. (1975) Theory of the Rotation of the Rigid Earth, Celestial
Mechanics, vol. 15, p. 277.
Artı́culo técnico que describe claramente el proceso para la conformación
y desarrollo de una teorı́a del movimiento de rotación de la Tierra rı́gida.
Incluye el desarrollo de la función perturbadora (de la Luna y el Sol) y
el método de Hori para la solución de las ecuaciones canónicas.
Lide, D. R. (1991) Handbook of Chemistry and Physics, 72 edición, C.R.C.
Press, Boca Ratón.
Tablas de datos de interés fı́sico, matemático, astronómico y quı́mico se
encuentran consignadas en este voluminoso libro.
Meeus, J. (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond,
Virginia.
Referencia obligada para todos aquellos que deseen elaborar sus propios
programas para la determinación de posiciones de astros con las correcciones a las que haya lugar.
Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co., New York.
Un compendio magistral de todo lo que se habı́a hecho en relatividad
general hasta comienzos de los años setenta. La deflección gravitacional
de la luz se trata de varias maneras en el transcurso del texto.
10.7. DEFLECCIÓN GRAVITACIONAL DE LA LUZ
239
North, J. (1995) The Norton History of Astronomy and Cosmology, W.
W. Norton & Company, New York.
Una narración bastante completa y fácil de leer sobre la historia de la
astronomı́a.
Plummer, H. C. (1960) An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, Inc., New York.
El capı́tulo 22 de este excelente libro aborda el problema de la precesión
y la nutación.
Seidelmann, P. K. (1992) Explanatory Supplement to the Astronomical
Almanac, University Science Books, Mill Valley.
En su capı́tulo 3 contiene una exposición muy detallada y actualizada
sobre todos los fenómenos que perturban las coordenadas.
Simon, J. L. et al. (1994) Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elements for the Moon and Planets, Astronomy and
Astrophysics, vol. 282, p. 663.
En este artı́culo se pueden encontrar ecuaciones rigurosas para el cálculo
de la precesión ası́ como ecuaciones para hallar los elementos orbitales
medios de los planetas.
Smart, W. M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres.
Se encuentra en su capı́tulo 20 un tratamiento parcialmente riguroso de
la precesión y la nutación.
The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington.
Las versiones recientes contienen, en términos fácilmente entendibles,
algunas fórmulas rigurosas y aproximadas para el cálculo de la precesión,
nutación, aberración, etc.
Capı́tulo 11
MECÁNICA CELESTE:
UNA INTRODUCCIÓN
Tradicionalmente se entiende por mecánica celeste a aquella rama de
la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos celestes utilizando
las leyes clásicas de la mecánica newtoniana. Las tres leyes de movimiento de Newton ası́ como la ley de atracción gravitacional son utilizadas
para dar cuenta de las propiedades del movimiento de los planetas alrededor del Sol, la Luna alrededor de la Tierra, el de un par binario
alrededor de su centro de masas, etc. La teorı́a newtoniana explica con
mucha exactitud la posición aparente de los cuerpos celestes en el cielo. Se anotó éxitos espectaculares como el de predecir la existencia del
planeta Neptuno (debida a John Adams y Urbano Leverrier a mediados
del siglo XIX) con base en el extraño movimiento observado en la órbita de Urano. De hecho, Julio Garavito (ver página 331) consideraba la
mecánica celeste newtoniana como una ciencia “verdadera” en el sentido
de ser una teorı́a pura e incontrovertible1 .
Pero lo anterior no significa que todo fuera color de rosa con la
mecánica newtoniana. Hay que tener presente que la teorı́a newtoniana
no explica por qué los cuerpos materiales se sienten atraı́dos unos con
respecto a los otros. Esto es, aunque se diga que la gravedad es la fuerza
responsable de que la Luna gire alrededor de nuestro planeta, hay muy
1
Algunas de las ideas de Garavito nos pueden parecer hoy en dı́a ingenuas. Pero
hay que considerar que Garavito vivió un tanto aislado de la comunidad cientı́fica
internacional y en un perı́odo sociocultural caracterizado por la indiferencia a la
cultura y a la ciencia (ver Martı́nez, 1986 y Arias de Greiff, 1993).
240
241
poco que decir sobre qué es en sı́ misma la gravedad. El formalismo
newtoniano es cuantitativo: una ley de atracción que se propone a priori explica satisfactoriamente las trayectorias que describen los cuerpos
celestes. La adopción de dicha ley queda justificada porque funciona.
Detalles significativos como la existencia de un espacio y tiempo absolutos y la acción a distancia de dicha fuerza, incómodos para ciertos
estudiosos inquietos, permanecerı́an eclipsados y olvidados por siglos.
Ya desde la misma época de Leverrier se habı́a encontrado una pequena anomalı́a con la órbita de Mercurio, no explicada por la teorı́a
newtoniana. La explicación en términos de perturbaciones producidas
por posibles cuerpos aún no descubiertos resultó muy poco convincente.
El planeta predicho existente entre Mercurio y el Sol, por más esfuerzos
heroicos de los astrónomos, nunca fue encontrado.
Con la aparición de la teorı́a de la relatividad general, debida a Albert Einstein en 1916, se ha ido reformulando el concepto que se tenı́a
previamente de la mecánica celeste. La forma de considerar la gravedad no es en términos de una fuerza. Einstein explica la gravedad en
términos de geometrı́a. La gravedad no es otra cosa que la curvatura del
espacio-tiempo generada por la materia. Pero la geometrı́a que se introduce aquı́ no es la geometrı́a tradicional que se aprende en el colegio.
Esta geometrı́a, llamada euclidiana, estudia, entre otras cosas, las propiedades del espacio de dos o tres dimensiones. Pero de lo que se trata
aquı́ es de estudiar la curvatura del ente denominado espacio-tiempo. Y
ello exige elaborar una geometrı́a para espacios con más de tres dimensiones. Geometrı́as para espacios de n-dimensiones fueron estudiadas por
matemáticos de la talla de Berhard Riemann a mediados del siglo XIX.
Resulta que con esta nueva geometrı́a la menor distancia entre dos puntos deja de ser una lı́nea recta; en espacios curvos, las distancias mı́nimas
existentes entre dos puntos pueden ser trayectorias curvas, que reciben el
nombre de geodésicas. La materia que conforma al Sol genera una curvatura del espacio-tiempo (un campo que se extiende en principio hasta el
infinito) que obliga a los cuerpos a su alrededor a describir trayectorias
geodésicas. Los planetas no son atraı́dos por el Sol debido a una fuerza
de atracción (como pensaba Newton) sino que, al estar cerca del campo
gravitacional del Sol, esto es, un sector del espacio-tiempo fuertemente curvado, se ven obligados a desplazarse a través de una trayectoria
geodésica cuasicerrada (ver figura 11.1).
242
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
Figura 11.1: Curvatura del espacio-tiempo como explicación de la gravedad
Vemos que lo que ocurre aquı́ es algo como: la materia le dice al
espacio cómo curvarse, y el espacio curvado le dice a la materia cómo
moverse.
Ahora bien, cuantitativamente hablando, la relatividad general explicó el extraño comportamiento en la órbita de Mercurio, el cual, si
bien era de magnitud muy pequeña, no era del todo despreciable. Hasta
mediados del siglo XX la relatividad general fue vista, por los mecánicos
celestes, como una teorı́a que solo era necesario tener en consideración
cuando se hablaba de ligeras correcciones con respecto a la mecánica
newtoniana, tal y como el ligerı́simo corrimiento del perihelio de los
planetas. Para propósitos prácticos, la mecánica newtoniana continuaba
siendo adecuada para describir el movimiento de los planetas y otros
cuerpos del sistema solar.
Los cambios dramáticos sucedidos con el advenimiento de la era de la
exploración del espacio y la invención de relojes muy exactos obligaron a
los especialistas a introducir con todas sus consecuencias el formalismo
de la relatividad general para explicar el movimiento de los cuerpos a
través del sistema solar y de la Luna y los satélites artificiales alrededor
de la Tierra.
Por ello, actualmente podemos definir mecánica celeste como la rama
del saber cientı́fico que estudia el movimiento de los cuerpos celestes aplicando para ello lo que se conoce de las propiedades del espacio-tiempo
y la materia a través de la teorı́a de la relatividad general.
La astrodinámica, a diferencia de la mecánica celeste que se ocupa
de estudiar el movimiento de cuerpos naturales, estudia el movimiento
243
Figura 11.2: Albert Einstein (1879-1955)
de los cuerpos construidos por el hombre con diversidad de propósitos,
que giran alrededor del Sol, planetas, satélites y otros cuerpos naturales,
utilizando para ello la teorı́a de la relatividad general.
Conviene advertir, sin embargo, que son muchos los textos de astrodinámica y mecánica celeste que omiten por completo dentro de su
temática la teorı́a de la relatividad general, aun en sus aspectos más
básicos. Hay dos razones para ello. La primera es que una exposición de
la teorı́a de la relatividad general, aun sin profundizar en los detalles,
requiere el uso de la geometrı́a diferencial o del cálculo tensorial, ramas
de la matemática relativamente complejas asequibles a lectores con una
sólida formación matemática. La otra razón ya se habı́a mencionado: la
teorı́a clásica newtoniana es, para casi todos los sistemas de interés, una
descripción lo suficientemente precisa para satisfacer las necesidades de
la gran mayorı́a de los usuarios. Solo cuando se requieren medidas muy
precisas de cuerpos que se desplazan dentro del sistema solar, o se quiere estudiar el comportamiento dinámico de cuerpos con intensos campos
gravitacionales, como los que se estudian en los pulsares binarios, es necesaria la descripción relativista.
244
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
La teorı́a de la relatividad general, cuando se utiliza en la descripción
del movimiento de cuerpos materiales, es susceptible de “linealizarse”,
lo que significa que se utilizan una serie de aproximaciones tendientes a
simplificar las ecuaciones. De acuerdo con la teorı́a de la relatividad general, la gravedad se transmite como ondas a través del espacio-tiempo a
una velocidad igual a la de la luz, esto es, una velocidad finita (a diferencia de Newton, quien pensaba que era una fuerza de acción instantánea).
Por lo tanto, una forma de tratar de linealizar las ecuaciones es suponer
que muy lejos de las masas el campo gravitacional es tan débil que en la
práctica no es curvo, esto es, la geometrı́a es plana, o también que, si la
velocidad de la luz fuera infinita, la gravitación einsteniana se reducirı́a a
la newtoniana. Una linealización conduce, sin pérdida razonable de exactitud, a una expansión simultánea en pequeños parámetros (por ejemplo
se consideran pequeñas las velocidades de los cuerpos comparadas con la
velocidad de la luz ası́ como la intensidad de campo gravitacional). Tal
expansión del campo débil y movimiento lento da lugar a los siguientes
términos de una serie: 1) un espacio-tiempo vacı́o al “orden cero”; 2) el
tratamiento newtoniano del sistema solar al “primer orden”; 3) correcciones pos-newtonianas del tratamiento newtoniano al “segundo orden”
y ası́ sucesivamente. Por lo tanto, el “primer orden” corresponde a la
teorı́a clásica newtoniana, por lo que esta teorı́a está contenida en las
ecuaciones de la teorı́a de la relatividad general de Einstein.
11.1.
Estado de las cosas en la antigüedad
Las observaciones del cielo realizadas por hábiles astrónomos antiguos habı́an logrado descubrir que existı́an cuerpos celestes que, a diferencia de las estrellas fijas, se desplazaban por el cielo formando extrañas
trayectorias (ver figura 5.4, pág. 78). Tenemos el registro histórico de que
filósofos y geómetras griegos intentaron describir el movimiento de los
planetas, la Luna y el Sol en términos de trayectorias circulares con
movimiento uniforme. La labor probó no ser sencilla: se necesitó en algunos casos de la introducción de combinaciones de circunferencias para
explicar las retrogradaciones. El asunto se complicaba por la hipótesis
fundamental del modelo: la Tierra era el centro del universo con todos
los demás cuerpos, incluyendo el Sol, girando alrededor de ella. El modelo de Ptolomeo reunı́a todas estas caracterı́sticas; fue el paradigma de
la astronomı́a por casi mil quinientos años. Los grandes navegantes del
Renacimiento calculaban sus posiciones sobre la Tierra con base en las
posiciones de los astros calculadas con el modelo ptolemaico.
11.1. ESTADO DE LAS COSAS EN LA ANTIGÜEDAD
245
Figura 11.3: Nicolás Copérnico (1473-1543)
Nicolás Copérnico fue un monje polaco que publicó un libro de astronomı́a en 1542 (unos cinco años después de la fundación de Bogotá).
Esta obra, llamada Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes, volvı́a
a poner sobre el tapete una idea que ya habı́a sido propuesta por un
astrónomo griego de nombre Aristarco en el siglo IV a. C. La idea era ni
más ni menos el heliocentrismo, esto es, todos los planetas (incluyendo
la Tierra) giran en torno al Sol en órbitas circulares. La Luna es el único
cuerpo que gira alrededor de la Tierra, pero el movimiento diurno se explica en términos de la rotación de nuestro planeta. La idea no cuajó en
el espı́ritu griego y permaneció cuasi olvidada y referenciada como una
de las tantas ideas extravagantes propuestas por los filósofos antiguos. A
Copérnico no le sonó tan extravagante y la pulió y adornó de tal forma
que le dio coherencia. Sin embargo, esta idea encontró oposición (más
bien indiferencia) de la iglesia católica, que sostenı́a que tan ridı́cula idea
no encajaba con lo que se afirmaba en las santas escrituras. Aún sesenta
años después de la muerte de Copérnico el astrónomo italiano Galileo
Galilei tenı́a serios confictos con los dignatarios eclesiásticos por defender el modelo copernicano. No ayudó tampoco que el libro escrito por
Copérnico fuera de ardua lectura, pero esto fue compensado por la excelente divulgación de un resoluto discı́pulo de Copérnico llamado Georg
Rético. Sin embargo, la idea copernicana solo vendrı́a a tornarse tema
246
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
común de la actividad astronómica en los tiempos de Johannes Kepler,
casi cien años después de la muerte de Copérnico.
11.2.
Kepler y sus leyes
Johannes Kepler fue un astrónomo y matemático alemán que estaba
convencido de la validez de la teorı́a de Copérnico. Interesado en encontrar una relación geométrica entre las distancias de los planetas al Sol
que le permitiera calcular con suma precisión la posición de los astros
en el cielo, comenzó a buscar el modelo correcto del sistema solar2 . Kepler era consciente de que para emprender dicha tarea necesitaba de los
mejores y más voluminosos datos de los que pudiera disponer.
Figura 11.4: Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630)
Para fortuna de Kepler existı́a un astrónomo danés llamado Tycho
Brahe, cuyo ojo de águila (los observatorios astronómicos en aquella
época no contaban con telescopios, pues estos fueron utilizados por los
astrónomos a partir del año 1609), dedicación, disciplina y solvencia
económica le habı́an permitido reunir, en el transcurso de muchos años,
2
Kepler no solo descolló como astrónomo. También fue un matemático notable.
Fue el primero en adoptar los logaritmos (recién descubiertos por Neper y Briggs)
para el cómputo astronómico, práctica que se tornarı́a en costumbre en los siguientes
350 años. Sus trabajos sobre las cónicas fueron sobresalientes; de hecho, la palabra
“foco” fue introducida por Kepler.
11.2. KEPLER Y SUS LEYES
247
el mejor cúmulo de observaciones de los planetas con una precisión nunca antes alcanzada. Aunque ambos astrónomos trabajaron juntos por un
perı́odo muy breve a causa de la sorpresiva muerte de Brahe, Kepler dispuso, tras algunos inconvenientes, del enorme tesoro que constituı́an las
observaciones. Y comenzó a trabajar con ahı́nco. Transcurrieron varios
años en los cuales se vio obligado a rechazar uno tras otro los modelos que él creı́a eran, en cada caso, la forma correcta del sistema solar.
Tras una tarea matemática monumental, logró descubrir tres relaciones
matemáticas que cumplı́an todos los planetas sin excepción y cuya aplicación permitió por primera vez a los astrónomos explicar con asombrosa
precisión el aparentemente complicado movimiento planetario. Estas relaciones matemáticas, que con el tiempo llegaron a convertirse en las
“tres leyes de Kepler”, constituyen el mejor exponente de la genialidad
y persistencia de los hombres de ciencia a principios del siglo XVII.
Las tres leyes de Kepler son:
Primera ley: Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo
órbitas elı́pticas (no circulares). El Sol ocupa uno de los focos de dicha
elipse.
Segunda ley: Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales.
Tercera ley: Los cuadrados de los perı́odos de traslación (tiempo
que le toma a un planeta dar una vuelta completa alrededor del Sol)
son proporcionales al cubo de las distancias medias existentes entre los
planetas y el Sol.
Dada la importancia que tienen estas leyes en el estudio de la astronomı́a, profundizaremos un poco más en cada una de ellas.
11.2.1.
La elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen la siguiente
relación:
P F + P F = constante,
donde P es cualquier punto de la elipse y F y F son los llamados focos
de la elipse.
248
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
E
D
P
. C. F.
F’
D´
2b
E´
2a
Figura 11.5: La elipse
La distancia DD es llamada eje mayor de la elipse con lo que
CD = CD = DD /2 es llamado el semieje mayor de la elipse denotado con la letra a.
De idéntica forma llamamos EE eje menor de la elipse; CE = CE =
EE /2 es llamado el semieje menor de la elipse denotado con la letra b.
De la definición de la elipse se deduce entonces que:
P F + P F = 2a,
y obviamente
EF = EF = E F = E F = a.
Llámese e a la excentricidad de la elipse definida como:
CF
CF CF
=
=
.
CD
CD
a
Es claro que cuando e = 0 (los focos se confunden con el centro C)
la elipse se convierte en una circunferencia.
e=
Es fácil deducir, utilizando el teorema de Pitágoras, que:
b = a (1 − e2 ).
(11.1)
249
11.2. KEPLER Y SUS LEYES
Ahora bien, estamos interesados en encontrar una expresión matemática que nos permita describir una elipse en el plano. La ecuación
de una circunferencia en coordenadas cartesianas con centro en el origen
y de radio a es:
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
a
Análogamente, se puede demostrar que la ecuación de una elipse en
coordenadas cartesianas con centro en el origen y eje mayor ubicado
sobre el eje de las x es (ver figura 11.6):
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
(11.2)
y
b
a
x
Figura 11.6: Un sistema de coordenadas cartesiano con origen en la circunferencia
de radio a y elipse de semieje mayor a y semieje menor b
Tradicionalmente, el estudio del movimiento de los planetas se hace
teniendo como punto de referencia el centro del Sol. Puesto que la primera ley de Kepler nos dice que el Sol no está ubicado en el centro de
la elipse C sino en F (o F ), entonces lo adecuado es expresar la ecuación anterior con respecto a uno de los focos, digamos F . Esto se hace
sencillamente realizando una traslación de coordenadas de C a F sobre
el eje x. Puesto que CF = ae, se tendrá que la ecuación de una elipse
con origen en F tiene la forma:
250
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
(x + ae)2 y 2
+ 2 = 1.
(11.3)
a2
b
Sin embargo, este tipo de ecuación en coordenadas cartesianas no es
muy utilizado en astronomı́a, pero sı́ lo es representar las ecuaciones en
coordenadas esféricas o polares.
Para encontrar la ecuación de la elipse en coordenadas polares con
origen en uno de los focos, multiplicamos la última ecuación por a2 (1 −
e2 ), esto es, por b2 , y desarrollando algunos términos se obtiene:
(x2 + 2aex + a2 e2 )(1 − e2 ) + y 2 = a2 − a2 e2 ,
esto es,
x2 + 2aex − x2 e2 − 2ae3 x + y 2 = a2 − 2a2 e2 + a2 e4 ,
que al reunir términos semejantes y ordenar da
x2 + y 2 = a2 (1 − e2 )2 − 2aex(1 − e2 ) + x2 e2 .
Teniendo en cuenta la transformación entre las coordenadas polares
(r, θ) y las coordenadas cartesianas (x, y):
y
r
θ
x
F
LINEA DE LAS
APSIDES
Figura 11.7: Relación entre las coordenadas cartesianas y las polares
x = r cos θ,
y = r sen θ,
tenemos:
r 2 = a(1 − e2 ) − re cos θ
2
,
(11.4)
11.2. KEPLER Y SUS LEYES
251
que al tomar la raı́z cuadrada y factorar r se llega a:
r=
a(1 − e2 )
.
1 + e cos θ
(11.5)
En el movimiento planetario r es llamado radio vector (distancia entre el centro del Sol y el centro del planeta) y θ es llamada anomalı́a
verdadera. La ecuación (11.5) es la ecuación de una elipse en coordenadas polares con origen en el foco F .
Nótese que cuando e = 0 el radio vector es igual a la constante a y
en tal caso tenemos una circunferencia. De igual forma, se puede deducir
que:
θ = 0o =⇒ rmin = q = a(1 − e), planeta en perihelio,
θ = 180o =⇒ rmax = Q = a(1 + e), planeta en afelio,
siendo el perihelio y el afelio la menor (q) y la mayor (Q) distancias,
respectivamente, entre el planeta y el Sol. La lı́nea que une el centro de
la elipse con ambos focos y sobre la cual están ubicados los puntos extremos (perihelio y afelio) se conoce con el nombre de lı́nea de las ápsides.
De lo anterior se deduce que la distancia promedio existente entre
el planeta y el Sol, que llamaremos distancia media, rmed , es igual al
semieje mayor a:
rmed =
q+Q
a(1 − e) + a(1 + e)
=
= a.
2
2
En el sistema solar las distancias medias de los planetas al Sol se
expresan en términos de la llamada Unidad Astronómica (u. a.) que es
la distancia media existente entre la Tierra y el Sol cuyo valor es:
1 u. a. = 149 597 870 km.
NOTA: Es frecuente encontrar en la literatura la ecuación (11.5)
escrita como:
r=
p
,
1 + e cos θ
252
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
donde p = a(1 − e2 ) se llama el semilatus rectum y es el valor que
adopta el radio vector cuando la anomalı́a verdadera es igual a los valores
θ = 90o y 270o .
b
p
θ=90
a
Figura 11.8: El semilatus rectum p, el semieje menor b y el semieje mayor a
Ejercicio 1
Calcular la distancia entre Júpiter y el Sol en el instante para el cual
θ = 30o .
Solución
De la tabla B.3 del apéndice B extraemos los valores de a y e para
Júpiter: a = 5,20442 u. a. y e = 0,04887. Entonces:
r=
11.2.2.
5,20442 × (1 − 0,048872 )
= 4,98117 u. a.
1 + 0,04887 × cos(30)
Áreas y ángulos
Es claro que la segunda ley de Kepler es superflua y obvia en el caso
de que los planetas se desplazaran en órbitas circulares con movimiento
uniforme. La segunda ley de Kepler pone de manifiesto que aun cuando
la órbita de los planetas no es circular, los planetas insisten en desplazarse barriendo áreas iguales en tiempos iguales.
La forma matemática de expresar la segunda ley de Kepler es:
253
11.2. KEPLER Y SUS LEYES
A ∝ t,
donde A es el área que barre un planeta en su órbita y t es el tiempo.
Al introducir una constante de proporcionalidad K, tenemos:
A = Kt.
(11.6)
Esta ecuación implica que si t2 − t1 = t4 − t3 entonces se ha de cumplir A1 = A2 (ver figura 11.9).
Como vemos, la relación entre el área A y el tiempo t es supremamente sencilla. Sin embargo, en la práctica los astrónomos no miden áreas
sino ángulos. Y aquı́ el asunto se pone complicado, pues la consecuencia
de la segunda ley es que el planeta no se desplaza uniformemente en
su trayectoria, puesto que para cubrir áreas iguales en tiempos iguales
el planeta debe acelerar su movimiento cerca del perihelio y desacelerar
cerca del afelio. Por lo tanto, la anomalı́a verdadera θ no es función lineal
del tiempo, con lo que encontrar el valor de θ para cualquier tiempo t
no es tarea sencilla.
t2
t3
A1
A2
t4
t1
Figura 11.9: La segunda ley de Kepler
11.2.3.
Perı́odos y distancias
La forma matemática de expresar la tercera ley de Kepler es:
T 2 ∝ a3 ,
o introduciendo una constante de proporcionalidad K1 :
254
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
T 2 = K1 a3 .
Una forma cualitativa y burda de expresar la tercera ley de Kepler
es que entre más cerca del Sol se encuentre el planeta, más rápido se
desplaza y por lo tanto invierte menor tiempo en dar una revolución
completa. Como ejemplos considérese a Mercurio y Plutón. El primero
está situado a 0.387 u.a. del Sol gastando sólo 88 dı́as terrestres en dar
una revolución completa, mientras que Plutón, ubicado a una distancia
media del Sol de 39.5 u.a., invierte 248.2 años terrestres (90 680 dı́as) en
dar una vuelta completa. Es claro que:
K1 =
(88)2
(90680)2
=
(0,387)3
(39,5)3
133 500
dias 2
.
u.a. 3
Tenemos pues a nuestra disposición una valiosa relación matemática
que nos permite calcular a qué distancia se encuentra un objeto del
Sol si conocemos de algún modo el perı́odo de traslación de un planeta
alrededor del Sol.
11.3.
El formalismo newtoniano
Isaac Newton es considerado el padre de la ciencia moderna. Y no
es para menos. Descubrió las leyes del movimiento de los cuerpos materiales, base de la mecánica y la dinámica; descubrió la ley de atracción gravitacional explicando el movimiento de los cuerpos celestes en
términos de fı́sica; descubrió el cálculo diferencial e integral (junto con
Gottfried Leibniz); introdujo la teorı́a corpuscular de la luz; inventó el
telescopio reflector, etcétera. Como cabe suponer, aquı́ hablaremos solo
de los descubrimientos de Newton relacionados con el movimiento de los
cuerpos celestes.
En un libro llamado Los principios matemáticos de la filosofı́a natural publicado en 1687, Newton reveló al mundo muchos de sus descubrimientos, particularmente aquellos relacionados con el movimiento de
los planetas alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra.
Las leyes de movimiento de Newton son:
1) Ley de la inercia: todo cuerpo tiende a permanecer en su estado
de reposo o de movimiento rectilı́neo uniforme a menos que una fuerza
externa actúe sobre él.
11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO
255
Figura 11.10: Isaac Newton (1642-1727)
En nuestra vida diaria, viviendo en la superficie de un planeta dotado
de atmósfera y por lo tanto rebosante de todo tipo de fuerzas resistivas,
la ley de la inercia nos parece contradictoria, pues observamos que un
objeto al que animamos de una fuerza determinada —digamos un balón
de fútbol al que le damos un puntapié—, al poco tiempo termina por
detenerse, conduciéndonos a pensar que para mantener un objeto en movimiento es preciso estarle comunicando una fuerza de forma continua.
Al tener en cuenta las fuerzas que crean fricción explicamos la aparente
contradicción.
Implı́citamente en la primera ley está la definición de que es necesario
introducir un sistema de coordenadas al cual referir el movimiento del
cuerpo (o cuerpos) que estamos interesados en estudiar. Dichos sistemas
de coordenadas deben ser precisamente aquellos donde al no existir fuerzas los objetos están en su estado natural: en reposo o en movimiento
rectilı́neo uniforme. Por tal razón estos sistemas se llaman inerciales. En
la práctica es difı́cil encontrar en la naturaleza sistemas perfectamente
inerciales, pues lo usual es definir un sistema ubicado en un determinado
cuerpo, digamos el centro de un planeta, o su superficie, y ocurre que
estos se desplazan en el espacio de manera no uniforme. Sin embargo,
256
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
en primera aproximación, es conveniente suponer que estos sistemas son
inerciales para ası́ poder aplicar sin restricciones las leyes de Newton. El
sistema inercial más adecuado para estudiar el movimiento de los cuerpos celestes es aquel que toma como referencia a las estrellas “fijas”.
2) Ley de la fuerza: la fuerza F1x que actúa sobre un cuerpo de masa
m1 debido a la presencia de la interacción x (que origina dicha fuerza)
es igual a la derivada temporal del momento lineal p:
d
p
d
F1x =
(11.7)
= (m1v ),
dt
dt
siendo el momento lineal igual al producto de la masa m1 por la velocidad v medida con respecto a un sistema de referencia inercial dado.
Existen varios tipos de “interacciones” que suelen aparecer en mecánica
celeste: la presencia de otro o más cuerpos materiales (con lo que la interacción es la fuerza de gravedad), presencia de un fluido (que origina
la fuerza de resistencia y sustentación, común en los satélites de muy
baja altura), etc.
En casi todos los sistemas de interés (descartando el caso del movimiento de un cohete) la masa del cuerpo m1 permanece constante. Por
ello, es frecuente encontrar como expresión matemática de la segunda
ley de Newton a:
dv
d2r
F1x = m1
(11.8)
= m1 2 ,
dt
dt
donde r es el vector posición del cuerpo m1 con respecto al origen de un
sistema de referencia inercial.
3) Ley de la acción y reacción: para toda fuerza F1x que se ejerce
sobre un cuerpo de masa m1 , existe una fuerza Fx1 que ejerce el cuerpo
de masa m1 sobre el responsable de la interacción x que es de igual
magnitud pero de sentido opuesto a la de F1x . Es claro que: F1x = −Fx1 .
11.3.1.
Ley de atracción newtoniana
La interacción entre dos partı́culas materiales (o que poseen masa)
origina una fuerza de atracción entre ambas que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que las separa.
257
11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO
De acuerdo con lo anterior, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo
de masa m2 debido a la presencia del cuerpo de masa m1 , representada
por F21 , está dada por:
Gm1 m2
F21 = −
r̂,
(11.9)
r2
donde r̂ es un vector unitario en la dirección del vector posición r que va
desde el cuerpo de masa m1 al cuerpo de masa m2 , cuya magnitud es la
distancia r (ver figura 11.11). El signo negativo es necesario para indicar
que la fuerza que actúa sobre m2 (debido a m1 ) está en la dirección
contraria a la del vector r̂ (esto es, la fuerza es de atracción).
r
r
m
2
m1
Figura 11.11: Dos masas sometidas a la atracción de tipo newtoniano
La constante G es llamada constante universal de la gravitación,
llamada también constante de Cavendish, en honor del fı́sico y quı́mico
Henry Cavendish, de nacionalidad inglesa (aunque en realidad nació en
Niza, Francia), de quien se dice que fue el primer cientı́fico en realizar
experimentos para determinar el valor de G. De acuerdo con las más
recientes medidas, el valor de la constante de Cavendish, en unidades
MKS, es el siguiente:
G = 6,67259× 10−11 m3 s−2 kg−1 .
De la misma manera, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa
m1 debido a la presencia del cuerpo de masa m2 , representada por F12 ,
está dada por:
Gm1 m2
F12 =
r̂,
r2
(11.10)
12 como cabe esperar de la tercera ley de Newton.
nótese que F21 = −F
La ecuación (11.9) se suele escribir corrientemente en términos del
radio vector r. Puesto que r = rr̂, se deduce inmediatamente que:
258
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
Gm1 m2
F21 = −
r.
r3
11.3.2.
(11.11)
La función potencial
La ley de atracción gravitacional, tal y como se acabó de describir, es
aplicable a aquellos cuerpos materiales que son considerados “partı́culas”, esto es, cuerpos cuya masa está concentrada en un punto. Pero los
objetos reales y, con mayor razón, los cuerpos celestes están muy lejos
de considerarse como objetos puntuales. Sin embargo, el mismo Newton
demostró que cuerpos materiales de dimensiones gigantescas producen
una fuerza gravitacional equivalente a la que producirı́an si toda su masa estuviese concentrada en su centro, siempre y cuando cumplieran con
dos requisitos: que fueran completamente esféricos (por completamente
queremos decir rigurosamente) y que la distribución de masa en su interior fuera completamente uniforme (exentos de concentraciones de masa
en algunos sitios) o, cuanto menos, que la densidad del cuerpo sea solo
función de la distancia al centro. En principio el Sol, los planetas y un
gran número de satélites naturales pueden considerarse como cuerpos
que cumplen con estos requisitos pero no completamente. La mayorı́a
de los planetas poseen radios ligeramente mayores en el ecuador que
en los polos. La Luna posee en su interior sectores cuya densidad es
anormalmente mayor que en el resto del satélite. Por ello es que, para
explicar el movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra
(cuyo achatamiento en los polos destruye la esfericidad del planeta), no
basta con aplicar la simple ley de atracción gravitacional. El astrónomo
se ve obligado a utilizar “correcciones” a dicha ley de atracción.
Para un cuerpo esférico perfecto de masa m1 definimos la función
potencial gravitacional V ejercida sobre un cuerpo de masa m2 como
(nótese que no interesa en esta descripción la forma del cuerpo de masa
m2 , pues, como se verá más adelante, haremos m1 >> m2 ):
Gm1 m2
,
(11.12)
r
donde es claro que V solamente depende de la distancia radial r existente
entre ambos cuerpos. Definido el potencial de esta forma, la fuerza de
atracción gravitacional ejercida sobre el cuerpo de masa m2 debido al
cuerpo m1 puede escribirse como:
V =−
259
11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO
∂V
r̂.
(11.13)
F21 = −
∂r
Cuando el cuerpo de masa m1 es real, esto es, un objeto achatado
en los polos (como la Tierra y los planetas del sistema solar) o con una
forma bastante apartada de la de una esfera, tal como la que presenta un
tı́pico asteroide o un cometa (ver figura 11.12), el potencial gravitacional
deja de ser una función que solo depende de r; se convierte en una función
extraordinariamente complicada y se hace necesaria la dependencia de
V en variables angulares. Es posible demostrar que la función potencial
gravitacional puede escribirse de la siguiente forma:
V
=
+
n n
∞ R
Gm1 m2 −
Pnm( sen φ) (Cnm cos mλ +
1+
r
r
n=1 m=0
Snm sen mλ) ,
(11.14)
donde R es el radio ecuatorial del cuerpo de masa m1 , φ y λ los ángulos
de latitud y longitud con respecto a un ecuador y meridiano de referencia
dados, Pnm( sen φ) son las funciones asociadas de Legendre de primera especie y Cnm y Snm coeficientes adimensionales exclusivos de cada cuerpo
(que hay que medir experimentalmente) llamados coeficientes armónicos.
A
B
C
Figura 11.12: A: cuerpo esférico perfecto, B: planeta achatado, C: forma de un
asteroide o cometa
El potencial (11.14) se ve reducido al potencial sencillo (11.12), por
más amorfo que sea el objeto de masa m1 , cuando la distancia r a la que
está situado el objeto de masa m2 es r >> R, esto es, Rr 0. Además,
los coeficientes armónicos son números que, en el caso de los cuerpos
con algo de simetrı́a esférica, poseen valores muy bajos, del orden de
un milésimo o centésimo a lo sumo. Es por ello que al estudiar el movimiento de los planetas alrededor del Sol el potencial que se adopta es
260
CAPÍTULO 11. MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN
la expresión (11.12), pues los planetas ocupan órbitas cuya distancia r
es muchas veces el valor del radio del Sol (en el caso de Mercurio, el
planeta más cercano al Sol, se tiene Rr 0,01). Pero en el caso de satélites artificiales alrededor de la Tierra, especı́ficamente aquellos que están
situados en órbitas bajas (de 300 a 1000 km de altura sobre la superficie terrestre), la relación Rr es cercana a uno (0,95 a 0,86), por lo que
es necesario utilizar los términos más significativos del potencial (11.14).
Se discutirá más acerca de este tópico en la sección 14.4.2.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Arias de Greiff, J. (1993) La astronomı́a en Colombia, Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fı́sicas y Naturales, colección Enrique
Pérez-Arbeláez, No. 8, Santafé de Bogotá.
Este libro contiene una exposición erudita del desarrollo histórico de la
astronomı́a en nuestro paı́s desde los tiempos precolombinos hasta comienzos de la década de los noventa.
Karttunen, H. et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag,
Heidelberg.
En su capı́tulo 7 contiene una excelente y concisa exposición de mecánica
celeste con aplicaciones elementales a algunos sistemas astrofı́sicos.
Koestler, A. (1963) Los sonámbulos, Editorial Universitaria de Buenos
Aires, Buenos Aires.
Libro de obligada lectura si uno está determinado a conocer la historia
de la astronomı́a con énfasis en las vidas de Copérnico, Brahe, Kepler,
Galilei y Newton.
Martı́nez, R. (1986) El pensamiento fı́sico y epistemológico de Garavito,
Naturaleza, educación y ciencia, No. 4, p. 15.
El autor realiza una entrevista imaginaria a Julio Garavito con base en
multitud de escritos sobre epistemologı́a y otras áreas del pensamiento
que dejó este célebre hombre de ciencia criollo.
Peterson, I. (1993) Chaos in the Solar System W. H. Freeman and Co.,
New York.
Excelente narración de la historia de la mecánica celeste con énfasis en
las actuales investigaciones sobre estabilidad y caos.
Roy, A., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam
Hilger, Bristol.
Este excelente libro de astronomı́a fundamental contiene, en su capı́tulo 12, una descripción bien lograda de los fundamentos de la mecánica
celeste.
11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO
261
Verontsov-Veliamı́nov, B. A. (1979) Problemas y ejercicios prácticos de
astronomı́a, Mir, Moscú.
El capı́tulo 2 expone no sólo una descripción histórica de los modelos geocentristas y heliocentristas sino también los fundamentos de la mecánica
newtoniana.
http://www.astronomynotes.com/gravappl/s1.htm
Contiene una descripción muy pedagógica sobre las leyes de movimiento
de Newton y la ley de atracción gravitacional.
Capı́tulo 12
EL PROBLEMA DE LOS
DOS CUERPOS
El problema de los dos cuerpos es el tema fundamental en el estudio
de la mecánica celeste. El problema es: dadas dos partı́culas (o cuerpos
perfectamente esféricos con distribución de densidad uniforme en su interior o también cuya densidad sea solo función de la distancia) de masas
m1 y m2 completamente aisladas de las demás masas que conforman el
universo, encontrar el estado dinámico de ambos cuerpos con respecto a
un sistema inercial dado cuando la única fuerza que actúa entre ellas es
la de la atracción gravitacional.
Por “aisladas de las demás masas que conforman el universo” entendemos que las otras masas del universo están a distancias tan extraordinariamente grandes (comparadas con la distancia r que existe entre
m1 y m2 ) que en la práctica es como si se encontraran en el infinito, o
que, de existir algunos cuerpos cerca de m1 y m2 , dichos cuerpos poseen
masas tan pequeñitas, comparadas con m1 y m2 , que la fuerza gravitacional que ejercen sobre estas es completamente despreciable.
En el problema de los dos cuerpos solo se considera la fuerza de
atracción newtoniana, lo que significa que no existen fuerzas externas o,
si existen, son de magnitud tan pequeña que se consideran insignificantes. Las fuerzas externas pueden ser de distintos tipos: fuerzas electromagnéticas (campos eléctricos y magnéticos), de resistencia o sustentación (cuando m1 y m2 están en un medio fluido), de propulsión (cuando
uno de los cuerpos o ambos están eyectando masa), de repulsión (como
presión de radiación originada por uno de los cuerpos o ambos), etc.
262
263
Por último, ¿qué queremos decir con encontrar el estado dinámico de
un sistema integrado por dos o más partı́culas materiales? Ello significa:
1. Hallar las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de
las partı́culas con respecto a un sistema inercial dado. Esto, en mecánica
celeste clásica, es supremamente sencillo de realizar, incluso si se tienen
tres o más partı́culas materiales. Es tan sencillo que en muchas referencias se da por descontado que ello no constituye un problema.
2. Habiendo hallado las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema, dar respuesta, si es posible, a las siguientes preguntas: ¿Qué cantidades se conservan (o no se conservan)? ¿Qué tipo de
trayectorias describen las partı́culas en el espacio? ¿Bajo qué situaciones
se preservan las simetrı́as que pudieran existir? Las respuestas a estas
preguntas exigen resolver una o más de las ecuaciones diferenciales. Lo
ideal, por supuesto, es resolverlas todas, pues cuanto más ecuaciones diferenciales se resuelvan, más propiedades del movimiento se descubren.
Pero esto, como veremos, no siempre es posible.
3. Con las cantidades conservadas, esto es, con las constantes que resultan de integrar las ecuaciones diferenciales (cuyo valor se determina
si se conocen los vectores posición y velocidad de todas las partı́culas
en un instante cualquiera), hallar el vector posición y velocidad para
cualquier tiempo que se desee. En un caso ası́ se dice que el problema es
completamente integrable.
Sean dos partı́culas materiales de masas m1 y m2 cuyos vectores de
posición con respecto a un sistema de coordenadas inercial con origen
en cualquier punto arbitrario del espacio O son r1 y r2 respectivamente,
separadas entre sı́ por una distancia r (r = |r| = |r2 − r1 |), donde r es
el vector de posición de m2 con respecto a m1 .
La fuerza que se ejerce sobre la partı́cula de masa m2 debido a la
existencia de m1 es (ver ecuación 11.11):
Gm1 m2
F21 = −
(r2 − r1 ) .
r3
(12.1)
Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre la partı́cula de masa m1
debido a la existencia de m2 es:
264
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
m1
r
r
m2
1
r2
O
SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL
Figura 12.1: Configuración de dos masas en un sistema inercial
Gm1 m2
F12 =
(r2 − r1 ) .
r3
(12.2)
Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton (ecuación (11.8)) las
dos expresiones anteriores se convierten en las siguientes ecuaciones diferenciales vectoriales:
m2
Gm1 m2
d2 r2
=−
(r2 − r1 ) ,
2
dt
r3
m1
Gm1 m2
d2 r1
=
(r2 − r1 ) .
2
dt
r3
(12.3)
En el espacio, los vectores r1 y r2 poseen tres componentes, lo que
significa que cada una de las ecuaciones diferenciales vectoriales representa tres ecuaciones diferenciales en términos de componentes. Por lo
tanto, tenemos seis ecuaciones diferenciales de segundo orden que hay
que resolver. Ello implica a su vez que debemos hallar 12 constantes de
movimiento para resolver completamente el problema.
Podemos encontrar rápidamente seis constantes de movimiento. En
efecto, al sumar ambas ecuaciones (12.3) obtenemos:
m2
d2 r2
d2 r1 +
m
= 0,
1
dt2
dt2
(12.4)
265
que al integrar una vez con respecto al tiempo da:
dr2
dr1
(12.5)
+ m1
= c1 ,
dt
dt
siendo c1 un vector constante, que en el espacio representa la existencia
de tres constantes de movimiento. Esta ecuación representa la conservación del momento lineal: la suma del momento lineal de ambos cuerpos
es una constante.
m2
Una nueva integración de la ecuación (12.5) permite obtener:
m2 r2 + m1 r1 = c1 t + c2 ,
(12.6)
siendo c2 , como antes, un vector constante, que adiciona otras tres constantes a las ya obtenidas.
¿Qué información está suministrando la existencia de estas seis constantes de movimiento? Veamos. Se define el centro de masas de un sistema de partı́culas como el punto que representa la posición del sistema
cual si fuera un solo cuerpo. Tratándose de dos cuerpos, el vector de po (con respecto al origen O del sistema de coordenadas inercial)
sición R
del centro de masas queda definido por:
= m2 r2 + m1 r1 ,
R
m1 + m2
(12.7)
que no es otra cosa que la definición de un promedio ponderado de los
vectores de posición de las respectivas partı́culas. Con esto podemos
escribir la ecuación (12.6) como:
=
R
c1 t
c2
+
.
m1 + m2 m1 + m2
(12.8)
representa el vector posición del centro de masas, y
Dado que R
puesto que la ecuación (12.8) es lineal con respecto al tiempo, es claro
que esto representa el desplazamiento en lı́nea recta del centro de masas
con el transcurrir del tiempo. Es decir, el centro de masas del sistema se
mueve en el espacio en una lı́nea recta (ver figura 12.2). Esto se ve aún
más claramente al derivar (12.8) con respecto al tiempo:
dR
1
c1 ,
=
dt
m1 + m2
de la que se deduce inmediatamente:
(12.9)
266
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
d2 R
= 0,
(12.10)
2
dt
esto es, el centro de masas, con respecto al origen en O, no está acelerado
(o está estático o se mueve en una lı́nea recta).
