Guia de Cálculo II Pág. 1 UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA” FACULTAD DE INGENIERIA CIUDAD OJEDA - ZULIA Guia de Cálculo II EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR ∫ b a (Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II CONTENIDO Pág. 2 Antiderivada .................................................................................................................5 Tabla de Integrales........................................................................................................5 Tabla de Derivadas ........................................................................................................6 Tabla de Identidades Trigonométricas ..............................................................................6 Integrales Inmediatas ....................................................................................................7 Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9 Técnicas De Integración ............................................................................................... 10 Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable .............................................. 10 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 16 Integración por partes.................................................................................................. 17 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 22 Integración de Potencias del Seno y el Coseno................................................................. 23 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 29 Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante......................... 30 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 37 Integración Por Sustitución Trigonométrica ..................................................................... 38 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 41 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)...................................... 42 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 42 Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) .......................................................... 44 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 44 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) ....................................................... 46 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 46 Integral Definida ......................................................................................................... 48 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 49 Longitud de Arco de una Curva Plana ............................................................................. 50 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 50 Área bajo una curva..................................................................................................... 53 Área entre dos curvas .................................................................................................. 53 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 54 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 3 ¿Por qué la resolución de problemas? El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización hacia un mundo cada vez mas humano y perfecto. La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como fundamentales en todo el curso de esta cátedra. Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto. Los propósitos de la esta guía se centran en: ¾ Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular y controlar sus pensamientos y acciones. ¾ Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos, habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y humanística. ¾ Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas globalizado. ¾ Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen el aprendizaje efectivo de la Matemática. Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 4 Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e interesante. La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por objetivos y/o contenidos. Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos matemáticos fundamentales. Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente. Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia. Pedro R. Guédez L Prof. de Matemática Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 5 Antiderivada Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un intervalo I, si F’(x) = f(x), ∀ valor de x en el intervalo I Ejm. F(x) = 4x3 + x2 + 5 ⇒ f’(x) = 12x2 + 2x G(x) = 4x3 + x2 - 8 ⇒ g’(x) = 12x2 + 2x A(x) = 4x3 + x2 + C ⇒ h’(x) = 12x2 + 2x Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) ∀ x ∈ I entonces ∃ C tq F(X) = G(X) + C ∀ x ∈ I Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se escribe: ∫ F(x) dx = F(x) + C Dos propiedades básicas de la antidiferenciación. 1.2.- ∫ af(x) dx = a∫ f(x) dx ∫ [f (x) + f (x) + … + f 1 2 n (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + … + ∫ f (x) dx 1 2 n Tabla de Integrales 1. 3. 5. ∫ u dv = uv − ∫ vdu ; Integración por Partes ∫ du = u + C ∫ kdu = ku + C Donde k es una constante un + 1 7. ∫ u du = n + 1 + C ; 9. ∫ 11. n para n ≠ -1 du = Ln u + C u ∫ e du = e u u +C 2. 4. 6. 8. 10. 2 2 ∫u ∫a 14. ∫ 15. ∫ 16. ∫u 17. ∫ Cos (u)du = Sen (u) + C 18. ∫a 19. ∫ Tan (u) du = Ln Sec (u) + C 20. ∫ Ciudad Ojeda Septiembre 2007 −a −u 2 = 1 u−a Ln + C ; ( u2 > a2 ) 2a u+a = 1 u+a Ln + C ; ( a2 > u2 ) 2a u−a du ∫ a du = Ln a + C ; donde a>0 y a ≠ 1 Sen (u)du = − Cos (u) + C 2 du 2 13. u du 2 11. u a ∫ Sec (u)du = Tan (u) + C ∫ Csc (u)du = − Cot (u) + C ∫ Sec (u)Tan (u)du = Sec (u) + C ∫ Csc (u) Cot (u) du = − Csc (u) + C a2 − u2 du ⎛u⎞ = arcSen ⎜ ⎟ + C ; donde a>0 ⎝ a⎠ u2 − a2 du 2 = 2 +u du 2 2 u ±a = 1 ⎛u⎞ arcSec ⎜ ⎟ + C ; donde a>0 a ⎝ a⎠ 1 ⎛u⎞ arcTan ⎜ ⎟ + C a ⎝ a⎠ = Ln u + u2 ± a2 + C Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 21. 23. 25. 26. 27. Pág. 6 ∫ Cot (u) du = Ln Sen (u) + C ∫ Sec (u) du = Ln Sec (u) + Tan (u) + C ∫ Csc (u) du = Ln Csc (u) − Cot (u) + C 22. 