Sin embargo, a pesar de tener seis constantes, estas no nos han dicho
mayor cosa con respecto a las propiedades del movimiento de m1 y m2 ,
salvo que el momento lineal se conserva y que el centro de masas se mueve
en lı́nea recta con respecto al origen en O. Aún nada de trayectorias.
m
1
m
2
CENTRO DE MASAS
Figura 12.2: El centro de masas y su movimiento en el espacio
12.1.
Movimiento con respecto al centro de masas
Deseamos ahora hacer lo siguiente: encontrar el movimiento de las
partı́culas de masa m1 y m2 ya no con respecto al punto arbitrario O
sino con respecto al centro de masas del sistema. En otras palabras, hay
que escribir las ecuaciones (12.3) en términos de los vectores de posición
1 y Δ
2 de ambas partı́culas con respecto al centro de masas. De la
Δ
figura 12.3 es claro que:
+Δ
1 = r1 ,
R
+Δ
2 = r2 ,
R
(12.11)
12.1. MOVIMIENTO CON RESPECTO AL CENTRO DE MASAS
267
de las que se deduce, al derivar dos veces con respecto al tiempo y de la
ecuación (12.10):
1
d2 Δ
d2 r1
=
,
dt2
dt2
2
d2 Δ
d2r2
=
.
dt2
dt2
2−Δ
1.
Ahora bien, es obvio que: r2 − r1 = r = Δ
m1
(12.12)
CENTRO DE MASAS
r
Δ1
r1
m
Δ2
2
R
r2
O
Figura 12.3: Movimiento con respecto al centro de masas
= 0) entonComo el origen de coordenadas es el centro de masas (R
ces los vectores de posición de las partı́culas son ahora, de acuerdo con
1 = r1 y Δ
2 = r2 . Esto implica, de acuerdo con la definición
(12.11): Δ
del centro de masas (12.7), que se cumple:
1 + m2 Δ
2 = 0.
m1 Δ
(12.13)
Esta ecuación es muy importante, pues nos permite hallar cualquiera
de los dos vectores posición en función del otro, esto es:
1 = − m2 Δ
2,
1.
2 = − m1 Δ
Δ
Δ
(12.14)
m1
m2
Con estas ecuaciones podemos representar el vector relativo r =
2 −Δ
1 en términos de uno de los dos vectores posición con respecto al
Δ
centro de masas. En efecto, de (12.13):
2 = −m1 Δ
1,
m2 Δ
(12.15)
268
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
1:
restando a ambos lados el término m2 Δ
2 − m2 Δ
1 = −m1 Δ
1 − m2 Δ
1,
m2 Δ
(12.16)
2−Δ
1 ) = −(m1 + m2 )Δ
1,
m2 (Δ
(12.17)
o sea:
o también:
2−Δ
1 ) = r2 − r1 = r =
(Δ
−(m1 + m2 ) Δ1 .
m2
(12.18)
De idéntica forma podemos obtener de la ecuación (12.15), al sumar
2 :
a ambos lados m1 Δ
(m1 + m2 ) Δ2 .
(12.19)
m1
Con estas, se deduce la magnitud del vector relativo en función de
1 o de Δ
2 , denotadas por Δ1 y Δ2
las magnitudes de los vectores Δ
respectivamente, que al elevar al cubo resulta:
2−Δ
1 ) = r2 − r1 = r =
(Δ
3 (m + m )3
1
2
r 3 = |r|3 = Δ
Δ31 ,
2 − Δ1 =
3
m2
(12.20)
3 (m + m )3
1
2
r 3 = |r|3 = Δ
Δ32 .
2 − Δ1 =
m31
(12.21)
Reemplazando las ecuaciones (12.12), (12.18), (12.19), (12.20) y (12.21)
en las ecuaciones (12.3), obtenemos las ecuaciones de movimiento de m1
1
y m2 con respecto al centro de masas en función de solo los vectores Δ
y Δ2 y sus magnitudes:
2
2
d2 Δ
Δ
Gm31
=
−
,
2
2
dt
(m1 + m2 ) Δ32
1
1
Δ
d2 Δ
Gm32
=
−
.
2
2
dt
(m1 + m2 ) Δ31
(12.22)
Tenemos acá en total dos ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden, que representan seis ecuaciones diferenciales en términos
de sus componentes. Pero, si podemos resolver alguna de las dos, diga 2 , la solución para Δ
1 queda determinada inmediatamente,
mos para Δ
merced a las ecuaciones (12.14). En otras palabras, al haber elegido como
origen de coordenadas el centro de masas, ya no es necesario resolver seis
12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO
269
ecuaciones diferenciales de segundo orden, sino tres. Basta con encontrar
la solución para alguna de las ecuaciones vectoriales (12.22) para que el
movimiento de ambas partı́culas quede completamente especificado con
respecto al centro de masas.
Por último, notemos que la ecuación diferencial de movimiento para
ambas partı́culas puede representarse de la forma:
i
i
d2 Δ
Δ
= −Ki 3 ,
2
dt
Δi
(12.23)
donde Ki es una constante, que depende solo de la constante de Cavendish y de las masas. Como se verá a continuación, nos encontraremos
con una ecuación diferencial que tiene la forma dada por la ecuación
12.23 que será a la postre la que resolveremos. Por lo tanto, las propiedades de movimiento que encontremos en ese caso serán análogas para
las partı́culas que se desplazan con respecto al centro de masa.
12.2.
El movimiento relativo
Existe otra manera de resolver el problema de los dos cuerpos con
solo tres ecuaciones diferenciales y no seis. Y esto es estudiando el movimiento de una partı́cula con respecto a la otra: adoptar como origen de
coordenadas a cualquiera de las dos partı́culas. El movimiento relativo
de m2 con respecto a m1 (o viceversa) es el más ampliamente estudiado
en los libros de astrodinámica y mecánica celeste. No debe extrañarnos,
pues al fin y al cabo el astrónomo desea encontrar el movimiento de un
planeta con respecto al Sol, o el de un satélite con respecto a su planeta,
y no con respecto a un punto arbitrario cualquiera ubicado en el espacio.
De las ecuaciones (12.3) tenemos que:
d2 r2
Gm1
d2 r1
Gm2
=
−
r
,
= 3 r,
2
3
2
dt
r
dt
r
que al restar la segunda de la primera queda:
d2
G(m1 + m2 )
(r2 − r1 ) = −
r,
dt2
r3
o también:
(12.24)
(12.25)
270
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
G(m1 + m2 )
d2r
=−
r.
(12.26)
2
dt
r3
Esta es la ecuación diferencial que describe el movimiento de m2
con respecto a un origen centrado en m1 . Nótese que es una expresión
que tiene la misma forma funcional de la expresión (12.23). Es la única
ecuación de la mecánica celeste clásica que tiene una solución analı́tica
completamente cerrada, esto es, las tres ecuaciones que representa, en
términos de sus componentes, se pueden resolver, o lo que es lo mismo,
es posible hallar las seis constantes de movimiento (recuérdese que son
tres ecuaciones diferenciales de segundo orden).
¿Qué es lo que se persigue con todo esto? Al fin y al cabo la incógnita
de la ecuación (12.26) es el vector de posición relativo r. Solucionar la
ecuación (12.26) es encontrar la manera de hallar r en función del tiempo. Se consigue integrando dos veces la ecuación con respecto al tiempo.
Si se logra integrarla una vez, obtenemos el vector velocidad dr/dt para
todo tiempo.
Si se desea, una vez encontrado r, hallar las componentes de los
1 y
vectores posición de m1 y m2 con respecto al centro de masas (Δ
Δ2 ), no es más sino utilizar las ecuaciones (12.18) y (12.19).
12.2.1.
Aceleraciones
Hagamos un pequeño paréntesis con el fin de comentar sobre la magnitud de las aceleraciones en el problema de los dos cuerpos. Lo que
tenemos al lado izquierdo de la ecuación (12.26) es, al fin y al cabo,
una aceleración. Es claro que dicha aceleración es función de la distancia. Muy lejos del cuerpo de masa m1 la aceleración que experimenta
el cuerpo de masa m2 va tendiendo a cero; igualmente, la aceleración
se va haciendo muy grande (y en principio va tendiendo a infinito) si la
distancia entre los cuerpos cada vez es más pequeña. Podemos escribir
la ecuación (12.26) de la siguiente forma (omitiendo el signo negativo y
la notación vectorial):
a=
G(m1 + m2 )
,
(R + h)2
(12.27)
donde a representa la magnitud de la aceleración del cuerpo de masa
m2 con respecto al de masa m1 , R es el radio del cuerpo de masa m1 y
271
12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO
h es la altura del cuerpo de masa m2 (con respecto a la superficie del
primero) considerado de dimensiones despreciables frente al de masa m1
(ver figura 12.4).
m
r
2
h
R
m1
Figura 12.4: Dos cuerpos en interacción
Existe un caso particular consistente en aproximar la aceleración
entre dos masas m1 y m2 , dado por la ecuación (12.27), que es el estudio
de la aceleración a de un objeto de masa m2 en las vecindades de la
superficie del objeto de masa m1 de tal forma que la distancia entre
los mismos es del orden r ∼ R. Supongamos además que m1
m2 .
Entonces la aceleración de la gravedad ejercida por m1 sobre m2 adopta
la forma:
a=
Gm1
,
R2
(12.28)
lo que significa que la aceleración de la gravedad es, en este caso, no solo
una constante sino que también es independiente de la masa de m2 .
Ejemplo 1
Calcular la aceleración de la gravedad ejercida por el planeta Tierra
sobre los siguientes cuerpos:
a) Uno de masa de 100 toneladas en la superficie terrestre.
b) Un satélite geoestacionario de 10 toneladas a una altura h sobre
la superficie terrestre de 35 770 kilómetros.
c) La Luna.
272
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Solución
a) El radio terrestre es RT = 6378,14 km = 6 378 140 m. Puesto que
en este caso la masa de la Tierra (m1 ) es 5,97 × 1024 kg y que nuestro
objeto m2 = 100 toneladas = 100 000 kg, es claro que m1
m2 por lo
que podemos utilizar la ecuación (12.28):
a=
6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024
= 9,78 ms−2 ,
(6 378 140)2
valor muy importante en fı́sica pues representa la aceleración que experimenta cualquier objeto cuando cae libremente cerca de la superficie de
la Tierra.
b) El caso del satélite geoestacionario (ver sección 15.4, pág. 389) es
otro en donde m1
m2 . Sin embargo, la altura h a la cual se encuentra
el satélite es varias veces más grande que el radio terrestre, por lo que
debemos utilizar la ecuación (12.27) con r = RT + h = 42 148 140 m y
m2 = 0. Entonces:
a=
6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024
= 0,22 ms−2
(42 148 140)2
c) En el caso de la Luna, cuya masa es 7,4 × 1022 kg y cuya distancia
promedio a la Tierra es de 384 400 km = 384 400 000 m, ya es claro que
su masa no es tan despreciable frente a la de la Tierra, por lo que:
a=
6,67 × 10−11 × (5,97 × 1024 + 7,4 × 1022 )
= 0,0027 ms−2
(384 400 000)2
Es bueno aclarar aquı́ que en los cursos elementales de fı́sica, cuando
se estudia el movimiento de una partı́cula en tiro parabólico (como la
que describe una bala de cañón), es costumbre colocar la aceleración
de la gravedad como constante pues se supone que el movimiento de
m2 está restringido a moverse cerca de la superficie terrestre. Esto se
hace con el fin de que, en primera aproximación, se resuelvan fácilmente
las ecuaciones de movimiento de una partı́cula sometida a un campo
gravitacional pero, insistimos, con aceleración constante. Las ecuaciones
que se obtienen de esta manera expresan el movimiento de la partı́cula
de modo que la trayectoria descrita resulta siendo la de una parábola.
Veremos más adelante que, al ser más rigurosos en nuestros cálculos y al
12.3. ELECCIÓN DE UN SISTEMA DE COORDENADAS
273
considerar el caso real de que la aceleración de la gravedad depende de
la distancia (y no es constante), la trayectoria de una partı́cula sometida
a la atracción gravitacional puede ser otro tipo de curva.
12.3.
Elección de un sistema de coordenadas
Sea el centro del Sol (cuya masa designaremos m1 ) el origen de un
sistema de coordenadas cartesiano apropiado para estudiar el movimiento de cualquier objeto (de masa m2 ). El eje x se escoge de tal forma que
su dirección se proyecta hacia el punto vernal. El plano xy está conformado por el plano de la eclı́ptica (el plano que contiene la órbita de la
Tierra en torno al Sol) y el eje z es perpendicular a dicho plano. Por lo
tanto, a las coordenadas de un cuerpo ası́ definidas se les llama coordenadas rectangulares eclı́pticas heliocéntricas (ver figura 12.5).
z
m
2
r
k
m
1
y
i
j
PLANO DE LA ECLIPTICA
x
Figura 12.5: Las coordenadas eclı́pticas heliocéntricas
Las coordenadas de m2 con respecto a dicho sistema de coordenadas
se pueden escribir como:
r = xî + y ĵ + z k̂,
(12.29)
donde î, ĵ y k̂ son vectores unitarios en las direcciones de los ejes x, y,
z respectivamente. La distancia entre los cuerpos es la magnitud de r:
274
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
r=
x2 + y 2 + z 2 .
(12.30)
Los vectores velocidad y aceleración (representando la primera y segunda derivada temporal por uno o dos puntos respectivamente sobre la
letra) son también:
ṙ = v = ẋî + ẏ ĵ + ż k̂,
(12.31)
r̈ = ẍî + ÿ ĵ + z̈ k̂.
(12.32)
Al reemplazar las ecuaciones (12.29) y (12.32) en (12.26) obtenemos:
ẍî + ÿ ĵ + z̈ k̂ = −
μ
(xî + y ĵ + z k̂),
r3
(12.33)
donde
μ = G(m1 + m2 ).
(12.34)
De la ecuación (12.33) se obtiene, al factorizar los vectores unitarios:
μ
μ
μ
x,
ÿ = − 3 y,
z̈ = − 3 z.
(12.35)
3
r
r
r
Desafortunadamente, la forma de estas ecuaciones diferenciales —tal
y como están escritas— impide que se puedan resolver directamente en
forma analı́tica.
ẍ = −
12.4.
El momento angular
Antes de proceder a solucionar las ecuaciones (12.35) encontraremos
una primera integral de movimiento que ayudará a simplificar el tratamiento subsiguiente.
Multipliquemos vectorialmente a ambos lados de la ecuación (12.26)
A
×A
= 0, se tiene:
por ×r, y recordando que para cualquier vector A,
r̈ × r = 0,
(12.36)
sumando a ambos lados de la anterior expresión un cero en la forma
ṙ × ṙ (ṙ = v ):
ṙ × ṙ + r̈ × r = 0,
275
12.4. EL MOMENTO ANGULAR
que puede escribirse, con ayuda de la regla de Leibniz, de la siguiente
forma:
d
(r × ṙ) = 0.
dt
Al integrar resulta:
r × ṙ = h,
(12.37)
donde h es un vector constante, es decir, una cantidad cuya magnitud
y sentido son constantes. Puesto que h es un vector perpendicular a un
plano formado por r y ṙ, la única manera de que h sea un invariante,
para todo tiempo, es que el movimiento se verifique en un plano. En
otras palabras, el movimiento de m2 con respecto a m1 está contenido
en un plano formado por el vector posición r y el vector velocidad ṙ (ver
figura 12.6).
m1
h
TRAYECTORIA
r
.
r = v
m2
Figura 12.6: Momento angular constante: el movimiento está contenido en un plano
El vector h es llamado momento angular o, más rigurosamente, momento angular por unidad de masa. En términos de sus componentes
el vector h representa tres constantes de movimiento (h1 , h2 , h3 ), con lo
cual :
h = h1 î + h2 ĵ + h3 k̂.
De la definición del producto cruz:
î ĵ k̂ h = r × ṙ = x y z ,
ẋ ẏ ż (12.38)
(12.39)
276
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
esto es,
h1 = y ż − z ẏ,
(12.40)
h2 = z ẋ − xż,
(12.41)
h3 = xẏ − y ẋ.
(12.42)
También podemos hallar la magnitud del vector h en función del
ángulo ϑ existente entre r y ṙ :
h = rv sen ϑ,
(12.43)
donde v es la magnitud de la velocidad. En astrodinámica el ángulo ϑ
es llamado ángulo de vuelo.
Un cambio de coordenadas
Hemos visto que el movimiento de m2 con respecto a m1 , sea cual
sea, está contenido en un plano. Esto en la práctica significa que en lugar
de usar tres coordenadas podemos estudiar el movimiento utilizando solo
dos. Es una ventaja significativa, consecuencia directa de haber hallado
tres constantes (h1 , h2 , h3 ) de movimiento.
Procedamos a resolver las ecuaciones diferenciales (12.35). Ya se dijo
que tal y como están escritas no se pueden resolver. Lo propio es cierto
aun con dos variables, digamos x y y. Una manera de intentar resolver el problema es utilizar otro sistema de coordenadas. Como veremos
a continuación, pasar a un sistema de coordenadas polares (r, θ) permite encontrar más constantes de movimiento y ası́ resolver el problema.
Debemos partir de la ecuación (12.26), que por simplicidad aquı́ escribimos de otra manera:
r̈ = − μ r̂.
(12.44)
r2
El primer paso es reemplazar en esta ecuación el valor de la aceleración en coordenadas polares. Procedamos brevemente a encontrar
esta expresión. Puesto que r = rr̂, al derivar con respecto al tiempo y
no olvidando que ûr (el vector unitario en la dirección de r), aunque
tiene magnitud igual a la unidad, está cambiando con el tiempo (pues
está cambiando de dirección), tenemos:
12.4. EL MOMENTO ANGULAR
ṙ = ṙr̂ + rˆṙ,
277
(12.45)
al tomar de nuevo la derivada con respecto al tiempo:
r̈ = r̈r̂ + 2ṙˆṙ + rˆr̈.
(12.46)
Debemos ahora calcular los valores de ˆṙ y ˆr̈ en función de r̂ y θ̂,
siendo este último un vector unitario ortogonal a r̂. De la figura 12.7
vemos la relación de estos vectores en función de los î y ĵ definidos
sobre los ejes cartesianos x y y. Es evidente que:
θ̂ = − sen θ î + cos θ ĵ.
r̂ = cos θ î + sen θ ĵ,
(12.47)
m2
r
j
r
θ
θ
m1
i
Figura 12.7: Relación entre coordenadas cartesianas y polares
Al derivar la primera con respecto al tiempo (î y ĵ son constantes en
dirección y en magnitud):
ˆṙ = − sen θ θ̇î + cos θ θ̇ĵ = θ̇θ̂.
(12.48)
Al derivar otra vez con respecto al tiempo:
ˆr̈ = θ̇ˆθ̇ + θ̈θ̂,
(12.49)
ˆ
y puesto que de la segunda ecuación (12.47) se desprende que θ̇ = −θ̇r̂,
se obtiene:
ˆr̈ = −θ̇ 2 r̂ + θ̈θ̂.
(12.50)
278
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Por lo tanto, los vectores velocidad (12.31) y aceleración (12.32) en
coordenadas polares quedan:
ṙ = ṙr̂ + r θ̇θ̂,
r̈ = (r̈ − r θ̇ 2 )r̂ + (r θ̈ + 2ṙ θ̇)θ̂.
(12.51)
Finalmente, reemplazamos la segunda ecuación (12.51) en (12.44):
μ
r̂.
(12.52)
r2
Igualando los términos con coeficientes iguales a ambos lados tenemos, haciendo explı́cita la notación de las derivadas:
(r̈ − r θ̇ 2 )r̂ + (r θ̈ + 2ṙ θ̇)θ̂ = −
2
d2 r
dθ
μ
−r
= − 2,
dt2
dt
r
d2 θ
dr dθ
r 2 +2
= 0.
dt
dt dt
(12.53)
(12.54)
Estas dos ecuaciones diferenciales son relativamente fáciles de resolver, como se verá a continuación.
Comencemos por la ecuación (12.54). Llamando u = dθ/dt, o sea,
du/dt = d2 θ/dt2 , la ecuación queda:
du
dr
+ 2u
= 0,
dt
dt
que al multiplicar a ambos lados por dt/ru se convierte en:
r
du
dr
+2
= 0,
u
r
cuya solución es inmediata:
ln u + 2 ln r = ln C1 ,
donde C1 es una constante de integración. Al utilizar algunas propiedades de los logaritmos (2 ln r = ln r 2 , ln u + ln r 2 = ln(ur 2 )), aplicar
la exponencial a ambos lados y recuperando la definición de u se llega
finalmente a:
dθ
C1
(12.55)
= 2.
dt
r
Antes de seguir es necesario identificar la constante C1 .
12.4. EL MOMENTO ANGULAR
12.4.1.
279
Áreas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler
Ya sabemos que el movimiento de m2 con respecto a m1 está contenido en un plano. Ahora concentremos nuestra atención en el área descrita
por m2 en dicho plano. Pero lo haremos de dos formas. Una en función
del tiempo y otra en función del ángulo barrido.
Relación área-tiempo
En la figura 12.8 sea, para un instante dado, el vector de posición
r. Un instante después Δt el vector r se ha incrementado un valor r +Δr.
m2
r+ Δ r
ΔA
m1
r
Figura 12.8: Relación área-tiempo
cubierto por r y r +Δr es, de acuerdo con la
El diferencial de área ΔA
interpretación geométrica del producto cruz (la mitad del paralelogramo
comprendida por los dos vectores):
r × (r + Δr)
,
2
o, al dividir por la diferencial de tiempo Δt,
=
ΔA
ΔA
r Δr
= ×
.
Δt
2
Δt
Al tomar el lı́mite cuando Δt tiende a cero tenemos:
r Δr
ΔA
Δr
dA
r
lı́m
=
= lı́m
×
= × lı́m
,
Δt→0 Δt
Δt→0 2
dt
Δt
2 Δt→0 Δt
y puesto que
280
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Δr
dr =
= ṙ,
Δt
dt
esto es, el vector velocidad, tenemos:
lı́m
Δt→0
dA
1
= r × ṙ,
dt
2
y recordando la definición del momento angular, ecuación (12.37):
h
dA
= ,
dt
2
o, eliminando la notación vectorial y reordenando:
h
dt.
(12.56)
2
Esta expresión es la forma matemática de la segunda ley de Kepler:
el cuerpo de masa m2 barre una diferencial de área que es proporcional a
la diferencial de tiempo, esto es, el cuerpo barre áreas iguales en tiempos
iguales (ver ecuación (11.6), página 253).
dA =
Relación área-ángulo
En la figura 12.9 se quiere calcular el área generada por el movimiento del cuerpo m2 al barrer un cierto ángulo Δθ. Dicha área puede
aproximarse a la del triángulo isósceles mostrado en esa figura.
Δθ/2
Δθ
m1
r
m2
Figura 12.9: Relación área-ángulo
12.4. EL MOMENTO ANGULAR
281
El triángulo tiene por base 2r sen (Δθ/2) y por altura r cos(Δθ/2).
Entonces el área ΔA de dicho triángulo es:
Δθ
Δθ
ΔA = r 2 sen
cos
,
2
2
aplicando la identidad trigonométrica: 2 sen x cos x = sen 2x, se deduce
ΔA =
r2
sen Δθ,
2
que al dividir por Δθ se obtiene:
ΔA
r 2 sen Δθ
=
.
Δθ
2 Δθ
El área del triángulo se va haciendo igual al área de nuestro interés
siempre y cuando Δθ tienda a cero. Por lo tanto
2
r sen Δθ
ΔA
sen Δθ
dA
r2
lı́m
=
= lı́m
=
lı́m
.
Δθ→0 Δθ
Δθ→0 2
dθ
Δθ
2 Δθ→0 Δθ
Siendo el lı́mite de la derecha uno de los más conocidos del cálculo
elemental (cuyo valor es igual a la unidad) tenemos
dA
r2
= ,
dθ
2
o también:
r2
dθ.
(12.57)
2
Ya estamos en posición de identificar C1 . Al igualar las ecuaciones
(12.56) y (12.57) se deduce:
dA =
h
r2
dt = dθ,
2
2
o escrita de otra forma:
dθ
h
(12.58)
= 2,
dt
r
que al comparar con la ecuación (12.55) da el notable resultado:
C1 = h.
(12.59)
282
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
12.5.
Momento angular cero: la órbita rectilı́nea
A continuación discutiremos brevemente el caso del momento angular
cero. Hasta donde se sabe este es un caso que en el sistema solar —y
en general en el universo— es raro de encontrar, y es el estudio del
movimiento de la partı́cula m2 cuando, estando a una distancia r de m1
para un instante dado, posee un vector velocidad que, o bien es nulo, o
está en la misma dirección (o completamente opuesto) a la dirección del
radio vector, esto es, no existe componente tangencial de la velocidad.
r
v=0
r
v
ϑ=0
r
v
ϑ=180
Figura 12.10: Órbita rectilı́nea
De la ecuación (12.43) vemos que ello implica que ϑ = 0 (o ϑ = 180)
por lo que se dice que en tal caso el momento angular es cero. Puesto
que h = 0 se tendrá, de acuerdo con (12.58), que
dθ
= 0,
dt
lo que significa que θ = constante: el movimiento es posible expresarlo
con una sola variable, o, en otras palabras, el movimiento se da en una
lı́nea recta (ver figura 12.10). Dado que d2 θ/dt2 = 0, al reemplazar estos
términos en (12.53) y (12.54) vemos que la única ecuación que determina
el movimiento es:
d2 r
μ
= − 2.
2
dt
r
Puesto que:
d2 r
dr d2 r dt
dr d
=
=
2
2
dt
dt dt dr
dt dr
dr
dt
= ṙ
dṙ
,
dr
12.5. MOMENTO ANGULAR CERO: LA ÓRBITA RECTILÍNEA
283
entonces:
μ
dṙ
= − 2,
dr
r
que al multiplicar por dr e integrar da:
ṙ
ṙ 2
μ
= + C,
(12.60)
2
r
donde C es una constante de integración. Puesto que la única componente de velocidad en este caso es la componente radial tenemos que
v = ṙ.
El siguiente paso es hallar cómo cambia r en función del tiempo. Se
pueden estudiar diversos casos dependiendo de las condiciones iniciales.
Solo como ilustración estudiaremos el caso en que, para t = t0 a una
distancia r = r0 = 2a , la velocidad es cero. Con esto último en mente
tenemos que C es igual a:
μ
.
(12.61)
2a
Para este caso en particular, la velocidad v adopta la forma:
2μ
μ
v=
(12.62)
− .
r
a
C=−
Hay que tener en cuenta que al ser la velocidad inicial nula el objeto será, conforme transcurre el tiempo, atraı́do hacia el origen, o sea, r
irá disminuyendo. En otras palabras: a medida que t aumenta r disminuye. Por lo tanto es necesario asegurar que dr y dt tengan signos contrarios. Al reemplazar en (12.62) explı́citamente el valor de v (v = dr
dt ),
obtenemos, después de algunos arreglos:
√
2
2
μ
1
dr = − μ r − a dt = − r
2r − ra dt =
=−
√
μ
r
a −
1
2
a (a
− 2ra + r 2 ) dt,
o también:
r
a 1 −
1
a2 (a
− r)2
√
dr = − μdt,
284
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
que es equivalente a:
dr = − μa dt.
r
2
1 − ( a a−r
)
(12.63)
Al introducir la variable de integración φ definida como:
cos φ =
a − r
,
a
de la que se deduce:
r = a (1 − cos φ),
dr = a sen φdφ.
Al reemplazar esto último en el término de la izquierda de (12.63)
obtenemos:
a2 (1 − cos φ)dφ = − μa dt,
que al integrar da:
φ
φ − sen φ
=φ−
φ
1 − cos2 φ
φ0
=−
φ0
μ
t
a3
t
.
t0
Recuperando la variable original:
cos
−1
a − r
a
−
1−
a − r
a
2
r
=−
2a
μ
t
a3
t
.
t0
Por lo tanto:
1−
a − r
a
2
− cos
−1
a − r
a
+π =
μ
(t − t0 ).
a3
(12.64)
Esta ecuación nos permite hallar r en función de t. Sin embargo, a
causa de la trascendencia de la expresión de la izquierda (es imposible
aislar r directamente) la forma usual es resolverla por aproximaciones o
tanteos. Más obvio y lógico es invertir el asunto: dado un r cualquiera,
hallar directamente el tiempo que ha transcurrido para que se llegue a
ese valor.
12.6. MOMENTO ANGULAR DIFERENTE DE CERO
12.6.
285
Momento angular diferente de cero: trayectorias cónicas
Resolvamos ahora la ecuación (12.53). Al multiplicar a ambos lados
por 2dr/dt:
dr d2 r
dr
2
− 2r
dt dt2
dt
dθ
dt
2
=−
2μ dr
,
r 2 dt
y reemplazando el valor de dθ/dt dado por (12.58) tenemos:
dr d2 r
dr h2
2μ dr
−
2
=− 2 ,
2
3
dt dt
dt r
r dt
que al integrar con respecto al tiempo da:
2
dr
dt
2
+
h2
2μ
=
+ 2C2 ,
2
r
r
(12.65)
donde C2 es una nueva constante de integración. Ahora bien, esta ecuación la integraremos de dos formas. Primero cambiaremos de variable
independiente. Renunciemos por ahora a integrar esta ecuación en términos del tiempo (r = r(t)) y más bien hagámoslo en términos de la variable angular θ, de tal forma que podamos hallar una solución del tipo
r = r(θ). Con esto en mente es claro que:
dr
dr dθ
=
,
dt
dθ dt
y puesto que dθ/dt se elimina a través de (12.58):
dr
h dr
d
h
= 2
=
−
,
dt
r dθ
dθ
r
reemplazando este valor en (12.65) y rearreglando:
2
d
h
2μ
h
−
= − 2 +
+ 2C2 ,
dθ
r
r
r
sumando y restando dentro del radical a μ2 /h2 :
2
d
μ2
μ
2μ h2
h
,
−
−
= 2C2 + 2 −
+
dθ
r
h
h2
r
r2
llamando al término constante:
(12.66)
286
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Q2 = 2C2 +
μ2
,
h2
(12.67)
y factorizando obtenemos:
d
dθ
−
h
r
=
μ h 2
Q2 − − +
.
h r
Cambiemos ahora de variable. Designemos a Φ igual a:
Φ=−
μ h
+ ,
h r
(12.68)
de la cual es evidente que:
d
h
d μ
dΦ
−
=
− −Φ =− ,
dθ
r
dθ
h
dθ
y por lo tanto:
−
dΦ 2
= Q − Φ2 ,
dθ
o mejor:
−
dΦ
Q2 − Φ 2
= dθ.
La integral de la izquierda se resuelve con las funciones trigonométricas inversas. Resolviendo:
Φ
cos−1
= θ + γ,
Q
donde γ es una constante de integración. De esta última ecuación se
deduce:
Φ = Q cos(θ + γ).
Recuperando los valores de Q y Φ en las ecuaciones (12.67) y (12.68):
μ h
μ2
− + = 2C2 + 2 cos(θ + γ),
h r
h
de esta ecuación es evidente que lo que hemos logrado es obtener r en
función de θ. Escribámosla en otra forma, dividiendo por h a ambos
lados y aislando el término de r a la izquierda:
12.6. MOMENTO ANGULAR DIFERENTE DE CERO
1
1
μ
= 2+
r
h
h
2C2 +
287
μ2
cos(θ + γ),
h2
invirtiendo a ambos lados:
1
r=
μ
h2
+
1
h
2C2 +
μ2
h2
,
cos(θ + γ)
que al dividir por μ/h2 en el numerador y el nominador del lado derecho
queda:
h2 /μ
r=
1+
1+
2C2 h2
μ2
.
(12.69)
cos(θ + γ)
Esta ecuación es la denominada ecuación de la trayectoria y representa la ecuación generalizada en coordenadas polares de una cónica (elipse,
parábola, hipérbola) con origen en uno de los focos. En otras palabras,
dependiendo de los valores de las constantes h, C2 y γ podemos obtener alguna de los tres tipos de trayectorias que acabamos de mencionar.
Con ello estamos generalizando la primera ley de Kepler pues no solo m2
se mueve con respecto a m1 en una órbita elı́ptica con este (el origen)
en uno de los focos, sino que también puede ser parabólica o hiperbólica.
Como ya se dijo, pero conviene recordarlo, en mecánica celeste la distancia entre m1 y m2 , (r), digamos entre el Sol y un planeta, es llamada
radio vector y la variable ángular (θ) se llama anomalı́a verdadera.
12.6.1.
Cónicas
Discutiremos a continuación algunas propiedades básicas de las cónicas.
Elipse
Detalles sobre las propiedades geométricas de la elipse ya se habı́an
tratado en la sección 11.2.1, pág. 247.
Al comparar la ecuación (11.5), página 251, con (12.69) vemos que:
288
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
h2
= a(1 − e2 ),
μ
e=
1+
2C2 h2
,
μ2
γ = 0.
(12.70)
De la segunda ecuación se deduce:
1 − e2 = −
2C2 h2
,
μ2
que al reemplazar en la primera de las (12.70) obtenemos el valor de la
constante C2 :
C2 = −
μ
.
2a
(12.71)
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
un punto llamado foco y una lı́nea recta fija llamada directriz. En otras
palabras, en una parábola (ver figura 12.11) se cumple P F = P R.
y
R
P
r
θ
F
q
S
T
x
DIRECTRIZ
Figura 12.11: Órbita parabólica
Llamamos q a la distancia pericéntrica, esto es, la menor distancia
existente entre el foco y la trayectoria. Puesto que el punto S hace parte
de la parábola se tendrá que F S = ST . Entonces es claro que F T = 2q.
12.6. MOMENTO ANGULAR DIFERENTE DE CERO
289
Habiendo colocado el foco de la parábola en el origen de coordenadas se
deduce que la ecuación de la directriz es x = 2q.
Designemos como (x, y) las coordenadas del punto P . Las coordenadas del punto R son (x = 2q, y). La distancia P R es (2q − x). De la
definición de parábola se desprende entonces que F P 2 = P R2 , esto es:
x2 + y 2 = (2q − x)2 ,
que al utilizar las ecuaciones de transformación entre coordenadas cartesianas y polares (x = r cos θ, y = r sen θ) queda:
r 2 = (2q − r cos θ)2 ,
que al extraer la raı́z cuadrada y reordenar da:
r=
2q
.
1 + cos θ
(12.72)
En este caso, el coeficiente del coseno en el denominador, que es la
excentricidad, es igual a la unidad.
Al comparar la ecuación (12.69) con (12.72) vemos que:
h2
= 2q,
μ
1=
1+
2C2 h2
,
μ2
γ = 0.
(12.73)
La única manera de que se pueda cumplir la identidad de la segunda
ecuación es (el momento angular h es distinto de cero cuando la trayectoria es una cónica):
C2 = 0.
(12.74)
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante.
Esto es, en la hipérbola se cumple la relación: P F − P F = constante.
La ecuación que describe una hipérbola en coordenadas polares con
origen en alguno de los focos es:
290
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
y
P
r
θ
F
C
F´
ae
x
a
Figura 12.12: Órbita hiperbólica
a(e2 − 1)
,
(12.75)
1 + e cos θ
donde a es el semieje mayor y e es la excentricidad (1 < e < ∞) definida
como e = CF/a.
r=
Al comparar la ecuación (12.75) con (12.69) vemos que:
h2
= a(e2 − 1),
μ
e=
1+
2C2 h2
,
μ2
γ = 0.
(12.76)
De la segunda ecuación se deduce:
2C2 h2
,
μ2
que al reemplazar en la primera obtenemos el valor de la constante C2 :
e2 − 1 =
C2 =
12.7.
μ
.
2a
(12.77)
La energı́a total
Antes de seguir con el estudio de las cónicas necesitamos identificar
fı́sicamente la constante C2 . La ecuación (12.65), con h reemplazado por
la ecuación (12.58), es:
291
12.7. LA ENERGÍA TOTAL
dr
dt
2
+r
2
dθ
dt
2
=
2μ
+ 2C2 .
r
(12.78)
Pero, de la ecuación de la velocidad en (12.51) se deduce que:
2
ṙ = v 2 = (ṙr̂ + r θ̇θ̂) · (ṙr̂ + r θ̇θ̂),
y como r̂ · r̂ = θ̂ · θ̂ = 1, r̂ · θ̂ = 0, se tendrá
v 2 = ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 ,
que al comparar con (12.78) resulta:
v2 μ
− = C2 .
2
r
Multiplicando a ambos lados por m1 m2 /(m1 + m2 ) y recordando que
μ = G(m1 + m2 ), ecuación (12.34), tenemos:
m1 m2 v 2 Gm1 m2
m1 m2
C2 .
−
=
m1 + m2 2
r
m1 + m2
(12.79)
Esta es una ecuación importante, pues el primer término del lado
izquierdo es llamado energı́a cinética; el segundo, energı́a potencial. La
suma de ambos tipos de energı́as es una constante.
Llamaremos energı́a total del sistema H a:
H=
m1 m2
C2 ,
m1 + m2
(12.80)
de tal forma que:
m1 m2 v 2 Gm1 m2
−
= H.
m1 + m2 2
r
(12.81)
Los valores de H para las tres cónicas se hallan al reemplazar los
valores de C2 en (12.71), (12.74) y (12.77):
Gm1 m2
,
2a
Elip.
H = −
Par.
H = 0,
Gm1 m2
H =
.
2a
Hip.
(12.82)
(12.83)
(12.84)
292
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
El hecho de que la energı́a total H sea negativa en la órbita elı́ptica quiere decir, de acuerdo con (12.81), que el término de la energı́a
potencial, siempre negativo, excede al término de la energı́a cinética (rigurosamente positivo). Puede decirse que a causa del bajo valor de la
velocidad v el cuerpo m2 está condenado a moverse para siempre alrededor de m1 en una órbita cerrada, esto es, en una elipse. Claro, a menos
que se pueda incrementar de algún modo la velocidad. Si el término de
velocidad aumenta de alguna forma, es posible que el valor de la energı́a
cinética llegue a equipararse en valor absoluto al de la energı́a potencial (H = 0). Si ese es el caso, el cuerpo deja de moverse en una órbita
elı́ptica y ahora describe una parábola. De aquı́ en adelante un ligero exceso de velocidad hará que la energı́a cinética sea mayor que la energı́a
potencial y el cuerpo comienza a moverse en una trayectoria hiperbólica.
12.8.
Cálculos de masa: otra vez la tercera ley
de Kepler
Como mencionamos en la sección 11.2.3, existe, en el caso de la órbita elı́ptica, una notable relación entre el semieje mayor a y el tiempo
que tarda el cuerpo m2 en dar una revolución completa alrededor de
m1 , esto es, el perı́odo T .
La expresión matemática de la segunda ley de Kepler es la ecuación
(12.56) que aquı́ reproducimos por comodidad:
dA =
h
dt.
2
Integrando desde un área cero (para el tiempo t = 0) hasta que el
móvil cubra toda el área de la elipse At , lo cual se consigue al completar
un perı́odo T , tenemos:
h
T,
2
pero el área At de una elipse es igual a At = πab, donde b es el semieje
menor, cuya relación con a es a través de la ecuación
(11.1), página 248.
Ahora bien, puesto que para la elipse se tiene h = aμ(1 − e2 ) (primera
de las ecuaciones (12.70)), obtenemos:
At =
12.8. CÁLCULOS DE MASA
293
√
aμ
T,
2
que al elevar al cuadrado, haciendo explı́cito μ y reordenar da:
2
πa =
T2 =
4π 2
a3 ,
G(m1 + m2 )
(12.85)
que dice que el cuadrado del perı́odo de revolución es proporcional al
cubo del semieje mayor (tercera ley de Kepler).
La ecuación (12.85) se puede escribir de varias maneras. Una de ellas
es:
2πa3/2
T =
Gm1 (1 +
m2
m1 )
.
(12.86)
Llamemos k a la siguiente relación:
k=
Gm1 .
(12.87)
Si m1 (el cuerpo central) es el Sol cuya masa es de 1,998 × 1030 kg, al
utilizar como unidad de longitud a la unidad astronómica (149 597 870)
km, la unidad de tiempo el dı́a solar medio de 86 400 segundos, obtenemos un valor de k igual a:
u. a.3/2
.
(12.88)
d
La constante k calculada para cuerpos que estén sometidos al campo
gravitacional del Sol, esto es, con el valor que acabamos de hallar, se
llama constante de Gauss en honor del gran matemático, astrónomo y
fı́sico alemán Carl Friedrich Gauss.
k = 0,01720209895
Se ha de tener cuidado con el valor numérico de dicha constante
al aplicarla a otros sistemas diferentes al de un cuerpo sometido a la
atracción del Sol. Por ejemplo, si se desea estudiar el movimiento de
un satélite alrededor de la Tierra, el valor de k es distinto al dado por
(12.88) pues en este caso m1 es la masa de la Tierra. En tales casos se ha
de escoger unas unidades de longitud y tiempo lo más apropiadas posible.
Por lo tanto, la ecuación (12.86) queda:
294
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
2πa3/2
T =
k
(1 +
m2
m1 )
.
(12.89)
En el sistema solar las relaciones de masa del planeta a la masa del
Sol (m2 /m1 ) son cuanto mucho de un milésimo. Las masas de los asteroides y cometas que existen en nuestro sistema solar son tan minúsculas
que para todos los propósitos prácticos la relación m2 /m1 es cero.
Otra forma de escribir la tercera ley de Kepler es mediante el concepto de movimiento medio. Se llama movimiento medio la siguiente
relación:
2π
,
(12.90)
T
en unidades de radianes por dı́a. Con el movimiento medio la ecuación
(12.85) puede escribirse ası́:
n=
μ = n2 a3 .
(12.91)
Si n está en unidades de grados por dı́a (lo cual se logra multiplicando
por 180/π) es fácil ver que:
k(180/π)
n=
(1 +
m2
m1 )
.
(12.92)
a3/2
¿Cómo hallar la masa de un determinado planeta, digamos Júpiter?
Basta con observar por varias noches una de sus lunas, medir la distancia
media entre el satélite y el centro de Júpiter y el perı́odo de traslación del
satélite alrededor del planeta (ambas medidas son relativamente fáciles
de realizar con un buen telescopio). Al suponer que la masa del satélite
es, en primera aproximación, despreciable frente a la de Júpiter (suposición enteramente razonable), el valor de la masa de Júpiter se halla de
forma inmediata.
Ejemplo 1
Calcular la masa del planeta Marte si se sabe que su satélite Fobos
posee un perı́odo orbital de 0.3189 dı́as a una distancia media al planeta
de 9378 km.
295
12.8. CÁLCULOS DE MASA
Solución
Sea m1 la masa del planeta Marte. Asumiremos que m2 (la masa
de Fobos) es completamente despreciable comparada con la de Marte.
Entonces: T = 0,3189 d = 0,3189 × 86 400 = 27 553 s; a = 9378 km
= 9 378 000 m. Ası́, al despejar m1 de la ecuación (12.85) y al hacer
m2 = 0 tenemos:
m1 =
4π 2 a3
4 × (3,14)2 × (9 378 000)3
=
= 6,4 × 1023 kg.
GT 2
6,67 × 10−11 × (27 553)2
Ejemplo 2
Calcular la altura sobre la superficie terrestre necesaria para que un
satélite artificial ubicado directamente sobre el ecuador terrestre y en
una órbita circular, posea un perı́odo exactamente igual al tiempo que
le toma a la Tierra dar una revolución completa alrededor de su eje (1
dı́a sideral). Nota: Un satélite de esta naturaleza se llama geoestacionario (ver sección 15.4, pág. 389) pues un observador en la Tierra (que
también gasta 1 dı́a sideral en dar una revolución completa) lo contemplará aparentemente estático en el cielo.
Solución
De nuevo, suponemos que la masa del cuerpo central, en este caso la
Tierra, es mucho mayor que la masa del satélite (m2 = 0). Llamando h
la altura sobre la superficie terrestre y RT el radio de la Tierra, entonces
a = RT + h. Puesto que T = 23h 56m 4s = 86 164 s (ver sección 7.2, pág.
122); m1 = 5,97×1024 kg y RT = 6378,14 km = 6 378 140 m. Despejando
a de la ecuación (12.85) tenemos:
2
3 Gm1 T
a = RT + h =
,
4π 2
de la que se deduce:
h =
6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024 × (86 164)2
4 × (3,14)2
= 3,577 × 107 m = 35 770 km.
1/3
− 6 378 140,
296
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
12.9.
Velocidades
Podemos calcular la velocidad que lleva m2 con respecto a m1 en
los tres tipos de órbitas. Basta con reemplazar los valores de la energı́a
total (ecuaciones 12.82, 12.83 y 12.84) en la ecuación (12.81) y despejar
para v:
Elip.
v = k
Par.
v = k
Hip.
v = k
m2
1+
m1
m2
1+
m1
m2
1+
m1
2 1
− ,
r a
(12.93)
2
,
r
(12.94)
2 1
+ .
r a
(12.95)
Ejemplo
Calcular:
a) La energı́a total que posee el planeta Tierra en su movimiento
alrededor del Sol.
b) La velocidad del planeta Tierra con respecto al Sol en el perihelio
y en el afelio.
c) La mı́nima energı́a necesaria para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con respecto al Sol.
Solución
a) Necesitamos ciertos valores numéricos: masa del Sol, m1 = 1,998×
1030 kg; masa de la Tierra, m2 = 5,97 × 1024 kg; semieje mayor de la
órbita de la Tierra, a = 1 u. a. = 1,496 × 1011 m, G = 6,67 × 10−11
m3 kg−1 s−2 . Habiendo colocado todos los valores en unidades MKS, reemplazamos en la ecuación (12.82):
−6,67 × 10−11 × 1,998 × 1030 × 5,97 × 1024
,
2 × 1,496 × 1011
= −2,67 × 1033 julios,
H =
12.9. VELOCIDADES
297
siendo 1 julio = 1 kgm2 s−2 . Este valor de energı́a es increı́blemente
enorme. Para dar una idea al lector basta con decir lo siguiente: la bomba
de hidrógeno más potente que ha hecho explotar el hombre fue de 58
megatones. 1 megatón es la energı́a que libera un millón de toneladas de
alto explosivo quı́mico lo que equivale a 4,18×1015 julios. Por lo tanto, la
bomba liberó 2,4×1017 julios. Luego, la energı́a total que posee la Tierra
alrededor del Sol equivale a la liberación de energı́a de unas 1,11 × 1016
bombas de hidrógeno de 58 megatones. Nótese que el signo negativo
indica la preponderancia de la energı́a potencial gravitacional sobre la
energı́a cinética que posee la Tierra, lo que obliga a la Tierra a estar
atrapada gravitacionalmente con respecto al Sol.
b) En el perihelio r = a(1 − e), siendo e = 0,016 para la Tierra.
Aplicando la ecuación (12.93) con m2 = 0 (pues la masa del Sol es
trescientas mil veces más grande que la de la Tierra) se tiene:
2
1+e
1
k
v=k
− =√
,
a(1 − e) a
a 1−e
reemplazando los valores numéricos:
0,01720209895 1 + 0,016
√
v=
= 0,017479 u. a./dı́a,
1 − 0,016
1
que en unidades de km/s da 30,26 km/s.
En el afelio r = a(1 + e). Por lo tanto:
2
1−e
1
k
v=k
− =√
,
a(1 + e) a
a 1+e
reemplazando los valores numéricos:
0,01720209895 1 − 0,016
√
v=
= 0,016929 u. a./dı́a,
1 + 0,016
1
que en unidades de km/s da 29,31 km/s.
c) Para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con respecto
al Sol se necesita que pase de una órbita elı́ptica a una trayectoria que
mı́nimo sea parabólica. Por lo tanto, el resultado encontrado en el punto
1 es el valor que buscamos pues se necesita aumentar el valor de la
energı́a cinética en 2,67 × 1033 julios para que la energı́a total sea cero.
298
12.10.
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
El cálculo de la anomalı́a verdadera
La expresión que puede utilizarse para hallar θ en función del tiempo
es la ecuación (12.58):
dθ
h
(12.96)
= 2,
dt
r
puesto que h y r tienen valores distintos para la elipse, la parábola y la
hipérbola, se ha de considerar por aparte cada uno de ellos.
Reemplazando la ecuacion (11.5) y la primera de las (12.70) válidas
para la elipse tenemos:
aμ(1 − e2 )(1 + e cos θ)2
,
a2 (1 − e2 )2
(12.97)
√
μdt
dθ
= 3/2
.
2
(1 + e cos θ)
a (1 − e2 )3/2
(12.98)
dθ
=
dt
que puede escribirse como:
Se obtiene una ecuación similar en el caso de la órbita hiperbólica
salvo que el término del denominador en el lado derecho es e2 − 1 en vez
de 1 − e2 . Desafortunadamente, la integral de la izquierda, con e = 1,
es imposible de resolver con funciones sencillas conocidas. Esta es la
razón principal de por qué el cálculo de θ, para la órbita elı́ptica e
hiperbólica, en función del tiempo, sea un poco laborioso, como veremos
a continuación.
12.10.1.
Órbita elı́ptica
El problema fundamental es encontrar una expresión que permita
encontrar θ en función del tiempo t. A continuación mostraremos que
existe una variable que es función del tiempo y que dicha variable se
puede conectar con θ, resolviendo ası́ el asunto. De la ecuación (12.65)
con C2 definido para la elipse, esto es, con la ecuación (12.71):
dr
=
dt
−
h2 2μ μ
+
− .
r2
r
a
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
299
Sigamos reemplazando valores especı́ficos para la órbita elı́ptica. De
la ecuación para h (primera de las ecuaciones (12.70) y puesto que μ
está relacionado con n vı́a ecuación (12.91)) se obtiene, una vez multiplicado por r a ambos lados:
dr 2 2
= n a [−a2 (1 − e2 ) + 2ar − r 2 ].
dt
Al reordenar obtenemos:
r
rdr
a2 e2
− (r 2 − 2ar + a2 )
= nadt,
o factorizando:
rdr
a2 e2 − (r − a)2
= nadt.
Para integrar la expresión de la izquierda introducimos la variable
E, llamada anomalı́a excéntrica, definida por:
r = a(1 − e cos E),
(12.99)
de la que se deduce:
r − a = −ae cos E,
dr = ae sen EdE,
por lo tanto:
a2 e(1 − e cos E) sen EdE
√
= nadt,
a2 e2 − a2 e2 cos2 E
quedando simplemente:
(1 − e cos E)dE = ndt.
(12.100)
Al hacer para el paso por el pericentro t0 un valor de E = 0 y para
t un valor dado de E obtenemos, después de integrar:
E − e sen E = n(t − t0 ),
(12.101)
M = n(t − t0 ),
(12.102)
y llamando
300
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
donde la variable M se denomina anomalı́a media que, como se ve, es
lineal en el tiempo.
Entonces:
E − e sen E = M.
(12.103)
Esta ecuación es una de las más famosas expresiones de la astronomı́a
dinámica. Se conoce con el nombre de ecuación de Kepler y, como se
aprecia, es trascendente en E.
La ecuación (12.103) es un paso intermedio de lo que estábamos persiguiendo, pues siempre es posible determinar E en función del tiempo
resolviendo de alguna forma esta expresión. Lo que queda por mostrar es
la conexión entre θ y E. Reemplazando las ecuaciones (12.99)
y (12.100)
en (12.96) (con el fin de eliminar dt) y puesto que h = μa(1 − e2 ) y
n = μ1/2 a−3/2 , podemos llegar fácilmente a:
√
1 − e2
dθ =
dE.
1 − e cos E
Al integrar a ambos lados de esta última expresión, colocando como
lı́mite inferior a θ = 0, esto es, en el pericentro y como también en este
punto se tiene E = 0 (ver ecuación (12.99) y comparar con (11.5)), una
consulta a una tabla de integrales1 y algo de álgebra permite llegar a:
θ
1+e
E
tan
=
tan
.
2
1−e
2
(12.104)
Esta expresión es lo que finalmente buscábamos. El vı́nculo entre θ
y el tiempo t se acaba de establecer. Primero se determina la anomalı́a
media M que es función directa del tiempo a través de (12.102); habiendo
hallado M se determina E resolviendo de algún modo la ecuación de
Kepler (ecuación (12.103)). Habiendo hallado E, se halla θ con ayuda
de (12.104).
1
Si a, b y C son constantes y x es la variable de integración se tiene:
»
–
Z
(a − b) tan(x/2)
dx
2
√
= √
+C
tan−1
a + b cos x
a 2 − b2
a 2 − b2
301
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
La solución de la ecuación de Kepler
Existen numerosas propuestas en la literatura para resolver la ecuación (12.103). Aquı́ explicaremos someramente una forma sencilla y fácil
de aplicar en una rutina computacional.
Escribamos la ecuación (12.103) en la forma (no sin antes haber
multiplicado el término e sen E por 180/π suponiendo que M y E están
en unidades de grados):
E=M+
180
π
e sen E.
(12.105)
Puesto que en la mayorı́a de los casos de interés en el sistema solar
la excentricidad suele ser pequeña (las órbitas son casi circulares para
casi todos los planetas exceptuando Mercurio), el término ( 180
π )e sen E es
minúsculo, lo suficiente como para obtener un primer valor aproximado
de E, que llamaremos E0 :
E0 = M.
Un valor mejorado de E, que llamaremos E1 , es:
E1 = M +
180
π
e sen E0 .
Obtenemos una mejor aproximación de E, llamada E2 , con:
E2 = M +
180
π
e sen E1 ,
y ası́ sucesivamente. Se observará que En converge hacia un valor determinado después del cual es completamente irrelevante continuar con el
proceso. Dependiendo de qué tan grande sea el valor de la excentricidad,
la convergencia será rápida o lenta, dentro de la precisión establecida.
Por lo tanto el valor correcto de E será aquel que cumpla:
En − En−1 = 0.
302
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Ejemplo 1
Calcular la anomalı́a verdadera y el radio vector del planeta Marte
el dı́a 3 de junio de 1999 a las 0h de TT si se conoce que el planeta
pasó por su perihelio (t0 ) en la fecha 7,94371 TT de enero de 1998 y que
posee un perı́odo de traslación alrededor del Sol de 687,02 dı́as.
Solución
Primero debemos hallar el número de dı́as transcurridos entre el
7,94371 de enero de 1998 y el 3 de junio de 1999. Calculamos las fechas
julianas respectivas: 2 450 821,44371 y 2 451 332,5. Por lo tanto la diferencia de tiempo (t − t0 ) es: 511,05629 dı́as.
El movimiento medio n se calcula mediante la ecuación (12.92) haciendo m2 = 0 y tomando a = 1,5235726:
n=
0,01720209895 × 180
= 0,5240942 o /dı́a.
3,1416 × (1,5235726)3/2
Entonces calculamos la anomalı́a media M para la fecha en cuestión
con ayuda de (12.102):
M = 0,5240942 × 511,05629 = 267,84164.
Procedemos luego a resolver la ecuación de Kepler (el valor de e
está dado en la tabla B.3 del apéndice B).
La primera aproximación es:
E1 = 267,84164 +
180
× 0,093479 × sen (267,84164) = 262,48948.
π
La segunda aproximación es:
E2 = 267,84164 +
180
× 0,093479 × sen (262,48948) = 262,53164.
π
La tercera aproximación es:
E3 = 267,84164 +
180
× 0,093479 × sen (262,53164) = 262,53112.
π
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
303
La cuarta aproximación es:
E4 = 267,84164 +
180
× 0,093479 × sen (262,53112) = 262,53113.
π
Una quinta aproximación reproduce el último valor. Vemos que en
este ejemplo basta con calcular la quinta aproximación para que el valor
de E converja a la quinta cifra decimal. Por lo tanto E = 262,53113 es
nuestro valor de anomalı́a excéntrica buscado.
Calculamos ahora el valor de la anomalı́a verdadera con ayuda de
(12.104):
θ = 2×tan
−1
1 + 0,093479
tan
1 − 0,093479
262,53113
2
= −102,75507 = 257,24493.
El cálculo del radio vector se puede hacer de dos formas. En función
de la anomalı́a excéntrica es (ver ecuación (12.99)):
r = 1,52357 × (1 − 0,093479 × cos(262,53113)) = 1,54208 u. a.
o, en función de la anomalı́a verdadera (ver ecuación (11.5)):
r=
1,52357 × (1 − 0,0934792 )
= 1,54208 u. a.
1 + 0,093479 × cos(257,24493)
Relación geométrica entre las anomalı́as
La anomalı́a excéntrica se introdujo como una variable auxiliar de
integración en la ecuación (12.99). Sin embargo, es más conocida en la
literatura como el ángulo que se define a continuación. Sea una elipse
de semieje mayor a inscrita en una circunferencia de radio a (ver figura
12.13). Elipse y circunferencia poseen el mismo centro C. La anomalı́a
excéntrica E es el ángulo HCG. Nótese que la lı́nea HG pasa por el
punto donde está el cuerpo de masa m2 (que se mueve sobre la elipse)
y cae perpendicularmente a la lı́nea D D. Resulta interesante observar
cómo un ángulo que está centrado en C permite determinar el radio
vector r (distancia F P ) con una expresión tan sencilla como la ecuación
(12.99). Demostremos que el ángulo E es la misma variable auxiliar
304
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
definida en (12.99). La distancia F G es igual a r cos θ; ası́ mismo, la
distancia JC = P G es igual a rsen θ. Puesto que:
F G = a cos E − ae,
y, puesto que de la ecuación (11.2) al hacer x = a cos E, se desprende
inmediatamente que (ver figura 11.6) CJ = b sen E,
H
I
J
P
r
D’
C
E F θ
G
ae
D
Figura 12.13: Relación geométrica entre la anomalı́a excéntrica y la verdadera
y como
F G2 + CJ 2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = (a cos E − ae)2 + (b sen E)2 ,
al tener en cuenta que b está definido por (11.1) tenemos:
r 2 = a2 cos2 E − 2a2 e cos E + a2 e2 + a2 (1 − e2 ) sen2 E.
Al dejar el seno cuadrado de la derecha en términos del coseno cuadrado obtenemos:
r 2 = a2 − 2ae cos E + a2 e2 cos2 E = (a − ae cos E)2 ,
que es la expresión elevada al cuadrado de la ecuación (12.99).
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
12.10.2.
305
Órbita hiperbólica
El procedimiento es enteramente similar al de la órbita elı́ptica. De
la ecuación (12.65) y reemplazando los valores de h y C2 para la órbita
hiperbólica (primera de las ecuaciones (12.76) y ecuación (12.77)) se
obtiene:
dr
dt
2
=−
μa(e2 − 1) 2μ μ
+
+ ,
r2
r
a
de la cual es fácil llegar a:
rdr
(r +
a)2
−
a2 e2
=
μ
dt.
a
Llamando
r = a(e cosh F − 1),
(12.106)
donde F es una variable de integración que juega el mismo papel de E
en la órbita elı́ptica.
De (12.106) se deduce:
r + a = ae cosh F,
dr = ae senh F dF.
Al realizar la integración se tiene:
e senh F − F =
μ
(t − t0 ),
a3
(12.107)
que es el equivalente de la ecuación de Kepler pero para la órbita hiperbólica.
Un proceso de integración muy semejante al que se realizó con la
órbita elı́ptica, pero esta vez con funciones hiperbólicas, se puede llevar
a cabo para obtener una relación entre la anomalı́a verdadera θ y F . Se
encuentra finalmente:
θ
e+1
F
tan
=
tanh
.
2
e−1
2
(12.108)
306
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Ejemplo 1
Un cometa se desplaza en órbita hiperbólica alrededor del Sol. Determinar la anomalı́a verdadera y el radio vector de dicho cometa el dı́a
5 de junio de 1998 a las 0h de TT sabiendo que: a = 4,787629 u. a.,
e = 1,569247 y t0 = 2,476123 TT de abril de 1998.
Solución
Calculamos las fechas julianas de ambos instantes:
5 de junio de 1998 = 2 450 969,5,
2,476123 de abril de 1998 = 2 450 905,976123,
por lo tanto, t − t0 = 63,52388.
Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol,
tenemos: μ = k2 , por lo que:
μ
k
0,01720209895
(t − t0 ) = √ (t − t0 ) =
× 63,52388 = 0,104313.
3
3
a
(4,787629)3/2
a
De la ecuación (12.107) podemos obtener F en términos del seno
hiperbólico inverso2 de tal forma que:
k(t − t0 )
−1 F
F = senh
.
+
e
ea3/2
Esta ecuación permite ir obteniendo valores aproximados de F . En
0)
efecto, tomando como un primer valor de F a k(t−t
, una primera aproa3/2
ximación de F llamada F1 queda:
−1 2k(t − t0 )
F1 = senh
.
ea3/2
Un segundo valor de F llamado F2 es de la forma:
k(t − t0 )
−1 F1
F2 = senh
,
+
e
ea3/2
2
La razón de despejar F de esta manera y no de forma directa radica en la convergencia que se logra utilizando la función hiperbólica inversa. De haber despejado
F con el término aislado, se hubiese tenido que trabajar con el seno hiperbólico lo
cual puede generar que la convergencia no siempre se alcance.
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
307
y ası́ sucesivamente hasta que los valores de Fn converjan hacia un valor
definido.
En nuestro ejemplo:
F1 = senh −1 (0,132946) = 0,132557.
Realizando sucesivas aproximaciones llegamos, después de haber alcanzado casi veinticinco de ellas (hasta la sexta cifra decimal), a F =
0,180538.
El valor de la anomalı́a verdadera se halla con (12.108):
θ = 2 × tan
−1
1,569247 + 1
tanh
1,569247 − 1
0,180538
2
= 21,654753.
El valor de r se puede hallar de dos formas. Con la ecuación (12.106):
r = 4,787629 × [1,569247 × cosh(0,1805389) − 1] = 2,848115,
o con la ecuación (12.75):
r=
12.10.3.
4,787629 × (1,5692472 − 1)
= 2,848115.
1 + 1,569247 × cos(21,6548578)
Órbita parabólica
A diferencia de los dos casos anteriores, la obtención de θ se realiza
sin vernos obligados a resolver ecuaciones trascendentes.
Reemplazando la primera de las ecuaciones (12.73) y la ecuación
(12.72) en (12.58) obtenemos, después de reordenar:
2
1 + cos θ
2
dθ =
2μ
dt,
q3
con ayuda de la identidad: 2 cos2 (θ/2) = 1 + cos θ, obtenemos:
308
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
4
2
2
sec (θ/2)dθ = sec (θ/2)(1 + tan (θ/2) dθ =
2μ
dt;
q3
puesto que d [tan(θ/2)] /dθ =(1/2) sec2 (θ/2), es fácil verificar, después
de integrar con los siguientes lı́mites: para t = t0 , θ = 0, donde t0 es
el tiempo en que ocurre el mı́nimo acercamiento de m2 con respecto
a m1 (llamado pericentro) y para cualquier tiempo t tenemos un valor
correspondiente de θ. Finalmente llegamos a:
μ
tan3 (θ/2) + 3 tan(θ/2) − 3
(t − t0 ) = 0.
(12.109)
2q 3
Como se ve, esta es una ecuación cúbica en θ/2. Ahora bien, por
el teorema fundamental del álgebra toda ecuación cúbica ha de tener
tres raı́ces. Se presentan dos casos: o las tres raı́ces son reales o existe
una raı́z real y dos son imaginarias. Nos verı́amos en serios problemas si
resulta siendo el primer caso pues implicarı́a que para un valor dado de
t existen tres valores distintos de θ.
De la teorı́a de la resolución de ecuaciones cúbicas se demuestra que
para una ecuación de la forma
x3 + αx + β = 0
(12.110)
se cumple el siguiente discriminante:
Si
Si
β 2 α3
+
4
27
β 2 α3
+
4
27
> 0
entonces hay una raı́z real y dos imaginarias.
< 0
entonces hay tres raı́ces reales.
En nuestro caso α = 3 y β = −3 2qμ3 (t − t0 ). Llamando:
μ
C=
(t − t0 ),
2q 3
(12.111)
y reemplazando en el discriminante tenemos: 9C 2 /4 + 1, cantidad esencialmente positiva por lo que siempre hemos de tener una sola raı́z real
como solución.
La solución de la ecuación (12.110) es (ver Spiegel & Abellanas, 1988,
p. 37):
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
x=
3
β
− +
2
β2
4
+
α3
27
+
3
β
− −
2
β 2 α3
+
.
4
27
309
(12.112)
Entonces, para nuestra ecuación (12.109) la solución es:
2
3 3C
3 3C
3C
3C 2
tan(θ/2) =
+1+
+ 1. (12.113)
+
−
2
2
2
2
Llamando:
3C
,
2
y dado que csc2 S = 1 + cot2 S tendremos:
cot S =
tan(θ/2) =
√
3
cot S + csc S +
√
3
cot S − csc S.
(12.114)
(12.115)
Ejemplo 1
Un cometa se desplaza en órbita parabólica alrededor del Sol con los
siguientes parámetros: q = 0,474317, t0 = 4,147810 TT mayo de 1978.
Determinar su distancia al Sol y el valor de la anomalı́a verdadera para
el tiempo 4h 3m 18,3s TT del 8 de junio de 1978.
Solución
Puesto que 4h 3m 18,3s = 4,05508h = 0,168962 de dı́a, entonces las
fechas julianas correspondientes son:
8,168958 de junio de 1978 = 2 443 667,668962,
4,14781 de marzo de 1978 = 2 443 571,64781,
por lo tanto, t − t0 = 96,02114.
Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol,
se tendrá que μ = k2 . Hallando C con ayuda de (12.111):
0,017202098952
C=
(96,02114) = 3,57545.
2 × 0,4743173
310
CAPÍTULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Luego calculamos S con ayuda de la ecuación (12.114):
2
−1
= 10,56189,
S = tan
3 × 3,57545
de la que se deduce:
cot S = 5,36318,
csc S = 5,45561.
Por lo tanto, el valor de la anomalı́a verdadera se halla con la ecuación
(12.115):
θ = 2×tan−1
3
10,56189 + 5,45561 +
3
10,56189 − 5,45561 = 120,77879.
El radio vector se calcula con ayuda de (12.72):
r=
2 × 0,474317
= 1,942826.
1 + cos(120,77879)
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York.
Aunque un poco desactualizado, constituye una descripción técnica y altamente autorizada de los métodos de la mecánica celeste utilizados a
mediados del siglo XX.
McCuskey, S. W. (1963) Introduction to Celestial Mechanics, AddisonWesley Pu. Co., Massachusetts.
Si se quiere comenzar a entender las técnicas de la mecánica celeste sin
sacrificar el desarrollo matemático, este libro es el indicado. Altamente
leı́ble y descriptivo.
Moulton, F. R. (1970) An Introduction to Celestial Mechanics, Dover
Pu., New York.
Excelente libro escrito hace ya casi cien años. Muy descriptivo aunque
se añora la descripción vectorial.
Spiegel, M. R., Abellanas, L. (1988) Fórmulas y tablas de matemática
aplicada, McGraw-Hill, Madrid.
Compendio de tablas de integrales y fórmulas útiles del álgebra y trigonometrı́a.
12.10. EL CÁLCULO DE LA ANOMALÍA VERDADERA
311
Szebehely, V., Mark, H. (1998) Adventures in Celestial Mechanics, John
Wiley & Sons, New York.
Como introducción hacia los fundamentos es excelente. No espere sólidos desarrollos algebraicos. Contiene una descripción actualizada sobre
dinámica caótica y movimiento de satélites.
http://www.physics.csbsju.edu/orbit/orbit.2d.html
En este sitio se encuentra una explicación breve sobre órbitas elı́pticas
ası́ como códigos sencillos para graficar órbitas para usuarios del programa Matematica.
http://www.geocities.com/SiliconValley/2902/kepler.htm
Contiene una calculadora en lı́nea para resolver la ecuación de Kepler.
Capı́tulo 13
LA DETERMINACIÓN
DE LA POSICIÓN EN EL
ESPACIO
13.1.
Introducción
Ya sabemos cómo calcular la anomalı́a verdadera θ y el radio vector
r en los tres tipos de órbitas. Pero este movimiento se verifica en un
plano que ha de tener una determinada orientación con respecto a un
sistema de tres ejes cartesiano centrado en m1 tal y como en el que se
definen las coordenadas eclı́pticas heliocéntricas. Imaginemos un plano
en el que se desplaza el móvil de interés que corta al plano fundamental
xy (la eclı́ptica en el caso de un objeto alrededor del Sol o el ecuador
celeste en el caso de un satélite que gira alrededor de la Tierra) en un
cierto ángulo Ω con respecto al eje x y con un ángulo de inclinación i
(ver figura 13.1).
La lı́nea que resulta del corte entre los dos planos (el de la órbita y el
fundamental) se denomina lı́nea de los nodos. Aquel punto por donde el
planeta cruza el plano xy de abajo hacia arriba (z pasa de ser negativo
a positivo) se llama nodo ascendente. El punto diametralmente opuesto
se denomina nodo descendente. Es igualmente necesario especificar en
qué punto del plano orbital está situada la lı́nea de las ápsides, esto es,
la lı́nea que contiene la dirección foco-pericentro, que es desde donde
comienza a contarse la anomalı́a verdadera. Esto se logra introduciendo
un ángulo ω, llamado argumento de latitud del pericentro, el cual se mide
312
313
13.1. INTRODUCCIÓN
z
LINEA DE LAS APSIDES
(AL PERICENTRO)
r
θ
ω
m
y
1
i
Ω
LINEA DE LOS NODOS
x
Figura 13.1: Orientación de la órbita en el espacio
desde el nodo ascendente hasta la lı́nea de las ápsides que especifica el
pericentro.
13.1.1.
Elementos orbitales
Los elementos orbitales son seis parámetros que en el problema de
los dos cuerpos son constantes (válidos para todo tiempo), que están
directamente relacionados con las constantes de integración obtenidas al
resolver el problema de los dos cuerpos.
Los elementos son:
a, el semieje mayor (o distancia media en la órbita elı́ptica).
e, la excentricidad.
i, la inclinación de la órbita con respecto al plano de referencia.
Ω, la longitud del nodo ascendente.
ω, el argumento de latitud del pericentro.
t0 , un instante de paso por el pericentro.
En el caso de la órbita parabólica existen dos modificaciones: por
un lado, el semieje mayor es reemplazado por q llamada distancia pericéntrica; por otro, la excentricidad tiene un valor fijo (e = 1).
314
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
Sin embargo, no siempre es posible encontrar los elementos en la
forma como los acabamos de reseñar. De uso corriente también se suele
utilizar:
a) Mr en vez de t0 (para la órbita elı́ptica) donde Mr es la anomalı́a
media para un tiempo dado cualquiera tr que llamaremos “de referencia”. En efecto, la anomalı́a media se define como (ver fórmula (12.102)):
M = n(t − t0 ). Sumando y restando el término ntr tenemos:
M = nt − nt0 + ntr − ntr ,
o reordenando:
M = n(tr − t0 ) + n(t − tr ),
pero n(tr − t0 ) es la anomalı́a media en el tiempo de referencia, que
llamaremos Mr , por lo que:
M = Mr + n(t − tr ).
(13.1)
b) en vez de ω, donde es llamado la longitud del pericentro, un
ángulo que resulta de la suma de ángulos definidos en planos diferentes:
= Ω + ω.
(13.2)
c) Lr en vez de t0 o de Mr (para la órbita elı́ptica) donde Lr es
la longitud media para el tiempo de referencia tr . La longitud media
está relacionada con Mr mediante:
Lr = Mr + .
13.1.2.
(13.3)
Posición en el espacio
Ahora nos planteamos lo siguiente: sabiendo para un instante dado
t los valores de θ y r al igual que Ω, i y ω (que son constantes), hallar
las componentes del vector posición r (x, y, z) para dicho tiempo t.
Sean ˆl y m̂ dos vectores unitarios (ver figura 13.2), el primero ubicado
en el plano xy y dirigido en la dirección del nodo ascendente, el segundo,
ortogonal a ˆl pero definido en el plano de la órbita en que se mueve m2 .
315
13.1. INTRODUCCIÓN
z
m
90-i
k
y
j
i
Ω
i
l
x
Figura 13.2: Definición de los vectores ˆl y m̂
Es claro que:
ˆl = cos Ωî + sen Ωĵ + 0k̂,
m̂ = − sen Ω cos iî + cos Ω cos iĵ + sen ik̂.
(13.4)
Al observar la figura 13.3 donde los vectores ˆl y m̂ están relacionados
con los vectores r̂ y θ̂ notamos que podemos escribir:
r̂ = ˆl cos(ω + θ) + m̂ sen (ω + θ),
(13.5)
y puesto que r = rr̂ tendremos:
r = xî + y ĵ + z k̂ = r cos(ω + θ)(cos Ωî + sen Ωĵ + 0k̂) +
r sen (ω + θ)(− sen Ω cos iî + cos Ω cos iĵ + sen ik̂).
Factorizando los términos que acompañan los vectores unitarios a
ambos lados obtenemos:
x = r [cos(ω + θ) cos Ω − sen (ω + θ) sen Ω cos i] ,
y = r [cos(ω + θ) sen Ω + sen (ω + θ) cos Ω cos i] ,
z = r sen (ω + θ) sen i,
(13.6)
316
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
ecuaciones válidas para cualquier tipo de órbita. Es inmediatamente
verificable que r 2 = x2 + y 2 + z 2 .
ES
ID
S
A
NE
DE
LA
S
AP
LI
m
θ
r
ω
θ
l
LINEA DE LOS NODOS
Figura 13.3: Relación de r̂ y θ̂ con los vectores ˆl y m̂
13.2.
Velocidad en el espacio
En muchos casos de interés en mecánica celeste se hace necesario
saber las componentes del vector velocidad con respecto a un determinado sistema de coordenadas. Nuestro vector velocidad está dado por
la primera de las ecuaciones (12.51), que por comodidad reproducimos
nuevamente:
ṙ = ṙr̂ + r θ̇θ̂.
(13.7)
Necesitamos hallar en esta ecuación los valores de ṙ, θ̇ y θ̂. De la
figura 13.3 se deduce que θ̂ en función de ˆl y m̂ está dado por:
θ̂ = −ˆl sen (ω + θ) + m̂ cos(ω + θ).
(13.8)
En lo que sigue, la determinación de ṙ y θ̇ se hará para la órbita
elı́ptica por ser la de mayor aplicación. Dichos valores para la órbita
13.2. VELOCIDAD EN EL ESPACIO
317
hiperbólica y parabólica se hallan de forma análoga a como se describe
a continuación.
El valor de ṙ es posible hallarlo a partir de la relación de r con
la anomalı́a excéntrica E, dada por (12.99). Al derivar con respecto al
tiempo:
ṙ = ae sen E Ė,
pero, a la vez, la relación entre el tiempo y la anomalı́a excéntrica permite
encontrar, a partir de (12.101), que
n
Ė =
,
(1 − e cos E)
de las que se deduce:
ṙ =
nae sen E
a2 ne sen E
=
.
1 − e cos E
r
(13.9)
Ası́ mismo, la relación para θ̇ es a través de la ecuación (12.58), y
para la órbita elı́ptica h viene dado por la primera de las ecuaciones
(12.70). Entonces la expresión para θ̇ en términos de la constante de
Gauss es:
a(1 − e2 )
θ̇ = k 1 + (m2 /m1 )
.
(13.10)
r2
Con esto, la ecuación (13.7) se convierte en:
2 ne sen E
a(1 − e2 )
a
ṙ =
r
+
k
1
+
(m
/m
)
θ̂.
(13.11)
2
1
r2
r
Puesto que ṙ = ẋî + ẏ ĵ + ż k̂; r = xî + y ĵ + z k̂ y θ̂ dado por (13.8),
que a su vez viene expresado por las ecuaciones (13.4), se tendrán las
componentes del vector velocidad al factorizar a ambos lados los vectores
unitarios:
p
r
a2 ne sen E
m2 a(1 − e2 )
[− cos Ω sen (ω + θ) − sen Ω cos i cos(ω + θ)],
ẋ =
x+k 1+
r2
m1
r
p
r
a2 ne sen E
m2 a(1 − e2 )
ẏ =
[− sen Ω sen (ω + θ) + cos Ω cos i cos(ω + θ)],
y+k 1+
2
r
m1
r
p
r
a2 ne sen E
m2 a(1 − e2 )
ż =
[ sen i cos(ω + θ)],
(13.12)
z
+
k
1
+
r2
m1
r
donde n está en unidades de radianes por unidad de tiempo.
318
13.3.
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
La posición con respecto a la Tierra
El procedimiento visto hasta ahora permite calcular las componentes
de los vectores posición y velocidad con respecto al plano fundamental
del cuerpo de masa m2 para un observador hipotético situado en m1 .
Esto serı́a suficiente para un satélite moviéndose alrededor de la Tierra
si el plano fundamental es el ecuador celeste, o para un planeta alrededor
del Sol, cuyo plano fundamental es la eclı́ptica.
Si estamos calculando la posición de un planeta visto desde la Tierra
se hacen necesarios varios pasos más. Los astrónomos por lo general
buscan expresar las coordenadas de los astros con referencia al ecuador
celeste. Por lo tanto nos vemos en la necesidad de pasar de las coordenadas x, y, z (eclı́pticas heliocéntricas) a unas coordenadas x , y , z (ecuatoriales heliocéntricas). Puesto que el ecuador y la eclı́ptica se cruzan en el punto vernal y que además el eje de las x está en la misma
dirección del punto vernal, la transformación entre ambas equivale a una
rotación de las coordenadas un ángulo (la oblicuidad de la eclı́ptica)
(ver figura 13.4). Por lo tanto, la relación entre el vector heliocéntricoeclı́ptico r y el vector heliocéntrico-ecuatorial r es:
r = Rx(− )r.
(13.13)
z´
z
ε
y
ε
y´
x=x´
ECLIPTICA
ECU
ε
ADO
RC
ELE
STE
Figura 13.4: Rotación alrededor del eje x
13.3. LA POSICIÓN CON RESPECTO A LA TIERRA
319
La matriz Rx(− ) es una matriz de rotación cuyo efecto al multiplicar
el vector r es rotarlo sobre el eje x un ángulo − . La matriz está definida
por:
⎞
⎛
1
0
0
− sen ⎠ .
Rx(− ) = ⎝ 0 cos
0 sen
cos
Por lo tanto, la transformación en componentes es:
x = x,
y = y cos − z sen ,
z
(13.14)
= y sen + z cos .
Si se desea hallar las componentes del vector velocidad con respecto
al ecuador celeste, la ecuación básica es análoga a la ecuación (13.13) (
se supone constante):
ṙ = Rx(− )ṙ.
(13.15)
El siguiente paso es encontrar el vector posición del objeto pero con
respecto a la Tierra. Este se halla sencillamente conociendo, para el
mismo tiempo t, el vector posición de la Tierra con respecto al Sol. De
la figura 13.5 es claro que:
ρ
= r − rT .
(13.16)
PLANETA
r´
ρ
SOL
r´
T
TIERRA
Figura 13.5: Traslación para observación desde la Tierra
320
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
Al definir un sistema de coordenadas cartesiano que llamaremos conjuntamente coordenadas ecuatoriales geocéntricas (ξ, η, ζ) para expresar
el vector ρ se deduce:
ξ = x − xT ,
η = y − yT ,
ζ = z −
(13.17)
zT .
Este sistema geocéntrico está relacionado, como es de esperarse, con
las coordenadas ecuatoriales (o coordenadas ecuatoriales absolutas), ver
figura 13.6, de la cual se desprende:
ξ = ρ cos α cos δ,
η = ρ sen α cos δ,
(13.18)
ζ = ρ sen δ,
donde ρ representa la distancia entre el cuerpo de masa m2 y la Tierra.
PNC
ζ
ρ
δ
TIERRA
η
α
ξ
Figura 13.6: Relación entre ξ, η y ζ y las coordenadas ecuatoriales absolutas
De estas ecuaciones se obtienen las coordenadas ecuatoriales del objeto para un observador ubicado en la Tierra:
13.3. LA POSICIÓN CON RESPECTO A LA TIERRA
tan α =
η
,
ξ
tan δ =
ρ =
ζ
ξ2
+ η2
,
321
(13.19)
ξ 2 + η2 + ζ 2 .
El cálculo de la ascensión recta adolece también del inconveniente
para determinar el verdadero cuadrante en que está ubicado el ángulo.
Esto se resuelve aplicando las reglas vistas en la sección 6.6.3, relaciones
(6.22).
La posición del Sol puede saberse de inmediato conociendo el vector
rT . En efecto, el vector posición del Sol con respecto al ecuador celeste
y con origen en la Tierra, que llamaremos r , está dado por:
r = −rT .
(13.20)
Las coordenadas rectangulares geocéntricas del Sol, que designaremos como X, Y, Z, serán entonces:
X = −xT ,
Y = −yT ,
Z =
(13.21)
−zT .
De acuerdo con lo anterior, las coordenadas esféricas del Sol α , δ
y ρ estarán dadas por:
tan α =
Z
√
,
2
X +Y2
=
X 2 + Y 2 + Z 2.
tan δ =
ρ
Y
,
X
(13.22)
NOTA: Las coordenadas ecuatoriales, tal y como se han hallado hasta ahora, son válidas para un observador hipotético situado en el centro
del planeta Tierra. Puesto que la mayorı́a de los cuerpos del sistema
322
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
solar están a una distancia de la Tierra muchı́simo mayor comparada
con el radio terrestre, la corrección que es necesario hacer para un observador situado aproximadamente a 6400 kilómetros del centro de la
Tierra es usualmente muy pequeña, por lo que no se tiene en cuenta.
Pero en el caso de la Luna o de satélites artificiales que están cerca de la
Tierra es necesario tener en cuenta la posición del observador (situado
en un punto sobre la superficie de la Tierra) con respecto al centro del
planeta, para luego hallar las coordenadas reales del objeto con respecto
al observador.
Por otro lado, se debe tener en cuenta que en cálculos más precisos
es necesario corregir las coordenadas por algunos de los fenómenos vistos en el capı́tulo 10. En la mayorı́a de los casos las coordenadas de un
planeta halladas por el procedimiento que se describe en este capı́tulo
están referidas al ecuador medio del año 2000,0. Si se quiere obtener
las coordenadas aparentes del planeta (para el ecuador instantáneo de
la fecha) habrá que corregir primero por aberración planetaria (ver sección 10.3.2), luego por precesión (sección 10.1) y nutación (sección 10.2).
Aun habiendo realizado todas estas correcciones no se debe esperar que
coincidan completamente las coordenadas ası́ calculadas con las que se
observan en el cielo. La razón es sencilla: hasta ahora hemos aplicado un
modelo de dos cuerpos que interactúan gravitacionalmente con el formalismo newtoniano. En la vida real ocurre que existen muchos cuerpos
y están presentes otro tipo de interacciones. Si al lector que ha llegado
a esta altura del desarrollo le parece un tanto largo el cálculo tendiente a hallar la posición de un cuerpo con precisión razonable, el cálculo
de las correcciones que se deben hacer por la presencia de los demás
cuerpos gravitacionales (ver el siguiente capı́tulo) sı́ que es en verdad
dispendioso.
Ejemplo 1
Calcular las coordenadas ecuatoriales (α, δ, ρ) del planeta Marte y
del Sol para el instante 0h TT del 20 de noviembre de 2000.
Solución
Para hallar las coordenadas de los cuerpos en cuestión es necesario
poseer los elementos orbitales tanto del planeta Marte como los de la
Tierra. Se aplicarán los resultados del problema de los dos cuerpos a
13.3. LA POSICIÓN CON RESPECTO A LA TIERRA
323
cada planeta por aparte de modo que en primera aproximación la interacción gravitacional entre Marte y la Tierra es considerada nula. Hasta
ahora hemos visto que en el problema de los dos cuerpos los elementos
son constantes para todo tiempo. Pero, en sistemas con tres o más cuerpos celestes, los elementos comienzan a ser variables con el tiempo (ver
capı́tulo 14). Es preciso, para obtener posiciones con exactitudes adecuadas, contar con elementos orbitales “frescos”, esto es, que en la época en
que se quiere calcular las posiciones, se tengan valores de elementos que
sean relativamente cercanos a dicha época. En nuestro ejemplo utilizaremos los valores consignados en el apéndice B.3, página 426, los cuales
son estrictamente válidos para el instante de tiempo 0h TT del 13 de
septiembre de 2000.
Nuestra fecha de referencia es entonces el 13 de septiembre de 2000
a las 0h TT. Comenzamos por calcular los valores de la anomalı́a media
de referencia (ver ecuación (13.3)), escribiendo los valores de Marte a la
izquierda y, a la derecha, con subı́ndice T los de la Tierra:
Mr = −206,67685 = 153,32315,
(Mr )T = 249,29326.
Se calcula la diferencia entre el tiempo en cuestión (0h 20 de noviembre de 2000) y el tiempo de referencia (0h 13 de septiembre de 2000).
Determinamos las fechas julianas de estos instantes, que son 2 451 868,5
y 2 451 800,5 respectivamente. El intervalo de tiempo entre las dos fechas
es entonces: t − tr = +68,0. El movimiento medio en unidades de grados
por dı́a aparece, por comodidad, en el mismo apéndice B.3. De no haber
sido ası́, el movimiento medio se puede calcular a partir de la ecuación
(12.92). Calculamos luego el producto n(t − tr ):
n(t − tr ) = 35,6384056,
nT (t − tr )T = 67,0227516.
La anomalı́a media en el dı́a en cuestión es, de acuerdo con (13.1):
M = 188,961556,
MT = 316,31601.
La anomalı́a excéntrica se puede calcular con el procedimiento iterativo visto en la página 301.
Realizando los cálculos correspondientes obtenemos:
324
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
E = 188,19784,
ET = 315,64570.
Con E podemos calcular el radio vector (distancia entre los planetas
y el Sol) mediante (12.99):
r = 1,66454,
rT = 0,98802.
También podemos determinar la anomalı́a verdadera mediante (12.104):
θ = −172,53363 = 187,46637,
θT = −45,02870 = 314,97130.
A manera de control, al reemplazar el valor de θ en (11.5) se ha de
obtener el mismo valor que se halló de r con ayuda de (12.99).
Calculamos ahora las coordenadas rectangulares eclı́pticas heliocéntricas de ambos planetas, con ayuda del sistema de ecuaciones (13.6):
x = −1,59523,
y = 0,472790,
z = 0,049110,
xT = 0,52408,
yT = 0,83757,
zT = 0,00000.
Como control, se ha de cumplir: r 2 = x2 + y 2 + z 2 .
Luego se calculan las coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas de ambos planetas, tomando como valor de la oblicuidad a =
23o 26 21,8 . De acuerdo con (13.14) se tiene:
x = −1,59523,
y = 0,41424,
z = 0,23312,
xT = 0,52408,
yT = 0,76845,
zT = 0,33317.
De nuevo, como control, se ha de cumplir: r 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
A continuación se determinan las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas del planeta Marte con ayuda de (13.17):
ξ = −2,11931,
η = −0,35421,
ζ = −0,10005.
Las coordenadas ecuatoriales del planeta Marte se calculan utilizando las ecuaciones (13.19), sin olvidar el criterio para determinar el cuadrante verdadero de la ascensión recta y utilizando unidades de tiempo:
325
13.4. LAS COORDENADAS TOPOCÉNTRICAS
α = 12h 37m 57s ,
δ = −2o 39 57 ,
ρ = 2,15103.
Las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas del Sol son,
de acuerdo con (13.21):
X = −0,52408,
Y = −0,76845,
Z = −0,33317.
Las coordenadas ecuatoriales del Sol se hallan fácilmente con ayuda
de (13.22):
α = 15h 42m 50s ,
δ = −19o 42 25 ,
ρ = 0,98802.