24. ∫ a2 − u2 du = u 2 a2 ⎛u⎞ a − u2 + arcSen ⎜ ⎟ + C 2 2 ⎝ a⎠ ∫ u2 ± a2 du = u 2 a2 u ± a2 ± Ln u + u2 ± a2 + C 2 2 ∫ Tan (u)du = Tan (u) − u + C ∫ Cot (u)du = −(Cot (u) + u) + C 2 2 Tabla de Derivadas 1. Dx (un ) = nun −1Dxu 2. Dx (Sen u) = Cos u Dxu 3. Dx (arcSen u) = 4. Dx (u + v) = Dxu + Dx v 5. Dx (Cos u) = - Sen u Dxu 6. Dx (arcCos u) = 7. Dx (uv) = uD x v + vDxu 8. Dx (Tan u) = Sec2u Dxu 9. Dx (arcTan u) = vDxu − uD x v u 10. Dx ( ) = v v2 11. Dx (Cot u) = −Csc2u Dxu 12. Dx (arcCot u) = 13. Dx (eu ) = euDxu 14. Dx (Csc u) = −Csc u Cot Dxu 15. Dx (arcSec u) = 16. Dx (au ) = au Ln(a) Dxu 17. Dx (Sec u) = Sec u Tan u Dxu 18. Dx (arcCsc u) = 19. DxLn(u) = Dxu 1 − u2 - Dxu 1 − u2 D xu 1 + u2 - Dxu 1 + u2 Dxu u u2 − 1 - Dxu u u2 − 1 Dxu u Tabla de Identidades Trigonométricas 1. Cos 2 (x) + Sen2 (x) = 1 2. Cos (2x) = Cos 2 (x) − Sen2 (x) 3. Sec 2 (x) = 1 + Tan2 (x) 4. Sen (−x) = −Sen (x) Cos (−x) = Cos (x) 5. Csc 2(x) = 1 + Cot 2 (x) 6. Tan (−x) = − Tan (x) Cot (−x) = −Cot (x) 7. Sen (x)Csc (x) = 1 8. Sec (−x) = −Sec (x) Csc (−x) = −Csc (x) 9. Cos (x)Sec (x) = 1 10. Sen (θ) = co h Csc (θ) = h co 11. Tan (x)Cot (x) = 1 12. Cos (θ) = ca h Sec (θ) = h ca Sen (x) 13. Tan (x) = Cos (x) co 14. Tan (θ) = ca Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ca Cot (θ) = co h co θ ca h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Cos (x) 15. Cot (x) = Sen (x) 17. Sen2 (x) = 1 [ 1 − Cos (2x) 2 ] 19. Cos 2 (x) = 1 [ 1 + Cos (2x) 2 ] Pág. 7 1 16. Sen (mx ) Sen (nx ) = [Cos (m − n) x − Cos (m + n) x ] 2 1 Cos (mx ) Cos (nx ) = [Cos (m + n) x + Cos (m − n) x ] 18. 2 1 [Sen (m + n) x + Sen (m − n) x] 2 1 22. Cos (mx ) Sen (nx ) = [Sen (m + n) x − Sen (m − n) x ] 2 20. Sen (mx ) Cos (nx ) = 21. Sen (2x) = 2Sen (x)Cos (x) Integrales Inmediatas Ejemplos Ilustrativos ∫ 3x Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 3x 4 dx ∫ = x 4 +1 +C 4+1 3 5 x +C 5 Calcular Ejemplo Ilustrativo 2 1 3 dx dx = 3 x 4 dx = 3⋅ ∫x 4 = ∫x = x − 3 +1 +C −3+1 −3 1 ∫x 3 dx dx x −2 +C −2 −1 = +C 2x 2 = ∫ Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 22x 3 ∫ 22x 3 3 x 2 dx 3 x 2 dx 2 = 22∫ x3 ⋅ x 3 dx 11 = 22∫ x 3 11 dx +1 22 ⋅ x 3 = +C 11 +1 3 14 = 22 ⋅ x 14 3 3 +C Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 66 14 3 = ⋅x +C 14 33 14 3 = ⋅x +C 7 Pág. 8 Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula ∫ 2x 2 ∫ 2x 2 (2 + 3x 2 − 8x 3 )dx ∫ (4x + 6x − 16x )dx = 4∫ x dx + 6 ∫ x dx − 16 ∫ x (2 + 3x 2 − 8x 3 )dx 2 = 4 5 2 4 4 ⋅ x2 +1 2+1 4 = ⋅ x3 + 3 4 = ⋅ x3 + 3 = Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula ∫ (y 4 + 2y 2 − 1) y dy = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ dx 6 ⋅ x 4 + 1 16 ⋅ x 5 + 1 − +C 4+1 5+1 16 ⋅ x5 − ⋅ x6 + C 6 8 ⋅ x5 − ⋅ x 6 + C 3 + 6 5 6 5 ∫ 5 (y 4 + 2y 2 − 1) y dy ⎞ ⎛ 4 2y 2 1 ⎟ ⎜ y + − dy ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜y 2 ⎟ 2 2 y y ⎠ ⎝ −1 ⎞ ⎛ 4 −1 / 2 + 2y 2 − 1 / 2 − y 2 ⎟dy ⎜y ⎝ ⎠ 3 − 7 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ y + 2y 2 − y 2 ⎟dy ⎠ ⎝ y 7 7 2 dy ∫ +2 y 3 +1 3 2 dy − ∫ −1 +1 y −1 2 dy +1 y2 2 ⋅ y2 y2 = + − +C −1 3 7 +1 +1 +1 2 2 2 9 5 1 y 2 2y 2 y 2 = + − +C 9 5 1 2 2 2 9 = 2y 2 2 ⋅ 2y + 9 5 9 5 2 1 − 2y 2 +C 1 5 1 2y 2 4y 2 = + − 2y 2 + C 9 5 Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula ∫ [3Sen(t) - 2Cos(t)] dt ∫ ∫ ⎣⎡3Sen(t) - 2Cos(t) ⎦⎤ dt ∫ = 3 Sen(t)dt - 2 Cos(t) dt = −3 cos(t) − 2sen(t) + C Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 9 ∫ [Csc (θ ) Cot(θ ) + 2Sec (θ )]dθ = ∫ Csc (θ ) Cot(θ )dθ + 2∫ Sec (θ )dθ 2 Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula ∫ [Csc (θ ) Cot(θ ) + 2Sec 2 ] (θ ) dθ 2 = −Csc (θ ) + 2Tan(θ ) Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula ⎡ ⎤ 3 ∫ ⎢⎣ Cot (x) + 3 Cot(x)⎥⎦dx ⎡ ⎤ 3 ∫ ⎢⎣ Cot (x) + 3 Cot(x)⎥⎦dx ∫ [3Tan(x) + 3 Cot(x)]dx = 3∫ Tan(x) dx + 3∫ Cot(x) dx = = 3Ln sec(x) + 3Ln sen(x) + C ( ) = 3(Ln sec(x) ⋅ sen(x) ) = 3 Ln sec(x) + Ln sen(x) Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula ⎛ 3 ∫ ⎜⎝ Cos (x) − 2 e x 2 ⎛ 3 ∫ ⎜⎝ Cos (x) − 2 e 2 x ⎞ + 4x ⎟ dx ⎠ ∫ (3Sec (x) − 2 e + 4 ) dx = 3∫ Sec (x)dx − 2∫ e dx + ∫ 4 ⎞ + 4x ⎟ dx ⎠ 2 = x x 2 = 3Tan(x) − 2ex + x x dx x 4 +C Ln4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Integral Respuesta ∫ x3 + C 3x2dx 1 3. ∫X 5. ∫ 7. ∫ 3x 9. ∫ 11. 3 x 2 15. ∫ 3dx x − 3y −1 4 ⎞dy ⎟ ⎠ 4x2 − 2 x dx X ax dx Respuesta ∫ ⎛ 32 ⎞ ⎜ x + 5 x − 3 ⎟dx ⎝ ⎠ 2 52 10 32 x + x − 3x + C 5 3 4. ∫ 7ydy 7y +C Ln 7 6. ∫ y (2y 8. ∫ (2Cot(φ) − 3Tan (φ)) dφ 2. 3 2 ) − 3 dy dx x + C 10. ∫ Sen (x) 3 5 3 y − 4y 4 + C 3 12. ∫ Cos (u) 2x2 − 4 x + C 14. ∫ Sen (t)dt Cos (t) 2x ax +C 3 16. ∫ x(2x + 1) dx 2 2 1 −2 x +C 2 3 23 x +C 2 9 53 x +C 5 dx ⎛ ∫ − dx 3 ∫ ⎜⎝5y 13. dx Integral Ciudad Ojeda Septiembre 2007 1 6 3 4 y + y +C 3 4 Ln Sen2 (φ)Cos3(φ) + C −Cot (x) + C 2 du Ln Sec (u) + Tan(u) + C 2 Ln Sec (t) + C x4 + 4 3 x2 1 x + − +C 3 2 48 Prof. Pedro R. Guédez 17. ∫ 19. ∫ 21. Guia de Cálculo II ⎛ x2 2 ⎞ x3 2 ⎜ − 2 ⎟dx + +C ⎜ 2 X ⎟⎠ 6 X ⎝ Pág. 10 3 x − 6x + 5 dx X 18. ∫ Ln t + C 20. ∫ Sec (θ) Cos (θ)dθ ∫ e dy ey + C 22. ∫ ⎜⎝ x 23. ∫ 3x dx 3 5 x +C 5 24. ∫ (3 − 2t + t 25. ∫ 5u 2du +C 26. ∫ x (x + 1)dx 27. ∫ 10 x2 dx 6x +C 28. ∫ 29. ∫ 6x2 3 xdx 9 10 3 x +C 5 30. ∫ ⎛ 32 ⎞ ⎜ u − u ⎟du ⎝ ⎠ ⎛3 1 ⎞ ⎟dx ⎜ x+ ⎟ ⎜ 3 x⎠ ⎝ 31. ∫ e ∫ (4x ex + C 32. ∫ (4x 33. 34. 35. 36. 37. dt t y 4 3 5 2u 3 3 2x 6 3 e2x dx 2 5 3 ) − 6x2 − 4x + 5 dx x2 + 4x − 4 ⎛ 2 3 3 + 3 X ⎞ + 5 ⎟dx ⎠ 2 2 ) dt ) + x 2 dx x − 6x + 5Ln x + C 3 Tan (θ ) + C − 1 x 2 − 3 + 5x + C x 3t − t2 + 1 3 t +C 3 2 52 2 32 x + x +C 3 5 2 52 1 2 u − u +C 5 2 3 43 3 23 x + x +C 4 2 x4 + 1 3 x +C 3 x 4 − 2x3 − 2x2 + 5x + C 1 2 52 8 32 x + x − 8x 2 + C 5 3 ∫ x ∫ [3Sen (t ) − 2Cos (t )] dt ∫ (2Cot (θ) − 3Tan (θ))dθ ∫ (3Csc (t ) − 5Sec (t )Tan (t)) dt 2 3 3 dx − 3Cos (t) − 2Sen (t) + C 2 −2Cot (θ) − 3Tan (θ) + θ + C − (3Cot (t) + 5Sec (t)) + C 2 Técnicas De Integración. Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable Ejemplos Ilustrativos Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 31 − 4y dy = ∫ (1 − 4y) 1 3 ∫ 31 − 4y dy dy (A) Cambio de variable du −4 Sustituyendo u y dy en (A) tenemos 1 du = ∫u 3 ⋅ −4 1 1 = u 3 du −4 ∫ Sea 1-4y=u ⇒ -4dy = du ⇒ dy = Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 4 Pág. 11 1 u +C −4 4 3 −3 4 3 = u +C 16 = 3 Volviendo a la variable original “y” Quitando el cambio de variable −3 (1 − 4y )43 + C = 16 −33 (1 − 4y )4 + C = 16 Calcular Ejemplo Ilustrativo 2 ∫x 2 (x 3 - 1)10 dx ∫ = ∫x 2 (x 3 - 1)10 dx (x 3 - 1)10 x 2 dx (1) Cambio de variable Sea x 3 - 1 = v ⇒ 3x2dx = dv ⇒ x 2 dx = dv 3 Sustituyendo v y dv en (1) se tiene ∫v = 10 dv 3 v 11 +C 11 Quitando el cambio de variable v 11 = +C 11 = (x 3 − 1)11 +C 11 = Calcular Ejemplo Ilustrativo 3 ∫ s 3s 2 + 1 ds = ∫ (3s sds 2 ) +1 1 ∫ s 2 3s + 1 ds 2 Haciendo 3s2+1 = x ⇒ 6sds = dx ⇒ sds = = = ∫ 1 6 dx 6 dx 6 x 1 ∫ 2 dx x 1 2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II −1 1 = ∫ x 2 dx 6 Pág. 12 1 − +1 1 x 2 = ⋅ +C 1 6 − +1 2 1 1 x 2 = ⋅ +C 6 1 2 1 12 = x +C 3 