Ni las coordenadas de Marte ni las del Sol deben tomarse como
exactas. Es necesario corregir por aberración planetaria, y si se desea
obtener las coordenadas con respecto al ecuador de la fecha es preciso
corregir por precesión, nutación y aberración anual.
13.4.
Las coordenadas topocéntricas
Ya mencionamos que las coordenadas de los cuerpos celestes en el
sistema solar con respecto a la Tierra son geocéntricas, esto es, tienen
como origen el centro de nuestro planeta. Visto de otra forma: son válidas
para un observador hipotético situado en el centro de la Tierra. Esto
no tiene mayor inconveniente para aquellos cuerpos cuya distancia a la
Tierra es muy grande (centenares o miles de veces el radio terrestre). En
tal caso estar en la superficie de la Tierra o en su centro no representa
ningún cambio en la posición aparente de los astros. Pero, si se trata de
cuerpos celestes como la Luna, los planetas más cercanos a la Tierra y,
sobre todo, los satélites artificiales que circundan la Tierra apenas unos
cuantos centenares de kilómetros sobre su superficie, se hace necesario
tener en cuenta la posición de un observador (situado en la superficie)
con respecto al centro del planeta.
Para hallar las coordenadas de un astro cercano con respecto a un
observador situado en la superficie del planeta con coordenadas geodésicas (φ, λ y ρ) se debe tener en cuenta cómo es el vector de posición del
observador con respecto al centro de la Tierra.
326
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
PNC
C
ρg
ρ
t
ρo
TIERRA
Figura 13.7: Determinación del vector topocéntrico ρt
Sea, para un determinado cuerpo C, ρg su vector geocéntrico, ρo el
vector geocéntrico del observador y ρt el vector topocéntrico del objeto
con respecto al observador (ver figura 13.7). Entonces:
ρt = ρg − ρo .
(13.23)
Tenemos las componentes del vector ρg . Falta determinar las componentes del vector geocéntrico del observador ρo .
En la figura 13.8 vemos la relación existente entre el tiempo sidéreo
local T SL (ver sección 7.3) en el momento de la observación, la latitud
geocéntrica φ , la distancia radial ρ y el vector topocéntrico del observador con coordenadas rectangulares ξo , ηo y ζo . Se deduce inmediatamente
que:
ξo = ρ cos T SL cos φ ,
ηo = ρ sen T SL cos φ ,
(13.24)
ζo = ρ sen φ .
Las coordenadas rectangulares topocéntricas (ξt , ηt , ζt ) vienen dadas
por (13.23):
327
13.4. LAS COORDENADAS TOPOCÉNTRICAS
ζο
ρo
φ´
ηο
TSL
ξο
Figura 13.8: Relación entre las componentes del vector geocéntrico del observador
ρo con las coordenadas geodésicas de este
ξt = ξg − ξo ,
ηt = ηg − ηo ,
(13.25)
ζt = ζg − ζo .
Las coordenadas ecuatoriales absolutas topocéntricas del astro son
entonces:
tan αt =
ηt
,
ξt
tan δt =
ρt =
ηt
ξt2 + ηt2
,
(13.26)
ξt2 + ηt2 + ζt2 .
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Escobal, P. R. (1965) Methods of Orbit Determination, Krieger Pu. Co.,
Malabar.
328
CAPÍTULO 13. POSICIÓN EN EL ESPACIO
Un libro claro y preciso sobre los fundamentos de la mecánica celeste
con énfasis en la determinación de órbitas. El apéndice 1 contiene un
compendio de 36 transformaciones de coordenadas básicas.
McCuskey, S. W. (1963) Introduction to Celestial Mechanics, AddisonWesley Pu. Co., Massachusetts.
Si se quiere comenzar a entender las técnicas de la mecánica celeste sin
sacrificar el desarrollo matemático, este libro es el indicado. Altamente
leı́ble y descriptivo.
Montembruck, O. (1989) Practical Ephemeris Calculations, SpringerVerlag, New York.
Un libro claro y muy útil para aquellos que deseen hallar las ecuaciones
básicas de transformación de coordenadas en diversas aplicaciones de la
astronomı́a de posición.
Moulton, F. R. (1970) An Introduction to Celestial Mechanics, Dover
Pu., New York.
Excelente libro escrito hace ya casi cien años. Muy descriptivo aunque
se añora la descripción vectorial.
http://www.bdl.fr/
Aquı́ se encuentra un excelente servidor de efemérides.
http://ssd.jpl.nasa.gov/
Se puede conseguir gran información sobre dinámica del sistema solar y
también instrucciones para entrar a un servidor de efemérides.
Capı́tulo 14
PERTURBACIONES
14.1.
Introducción
El lector debe tener muy claro lo siguiente: el problema de los dos
cuerpos es un modelo que describe el movimiento de dos cuerpos puntuales aislados completamente del universo (esto es, de otras masas).
Por otra parte, no tiene en cuenta otro tipo de interacciones; solamente
considera la fuerza gravitacional newtoniana entre las partı́culas, dejando completamente de lado otras posibles interacciones, como fuerzas
electromagnéticas, fuerzas aerodinámicas (resistencia y sustentación),
fuerzas de repulsión (presión de radiación), etc.
Pero, a pesar del grado de idealización del problema, que puede conducir a pensar que los resultados encontrados en la aplicación del problema de los dos cuerpos son muy aproximativos y alejados de la realidad,
el hecho es que los astrónomos utilizan frecuentemente la solución del
problema de los dos cuerpos para estudiar el movimiento de un planeta
alrededor del Sol, de un satélite alrededor de la Tierra, o el de estrellas
binarias que giran mutuamente, etc. Esto se debe a dos cosas: primero,
que el problema de los dos cuerpos genera unas ecuaciones diferenciales
que son completamente integrables, esto es, todas las ecuaciones tienen una solución analı́tica, lo cual es importantı́simo considerando que
problemas de tres o más cuerpos no tienen soluciones completas. Segundo: el problema de los dos cuerpos constituye en sı́ una excelente
aproximación para la descripción del movimiento de la mayorı́a de los
cuerpos celestes. En el caso del sistema solar, por ejemplo, al estudiar el
movimiento de un cometa alrededor del Sol, se pueden aplicar los resul329
330
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
tados del problema de los dos cuerpos (suponer que entre el cometa y
el Sol hay solo vacı́o y que la única fuerza existente es la gravedad, que
los restantes planetas no existen, que ambos objetos son perfectamente
esféricos con distribución uniforme de masa y que la teorı́a de gravitación
es la newtoniana y no la einsteniana), lo cual da una excelente teorı́a
para la predicción de la posición del cometa en el tiempo. O al menos al
principio, pues el hecho real es que la teorı́a, conforme va transcurriendo el tiempo, comienza a apartarse de lo que se observa en realidad
del movimiento del cometa. El modelo lentamente comienza a arrojar
resultados que no corresponden a lo que se observa. La razón es clara:
los planetas sı́ existen, e influyen gravitacionalmente sobre el cometa; la
curvatura del espacio originada por el Sol ocasiona muy ligeras perturbaciones en el movimiento del cometa; además, al pasar cerca del Sol,
los cometas experimentan bruscas eyecciones de masa, convirtiéndose en
esos instantes en objetos semiautopropulsados, experimentando fuerzas
ajenas a las de la gravedad parecidas a las que se generan en un cohete.
De esto se deduce que, estrictamente hablando, las trayectorias de
los planetas alrededor del Sol no son elı́pticas, pero que en primera aproximación sı́ lo son. Ahora bien, en el caso de los planetas del sistema
solar ocurre algo que es afortunado: casi toda la masa del sistema solar
está concentrada en el Sol. El planeta de mayor masa es Júpiter, con tan
solo 1/1000 de la masa del Sol. Al sumar la masa de los demás planetas encontramos que no alcanzamos a llegar a la masa de Júpiter. Esto
en términos prácticos significa que en el estudio del movimiento de un
planeta cualquiera Y (con masa m2 ) alrededor del Sol (de masa m1 ),
podemos utilizar como primera y excelente aproximación los resultados
del problema de los dos cuerpos, con lo que estarı́amos suponiendo que
los restantes planetas “casi” no influyen en el movimiento del planeta en
consideración por poseer masas mx que son supremamente pequeñas con
respecto a m1 . Pero en perı́odos extendidos de tiempo los planetas de
masas mx hacen sentir su presencia sobre el movimiento del planeta Y,
y decimos que dichos planetas “perturban” a Y. La elipse que describe
la trayectoria en el espacio de dicho planeta será ligeramente diferente
en tamaño y orientación espacial a medida que transcurre el tiempo.
Pero consideremos el caso de la órbita de la Luna alrededor de la
Tierra. En este sistema hay que considerar la presencia del Sol, pues
la atracción gravitacional de este es significativa sobre nuestro satélite.
14.1. INTRODUCCIÓN
331
Este es un problema de tres cuerpos (si suponemos que la atracción gravitacional de los planetas vecinos es despreciable). El problema de los
tres cuerpos puede ser expresado en términos de ecuaciones diferenciales
bien con origen de coordenadas en el espacio o en el centro de uno de dichos cuerpos. Lo trágico es que desde los tiempos de Newton, que fue el
primero en tratar de hallar la solución a dichas ecuaciones, nadie ha podido encontrar una solución analı́tica completamente general y cerrada
del problema. Los matemáticos y astrónomos recurren entonces a todo
tipo de soluciones aproximadas. Una manera de atacar el problema, en
el caso del estudio del movimiento de la Luna, es tratar el problema en
primera aproximación como de dos cuerpos (Tierra y Luna), anulando
la presencia del Sol. El modelo resultante es útil únicamente para unos
cuantos dı́as pues a medida que transcurre el tiempo es aparente que
la teorı́a no coincide con la observación. Obvio: el Sol sı́ influye gravitacionalmente sobre la Luna, por lo que la orientación y la forma de la
elipse cambia relativamente rápido en el tiempo. Las técnicas aproxima-
Figura 14.1: Julio Garavito Armero (1865-1920)
tivas tratan de tener en cuenta cómo es la perturbación del Sol sobre
la Luna para todo tiempo. Baste con decir aquı́ que este es un proceso
que involucra una cantidad enorme de cálculos matemáticos. A manera
de información mencionemos que el célebre ingeniero civil y astrónomo
bogotano Julio Garavito Armero, quien fue director del Observatorio
332
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
Astronómico Nacional, estudió y contribuyó de forma significativa al estudio del movimiento de la Luna1 .
Si el problema de los tres cuerpos no tiene solución analı́tica completa, el problema de los n cuerpos (n > 3) la tendrá aún menos. Estudiar
el movimiento del sistema solar con 8 planetas y el Sol (un problema
de 9 cuerpos) implica la realización de cálculos aproximativos altamente
complicados.
Si se desea explicar satisfactoriamente el movimiento de un cuerpo
sometido a diversas fuerzas, con un grado de predicción razonable, nos
vemos abocados a complicar las ecuaciones diferenciales que describen
el movimiento. Con complicar queremos decir incluir todos los términos
que representan las fuerzas que de una u otra manera afectan el movimiento.
Al contemplar la presencia de una tercera partı́cula material (u otras
más), o si entra en consideración la verdadera forma de los cuerpos materiales (potenciales gravitacionales que dejan de depender de la distancia solamente) o entran en juego fuerzas distintas a las gravitacionales
(presión de radiación, resistencia del medio, etc.), o introducimos la relatividad general y linealizamos las ecuaciones al orden 1/c2 (donde c
es la velocidad de la luz en el vacı́o) para incluir la curvatura del espacio originada por los cuerpos materiales, las ecuaciones diferenciales que
rigen el movimiento de m2 respecto a m1 son ahora de la forma:
r̈ = − μ r + ap ,
r3
(14.1)
donde es un parámetro que indica el grado de magnitud de la aceleración ap , que en el contexto clásico es llamada “aceleración perturbativa”. Obtener las ecuaciones diferenciales es la parte menos complicada
del asunto. Lo espinoso es resolverlas. La realidad es que solo es posible obtener todas las constantes de movimiento en el problema de dos
cuerpos (cuando en (14.1) es cero), o, en otros términos, y como se
ha dicho incansablemente, las ecuaciones del problema de dos cuerpos
1
El trabajo más sobresaliente de Garavito fue publicado más de 25 años después
de su muerte. Se titula Fórmulas definitivas para el cálculo del movimiento de la
Luna por el método de Hill-Brown y con la notación usada por Henri Poincaré en el
tomo III de su curso de mecánica celeste y se encuentra en la Revista de la Academia
Colombiana de Ciencias Exactas, Fı́sicas y Naturales, 1946, vol. VI, No. 24, p. 560.
14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
333
son completamente integrables de forma analı́tica. Solamente en tal caso es posible obtener una solución de la forma (sin hacer concesiones ni
aproximaciones de algún tipo):
ṙ = ṙ(ck , t),
r = r(ck , t),
(14.2)
donde los ck representan las constantes de movimiento.
A pesar de la simplicidad de la aceleración perturbativa ap en algunos
casos, la ecuación (14.1) no posee solución analı́tica general exacta.
14.2.
El problema de los tres cuerpos
La adición de un cuerpo de masa m3 a un sistema que consistı́a de
dos cuerpos de masas m1 y m2 da lugar al estudio del movimiento de
tres cuerpos. El problema de los tres cuerpos es: calcular el movimiento
de tres masas puntuales que se atraen las unas a las otras bajo la ley
de atracción newtoniana para cualquier valor de las masas y cualquier
condición inicial. Es un problema cuya solución ya fue buscada desde los
tiempos de Newton para explicar el movimiento de la Luna alrededor
de la Tierra teniendo en cuenta la presencia del Sol. El mismo Newton
se quejó de que la complicación del problema era de tal magnitud que,
de todos los problemas matemáticos con que se habı́a enfrentado, el del
movimiento de la Luna era el que más le habı́a producido dolor de cabeza.
Sean tres cuerpos puntuales con masas m1 , m2 y m3 con sus respec 1, R
2 y R
3 referidos a un punto O cualquiera
tivos vectores posición R
12 el vector rede un sistema de coordenadas inercial. Sean también D
13 el vector relativo
lativo del cuerpo de masa m2 con respecto a m1 , D
del cuerpo de masa m3 con respecto a m1 y D23 el vector relativo del
cuerpo de masa m3 con respecto a m2 .
De acuerdo con la ley de atracción gravitacional deducimos que la
fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m1 debido a la presencia
de m2 y m3 es:
F1 = F12 + F13 ,
o, con la ley de atracción gravitacional:
334
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
m1
D12
m2
R2
R1
D 23
D13
m
3
R3
O
Figura 14.2: Problema de los tres cuerpos
Gm1 m2 Gm1 m3 D12 +
D13 .
m1 R̈1 =
3
3
D12
D13
(14.3)
La fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m2 debido a la
presencia de m1 y m3 es:
F2 = F21 + F23 ,
esto es,
Gm1 m2 Gm2 m3 m2 R̈2 = −
D12 +
D23 .
3
3
D12
D23
(14.4)
Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m3 debido
a la presencia de m1 y m2 es:
F3 = F31 + F32 ,
o sea:
Gm1 m3 Gm2 m3 m3 R̈3 = −
D13 −
D23 .
3
3
D13
D23
Sumando las ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) obtenemos:
m1 R̈1 + m2 R̈2 + m3 R̈3 = 0.
Al integrar una vez con respecto al tiempo:
(14.5)
14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
1,
m1 Ṙ1 + m2 Ṙ2 + m3 Ṙ3 = K
335
(14.6)
1 es un vector constante que representa, en el espacio, tres
donde K
constantes escalares. La ecuación (14.6) significa que la suma de los momentos lineales de los cuerpos involucrados es una constante.
Una nueva integración de (14.6) permite llegar a:
1t + K
2.
m1 R1 + m2 R2 + m3 R3 = K
(14.7)
cm como:
Al definir el vector centro de masas de nuestro sistema R
cm = m1 R1 + m2 R2 + m3 R3 ,
R
m1 + m2 + m3
la ecuación (14.7) queda:
cm =
R
1t
2
K
K
+
,
m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3
que significa que el centro de masas del sistema se desplaza en el espacio
en lı́nea recta y con movimiento uniforme.
Ya llevamos seis integrales de movimiento. Podemos encontrar otras
tres. Reescribiendo las ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) en términos de
la velocidad:
m1 m2 m1 m3 = G
3 D12 + D 3 D13 ,
D12
13
m1 m2 m2 m3 = G − 3 D12 +
3 D23 ,
D12
D23
m1 m3 m2 m3 = G − 3 D13 −
3 D23 .
D13
D23
m1v̇ 1
m2v̇ 2
m3v̇ 3
(14.8)
(14.9)
(14.10)
1 ×, (14.9) por R
2 × y (14.10) por R
3 ×,
Multiplicando (14.8) por R
13 ,
sumando, teniendo en cuenta que: R2 = R1 + D12 , R3 = R1 + D
R3 = R2 + D23 , Ri × Ri = 0 y (Ri × Rj ) = −(Rj × Ri ), obtenemos:
2 × v̇ 2 + m3 R
3 × v̇ 3 = 0.
1 × v̇ 1 + m2 R
m1 R
336
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
× Ṙ
+ m Ṙ
Sumando cero a esta expresión en la forma: m1 Ṙ
1
1
2 2 ×
+ m Ṙ
Ṙ
2
3 3 × Ṙ3 y utilizando la regla de Leibniz:
m1
d d d (R1 × v1 ) + m2 (R
v2 ) + m3 (R
v3 ) = 0.
2 ×
3 ×
dt
dt
dt
Compactando y reordenando los términos:
3
d Ri × mivi = 0,
dt
i=1
que al integrar resulta en:
=
H
3
i × mivi ,
R
(14.11)
i=1
representa la conservación del momento andonde el vector constante H
gular. Tenemos tres nuevas constantes escalares en el espacio. A medida
que los tres cuerpos se desplazan en el espacio, sus vectores posición y
conserva una magnitud constante y
velocidad son tales que el vector H
se
una dirección fija en el espacio. La lı́nea a lo largo de la cual se dirige H
llama lı́nea invariable. Asociada a esta lı́nea está un plano perpendicular
a ella y que contiene el centro de masas, que es llamado plano invariable.
Podemos hallar otra constante de movimiento. Multiplicando esca , (14.9) por Ṙ
y (14.10) por Ṙ
, colocando los
larmente (14.8) por Ṙ
1
2
3
12 = D12 u12 , D
13 = D13 u13 y D
23 = D23 u23 , sumando todos
vectores D
los términos y reordenando tenemos:
· v̇ + m Ṙ
m1 Ṙ
1
1
2 2 · v̇ 2 + m3 Ṙ3 · v̇ 3 =
Gm1 m2
− Ṙ
)+ Gm1 m3 u ·(Ṙ
− Ṙ
)+ Gm2 m3 u ·(Ṙ
− Ṙ
).
u12 ·(Ṙ
1
2
13
1
3
23
2
3
3
3
3
D12
D13
D23
(14.12)
= Ṙ
− Ṙ
, Ḋ
= Ṙ
− Ṙ
y Ḋ
= Ṙ
− Ṙ
,
Ahora bien, como Ḋ
12
2
1
13
3
1
23
3
2
se deduce que:
− Ṙ
) = u · (−Ḋ
) = u · (Ḋ u + D u̇ ) = −Ḋ ,
u12 · (Ṙ
1
2
12
12
12
12 12
12 12
12
337
14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
donde se ha hecho uso de que u12 · u12 = 1 y u12 · u̇12 = 0.
− Ṙ
) = −Ḋ y u ·
De igual forma es posible obtener: u13 · (Ṙ
1
3
13
23
− Ṙ
) = −Ḋ .
(Ṙ
2
3
23
= v , la ecuación (14.12) queda:
Con esto, y como Ṙ
i
i
m1 m2
m1 m3
m2 m3
m1v1 ·v̇ 1 +m2v2 ·v̇ 2 +m3v3 ·v̇ 3 = −G
3 Ḋ12 + D 3 Ḋ13 + D 3 Ḋ23 .
D12
13
23
Pero:
1 d
(vi )2 = vi · v̇ i ,
2 dt
−1
dDik
1 dDik
=− 2
,
dt
Dik dt
por lo que la anterior ecuación se puede escribir como:
3
d 1
d m1 m2 m1 m3 m2 m3
2
.
mi vi = G
+
+
dt 2
dt D12
D13
D23
i=1
Llamando T energı́a cinética y V energı́a potencial dados por:
1
T =
mi vi2 ,
2
3
i=1
m1 m2 m1 m3 m2 m3
,
V = −G
+
+
D12
D13
D23
podemos integrar a ambos lados y obtener:
T − V = E,
(14.13)
donde E es una constante llamada energı́a total del sistema.
Puesto que no es posible obtener más constantes de movimiento, no
es posible llegar a una solución analı́tica general del problema. Un comentario generalizado al respecto puede verse en la sección 14.3.
Es posible estudiar el movimiento de las masas m2 y m3 con respecto a m1 , tal y como se hizo en el problema de los dos cuerpos donde
se redujo el asunto a estudiar el movimiento de una de las masas con
respecto a la otra.
12 = R
2 − R
1 se desprende: D̈
Como D
12 = R̈2 − R̈1 , la cual, al
introducir las masas de la siguiente forma:
338
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
m2
= m R̈
.
m2 D̈
m1 R̈
12
2 2−
1
m1
Al reemplazar en esta última las ecuaciones (14.3) y (14.4) se obtiene:
= − G(m1 + m2 ) D
12 + Gm3 D23 − D13 .
D̈
12
3
3
3
D12
D23 D13
12 , r = D
13 , ρ =
Haciendo el siguiente cambio de notación: r = D
23 , la anterior ecuación queda (ver figura 14.3):
D
G(m
ρ
+
m
)
r
1
2
r̈ = −
.
(14.14)
r + Gm3
−
r3
ρ3 r 3
m2
ρ
m3
r
r’
m1
Figura 14.3: Movimiento relativo de dos cuerpos con respecto a un tercero
En forma análoga, la ecuación vectorial que gobierna el movimiento
relativo de la partı́cula de masa m3 , sometida al campo gravitacional de
las partı́culas con masas m1 (ubicada en el origen de coordenadas) y m2
es:
ρ
G(m1 + m3 ) r
r̈ = −
(14.15)
r + Gm2
− 3 .
3
3
r
ρ
r
Nótese que, en términos de componentes espaciales, son seis ecuaciones diferenciales de segundo orden, o, para resolver completamente el
problema, es necesario obtener ahora doce constantes de movimiento.
14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
339
El grado de complicación de estas ecuaciones es tal que, a pesar de
los enormes esfuerzos de muchos matemáticos notables, nunca ha sido
posible hallar una solución analı́tica completamente general.
Sin embargo, a la hora de hallar el movimiento de un planeta como
la Tierra alrededor del Sol, perturbado, digamos, por Marte, el término
Gm3 (siendo m3 la masa de Marte, o en general la masa de cualquier planeta) es de magnitud muy pequeña, lo que significa que la perturbación
también lo es. Ello permite, en un buen grado de aproximación, estudiar
el movimiento de la Tierra únicamente y suponer que el movimiento del
planeta perturbador se describe mediante una elipse perfecta, lo que en
términos prácticos quiere decir que renunciamos, por ahora, a encontrar
el movimiento exacto de m3 y solo nos ocupamos de resolver la ecuación
(14.14).
NOTA: en la teorı́a lunar el término Gm3 (siendo m3 la masa del
Sol) es mucho más grande que en la teorı́a del movimiento de los planetas
en torno al Sol. Ello hace que las expansiones en serie sean fabulosamente
enormes, haciendo el problema bastante complicado de resolver.
Coloquemos un sistema de coordenadas cartesiano con origen en el
centro de m1 . Entonces: r 2 = x2 + y 2 + z 2 , r 2 = x 2 + y 2 + z 2 y
ρ2 = (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 .
La ecuación diferencial (14.14) en términos de sus componentes se
convierte en el sistema:
μ
x −x
x
,
x
+
Gm
−
3
r3
ρ3
r3
μ
y −y
y
ÿ = − 3 y + Gm3
− 3 ,
r
ρ3
r
μ
z −z
z
z̈ = − 3 z + Gm3
.
−
r
ρ3
r3
ẍ = −
(14.16)
Pero, considerando las siguientes derivadas con respecto a x (por
poner un ejemplo):
∂ρ−1
(x − x)
,
=
∂x
ρ3
x
∂ xx + yy + zz =
,
∂x
r3
r3
340
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
y derivadas similares para y y para z y puesto que r · r = xx + yy + zz ,
podemos definir una función, llamada función perturbadora, ası́:
1 r · r
R = Gm3
.
(14.17)
− 3
ρ
r
La ecuación para x se puede escribir entonces:
μ
∂R
x+
,
r3
∂x
con expresiones análogas para y y z.
ẍ = −
La ecuación (14.14) puede escribirse de la forma (siendo ∇ el operador nabla2 ):
r̈ = − μ r + ∇R.
(14.18)
r3
Nótese que al hacer m3 = 0 esta ecuación se reduce a la de los dos
cuerpos (ecuación (12.26)).
14.2.1.
El problema restringido circular de los tres cuerpos
Existe un caso interesante del problema de los tres cuerpos que consiste en suponer que uno de ellos es de masa infinitesimal (digamos m3 )
y que los otros dos (de masas m1 y m2 ) se mueven en órbita circular (dos
cuerpos sin perturbación externa separados por una distancia constante
d) con respecto a su centro de masa. El reto es encontrar, para todo
tiempo, el movimiento de la partı́cula de masa despreciable sometida
al campo gravitacional de m1 y m2 . El problema ası́ descrito se conoce
con el nombre de problema “restringido” circular de los tres cuerpos.
Lagrange encontró que las ecuaciones de movimiento de la partı́cula en
cuestión, mediante una ingeniosa transformación de coordenadas, poseen
una integral de movimiento que relaciona la velocidad de la partı́cula con
las zonas donde le es permitido moverse.
La transformación de coordenadas consiste en introducir las denominadas coordenadas rotantes, esto es, el sistema de referencia cuyo origen
2
“
”
∂
∂
∂
∇ = î ∂x
+ ĵ ∂y
+ k̂ ∂z
14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
m
341
2
CENTRO DE MASAS
m
1
EJE ROTANTE
Figura 14.4: Dos cuerpos en órbita circular alrededor de su centro de masas
es el centro de masas es puesto a rotar ya que se exige que uno de los
ejes contenga siempre a los dos cuerpos de masas m1 y m2 que giran con
movimiento uniforme una alrededor de la otra (ver figura 14.4). Aunque
las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la partı́cula
de masa infinitesimal no se pueden resolver de forma analı́tica cerrada,
es posible demostrar que existen cinco puntos de velocidad cero (con
respecto a los ejes en rotación) donde, en cada uno de ellos, al ubicar
la partı́cula de masa infinitesimal, esta permanecerá fija en ese mismo
punto. En otras palabras, si sabemos que una partı́cula está ubicada
en alguno de estos puntos, dotada de velocidad cero con respecto a los
cuerpos de masa m1 y m2 , entonces dicha partı́cula permanecerá ubicada para siempre en dicho punto.
Los puntos en cuestión se llaman puntos de Lagrange (ver figura
14.5). Tres de esos, denominados colineales (L1, L2 y L3), se ubican en
la misma lı́nea que une los dos cuerpos principales. Las distancias a que
se encuentran de los cuerpos de masa m1 y m2 dependen enteramente
de las masas de estos. Los otros dos puntos, llamados triangulares (L4,
L5), se sitúan a una distancia tanto de m1 como de m2 , esto es, m1 , m2
y L4 (o L5) conforman un triángulo equilatero.
Es relativamente sencillo demostrar que los puntos colineales son inestables, esto es, cualquier mı́nima perturbación ejercida sobre el cuerpo
de masa m3 que lo obligue a desplazarse una pequeña distancia de su
punto de velocidad cero, abandonará de forma irremediable el punto en
cuestión. Los puntos triangulares son otro asunto: bajo ciertas condiciones, al perturbar y por lo tanto desalojar ligeramente a m3 de L4 o L5,
342
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
L4
*
L3
L1
*
*
L2
*
m2
m1
*
L5
Figura 14.5: Los puntos de Lagrange
el cuerpo retornará a su posición original, por lo que se dice que estos
puntos triangulares son estables. Y, de hecho, la naturaleza muestra la
solidez de estas consideraciones teóricas. En 1907 se descubrió un asteroide, llamado Aquiles, en la misma órbita de Júpiter pero a unos 60
grados al frente de este. En otras palabras: Aquiles está ubicado cerca
del punto L4 de la órbita Sol-Júpiter. Desde entonces se han descubierto
numerosos asteroides no solo en L4 sino también en L5. Puesto que a la
mayorı́a se les han dado nombres de personajes de la Iliada, se les conoce
con el nombre de asteroides troyanos. Recientemente se han encontrado
asteroides “troyanos marcianos”, esto es, muy cerca de los puntos L4 y
L5 de la órbita Sol-Marte. Debe quedar claro, sin embargo, que los asteroides troyanos no están exactamente en los puntos L4 y L5, pues las
perturbaciones gravitacionales generadas por los otros planetas y la excentricidad inherente de los planetas hacen que en realidad estos objetos
estén “librando” alrededor del punto en cuestión.
14.3.
El problema de los n cuerpos
El problema de los n cuerpos es: dadas en cualquier tiempo las posiciones y velocidades de n cuerpos moviéndose bajo sus mutuas atracciones gravitacionales, calcular sus posiciones y velocidades para cualquier
otro tiempo. Las ecuaciones de movimiento de n masas puntuales mi ,
14.3. EL PROBLEMA DE LOS N CUERPOS
343
i = 1, 2, . . . , n, cuyo radio vector Ri está dado con respecto a un sistema
inercial con origen en O, son:
mi mj
¨i = G
mi R
3 rij ,
rij
j=1
n
j = i,
i = 1, 2, . . . , n,
(14.19)
i.
donde rij = Rj − R
Como ya se dijo, si el problema de los tres cuerpos no tiene solución
analı́tica, el de cuatro o más cuerpos la tendrá aún menos. La razón de
esto es como sigue. Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
es necesario encontrar tantas integrales independientes como el orden de
dicho sistema. Supóngase que se tienen n cuerpos interactuando gravitacionalmente. Ello significa que tenemos, con respecto a un sistema de
coordenadas inercial dado, 3n ecuaciones diferenciales de segundo orden
que se reducen a 6n ecuaciones diferenciales de primer orden, esto es,
tenemos un sistema cuyo orden es 6n por lo que se han de obtener, para
resolver el problema, 6n constantes de movimiento. Es posible obtener,
a partir de la ecuación (14.19), por un procedimiento similar al que se
realizó en el problema de los tres cuerpos, diez integrales, llamadas integrales clásicas eulerianas, que son: seis integrales para el centro de
masas (que indican que el centro de masas de un sistema de n partı́culas se desplaza en el espacio en una lı́nea recta); tres integrales para el
momento angular (que quiere decir que la suma de cada uno de los momentos angulares de las n partı́culas es una constante y que esta define
un plano llamado plano invariable de Laplace), y por último la integral
de la energı́a: la suma de las energı́as cinéticas de las partı́culas con la
energı́a potencial gravitacional mutua entre ellas es una constante. Por
dos transformaciones adicionales es posible obtener dos constantes más:
una de ellas consiste en eliminar el tiempo, haciendo que una de las otras
variables sea la variable independiente; la otra es llamada “eliminación
del nodo” y fue encontrada por el matemático alemán Karl Gustav Jacobi. En total, haciendo lo que, hasta ahora, es humanamente posible,
obtenemos 6n − 12 integrales independientes. En el caso de tener tres
cuerpos (n = 3) nos quedan haciendo falta 18 − 12 = 6 integrales independientes, por lo que no es posible resolver analı́ticamente el problema.
Puesto que han resultado estériles los esfuerzos de los matemáticos para
encontrar más integrales independientes, los investigadores terminan por
abordar el asunto en el sentido contrario: intentar probar la no existencia
344
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
de más integrales independientes. Poincaré demostró, por ejemplo, la no
existencia de integrales adicionales que sean uniformes a los elementos
orbitales.
14.4.
Perturbaciones al problema de los dos cuerpos
En muchos problemas de interés el movimiento de una partı́cula alrededor de otra puede describirse en primera aproximación por el problema
de los dos cuerpos. Ello significa que de todas las posibles interacciones
que puedan influir en el movimiento de esos dos cuerpos, la fuerza dominante es la de la atracción gravitacional con un potencial de la forma
V = − Gmr1 m2 . Las otras interacciones (una tercera partı́cula u otras
más), asimetrı́a del cuerpo central, etc., influyen en menor grado. Dichas interacciones se conocen como fuerzas de perturbación.
Las fuerzas de perturbación pueden ser de muy diversa naturaleza.
Por mucho tiempo la principal fuerza de perturbación que estudiaron
los astrónomos fue la fuerza de atracción gravitacional originada por la
presencia de una tercera masa (o más). El estudio del movimiento de la
Tierra alrededor del Sol, pero perturbado por la presencia de todos los
demás planetas, es uno de tales ejemplos. Con la aparición de la teorı́a de
la relatividad general fue necesario incluir las perturbaciones originadas
por curvatura del espacio-tiempo. El advenimiento de la edad espacial a
finales de los años cincuenta obligó a los astrónomos a considerar otros
tipos de fuerzas perturbadoras, como no esfericidad del cuerpo central,
presión de radiación, resistencia atmosférica, etc.
Las fuerzas de perturbación que estudiaremos son:
- Presencia de un tercer cuerpo, o de más cuerpos
- No esfericidad del cuerpo central
- Rozamiento atmosférico
- Presión de radiación
- Eyección de masa
345
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
- Curvatura del espacio
- Efecto Poynting-Robertson
- Efecto Yarkovsky
- Resistencia por partı́culas cargadas
Enseguida ofrecemos un breve comentario de cada una de ellas.
14.4.1.
Presencia de un tercer cuerpo, o de más cuerpos
La presencia de un tercer cuerpo, llamado perturbador, se estudia
por medio de la ecuación (14.18). No es posible resolver esta ecuación
diferencial de una forma analı́tica cerrada. Un intento de solución analı́tica, como se verá en la sección 14.5.2, es por aproximaciones, utilizando
el método de constantes arbitrarias. Puesto que en el sistema solar las
masas de los planetas son al menos mil veces más pequeñas que la del
Sol, el valor de R (que está siendo multiplicado por la masa de un planeta perturbador) también es pequeño.
La presencia de varios cuerpos perturbadores se aborda utilizando
una generalización de la ecuación (14.14). Es posible mostrar que la
presencia de n cuerpos perturbadores que afectan al cuerpo de interés
se puede describir mediante una ecuación de la forma:
n
r
μ
ρ
i
i
r̈ = − r +
,
Gmi
3 − r 3
r3
ρ
i
i
i=3
donde ρi es el vector entre nuestro cuerpo de interés m2 y el cuerpo de
masa mi , y ri es el vector entre el cuerpo de masa principal (m1 ) y el
cuerpo de masa mi .
Entonces, la ecuación que rige el movimiento de m2 perturbado por
la presencia de n cuerpos se puede escribir de la forma:
r̈ = − μ r +
r3
n
∇Ri .
(14.20)
i
En el caso de un satélite artificial en torno a la Tierra las masas
perturbadoras son el Sol y la Luna. Ahora bien, las masas de estos cuerpos son notables, particularmente la del primero, pero ha de tenerse en
346
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
cuenta que la función perturbadora, además de depender de la masa del
cuerpo perturbador, depende también de la relación del cuadrado inverso de las distancias que separan a la Tierra (y al satélite) de los cuerpos
perturbados. Como las distancias son muy grandes, sus cuadrados inversos son pequeños, por lo que el efecto perturbador será apreciable solo
para satélites cuyas distancias a la Tierra sean muy grandes, de varias
veces el diámetro del planeta.
14.4.2.
No esfericidad del cuerpo central
En la sección 11.3.2 habı́amos mencionado que la forma real de los
cuerpos celestes genera una desviación con respecto a la simple ley newtoniana. La aceleración que experimenta un cuerpo de masa m2 (considerado como una partı́cula) alrededor de un cuerpo real de masa m1
está dada por:
r̈ = −∇V,
(14.21)
donde V es llamada función potencial. Se asume que la función potencial
V cumple la siguiente ecuación:
∇2 V = 0,
(14.22)
llamada ecuación de Laplace.
En coordenadas esféricas (r, φ, λ) la anterior ecuación adopta la
forma:
1 ∂ 2 ∂V
1
∂
∂V
1
∂2V
= 0.
(r
)
+
(cos
φ
)
+
r 2 ∂r
∂r
r 2 cos φ ∂φ
∂φ
r 2 cos2 φ ∂λ2
(14.23)
La solución de esta última puede escribirse como la multiplicación
de tres funciones que solo dependerán por separado de una variable, ası́:
V = R(r) Φ(φ) Λ(λ) .
Después de un proceso, un tanto arduo, es posible demostrar que la
anterior ecuación, en términos de los armónicos esféricos, puede escribirse como:
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Gm1
V =−
r
1+
∞ n n
R
n=1 m=0
r
347
Pnm( sen φ) (Cnm cos mλ + Snm sen mλ) ,
(14.24)
donde R, como antes, es el radio ecuatorial del cuerpo central, Cnm y
Snm son constantes adimensionales propias para cada cuerpo llamadas
coeficientes armónicos y Pnm( sen φ) son las funciones asociadas de Legendre de primera especie definidas por:
Pnm( sen φ) = (1 − sen 2 φ)m/2
dm
P
,
d( sen φ)m n( sen φ)
siendo Pn( sen φ) = Pn0( sen φ) los llamados polinomios de Legendre, de los
cuales damos a continuación algunos ejemplos:
P0( sen φ) = 1,
P1( sen φ) = sen φ,
1
P2( sen φ) = (3 sen 2 φ − 1),
2
y se pueden obtener los demás mediante la fórmula de Rodrigues:
Pn( sen φ) =
1
dn
( sen 2 φ − 1)n .
2n n! d( sen φ)n
Cuando el centro de masas del cuerpo planetario se toma como el
origen de coordenadas se obtiene C10 = C11 = S11 = 0. Es usual en
dinámica de satélites escribir Jn = −Cn0 , Jnm = −Cnm , Knm = −Snm.
Los armónicos del tipo Jn se llaman zonales, los del tipo Jnn (n = 0)
sectoriales y los del tipo Jnm (m = n = 0) teselares. Todos estos armónicos son constantes propias de cada cuerpo central que en la práctica se
hallan comparando el movimiento real del satélite con la teorı́a. Por supuesto que la ecuación (14.24) representa una expresión matemática extraordinariamente larga y complicada. En cálculos de altı́sima precisión
de satélites que giran alrededor de la Tierra se hace necesario encontrar
bastantes valores de los Cs y Ss; ver por ejemplo The Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac donde llegan a encontrarse valores
que llegan a n = m = 36 (Seidelmann, 1992, pp. 228-232). En el caso en
que no se estén buscando predicciones milimétricas se puede hacer uso
de un hecho afortunado que se puede ver analizando la tabla 14.1.
348
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
Coeficiente
J2
J3
J4
J5
Valor
1,0827 × 10−3
−2,56 × 10−6
−1,58 × 10−6
−0,15 × 10−6
Coeficiente
J22
K22
J31
K31
Valor
−1,57 × 10−6
0,90 × 10−6
−2,10 × 10−6
−0,16 × 10−6
Tabla 14.1: Algunos valores de coeficientes armónicos para la Tierra
Como se aprecia en esta tabla, el valor de la constante J2 = −C20
para la Tierra es al menos mil veces más grande que todos los restantes,
por lo que una buena aproximación del potencial terrestre es incluir solo
el término que acompaña a esta constante y descartar todos los demás.
En tal caso, la ecuación (14.24) adopta la forma (al hacer n = 2 y
m = 0):
Gm1
V =−
1+
r
2
R
P20( sen φ) C20 ,
r
y puesto que C20 = −J2 y P20( sen φ) = P2( sen φ) se tiene:
Gm1
J2
V =−
1+
r
2
2
R 1 − 3 sen 2 φ .
r
(14.25)
Al reemplazar (14.25) en (14.21) obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales que, pese a su simplicidad, no ha sido posible resolver de
forma completamente analı́tica3 . El problema de calcular la trayectoria
de un cuerpo con un potencial de la forma (14.25) se conoce con el nombre de problema principal del satélite artificial. Su solución, usualmente
por aproximaciones que conducen en algunos casos a métodos muy ingeniosos, ha ocupado la atención de varios astrónomos desde finales de los
años cincuenta. Se destacan al respecto las teorı́as propuestas por Brouwer y Kozai. Las expresiones matemáticas en estas teorı́as que permiten
calcular la posición de un satélite con buena exactitud contienen gran
cantidad de términos algebraicos, lo que, para el no iniciado, hace su utilización un poco tediosa. Si se tiene la intención de hacer predicciones
con muy buena exactitud se ha de estar preparado para manejar numerosas expresiones algebraicas. Como veremos más adelante, soluciones
3
Es posible, sin embargo, solucionar analı́ticamente el problema si el segundo cuerpo (esféricamente simétrico) está ubicado permanentemente en el ecuador, esto es,
con φ = 0.
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
349
muy aproximadas de estas ecuaciones serán consideradas en nuestros
cálculos para hallar la posición del satélite.
14.4.3.
Perturbación por rozamiento atmosférico
Los satélites artificiales de baja altura (aquellos que tienen alturas
sobre la superficie terrestre comprendidas entre 180 y 1000 kilómetros)
experimentan una fuerza de rozamiento FD originada por las capas más
altas de la atmósfera. El efecto neto de la resistencia atmosférica es
disminuir progresivamente el semieje mayor de la órbita de tal forma
que la trayectoria se asemeja a una espiral, por lo que el satélite experimenta aún mayor rozamiento (se desplaza en zonas cada vez más
densas). Eventualmente, los satélites colocados en órbitas inferiores a
los 1000 kilómetros de altura terminarán sus dı́as estrellándose contra
la atmósfera.
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.. ..................................................................... ..
.
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.
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.
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. . ....................
. .. . .. . .
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.
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..............
TIERRA
. ...........
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..............
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.. ....................... . .... .. .... .................................................
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........................ ... .. ... . ..... .
. ............................. .. ... .
.
.
Figura 14.6: Pérdida de altura de un satélite por rozamiento atmosférico
A menos que sus dimensiones sean muy grandes (o que esté recubierto de materiales resistentes al calor), el satélite se vaporizará por
completo, pues su velocidad de impacto es de casi 8 kilómetros por segundo.
Aparte de la fuerza de rozamiento el satélite también experimenta
una fuerza de sustentacion FL por estar desplazándose dentro de un
350
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
fluido. Las fuerzas de resistencia y sustentación que experimenta un
satélite (o un avión) son de la forma:
1
ρSCD v 2 ,
2
1
FL = ρSCL v 2 ,
2
FD =
donde ρ es la densidad de la atmósfera, v la velocidad del satélite con
respecto a la atmósfera, S el área transversal del satélite y CD y CL son
respectivamente los coeficientes de resistencia y sustentación del satélite
(valores que dependen de la forma de este).
En la gran mayorı́a de los satélites, el efecto de la fuerza de sustentación es muy pequeño comparado con el valor de la resistencia, por lo
que, a menos que se deseen cálculos de alta precisión, la fuerza de sustentación se considera despreciable. A diferencia de lo que se estudia en
la aerodinámica clásica, el flujo de las partı́culas de aire que conforman
la atmósfera superior no es un flujo continuo a causa de las condiciones de cuasivacı́o existentes allı́, lo que hace que existan grandes valores
para la trayectoria libre media de dichas partı́culas. Las teorı́as predicen un valor cercano de CD de alrededor de 2,5. Las soluciones de las
ecuaciones diferenciales que tienen en cuenta estas fuerzas son también
bastante complicadas. Existen trabajos clásicos para resolver en principio el problema, pero la dificultad intrı́nseca de modelar la densidad de
la atmósfera (en principio, función de la altura) ya depende de imponderables tales como cambios en la actividad solar que hacen muy difı́cil
predecir con exactitud el instante de caı́da de un satélite no controlado
que reentra a la atmósfera.
14.4.4.
Perturbación por presión de radiación
La radiación solar (y en menor grado, la radiación del Sol reflejada
por la Tierra) afecta también el movimiento de un satélite, pues origina
una aceleración que es particularmente notoria en satélites que poseen
una razón A/m (área sobre masa) grande, esto es, para satélites cuya
área transversal sea notoria comparada con su masa. Esta perturbación
tiene el agravante de que no es continua para satélites de baja altura
pues la fuerza perturbadora disminuye o se anula cuando el satélite es
eclipsado por la Tierra. La magnitud de esta perturbación es también
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
351
varios órdenes de magnitud más pequeña que la perturbación por no
esfericidad de la Tierra.
14.4.5.
Perturbación por eyección de masa
En la naturaleza se observa un fenómeno caracterı́stico de pérdida de
masa: los cometas cerca de su perihelio pierden grandes cantidades de
material a causa de la incidencia de la radiación solar sobre la superficie
de estos pequeños cuerpos (ver figura 14.7). En algunos casos se han
de adoptar modelos que tengan en cuenta este sutil flujo de material el
cual es difı́cil de modelar dada la manera espontánea y completamente
aleatoria con que aparecen los “chorros” de material expulsado.
Figura 14.7: Bruscas eyecciones de masa emanan del núcleo del cometa Halley
fotografiadas por la sonda espacial Giotto
Se ha estudiado intensivamente la perturbación por eyección de masa
con el advenimiento de los satélites artificiales. En el caso más general
dicha perturbación es producida a voluntad por los operadores en tierra
de un satélite autopropulsado (esto es, con propelente en su interior) con
variados propósitos. En el caso de los satélites geoestacionarios, donde
es conveniente asegurar continuamente que el satélite esté en un sitio
fijo sobre la superficie terrestre (las perturbaciones por asimetrı́a de la
Tierra, la Luna y el Sol afectan la trayectoria del satélite cuyo efecto
352
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
es desplazarlo progresivamente del sitio hacia donde apuntan las antenas de enlace), es preciso, de cuando en cuando, activar los pequeños
motores cohete del satélite para corregir de nuevo la posición. Si se trata de estaciones espaciales (como la MIR) o de satélites espı́as (que se
desplazan a muy bajas órbitas con el fin de obtener mejor resolución
de las fotografı́as) es imperioso, para evitar que en cuestión de dı́as se
quemen en las capas más densas de la atmósfera, estar periódicamente
prendiendo los motores cohete con el fin de recuperar la altura perdida y asegurar ası́ su supervivencia por algún tiempo más. En el caso
de algunos satélites secretos, cuando la situación lo amerita, se activan
los motores con el expreso fin de alterar la trayectoria y despistar ası́ a
enemigos potenciales que puedan rastrear y predecir la ubicación del
satélite en el futuro.
14.4.6.
Perturbación por curvatura del espacio-tiempo
Al inicio del capı́tulo 11 se comentó que hoy en dı́a la teorı́a de
gravitación que utilizan los especialistas es la teorı́a de la relatividad
general de Einstein. Por razones de simplicidad, en muchos libros se
introduce la relatividad general en mecánica celeste no como la teorı́a que
sirve como el fundamento de esta, sino más bien como una perturbación
pequeña que hay que introducir a la teorı́a clásica newtoniana. Encontrar
las ecuaciones diferenciales de movimiento de partı́culas autogravitantes
a partir de las ecuaciones de campo de Einstein no es una labor sencilla.
De hecho, esto requiere introducir una serie de aproximaciones, algunas
sustentadas en argumentos de dudosa validez. Todas estas dificultades
pueden de algún modo ser sobrellevadas si se recurre a procedimientos
de aproximación convenientes. La técnica usual consiste en restringir el
movimiento de las partı́culas bajo las siguientes consideraciones:
- El campo gravitacional por estudiar debe ser “débil”, i. e., V /c2 siendo V el potencial newtoniano y c la velocidad de la luz.
10−6 ,
- El movimiento de las partı́culas que generan el campo es “lento”,
i. e., ( vc )2 10−7 ; v es la velocidad con respecto al centro de masas del
sistema solar.
- Las partı́culas que generan el campo se ven sometidas a “pequeñas”
tensiones y energı́as internas.
Estas aproximaciones, conocidas en su conjunto como el lı́mite postnewtoniano, son lo suficientemente exactas como para contemplar en
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
353
el sistema solar todas las pruebas de validez que se puedan diseñar en
un futuro previsible. Con ello, el análisis de los experimentos llevados
a cabo en el sistema solar usando una teorı́a métrica de la gravedad
(como lo es la relatividad general) puede ser bastante simplificado, sin
pérdida razonable de exactitud, por una expansión simultánea en los
pequeños parámetros, digamos V y ( vc )2 . Tal expansión del campo débil
y movimiento lento da lugar a los siguientes términos de una serie: 1)
un espacio-tiempo vacı́o al “orden cero”; 2) el tratamiento newtoniano
del sistema solar al “primer orden”; 3) correcciones postnewtonianas del
tratamiento newtoniano al “segundo orden” y ası́ sucesivamente.
El formalismo de la teorı́a newtoniana más las correcciones postnewtonianas es llamado la “aproximación postnewtoniana”.
La aproximación postnewtoniana cubre el sistema por analizar con
coordenadas (t, xj ) ≡ (t, xj ) que son lo más globalmente lorentzianas
que sea posible:
gμν = ημν + hμν ,
(14.26)
donde gμν es el denominado tensor métrico, ημν la métrica de Minkowski
y hμν es la métrica que expresa la desviación del espacio vacı́o con las
propiedades:
lı́m hμν = 0,
r→∞
lı́m hμν = 0.
c→∞
(14.27)
La expresión hace ver que la aproximación postnewtoniana no es
otra cosa que una teorı́a linealizada de la gravedad. Las coordenadas
constituyen una separación natural del espacio-tiempo en espacio más
tiempo. Esta separación se trata de manera conveniente usando la notación del análisis vectorial tridimensional del espacio plano —aun cuando
el espacio-tiempo es curvo—. No hace falta ser muy perspicaz para darse cuenta que al final el formalismo de la aproximación postnewtoniana
se parece más a la teorı́a newtoniana que a la teorı́a de la relatividad
general.
Con todo, y después de una labor monumental de álgebra, es posible
llegar a la ecuación vectorial relativa del problema de los dos cuerpos
postnewtoniano:
354
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
r̈ = − μ r
r3
j»
–
ff
μ(4 + 2σ)
μ
3σ
r + (4 − 2σ)(
r .ṙ)ṙ , (14.28)
+ 2 3
r .ṙ)2 − (ṙ)2 (3σ + 1) + 2 (
c r
r
2r
con σ = m1 m2 /(m1 + m2 )2 .
De la misma manera la aproximación postnewtoniana permite obtener las ecuaciones del problema de los n cuerpos conocidas con el
nombre de ecuaciones EIH, en honor de los cientı́ficos que ayudaron a
su obtención: Einstein, Infeld y Hoffman. Estas ecuaciones EIH son las
que se integraron numéricamente para obtener las efemérides del sistema solar por medio de las integraciones numéricas DE200/LE200 y
DE405/LE405.
En la vasta bibliografı́a que existe con relación a las “correcciones
que ejerce la relatividad general a la mecánica newtoniana” y especı́ficamente, en el caso del problema de “un cuerpo”, esto es, una partı́cula
de masa infinitesimal (que no genera curvatura espacio-temporal) alrededor de una masa de dimensiones apreciables, es casi exclusivamente
expuesto el célebre corrimiento de la lı́nea de las ápsides, o, lo que es
lo mismo, el incremento secular del argumento de latitud del pericentro (ver figura 14.8). Este extraño corrimiento habı́a sido detectado a
mediados del siglo XIX en el planeta Mercurio (descontando las perturbaciones planetarias que contribuyen en algo a este movimiento), pero
quedaba un ligero residuo sin explicación satisfactoria aun cuando se
propusieron toda clase de hipótesis imaginables, como la existencia de
un planeta aún no descubierto más cercano al Sol que Mercurio (ver
Hagihara, 1971, p. 234). El residuo fue explicado por Einstein en 1915,
utilizando la teorı́a de la relatividad general. De acuerdo con esta teorı́a,
por cada revolución, el corrimiento de la lı́nea de las ápsides tiene por
magnitud:
Δω =
24π 3 a2
,
T 2 c2 (1 − e2 )
(14.29)
donde a es el semieje mayor, T el perı́odo orbital, e la excentricidad y c
la velocidad de la luz.
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
355
Figura 14.8: Corrimiento de la lı́nea de las ápsides
Ejemplo 1
Calcular la magnitud del corrimiento de la lı́nea de las ápsides en el
caso del planeta Mercurio. Calcular el efecto acumulado en un siglo.
Solución
En el caso de Mercurio: a = 0,38 u. a. = 56 850 000 km, e = 0,2,
T = 88 dı́as = 7 603 200 segundos. Entonces:
Δω =
24 × 3,14163 × 56 850 0002
= 4,82 × 10−7 ,
7 603 2002 × 300 0002 × (1 − 0,22 )
por lo tanto, por cada revolución hay un desplazamiento de 4,82 × 10−7
radianes, o, al multiplicar por 180/π: 2,76 × 10−5 grados, que equivalen
a 0,102 . Mercurio realiza una revolución en torno al Sol cada 88 dı́as,
esto es, en un año terrestre alcanza a realizar 4.15 revoluciones, por lo
que en un siglo completa 415. Entonces en un siglo la lı́nea de las ápsides
alcanza a desplazarse unos 0,102 × 415 = 42,3 .
Menos conocida es la presencia de dos perturbaciones adicionales en
el semieje mayor a y la excentricidad e, estrictamente periódicas (con
perı́odo T ). En el caso de Mercurio se calcula una perturbación al semieje
mayor con una amplitud que alcanza 9.4 km. Para la Tierra es del orden
de 690 metros. La amplitud en la excentricidad es igualmente pequeña.
En el caso de Mercurio alcanza 1,8×10−7 (ver Richardson & Kelly, 1988).
Los efectos por curvatura espacial son, en el sistema solar, muy pequeños aunque detectables y medibles. Ello se debe a la relativamente
356
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
poca masa del Sol (y aun más de los objetos que giran en torno a él)
y a las distancias bastante grandes entre estos mismos objetos. Pero
las modernas técnicas astronómicas han permitido detectar los efectos
amplificados por curvatura del espacio de cuerpos celestes que generan
fuertes campos gravitacionales, tales como los que hay en torno a las
estrellas de neutrones. El más famoso de tales objetos, que ha sido estudiado por más de 25 años, es el pulsar binario PSR 1913+16 (ver
Taylor & Weisberg, 1989). Captando las señales que genera el pulsar
(estrella neutrónica) con un radiotelescopio adecuado se obtiene un patrón anómalo cuya única explicación es suponer que este pulsar gira en
torno de otro objeto compacto, probablemente otra estrella neutrónica,
integrando entonces un pulsar binario. Ambos objetos poseen masas de
2,8M y 1,4M y están separados por tan solo 700 000 km lo que hace
que completen un perı́odo orbital alrededor de su centro de masas en casi
ocho horas. Las caracterı́sticas particulares de este objeto han constituido un sorprendente respaldo a la teorı́a de la relatividad general, pues
el movimiento del pulsar que se ha registrado desde su descubrimiento es imposible de reconciliar con aplicar únicamente la simple teorı́a
newtoniana. Se ha medido un corrimiento de la lı́nea de las ápsides (no
predicho por la mecánica clásica) tan notable que llega a alcanzar los
4,2o por año. Incluso, se ha logrado medir el decaimiento del semieje mayor por emisión de radiación gravitacional, un fenómeno predicho por
la teorı́a de la relatividad general, indetectable en el sistema solar con
los actuales métodos de medición pero relativamente fácil de medir en
objetos compactos.
14.4.7.
El efecto Poynting-Robertson
Este efecto se debe a la reemisión de ondas electromagnéticas sobre la
superficie de un cuerpo opaco, por ejemplo un satélite artificial. Parte de
la luz que incide sobre la superficie del satélite es absorbida pero luego es
reemitida isotrópicamente en su propio marco de referencia. Puesto que
el satélite está en movimiento con respecto a un observador (ubicado en
otro marco de referencia), entonces este observa un corrimiento Doppler
en la luz reemitida. La luz que se emite en la dirección del movimiento se
corre hacia el azul, mientras que la luz emitida en la dirección opuesta se
corre hacia el rojo. Pero, puesto que más energı́a y momento están siendo
extraı́dos del satélite por la luz que está siendo desplazada hacia el azul
que hacia el rojo, el satélite siente una fuerza de reacción opuesta a la
dirección de su movimiento. Es esta fuerza la que produce una especie de
14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
357
fuerza de resistencia. Esta fuerza para los satélites artificiales terrestres
es muy pequeña, pero puede ser significativa para cuerpos muy cercanos
a la fuente de radiación y con áreas bastante grandes.
14.4.8.
El efecto Yarkovsky
La radiación que proviene de un cuerpo radiante (una estrella) calienta la superficie de un cuerpo opaco en rotación. Las áreas sobre la
superficie del cuerpo opaco son continuamente llevadas desde el lado
sombreado a la luz que llega de la estrella y por lo tanto dichas áreas
se calientan. Pero, a causa de la inercia térmica, existe un retardo en el
calentamiento; ası́ que la parte más caliente es el lado de la “tarde” y
no el sitio donde es mediodı́a. Esto ocurre en la Tierra, donde la tarde
es la parte más caliente del dı́a en lugar de ser el mediodı́a. Este calentamiento asimétrico hace que los fotones que se reflejan de la parte más
caliente del cuerpo lleven más momento que los de aquellas zonas frı́as.
Esta diferencia de momento produce una fuerza cuya dirección forma
un ángulo con la dirección estrella-objeto. Esta fuerza extra perturba la
trayectoria. El efecto Yarkovsky es de pequeña intensidad, pero puede
llegar a ser de alguna importancia para objetos ubicados cerca del cuerpo
radiante, esto es, donde las temperaturas son notorias. Recientemente
se ha estudiado la importancia del efecto Yarkovsky en la evolución de
trayectorias de asteroides del cinturón principal entre Marte y Júpiter
para explicar la presencia de asteroides cercanos a la Tierra (ver por
ejemplo Farinella & Vokrouhlický, 1999).
14.4.9.
Resistencia por partı́culas cargadas
Un satélite, al desplazarse a través de las capas altas de la atmósfera,
choca con partı́culas cargadas que hacen que de la superficie del satélite
salgan eyectados electrones y esto, con el tiempo, hará que el mismo
satélite adquiera carga. El satélite interactúa electromagnéticamente con
las partı́culas cargadas en su vecindad y por lo tanto pierde momento,
de ahı́ el origen de una fuerza de resistencia. Como antes, esta fuerza es
de magnitud pequeña pero al parecer es la responsable del decaimiento
en el semieje mayor de algunos satélites geodésicos.
NOTA: Anderson et al. (1998) han reportado una anomalı́a en las
aceleraciones medidas de algunas naves exploradoras de los planetas exteriores (Pionero 10 y 11, Galileo y Ulises) con las cuales todavı́a se
358
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
mantiene contacto. Teniendo en cuenta diversos tipos de perturbaciones no se logra explicar una aceleración anómala con una magnitud de
8,5 × 10−8 cm/s2 dirigida hacia el Sol. Es un problema abierto que aún
no tiene explicación. ¿Manifestación de una nueva fı́sica? Es posible.
14.5.
Resolviendo las ecuaciones
Existen dos “filosofı́as” o, mejor, dos acercamientos al problema de
resolver las ecuaciones diferenciales. Ellas son: la integración numérica y
los métodos “analı́ticos” que descansan en la teorı́a de perturbaciones.
14.5.1.
La integración numérica
En la era de las computadoras superveloces y software sofisticado al
alcance de cualquiera, el enfrentarse con ecuaciones diferenciales complicadas no encierra ya ningún problema: simplemente se integran a
lo burdo, o utilizando el término técnico: se integran numéricamente.
Se utilizan técnicas numéricas y aproximativas que consisten en realizar
millones de sumas y multiplicaciones sencillas y encadenadas cuyo resultado final puede ser una secuencia de componentes de vectores posición
o velocidad para el tiempo requerido. Es una “solución” que satisface a
aquellos que tengan espı́ritu práctico y deseen resultados “inmediatos”
y precisos. Algunas ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones son
tan complicadas que usar la integración numérica es la única salida. La
gran ventaja de la integración numérica es que, no importa qué tan complicadas sean las ecuaciones diferenciales, siempre es posible, teniendo
cuidado con los detalles propios de esta clase de cálculos, en principio,
obtener la solución para una secuencia de tiempos dados. Ello en la
práctica significa que se puede incluir, tanto como se desee, cualquier
fuerza perturbativa, siempre y cuando sea representada como una función de las variables utilizadas (generalmente las componentes de los
vectores posición y velocidad).
La integración numérica tiene, sin embargo, varias desventajas: con
su uso se renuncia a conocer los rasgos, aun los más generales, del movimiento de dicho sistema; caracterı́sticas propias que permitan generalizar el comportamiento dinámico del sistema son difı́ciles de determinar
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
359
viendo solamente secuencias de números. Su puesta a punto tampoco
deja de generar dificultades: no es raro que aparezcan problemas de convergencia y de elección del paso de integración. El problema del manejo
de cifras significativas y el crecimiento de error por redondeo de las mismas son un dolor de cabeza. En ecuaciones diferenciales altamente no
lineales (como en las de la mecánica celeste) y bajo determinadas situaciones, aparecen fenómenos caóticos cuya consecuencia inmediata es la
pérdida de información dinámica confiable a causa de la dependencia del
resultado final de infinitesimales cambios en las condiciones iniciales, etc.
Pese a esto, los astrónomos han optado por utilizar poderosas computadoras para resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales que
rigen el movimiento de los planetas en el sistema solar. Actualmente,
y como habı́amos comentado en la sección 7.10.3, las efemérides de los
planetas, la Luna y el Sol son el resultado de una integración numérica
conocida como DE200/LE200 realizada por el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA.
Por otro lado, los estudios de estabilidad del sistema solar, migración planetaria, origen de meteoritos, etc., suelen descansar en heroicas
sesiones de integraciones numéricas que suelen durar dı́as y hasta meses
en algunos casos, a pesar de contar con computadoras muy veloces.
En los libros clásicos de mecánica celeste se acostumbra designar a
los métodos de integración numérica como “perturbaciones especiales”.
Son conocidos los métodos de integración de Cowell y de Encke y fueron usados, aunque no extensivamente, por algunos investigadores, aun
antes de la aparición de las computadoras.
Un código especialmente diseñado para abordar problemas de mecánica celeste se encuentra en Everhart (1985). Otro código eficiente basado
en el método de Bürlish-Stoer puede encontrarse en Press, et al. (1995),
p. 718.
14.5.2.
Teorı́a de perturbaciones
En la época anterior a los grandes avances computacionales al astrónomo no le quedaba más remedio que intentar resolver las ecuaciones
360
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
diferenciales de movimiento como mejor se pudiese. Aún hoy existen muchos investigadores que, valiéndose de las mismas computadoras, utilizan métodos aproximativos con el fin de resolverlas de forma “analı́tica”.
Ello encierra varios atractivos: por un lado se busca hallar, si es posible, rasgos generales del movimiento de dicho sistema, tipos o familias
de trayectorias que puedan ser descritas a través de alguna propiedad.
La necesidad de encontrar estos rasgos es, fundamentalmente, de orden
académico: el investigador busca ir de lo particular a lo general. Encontrar propiedades inherentes de cierto tipo de ecuaciones diferenciales
puede dar luz sobre temas tan complejos como estabilidad de sistemas
gravitacionales.
Otra gran ventaja de tener a la mano una solución analı́tica es que la
obtención del vector posición, para un tiempo t cualquiera, está rápidamente al alcance de la mano. Con computadoras la solución es inmediata
bien sea para t al cabo de un dı́a, o para centenares de años en el futuro;
el cálculo demora igual. Problemas de redondeo o de elección de paso de
integración no aparecen ni de pasada.
Ahora la gran desventaja: los intentos de solución analı́ticos de las
ecuaciones diferenciales por métodos perturbativos conllevan el uso de
expansiones en series de potencias. Ello obliga al astrónomo a utilizar
técnicas algebraicas y trigonométricas para ir obteniendo las soluciones
que usualmente son enormes polinomios. Al final, el astrónomo está conminado a trabajar con secuencias de centenares e incluso miles de términos numéricos con el fin de hacer un uso apropiado de ellos para el cálculo del movimiento de los planetas, la Luna y el Sol. No es de extrañar
que este proceso, antes de la aparición de las computadoras electrónicas, tomara años enteros en realizarse. Como caso clásico considérese el
trabajo del astrónomo francés Charles-Eugene Delaunay, quien a mediados del siglo XIX intentó resolver el problema del movimiento de la
Luna mediante una técnica aproximativa —muy ingeniosa, por cierto—.
Trabajando solo, Delaunay tardó aproximadamente 20 años en resolver
y verificar los gigantescos términos que son necesarios para obtener la
posición de la Luna con una exactitud razonable. Lo sorprendente de
este logro es aun más memorable cuando se pudo, más de cien años después de la muerte de Delaunay, utilizando programas computacionales
llamados “manipuladores de términos algebraicos”, repetir su trabajo en
1970 y comprobar que Delaunay cometió solamente tres ligeros errores
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
361
en términos con contribuciones prácticamente despreciables. La computadora tardó apenas 20 horas en reproducir el trabajo entero. Teorı́as
analı́ticas del movimiento de los planetas y de la Luna han sido desarrolladas recientemente por astrónomos franceses. Sobresalen, para el
movimiento de los planetas, la teorı́a VSOP 82 (ver Bretagnon, 1982).
Para el movimiento de la Luna están las teorı́as de la serie ELP2000 desarrolladas por Chapront-Touzé y Chapront, sobre las cuales se han desarrollado tablas y programas de fácil adquisición (ver Chapront-Touzé &
Chapront, 1991).
La teorı́a de perturbaciones es una técnica muy ingeniosa que descansa en la solución del problema de los dos cuerpos. La idea básica es
describir el movimiento de un cuerpo (que se mueve en una trayectoria
que no es una elipse) mediante una ecuación del tipo (14.1) y obligarlo
a cada momento, en cada punto de su trayectoria, a que describa una
elipse (ver figura 14.10). Por supuesto, ello resultará que en cada punto
de la trayectoria la elipse estará cambiando. Si de alguna manera se logra
describir cómo están cambiando en el tiempo los parámetros que definen
la geometrı́a y la orientación de la órbita en el espacio (los elementos
orbitales) entonces el problema se resuelve hallando, para cada tiempo,
los valores de dichos parámetros. Habiendo hallado la dependencia temporal de cada elemento, se aplican los resultados del problema de los dos
cuerpos para hallar el vector posición.
El matemático suizo Leonhard Euler desarrolló, junto con el matemático francés Joseph-Louis Lagrange, el método de variación de parámetros, el cual consiste en expresar una perturbación al problema de los dos
cuerpos como un sistema donde hay que resolver seis ecuaciones diferenciales de primer orden, esto es, en lugar de encontrar cómo resolver tres
ecuaciones diferenciales de segundo orden que nos permitirı́an encontrar
en el tiempo los vectores posición y velocidad de acuerdo con (14.1), más
bien encontrar la variación temporal de los elementos orbitales, esto es,
resolver un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden.
Conocidos en un instante dado los valores de los elementos orbitales,
se procede a utilizar la solución de los dos cuerpos para determinar la posición del cuerpo de nuestro interés. La elipse kepleriana {a, e, i, Ω, ω, t0 }
que corresponde a la posición r y velocidad ṙ de una partı́cula en un
tiempo dado se conoce con el nombre de órbita instantánea u oscula-
362
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
Figura 14.9: Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
triz. Si la función ap no es nula, la elipse kepleriana estará cambiando
continuamente. Pero, si la magnitud de la aceleración perturbativa es
pequeña, como es el caso de muchos sistemas de interés en astronomı́a, es
de esperarse que los elementos orbitales de la elipse cambien muy poco,
por lo que la elipse constituye un “sistema de coordenadas” conveniente
para representar la posición y la velocidad de la partı́cula. El asunto es
convertir las ecuaciones de movimiento de coordenadas rectangulares a
“coordenadas” elı́pticas keplerianas, esto es, los elementos.
P
ELIPSE INSTANTANEA
Figura 14.10: Elipse instantánea (osculadora) en un punto P
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
363
El conjunto de seis ecuaciones diferenciales que dan cuenta de la variación de los elementos orbitales en el tiempo puede encontrarse de la
siguiente forma:
El vector posición r es función del tiempo t y de cada uno de los
elementos orbitales (a, e, i, Ω, ω Mr ). Entonces la derivada total con
respecto al tiempo del vector posición es:
dr
∂r dt ∂r da ∂r de ∂r di
∂r dΩ
∂r dω
∂r dMr
=
+
+
+
+
+
+
.
dt
∂t dt ∂a dt
∂e dt
∂i dt ∂Ω dt
∂ω dt
∂Mr dt
Por comodidad, representaremos en su conjunto los elementos orbitales como ck donde k = 1, · · · , 6.
Entonces la anterior ecuación se convierte en:
dr
∂r ∂r dck
=
+
.
dt
∂t
∂ck dt
6
k=1
En cada punto de la trayectoria se exige que exista una elipse instantánea (la elipse osculadora) por lo que:
dr
∂r
=
,
dt
∂t
(14.30)
entonces en la anterior ecuación se ha de cumplir:
6
∂r dck
= 0,
∂ck dt
(14.31)
k=1
que llamaremos la primera condición de osculación.
De igual forma, el vector velocidad ṙ es también función del tiempo
t y de cada uno de los elementos orbitales:
d
dt
y como
r
∂( d
dt )/∂t
dr
dt
r
∂( dr ) dck
∂( d
dt ) dt
dt
=
+
,
∂t dt
∂ck dt
6
k=1
= ∂ 2r/∂t2 , entonces:
6
d2r
∂ 2r ∂ṙ dck
=
+
.
dt2
∂t2
∂ck dt
k=1
364
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
Pero la perturbación al problema de los dos cuerpos puede estar dada
por la ecuación (14.18), por lo que:
−
6
μ
∂ 2r ∂ṙ dck
r
+
∇R
=
+
,
r3
∂t2
∂ck dt
k=1
donde μ = G(m1 + m2 ).
En la órbita osculadora en cada punto de la trayectoria se ha de
cumplir:
∂ 2r
μ
+ 3 r = 0,
∂t2
r
esto es, la ecuación del problema de los dos cuerpos (ver ecuación (12.26)).
Entonces tenemos nuestra segunda condición de osculación:
6
∂ṙ dck
= ∇R.
∂ck dt
(14.32)
k=1
Las ecuaciones (14.31) y (14.32) contienen lo que estamos buscando,
esto es, las primeras derivadas de los elementos en función del tiempo.
Pero conviene relacionar ambas y condensarlas en una sola ecuación.
∂ṙ
Para ello multiplicamos primero la ecuación (14.31) por · ∂c
(donde
j
∂
r
cj = 1, · · · , 6) y la ecuación (14.32) por · ∂c
y restar una de la otra. Con
j
ello tenemos:
6
k=1
∂r ∂ṙ
∂r ∂ṙ
·
−
·
∂cj ∂ck
∂ck ∂cj
dck
∂r
,
= ∇R ·
dt
∂cj
cj = 1, · · · , 6.
Pero, puesto que
∇R ·
∂r
∂R ∂x
∂R ∂y
∂R ∂z
∂R
=
+
+
=
,
∂cj
∂x ∂cj
∂y ∂cj
∂z ∂cj
∂cj
entonces:
6
k=1
∂r ∂ṙ
∂r ∂ṙ
·
−
·
∂cj ∂ck
∂ck ∂cj
dck
∂R
,
=
dt
∂cj
cj = 1, · · · , 6,
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
365
o de una forma más compacta:
6
dck
∂R
[cj , ck ]
,
=
dt
∂cj
cj = 1, · · · , 6,
(14.33)
k=1
donde el sı́mbolo [cj , ck ] representa los paréntesis de Lagrange definidos
por:
[cj , ck ] =
∂r ∂ṙ
∂r ∂ṙ
.
·
−
·
∂cj ∂ck
∂ck ∂cj
(14.34)
Explı́citamente los paréntesis de Lagrange tienen como expresión:
"
∂ r ∂ ṙ
∂ r ∂ ṙ
·
−
·
∂cj ∂ck
∂ck ∂cj
#
=
∂y ∂ ẏ ∂z ∂ ż
∂z ∂ ż
∂x ∂ ẋ ∂x ∂ ẋ ∂y ∂ ẏ
−
+
−
+
−
.
∂cj ∂ck ∂ck ∂cj ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj ∂cj ∂ck ∂ck ∂cj
Se puede demostrar que los paréntesis de Lagrange son independientes explı́citamente del tiempo, por lo que las derivadas anteriores se
pueden realizar en cualquier punto de la trayectoria. Por lo general su
evaluación se hace en el pericentro.
Las ecuaciones de movimiento son, de acuerdo con (14.33):
[c1 , c1 ]
[c2 , c1 ]
dc1
dc2
dc6
∂R
,
+ [c1 , c2 ]
+ · · · + [c1 , c6 ]
=
dt
dt
dt
∂c1
dc1
dc2
dc6
∂R
,
+ [c2 , c2 ]
+ · · · + [c2 , c6 ]
=
dt
dt
dt
∂c2
(14.35)
..
.
[c6 , c1 ]
dc1
dc2
dc6
∂R
.
+ [c6 , c2 ]
+ · · · + [c6 , c6 ]
=
dt
dt
dt
∂c6
Nótese que se necesita calcular 36 paréntesis, pero, por su definición
y simetrı́a algunos son o bien nulos ([ci , ci ] = 0) o trivialmente calculables ([ci , ck ] = −[ck , ci ]).
La descripción del desarrollo de cómo evaluar los paréntesis de Lagrange está más allá del propósito de este libro. Los detalles pueden
encontrarse en Brouwer & Clemence (1961), Taff (1985) y Smart (1960).
Se encuentra que solo doce de ellos son distintos de cero:
366
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
[Ω, i] = −[i, Ω] = −na2 1 − e2 sen i,
√
1 − e2 cos ina
[Ω, a] = − [a, Ω] =
,
2
na2 e cos i
[Ω, e] = −[e, Ω] = − √
,
1 − e2
√
1 − e2 na
[ω, a] = −[a, ω] =
,
(14.36)
2
na2 e
[ω, e] = −[e, ω] = − √
,
1 − e2
na
[a, Mr ] = −[Mr , a] = − .
2
Estos paréntesis son reemplazados en las ecuaciones (14.35) por lo
que se tienen seis ecuaciones con seis incógnitas donde estas últimas son
las derivades temporales de cada elemento.
Realizando el despeje correspondiente obtenemos las llamadas ecuaciones de Lagrange de la mecánica celeste, que son:
da
dt
de
dt
di
dt
dΩ
dt
2 ∂R
,
na ∂Mr
√
1 − e2 ∂R
1 − e2 ∂R
−
=
,
na2 e ∂Mr
na2 e ∂ω
∂R
∂R
cot i
csc i
√
√
=
−
,
(14.37)
2
2
2
2
na 1 − e ∂ω
na 1 − e ∂Ω
∂R
csc i
√
=
,
na2 1 − e2 ∂i
√
dω
∂R
1 − e2 ∂R
cot i
√
=−
+
,
dt
na2 e ∂e
na2 1 − e2 ∂i
dMr
1 − e2 ∂R
2 ∂R
=−
−
.
2
dt
na e ∂e
na ∂a
El lado derecho de las anteriores ecuaciones que contiene derivadas
parciales de la función R con respecto a los elementos, se halla expandiendo dicha función en series de potencias no solamente de las masas
de los planetas perturbadores (en el caso de estar trabajando la teorı́a
planetaria) sino también en potencias de las excentricidades y de las inclinaciones, lo que es adecuado en el sistema solar si se tienen en cuenta
=
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
367
las pequeñas masas de los planetas comparadas con el Sol y los exiguos
valores de excentricidad e inclinación de los mismos. En general, siempre
es posible escribir R como una suma (en principio infinita) de términos
trigonométricos que contienen a los elementos orbitales angulares (Ω, ω,
Mr ) como argumentos.
Designemos cualquiera de los elementos orbitales con c. Al haber
expandido en términos de los elementos orbitales la función R podemos
representar cada una de las ecuaciones (14.37) de la forma:
dc
ak1 k2 cos(k1 L1 + k2 L2 + g),
=ν
dt
(14.38)
k1 k2
donde
L1 = n 1 t +
1,
L2 = n 2 t +
2,
son las longitudes medias. La constante ν es del orden de la masa perturbadora, k1 y k2 son enteros positivos o negativos (incluyendo el cero)
y la sumatoria se extiende sobre todas las combinaciones de k1 y k2 ,
desde −∞ a +∞. Las cantidades ak1 k2 , g, n1 , n2 , 1 , 2 son funciones de
los elementos y n1 , n2 son los movimientos medios. Obviamente, los elementos cuya variación buscamos están contenidos en el miembro del lado
derecho de (14.38). Pero, puesto que la variación es pequeña (debido al
coeficiente ν), consideramos los elementos en el lado derecho como constantes y procedemos a integrar las ecuaciones con respecto a t, las cuales
dan, genéricamente:
c=
k1 k2
ak1 k2
sen (k1 L1 + k2 L2 + g) + constante.
k1 n1 + k2 n2
(14.39)
Este procedimiento, llevado hasta acá, se conoce con el nombre de
perturbación al primer orden.
Obsérvese que el método de integración falla cuando alguno de los
términos cumple k1 n1 + k2 n2 = 0. En tal caso se dice que el término es
crı́tico. Pero nótese que esto solamente aparece cuando la división nn12 es
igual o muy cercana a la relación de dos múltiplos enteros.
Aquellos términos para los cuales k1 = k2 = 0 se llaman seculares.
Como puede verificarse fácilmente, estos términos aparecen teniendo t
368
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
como coeficiente. Ahora bien, la suma k1 n1 + k2 n2 puede hacerse tan pequeña como queramos (recuérdese que los k1 y k2 son números positivos
o negativos) si hacemos k1 y k2 lo suficientemente grandes. Esto lleva a
que algunos términos de (14.39) que tienen a k1 n1 + k2 n2 en el denominador se harán grandes. El perı́odo de este término trigonométrico es
entonces:
2π
.
k1 n1 + k2 n2
Estos términos se denominan de largo perı́odo. Aquellos términos
para los cuales k1 n1 + k2 n2 son grandes se llaman, consecuentemente,
de corto perı́odo.
Figura 14.11: Henri Poincaré (1854-1912)
Este método, aplicado al movimiento de los planetas, implica un desarrollo algebraico increı́blemente extenuante. Sin embargo, fue prácticamente el único que se usó para el cálculo de las perturbaciones planetarias hasta mediados del siglo XIX.
Desde un punto de vista formal, es deseable que las series que se
obtienen aplicando este método sean convergentes. Sin embargo, Henri
Poincaré logró probar que dichas series no son uniformemente convergentes, por lo que no pueden representar una solución real al problema,
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
369
aunque pueden significar una solución aproximada y dar cuenta de las
observaciones que han de usarse solo dentro de un perı́odo de tiempo
limitado.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Anderson, J. D. et al. (1998) Indication, from Pioneer 10/11, Galileo,
and Ulyses Data, of an Apparent Anomalous, Weak, Long-Range Acceleration, Physical Review Letters, vol. 81, No. 14, p. 2858.
Artı́culo técnico que pone de manifiesto el problema de la aceleración
minúscula de varias naves espaciales no explicada aún apelando a toda
clase de perturbaciones conocidas.
Bretagnon, P. (1982) Theorie du mouvement de l’ensemble des planetes.
Solution VSOP82, Astronomy & Astrophysics, vol. 144, p. 278.
Describe una técnica aproximativa de integración analı́tica basada en las
ecuaciones planetarias de Lagrange para obtener expresiones que permiten calcular las posiciones de los planetas del sistema solar salvo Plutón.
Brouwer D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory
without Drag, Astronomical Journal, vol. 64, p. 378.
Célebre artı́culo que describe la solución aproximada de las ecuaciones
diferenciales de movimiento de un satélite artificial perturbado por varios
armónicos zonales.
Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York.
Referencia obligada para aquellos que deseen conocer las técnicas de perturbación más ampliamente utilizadas en mecánica celeste hasta mediados del siglo XX.
Brown, E. (1960) An Introductory Treatise on the Lunar Theory, Dover
Pu. Inc., New York.
Referencia clásica sobre las teorı́as del movimiento lunar. Escrito a finales del siglo XIX, es una descripción muy técnica y altamente autorizada,
en particular del método de Hill-Brown, que fue la base de las efemérides
lunares por una buena porción del siglo XX.
Brumberg, V. A. (1991) Essential Relativistic Celestial Mechanics, Adam
Hilger, Bristol.
Libro clave para comprender lo fundamental de la mecánica celeste sustentada en la teorı́a de la relatividad general. Lamentablemente es oscuro
y muy técnico en algunos pasajes.
370
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
Chapront-Touzé, M., Chapront, J. (1991) Lunar Tables and Programs
from 4000 B.C. to A.D. 8000, Willman-Bell, Inc., Richmond.
Contiene programas y ecuaciones que permiten determinar con un grado
alto de precisión la posición de nuestro satélite natural.
Cook, A. (1988) The Motion of the Moon, Adam Hilger, Bristol.
Sencillamente un gran libro. Sin necesidad de entrar en los desarrollos
algebraicos monstruosos, ofrece una descripción concisa y clara de las
diferentes teorı́as que se han propuesto para explicar el movimiento de la
Luna. A pesar de los tecnicismos inevitables es fácilmente leı́ble.
Everhart, E. (1985) An Efficient Integrator that Uses Gauss-Radau Spacings, en Dynamics of Comets: Their Origin and Evolution, Reidel Publishing Co., p. 185.
Contiene la descripción del integrador Radau el cual ha sido extensivamente utilizado por diversos investigadores en mecánica celeste.
Farinella, P., Vokrouhlický, D. (1999) Semimajor Axis Mobility of Asteroidal Fragments, Science, vol. 283, p. 1507.
En este artı́culo se estudia el corrimiento del semieje mayor de órbitas
de asteroides por efecto Yarkovsky.
Geyling, F. T., Westerman, H. R. (1971) Introduction to Orbital Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Reading, Massachusetts.
Otro buen libro de mecánica celeste. Contiene un excelente capı́tulo sobre
fuerzas perturbativas y los métodos clásicos de perturbación son vistos con
detalle.
Hagihara, Y. (1970) Celestial Mechanics. Vol. I: Dynamical Principles
and Transformation Theory, The MIT Press, Cambridge.
Obra supremamente técnica, que estudia con rigurosidad los fundamentos
dinámicos de la mecánica celeste clásica.
Hagihara, Y. (1971) Celestial Mechanics. Vol. II, part 1: Perturbation
Theory, The MIT Press, Cambridge.
Constituye un magnı́fico compendio de todos los métodos para resolver
problemas de perturbación en mecánica celeste propuestos hasta finales
de los años sesenta. Como es de esperarse es una obra muy técnica, pero
la notación y la escritura lo hacen relativamente fácil de leer. Rebosante
de referencias.
Kozai, Y. (1959) The Motion of a Close Earth Satellite, The Astronomical Journal, vol. 64, p. 367.
Otro artı́culo clásico sobre el movimiento de un satélite artificial.
14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES
371
Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co., New York.
Obra monumental acerca de la gravedad vista desde la óptica de la relatividad general. Constituye una recopilación exhaustiva, intensa y en
algunos casos didáctica de todo lo que se publicó de relatividad general
hasta comienzos de los años setenta. El capı́tulo 39 expone con lujo de
detalle la aproximación postnewtoniana.
Plummer, H. C. (1960) An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, Inc., New York.
Muy buen libro de mecánica celeste escrito en el viejo estilo. Los capı́tulos
de perturbación son concisos y claros; contiene un capı́tulo sobre precesión y nutación y otro sobre libración lunar.
Press, W. H. et al. (1995) Numerical Recipes in Fortran, Cambridge
University Press, New York.
Esta referencia es muy útil a la hora de obtener programas y subrutinas
en Fortran especı́ficas para realizar diversos tipos de cálculos.
Richardson, D. L., Kelly, T. J. (1988) Two-Body Motion in the Postnewtonian Approximation, Celestial Mechanics, vol. 43, p. 193.
Referencia de carácter técnico que describe una transformación canónica
para resolver el problema de los dos cuerpos postnewtoniano.
Rubincam, D. P. (1982) On the Secular Decrease in the Semimajor Axis
of Lageo’s Orbit, Celestial Mechanics, vol. 26, p. 383.
En este artı́culo se encuentra una descripción detallada y crı́tica de varios tipos de perturbaciones no muy conocidas que pueden afectar el movimiento de un satélite artificial.
Seidelmann, P. K. (1992) Explanatory Supplement to the Astronomical
Almanac, University Science Books, Mill Valley.
Contiene un excelente capı́tulo sobre la descripción del potencial de los
cuerpos reales junto con los valores de los coeficientes armónicos hasta
n = m = 36.
Smart, W. M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres.
Excelente libro de mecánica celeste escrito en el viejo estilo. Contiene
una buena descripción hamiltoniana y capı́tulos interesantes, difı́ciles de
encontrar en otros libros, como el descubrimiento de Neptuno y un tratamiento parcialmente riguroso de la precesión y la nutación.
Soffel, H. S. (1989) Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and
Geodesy, Springer-Verlag, Berlı́n.
Contiene información actualizada relacionada con la aplicación de la
relatividad general en varios campos de la astronomı́a. Se supone que el
lector domina el cálculo tensorial y está familiarizado con la relatividad
372
CAPÍTULO 14. PERTURBACIONES
general. Demasiado conciso en algunos temas, pero expone con claridad
los fundamentos.
Taff, L. G. (1985) Celestial Mechanics: A Computational Guide for the
Practitioner, John Wiley & Sons, New York.
Buen libro de mecánica celeste. Expone el formalismo incluyendo los conceptos básicos y modernos de la astronomı́a de posición. Contiene una
crı́tica pertinente a ciertos métodos de perturbación.
Taylor, J. H., Weisberg, J. M. (1989) Further Experimental Test of Relativistic Gravity Using the Binary Pulsar PSR 1913+16, The Astrophysical
Journal, vol. 345, p. 434.
Referencia de carácter técnico que expone varios resultados de la observación continua del pulsar PSR 1913+16 y la comparación entre varias
teorı́as para explicar su comportamiento.
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/
Este sitio contiene un curso sobre sistemas dinámicos escrito por un
investigador sobresaliente en mecánica celeste: Andrea Milani. Está en
italiano.
Capı́tulo 15
SATÉLITES
ARTIFICIALES Y
COHETES
Un satélite artificial es un objeto de construcción humana que al suministrársele suficiente velocidad (y con el debido ángulo y altura sobre
la superficie terrestre) puede quedar en órbita alrededor de la Tierra
(u otro cuerpo celeste). Isaac Newton fue la primera persona en sugerir
que un cuerpo, al que se le han dado condiciones iniciales determinadas,
puede describir, mientras cae con respecto a la Tierra, una trayectoria
cerrada cuya caracterı́stica importante es que no intersecta la superficie
del planeta: se comporta como una luna artificial moviéndose por su
propia inercia.
En el caso de la Tierra no es posible colocar un satélite artificial a
una altura inferior a los 200 km, aun cuando las montañas terrestres más
altas sobre el nivel medio del mar llegan a los 9 km de altura. Esto es
debido a la existencia de la atmósfera, que harı́a volatilizar, por simple
fricción, un objeto que se mueve a las enormes velocidades a las que se
desplaza un satélite.
Ejemplo 1
Determinar la velocidad necesaria para colocar un satélite artificial
alrededor de la Tierra con una órbita circular a una altura de 350 km
sobre la superficie terrestre.