Volviendo a la variable original 1 1 = 3s 2 + 1 2 + C 3 1 = 3s 2 + 1 + C 3 ( ) Calcular Ejemplo Ilustrativo 4 ∫ Cos (4θ ) dθ = ∫ Cos (4θ ) dθ ∫ Cos(4θ ) dθ Hacemos 4 θ =t ⇒ 4dθ = dt ⇒ dθ = = dt 4 dt ∫ Cos(t) 4 1 Cos(t) dt 4 1 = Sen(t) + C 4 = ∫ Calcular Ejemplo Ilustrativo 5 4Sen (x) ∫ (1 + Cos(x)) 2 dx =4 4Sen (x) ∫ (1 + Cos(x)) 2 dx Sen (x) dx ∫ (1 + Cos(x)) 2 Hacemos 1+Cos(x) = u ⇒ Sen(x) dx = du du =4 2 u ∫ = 4∫ u −2 du u −1 +C −1 −4 = +C u −4 = +C 1 + Cos(x) = 4⋅ Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 13 Calcular Ejemplo Ilustrativo 6 ∫ (Tan( 2x) + Cot (2x))2 dx Desarrollando el producto notable (Tan( 2x) + Cot (2x))2 se tiene = Tan2 (2x) + 2Tan(2x) ⋅ Cot(2x) + Cot 2 (2x) (Tan( 2x) + Cot (2x))2 = Tan2 (2x) + 2 ⋅ 1 + Cot 2 (2x) = Sec 2 (2x) - 1 + 2 + Csc 2 (2x) - 1 = Sec 2 (2x) + Csc 2 (2x) - 2 + 2 = Sec 2 (2x) + Csc 2 (2x) Asi la integral original se transforma en ∫ (Tan( 2x) ∫ + Cot (2x))2 dx = (Sec2( 2x) + Csc2 (2x)) dx Si cambiamos 2x por θ se tiene dθ 2x = θ ⇒ 2dx = dθ ⇒ dx = 2 d θ = (Sec2(θ ) + Csc2 (θ )) ∫ 2 [∫ ] 1 (Sec 2 (θ )dθ + Csc 2 (θ )) dθ 2 1 = (Tan(θ ) − Cot(θ )) + C 2 Quitando el cambio se tiene finalmente 1 (Tan(2x) − Cot(2x)) + C 2 = Calcular Ejemplo Ilustrativo 7 Cambio de variable: Sea ex +Cos (x) = r ⇒ x e -Sen(x) dx x +Cos(x) ∫e = ∫ ∫ ex -Sen(x) dx x +Cos(x) ∫e ( e -Sen(x)) dx = dr x que al sustituir en la integral original se obtiene: dr = Ln r + C = Ln ex +Cos(x) + C r Calcular Ejemplo Ilustrativo 8 ∫ x ⋅ Ln(x2 +1) dx x2 +1 Cambio de variable: Sea 2x x dv dx = dv ⇒ 2 dx = 2 2 x +1 x +1 Ln(x2 +1) = v ⇒ sustituyendo en la integral original se obtiene: ∫ x ⋅ Ln(x2 +1) dx x2 +1 = ∫ Ln(x = ∫v⋅ 2 +1) ⋅ x dx x +1 2 dv 2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 1 = ∫ v ⋅ dv 2 1 v2 = ⋅ +C 2 2 = 1 ⋅ x2 +1 4 ( ) 2 Pág. 14 +C Calcular Ejemplo Ilustrativo 8 ∫ earcSen(x) +x dx 1-x2 La integral original se puede expresar como sigue: earcSen(x) +x ⎛ earcSen(x) x ⎞ + ⎟⎟ dx ∫ 1-x2 dx = ∫ ⎜⎜ 2 1-x2 ⎠ ⎝ 1-x earcSen(x) x dx + ∫ dx = ∫ 2 2 1-x 1-x I1 I2 Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene: earcSen(x) I1 = ∫ dx para I1 el cambio de variable será: 1-x2 dx = du , por lo cual arcSen(x) = u ⇒ 1 − x2 earcSen(x) I1 = ∫ dx 1-x2 dx I1 = ∫ earcSen(x) ⋅ 1-x2 I1 = ∫e u ⋅ du I1 = eu + C1 I1 = earcSen(x) + C1 I2 = x ∫ 1-x2 dx para I2 el cambio de variable será: 1-x2 = v ⇒ -2xdx = dv ⇒ xdx= x I2 = ∫ I2 = ∫ I2 = ∫ I2 = 1 −2 1-x2 1 dv , asi tenemos que −2 dx ⋅ xdx 1-x2 1 dv ⋅ v −2 ∫ 1 v 1 ⋅ dv 2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II -1 1 I2 = v 2 ⋅ dv ∫ −2 Pág. 15 1 I2 = 1 v2 + C2 −2 1 2 I2 = −v 1 2 + C2 I2 = − v + C2 I2 = − 1-x2 + C2 La integral original es la suma de I1 e I2: ∫ earcSen(x) +x 1-x2 dx = I1 + I2 = earcSen(x) + C1 − 1-x2 + C2 = earcSen(x) − 1-x2 + C1 + C2 = earcSen(x) − 1-x2 + C ∫ x (2 − x ) 3 Calcular Ejemplo Ilustrativo 9 2 12 dx La integral original se puede expresar como sigue: ∫ x (2 − x ) 3 2 12 dx = ∫ x (2 − x ) 2 2 12 xdx Haciendo el cambio de variable: 1 2-x2 =u ⇒ -2xdx=du ⇒ xdx=- du 2 Como 2-x2 =u ⇒ x2 =2-u que al sustituir en la integral original se obtiene: 1 = − ∫ (2 − u) u12 du 2 1 = − ∫ 2u12 − u13 du 2 13 1 = − ⎡2∫ u12 du − ∫ u du⎤ ⎢ ⎥⎦ 2⎣ 1 ⎡ 2 13 1 14 ⎤ u − u ⎥+C =− ⎢ 2 ⎣13 14 ⎦ ( ) 1 1 13 u (28 − 13u) + C ⋅ 2 182 13 1 2-x2 28 − 13(2-x2 ) + C =− 364 13 1 =− 2-x2 28 − 26 + 13x2 + C 364 13 1 =− 2-x2 2 + 13x2 + C 364 =− ( ) ( ( ) ( ( ) ( Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ) ) ) Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 16 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Integral Respuesta ∫ − 1 − 4y dy Integral 1 (1 − 4y )32 + C 6 2. e 2x ∫3+e 2x Respuesta 1 Ln 3 + e2x + C 2 dx 4 3. ∫ 3 6 − 2x dx − ∫x 7. ∫ 3x 4 − x dx ∫ x(2x + 1) dx 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. x2 − 9 dx 2 ∫ (x xdx 2 ) +1 ∫ 5x (9 − 4x ) ∫ (x − 4x + 4) 2 2 4 2 ∫x 4 dx 3 3x 5 − 5 dx y 3dy ∫ (1 − 2y ) 2xdx ∫ 1−x ∫ 3x − 4 dx 1+ (6x ∫ (x 1 dx 3x x 2 ) 2 2 ) 3 + 2x + 1 3 +3 ∫ (x ) 30. ∫ (1 − r ) 31. ∫ (3 − y) 32. ∫ 1 4 x5 2rdr 7 (y + 3) dy 2 tdt t+3 3 6. ( ) 2 +C 8. dx 3 dx ∫ 5 3 ⎛ 13 ⎞ ⎜r + 2 ⎟ + C 5⎝ ⎠ 3 2 r ⎛x⎞ - 3Cos ⎜ ⎟ + C ⎝3⎠ 1 ∫ Sen(3 x) dx ∫ 6x Sen(x ) dx 1 ∫ 2 tCos(4t ) dt - 2Cos (x 3 ) + C 12. ∫ r Sec (r 1 Tan r 3 + C 3 14. ∫ Csc 16. ∫ Sen(2x) 18. ∫e 20. ∫ yCsc (3y ) Cot (3y )dy - arcSen (x 2 ) + C 22. ∫ Cos(x) (2 + Sen(x)) 1 [2 + Sen (x)]6 + C 6 1 (3x − 4)43 + C 4 24. ∫ Cos 26. ∫ (1 + Cos (x)) 28. ∫ ( 3 ) 7 1 2x2 + 1 28 −1 +C 2 4 x2 + 1 5 3 − 9 − 4x2 3 + C 8 3 (x − 2)113 + C 11 3 2 3x5 − 5 + C 45 1 ) ( ( − ) ) 4 4 (x 3 2 +C 1 3 ( 10. ) 1 ⎞ ⎛ − 2 ⎜1 + ⎟ 3 x⎠ ⎝ + 8x dx 29. +C 3 32 1 − 2y 4 3 2 ( 4 5 ∫ ) ( 3 3 ( − 4 − x2 6 2 4. 1 2 x −9 3 5. 9. 3 (6 − 2x )43 + C 8 ⎛ 13 ⎞ ⎜ r + 2 ⎟ dr ⎝ ⎠ 2 ) + 2x + 1 ) ( 2 +C 2 3 ( ) 1 Sen 4t 2 + C 16 2 2 2 2 3 ( ) ) dr (2θ) dθ Sen (x) - 2 − Cos (2x) dx Cos (x) dx 2 2 dx dx 2 (x) 9 − Tan (x) 4Sen(x) dx 2 Cos 1 + x 1+ x dx 1 [2 − Cos (2x)]32 + C 3 eSen (x) + C 5 2 1 Cot(2θ) + C 2 ( ) 1 Csc 3y 2 + C 6 ⎛ Tan (x) ⎞ arcSen⎜ ⎟+C 3 ⎝ ⎠ 4 +C 1 + Cos (x) 2sen 1 + x + C ) 5 4 x3 + 3 4 5x3 − 12 + C 135 6 (6r − 1)(1 − r )−6 + C 15 − 3 (y + 21)(3 − y )13 + C 4 2 (t − 6)(t + 3)12 + C 3 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 33. ∫ 34. ∫ x (2 − x ) 3 − 2x x dx 3 2 12 ( Pág. 17 ) 3 1 − 5x 2 + 6x + 6 (3 − 2x ) 2 + C 35 13 −1 13x2 + 2 2 − x 2 +C 364 2 ( dx )( ) Integración por partes. Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la integración de : a) Diferenciales que contienen productos. b) Diferenciales que contienen logaritmos c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar. Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra recomendación es la siguiente regla para la elección de u L = Logarítmica. I = Trigonométrica Inversa A = Algebraica T = Trigonométrica Directa E = Exponencial Ejemplos Ilustrativos: ln x dx x2 Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace dx u = Ln(x) dv = 2 x dx du = dx x ∫ dv = ∫ x2 Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ ∫ dv = ∫ x −2 dx −1 v = −x 1 v = − x Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene: ∫ ln x dx x2 −1 −1 dx −∫ ⋅ x x x −Ln(x) dx = + ∫ 2 observe que esta integral se resolvio al inicio x x −Ln(x) 1 = + +C x x 1 = ⎡⎣1 − Ln(x)⎤⎦ + C x = Ln(x) ⋅ Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Ejemplo Ilustrativo 2 Pág. 18 Calcular ∫ x Senx dx Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace dv = Sen(x)dx u=x ∫ dv = ∫ Sen(x)dx du = dx v = −Cos(x) Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: ∫ x Senx dx ∫ v ⋅ du = −Cos(x) − ∫ − Cos(x)dx = u⋅v − = −Cos(x) + Sen(x) + C Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫e x Cosx dx Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la primera prioridad es Trigonométrica por lo que: dv = e x dx u = Cos(x) ∫ dv = ∫ e du = −Sen(x)dx x dx v = ex Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: ∫e x ⋅ C os(x) dx ∫ v ⋅ du = e ⋅ Cos(x) − ∫ − e ⋅ Sen(x)dx = e ⋅ Cos(x) + ∫ e ⋅ Sen(x)dx (A) Para resolver la integral ∫ e ⋅ Sen(x)dx usamos también la técnica de = u⋅v − x x x x x integración por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E u = Sen(x) dv = e x dx du = Cos(x)dx ∫ dv = ∫ e x dx v = ex Por lo cual ∫e ∫e ∫ v ⋅ du ⋅ Sen(x) − ∫ e x Sen(x) dx = u ⋅ v − x Sen(x) dx = e x x ⋅ Cos(x)dx (B) Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene: x e C os(x) dx = ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x) − ∫ ex ⋅ Cos(x)dx ∫ ∫e x C os(x) dx + ∫e x ⋅ Cos(x)dx = ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x) Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 2∫ ex ⋅ Cos(x)dx = ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x) ∫e x ⋅ Cos(x)dx = 1 2 ex ⋅ ⎡⎣Cos(x) + Sen(x)⎤⎦ + C Ejemplo Ilustrativo 4 ∫ x3 1 - x2 dx Pág. 19 Calcular x3 ∫ 1 - x2 dx Observe que: x2 ⋅ x = dx 1 - x2 Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad es Algebraica por lo que: xdx dv = u = x2 1 − x2 du = 2xdx xdx dv = 2 1−x ∫ ∫ ∫ (A) Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable dt 1 − x 2 = t ⇒ 2xdx = dt ⇒ = xdx −2 Por lo que: dt 1 2 1 xdx − 2 = − 1 t − 12 dt = − 1 ⋅ t = = −t 2 = − t = − 1 − x 2 1 2 2 t 1 − x2 2 Lo cual se simplifica en: xdx = − 1 − x2 2 1−x ∫ ∫ ∫ ∫ Asi la expresión (A) quedara como: v = − 1 − x 2 Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como sigue: ∫ x3 1- x 2 dx = u⋅v − ∫ v ⋅ du ∫ − 1 − x ⋅ 2xdx + ∫ 1 − x ⋅ 2xdx = −x 2 1 − x 2 − = −x 2 1 − x 2 2 2 (B) La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 ⇒ dw=-2xdx así 3 3 1 3 2 2 2 1 − x 2 2xdx = − wdw = − w 2 dw = − ⋅ w 2 = − ⋅ (1 − x 2 ) 2 = − ⋅ 1 − x 2 3 3 3 Volviendo a la expresión (B) se tiene: = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du ∫ ∫ x3 1 - x2 dx = − x2 1 − x2 − ∫ ∫ ∫− 1 − x2 ⋅ 2xdx Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ( ) Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II = −x 2 Pág. 20 2 1−x + ∫ 1 − x 2 ⋅ 2xdx (B) 3 2 = − x 1 − x − ⋅ 1 − x2 + C 3 ⎡ 2 2 ⎤ 2 1 − x2 ⎥ + C = − 1 − x ⋅ ⎢x + 3 ⎣ ⎦ 2 2 ⎤ ⎡ = − 1 − x2 ⋅ ⎢ x2 + − x 2 ⎥ + C 3 3 ⎦ ⎣ 2 2 ( ) ( ) 2⎤ ⎡1 = − 1 − x2 ⋅ ⎢ x 2 + ⎥ + C 3⎦ ⎣3 1 1 − x2 ⋅ x2 + 2 + C =− 3 ( Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular ) ∫ xarctg(x)dx Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: u = arctg(x) dv = xdx dx du= 2 x +1 ∫ dv=∫ xdx 1 2 x 2 Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará como sigue: = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du v= ∫ xarctg(x)dx 1 2 1 x2 x arctg(x) − ∫ ⋅ 2 dx 2 2 x +1 1 1 x2 = x2 arctg(x) − ∫ 2 dx 2 2 x +1 1 1 x2 + 1 − 1 = x2 arctg(x) − ∫ dx 2 2 x2 + 1 ⎛ x2 + 1 1⎡ −1 ⎞ ⎤ = ⎢x2 arctg(x) − ∫ ⎜ 2 + 2 ⎟ dx ⎥ 2⎣ ⎝ x + 1 x + 1⎠ ⎦ = = −1 ⎞ ⎤ 1⎡ 2 ⎛ x arctg(x) − ∫ ⎜1 + 2 ⎢ ⎟ dx ⎥ 2⎣ x + 1⎠ ⎦ ⎝ = 1⎡ 2 x arctg(x) − ∫ dx + 2 ⎢⎣ = 1 2 ⎡x arctg(x) − x + arctg(x)⎤⎦ + C 2⎣ Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ∫x 2 1 ⎤ dx + 1 ⎥⎦ ∫ x ⋅ Se n (3x)dx 2 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II = ∫ x ⎡⎣1 2 (1 − C os(6x)) ⎤⎦ dx Pág. 21 2 ∫ x ⋅ Se n (3x) dx 1 ⎡x − xC os(6x)⎤⎦ dx 2 ∫⎣ 1 = ⎡⎣ ∫ xdx − ∫ xC os(6x)dx ⎤⎦ 2 1 1 = ∫ xdx − ∫ xC os(6x)dx 2 2 x2 1 = − ∫ xC os(6x)dx 4 2 = I1 La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: u=x dv = C os(6x)dx du=dx ∫ dv = ∫ C os(6x)dx 6x = z 6dx = dz dz dx = 6 dz ∫ dv = ∫ C os(z) 6 1 ∫ dv = 6 ∫ C os(z) dz v = Sen(z) v = 1 Se n(6x) 6 Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará como sigue: 1 I1 = ∫ xC os(6x)dx 2 I1 1 ⎡ xSe n(6x) 1 ⎤ I1 = ⎢ − ∫ Se n(6x)dx ⎥ 2⎣ 6 6 ⎦ 1 ⎡ I1 = xSe n(6x) − ∫ Se n(6x)dx ⎤ ⎦ 12 ⎣ 6x = r 6dx = dr dx = I1 = 1 12 dr 6 dr ⎤ ⎡ ⎢xSe n(6x) − ∫ Se n(r) 6 ⎥ ⎣ ⎦ Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 1 I1 = xSe n(6x) − 12 1 I1 = xSe n(6x) − 12 1 I1 = xSe n(6x) + 12 ∫ x ⋅ Se n (3x)dx 2 = Pág. 22 1 Se n(r)dr 72 ∫ 1 Se n(6x)dr 72 ∫ 1 Cos(6x) 72 x2 1 − ∫ xC os(6x)dx 4 2 I1 x2 ⎡ 1 1 ⎤ = −⎢ xSe n(6x) + Cos(6x)⎥ + C 4 72 ⎣12 ⎦ 2 x 1 1 = − xSe n(6x) − Cos(6x) + C 4 12 72 1 ⎡18x2 − 6xSe n(6x) − Cos(6x)⎤⎦ + C = 72 ⎣ EJERCICIOS PROPUESTOS Integral Respuesta 1. ∫ xe 1 3x ⎛ 1⎞ e ⎜x − ⎟ + C 3 3⎠ ⎝ 2. 3. ∫ x Sen x dx Sen x - x Cos x + C 4. ∫ (x + 1) 5. ∫ Ln x 1 Ln x + 1 + C x 6. ∫ 7. ∫ x e dx ∫ x e dx ∫ x Sen 3x dx ∫ y Sec y dy ∫ Sen x Ln(Cos x) dx ∫ e Cos x dx ( 8. ∫x e 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. x 3x 2 dx dx − ( ) ) 2 x e x x 2 - 2x + 2 + C 2 −x − e − x x 2 + 2x + 2 + C 2 2 x x ∫ x Sen 2 dx ∫ (Ln x ) dx ∫ x Csc x dx 2 2 ( ) Integral Respuesta ∫ Ln x dx x (Ln x - 1) + C xe x 2 x3 1 − x2 3 − x2 dx ex +C x +1 dx − 1 2 x + 2 1 - x2 3 − 1 − x2 2 e x +1 + C 2 dx ( )( ( ) 1 2 +c ) 1 2 x Sen 6x 1 x Cos 6x + C 4 12 72 y Tan y + Ln Cos y + C ( Cos x 1 - Ln Cos x )+ C 1 x e (Cos x + Sen x ) + C 2 x x 4Sen - 2x Cos + C 2 2 x Ln2 x - 2x Ln x + 2x + C - x Cot x + Ln Sen x + C Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 17. ∫ x arcTan x dx 18. ∫ Sen (Ln x ) dx 19. ∫ Cos (Ln x ) dx 20. 21. 22. 23. 24. [( ∫ x Cos (2x + 1) dx ∫ x Sec x Tan x dx ∫ x Cos x dx ∫ Csc x dx 1 + x2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] x2 Sen x + 2x Cos x - 2Sen x + C ( ) 1 − CscxCtgx + Ln Cscx − Ctgx + C 2 1 1 arcTan x(x − arcTan x ) − Ln1 + x 2 + arcTan2 x + C 2 2 3 ∫ ] ) x Sec x - Ln Sec x + Tan x + C 2 x2 arcTanx Pág. 23 1 2 x + 1 arcTan x − x + C 2 x Sen Ln x − Cos Ln x + C 2 x Sen Ln x + Cos Ln x + C 2 x 1 Sen (2x + 1) + Cos (2x + 1) + C 2 4 dx Integración de Potencias del Seno y el Coseno Caso 1 ∫ Sen (u)du n ó ∫ Cos (u)du ; donde n es un entero Impar n Se descompone n en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica elevada al exponente 1 se agrupa con el diferencial. Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ Sen (x) dx 5 Observe que: ∫ Sen (x) dx 5 ∫ (Sen (x)) ⋅ Sen(x) dx = ∫ ⎡⎣1-Cos (x)⎤⎦ ⋅ Sen(x) dx 2 2 = 2 2 Hagamos el siguiente cambio de variable Sea Cos(x)=u ( = − ∫ 1-u2 ) 2 ⇒ -Sen(x)dx = du ⇒ Sen(x)dx = -du ⋅ du = − ∫ (1-2u2 -u4 ) ⋅ du = − ∫ du + 2∫ u2 du − ∫ u4 du 2 3 1 5 u − u +C 3 5 Volviendo a la variable inicial x tenemos = −u + = −Cos (x) + Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Cos (3x) dx 3 2 1 Cos3 (x) − Cos5 (x) + C 3 5 Calcular ∫ Cos (3x) dx 3 Observe que: = ∫ Cos2 (3x) ⋅ Cos(3x) dx = ∫ ⎡⎣1-Sen (3x)⎤⎦ ⋅ Cos(3x) dx 2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 24 Hagamos el siguiente cambio de variable Sea Sen(3x)=v = ∫ (1-v ) ⋅ 2 ⇒ 3Cos(3x)dx = dv ⇒ Cos(3x)dx = dv 3 dv 3 1⎡ dv − ∫ v2 dv ⎤ ⎦ 3 ⎣∫ 3 1⎡ v ⎤ = ⎢v − ⎥+C 3⎣ 3⎦ = Volviendo a la variable inicial x tenemos = Caso 2 1 3 1 ⎡ ⎤ 3 ⎢Sen(3x) − 3 Sen (x)⎥ + C ⎣ ⎦ ∫ Sen (u)du n ó ∫ Cos (u)du n donde n es un entero par Se usan la fórmulas: Sen2 (x) = ½ ⋅ ⎡⎣1 - Cos(2x)⎤⎦ Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Cos 2 ( x ) dx 2 = ∫ Cos Calcular ⎡1 2 ( Cos2 (x) = ½ ⋅ ⎡⎣1 + Cos(2x)⎤⎦ x ) dx 2 ⎤ ∫ ⎢⎣ 2 (1+Cos(x))⎥⎦ dx 1 (1+Cos(x)) dx 2∫ 1 = ⎡ ∫ dx+∫ Cos(x)dx ⎤ ⎦ 2⎣ = = ⎡1 ⎤ ∫ ⎢⎣ 2 (1+Cos(x))⎥⎦ dx 1 (1+Cos(x)) dx 2∫ 1 = ⎡⎣ ∫ dx+∫ Cos(x)dx ⎤⎦ 2 1 = ⎣⎡x+Sen(x)⎦⎤ +C 2 = Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Sen 4 (3x) dx = ∫ ⎡⎣Sen (3x)⎤⎦ 2 ∫ Sen Calcular 2 4 (3x) dx dx 2 ⎡1 ⎤ ∫ ⎢⎣ 2 (1-Cos(6x))⎥⎦ dx 1 2 = ∫ (1-Cos(6x)) dx (A) 4 = Sea 6x=θ ⇒ 6dx=dθ ⇒ dx= Ciudad Ojeda Septiembre 2007 dθ sustituyendo en (A) se tiene 6 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 1 2 dθ (A) = ∫ (1-Cos(θ)) 4 6 1 1-2Cos(θ)+Cos2 (θ) dθ = 24 ∫ ( 1 24 1 = 24 = Pág. 25 ) ⎡ dθ-2 Cos(θ)dθ+ Cos2 (θ)dθ ⎤ ∫ ∫ ⎣∫ ⎦ 1 ⎡ ⎤ ⎢ ∫ dθ-2∫ Cos(θ)dθ+∫ 2 ⎣⎡1+Cos(2θ)⎦⎤ dθ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 1 ⎢ 1 1 ⎥ = d θ -2 Cos( θ )d θ + d θ + Cos(2 θ )d θ ∫ ⎥ 24 ⎢ ∫ 2∫ 2 ∫ ⎣ ⎦ Sea 2θ=α ⇒ 2dθ=dα ⇒ dθ 1 ⎡ 1 1 dα ⎤ dθ-2∫ Cos(θ)dθ+ ∫ dθ + ∫ Cos(α) 24 ⎢⎣ ∫ 2 2 2 ⎥⎦ 1 ⎡ 1 1 ⎤ dθ-2∫ Cos(θ)dθ+ ∫ dθ + ∫ Cos(α)dα ⎥ = 24 ⎢⎣ ∫ 2 4 ⎦ = 1 ⎡3 ⎤ ⎢ 2 ∫ dθ-2∫ Cos(θ)dθ + 4 ∫ Cos(α)dα ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡3 1 ⎤ = θ-2Sen(θ)+ Sen(α)⎥ + C 24 ⎢⎣ 2 4 ⎦ = 1 24 Quitando la variable α 1 ⎡3 1 ⎤ θ-2Sen(θ)+ Sen(2θ)⎥ + C 24 ⎢⎣ 2 4 ⎦ Quitando la variable θ = = 1 ⎡3 1 ⎤ 6x-2Sen(6x)+ Sen(2 ⋅ 6x)⎥ + C ⎢ 24 ⎣ 2 4 ⎦ = 1 24 = 1 ⎡36x-8Sen(6x)+Sen(12x)⎤⎦ + C 48 ⎣ 1 ⎡ ⎤ ⎢9x-2Sen(6x)+ 4 Sen(12x)⎥ + C ⎣ ⎦ Caso 3 ∫ Senn (x) ⋅ Cosm (x)dx; donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 1 Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Cos 4 (x)Sen3 (x) dx Calcular ∫ Cos = ∫ Cos = ∫ Cos 4 (x)Sen3 (x) dx 4 (x)Sen2 (x)Sen(x)dx 4 (x) ⋅ (1-Cos2 (x)) ⋅ Sen(x) dx Haciendo Cos(x)=u ⇒ −Sen(x)dx=du ⇒ Sen(x)dx=-du = − ∫ u4 (1-u2 ) ⋅ du = − ∫ (u4 -u6 ) ⋅ du = − ∫ u4 du + ∫ u6 du Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 26 u5 u7 = − + + C Quitando el cambio se tiene 5 7 =- 1 Cos5 (x) + 1 Cos7 (x) + C 5 7 Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Cos (x)Sen 5 4 (x) dx ∫ Cos (x)Sen Calcular ∫ Sen = ∫ Sen = ∫ Sen = 5 4 (x) dx 4 4 (x)Cos (x)Cos(x)dx 4 (x) ⎡⎣Cos2 (x)⎤⎦ Cos(x)dx 4 (x) ⎡⎣1-Sen2 (x)⎤⎦ Cos(x)dx 2 2 Haciendo Sen(x)=u ⇒ Cos(x)dx=du 2 ∫ u ⎡⎣1-u ⎤⎦ du = ∫ u (1-2u +u ) du = ∫ (u -2u +u ) du = ∫ u du − 2∫ u du + ∫ u du = 4 2 4 2 4 6 4 8 4 6 8 u5 2u7 u9 C − + 5 7 9 Quitando el cambio se tiene = =- 1 Cos5 (x) + 1 Cos7 (x) + C 5 7 Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫ Sen(5x) ⋅ Cos(2x)dx Usando la fórmula Sen(mx) ⋅ Cos(nx) = ½ Sen ⎡⎣(m-n) ⋅ x⎤⎦ + ½ Sen ⎡⎣(m+n) ⋅ x⎤⎦ se tiene que: Sen(5x) ⋅ Cos(2x) = ½ Sen ⎡(5-2) ⋅ x ⎤ + ½ Sen ⎡(5+2) ⋅ x ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x) Asi la integral original se convierte en: Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II ∫ ⎡⎣½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)⎤⎦ dx Pág. 27 ∫ Sen(5x) ⋅ Cos(2x)dx = = ½∫ Sen(3x)dx + ½∫ Sen(7x) dx Cambiando variables 3x=u 3dx=du dx= 7x=v 7dx=dv du 3 dx= dv 7 du dv + ½∫ Sen(v) 3 7 1 1 = Sen(u)du+ Sen(v)dv 6∫ 14 ∫ 1 1 = − Cos(u) − Cos(v) + C 6 14 1 1 Cos(7x) + C = − Cos(3x) − 6 14 1 = − ⎡7Cos(3x) + 3Cos(7x)⎤⎦ + C 42 ⎣ = ½∫ Sen(u) Caso 4 ∫ Sen (x).Cos n m (x)dx donde m y n son numeros pares La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 2 Calcular ∫ Sen (x) ⋅ Cos ⎡1-Cos(2x) ⎤ ⎥ 2 ⎦ ⎡1+Cos(2x) ⎤ ⋅⎢ ⎥ dx 2 ⎣ ⎦ Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Sen (x) ⋅ Cos (x)dx 2 2 = ∫ ⎢⎣ 2 2 (x)dx 1 ⎡1-Cos(2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx 4 ∫⎣ 1 = ∫ ⎣⎡1-Cos2 (2x)⎦⎤ dx 4 1 = ∫ Sen2 (2x)dx 4 1 ⎡1-Cos(4x) ⎤ = ∫⎢ ⎥ dx 4 ⎣ 2 ⎦ 1 = ∫ ⎣⎡1-Cos(4x)⎦⎤ dx 8 1⎡ = dx-∫ Cos(4x)dx ⎤ ⎦ 8 ⎣∫ = Para la segunda integral usamos el cambio 4x = u 4dx = du du dx = 4 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 1⎡ du ⎤ = ⎢ ∫ dx-∫ Cos(u) 8⎣ 4 ⎥⎦ Pág. 28 1 1 dxCos(u)du ∫ 8 32 ∫ 1 1 Sen(u) + C = x− 8 32 1 1 Sen(4x) + C = x− 8 32 1 = ⎡4x − Sen(4x)⎤⎦ + C 32 ⎣ = Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Sen (x) ⋅ Cos (x)dx 4 2 Calcular ∫ Sen4 (x) ⋅ Cos2 (x)dx 2 ⎡1-Cos(2x) ⎤ ⎡1+Cos(2x) ⎤ ⎥ ⋅⎢ ⎥ dx ∫ ⎢⎣ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 = ∫ ⎣⎡1-Cos(2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx 8 1 = ∫ ⎣⎡1-2Cos(2x)+Cos2 (2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx 8 = 1 8 1 = 8 1 = 8 1 = 8 = ∫ ⎡⎣1+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x)⎤⎦ dx 2 2 3 ∫ ⎡⎣1-Cos(2x)-Cos (2x) + Cos (2x)⎤⎦ dx 2 3 ∫ ⎡⎣1-Cos(2x)-Cos (2x) + Cos (2x) ⋅ Cos(2x)⎤⎦ dx 2 2 1+Cos(4x) ⎤ + 1 − Sen2 (2x) Cos(2x)⎥ dx 2 ⎦ 1 ⎡ 1 Cos(4x) ⎤ = ∫ ⎢1- Cos(2x) - − + Cos(2x) − Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)⎥ dx 8 ⎣ 2 2 ⎦ = 1 8 ⎡ ∫ ⎢⎣1-Cos(2x)⎡1 ∫ ⎢⎣ 2 − ( ) Cos(4x) ⎤ − Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)⎥ dx 2 ⎦ Cos(4x) 1⎡ 1 ⎤ dx − ∫ dx − ∫ Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)dx ⎥ 8 ⎢⎣ ∫ 2 2 ⎦ 1 1 1 dx − Cos(4x)dx − ∫ Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)dx = 16 ∫ 16 ∫ 8 = Usemos los siguientes cambios de variable 4x = u Sen(2x) = v 4dx = du 2Cos(2x)dx = dv du dv dx = Cos(2x)dx = 4 2 1 1 du 1 dv 2 dx − Cos(u) = − ∫v ⋅ 16 ∫ 16 ∫ 4 8 2 1 1 1 = dx − Cos(u)du − v2 dv 16 ∫ 64 ∫ 16 ∫ 1 1 1 v3 x− Sen(u) − = +C 16 64 16 3 1 1 1 = x− Sen(4x) − Sen3 (2x) + C 16 64 48 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 1 ⎡12x − 3Sen(4x) − 4Sen3 (2x)⎤⎦ + C = 192 ⎣ Pág. 29 EJERCICIOS PROPUESTOS Integral Respuesta 1. ∫ Sen 2. ∫ Cos 3 3. ∫ Cos 2 4. ∫ Sen x dx 1 Sen5 x + C 5 1 − Cos 4 4x + C 16 1 (x + Sen x ) + C 2 1⎛ Sen 2x ⎞ ⎜x ⎟+C 2⎝ 2 ⎠ 5. ∫ Sen x dx 6. ∫ Sen 7. ∫ Cos 4x Sen 3x dx 1 Cos3 x - Cos x + C 3 1 1 Sen3 x - Sen5 x + C 3 5 1 ⎛1 ⎞ ⎜ Sen 7x - Sen x ⎟ + C 2 ⎝7 ⎠ 8. ∫ Sen 3y Cos 5y dy 1⎛ 1 ⎞ ⎜ Cos 2y − Cos 8y ⎟ + C 4⎝ 4 ⎠ 9. ∫ Sen 1⎛ 1 ⎞ Sen 12t ⎟ + C ⎜t 8 ⎝ 12 ⎠ 10. ∫ Sen 4 x Cos x dx 4x Sen 4x dx x dx 2 2 3 2 2 x Cos3 x dx 3t Cos2 3t dt Cos 2t 4 2t 3 Sen x dt − 11. ∫ Cos 12. ∫ (Sen 3t - Sen 2t ) dt ∫ Sen x Cos x dx 13. 