373
374
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
TIERRA
Figura 15.1: Colocación de un satélite artificial
Solución
Llamemos m1 y m2 las masas de la Tierra y del satélite respectivamente. Puesto que la masa de un satélite artificial es completamente
despreciable comparada con la masa de la Tierra (m2 /m1 = 0) y puesto
que la órbita es circular (r = R + h = a) se tiene, a partir de la ecuación
(12.93), recordando que k = G(m1 + m2 ):
v=
Gm1
=
R+h
6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024
= 7,8 km/s.
6 378 140 + 350 000
Por lo tanto, para colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra,
en una órbita baja, se necesitan casi 8 km/s.
Esta es en verdad una velocidad enorme. Un carro de fórmula 1 puede desarrollar velocidades de 300 km en una hora, lo que equivale a tan
solo 0,083 km/s. El avión más veloz del mundo, el SR-71, de construcción estadounidense, alcanza velocidades de hasta 0,98 km/s. Se han
desarrollado cañones con propósitos militares que pueden lanzar granadas a velocidades entre 2 y 3 km/s, claramente insuficientes para lo que
deseamos. Alcanzar velocidades mayores con estos medios es muy difı́cil
y exige una condición tecnológica más allá de nuestro estado actual de
375
desarrollo. Cierto es que podemos acelerar partı́culas subatómicas hasta
casi la velocidad de la luz (300 000 km/s), pero estamos hablando de
objetos cuyas masas son del orden de los 10−31 kg, en tanto que lo que
se busca es dotar de velocidades del orden de los 10 km/s a objetos de
masas apreciables, desde unos cuantos gramos hasta centenares de toneladas o más. Un mecanismo que permite alcanzar velocidades de las
decenas de kilómetros por segundo es el cohete, del cual se hablará con
más detalle en la sección 15.7.
La forma que tendrá la órbita de un satélite está determinada por las
condiciones que le imprime la última etapa del cohete a dicho satélite.
En el instante en el que salen los últimos gases de la tobera del cohete,
llamado tiempo de inyección o tiempo de cutoff o burnout, el satélite
deja de llevar una trayectoria propulsada hasta ese momento, debido al
funcionamiento de un cohete, para comenzar a describir una trayectoria
determinada por la fuerza de la gravedad terrestre y, en menor grado,
por otro tipo de fuerzas de menor intensidad.
Para lograr que un satélite describa determinada trayectoria hay que
hacer que el medio propulsor –el cohete– alcance, en la inyección o cutoff,
determinados valores de velocidad, altura y ángulo de vuelo (el ángulo
entre los vectores posición y velocidad).
Ası́ mismo, se busca que el ángulo entre el vector posición y velocidad (que habı́amos llamado ϑ) sea igual o muy próximo a los noventa
grados, con el fin de que el objeto quede con el máximo momento angular posible. Pero lo que realmente determina que un objeto quede como
un satélite artificial es el valor de la velocidad.
Colocar en órbita un satélite artificial es un logro tecnológico admirable y portentoso, pero si lo que buscamos es mandar un objeto a
otros planetas necesitamos otro tipo de trayectoria, pues hemos visto
que velocidades de los 8 km/s colocan a nuestro objeto en una trayectoria elı́ptica (una y otra vez alrededor de la Tierra) que puede resultar
de lo más aburrido y tedioso si lo que se quiere es recorrer el universo.
Ya vimos que para salir de esa trampa gravitacional (originada por el
hecho de que la energı́a potencial gravitacional es mayor que la energı́a
cinética del objeto) lo que se necesita es dotar de velocidad a nuestro
376
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
objeto, la suficiente como para que la energı́a cinética crezca hasta el
punto en que la energı́a total se anule. En tal caso el objeto describe
una trayectoria de escape gravitacional: una parábola. Un poco más de
velocidad y la trayectoria se convierte en una hipérbola. En ambos casos,
el objeto, aunque sometido aún por la atracción gravitacional terrestre,
queda en trayectorias que lo conducirán al infinito con respecto a la
Tierra.
Calculemos la velocidad necesaria para colocar en órbita parabólica
(la velocidad mı́nima de no retorno) si arrojamos un objeto desde el
Monte Everest (que tiene una altura de 8848 m sobre el nivel del mar).
Aplicando la ecuación (12.94) tenemos:
v=
2 × 6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024
= 11 166 m/s ≈ 11,2 km/s.
6378140 + 8848
Los satélites artificiales no se mueven, estrictamente hablando, en
órbitas elı́pticas por lo que explicar su movimiento con solo la teorı́a
del problema de los dos cuerpos es insuficiente. La razón es clara: son
afectados gravitacionalmente por el Sol y la Luna, experimentan presión de radiación proveniente del Sol y la que refleja la misma Tierra,
son frenados por la atmósfera terrestre y sobre todo su movimiento es
alterado por el hecho de que la Tierra no es un objeto perfectamente
esférico sino que posee sutiles depresiones y abultamientos en la superficie como también asimetrı́as en la distribución de masa en su interior.
Esto hace que en la práctica sea un tanto laborioso explicar con exactitud la trayectoria de un satélite artificial. Los satélites de baja altura
(aquellos que están entre los 200 y 800 kilómetros de altura sobre la
superficie terrestre) no permanecen en órbita por tiempo indefinido; la
fricción generada por la atmósfera terrestre es tal que el satélite pierde
energı́a cinética lentamente disminuyendo su altura y, por lo tanto, se
acerca cada vez más a las zonas densas de la atmósfera. Puesto que el
satélite se mueve a velocidades del orden de 8 km/s, el material con que
está hecho se ve sometido a las altı́simas temperaturas generadas por la
fricción (los aviones más veloces, que alcanzan 0,98 km/s, se construyen
con aleaciones especiales de titanio, pues las temperaturas generadas por
la fricción con el aire son tales que pueden acercarse a la temperatura
de fusión de dicho material). Como ya se dijo, la fricción generada por
la atmósfera es la responsable de que no sea posible colocar satélites con
alturas inferiores a los 180 kilómetros, pues su duración serı́a muy breve.
15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATÉLITE ARTIFICIAL
377
Los satélites que se colocan en órbita baja1 tienen multitud de propósitos. Entre ellos están la comunicación civil (Globalstar, Iridium, Orbcomm), observación terrestre (SPOT, Landsat, Oceansat, Terra), cientı́fica (Observatorio de rayos X Chandra, Telescopio Espacial Hubble, Telescopio Espacial Infrarrojo, IRAS, COBE), climáticos (Meteor 3-6, NOAA12,-14,-15), reconocimiento y vigilancia (KH-11, Cosmos 2358, 2359 y
2366, Helios 1, Lacrosse), sistemas tripulados (Estación Espacial Internacional, Estación Espacial Mir, transbordador espacial y Soyuz TM).
Los satélites de órbita baja son fáciles de observar a simple vista en
noches claras y despejadas como “estrellitas” que se van moviendo rápidamente a través de las estrellas. Pero no se ven durante toda la noche;
los momentos adecuados de observación son una o dos horas después de
que se ha ocultado el Sol, o una o dos horas antes de la salida del mismo,
pues en tales instantes el Sol está ubicado en la posición óptima para
que su luz sea reflejada por el satélite hacia la Tierra.
Satélites con alturas superiores a los 1000 kilómetros, donde ya no
existe atmósfera (o su efecto es despreciable), permanecen en órbita
por tiempo indefinido. De este tipo son los satélites geoestacionarios,
meteorológicos y de navegación satelital. Estos satélites no se observan
a simple vista, sino mediante un telescopio relativamente potente.
15.1.
Una teorı́a sencilla del satélite artificial
Los satélites artificiales son perturbados por una gran diversidad de
fuerzas externas. De hecho, todas las fuerzas de perturbación vistas en
la sección 14.4 afectan el movimiento de un satélite. Sin embargo, estas
fuerzas afectan en mayor o menor grado el movimiento del satélite dependiendo de la clase de órbita que describe. Por ejemplo, un satélite
que se desplaza a muy baja altura experimenta fuertes perturbaciones
por resistencia del aire y por achatamiento terrestre, pero las perturbaciones por presencia de la Luna y el Sol son muy pequeñas. Satélites con
órbitas muy altas (geoestacionarios y otros tipos) no sufren rozamiento
atmosférico, los efectos de la falta de esfericidad terrestre son casi despreciables, pero están sometidos a notables perturbaciones por el Sol y
la Luna ası́ como a la presión de radiación.
1
En la literatura anglosajona la órbita baja se designa como LEO (Low Earth
Orbit).
378
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
La perturbación que más afecta el movimiento de un satélite artificial
de baja altura es, como ya se dijo, la debida al achatamiento terrestre, del
cual da cuenta el armónico zonal J2 . Por lo tanto, el potencial terrestre
que adoptaremos para nuestro estudio es el que está dado por la ecuación (14.25).
Entonces, las ecuaciones diferenciales en componentes cartesianas
que rigen el movimiento de un satélite artificial teniendo en cuenta solamente la perturbación por achatamiento terrestre son, conforme a la
ecuación (14.21):
„
ẍî + ÿ ĵ + z̈ ĵ = −
∂
∂
∂
î +
ĵ +
k̂
∂x
∂y
∂z
«"
Gm1
Gm1 J2
−
−
r
r
„
R
r
«2 „
«#
3
1
2
− sen φ
,
2
2
(15.1)
donde m1 es la masa de la Tierra. Puesto que r = x2 + y 2 + z 2 y
sen φ = z/r, al realizar las derivadas parciales y factorizar los vectores
unitarios obtenemos:
Gm1
z2
3J2 R 2
ẍ = − 3 x 1 +
1−5 2
,
r
2
r
r
Gm1
z2
3J2 R 2
ÿ = − 3 y 1 +
1−5 2
,
r
2
r
r
Gm1
z2
3J2 R 2
z̈ = − 3 z 1 +
3−5 2
.
r
2
r
r
(15.2)
Estas ecuaciones se reducen, tal y como es de esperarse, a las de los
dos cuerpos (ecuaciones (12.35)) si J2 = 0 o si r >> R. Este conjunto
de ecuaciones puede integrarse fácilmente de forma numérica.
Sin embargo, resolveremos el problema de forma aproximada utilizando el método de variación de parámetros visto en la sección 14.5.2.
La ecuación (14.25) puede escribirse ası́:
Gm1
V =−
+R ,
r
donde R es:
15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATÉLITE ARTIFICIAL
Gm1 J2
R=
r
2 R
1 3
2
− sen φ .
r
2 2
379
(15.3)
Puesto que el valor de J2 es pequeño, R también lo será. Por lo tanto,
R será visto como un pequeño término de perturbación a las ecuaciones
del problema de los dos cuerpos.
z
θ
PERIGEO
φ
ω
i
NODO
ASCENDENTE
Figura 15.2: Relación entre φ, ω, θ e i
Como nuestra intención es utilizar aquı́ el método de variación de
parámetros, necesitaremos, para aplicar adecuadamente las ecuaciones
(14.37), convertir R en función de los elementos. Esto se logra fácilmente
analizando la figura 15.2. Del triángulo esférico se deduce, aplicando el
teorema del seno (ecuación (2.13), pág. 15):
sen (ω + θ)
sen φ
=
,
sen 90
sen i
al despejar de esta última sen φ y reemplazarla en (15.3) obtenemos:
Gm1 R 2 J2
R=
(1 − 3 sen 2 i sen 2 (ω + θ)).
r
r
2
Desarrollando el cuadrado del último término en función del ángulo
doble, obtenemos:
380
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Gm1 J2
R=
r
R
r
2 1 3
3
3
2
2
2
− sen i − sen i cos 2ω cos 2θ − sen i sen 2ω sen 2θ) .
2 4
4
4
Por razones que se verán a continuación (que se relacionan con la
eliminación de r) multiplicamos y dividimos por el cubo del semieje
mayor a y reordenamos de tal forma que:
R=
Gm1 R2 J2
a3
a3
r3
1 3
3
3
− sen 2 i − sen 2 i cos 2ω cos 2θ − sen 2 i sen 2ω sen 2θ) .
2 4
4
4
Aquı́ tenemos un gran problema. Puesto que R ha quedado en términos de r y θ, los cuales a su vez son funciones de los elementos, es necesario eliminar estos valores de alguna manera. Esto se logra, más o
menos exitosamente, a través de una técnica conocida como “promediación”, la cual se sustenta en lo siguiente: cuando se desea examinar las
perturbaciones a la trayectoria de un satélite bien vale la pena tener en
cuenta solo aquellas que son significativas y se hacen explı́citas cuando
se han acumulado lo suficiente como para que se noten; en otras palabras, no nos van a interesar las perturbaciones que se suceden dentro
de un perı́odo (las cuales son periódicas y de magnitud pequeña) sino la
acumulación de todas ellas en un tiempo razonable. Queremos entonces
hacer una gran suma sobre lo que se va acumulando por cada perı́odo
que va trazando el satélite, de tal forma que las pequeñas perturbaciones
que se suceden en un perı́odo queden promediadas y al final se tenga solo
el efecto acumulado de todas ellas. La función perturbatriz promediada,
que designaremos como R, es entonces un promedio en una revolución
completa:
! 2π
1
R=
RdM.
2π 0
Por lo tanto, el valor de R queda ahora (r y θ son funciones de la
anomalı́a media M ):
Gm1 R2 J2
R=
a3
1 3
3
3
2
2
2
− sen i I1 −
sen i cos 2ω I2 −
sen i sen 2ω I3 ,
2 4
4
4
(15.4)
donde los valores de I1 , I2 e I3 vienen dados por las siguientes integrales:
15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATÉLITE ARTIFICIAL
! 2π a 3
1
I1 =
dM,
2π 0
r
! 2π
a 3
1
cos 2θ
I2 =
dM,
2π 0
r
! 2π
a 3
1
I3 =
sen 2θ
dM.
2π 0
r
381
(15.5)
(15.6)
(15.7)
Para resolver estas integrales es necesario expresar M en términos
de θ.
De la ecuación (12.58), que permite relacionar el momento angular
h con la variación temporal de la anomalı́a verdadera, y de la primera
de las ecuaciones (12.70) se deduce:
μa(1 − e2 )dt = r 2 dθ.
(15.8)
De (12.91) se tiene μ1/2 = na3/2 y de la definición de anomalı́a media,
ecuación (12.102), encontramos:
dM =
μ1/2
dt.
a3/2
(15.9)
Despejando dt de esta última y reemplazando en (15.8) obtenemos:
a2 (1 − e2 )1/2 dM = r 2 dθ.
(15.10)
Al reemplazar (15.10) en (15.5) se llega a:
I1 =
1
a
2π (1 − e2 )1/2
!
2π
0
dθ
.
r
Pero, puesto que r está dado por (11.5), llegamos a:
I1 =
1
1
2π (1 − e2 )3/2
!
2π
(1 + e cos θ)dθ.
0
La integral de la derecha es igual a 2π, por lo que se obtiene finalmente:
I1 =
1
.
(1 − e2 )3/2
382
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
En las integrales I2 e I3 aparece de nuevo el término ( ar )3 , el cual
1+e cos θ
ya vimos que es igual a (1−e
2 )3/2 , por lo que aparecerán integrales de la
forma:
!
!
2π
2π
(1 + e cos θ) cos 2θdθ,
(1 + e cos θ) sen 2θdθ,
0
0
las cuales (y es fácil verificarlo) son iguales a cero, por lo que I2 = I3 = 0.
La ecuación (15.4) se reduce a:
Gm1 R2 J2
R= 3
a (1 − e2 )3/2
1 3
2
− sen i .
2 4
(15.11)
Dado que R está solamente en función de a, e e i las derivadas
parciales necesarias para obtener las ecuaciones (14.37) son:
∂R
∂Mr
∂R
∂Ω
∂R
∂ω
∂R
∂i
= 0,
= 0,
= 0,
3Gm1 R2 J2
sen i cos i,
2a3 (1 − e2 )3/2
∂R
3Gm1 eR2 J2 1 3
2
= 3
− sen i ,
∂e
a (1 − e2 )5/2 2 4
∂R
3Gm1 eR2 J2 1 3
2
=− 4
− sen i .
∂a
a (1 − e2 )3/2 2 4
=−
(15.12)
Reemplazando estas derivadas parciales en las ecuaciones (14.37)
obtenemos:
da
= 0,
dt
de
= 0,
dt
di
= 0,
dt
(15.13)
(15.14)
(15.15)
15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATÉLITE ARTIFICIAL
dΩ
3Gm1 R2 J2 cos i
,
=−
dt
2na5 (1 − e2 )2
dω
5
3Gm1 R2 J2
2
2 − sen i ,
=
dt
2na5 (1 − e2 )2
2
2
dM
1 3
3Gm1 R J2
2
= n+ 5
− sen i .
dt
na (1 − e2 )3/2 2 4
383
(15.16)
(15.17)
(15.18)
Puesto que Gm1 = n2 a3 , suponiendo que los elementos orbitales
al lado derecho de las anteriores ecuaciones son, en primera aproximación, constantes, e integrando desde un tiempo t0 (no confundir con el
tiempo del paso por el pericentro) en el cual se tienen los elementos
(a0 , e0 , e0 , Ω0 , ω0 , (Mr )0 ) hasta un tiempo t cualquiera, obtenemos:
a = a0 ,
(15.19)
e = e0 ,
i = i0 ,
(15.20)
(15.21)
3
Ω = Ω0 − n
2
2
J2
cos i(t − t0 ),
(15.22)
(1 − e2 )2
2
5
3
J2
R
2
ω = ω0 + n
2 − sen i (t − t0 ),
(15.23)
2
a
(1 − e2 )2
2
2
3
3 R
J2
2
1 − sen i (t − t0 ).(15.24)
M = M0 + n 1 +
2 a
2
(1 − e2 )3/2
R
a
Las anteriores ecuaciones nos dicen que al considerar como perturbación el armónico J2 que da cuenta del achatamiento terrestre y al tomar
solo la acumulación significativa de las perturbaciones por perı́odo (y
no los efectos de corto perı́odo) tendremos que el semieje mayor a, la
inclinación i y la excentricidad e no se ven afectadas de forma notoria,
y que en promedio se mantienen constantes. Pero son significativos los
cambios en la longitud del nodo ascendente Ω y en el argumento de latitud del pericentro ω.
Cambiemos las unidades para facilitar los cálculos.
√
Puesto que k = Gm1 , donde m1 es la masa de la Tierra, calculamos, en unidades de MKS, una constante que bien podrı́a llamarse la
constante de Gauss terrestre:
384
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
k=
6,6726 × 10−11 × 5,9736 × 1024 = 1,9965 × 107 m3/2 s−1 .
Adoptando como unidades el radio terrestre (6 378 140 m) y el dı́a
solar medio (86 400 s) tenemos que:
k = 107,0883 RT3/2 d−1 .
(15.25)
Si adoptamos el valor de k dado por (15.25) entonces a debe estar en
unidades de radios terrestres y en nuestras anteriores fórmulas R = 1.
Dado que n en unidades de grados está definido por (12.92), al considerar los cambios instantáneos de la longitud del nodo ascendente y del
argumento de latitud del pericentro (en unidades de grados por dı́a), se
obtiene:
ΔΩ = −
Δω =
3k(180/π)J2
cos i,
2a7/2 (1 − e2 )2
3k(180/π)J2
5
(2 − sen 2 i).
7/2
2
2
2
2a (1 − e )
(15.26)
(15.27)
Las ecuaciones (15.26) y (15.27) son muy importantes para satélites
artificiales de baja y media altura. La primera describe el fenómeno conocido con el nombre de “regresión de la lı́nea de los nodos”. Nótese que
la lı́nea nodal, para órbitas directas (i < 90) se dirige en la dirección
de las agujas del reloj, esto es, en dirección hacia el oeste. Viendo la
dependencia cosenoidal de la inclinación se deduce que la única forma
de evitar dicha regresión es colocar el satélite en órbita polar (i = 90).
La ecuación (15.27) describe la precesión de la lı́nea de las ápsides,
con la cual el lector ya está familiarizado cuando se vio en la sección
14.4.6 un comportamiento similar generado por un efecto completamente
distinto (la curvatura del espacio-tiempo). Como es claro, la precesión se
puede anular para órbitas con una inclinación que cumpla sen 2 i = 4/5,
esto es, i = 63,4o .
Ejemplo 1
Un satélite artificial describe una órbita con los siguientes elementos: a = 1,13546, e = 0,0178, i = 27o 34,4 . Determinar los cambios
instantáneos de la longitud del nodo y del argumento de latitud del
pericentro.
15.1. UNA TEORÍA SENCILLA DEL SATÉLITE ARTIFICIAL
385
z
y
x
Figura 15.3: Corrimiento de la lı́nea de los nodos
Solución
Al reemplazar en la ecuación (15.26) y adoptando la constante dada
en (15.25) obtenemos:
ΔΩ = −
3 × 107,0883 × (180/3,14) × 1,083 × 10−3
cos 27o 34,4 = −5o 40 /dı́a.
2 × (1,13546)7/2 (1 − 0,01782 )2
De forma análoga, al reemplazar en (15.27):
Δω =
3 × 107,0883 × (180/3,14) × 1,083 × 10−3
5
(2 − sen 2 (27o 34,4 ))
7/2
2
2
2
2 × (1,13546) (1 − 0,0178 )
= 9o 21 /dı́a.
Del anterior ejemplo es claro que para satélites de baja altura, esto es, aquellos cuya relación R/a es cercana a uno, los ángulo Ω y ω
van cambiando rápidamente con el tiempo. A medida que la altura del
satélite va en progresivo aumento, la relación R/a va tendiendo a cero
al igual que los cambios instantáneos de estos ángulos.
386
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
15.2.
El satélite Tierra-sincrónico
En muchas aplicaciones de orden militar, meteorológico, búsqueda
de recursos naturales, etc., es necesario que un satélite “sobrevuele”
todas las partes de la Tierra. Ello se logra colocando el satélite en una
órbita con inclinación cercana a los 90o y a una altura baja. Pero hay
un pequeño inconveniente generado por el hecho de que la órbita del
satélite está fija en el espacio mientras que la Tierra está girando. De
ello resulta que los trazos sobre el terreno del satélite (los puntos sobre
la superficie de la Tierra por donde está pasando el satélite) cruzan el
ecuador en puntos distintos, los cuales se van desplazando hacia el oeste
(ver figura 15.4).
Figura 15.4: Movimiento de la órbita del satélite con respecto a la Tierra
Una órbita Tierra-sincrónica es aquella que permite a un satélite
describir trazos sobre el terreno idénticos a los generados en una órbita
previa después de un determinado perı́odo de tiempo.
La Tierra realiza, con respecto a las estrellas de fondo, una revolución en un dı́a sideral (el cual posee un número de segundos SI igual a
86 164,09 (ver sección 7.1.1)) cuyo perı́odo designaremos por TT ; a su
vez, la órbita del satélite, por cada revolución Ts , se va desplazando hacia
15.2. EL SATÉLITE TIERRA-SINCRÓNICO
387
el oeste un ángulo que llamaremos Δχ1 . De esta simple consideración,
es obvio que el desplazamiento por cada revolución debido a la rotación
de la Tierra de oeste a este es:
Ts
grados/órbita,
(15.28)
TT
donde el signo negativo indica que el desplazamiento de la órbita con
respecto al terreno es en la dirección de las agujas del reloj visto desde
el norte, esto es, en la dirección contraria en que se cuenta la ascensión
recta y la longitud del nodo ascendente. Pero hay que recordar que la
lı́nea de los nodos se desplaza también (debido al achatamiento terrestre)
un valor que está dado por la ecuación (15.26). El desplazamiento por
revolución, que llamaremos Δχ2 , se logra multiplicando (15.26) por el
tiempo que demora el satélite en dar una revolución completa, esto es
3/2
Ts = 2πak :
Δχ1 = −360
Δχ2 = −
3J2 (180) cos i
grados/órbita.
a2 (1 − e2 )2
(15.29)
Puesto que Ts es el perı́odo orbital del satélite, entonces, de las ecuaciones (15.28) y (15.29) se deduce que el incremento total del desplazamiento en longitud en el ecuador es:
Δχ = − 360
2πa3/2
3J2 (180) cos i
+ 2
kTT
a (1 − e2 )2
grados/órbita,
(15.30)
donde TT tiene el valor de 0.997269 dı́as solares medios.
Si se desea tener una órbita Tierra-sincrónica se requiere que después
de un número entero de órbitas n realizadas por el satélite el incremento
total Δχ sea igual a 360o y en ese mismo tiempo se ha de cumplir un
número entero m de revoluciones (en dı́as) de la Tierra para que tenga
un paso exacto por el mismo sitio de la Tierra. Por lo tanto, la condición
de órbita Tierra-sincrónica es:
n | Δχ |= 360o m,
(15.31)
donde n y m deben ser números enteros.
Dependiendo del tipo de misión, se ha de escoger un conjunto de
valores de a, e e i con el fin de cumplir las condiciones dadas en (15.30).
388
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
15.3.
El satélite Sol-sincrónico
En muchos casos de interés se busca que el satélite, en el transcurso
de su misión, pase por determinadas regiones del planeta pero siempre bajo las mismas condiciones de iluminación solar. Ello acarrea un
problema pues el Sol se está moviendo un grado por dı́a en dirección
oeste-este, en tanto que el plano de la órbita del satélite, con inclinación
i < 90, debido al corrimiento de la lı́nea de los nodos, se mueve en la
dirección contraria. Esto quiere decir que si un satélite pasa por una
determinada región, digamos a mediodı́a, con el transcurso del tiempo
pasará a horas distintas. Si se está buscando que el satélite pase por
una determinada región bajo las mismas condiciones de iluminación, es
preciso que el cambio instantáneo de la longitud del nodo sea igual a
la velocidad del movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra. El
Sol, visto desde la Tierra, se mueve aparentemente a una velocidad promedio2 de +0.9856o /dı́a, donde el signo positivo indica que se mueve
aparentemente en dirección oeste-este. Por lo tanto se ha de cumplir:
+0,9856 = −
3k(180/π)J2
cos i.
2a7/2 (1 − e2 )2
(15.32)
De esta ecuación se deriva que el valor de la inclinación de un satélite
Sol-sincrónico debe ser mayor de 90 grados.
Ejemplo 1
Se desea colocar un satélite Sol-sincrónico en una órbita circular cuya
altura es de 500 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál debe ser la
inclinación del satélite?
Solución
Puesto que la órbita es circular se tiene e = 0. Entonces:
a=1+
500
= 1,0784 RT.
6378,14
Despejando la inclinación de (15.32):
i = cos−1 −
2
2 × 0,9856 × (1,0784)7/2
3 × 107,0883 × (180/3,14) × 1,083 × 10−3
Esto no es otra cosa que el movimiento medio n de la Tierra.
= 97o 24 .
15.4. EL SATÉLITE GEOESTACIONARIO
15.4.
389
El satélite geoestacionario
En los primeros años de la exploración del espacio, y con el fin expreso de remediar el inconveniente de que las ondas de radio son absorbidas
por el mismo terreno, algunos satélites artificiales fueron utilizados como simples espejos (satélites pasivos) que reflejaban las ondas de radio
provenientes de un emisor y ası́ mandar señales de radio o de televisión
a lugares remotos del sitio de emisión. Pero los satélites de baja altura
utilizados tenı́an un ligero inconveniente: se desplazaban a una velocidad
tal que tardaban cerca de dos horas en dar una revolución completa en
torno a la Tierra3 .
PNC
42150 km
35770 km
ET
TIERRA
SATELITE
PSC
Figura 15.5: Ubicación de un satélite geoestacionario
Que estuviesen colocados en órbitas bajas significaba que el movimiento del satélite en el cielo era bastante perceptible: permanecerı́a
visible (por encima de los horizontes locales del emisor y el receptor)
por solo unos cuantos minutos, y además exigirı́a un mecanismo de rastreo acoplado para ambas antenas. Se necesitaba la puesta en órbita de
un objeto que girara alrededor del planeta a una velocidad tal que igualara la velocidad de rotación de la Tierra (para que tanto el emisor como
el receptor estén en contacto permanente con el satélite), y no solo eso,
sino también que permanezca estático para cualquier observador situa3
El más conocido de dichos satélites fue el Echo I, un “globo” de 30 metros de
diámetro que fue colocado a unos 1600 km de altura en agosto de 1960. Sin embargo,
el primer satélite pasivo, para reflejar ondas electromagnéticas, fue la Luna, labor que
realizó la marina estadounidense a comienzos de los años cincuenta.
390
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
do en la superficie de la Tierra (para evitar las molestias inherentes al
proceso de rastreo). Esto requiere de cuatro condiciones. La primera es
que la altura sobre la superficie terrestre debe ser de 35 770 kilómetros
(a esta distancia, de acuerdo con la tercera ley de Kepler, el satélite
tendrá un perı́odo de rotación de 24 horas; ver ejemplo 2 de la página
295); la segunda condición es que ha de girar en la misma dirección de la
rotación de la Tierra, esto es, de oeste a este; la tercera es que debe estar
situado exactamente sobre el ecuador terrestre, o en otras palabras, que
su inclinación sea cero (i ≈ 0); y la cuarta condición es que su órbita sea
lo más circular posible, esto es, que su excentricidad sea nula (e ≈ 0).
Si solo se cumplen las dos primeras condiciones el satélite se dice que es
geosincrónico. Un satélite que cumpla las cuatro condiciones es llamado
geoestacionario4 .
Aunque la órbita geoestacionaria se conoce también como órbita
Clark en honor al célebre escritor de ciencia ficción Arthur C. Clark
quien popularizó la idea en 1948, la idea original es modernamente atribuida al ingeniero esloveno Herman Potoc̆nik ya para 1928. Sólo el desarrollo tecnológico en cohetes permitió hacerla una realidad en el año
1963. Desde ese entonces observar por televisión eventos que ocurren
simultáneamente en la parte opuesta del globo, de manera continua y
clara, se ha vuelto tan rutinario que incluso no nos detenemos a pensar
que hace casi cuarenta años era tecnológicamente imposible. Hoy en dı́a
pululan sobre las azoteas de casas y edificios antenas parabólicas (simples radiotelescopios) que son instrumentos de recolección de las señales
que provienen de dichos satélites. En un inicio eran muy abultadas, alcanzando las decenas de metros de diámetro. Hoy en dı́a existen antenas
parabólicas con diámetros de 50 cm o menos, todas ellas apuntando eficazmente hacia un satélite geoestacionario. El número de satélites de
comunicaciones en órbita geoestacionaria ha estado aumentando cada
vez más. En la actualidad existen del orden de 300 satélites geoestacionarios operacionales. Hay que anotar sin embargo que existen otros tipos
de satélites geoestacionarios diferentes a los de comunicaciones tales como satélites de alerta temprana (detectores de lanzamiento de misiles
y explosiones de armas nucleares) y los satélites meteorológicos. A medida que el número de satélites aumenta existe el riesgo creciente de
choque entre ellos, pues en realidad la órbita geoestacionaria constituye
una región muy limitada del espacio.
4
La órbita geoestacionaria se conoce en la literatura anglosajona con el acrónimo
de GEO.
15.4. EL SATÉLITE GEOESTACIONARIO
391
La historia de la utilización de posiciones para la colocación de satélites geoestacionarios ha seguido la misma evolución de la explotación de
otras fuentes naturales. Los primeros usuarios tomaban lo que deseaban
y cierta coordinación de su uso fue introducida solo cuando se encontró que ya era necesario. En 1971 la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT), una agencia especializada de la ONU, reconoció la
órbita geoestacionaria como “fuente natural limitada”. En 1977 la UIT
comenzó la tarea de asignar espacios para la ubicación de los satélites
en ciertos lugares especı́ficos sobre la lı́nea del ecuador terrestre. Muchas naciones, incluyendo aquellas que no han desarrollado tecnologı́a
espacial, solicitaron también su espacio para su uso futuro por temor a
perder el acceso a esta importante fuente. Una solicitud hecha en el año
de 1976 por un grupo de naciones ecuatoriales (paı́ses que son atravesados en su territorio por la lı́nea del ecuador terrestre, como Ecuador,
Colombia, Brasil, Gabón, Zaire, Uganda, Kenia, Somalia e Indonesia),
reclamando soberanı́a sobre el espacio geoestacionario situado directamente sobre su territorio, fue desdeñada por los paı́ses dominantes de
este tipo de tecnologı́a.
En Colombia el ecuador terrestre atraviesa parte de los departamentos de Putumayo, Caquetá, Amazonas y Vaupés cubriendo una lı́nea de
unos 610 kilómetros de franja ecuatorial. Esto se traduce en una “lı́nea
aérea” soberana a la distancia geoestacionaria de una longitud de unos
4100 kilómetros. Hasta ahora este espacio (ni el que la UIT pueda otorgarle) no ha sido explotado por nuestro paı́s5 . Sin embargo, sı́ está siendo
5
Infortunadamente nuestro paı́s no ha realizado esfuerzos serios y contundentes encaminados a la adquisición de un satélite geoestacionario. Por varios años los paı́ses
de la región andina (Bolivia, Perú, Venezuela, Ecuador y Colombia) persiguieron el
proyecto de colocar conjuntamente un satélite, originalmente llamado Cóndor y posteriormente Simón Bolı́var, pero, por falta de compromiso de esas naciones agravado
por diversos problemas económicos, nunca comprometieron los recursos necesarios y
la órbita que estaba reservada para ello fue en su lugar otorgada a un satélite mexicano. Venezuela, consciente de la importancia de no quedar relegada en una tecnologı́a
tan necesaria hoy en dı́a, tomó unilateralmente la decisión de asociarse con Uruguay,
con lo que este último cedió su espacio satelital (78 W) al primero. La nación bolivariana contrató entonces la construcción de un satélite geoestacionario con China y
finalmente fue colocado exitosamente en órbita a finales de 2008, con lo que Venezuela
se convirtió con México, Brasil y Argentina en las únicas naciones latinoamericanas
que poseen un satélite artificial propio. Sin embargo, justo es decir que con la recién
creada Comisión Colombiana del Espacio, a través del grupo de Telecomunicaciones,
está adelantando estudios para la compra y puesta en órbita de un satélite geoestacionario.
392
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
utilizado por otros paı́ses tecnológicamente más avanzados que nosotros.
En el momento en que se escriben estas lı́neas ocupan el sector geoestacionario directamente encima del paı́s varios satélites, algunos de los
cuales son: Brasilsat B4 (70.0 W), Nahuel 1A (71.0 W), AMC-6 (72.0
W), Directv-1R (72.5 W), Horizons-2 (74.0 W) y Galaxy-9 (74.9 W).
Aunque el espacio de 4100 kilómetros nos puede parecer muy amplio
como para pensar que no importa que otros vengan con sus satélites a
ocuparlo, la verdad es que por razones técnicas es necesario que exista una separación mensurable entre satélites. A modo de ejemplo, debe
existir una separación mı́nima de 2 grados en longitud entre satélites
que tengan la misma frecuencia (esto corresponde a una separación entre satélites de 1500 kilómetros). Hoy en dı́a las naciones y consorcios
que deseen colocar satélites geoestacionarios deben aprobar una serie de
parámetros que están sujetos a regulación internacional, como las bandas de frecuencia disponibles, el espacio especı́fico por ocupar y el flujo
máximo permitido sobre la superficie.
Un satélite geoestacionario alcanza a cubrir cerca del 42 % de la
superficie terrestre. Bastan tres satélites ubicados de forma conveniente para que exista una cobertura de comunicación a nivel global. Solo
aquellos sitios que están en o muy cerca de los polos tienen problemas en
recibir la señal de estos satélites por ubicarse estos, para dichas regiones,
muy cerca del horizonte.
En la actualidad se están colocando como promedio unos 100 satélites
por año, de los cuales unos 30 se ubican en la órbita geoestacionaria.
Por lo general transcurren entre dos y tres años desde el momento en
que se ordena la construcción de un satélite geoestacionario hasta su
puesta en órbita. Entre los constructores de satélites geoestacionarios
se cuentan: Boeing Space and Intelligence Systems, que ha desarrollado
buses exitosos del tipo Boeing 601 y Boeing 702, Lockheed Martin, Space
Systems/Loral, Orbital Science Corporations, etc. Los modernos satélites
geoestacionarios tienen un costo que oscila entre los 100 y 150 millones de
dólares, una duración máxima de unos 15 años limitada por el contenido
de propelente necesario para el “mantenimiento” de la órbita y un peso
en el momento en que quedan en órbita de transferencia geoestacionaria
alrededor de los 4000 kg.
15.4. EL SATÉLITE GEOESTACIONARIO
393
Figura 15.6: Satélite giro estabilizado Boeing 376 y satélite triaxial estabilizado
Boeing 601
Pero un asunto es el costo del satélite y otro es el proceso de colocarlo en la órbita geoestacionaria. Para ello es necesario contratar los
servicios de un proveedor que ofrezca colocarlo en dicha órbita (ver tabla
15.1). Por fortuna hoy existe una amplia gama de oferentes quienes se
disputan el mercado en una guerra sin cuartel. Entre ellos sobresalen:
United Launch Alliance con las familias de cohetes Delta y Atlas; China
Aerospace Science and Technology Corporation ofrece la familia de cohetes Long March; Khrunichev State Research and Space Center de Rusia
ofrece los servicios de su cohete Protón y la firma japonesa Mitsubishi
Heavy Industries con su cohete H-IIA.
En razón de su alta confiabilidad y precio competitivo la firma europea Arianespace SA posee actualmente más del 50 % del mercado para
colocar satélites geoestacionarios de orden civil. Tanto la familia de cohetes Ariane 4 como la Ariane 5 han colocado numerosos satélites geoestacionarios con una tasa de éxito muy alta.
Los satélites en órbita geoestacionaria prestan los siguientes propósitos: comunicación civil (Asiasat, Arabsat, Astra, Brazilsat, DBS, Eutelsat, Galaxy, Gorizont, Telstar, etc.), comunicación militar (DSCS, Leosat 5, MILSTAR 1, Raduga, Skynet), climáticos (GOES, Meteosat), de
alerta temprana (DSP, Prognoz) y reconocimiento y vigilancia (Orion).
Los satélites geoestacionarios, en el transcurso de su vida útil, deben estar continuamente corrigiendo su órbita pues, si no lo hicieran,
lentamente se saldrı́an del lugar al cual apuntan las antenas en tierra.
Esto se debe a las perturbaciones que ejercen sobre dicho satélite: la
atracción gravitacional del Sol y de la Luna, la presión de radiación y la
triaxialidad de la Tierra (la sutil diferencia de radio terrestre en distintos
puntos del ecuador terrestre). Estas perturbaciones tienden a cambiar
394
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
el semieje mayor, la excentricidad y la inclinación del satélite, lo cual,
de no corregirse a tiempo, terminará por no estar dentro del intervalo
en que los usuarios en tierra lo consideren geoestacionario. Por ello se
necesita que el satélite posea una masa no despreciable de propelente
para estar corrigiendo de tanto en tanto la órbita del mismo.
15.5.
El satélite Molniya
Como se verá más adelante, la inclinación de una órbita en el momento de la colocación de un satélite nunca puede ser menor que la latitud
del sitio de lanzamiento. Por supuesto que se puede cambiar después
el plano de inclinación, pero esto exige un gasto desproporcionado en
términos de combustible. La antigua Unión Soviética también se vio en
la necesidad de utilizar una red de comunicaciones tanto para el campo
militar como el civil. Lo lógico era colocar satélites en órbita geoestacionaria, pero a causa de que sus sitios de lanzamiento están ubicados en
latitudes altas resulta muy costoso pasar de órbitas con inclinaciones del
orden de 45o a órbitas ecuatoriales con inclinación 0o (ver parte b del
ejemplo 1 de la página 406). De todas formas los rusos colocan satélites geoestacionarios (como la serie Ekran y Gorizont) con diversidad de
propósitos.
Figura 15.7: Precesión de la lı́nea de las ápsides para un satélite con gran excentricidad
15.5. EL SATÉLITE MOLNIYA
395
La razón más poderosa para buscar opciones distintas a la de los
satélites geoestacionarios por parte de Rusia es que son muchos los asentamientos humanos de este enorme paı́s que están a tan altas latitudes
que los satélites geoestacionarios son observados a bajas alturas, apenas
unos cuantos grados sobre el horizonte, lo que origina serias interferencias en la comunicación.
La solución fue colocar satélites cuyo apogeo alcanza los 46 000 km de
altura y su perigeo tan solo 1000 kilómetros de altura. Esto permite que
el satélite, cerca del apogeo, permanezca casi estacionario con respecto
a los observadores en Tierra. Pero también implica que al cabo de cierto
tiempo, cuando se dirige hacia su perigeo, su movimiento comienza a ser
notable. Esto se solucionó colocando varios satélites en distintos planos
de tal forma que para todo tiempo siempre habrá alguno de ellos en
o cerca del apogeo. Pero hay un ligero inconveniente. Y es que si los
usuarios van a ser rusos el apogeo de la órbita debe permanecer siempre
sobre el hemisferio norte. Como se recordará, el efecto del achatamiento
terrestre genera la precesión de la lı́nea de las ápsides lo que hace que
la lı́nea que contiene el apogeo y el perigeo se vaya desplazando en el
tiempo. De no tomar las medidas correctivas, ocurrirá, al cabo de ciertos
dı́as, que el apogeo se encontrará en el hemisferio sur lo que implica
que para los usuarios del hemisferio norte el satélite deja de cumplir
su cometido (ver figura 15.7). A todas luces es imperativo anular dicha
precesión. Y esto se logra, como comentamos atrás, haciendo que la
inclinación del satélite tenga un valor igual a o muy cercano a i = 63,4o .
Estos satélites, con inclinaciones cercanas a i = 63,4o , semiejes mayores
de a = 4,15 RT y excentricidades del orden de e = 0,7, se conocen como
satélites de tipo Molniya, extensivamente utilizados por Rusia para su
red de comunicaciones.
NOTA: Algunos satélites se colocan en órbitas intermedias entre
los 1000 y 36 000 km de altura, esto es, entre las órbitas LEO y GEO,
se llaman órbitas terrestres medias (MEO). Se utilizan extensivamente
para propósitos de navegación. La red Navstar de satélites de GPS se
ubica a alturas de unos 20 000 km sobre la superficie terrestre. El sistema
equivalente montado por los rusos se llama Glonass y los europeos hacen
grandes esfuerzos para montar en los próximos años una red similar
llamada Galileo.
396
15.6.
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Órbitas de transferencia
En muchos casos es deseable cambiar la órbita de un satélite. Un
usuario bien puede desear aumentar o disminuir la altura, cambiar el
plano de inclinación o pasar de una órbita circular a una fuertemente elı́ptica, etc. Por supuesto que ello requiere que el satélite contenga
los medios necesarios para permitir que su velocidad cambie en varios
kilómetros por segundo, esto es, debe poseer un motor cohete con combustible en su interior.
15.6.1.
Transferencia tipo Hohmann
La transferencia de tipo Hohmann6 es el medio más conocido, simple y que consume menor energı́a para lograr la transferencia entre dos
órbitas circulares coplanares. Supóngase que se está inicialmente en una
órbita circular con radio a1 y se quiere pasar ahora a una órbita circular
con radio a2 . La transferencia requiere dos impulsos. El primero, realizado en el punto 1, coloca el satélite en una órbita elı́ptica, llamada órbita
de transferencia, cuyo apogeo es la distancia a2 y perigeo la distancia a1 .
Luego, en el punto 2, se realiza el segundo impulso, que permite “circularizar” la órbita de transferencia y convertirla en la órbita circular con
radio a2 (ver figura 15.8).
a1
2
a2
1
Figura 15.8: Órbita de transferencia de tipo Hohmann
6
Llamada ası́ en honor del ingeniero alemán Walter Hohmann quien la propuso
originalmente en 1925.