2 x dx Cos x + Sec x + C 2 5 2 14. ∫ Sen y dy 15. ∫ Cos x dx 16. ∫ Sen z dz ∫ (Sen t + Cos t ) 17. 18. 19. 6 4 4 2 2 2 ∫ (2 - Sen y) ∫ Cos3 3x 3 Sen 3x 1 Csc3 2t + C 6 dt dt dx Ciudad Ojeda Septiembre 2007 1 1 1 Sen 4t + Sen 5t Sen 6t + C 8 5 12 1 2 1 − Cos3 x + Cos5 x - Cos7 x + C 3 3 7 5 1 1 3 y − Sen 2y + Sen3 2y + Sen 4y + C 16 4 48 64 3 1 1 x + Sen 2x + Sen 4x + C 8 4 32 3 1 1 z − Sen 2z + Sen 4z + C 8 4 32 7 2 1 t + Sen3 t + Sen 4t + C 8 3 32 9 1 y + 4Cos y - Sen 2y + C 2 4 8 2 1⎛ 1 ⎞ ⎜ Sen 3 3x - Sen 3 3x ⎟ + C 2⎝ 4 ⎠ t − Sen t - Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 30 3 1 1 x − Sen 2x + Sen 4x + C 8 4 32 ∫ Sen x dx 4 20. Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante Caso1 ∫ Tg (u)du n ó ∫ Ctg (u)du n donde n es un entero positivo Se desarrolla: Tgn (u) = Tg(n-2) (u) ⋅ Tg2 (u) Ctgn (u) = Ctg(n -2) (u) ⋅ Ctg2 (u) Tgn (u) = Tg(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣Sec2 (u) - 1⎤⎦ Se usa el cambio de variable Tg(u) = z Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Tg (x)dx 4 Calcular ó Ctgn (u) = Ctg(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣Csc2 (u) - 1⎤⎦ Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z ∫ Tg (x)dx 4 ∫ Tg (x)Tg (x)dx = ∫ Tg (x) ⋅ ⎡⎣Sec (x)-1⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)-Tg (x)⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)- ( Sec (x)-1) ⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)-Sec (x)+1⎤⎦ dx = ∫ Tg (x) ⋅ Sec (x)dx-∫ Sec (x)dx+∫ dx 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Siendo Tg(x)=u ⇒ Sec2 (x)dx=du = ∫ u du-∫ Sec 2 2 (x)dx+∫ dx u3 − Tg(x) + x + C 3 1 = Tg3 (x)-Tg(x)+x+C 3 = Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Ctg (x)dx 3 Calcular ∫ Ctg (x)dx 3 ∫ Ctg(x) ⋅ Ctg (x)dx = ∫ Ctg(x) ⋅ ⎡⎣Csc (x)-1⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣Ctg(x) ⋅ Csc (x)-Ctg(x)⎤⎦ dx = ∫ Ctg(x) ⋅ Csc (x)dx-∫ Ctg(x)dx 2 = 2 2 2 Siendo Ctg(x)=u ⇒ −Csc2 (x)dx=du ⇒ Csc2 (x)dx=-du = ∫ −udu-∫ Ctg(x)dx = − = u2 − Ln ⎡⎣Sen(x)⎤⎦ + C 2 1 Ctg2 (x)-Ln ⎡⎣Sen(x)⎦⎤ +C 2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Caso 2 ∫ Sec (u) du n Pág. 31 ∫ Csc (u) du n ó Se desarrolla: n-2 Secn (u) = Sec( ) (u) ⋅ Sec2 (u) Secn (u) = ⎡⎣ Tg2 (u) +1⎤⎦ Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Sec 4 (2x)dx (n-2)/2 ó ⋅ Sec2 (u) Calcular ∫ Sec 4 donde n es un entero positivo par Cscn (u) = Csc( n-2 ) (u) ⋅ Csc2 (u) Cscn (u) = ⎡⎣Ctg2 (u) + 1⎤⎦ (n -2)/2 . Csc2 (u) (2x)dx ∫ Sec (2x) ⋅ Sec (2x)dx = ∫ Sec (2x) ⋅ ⎡⎣ Tg (2x)+1⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣ Tg (2x) ⋅ Sec (2x)+Sec (2x)⎤⎦ dx = ∫ Tg (2x) ⋅ Sec (2x)dx+∫ Sec (2x)dx 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 Siendo Tg(2x)=u ⇒ 2 ⋅ Sec2 (2x)dx=du ⇒ Sec2 (2x)dx= du 2 du du +∫ 2 2 1 2 1 = ∫ u du + ∫ du 2 2 1 3 1 = u + u+C 6 2 1 1 3 = Tg (2x) + Tg(2x) + C 6 2 = ∫u 2 Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Csc 6 ⎛x⎞ ⎜ 3 ⎟ dx ⎝ ⎠ ∫ Csc = ∫ ⎢⎢⎜⎝ Ctg ⎡⎛ ∫ Csc 6 ⎛x⎞ ⎜ 3 ⎟ dx ⎝ ⎠ ⎛x⎞ 2 ⎛x⎞ ⎜ 3 ⎟ ⋅ Csc ⎜ 3 ⎟ dx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 4 Calcular 2 2 ⎤ ⎞ ⎛x⎞ 2 ⎛x⎞ ⎜ 3 ⎟ +1 ⎟ Csc ⎜ 3 ⎟ ⎥ dx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎡⎛ ⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ x ⎞⎤ = ∫ ⎢⎜ Ctg4 ⎜ ⎟ + 2Ctg2 ⎜ ⎟ + 1 ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ ⎥ dx ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎠ ⎣⎝ ⎡ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ x ⎞⎤ = ∫ ⎢Ctg4 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ + 2Ctg2 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ + Csc2 ⎜ ⎟ ⎥ dx 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ = ∫ Ctg4 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ dx + 2∫ Ctg2 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟dx + ∫ Csc2 ⎜ ⎟ dx ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ 1 ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ Siendo Ctg ⎜ ⎟ =u ⇒ − ⋅ Csc2 ⎜ ⎟ dx=du ⇒ Csc2 ⎜ ⎟ dx=-3du 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ = −3∫ u4 du − 6 ∫ u2 du − 3∫ du −3 5 6 3 u − u − 3u + C 5 3 −3 ⎛x⎞ 6 ⎛x⎞ ⎛x⎞ = Ctg5 ⎜ ⎟ − Ctg3 ⎜ ⎟ − 3Ctg ⎜ ⎟ + C 5 ⎝3⎠ 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠ = Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Caso 3 ∫ Sec (u) du n Pág. 32 ó ∫ Csc (u) du n donde n es un entero positivo impar En este caso se usa la Integración por Partes Calcular Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Sec ( x ) dx 3 Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace u = Sec(x) dv = Sec2 (x)dx du = Sec(x) ⋅ Tg(x)dx ∫ dv = ∫ Sec 2 (x)dx v = Tg(x) Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: S ec 3 (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ Tg(x) ⋅ S ec(x) ⋅ T g(x)d x ∫ ∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ Tg (x) ⋅ S e c(x)d x ∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ (S ec (x) − 1 ) ⋅ S ec(x) d x ∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ S e c (x) d x − ∫ S ec(x)d x ∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ S e c (x) d x − Ln S e c(x) + ∫ S ec (x)d x + ∫ S e c (x) d x = S e c(x) ⋅ Tg(x) − Ln S e c(x) + 2 ∫ S e c (x) d x = S ec(x) ⋅ Tg(x) − Ln S ec(x) + Tg(x) + C 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 Tg(x) + C Tg(x) + C 3 ∫ S ec 3 (x) d x = 1 ⎡ S e c(x) ⋅ Tg(x) − L n S e c(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C 2 ⎣ Calcular Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Csc ( x ) dx 5 Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace u = Csc 3 (x) dv = Csc2 (x)dx du = − 3Csc2 (x) ⋅ Csc(x) ⋅ Ctg(x)dx ∫ dv = ∫ Csc 3 du = − 3Csc (x) ⋅ Ctg(x)dx ∫ Csc ( x ) dx 5 2 (x)dx v = −Ctg(x) Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: = −Ctg(x)Csc3 (x) − 3 ∫ Csc 3 (x) ⋅ Ctg2 (x)dx (A) I1 Resolviendo I1 tenemos: I1 = ∫ Csc3 (x) ⋅ Ctg2 (x)dx ∫ Csc (x) ⋅ (Csc (x) − 1) dx I1 = ∫ ( Csc (x) − Csc (x)) dx I1 = ∫ Csc (x)dx − ∫ Csc (x)dx (B) I1 = 3 2 5 5 3 3 I2 Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II u = Csc(x) Pág. 33 dv = Csc2 (x)dx ∫ dv = ∫ Csc du = −Csc(x) ⋅ Ctg(x)dx 2 (x)dx v = −Ctg(x) Por lo tanto I2 quedara como sigue 3 2 ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc(x) ⋅ C tg (x)d x ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc(x) ⋅ ( C sc (x) − 1 ) d x ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc (x)d x + ∫ C sc(x)d x ∫ C sc (x)d x + ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) + ∫ C sc(x)d x 2 ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x) 3 2 3 3 3 3 3 1 ⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦ 2 ⎣ Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene: 1 ⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦ I1 = ∫ C sc 5 (x)d x − 2 ⎣ Sustituye I1 en la expresión (A) obtenemos: 5 3 3 2 ∫ Csc ( x ) dx = −Ctg(x)Csc (x) − 3 ∫Csc (x) ⋅ Ctg (x)dx (A) ∫ C sc 3 (x)d x = I1 1 ⎡ ⎤ = −Ctg(x)Csc 3 (x) − 3 ⎢ ∫ Csc5 (x)dx − ⎡⎣ −Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦ ⎥ 2 ⎣ ⎦ 3 3 5 3 5 ∫ Csc ( x ) dx = −Ctg(x)Csc (x) − 3 ∫ Csc (x)dx − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x) 3 3 5 5 3 ∫ Csc ( x ) dx + 3∫ Csc (x)dx = −Ctg(x)Csc (x) − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x) 3 3 4 ∫ Csc5 (x)dx = −Ctg(x)Csc3 (x) − Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x) 2 2 1 3 3 ⎡ ⎤ 5 3 ∫ Csc (x)dx = 4 ⎣⎢ −Ctg(x)Csc (x) − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎥⎦ + C ∫ Csc ( x ) dx 5 ∫ Csc 5 (x)dx = Caso 4 1 ⎡ − 2Ctg(x)Csc3 (x) − 3Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 3Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦ + C 8⎣ ∫ Tg (u) ⋅ Sec (u) du m n ó ∫ Ctg (u) ⋅ Csc (u) du m Se desarrolla: Secn (u) = Sec(n-2) (u) ⋅ Sec2 (u) n donde n es un entero positivo par Cscn (u) = Csc(n-2) (u) ⋅ Csc2 (u) ó Secn (u) = Sec(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣1+Tg2 (u) ⎤⎦ Cscn (u) = Csc(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣1+Ctg2 (u) ⎤⎦ Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫tg5xsec6x dx 2.- ∫ctg4ycsc4y dy Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Tg (x)Sec ( x ) dx 4 4 ∫ Tg (x)Sec ( x ) dx 4 Calcular 4 ∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) ⋅ Sec ( x ) dx = ∫ Tg (x) ⋅ ( Tg (x)+1) ⋅ Sec ( x ) dx = 4 4 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 2 2 2 2 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Sea v=Tg(x) ⇒ dv=Sec2 (x)dx Pág. 34 ∫ v ⋅ ( v +1) ⋅ dv = ∫ ⋅ ( v +v ) ⋅ dv =∫ v dv + ∫ v dv 4 = 2 6 4 6 4 1 7 1 5 v + v +C 7 5 1 1 7 = Tg (x)+ Tg5 (x) + C 7 5 = Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Ctg 5 (x) ⋅ Csc 6 ( x ) dx ∫ Ctg (x) ⋅ Csc ( x ) dx = ∫ Ctg (x) ⋅ ( Csc ( x ) ) ⋅ Csc ( x ) dx = ∫ Ctg (x) ⋅ ( Ctg (x)+1) ⋅ Csc ( x ) dx Calcular 5 5 2 5 2 6 2 2 2 2 Sea v=Ctg(x) ⇒ dv=-Csc2 (x)dx ⇒ −dv=Csc2 (x)dx ( ) 2 = − ∫ v5 ⋅ v2 +1 ⋅ dv ∫ v ⋅ ( v +2v + 1) ⋅ dv = ∫ ( v +2v + v ) ⋅ dv =∫ v dv + 2∫ v dv + ∫ v dv 5 = 4 9 2 7 9 5 7 5 1 10 1 8 1 6 v + v + v +C 10 4 6 1 1 1 10 = Ctg (x)+ Ctg8 (x)+ Ctg6 (x) + C 10 4 6 = Caso 5 ∫ Tgm (u) ⋅ Secn (u) du ó Calcular Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Ctg 5 (x) ⋅ Csc 5 ( x ) dx = = = ∫ Ctg (u) ⋅ Csc (u) du m ∫ Ctg 5 n donde n es un entero positivo impar (x) ⋅ Csc 5 ( x ) dx ∫ C tg (x ) ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x ∫ ⎡⎣ C sc (x ) − 1 ⎤⎦ ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x ∫ ⎡⎣ C sc (x ) − 2C s c (x ) + 1 ⎤⎦ ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x 4 4 2 2 4 4 2 4 S e a v = C sc(x ) ⇒ d v = -C sc(x ) ⋅ C tg(x )d x ⇒ − d v = C tg(x ) ⋅ C s c(x )d x ∫ (v − 2 v + 1 ) ⋅ v ⋅ ( − d v ) = − ∫ ( v -2 v + v ) ⋅ d v = -∫ v dv + 2 ∫ v dv − ∫ v dv = 4 2 8 8 4 6 4 6 4 1 9 2 7 1 5 v + v − v + C 9 7 5 1 2 1 = − C s c 9 (x )+ C s c 7 (x ) − C sc 5 (x ) + C 9 7 5 = − Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ Tg 5 (x) ⋅ Sec 7 ( x ) dx ∫ ∫ ⎡⎣ S e c ∫ ⎡⎣ S e c ∫ (x ) ⋅ Tg4 (x ) ⋅ S e c6 = = 2 Pág. 35 Tg5 (x) ⋅ Sec 7 ( x ) dx (x ) − 1 ⎤⎦ 2 T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x ⋅ Sec6 (x ) ⋅ T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x (x ) − 2S e c 2 (x ) + 1 ⎤⎦ ⋅ S e c 6 ( x ) ⋅ T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x S e a θ= S e c(x ) ⇒ d θ= S e c ( x ) ⋅ T g(x )d x = 4 ∫ (θ − 2 θ + 1 ) ⋅ θ ⋅ d θ = ∫ (θ -2 θ + θ ) ⋅ d θ =∫ θ dθ − 2∫ θ dθ + ∫ θ dθ 4 = 2 10 6 8 6 10 8 6 1 11 2 9 1 7 θ + C θ − θ + 7 11 9 1 2 1 = S e c 1 0 (x )S e c 9 (x )+ S e c 7 (x ) + C 11 9 7 = Caso 6 ∫ Tg (u) Sec (u) du ó ∫ Ctg (u) Csc (u) du donde m es un entero m n m n positivo par y n es un entero positivo impar. El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3 Ejemplo Ilustrativo 1 ∫ Tg 2 (x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx Calcular = = = = ∫ Tg 2 (x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx ∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) dx ∫ ⎡⎣Sec (x) − 1 ⎤⎦ ⋅ Sec ( x ) dx ∫ ⎡⎣Sec (x) − ⋅Sec ( x )⎤⎦ dx ∫Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx (A) 2 3 2 3 5 3 5 3 I1 I2 I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es: 1 3 ∫ Sec (x) dx = 2 ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ (B) Debemos resolver ahora I1 ∫ Sec5 (x)dx la que se resuelve por integración por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace u = Sec 3 (x) dv = Sec2 (x)dx du = 3Sec2 (x) ⋅ Sec(x) ⋅ Tg(x)dx ∫ dv = ∫ Sec 3 du = 3Sec (x) ⋅ Tg(x)dx 2 (x)dx v = Tg(x) Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene: 5 3 2 3 ∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3∫ Tg (x)Sec (x)dx (C) Resolviendo Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ∫ Tg 2 (x)S ec 3 (x)dx Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 2 3 ∫ Tg (x)Sec (x)dx = ∫ Tg (x)Sec ∫ Tg (x)Sec 2 3 2 3 ) ∫( (x)dx = ∫ ⎡⎣Sec (x) − Sec (x)⎤⎦ dx (x)dx = ∫ Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx Pág. 36 Sec2 (x) − 1 ⋅ Sec3 (x)dx 5 3 5 3 (D) Sustituyendo (D) en (C) tenemos ∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3 ( ∫ Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx ) ∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3∫ Sec (x)dx + 3∫ Sec (x)dx 4∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) + 3∫ Sec (x)dx 5 3 5 3 5 ( 3 3 ) 1 Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + 3∫ Sec3 (x)dx (E) 4 Sustituyendo (B) en (E) tenemos 1⎛ 3 ⎞ 5 3 ∫ Sec (x)dx = 4 ⎜⎝ Tg(x) ⋅ Sec (x) + 2 ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ ⎟⎠ (F) seguidamente ya para concluir sutituimos (B) y (F) en (A) 1⎛ 3 ⎞ = ⎜ Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ ⎟ − 4⎝ 2 ⎠ 5 (x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx 2 3 5 3 ∫ Sec (x)dx = ∫ Tg 5 1 ⎡Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ 2⎣ 1 3 3 1 = Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) 4 8 8 2 1 + Ln Sec(x) + Tg(x) 2 1 1 1 = Tg(x) ⋅ Sec3 (x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) + C 4 8 8 1 3 = ⎡⎣2 ⋅ Tg(x) ⋅ Sec (x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C 8 1 ∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) dx = 8 ⎡⎣2 ⋅ Tg(x) ⋅ Sec 2 3 3 Ejemplo Ilustrativo 2 ∫ Ctg 2 (x) ⋅ Csc(x)dx = = Calcular (x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C ∫ Ctg (x) ⋅ Csc(x)dx 2 ∫ ⎡⎣ C sc (x) − 1 ⎤⎦ ⋅ C sc(x)d x ∫C sc (x)d x − ∫C sc(x)d x 2 3 I1 I2 I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es: 1 3 ∫ Csc (x)dx = 2 ⎡⎣−Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦ I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue 1 ⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + Ln C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦ − Ln C sc(x) − C tg(x) = 2 ⎣ Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 37 1 1 = − C sc(x) ⋅ C tg(x) + Ln C sc(x) − C tg(x) − Ln C sc(x) − C tg(x) 2 2 1 1 = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − Ln C sc(x) − C tg(x) + C 2 2 EJERCICIOS PROPUESTOS Integral Respuesta 1. ∫ 1 Tan2 x + Ln Cos x + C 2 3. ∫ x Cot 5. Tan3 x dx ∫ Cot 3 7. ∫ Cot 9. ∫ Csc ∫ Sec 11. 