15.6. ÓRBITAS DE TRANSFERENCIA
397
Es fácil calcular el semieje mayor a y la excentricidad e de la órbita
de transferencia:
a=
a1 + a2
,
2
e=1−
a1
.
a
(15.33)
La velocidad que tiene el satélite en cualquier punto de la órbita circular (incluyendo el punto 1) con radio a1 es, según la ecuación (12.93),
donde hemos hecho m2 = 0 y r = a:
k
v=√ .
a1
(15.34)
De igual forma, la velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza
en la órbita de transferencia en el mismo punto 1 es:
v=k
2
1
− ,
a1 a
(15.35)
pero, puesto que a está dada por la primera de las ecuaciones (15.33),
se tiene que:
v=k
2
2
k
−
=√
a1 a1 + a2
a1
o mejor:
2a2
,
a1 + a2
k
v=√
a1
2(a2 /a1 )
.
1 + (a2 /a1 )
(15.36)
Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satélite para
pasar de la órbita circular con radio a1 a la órbita de transferencia y que
ha de aplicarse en el punto 1 de la trayectoria es la diferencia entre las
velocidades dadas por (15.36) y (15.34):
k
Δv = √
a1
2(a2 /a1 )
−1 .
1 + (a2 /a1 )
(15.37)
De forma completamente análoga, podemos calcular la velocidad que
tiene el satélite en cualquier punto de la órbita circular (incluyendo el
punto 2) con radio a2 :
k
v=√ .
a2
(15.38)
398
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
La velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza en la órbita de
transferencia en el mismo punto 2 es:
v=k
2
1
− ,
a2 a
(15.39)
que al colocar a en términos de las ecuaciones (15.33) se tiene:
v=k
2
2
k
−
=√
a2 a1 + a2
a2
o mejor:
2a1
,
a1 + a2
k
v=√
a2
2(a1 /a2 )
.
1 + (a1 /a2 )
(15.40)
Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satélite para
pasar de la órbita de transferencia a la órbita circular con radio a2 y que
ha de aplicarse en el punto 2 de la trayectoria, es la diferencia entre las
velocidades dadas por (15.38) y (15.40):
k
Δv = √
1−
a2
2(a1 /a2 )
.
1 + (a1 /a2 )
(15.41)
Ejemplo 1
Un satélite describe una órbita circular con inclinación cero a una
altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. Calcular los incrementos de velocidad necesarios para transferir dicho satélite a una órbita
geoestacionaria.
Solución
Pasamos las distancias a radios terrestres.
a1 = 6378,14 + 300 = 6678,14 = 1,047 RT,
a2 = 6378,14 + 35 770 = 42 148,14 = 6,608 RT.
Reemplazamos en la ecuación (15.37) para obtener el incremento
necesario en velocidad en el punto 1:
15.6. ÓRBITAS DE TRANSFERENCIA
107,0883
Δv = √
1,047
399
2 × (6,608/1,047)
− 1 = 32,86 RT/dı́a = 2,43 km/s.
1 + (6,608/1,047)
Luego utilizamos la ecuación (15.41) para obtener el incremento en
velocidad en el punto 2 necesario para circularizar la órbita:
107,0883
Δv = √
1−
6,608
2 × (1,047/6,608)
= 19,86 RT/dı́a = 1,47 km/s.
1 + (1,047/6,613)
Estos incrementos de velocidad se logran en la práctica mediante un
motor cohete, lo que implica un gasto no despreciable en la masa inicial
del cohete.
15.6.2.
Cambio de inclinación
En ocasiones es necesario cambiar el plano de inclinación de un satélite. Esto es particularmente cierto en aquellos casos en que es necesario
colocar un satélite geoestacionario pero el sitio de lanzamiento se ubica
a latitudes moderadas. Como se verá en la sección 15.9, la inclinación
inicial de un satélite nunca puede ser menor que la latitud del sitio de
lanzamiento.
Supóngase que se desea pasar de una órbita 1 a una órbita 2, ambas órbitas idénticas, salvo en su inclinación. Por lo tanto, deseamos un
cambio de inclinación igual a Δi.
Recurriremos al teorema del coseno de la trigonometrı́a plana. Considerando el triángulo conformado por velocidades en la figura 15.9 se
desprende que:
Δv 2 = v12 + v22 − 2v1 v2 cos Δi,
donde v1 es la velocidad de la órbita inicial, v2 la velocidad de la órbita
final y Δv la velocidad necesaria para el cambio de inclinación. Puesto
que las órbitas son idénticas, salvo en su inclinación, se tendrá que v1 =
v2 , y la anterior ecuación se puede escribir como:
400
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
1
2
Δv
v
1
Δi
v2
Figura 15.9: Cambio de inclinación
2
Δv =
2v12
−
2v12 cos Δi
=
2v12 (1
− cos Δi) =
4v12 sen 2
Δi
2
,
donde se hizo uso de la identidad trigonométrica: 2 sen 2 ( α2 ) = 1 − cos α.
Al tomar la raı́z cuadrada a ambos lados:
Δi
Δv = 2v1 sen
.
2
(15.42)
Dada la dependencia directa con la velocidad v1 se deduce que para
que Δv sea un mı́nimo se ha de buscar, en aquellas órbitas no circulares,
que la maniobra de cambio de inclinación se haga en el apocentro, esto
es, cuando la velocidad de una órbita elı́ptica sea un mı́nimo.
Ejemplo 1
Un satélite describe una órbita circular con una altura de 32 785,13
km sobre la superficie terrestre y con inclinación de 28,5o . Determinar el
incremento de velocidad para que la órbita resultante posea inclinación
cero.
15.7. COHETES
401
Solución
En este caso: Δi = 28,5o − 0o = 28,5o . El radio de la órbita en
unidades de radio terrestre es:
a = 32 785,13 + 6378,14 = 39 163,27 km = 6,1402 RT.
Por lo tanto, la velocidad que posee en cualquier punto de su trayectoria es:
k
107,0883
v=√ = √
= 43,216 RT/dı́a = 3,19 km/s.
a
6,1402
Entonces, al aplicar la fórmula (15.42) obtenemos:
Δv = 2 × 3,19 sen
15.7.
28,5o
= 1,57 km/s.
2
Cohetes
Los cohetes son dispositivos autopropulsados que pueden moverse en
el vacı́o alcanzando velocidades muy grandes. Los que se utilizan en la
exploración espacial pueden alcanzar velocidades del orden de las decenas de kilómetros por segundo. Su funcionamiento es muy sencillo:
descansa en el principio de la acción y reacción. El cohete expele gases
a muy alta velocidad por uno de sus extremos por lo que termina desplazándose en la dirección opuesta.
Figura 15.10: Cohete de varias etapas
Aunque los cohetes eran conocidos por los antiguos chinos, quienes
los utilizaron como arma de guerra o en artilugios de diversión como
fuegos artificiales (voladores), no fue sino a comienzos del siglo veinte
cuando se propuso como herramienta para colocar objetos a muy grandes
distancias y velocidades. Investigadores en Alemania, Rusia y Estados
Unidos experimentaron con cohetes en las primeras tres décadas del siglo
XX, pero no recibieron la debida atención de sus respectivos gobiernos.
402
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Sin embargo, a finales de la década de los treinta y comienzos de los cuarenta, en la Segunda Guerra Mundial, el ejército alemán, un organismo
que en aquella época estaba dispuesto a ensayar todo tipo de variantes e
innovaciones en el arte de hacer guerra, comenzó una serie de investigaciones tendientes a utilizar cohetes que pudieran colocar como carga útil
una bomba a varios centenares de kilómetros de distancia. Con el tiempo
desarrollaron el cohete A4 (que la propaganda nazi renombró como V2)
con el que atacaron varias ciudades aliadas.
Figura 15.11: Cohete alemán A4 rebautizado por la propaganda nazi como V2
Al finalizar la guerra los cientı́ficos e ingenieros alemanes que diseñaron el V2 fueron reclutados por los Estados Unidos y la Unión
Soviética para impulsar sus respectivos programas de investigación en
cohetes. El hecho de que con ayuda de cohetes se pudiera colocar una
bomba atómica al otro lado del mundo con muy poco riesgo de ser interceptada (lo que sı́ puede ocurrir si se utiliza un avión) originó un gran
interés en la investigación de cohetes por las potencias involucradas en la
guerra frı́a. Cuando se desarrollaron cohetes lo suficientemente potentes
como para alcanzar velocidades de 8 km/s se vio que ya era factible, en
lugar de atacar un blanco en tierra, colocar objetos en órbita alrededor
de la Tierra. Esto se logró por primera vez en la Unión Soviética el dı́a
4 de octubre de 1957. Desde entonces se han colocado miles de satélites
artificiales en órbita alrededor de nuestro planeta.
15.8.
La ecuación de Tsiolkovsky
Se puede deducir la ecuación de movimiento de un cohete en términos de la variación del momento lineal.
403
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
Sea en un tiempo dado t un cohete con masa m y velocidad v . En el
instante de tiempo t+Δt el cohete ha arrojado una masa Δm al espacio,
por lo que la masa del cohete es ahora m − Δm; ası́ mismo, su velocidad
es ahora v + Δv .
v
m
v + Δv
m - Δm
Δm
ve
t +Δ t
t
Figura 15.12: El cohete en dos tiempos distintos
Llamemos ve la velocidad de salida del material eyectado con respecto al cohete. Por lo tanto, la masa Δm que fue eyectada al espacio
en la dirección contraria a la del desplazamiento del cohete posee una
velocidad v − ve . Es evidente que el momento lineal que se tiene en el
tiempo t es igual a mv . No tan evidente es que en el tiempo t + Δt
hay que considerar el momento lineal de dos sistemas: el cohete y la
fracción de material eyectado: el momento lineal en el instante t + Δt
será entonces la suma del momento lineal de los dos sistemas: el cohete
(m − Δm)(v + Δv ) y la fracción expulsada (v − ve )Δm.
De la ecuación (11.7) es claro que la fuerza que experimenta el cohete
es igual al cambio instantáneo del momento lineal:
Δ
p
F = lı́m
.
(15.43)
Δt→0 Δt
Ahora bien, el cambio, en el intervalo Δt, del momento lineal está dado por:
Δ
p = pt+Δt − pt .
(15.44)
De acuerdo con lo dicho anteriormente, esta última se convierte en:
Δ
p = (m − Δm)(v + Δv ) + (v − ve )Δm − mv .
(15.45)
Desarrollando las multiplicaciones, eliminando términos semejantes
y haciendo el término ΔmΔv igual a cero por ser el producto de dos
infinitésimos, se tiene:
404
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Δ
p = mΔv − ve Δm.
(15.46)
Reemplazando este valor de Δ
p en (15.43) y tomando los lı́mites
de las tasas de cambio hacia cero obtenemos, eliminando la notación
vectorial:
mdv − ve dm = F dt.
(15.47)
En la ecuación (15.47) F representa todo el conjunto de fuerzas que
actúan sobre el movimiento del cohete, como las gravitacionales, las
aerodinámicas, etc.
Suponiendo que el cohete se desplaza a través del vacı́o y bien lejos
de un campo gravitacional o, cuanto menos, que este sea muy pequeño
como para considerarse despreciable, podemos hacer F = 0 en (15.47) y
obtener:
dm
,
(15.48)
m
donde el signo negativo es necesario para indicar que conforme aumenta
una de las variables (la velocidad), la otra variable disminuye (la masa).
Integramos la anterior ecuación con los lı́mites siguientes: para una velocidad inicial v0 el cohete posee una masa inicial que llamaremos M0 ;
para una velocidad posterior v1 obtenemos una masa m1 :
! v1
! m1
dm
dv = −ve
.
M0 m
v0
dv = −ve
Después de rearreglar y aplicar ciertas propiedades de los logaritmos
obtenemos:
v1 = v0 + ve ln
M0
,
m1
(15.49)
la cual se conoce con el nombre de ecuación ideal del cohete o ecuación
de Tsiolkovsky, en honor al pionero de la coheterı́a, de nacionalidad rusa, Konstantin Tsiolkovsky, quien la dio a conocer en 1903. Se llama
ideal porque no tiene en cuenta la fuerza de la gravedad, la fricción atmosférica y otros tipos de fuerzas. A pesar de esto, la ecuación es muy
útil a la hora de hacer determinados cálculos preliminares.
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
405
Figura 15.13: Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935)
Ejemplo 1
Determinar tanto en el ejemplo 1 de la página 398 como en el ejemplo
1 de la página 400 la masa necesaria para lograr los cambios de velocidad
requeridos en las respectivas transferencias, si se dispone en ambos casos
de un satélite cuya masa original es de 4800 kg y los propelentes son
hidrazina y tetróxido de nitrógeno (ve = 2850 m/s).
Solución
En el caso de transferencias de órbitas la ecuación de Tsiolkovsky
puede utilizarse sin pérdida sensible de exactitud debido a la ausencia
de fuerzas resistivas apreciables y a la anulación de las “pérdidas por
gravedad” a causa de la perpendicularidad entre el vector velocidad y el
vector posición (ver el último término de la segunda de las ecuaciones
(15.52)).
a) En el ejemplo 1 de la página 398 se estudió el caso de una transferencia de tipo Hohmann. Vimos que son necesarios dos cambios de
velocidad.
Llamando Δv = v1 − v0 y despejando el valor de m1 en la ecuación
(15.49) obtenemos:
406
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
m1 = M0 e−Δv/ve .
Puesto que el cambio de velocidad necesario para pasar a la órbita
de transferencia es de 2.43 km/s tendremos que:
m1 = 4800 × e−2430/2850 = 4800 × 0,426 = 2044 kg.
Por lo tanto, la masa del satélite se ve reducida a 4800− 2044 = 2756
kg.
Para circularizar la órbita es necesario un cambio de velocidad de
1,46 km/s. Nuestra masa inicial ahora es 2756 kg. Por lo tanto:
m1 = 2756 × e−1460/2850 = 2756 × 0,6 = 1654 kg,
de la que se deduce que la masa se redujo ahora en 2756 − 1654 = 1102
kg. De todo esto se desprende que la masa necesaria para hacer las dos
maniobras constituye un 77 % de la masa original del satélite.
Lo que se hace en la práctica, en el caso de satélites geoestacionarios,
es diseñar la última etapa del cohete de tal forma que la inyección coloque
el satélite en órbita de transferencia geoestacionaria (GTO, por sus siglas
en inglés), por lo que el satélite debe llevar el propelente necesario para
circularizar la órbita y realizar los pequeños ajustes que se requieren en
el transcurso de su vida útil.
b) En el ejemplo 1 de la página 400 se hizo el cálculo para una transferencia orbital donde se realizaba solo un cambio de inclinación. Dicha
transferencia requiere un cambio de velocidad de 1570 m/s. Entonces,
suponiendo que la masa inicial es de 4800 kg:
m1 = 4800 × e−1570/2850 = 4800 × 0,576 = 2765 kg.
De aquı́ es claro que la masa final del satélite es de 2035 kg, i. e., para
realizar la transferencia se consume cerca del 57 % de la masa inicial del
satélite.
Lo que persiguen los diseñadores de cohetes es tratar de hacer que v
alcance un valor lo más grande posible (con el fin de lograr la velocidad
orbital o la velocidad parabólica), por lo que al tener en cuenta la ecuación (15.49) resulta claro que se busque la estrategia de hacer ve grande
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
407
(los gases expulsados deben salir con una gran velocidad) y hacer que
la relación M0 /m también sea elevada. Ahora bien, podemos escribir la
masa inicial como:
M0 = mp + me + mu ,
donde mp es la masa del propelente que se va a expulsar (combustible
y oxidante), me la masa de la estructura del cohete (armazón, bombas
impulsoras, computadoras, etc.) y mu es la masa de la carga útil (ojiva,
satélite, nave espacial). La velocidad final del cohete vf al agotarse el
propelente es:
mp + me + mu
.
(15.50)
me + mu
De esta última ecuación se deduce que para hacer grande la velocidad
final, la masa del cohete debe ser casi la masa del propelente, esto es, me
y mu deben ser pequeños. Esto se consigue, por una parte, construyendo
el armazón del cohete con un material lo más ligero posible, obviamente sin sacrificar las tensiones y las cargas que el viaje implica. Por tal
razón, las paredes de los cohetes son muy delgadas y conformadas por
aleaciones de aluminio y litio. De igual forma, mu debe ser pequeña,
por lo que nos topamos con el enorme inconveniente de que se necesita
construir cohetes bastante grandes para colocar cargas útiles con masas
pequeñas. Esta es la razón principal de que sea muy costoso colocar un
objeto en órbita terrestre o con rumbo hacia otro planeta.
vf = v0 + vs ln
Con el fin de hacer que ve sea grande, el material que se utiliza
para ser arrojado por el cohete constituye, en la mayorı́a de los casos,
una mezcla de gases muy calientes que son el producto de una reacción
quı́mica generada en una cavidad especı́fica del cohete. En este aspecto
hay que diferenciar dos tipos de cohetes: los de propelente sólido y los
de propelente lı́quido. Los primeros se caracterizan por el hecho de que
el propelente es una mezcla ı́ntima sólida de varias sustancias que ocupa
la mayor parte del mismo cohete. En el caso de los cohetes de propelente
lı́quido, para que exista combustión, se requiere una sustancia que sea
combustible (que esté dispuesta a liberar energı́a fácilmente) y otra que
permita el inicio y el mantenimiento de la reacción, que es el oxidante.
Un ejemplo es la combinación alcohol etı́lico-oxı́geno. El primero actúa
como combustible y el segundo obviamente como oxidante. La reacción
se hace dentro de una cavidad con dos entradas (una por cada sustancia) y una salida por donde escaparán los gases calientes producto de
408
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
la reacción de combustión (H2 O, CO2 , CO). La elección de los quı́micos
apropiados depende más que todo de la eficiencia energética de la mezcla, pero puede influir la facilidad en el manejo y en su almacenamiento
y por supuesto su costo. Entre los propelentes lı́quidos más utilizados se
encuentra la combinación de tetróxido de nitrógeno (N2 O4 ) con dimetil
hidrazina asimétrica (UDMH)7 . Dicha combinación la emplean casi todas las etapas de la familia de cohetes chinos Long March, las primeras
tres etapas de los cohetes Protón K y Rockot, la última etapa de los cohetes Athena 1 y 2 y todas las etapas de los cohetes rusos Cyclone 2 y 3.
Conservando el tetróxido de nitrógeno pero utilizando combustibles que
son mezclas de la UDMH con alguno de sus derivados se encuentran: el
Ariane 4 que en su primera etapa utiliza UH25 (75 % de UDMH y 25 %
de hidrazina); el Ariane 5 en la misma etapa utiliza MMH (monometil hidrazina); la segunda etapa de los cohetes Delta 2 y las primeras y
segundas etapas de los cohetes Titan 2 y 4 emplean Aerozina-50 (una
mezcla 50 %-50 % de UDMH e hidrazina).
La combinación oxı́geno lı́quido con hidrógeno lı́quido (LOX/LH2 ) la
utilizan la primera etapa del transbordador espacial, la última etapa de
los cohetes de la familia Ariane 4 y la primera del Ariane 5, la primera
y segunda etapas de la familia de cohetes Delta 4, la última etapa de los
cohetes Long March CZ-3A y CZ-3B, las últimas etapas de los cohetes
Atlas 2A y 3A y la primera y segunda etapas del cohete japonés H-2.
La combinación oxı́geno lı́quido con RP-1 (un tipo especial de queroseno) es utilizada por la primera etapa de los cohetes Delta 2 y 3, todas
las etapas del cohete Molniya M y Soyuz U, la última etapa del cohete
Protón K y la primera etapa de todos los cohetes de la familia Atlas.
Por otro lado, los motores de combustible sólido deben emplear una
variedad de sustancias. Los ingredientes tı́picos son una mezcla ı́ntima de perclorato de amonio (el oxidante granulado), aluminio en polvo (combustible) y un polı́mero (otro combustible) como el tripolı́mero
polibutadieno-ácido acrı́lico-acrilonitrilo (PBAN o uno de sus derivados),
que no es otra cosa que una especie de caucho que actúa como aglomerante de la mezcla. Muchos de los actuales cohetes utilizan en su primera
etapa dos o más cohetes de combustible sólido cuya duración es breve.
7
Esta combinación tiene la ventaja, a diferencia de otras, que ambos compuestos
son lı́quidos a temperatura ambiente por lo que se dice que son propelentes “almacenables”, lo que los hace atractivos desde un punto de vista militar.
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
409
Por ejemplo, el transbordador espacial es asistido en su primera etapa
por dos motores de combustible sólido que contienen PBAN. El Ariane
5 es asistido en su primera etapa por dos motores que contienen como
polı́mero HTPB (polibutadieno hidroxilterminado). El mismo polı́mero
se utiliza en los cohetes sólidos que asisten a las primeras etapas de los
cohetes de la familia Delta 2, 3 y 4, algunos cohetes de la familia Atlas y
en el cohete H-2. Algunos cohetes pequeños poseen todas sus etapas con
motores de combustible sólido que utilizan especı́ficamente el HTPB.
Ejemplos de ellos son: el Pegasus XL y el Taurus estadounidenses, los
japoneses J-1 y M-5, el Shavit israelı́ y el brasileño VLS-1.
Por lo general, los valores más grandes que se pueden tener de ve son
del orden de 3.6 km/seg. Hagamos en (15.50) M0 /(me + mu ) = n. Por
lo tanto, serı́a adecuado hacer n del orden de 12 ó 15, pues en tal caso
ve ln n está entre los 8,9 a 9,7 km/seg. Por razones tecnológicas, prácticas y económicas no es usual hacer n igual a esos valores tan elevados.
Recordemos además que la ecuación no tiene en cuenta las pérdidas de
velocidad por gravedad y resistencia del aire. En la práctica lo que se
hace es construir cohetes en etapas, esto es, dos o más cohetes escalonados. Con ello es posible lograr velocidades muy altas, del orden de los
10 a 15 km/seg.
INYECCION
3
2
IMPACTO DE
LA 1ERA ETAPA
IMPACTO
DE LA 2DA ETAPA
1
TIERRA
Figura 15.14: Vuelo propulsado de un cohete de tres etapas
Los cohetes utilizados para colocar satélites de baja altura poseen
tiempos de funcionamiento muy breves, del orden de cinco a diez minu-
410
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
tos. El cohete se dispara al comienzo en una trayectoria vertical con el
propósito de hacer que en las partes más densas de la atmósfera ocurra
la fase por donde se desplaza con menor velocidad. A medida que va
aumentando la velocidad y que la atmósfera es cada vez más enrarecida
se obliga al cohete a que se incline hasta que el ángulo entre los vectores
posición y velocidad sea cercano a los 90 grados. Como es usual que los
cohetes consten de dos o tres etapas, a medida que el vuelo del cohete
continúa se va agotando el combustible de las mismas, por lo que se hace
necesario que en los instantes posteriores al agotamiento de una etapa
esta sea desprendida del cuerpo principal del cohete, no solo para que
deje limpio el camino de los gases de la etapa siguiente, sino también
porque resulta un desperdicio de energı́a seguir cargando con una estructura que ya no presta ninguna utilidad. Las estructuras desprendidas no
alcanzan la velocidad orbital por lo que terminan chocando en algún
lugar de la superficie terrestre (ver figura 15.14). Se deduce de esto que
en el lanzamiento de un cohete sea necesario estudiar con detenimiento
su trayectoria sobre la superficie de la Tierra procurando que sobrevuele
por sitios inhóspitos o de muy escasa población8 .
Por lo general se busca que la trayectoria de los cohetes, mientras
estén funcionando, pase por encima del océano. Esto explica que muchos de los sitios de lanzamiento estén ubicados en zonas costeras (Cabo
Kennedy en la Florida, Kourou en Guyana Francesa y Vandenberg en
California). Con muy pocas excepciones (como en los motores de combustible sólido del trasbordador espacial norteamericano), las fases intermedias de los cohetes no son recuperables, convirtiéndose entonces
en chatarra que pasa a engrosar la multitud de basura que reposa en
el fondo del océano. La última etapa, diseñada para lograr la velocidad
orbital de la masa útil, queda también en órbita, lo cual es un inconveniente pues en la práctica representa un pedazo de basura orbitando la
Tierra.
La parte del vuelo de un satélite mientras está sometido al brusco
empuje de las diversas etapas del cohete se conoce con el nombre de fase
propulsada. Como la cantidad de propelente está limitada por el tamaño
del cohete puesto que se agota en cuestión de minutos, llega un instante,
8
Aun ası́ se han presentado graves accidentes. En febrero 15 de 1996 un cohete
chino Long March 3B se salió de curso poco después de despegar y terminó chocando
contra un pequeño pueblo. Aunque oficialmente se reconocieron 57 muertos, analistas
estiman la cifra real entre 200 y 500.
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
Nombre
Fabricante
Ariane 4 AR40
Ariane 5 ECA
Atlas V HLV
Delta IV Heavy
GSLV
H-IIA
Long March 4C
Proton M
Shavit
Soyuz U
Taurus
Pegasus
VLS
Zenit 3SL
Arianspace (Europa)
Arianspace (Europa)
United Launch Alliance (E. U.)
United Launch Alliance (E. U.)
ISRO (India)
Mitsubishi Heavy Ind. (Japón)
China Great Wall Ind. (China)
Khrunichev Sta. Res. (Rusia)
Israel Aircraft Ind. (Israel)
TsSKB-Progress (Rusia)
Orbital Sciences Co. (E. U.)
Orbital Sciences Co. (E. U.)
Agência Esp. Brasileira (Brasil)
Sea Launch Co. (E.U.)
411
Capacidad (kg)
LEO GTO GEO
7600
4700
21000 10500
20000 8200
25800 13100 6300
5000
2500
15000 90000
4200
1500
22000 5500 3200
500?
7000
1300
515
400
380
13700
Tabla 15.1: Algunos cohetes modernos y su capacidad de lanzamiento. LEO: órbita
baja; GTO: Órbita de transferencia geoestacionaria; GEO: Órbita geoestacionaria
llamado “inyección”, en que el cohete, sin más propelente por expulsar,
se ve sometido casi exclusivamente a la fuerza de gravitación terrestre, y
por lo tanto el movimiento del cohete se rige exclusivamente por lo que
sabemos del movimiento de una partı́cula dentro de un campo gravitacional. El cohete se desplaza ahora describiendo una trayectoria cónica
y no necesita para ello de un impulso exterior continuo. Finalmente, habiendo la última etapa conseguido su propósito de colocar en órbita el
satélite, este se desprende suavemente de la primera mediante el accionar
de unos resortes o unos pequeños cohetes de corta duración. La carga
útil se mueve a partir de entonces bajo la fuerza de gravitación terrestre.
La descripción matemática de cómo calcular la trayectoria de un
cohete es un asunto técnico que no es motivo de un comentario detallado
en este libro. Bastará con anotar lo siguiente. El balance de fuerzas que
actúan sobre un cohete desplazándose a través de una atmósfera es, de
acuerdo con la segunda ley de Newton:
+D
+ L,
ma = P + W
(15.51)
412
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
donde m es la masa del cohete, a la aceleración del mismo, P la fuerza
de empuje (thrust, en inglés) del cohete debido a la eyección de masa,
la fuerza de gravitación terrestre, D
la fuerza de resistencia del aire
W
y L la fuerza de sustentación (ver figura 15.15).
Las ecuaciones diferenciales aproximadas de un cohete desplazándose
a través de una atmósfera en una Tierra no rotante son las siguientes:
dr
dt
dv
dt
dϑ
dt
dΨ
dt
= v cos ϑ,
ṁve
ACD ρv 2 Gm1
cos α −
− 2 cos ϑ,
m
2m
r
2
ṁve
ACL ρv
Gm1 sen ϑ dΨ
=
sen α +
+
−
,
mv
2mv
r 2 mv
dt
v sen ϑ
=
,
r
=
(15.52)
donde m1 es la masa del cuerpo central (la Tierra), ve la velocidad de
salida de los gases con respecto al cohete, r es la distancia entre el centro de la Tierra y el cohete, v su velocidad, m la masa del cohete, ṁ
la cantidad de masa que arroja el cohete en la unidad de tiempo, ϑ el
ángulo de vuelo, Ψ el ángulo de alcance, A el área transversal del vehı́culo, CD y CL los coeficientes de resistencia y sustentación, ρ la densidad
atmosférica, α el ángulo de ataque, esto es, el ángulo existente entre el
vector velocidad y el vector empuje y que puede servir como variable de
control de guı́a.
Los valores de CD y CL son funciones complicadas de la velocidad
o, más exactamente, del número Mach (la velocidad del sonido en el
aire) y el ángulo de ataque. Los valores pueden calcularse teóricamente
si se ha definido la forma del cohete, pero lo usual es construir un pequeño modelo del cohete e introducirlo en un túnel de viento y obtener
de forma experimental los diversos valores numéricos que adoptan estos
coeficientes para una gran gama de condiciones. La densidad del aire ρ
es una función exponencial de la altura (r).
La complejidad del sistema de ecuaciones diferenciales obliga a resolverlas mediante la integración numérica. Las ecuaciones (15.52) son tan
solo aproximadas. En tres dimensiones hará falta introducir dos ángulos
más, e introducir algunos términos como el ángulo de deslizamiento late-
413
15.8. LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKY
r
ϑ
v
α
D
P
W
L
Ψ
Figura 15.15: Fuerzas involucradas en el movimiento de un cohete
ral y las componentes de velocidad del viento. Ecuaciones más completas
en tres dimensiones para un cohete multietapas pueden encontrarse en
Calise y Leung (1995).
Podemos, sin embargo, realizar un análisis de las ecuaciones diferenciales (15.52) y extraer algunas consideraciones preliminares. Examinemos la velocidad, que se busca que sea un valor máximo. La multiplicación 0,5ρv 2 es llamada “presión dinámica” y, como se ve, acompaña los
términos aerodinámicos. Al inicio del despegue del cohete la velocidad v
es pequeña, pero la densidad ρ es muy grande. Conforme avanza el tiempo el cohete va ganando velocidad de forma logarı́tmica mientras que
la densidad atmosférica va decreciendo exponencialmente. Una curva de
la presión dinámica en función del tiempo tiene la forma parecida a la
de una campana de Gauss. Por lo tanto, existirá un punto de máxima
presión dinámica, que ocurre (en el caso de un cohete tı́pico) al cabo
de uno o dos minutos después del despegue, dependiendo del perfil de
vuelo. A los pocos segundos de suceder el máximo la presión dinámica
tiende hacia cero rápidamente, con lo que el término de resistencia se
hace despreciable. Por lo tanto, las pérdidas de velocidad por resistencia atmosférica son apreciables solo en los primeros dos o tres minutos
del vuelo del cohete. Consideremos el término A/m. Si llamamos d la
densidad promedio del cohete y V el volumen del mismo, es evidente
que: A/m = A/V d. Supóngase que el cohete posee una forma que se
pueda asimilar a un cilindro, de tal modo que su volumen sea igual a
V = Al donde l es el largo del cohete. Por lo tanto: A/m ≈ 1/dl. De ello
se deduce, independientemente del valor de la densidad total del cohete,
414
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
que para minimizar el término de resistencia, esto es, hacer que al menos
el término A/m sea pequeño, es preciso que tenga una forma similar a
la de un lápiz, esto es, con un área transversal pequeña y una longitud
pronunciada.
Con el fin de que la pérdida de velocidad por gravitación sea pequeña,
y con el propósito de hacer que un satélite quede en órbita elı́ptica (recuérdese el concepto de momento angular), es preciso que el ángulo ϑ
tienda lo más rápido posible hacia 90o . Esto ha de hacerse con cuidado, procurando que la inclinación del cohete se haga totalmente efectiva
cuando la densidad atmosférica sea despreciable, para evitar que el cohete acelere en sectores densos y con ello exista el riesgo de destrucción
originada por la fricción. El ángulo ϑ en el momento de un despegue
clásico posee un valor nulo. A medida que transcurre el tiempo este
ángulo va naturalmente tendiendo a 90o debido a la gravedad, aunque
muchas veces, dependiendo de la aceleración del cohete, no llega a este
valor en el momento de la inyección. Por ello es necesario incluir el ángulo de ataque α que sirve como variable de control. Este ángulo adopta
valores pequeños, cercanos a cero, que van cambiando en el transcurso
de la fase propulsada y ha de ser maniobrado de forma cuidadosa. El
ángulo de ataque se puede controlar con una tobera movible (gimbal)
o con superficies de control aerodinámicas. Nótese que valores distintos de cero para α implican pérdidas de velocidad pues se disminuye la
eficiencia en el término que suministra el empuje.
15.9.
Las condiciones de inyección y la órbita
inicial
Como ya se mencionó, el tipo de trayectoria que el satélite comienza
a describir depende de los valores de velocidad, altura y el ángulo de
vuelo que se tienen en el momento de la inyección, esto es, en el instante
en que finaliza la fase propulsada. Si se desean ciertas condiciones adicionales, es preciso fijar otros parámetros. Por lo tanto, los valores de
posición y velocidad sirven para determinar los elementos orbitales del
satélite.
Es importante anotar que los elementos orbitales se refieren al centro
de la Tierra, tomado en primera aproximación como un sistema inercial
de coordenadas. Ello significa que si se tiene el vector posición del cohete
15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCIÓN Y LA ÓRBITA INICIAL
415
con respecto a un observador sobre la superficie terrestre, es necesario
adicionar los vectores de posición o velocidad del observador con respecto al centro de la Tierra.
Supóngase que, en el momento de la inyección, se tienen los siguientes valores para el satélite, referidos al centro de la Tierra: magnitud del
vector posición ri , magnitud del vector velocidad vi y ángulo de vuelo
ϑi . Sea además φ la latitud geocéntrica del sitio de lanzamiento del cohete. En coheterı́a se llama azimut de la trayectoria de un cohete A al
ángulo existente entre la dirección norte y el vector velocidad que posee
el cohete. Suponemos, entonces, que la fase propulsada está contenida
en un plano que pasa por el centro de la Tierra.
Ya en la sección 10.3.1 se habı́a comentado que la velocidad de rotación de un observador con respecto al centro de la Tierra depende de la
latitud; es mayor en el ecuador y nula en los polos. Si el lanzamiento se
hace en la dirección oeste-este, es decir, en la dirección de la rotación de
la Tierra, se conseguirá una velocidad inercial adicional cuya magnitud
dependerá de la latitud del sitio de lanzamiento y del ángulo de azimut
en que se lanza el cohete. Es claro que dicha velocidad (que alcanza los
0,46 km/s) es un máximo si el lanzamiento es realizado desde el ecuador
terrestre y con A = 90.
Hallemos el semieje mayor a, la excentricidad e, y la inclinación orbital i si se conocen las condiciones de inyección ri , vi y ϑi . Para estos,
los resultados que se obtuvieron del problema de los dos cuerpos son
de gran ayuda. El semieje mayor puede encontrarse a partir de (12.93)
donde haremos m2 /m1 = 0:
1
v2
2
= − i2 ,
a
ri k
de la cual es inmediato obtener:
a=
ri k2
ri
=
.
r v2
2k2 − ri vi2
2 − ki 2i
Llamando Q a la expresión adimensional:
Q=
ri vi2
;
k2
(15.53)
416
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
con ello tenemos como expresión para el semieje mayor:
a=
ri
.
2−Q
(15.54)
La ecuación para la excentricidad es como sigue. Combinando las
ecuaciones (12.43) y la primera de las (12.70) es posible obtener:
ri2 vi2 sen 2 ϑi = μa(1 − e2 ).
Puesto que a está definida por (15.54) y μ = k2 , al despejar para e
llegamos a:
e=
1 − Q sen 2 ϑi (2 − Q).
(15.55)
Por otro lado, consideremos la figura 15.16. Sea φ la latitud geocéntrica del sitio de lanzamiento y A el azimut de lanzamiento del cohete.
Suponiendo que en el tiempo breve de la propulsión el cohete no altera
fuertemente su curso hacia sus lados, esto es, su movimiento está contenido en un plano, entonces del triángulo esférico resaltado en la figura
se deduce, aplicando el teorema del coseno para los ángulos, ecuaciones
(2.16), pág. 18:
A
i
A
φ’
Figura 15.16: Relación entre azimut, latitud de lanzamiento e inclinación
cos i = − cos A cos 90 + sen A sen 90 cos φ ,
de la que se infiere:
cos i = sen A cos φ .
(15.56)
15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCIÓN Y LA ÓRBITA INICIAL
417
Esta ecuación implica un hecho interesante. El azimut puede adquirir cualquier valor de 0o a 360o . Si los valores de azimut son iguales a 0
ó 180 grados es evidente que la inclinación resultante (independiente de
la latitud) es 90 grados, esto es, órbita polar. El valor máximo de cos i
se logra cuando el azimut es 90 ó 270. En tal caso sen A será igual a la
unidad. De ello se deduce que la inclinación de una órbita nunca puede
ser menor que la latitud del sitio de lanzamiento. Por ejemplo, si un
cohete es lanzado desde Tyuratam (Kazajistán) con una latitud de 45,6
grados, es imposible lograr, en el lanzamiento, inclinaciones inferiores a
los 45,6 grados. Para órbitas de oeste a este es posible lograr solo inclinaciones en el intervalo 45,6o ≤ i < 90o . El sitio ideal de lanzamiento,
aquel que permite toda la gama de inclinaciones posibles, es, por supuesto, el ecuador terrestre9 . Hay que tener en cuenta también que el valor
de A tampoco ha de ser cualquiera. De hecho, los intervalos de azimut
registrados en la tabla 15.2 se escogen de tal forma que la trayectoria de
los cohetes multietapas pasen por regiones deshabitadas o al menos muy
poco pobladas. Ello explica por qué la Agencia Espacial Europea lanza
sus cohetes desde Kourou, Guyana Francesa, cuya latitud es de 5o , al
igual que Brasil que ha dispuesto para el lanzamiento de sus cohetes un
sitio cerca de la ciudad de Alcantara, con latitud de −2,3o . La ventaja
de un lanzamiento desde el ecuador es tal que se formó un consorcio
internacional entre Estados Unidos, Rusia, Ucrania y Noruega, el cual
ha realizado lanzamientos de cohetes con propósitos comerciales desde
una plataforma marina (antigua plataforma movible para extracción de
petróleo) ubicada en el ecuador a una longitud 154o oeste (a unos 370
km de las islas de Kiribati).
Ejemplo 1
Un cohete despega de Cabo Kennedy y a los pocos minutos logra
la inyección con los siguientes valores referidos al centro del planeta:
ri = 6 510 686,5 m, vi = 7934,45 m/s y ϑ = 86o 34,6 . Determinar el
semieje mayor, la excentricidad y la inclinación de la órbita del satélite.
El cohete fue lanzado con un azimut constante de A = 121o 9,3 . Cabo
Kennedy está situado a una latitud geodésica de 28,5o .
9
No olvidar además que se obtiene una ventaja extra lanzando cohetes desde el
ecuador terrestre a causa de la velocidad de rotación del planeta que es máxima en
tal sitio.
418
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Sitio
Alcântara (Brasil)
Cabo Kennedy (E. U.)
Kagoshima (Japón)
Kapustin Yar (Rusia)
Kourou (Guyana Francesa)
Plesetsk (Rusia)
Sriharikota (India)
Shuang-Ch’Eng-Tzu (China)
Taiyuan (China)
Tyuratam (Kazajistán)
Vandenberg (E. U.)
Wallops (E. U.)
Woomera (Australia)
Yavne (Israel)
Latitud
−2,3
28,5
31,2
48,4
5,2
62,8
13,7
40,4
37,8
45,6
34,6
37,8
−30,9
31,5
Longitud
44,38 W
80,55 W
131,1 E
45,8 E
52,8 W
40,6 E
80,2 E
99,8 E
112,5 E
63,4 E
120,6 W
75,5 W
136,5 E
34,5 E
Intervalo de azimut
300 < A < 80
37 < A < 112
20 < A < 150
350 < A < 90
340 < A < 100
330 < A < 90
100 < A < 290
350 < A < 120
90 < A < 190
340 < A < 90
147 < A < 201
30 < A < 125
350 < A < 15
350 < A < 120
Tabla 15.2: Algunos de los sitios de lanzamiento de cohetes más activos del mundo
Solución
Colocamos ri y vi en unidades de radio terrestre y radio terrestre
por dı́a, respectivamente:
ri =
6 510 686,5
= 1,0208 RT,
6 378 140
vi =
7934,45 × 86 400
= 107,4822 RT/d.
6 378 140
Luego calculamos Q con ayuda de (15.53) y utilizando el valor de k
dado por (15.25):
Q=
1,0208 × 107,48222
= 1,0283.
107,08832
Reemplazando en (15.54) tenemos:
a=
1,0208
= 1,0505 RT = 6700,2 km.
2 − 1,0283
Al reemplazar en (15.55) se tiene igualmente:
e=
1 − 1,0283 sen 2 (86o 34,6 )(2 − 1,0283) = 0,0661.
15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCIÓN Y LA ÓRBITA INICIAL
419
Tomando como primera aproximación el valor de la latitud geodésica
igual a la geocéntrica y reemplazando en (15.56):
i = cos−1 ( sen (121o 9,3 ) cos(28,5o )) = cos−1 (0,7521) = 41o 13 .
Los cohetes nos han permitido incrementar nuestros conocimientos
astronómicos pues con ayuda de ellos hemos podido lanzar robots y naves inteligentes a aquellos cuerpos celestes que están más próximos a la
Tierra, por ejemplo la Luna y los planetas del sistema solar. Dada su
cercanı́a a la Tierra (tres dı́as de distancia), y nuestro primitivo estado
de desarrollo tecnológico, la Luna permanece como el único cuerpo celeste que ha sido visitado por seres humanos, proeza alcanzada entre los
años 1969 y 1972.
Debido a la existencia de múltiples problemas (como respuestas anómalas del cuerpo humano en condiciones de gravedad cero10 , inconvenientes
en la optimización del reciclaje de agua, aire y desechos orgánicos, peligrosidad de la radiación solar, agudos trastornos en el comportamiento
de personas sometidas a condiciones similares a las que experimentarı́an
astronautas en viajes de larga duración, altı́simos costos que implica
construir una nave espacial, y problemas económicos que enfrentan las
naciones con la capacidad industrial de ejecutarlo) no se tienen planes
serios y de ejecución a corto o mediano plazo para mandar hombres a un
planeta como Marte, lo que implicarı́a un viaje de unos diez meses en
la sola ida. Un viaje a otro planeta implica primero salir de la atracción
gravitacional de la Tierra. Si eso se logra, se ha de tener en cuenta ahora
que la nave queda a merced de la atracción gravitacional del Sol, por lo
que tenemos un objeto que en la práctica es un planeta artificial. En tal
caso la velocidad que tiene el objeto se especifica con respecto al centro
del Sol y esta viene siendo la suma vectorial de la velocidad que tiene
la Tierra con respecto al Sol (en promedio 30 km/s) y la velocidad del
objeto con respecto al centro de la Tierra (mı́nimo 11.2 km/s).
10
Esta es una terminologı́a que puede dar lugar a equivocaciones: en realidad un
astronauta, y en general un cuerpo cualquiera en órbita, digamos alrededor de la
Tierra, está sometido siempre a la fuerza de la gravitación, pero la sensación de
ingravidez resulta del hecho de que dichos cuerpos se hallan en un estado de caı́da
libre permanente, es decir, están cayendo con respecto a la Tierra pero su trayectoria
no intersecta la superficie terrestre.
420
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Si queremos visitar las estrellas necesitaremos de algo más veloz que
los cohetes existentes, pues las distancias entre ellas son tan enormes
que con nuestra actual tecnologı́a tardarı́amos algo más de 25 000 años
en llegar a la estrella más cercana al Sol (Próxima del Centauro). Aun
si pudiéramos viajar a la velocidad de la luz, máxima velocidad a la
que se puede viajar en el universo, según la fı́sica moderna (no se ha
descubierto algo que viaje más rápido), tardarı́amos 4,3 años en llegar a
Próxima del Centauro, o unos 180 000 años en llegar a las galaxias más
próximas. O tenemos la mala suerte de estar viviendo en un universo tan
grande que es imposible visitar sus constituyentes o existen propiedades
del espacio y del tiempo desconocidas para nosotros que permiten, para
el que las comprenda y domine, viajar en tiempos realistas para los seres
humanos a los extremos más recónditos del universo. Algunos autores
han propuesto ideas que, al menos en teorı́a, podrı́an permitir velocidades superiores a la de la luz. Una de tales teorı́as ha sido propuesta por
Calvo-Mozo (1999).
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
Ball, K. J., Osborne, G. F. (1967) Space Vehicle Dynamics, Oxford University Press, Oxford.
Sin entrar en agudos tecnicismos ni en notaciones jeroglı́ficas, este libro
constituye una excelente referencia para el estudio de trayectorias de cohetes, estabilidad, análisis de errores y transferencia y optimización de
órbitas.
Brooks, D. (1977) An Introduction to Orbit Dynamics and its Application
to Satellite-Based Earth Monitoring Systems, NASA Reference Publication 1009, Washington.
Excelente descripción técnica que, aparte de describir con detalle el movimiento de satélites a baja altura, también se ocupa de estudiar algunas
caracterı́sticas orbitales para misiones de monitoreo y reconocimiento.
Brouwer, D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory
without Drag, Astronomical Journal, vol. 64, p. 378.
Famoso artı́culo que describe la solución aproximada de las ecuaciones
diferenciales de movimiento de un satélite artificial perturbado por varios
armónicos zonales. La solución, muy elegante, descansa en el método de
Von Zeipel de eliminación de variables canónicas.
Calise, A., Leung, M. (1995) Optimal Guidance Law Development for an
Advanced Launch System, NASA Contractor Report-4667, Washington.
15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCIÓN Y LA ÓRBITA INICIAL
421
Contiene varios acercamientos al problema de la optimización de la trayectoria de un cohete desde su despegue hasta la inyección. Las ecuaciones diferenciales del cohete están escritas considerando multitud de
fuerzas en acción.
Calvo-Mozo, B. (1999) ¿Es fı́sicamente posible superar la velocidad de la
luz en el vacı́o?, Revista colombiana de astronomı́a, astrofı́sica, cosmologı́a y ciencias afines, vol. 1, p. 97.
Mediante una teorı́a sustancial de la materia el autor expone la posibilidad de superar la luz en el vacı́o en una forma discreta.
Chetty, P. R. K. (1991) Satellite Technology and its Applications, TAB
professional and reference books, Blue Ridge Summit.
Este libro está más dedicado al diseño y construcción de satélites. Tan
solo en sus primeros capı́tulos trata, aunque brevemente, algunos asuntos
fundamentales sobre las órbitas de satélites y movimiento de cohetes.
Fortescue, P., Stark, J. (1992) Spacecraft Systems Engineering, John Wiley & Sons, Wiltshire.
Como su nombre indica, está dedicado más a la parte de la ingenierı́a y
diseño de satélites que a otros temas. Sin embargo, las partes dedicadas a
la mecánica celeste, análisis de misión y sistemas de propulsión, aunque
breves, están muy bien expuestas.
Hale, F. (1994) Introduction to Space Flight, Prentice-Hall, New Jersey.
Excelente libro introductorio para todos aquellos que deseen conocer las
bases dinámicas del movimiento de satélites y cohetes. El desarrollo no
es muy técnico y contiene bastantes ejemplos numéricos.
Shute, B. (1964) Prelaunch Analysis of High Eccentricity Orbits, NASA
TN-2530, Washington.
Este artı́culo técnico contiene algunos resultados importantes sobre las
perturbaciones de distintos tipos que pueden afectar la órbita de un satélite con gran excentricidad.
Soop, E. M. (1994) Handbook of Geostationary Orbits, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht.
Contiene multitud de información relacionada con las fuerzas que afectan
el movimiento de un satélite geoestacionario y los ajustes necesarios que
hay que realizar para conservarlo realmente “estacionario”.
Strack, W., Huff, V. (1963) The N-Body Code - A General Fortran Code
for the Numerical Solution of Space Mechanics Problems on an IBM 7090
Computer, NASA TN-1730, Washington.
En este artı́culo se puede encontrar un código en Fortran que permite calcular el movimiento de un cohete multietapas teniendo en cuenta
multitud de fuerzas. Contiene una buena descripción de las ecuaciones
involucradas y del método numérico de integración.
422
CAPÍTULO 15. SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES
Thomson, W. T. (1986) Introduction to Space Dynamics, Dover Publications, Inc., New York.
Un libro de dinámica espacial excelente con énfasis en el movimiento del
cuerpo rı́gido.
Vallado, D. A. (1997) Fundamentals of Astrodynamics and Applications,
McGraw-Hill, New York.
Este es el libro fundamental para estudiar astrodinámica. Completo en
todos los aspectos. La descripción en perturbaciones, transferencias de
órbitas, determinación de órbitas, etc., es inmejorable y actualizada.
Wiesel, W. E. (1997) Spaceflight Dynamics, McGraw-Hill, Singapur.
Muy buen libro para abordar los conceptos con un lenguaje sencillo y
claro. Aunque el desarrollo es técnico, la exposición es descriptiva. No
hay más ecuaciones que las necesarias.
http://celestrak.com
Contiene elementos orbitales, actualizados dı́a a dı́a, de multitud de
satélites en distintos tipos de órbitas.
http://www.spacedaily.com/index.html
Ofrece información actualizada sobre lo que ocurre en el mundo de la
astronáutica. Numerosos enlaces a otros sitios.
http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf-toc.htm
Contiene información de numerosos temas relacionados con el vuelo espacial. El tratamiento no es técnico, y es altamente recomendable para
estudiantes de primaria y bachillerato.
Apéndice A
Constantes astronómicas
A.1.
Unidades
Las unidades metro (m), kilogramo (kg) y segundo (s) son las unidades de longitud, masa y tiempo, respectivamente, del Sistema Internacional (SI) de unidades. La unidad astronómica de tiempo es un dı́a (D) de
86 400 segundos. Un intervalo de tiempo de 36 525 dı́as es un siglo (o centuria) juliano(a). La unidad astronómica de masa es la masa del Sol (S).
La unidad astronómica de longitud es aquella longitud (A) para la cual
la constante gravitacional Gaussiana (k) toma el valor 0,01720209895,
cuando las unidades de medida son las unidades astronómicas de longitud, masa y tiempo. Las dimensiones de k2 son las de la constante de
gravitación (G). En la preparación de las efemérides y el ajuste de todos los datos observacionales disponibles fue necesario modificar algunas
constantes y masas planetarias; dichos datos modificados se presentan
en paréntesis cuadrados, siguiendo los valores del sistema de 1976.
Constantes de definición:
1.
2.
Constante gravitacional de Gauss
Velocidad de la luz en el vacı́o
k = 0,01720209895
c = 299 792 458 m/s
Constantes primarias:
3.
Tiempo-luz para la unidad de distancia
4.
Radio ecuatorial de la Tierra
valor IUGG
Factor de forma dinámico terrestre
5.
423
τA = 499,004782 s
[499,0047837...]
ae = 6 378 140 m
ae = [6 378 137 m]
J2 = 0,00108263
424
APÉNDICE A. CONSTANTES ASTRONÓMICAS
6.
Constante gravitacional terrestre
7.
8.
Constante de gravitación
Razón masa de la Luna a la de la Tierra
9.
Precesión general en longitud por centuria
juliana para la época estándar 2000
Oblicuidad de la eclı́ptica para la época
estándar 2000
10.
GE = 3,986005 × 1014 m3 s−2
[3,98600448... × 1014 ]
G = 6,6725 × 10−11 m3 kg−1 s−2
μ = 0,01230002
[0,012300034]
ρ = 5029 ,0966
ε = 23◦ 26 21 ,448
[23◦ 26 21 ,4149]
Constantes derivadas:
11.
12.
13.
14.
A.2.
N = 9 ,2025
cτA = A = 1,49597870 × 1011 m
arcsin(ae/A) = π = 8 ,794148
κ = 20”,49552
Constante de nutación
Unidad de distancia
Paralaje solar
Constante de aberración
Constantes Astronómicas de la UAI (1976)
15.
16.
Factor de achatamiento de la Tierra
Constante gravitacional heliocéntrica
17.
18.
Razón de la masa del Sol a la de la Tierra
Razón de la masa del Sol a la del
sistema Tierra + Luna
19.
Masa del Sol
20.
Razones de la masa del Sol a la de los
planetas (excluyendo Tierra + Luna):
Mercurio
Venus
Marte
Júpiter
6 023 600
408 523,5
3 098 710
1047,355 [1047,350]
Saturno
Urano
Neptuno
f = 0,00335281 = 1/298,257
A3 k2 /D 2 = GS
= 1,32712438 × 1020 m3 s−2
[1,32712440... × 1020 ]
(GS)/(GE) = S/E = 332 946,0
(S/E)/(1 + μ) = 328 900,5
[328 900,55]
(GS)/G = S = 1,9891 × 1030 kg
3498,5 [3498,0]
22 869 [22 960]
19 314
Apéndice B
Cuerpos del sistema solar
B.1.
Datos fı́sicos de los planetas (I)
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Radio
ecuatorial
R (km)
2439
6052
6378
3397
71398
60000
26320
24300
Masa
Densidad
M (kg)
3,30 × 1023
4,87 × 1024
5,97 × 1024
6,42 × 1023
1,90 × 1027
5,69 × 1026
8,70 × 1025
1,03 × 1026
ρ (g/cm3 )
5,4
5,2
5,5
3,9
1,3
0,7
1,1
1,7
425
Temperatura
(superficie)
Kelvin
615;130
750
300
220
140
100
65
55
Inclinación
al ecuador
(◦ )
0,0
177,3
23,44
25,19
3,12
26,73
97,9
29,6
426
B.2.
APÉNDICE B. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR
Datos fı́sicos de los planetas (II)
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
B.3.
Perı́odo de
traslación
(dı́as)
87,97
224,70
365,26
687,02
4333
10744
30810
60440
Perı́odo
de rotación
58,6 d
243,0 d
23 h 56 m 4 s
24 h 37 m 23 s
9 h 55 m 30 s
10 h 30 m
17 h 14 m
16 h 7 m
Perı́odo
sinódico
(dı́as)
115,9
583,9
779,9
398,9
378,1
369,6
367,5
Velocidad
orbital
(km/s)
3,0
7,3
7.9
3,5
42,1
25,1
14,8
16,8
Velocidad
parabólica
(km/s)
4,2
10,3
11,1
5,0
59,6
35,5
20,1
23,8
Elementos orbitales osculatrices heliocéntricos referidos a la eclı́ptica media y equinoccio de J2000,0
Época = 13, 0 de septiembre 2000 (FJ 2 451 800,5)
Planeta
Incl.
Mercurio
Venus
Tierra∗
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
i
7,00498
3,39460
0,00014
1,84967
1,30437
2,48544
0,77227
1,76856
Longitud
del nodo
asc.
Ω
48,3301
76,6781
163,4000
49,5600
100,5042
113,6340
73,9476
131,7921
Longitud
del
perihelio
77,4564
131,8530
102,9937
336,0139
15,4305
90,6429
169,4404
46,9810
Semieje
mayor
Mov.
medio
Exc.
Longitud
media
a
0,3871009
0,7233309
0,9999868
1,5235726
5,2044210
9,5825510
19,2012300
30,0476200
n
4,0923
1,6021
0,9856
0,5240
0,0830
0,0332
0,0117
0,0059
e
0,2056291
0,0067470
0,0167348
0,0934789
0,0488689
0,0564861
0,0456617
0,0112593
Lr
217,84199
231,32466
352,28696
129,33705
55,58083
58,63199
316,48002
306,71426
* Los valores presentados para la Tierra corresponden al baricentro del sistema
Tierra-Luna.
427
B.4. DATOS DEL SOL
B.4.
Datos del Sol
Propiedad
Masa
Radio
Gravedad en la superficie
Temperatura efectiva
Temperatura en el núcleo
Luminosidad
Densidad media
Densidad en el núcleo
Magnitud visual absoluta
Magnitud visual aparente
Inclinación del ecuador a la eclı́ptica
Paralaje ecuatorial horizontal
Tipo espectral
Distancia del centro galáctico
Velocidad de escape en la superficie
Movimiento relativo a las estrellas cercanas
B.5.
Valor numérico
1,989 × 1030 kg
6,96 × 108 m
274 ms−2 = 27,9 g
5785 K
15 × 106 K
3,9 × 1026 W
1,41 gcm−3
140-180 gcm−3
4,79
−26,78
7o 15
8,794
G2 V
8,5 kiloparsec
617,7 kms−1
ápex: α = 271o , δ = +30o
velocidad: 19,4 kms−1
Datos de la Luna
Propiedad
Masa
Radio
Gravedad en la superficie
Densidad media
Inclinación media de la órbita a la eclı́ptica
Paralaje ecuatorial horizontal medio
Distancia promedio a la Tierra
Excentricidad media de la órbita
Menor distancia a la Tierra
Mayor distancia a la Tierra
Perı́odo de revolución del nodo
Perı́odo de revolución del perigeo
Velocidad orbital media
Perı́odo de rotación sideral
Albedo
Magnitud visual aparente
Factor dinámico (J2 )
Valor numérico
7,3483 × 1022 kg
1738 km
1,62 ms−2 = 0,17 g
3,34 gcm−3
5o 9
57 2
384 400 km
0,0549
356 400 km
406 700 km
6798 dı́as
3232 dı́as
1023 ms−1
27d 7h 43m
0,12
−12,74
2,027 × 10−4
428
B.6.
APÉNDICE B. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR
Planetas enanos (I)
Planeta
enano
Ceres
Plutón
Haumea
Makemake
Eris
B.7.
Ceres
Plutón
Haumea
Makemake
Eris
Densidad
(km)
975
2300
1150
1500
2400
(kg)
9,50 × 1020
1,30 × 1022
4,20 × 1021
∼ 4 × 1021
1,67 × 1022
ρ (g/cm3 )
2,08
2,0
2,6 − 3,3
∼ 2,0
2,3
Perı́odo
de rotación
(dı́as)
0,38
−6,39
∼ 0,3
Perı́odo
de traslación
(años)
4,6
248,09
285,4
309,9
557
Lunas
0
3
2
0
1
Semieje
mayor
a (u. a.)
2,77
39,48
43,34
45,79
67,67
Excentricidad
0,080
0,249
0,189
0,159
0,442
Inclinación
con respecto a
la eclı́ptica (◦ )
10,59
17,14
28,19
28,96
44,19
Descubrimiento
01 enero 1801
18 febrero 1930
28 diciembre 2004
31 marzo 2005
21 octubre 2003
Algunos asteroides
Asteroide
Palas
Juno
Vesta
Astraea
Eros
Hidalgo
Amor
Ícaro
Apolo
Masa
Planetas enanos (II)
Planeta
enano
B.8.
Diámetro
Diámetro
(km)
583
250
555
116
20
30
5?
2
2,5
Semieje
mayor
a (u. a.)
2,77
2,67
2,36
2,58
1,46
5,85
1,92
1,08
1.47
Excentricidad
0,23
0,26
0,09
0,19
0,22
0,66
0,43
0,83
0,56
Inclinación
con respecto a
la eclı́ptica (◦ )
34,8
13,0
7,1
5,3
10,8
42,4
11,9
22,9
6,4
Descubridor
Olbers (1802)
Harding (1804)
Olbers (1807)
Hencke (1847)
Witt (1898)
Baade (1920)
Delporte (1932)
Baade (1949)
Reinmuth (1932)
Apéndice C
Posiciones geográficas de
algunas ciudades
colombianas
Ciudad
Abejorral
Acandı́
Aguachica
Anapoima
Anserma
Arauca
Arjona
Armenia
Armero
Barbosa
Barrancabermeja
Barranquilla
Bello
Bogotá
Buenaventura
Bucaramanga
Buga
Cajamarca
Cali
Cartagena
Cartago
Caucasia
Latitud (o
05
08
08
04
05
07
09
04
04
05
07
10
06
04
03
07
03
04
03
10
04
08
47
32
19
33
13
05
32
31
58
57
03
58
20
39
53
07
54
26
27
27
45
06
429
)
Longitud (o
(Oeste)
75 25
77 14
73 38
74 32
75 48
70 45
73 55
75 40
74 54
73 36
73 52
74 47
75 33
74 05
77 04
73 08
76 17
75 23
76 31
75 29
75 55
75 12
)
Altura
msnm
2186
4
162
805
1837
124
106
1475
421
1500
111
14
1520
2620
12
959
1010
1827
995
2
942
450
430
APÉNDICE C. POSICIONES GEOGRÁFICAS
Ciudad
Cereté
Chaparral
Chigorodó
Chiquinquirá
Chocontá
Ciénaga
Cocorná
Corozal
Cúcuta
Dabeiba
Duitama
El Banco
Envigado
Espinal
Facatativá
Florencia
Fundación
Garzón
Gigante
Girardot
Granada
Guaduas
Honda
Ibagué
Ipiales
Itagüı́
Jamundı́
La Dorada
La Mesa
La Vega
Leticia
Lı́bano
Lorica
Madrid
Magangué
Maicao
Malambo
Manizales
Latitud (o )
08 53
03 43
07 41
05 37
05 08
11 01
06 20
09 19
07 54
06 59
05 50
09 00
06 10
04 09
04 49
01 37
10 31
02 23
02 12
04 18
03 34
05 04
05 12
04 27
00 50
06 10
03 16
05 27
04 38
05 00
-04 17
04 55
09 14
04 44
09 14
11 23
10 52
05 04
Longitud (o )
(Oeste)
75 48
75 28
76 42
73 50
73 40
74 15
75 08
75 18
72 29
76 08
73 02
73 58
75 35
74 53
74 22
75 37
74 11
75 38
75 32
74 48
73 45
74 35
74 45
75 01
77 37
75 36
76 31
74 40
74 27
74 21
69 55
75 03
75 49
74 16
74 44
72 13
74 47
75 30
Altura
msnm
15
880
34
2570
2684
122
1400
118
320
1350
2590
49
1607
438
2614
242
62
888
858
326
332
1007
229
1285
2890
1625
985
195
1320
1215
96
1585
5
2585
27
45
8
2126
431
Ciudad
Marinilla
Medellı́n
Mitú
Mocoa
Mompós
Monterı́a
Neiva
Ocaña
Orocué
Pacho
Palmira
Pamplona
Pasto
Paz de Rı́o
Pereira
Pitalito
Plato
Popayán
Pto. Berrı́o
Pto. Carreño
Pto. Inı́rida
Pto. Tejada
Quibdó
Ráquira
Riohacha
Roldanillo
Sabanalarga
Sahagún
Salamina
San Andrés
San Gil
San Jacinto
San José del Guaviare
San Martı́n
Santa Marta
Sevilla
Sincelejo
Socorro
Latitud (o )
06
06
01
01
09
08
02
08
04
05
03
07
01
05
04
01
09
02
06
06
03
03
05
05
11
04
10
08
05
12
06
09
02
03
11
04
09
06
10
15
07
09
14
45
55
15
48
08
32
23
13
24
46
51
47
27
29
11
54
14
40
33
33
24
38
57
25
28
33
50
34
42
15
16
19
29
Longitud (o )
(Oeste)
75 19
75 36
70 03
76 37
74 26
75 53
75 18
73 20
71 19
74 08
76 16
72 39
77 16
73 05
75 44
76 02
74 47
76 37
74 24
67 28
67 52
76 24
76 39
73 38
72 54
76 09
74 55
75 27
75 29
81 42
73 08
75 08
72 38
73 42
74 13
75 57
75 17
73 16
Altura
msnm
2122
1479
180
579
33
49
442
1200
143
1859
1085
2340
2527
2720
1342
1318
16
1738
123
51
100
1000
43
2221
73
966
53
109
1822
2
1095
239
200
405
2
1598
66
1230
432
APÉNDICE C. POSICIONES GEOGRÁFICAS
Ciudad
Sogamoso
Sonsón
Tuluá
Tumaco
Tunja
Turbaco
Turbo
Uribia
Urrao
Valledupar
Villa de Leiva
Villavicencio
Yarumal
Yopal
Zipaquirá
Latitud (o )
05
05
04
01
05
10
08
11
06
10
05
04
06
05
05
43
42
06
49
31
20
06
40
20
27
38
09
58
21
02
Longitud (o )
(Oeste)
72 56
75 18
76 11
78 46
73 21
75 25
76 43
72 14
76 05
73 14
73 31
73 39
75 24
72 24
74 00
Altura
msnm
2570
2550
1025
6
2820
200
2
22
1885
280
2220
467
2300
350
2650
Apéndice D
Refracción astronómica a
nivel del mar
Altura
◦
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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0
0◦
44
40
35
31
28
25
22
19
16
13
11
09
07
04
02
00
58
56
55
53
51
49
46
45
43
41
40
39
37
36
34
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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5◦
42
38
33
30
27
24
21
18
15
12
10
08
06
03
01
59
57
55
54
52
50
48
46
44
42
41
39
38
37
36
34
Temperatura, grados centı́grados
10 ◦
15 ◦
20 ◦
25 ◦
30
◦
35
◦
40
◦
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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41
37
32
29
26
23
20
17
14
11
09
07
05
02
00
58
56
54
53
51
49
47
45
43
42
40
39
38
36
35
33
1
1
1
1
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40
36
31
27
24
21
19
16
13
10
08
06
04
01
59
57
55
54
52
50
48
46
44
43
41
39
38
37
36
35
32
1
1
1
1
1
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38
34
29
25
23
20
17
15
12
09
07
05
03
00
58
56
54
53
51
49
47
46
43
42
40
39
38
37
35
34
32
1
1
1
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32
27
24
21
19
16
14
11
08
06
04
02
59
57
55
53
52
50
48
46
45
43
41
39
38
37
36
35
34
32
1
1
1
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31
26
23
20
17
15
13
10
07
05
03
01
58
56
54
52
51
49
48
46
44
42
40
39
37
36
35
34
33
31
1
1
1
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1
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29
25
21
19
16
13
11
09
06
04
02
00
57
55
53
52
50
48
47
46
44
41
39
38
35
35
34
33
32
30
1
1
1
1
1
1
1
1
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28
23
20
18
15
12
09
07
05
03
01
59
56
54
52
51
50
48
46
45
43
40
39
37
35
34
33
32
31
29
433
434
APÉNDICE D. REFRACCIÓN ASTRONÓMICA A NIVEL DEL MAR
Altura
◦
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
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0
0
0
0
0
0
0
0◦
33
32
30
29
28
27
25
24
23
22
21
20
19
17
16
15
14
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
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5◦
32
31
30
29
28
26
25
24
23
22
21
20
18
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
00
Temperatura, grados centı́grados
10 ◦
15 ◦
20 ◦
25 ◦
30
◦
35
◦
40
◦
0
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31
29
28
27
26
24
23
22
21
20
19
18
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
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31
30
29
28
26
25
24
23
22
21
20
19
18
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
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03
02
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30
28
27
26
25
23
22
21
20
19
18
17
15
14
13
12
12
11
10
09
08
07
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22
21
20
19
18
17
15
14
13
12
11
10
09
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25
24
23
22
21
20
19
18
17
15
14
13
12
11
10
09
08
07
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24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
09
08
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27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
14
13
12
11
10
10
09
08
07
06
05
44
03
02
01
01
00
Tabla D.1: Corrección por temperatura
Altura (m)
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
Factor
0,98
0,95
0,93
0,91
0,89
0,87
0,85
0,83
0,81
0,79
0,77
0,75
Altura (m)
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
4000
4200
4400
4600
4800
Factor
0,73
0,71
0,70
0,68
0,66
0,65
0,63
0,62
0,60
0,59
0,58
0,56
Tabla D.2: Corrección por presión atmosférica
Apéndice E
Estrellas
E.1.
Las estrellas más cercanas al Sol
Estrella
α Cen C (Próxima)
α Cen A
α Cen B
Estrella de Barnard
Wolf 359
Gl 411
α CMa (Sirius A)
α CMa (Sirius B)
Luyten 726-8 A
Luyten 726-8 B
Ross 154
Ross 248
Eridani
Lacaille 9352
Luyten 789-6
Ross 128
61 Cygni A
61 Cygni B
indi
α CMe (Procyon A)
α CMe (Procyon B)
α
h
14
14
14
17
10
11
06
06
01
01
18
23
03
23
22
11
21
21
22
07
07
δ
m
30
40
40
58
56
03
45
45
39
39
50
42
33
06
39
48
07
07
03
39
39
o
−62
−60
−60
04
04
35
−16
−16
−17
−17
−23
44
−09
−35
−15
00
38
38
−56
05
05
’
41
50
50
41
41
58
42
42
57
57
50
10
28
51
19
48
45
45
47
13
13
435
Mag.
abs.
15,45
4,34
5,70
13,24
16,55
10,46
1,45
11,34
15,27
15,8
13,3
14,80
6,13
9,75
14,60
13,50
7,58
8,39
7,00
2,64
13,0
Espectro
M5eV
G2V
K1V
M5V
M6.5Ve
M2eV
A1V
eb A
M5.5eV
M6eV
M4eV
M6eV
K2V
M1.5eV
M6eV
M5V
K5V
K7V
K5V
F5V
ebF
Par.
(”)
0,772
0,742
0,742
0,549
0,425
0,392
0,377
0,377
0,373
0,373
0,336
0,316
0,309
0,303
0,303
0,298
0,294
0,294
0,291
0,286
0,286
Mov.
pro. ”/año
3,85
3,68
3,68
10,31
4,68
4,78
1,33
1,33
3,36
3,36
0,72
1,59
0,98
5,69
3,26
1,37
5,21
5,21
4,69
1,25
1,25
436
E.2.
APÉNDICE E. ESTRELLAS
Las estrellas más brillantes
Estrella
Sirius
Canopus
Arcturus
Rigil Ken.
Vega
Rigel
Procyon
Achernar
Betelgeuse
Hadar
Altair
Aldebarán
Capella
Spica
Antares
Pollux
Fomalhaut
Deneb
Mimosa
Regulus
Acrux
α
h
06
06
14
14
18
05
07
01
05
14
19
04
05
13
16
07
22
20
12
10
12
m
45,1
24,0
15,7
39,6
36,9
14,5
39,3
37,7
55,0
03,8
50,8
35,9
16,7
25,2
29,4
45,3
57,6
41,4
47,7
08,4
26,6
δ
o
−16
−52
19
−60
38
−08
05
−57
07
−60
08
16
46
−11
−26
28
−29
45
−59
11
−63
’
43
42
11
50
47
12
13
14
24
22
52
31
00
10
26
01
37
17
41
58
06
Mag.
abs.
1,4
-4,6
-0,3
4,1
0,5
-7,0
2,6
-2,5
-6,0
-5,0
2,2
-0,8
-0,6
-3,6
-4,6
1,0
1,9
-7,2
-4,6
-0,7
-4,7
Espectro
A1V, ebA
F0Ib-II
K2IIIp
G2V, K1V
A0V
B8Ia
F5V, ebF
B3Vp
M2I
B1 II
A7V
K5III
G5III,G0III
B1V
M1 Ib,B2.5V
K0III
A3V
A2Ia
B0III
B7V
B0.5IV,B1V
r
(parsecs)
2,7
60
11
1,3
8,1
250
3,5
38
200
120
5.1
21
14
80
130
11
7
500
150
26
120
Mag.
ap. (V)
-1,47
- 0,72
-0,04 (var)
-0,01
0,03
0,112
0,34
0,50
0,58 (var)
0,71
0,77
0,85 (var)
0,96
1,04
1,09
1,15
1,16
1,25
1,30
1,35
1,40
Apéndice F
Fecha juliana
Año
-1900
-1800
-1700
-1600
-1500
-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
FJ
1027082,5
1063607,5
1100132,5
1136657,5
1173182,5
1209707,5
1246232,5
1282757,5
1319282,5
1355807,5
1392332,5
1428857,5
1465382,5
1501907,5
1538432,5
1574957,5
1611482,5
1648007,5
1684532,5
1721057,5
1757582,5
1794107,5
1830632,5
1867157,5
1903682,5
Año
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500J
1500G
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
FJ
1940207,5
1976732,5
2013257,5
2049782,5
2086307,5
2122832,5
2159357,5
2195882,5
2232407,5
2268932,5
2268922,5
2305447,5
2341971,5
2378495,5
2415019,5
2451544,5
2488068,5
2524592,5
2561116,5
2597641,5
2634165,5
2670689,5
2707213,5
2743738,5
2780262,5
Tabla F.1: Años centuria
J Calendario juliano
G Calendario gregoriano
437
438
APÉNDICE F. FECHA JULIANA
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
FJ
0
365
730
1095
1461
1826
2191
2556
2922
3287
3652
4017
4383
4748
5113
5478
5844
6209
6574
6939
7305
7670
8035
8400
8766
Año
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
FJ
9131
9496
9861
10227
10592
10957
11322
11688
12053
12418
12783
13149
13514
13879
14244
14610
14975
15340
15705
16071
16436
16801
17166
17532
17897
Año
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
FJ
18262
18627
18993
19358
19723
20088
20454
20819
21184
21549
21915
22280
22645
23010
23376
23741
24106
24471
24837
25202
25567
25932
26298
26663
27028
Año
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
FJ
27393
27759
28124
28489
28854
29220
29585
29950
30315
30681
31046
31411
31776
32142
32507
32872
33237
33603
33968
34333
34698
35064
35429
35794
36159
Mes
Nov
Dic
FJ
304
334
Tabla F.2: Año adicional
Mes
Ene
Ene (B)
Feb
Feb (B)
FJ
0
-1
31
30
Mes
Mar
Abr
May
Jun
FJ
59
90
120
151
Mes
Jul
Ago
Sep
Oct
FJ
181
212
243
273
Tabla F.3: Mes adicional
(B) Para años bisiestos.
Apéndice G
Calendario
G.1.
Descansos remunerados
Nombre de la fiesta
Circuncisión del Señor
La epifanı́a
San José
Dı́a del trabajo
San Pedro y San Pablo
Independencia Nacional
Batalla de Boyacá
Asunción
Dı́a de la raza
Todos los santos
Independencia de Cartagena
La Inmaculada Concepción
La Natividad
Jueves santo
Viernes santo
Ascensión del Señor
Corpus Christi
Sagrado Corazón
Dı́a a celebrar
1 de enero
6 de enero ∗
19 de marzo ∗
1 de mayo
29 de junio ∗
20 de julio
7 de agosto
15 de agosto ∗
12 de octubre ∗
1 de noviembre ∗
11 de noviembre ∗
8 de diciembre
25 de diciembre
3 dı́as antes de la Pascua
2 dı́as antes de la Pascua
39 dı́as después de la Pascua
60 dı́as después de la Pascua
68 dı́as después de la Pascua
∗
∗
∗
Tabla G.1: Descansos remunerados en la República de Colombia
* Modificados por la ley 51 de 1983.
439
440
G.2.
Año
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
APÉNDICE G. CALENDARIO
Fechas de Pascua para algunos años
Letra dominical
FE
D
C
B
AG
F
E
D
CB
A
G
F
ED
C
B
A
GF
E
D
C
BA
G
F
Número áureo
14
15
16
17
18
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Epacta
22
3
14
25
6
17
29
10
21
2
13
24
5
16
27
8
19
0
11
22
3
14
25
Fecha de Pascua
23 de marzo
12 de abril
4 de abril
24 de abril
8 de abril
31 de marzo
20 de abril
5 de abril
27 de marzo
16 de abril
1 de abril
21 de abril
12 de abril
4 de abril
17 de abril
9 de abril
31 de marzo
20 de abril
5 de abril
28 de marzo
16 de abril
1 de abril
21 de abril
Tabla G.2: Letra dominical, Número áureo, Epacta y fecha de Pascua
2008-2030
441
G.3. CALENDARIO PERPETUO
G.3.
Calendario Perpetuo
00
06
17
23
28
34
45
51
56
62
73
79
84
90
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15J
15G
16
17
21
18
22
19
20
23
24
6
5
4
3
2
1
0
01
07
12
18
29
35
40
46
57
63
68
74
85
91
96
0
6
5
4
3
2
1
02
13
19
24
30
41
47
52
58
69
75
80
86
97
1
0
6
5
4
3
2
03
08
14
25
31
36
42
53
59
64
70
81
87
92
98
2
1
0
6
5
4
3
09
15
20
26
37
43
48
54
65
71
76
82
93
99
3
2
1
0
6
5
4
04
10
21
27
32
38
49
55
60
66
77
83
88
94
4
3
2
1
0
6
5
05
11
16
22
33
39
44
50
61
67
72
78
89
95
5
4
3
2
1
0
6
Tabla G.3: Número para el año
J Hasta el 4 de octubre de 1582 (calendario juliano).
G Desde el 15 de octubre de 1582 en adelante (calendario gregoriano).
442
APÉNDICE G. CALENDARIO
Feb. (B)
May.
1
2
3
4
5
6
0
2
3
4
5
6
0
1
Ago.
3
4
5
6
0
1
2
Feb.
Mar.
Nov.
4
5
6
0
1
2
3
Sep.
Jun.
5
6
0
1
2
3
4
Dic.
6
0
1
2
3
4
5
Ene. (B)
Abr.
Jul.
0
1
2
3
4
5
6
Ene.
Oct.
1
2
3
4
5
6
0
Tabla G.4: Número para el mes
(B) Para años bisiestos.
1
2
3
4
5
6
0
1
8
15
22
29
Dom.
Lun.
Mar.
Mie.
Jue.
Vie.
Sab.
2
9
16
23
30
Lun.
Mar.
Mie.
Jue.
Vie.
Sab.
Dom.
3
10
17
24
31
Mar.
Mie.
Jue.
Vie.
Sab.
Dom.
Lun.
4
11
18
25
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
Mie.
Jue.
Vie.
Sab.
Dom.
Lun.
Mar.
Jue.
Vie.
Sab.
Dom.
Lun.
Mar.
Mie.
Vie.
Sab.
Dom.
Lun.
Mar.
Mie.
Jue.
Sab.
Dom.
Lun.
Mar.
Mie.
Jue.
Vie.
Tabla G.5: Número para la semana
Ejemplo
Determinar el dı́a de la semana del 5 de agosto de 2045.
Del año dado se toma la centena y el número restante como dos números independientes. Para el año 2045 la centena corresponde a 20 y el número restante 45.
En la tabla G.3, en la subtabla inferior izquierda, se halla la centena. En la parte
superior se halla el número restante. La intersección de la lı́nea de las centenas con la
columna del número restante permite determinar un número que en nuestro ejemplo
es 1. Con el número hallado pasamos a la tabla G.4. La intersección del número 1 (columna de la izquierda) con el mes de agosto permite determinar, en nuestro ejemplo,
el número 3. Dicho número corresponde a la columna de la izquierda de la tabla G.5.
La intersección de dicha lı́nea con el dı́a en cuestión (dado en la parte superior de
dicha tabla) permite, en nuestro ejemplo, hallar que el dı́a referido cayó en sábado.
Índice alfabético
Aberración, 203, 215, 218–221, 237
anual, 218
diurna, 220, 237
estelar, 215, 218
planetaria, 218, 221
secular, 218
Aceleración de la gravedad, 271
Achatamiento, 23, 258
Adams, John, 240
Afelio, 251
Almagesto, 66
Almicantarat, 50, 52
Altura, 89
Ángulo
esférico, 8
horario, 90, 93
Anomalı́a
excéntrica, 299, 303
media, 300
verdadera, 251, 287, 298
Año, 73, 180, 181
beseliano, 208
bisiesto, 184
civil, 181
juliano, 188, 208
sideral, 181
trópico, 181, 184, 186
Arato, 63
Argelander, Friedrich, 67
Argumento de latitud del pericentro,
312, 313
Aristarco, 245
Ascensión recta, 93
Asteroides troyanos, 342
Astrodinámica, 242
Astrologı́a, 4
Astronomı́a, 1, 4
Atmósfera, 20
Augusto, 184
Azimut, 89
Bayer, Johann, 65
Bessel, Friedrich, 66
Bóveda celeste, 45, 47, 71
Bradley, James, 66, 211, 216
Brahe, Tycho, 65, 66, 246
Calendario, 179
gregoriano, 181, 190
juliano, 183, 184, 186
romano primitivo, 182
Calendario colombiano, 200
Cassini, Jean Dominique, 216
Cavendish, Henry, 257
Cenit, 48–50
Centro de masas, 265, 266
Ciclo solar, 197
Cı́rculo
de declinación, 50
polar ártico, 171
polar antártico, 171
Circunferencia máxima, 8
Clark, Arthur C., 390
Clavius, Cristóbal, 189
Coeficientes armónicos, 259
Cohete, 375, 401, 409
Colón, Cristóbal, 174
Concilio de Nicea, 187, 188
Cónica, 287
Conjunción
inferior, 81
443
444
ÍNDICE ALFABÉTICO
superior, 82
Constante
de Cavendish, 257, 269
de Gauss, 293
Constantino, 186, 197
Constelación, 61, 63
Coordenadas
eclı́pticas, 88, 93
ecuatoriales absolutas, 88, 92
ecuatoriales horarias, 88, 90
galácticas, 88, 95
geocéntricas, 26
geodésicas, 26, 29
geográficas, 26
horizontales, 88
topocéntricas, 325
Copérnico, Nicolás, 245
Cronologı́a, 190
Culminación
inferior, 155, 166
superior, 155, 166, 167
Declinación, 91
Declinación magnética, 51
Deflección gravitacional de la luz, 203,
235
Delaunay, Charles, 143, 360
Depresión del horizonte, 163
Desviación de la vertical, 31
Dı́a, 118, 143, 179
sideral, 119
solar medio, 121, 144, 149
solar verdadero, 119
Dionisio el Exiguo, 191
Distancia
cenital, 90
media, 251, 313
radial, 35
Eclı́ptica, 54, 55, 80, 120
Ecuación
de Kepler, 300, 301
de los equinoccios, 140
del tiempo, 131
Ecuador
celeste, 47, 50, 52
terrestre, 25, 26, 29, 51
Efecto Doppler, 225
Einstein, Albert, 146, 235, 241, 352,
354
Eje de rotación, 24, 47, 55, 203, 204
Elementos orbitales, 313
Elipse, 22, 33, 247, 287, 292
Elongación, 82
Energı́a
cinética, 291, 292
potencial, 291
total, 290, 291
Epacta, 195, 196, 198
Equinoccio vernal, 57, 58, 183, 188
Esferoide, 22, 29
Estrella polar, 173
Eudoxo de Cnidos, 63
Euler, Leonhard, 24, 361
Excentricidad, 34, 248, 313
Fases lunares, 75, 181
Fecha juliana, 135, 137, 139, 437
Flamsteed, John, 65, 66, 216
Función
potencial gravitacional, 258, 259
Funciones asociadas de Legendre, 259
Galilei, Galileo, 245
Garavito, Julio, 240, 331
Gauss, Carl Friedrich, 293
Geodésicas, 241
Geodesia, 21
Geoide, 22
Gregorio XIII, 189, 195
Guiraldi, Luis Lilio, 195
Halley, Edmond, 65, 66, 223
Harrison, John, 177
Hemisferios celestes, 47
Hevelius, Johannes, 63
Hipérbola, 287, 289, 305
Hiparco de Nicea, 66, 207
Hipparcos, 68, 69
Hooke, Robert, 216
ÍNDICE ALFABÉTICO
Hora de verano, 130
Horizonte, 43, 49, 50
Horizonte matemático, 48, 88
Huso horario, 126
Huygens, Christian, 177
Inclinación, 313
Indicción romana, 197
Jacobi, Karl, 343
Jesucristo, 186
Julio César, 136, 184
Kepler, Johannes, 5, 246
Lagrange, Joseph-Louis, 340, 361
Latitud
eclı́ptica, 94
galáctica, 95
geocéntrica, 26
geodésica, 29
Leibniz, Gottfried, 254
Letra dominical, 193
Leverrier, Urbano, 240, 241
Ley de atracción gravitacional, 254, 256,
262
Leyes
de Kepler, 247
de Newton, 254, 256
Lı́nea
de las ápsides, 312
de los nodos, 312
internacional de cambio de fecha,
126
Longitud
del nodo ascendente, 313
del pericentro, 314
eclı́ptica, 93
galáctica, 95
geocéntrica, 26
geodésica, 29
Mayer, Tobias, 223
Mecánica celeste, 144, 240–242
Mercator, Gerhardus, 63
Meridiana, 50
445
Meridiano
de Greenwich, 28, 125, 129
de referencia, 28
del observador, 49, 155
Mes
sidéreo, 77
sinódico, 76, 181
Metón, 192
Momento
angular, 274, 275
lineal, 256, 265
Movimiento
del polo, 24, 149
diurno, 21, 72, 90
en el espacio, 203, 222
medio, 294
propio, 223–225, 237
Nadir, 48, 50
Newcomb, Simon, 143, 145, 208
Newton, Isaac, 241, 254, 258, 331, 333,
373
Nodos lunares, 74
Numa Pompilio, 182, 183
Número áureo, 194
Nutación, 140, 203, 211, 212, 237
Oblicuidad
de la eclı́ptica, 55, 205
media de la eclı́ptica, 214
verdadera de la eclı́ptica, 140, 214
Ocaso, 158
Oposición, 82
Orto, 158
Parábola, 287, 288, 307
Paréntesis de Lagrange, 365
Paralaje, 174, 203, 225, 229, 231
anual, 225, 228–230, 237
diurno, 225
horizontal, 226
Parsec, 230
Pascua, 187, 192, 195
Perı́odo juliano, 136
Perihelio, 251
446
ÍNDICE ALFABÉTICO
Planeta
exterior, 82
interior, 81
Planetas, 79
Poincaré, Henri, 344, 368
Polo
norte celeste, 46
norte terrestre, 25, 52
sur celeste, 46
sur terrestre, 25, 52
Polos
terrestres, 25, 47, 51
Precesión, 170, 181, 203–208, 212, 213,
237
general, 207
lunisolar, 207
planetaria, 207
Primer vertical, 50
Problema
de los dos cuerpos, 262
de los n cuerpos, 332, 342
de los tres cuerpos, 331, 333
restringido de los tres cuerpos, 340
Ptolomeo, Claudio, 63, 66, 244
Puntos
cardinales, 49
de Lagrange, 341
Semana, 179
Semieje mayor, 34, 248, 313
Semieje menor, 292
Semilatus rectum, 252
Sistema inercial, 255, 263
Solsticio, 58, 130, 171, 183
Sosı́genes, 184
Teorı́a de la relatividad general, 146,
235, 241–243
The Astronomical Almanac, 147
Tiempo
atómico, 147
atómico internacional, 148
de las efemérides, 144, 145
dinámico, 145
dinámico baricéntrico, 147
dinámico terrestre, 147
local, 126
sideral, 142
sideral local, 103, 124, 133
solar medio, 124
solar verdadero, 124
terrestre, 147
universal, 125, 142, 149
universal coordinado, 150
Tierra, 20, 21, 43
rotación, 142–144
Trópico
Radio vector, 251, 287
de Cáncer, 170
Refracción, 162, 174, 203, 232, 233, 237
de Capricornio, 170
Rético, Georg, 245
Transferencia
Riemann, Berhard, 241
de Hohmann, 396
Rotación, 21, 23
Transformación de coordenadas
Satélite
ecu. absolutas a ecu. horarias, 103
geoestacionario, 271, 295, 389
ecu. absolutas a eclı́pticas, 111
Molniya, 394
ecu. absolutas a galácticas, 112
Sol-sincrónico, 388
ecu. eclı́pticas a ecu. absolutas, 108
Tierra-sincrónico, 386
ecu. horarias a ecu. absolutas, 103
Satélites artificiales, 21, 22, 258, 260,
ecu. horarias a horizontales, 101
373
galácticas a ecu. absolutas, 116
Scaliger, Justus, 136, 197
horizontales a ecu. horarias, 99
Segundo
Trayectoria rectilı́nea, 282
bisiesto, 151
Triángulo esférico, 9
SI, 147, 148
Trigonometrı́a esférica, 7
ÍNDICE ALFABÉTICO
Tsiolkovsky, Konstantin, 404
Universo, 1
Velocidad radial, 223, 225
Vernal, punto, 57, 119, 181, 273
Vertical
de un astro, 50
local, 30
Vı́a Láctea, 95
Zodı́aco, 64, 80
Zona tórrida, 169, 170
447