12. 13. 14. 15. 3 4 4 ∫ ∫ Tan 6 18. ∫ Cot 19. ∫e 20. ∫ Tan x x x 4 Cot 3 - 4Cot + C 4 4 3 10. ∫ Tan 5 2 z dz x Sec 4 x dx 4 dw 3x dx ( Tan3 Ln x Sec6 Ln x 6 x 6 2 y ) dx 1 Csc 3 x + C 3 − dw 1 Tan 3 w + C 3 dy - 5x dx 1 Cot5 y + C 5 1 Tan 5x - x + C 5 1 Tan 3 x + Tan x + C 3 9 5 2 2 Sec 2 z - Sec 2 z + C 5 9 1 1 Tan 7 x + Tan 9 x + C 9 7 1 (Tan 2x − Cot 2x ) + C 2 1 − Cot 3 2x + C 6 1 1 Tan 3 2x - Cot 2x + C 2 6 1 1 − Cot 3 3x Cot 5 3x + C 15 9 1 Tan 3 e x − Tan e x + e x + C 3 1 1 1 Tan 4 3x - Tan2 3x + Ln Sec 3x + C 3 6 12 3x dx Ciudad Ojeda Septiembre 2007 ( ) ( ) ( u +C 4 dx Tan 2x + 3x Csc 4 3x dx ) u - 2Tan 2Sec w - Tan w + C 2x Cos 4 2x ( w 4 Cos y − ( ) ∫ ∫ Tan 4 x dx 4 Tan4 e x dx 5 Sen w ∫ Cos ∫ Sen x dx x 2 8. Cos2 w dx 2 4 1 Cot 2 t - Ln Sen t + C 2 2 Sen w - 1 2 ∫ Tan − 2 ∫ Sen 6. Sec3 x t dt 2 17. 4. 1 1 Csc 2x - Csc3 2x + C 6 2 2x Csc 2x dx ∫ (Tan 2x + Cot 2x ) dx ∫ (Cot 2x + Cot 2x ) dx ∫ 22. 2x dx ∫ 1 + Sec u 2 1 1 − Cot 2x 2 - x2 + C 2 4 2 Tan3 z Sec 16. 21. 2 du 2. ) 1 1 1 Tan4 Ln x + Tan6 Ln x + Tan8 Ln x + C 8 3 4 1 1 1 Tan 5 3x - Tan 2 3x + Tan 3x - x + C 15 9 3 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 23. ∫ Tan 3y dy 24. ∫ Csc x dx 4 3 Pág. 38 1 Tan 3 x - Tan x + x + C 3 1 1 − Csc x Cot x + Ln Csc x - Cot x + C 2 2 3 25. Sen 2 x ∫ Cos 11 2 5 9 2 2 Tan 2 x + Tan 2 x + C 9 5 dx x Integración Por Sustitución Trigonométrica Se usa para resolver integrales con expresiones que contienen a2 − u2 , a2 + u2 , u2 − a2 a2 − u2 , a2 + u2 , u2 − a2 , el método mas corto para integrar dichas expresiones es efectuar un cambio de variable trigonométrico como se indica a continuación. Para a2 − u2 se hace u = a senθ para lo que a2 − u2 = a cos θ Para a2 − u2 se hace u = a senθ para lo que a2 − u2 = a2 cos2 θ Para a2 + u2 se hace u = a tgθ Para a2 + u2 se hace u = a tgθ Para para lo que a2 + u2 = a sec θ para lo que a2 + u2 = a2 sec2 θ u2 − a2 se hace u = a secθ para lo que u2 − a2 = a tg θ u2 − a2 se hace u = a secθ para lo que u2 − a2 = a2 tg2 θ 8dx dx 2.Ejemplos Ilustrativos: 1.2 (4x 2 + 1)2 4x − 49 Para ∫ ∫ Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ dx x − a2 Sea x = aS ec(θ) ⇒ dx = aS ec(θ)T an(θ)dθ ∫ dx x2 − a2 2 Como x = aS ec(θ) ⇒ x2 = a2 S ec2 (θ) aS ec(θ)T an(θ)dθ = ∫ a2 Sec2 (θ) − a2 aS ec(θ)T an(θ)dθ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ S ec(θ)dθ ( ) a2 ⋅ Sec2 (θ) − 1 aS ec(θ)T an(θ)dθ a2 ⋅ Tan2 (θ) aS ec(θ) T an(θ)dθ a T an(θ) = L n S ec(θ) + T an(θ) + C Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II S ec(θ) = Pág. 39 h x = ca a h2 = ( Co ) + ( Ca) 2 h=x 2 x2 = ( Co ) + a2 2 Co θ Co = Ca=a x2 − a2 x2 − a2 x y como S ec (θ) = a a Así nuestra integral original quedara como: T an(θ) = = L n S ec(θ) + T an(θ) = Ln = Ln ∫ dx 2 2 x −a x + a x2 + a2 +C a x+ x2 + a2 +C a = Ln x + x2 + a2 − L n a + C = Ln x + x2 + a2 + k donde k= − L n a + C = Ln x + x2 + a2 + k Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 8dx 2 +1 ∫ 4x Observemos que 4x2 + 1 = (2x ) + 12 2 Sea 2x=z ⇒ 2dx=dz ⇒ dx = 8dx 2 +1 ∫ 4x dz asi nuestra integral original queda 2 8dx 2 + 12 dz 8 = ∫ 2 22 z +1 dz = 4∫ 2 z + 12 Haciendo el cambio de variable z = Tg(β) ⇒ dz = Sec2 (β)dβ = ∫ (2x) Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Sec2 (β)dβ = 4∫ Tg2 (β) + 1 = 4∫ Pág. 40 Sec2 (β)dβ Sec2 (β) = 4 ∫ dβ = 4β + C Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable Tg(β) = z ⇒ β = Tg−1 (z) y como z=2x entonces β = Tg−1 (2x) Así nuestra integral original quedara como: = 4Tg−1 (2x) + C 8dx = 4Tg−1 (2x) + C 2 +1 ∫ 4x Calcular Ejemplo Ilustrativo 3 Se hace x = ∫ 3 − x2 ⋅ dx x2 Como x = = = ∫ ∫ = ∫ = ∫ = ∫ ∫ = ∫ 3Se n(α) ⇒ dx = 3Cos(α)dα 3Se n(α) ⇒ x2 = 3S e n2 (α) 3 − 3S e n2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα 3S e n2 (α) ( ) 3 1 − S e n2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα 3S e n2 (α) (1 − S e n (α)) ⋅ 2 3⋅ 3Cos(α)dα 3S e n2 (α) 3 ⋅ C os2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα 3S e n2 (α) 3 ⋅ 3 C os2 (α) ⋅ Cos(α)dα 3S e n2 (α) ( 3) 2 = 3 − x2 ⋅ dx x2 ∫ ⋅ C os(α) ⋅ Cos(α)dα 3 S e n2 (α) C os2 (α) ⋅ dα S e n2 (α) ∫ Ctg (α) ⋅ dα = ∫ ( Csc (α) − 1) ⋅ dα = ∫ Csc (α) ⋅ dα − ∫ dα = 2 2 2 = −Ctg(α) − α + C Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 41 Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable co x S e n(α) = = h 3 h2 = ( Co ) + ( Ca) 2 h= 3 ( 3) 2 Co=x α Cos(α) = ca = h = ( x ) + Ca2 Ca = Ca 3 − x2 3 2 2 3 − x2 y como S e n (α) = x 3 3 − x2 Ctg(α) = 3 x Cos(α) = Se n(α) = ⎛ x ⎞ 3 − x2 y α = Se n−1 ⎜ ⎟ x ⎝ 3⎠ 3 Así nuestra integral original quedará como: = −Ctg(α) − α + C =− ∫ ⎛ x ⎞ 3 − x2 − Se n−1 ⎜ ⎟+C x ⎝ 3⎠ ⎛ x ⎞ 3 − x2 3 − x2 ⋅ = − − Se n−1 ⎜ dx ⎟+C 2 x x ⎝ 3⎠ EJERCICIOS PROPUESTOS Integral 1. ∫x dx 2 3. ∫x 5. ∫ 7. Respuesta 4−x 2 dx 1 25 − x2 dx x2 − a2 x2dx ∫ (x 2 +4 − ) 2 5 (4 − x ) 2 4 2 Ln 5- 25 − x 2 +C x x arcTan Ciudad Ojeda Septiembre 2007 2. +C 4x Ln x + 1 1 Integral 2 x 2 −a − 2 +C ( x 2 2 x +4 ) +C ∫x Respuesta dx 1 x Ln +C 2 2 + x2 + 4 2 x +4 Tan x Sec2 x dx 4. ∫ (4 − Tan x) 6. ∫ 8. ∫ 3 2 xdx 4+x dx 2 +C 4 4 − Tan x 4 + x2 + C 2 1 − 4x 2 1 2 2 arcSen 2x + C Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II dx ∫ 9. 11. ∫ 13. ∫ 15. ∫ 17. ∫ 4x + x Ln x + 2 + 2 ( x e dx (e 2x + 8ex + 7 ) 3 x a 2 (x + 1) 4−x dx 2 2 a dx − 2 − 5x 21. ∫ (4 + 9x ) dx 1 2 x 9+ x 3 Ln wdw ∫t 1 4 5 t + 25 27. ∫ x 28. ∫ 2 x x x 2 Ln t dx dx − 1 2 9−x dx 3 ∫ 14. ∫ 16. ∫ 18. ∫ 2 (4x dx 2 −9 ) 3 3 2 − 2 dx 3−x 2 + 2x dx (a 20. ∫ 22. ∫x x −a dx 2 −x x ) 2 3 2 2 arcSen 6 dx 5 − x2 x −1 2 x arcSec a dx a 1 3 − 4 2- 4−x x 9−x 8x 2 + 2 2 5 a 2 a 2 −x arcSen 2 x + + 4−x 2 5 5 − x2 +C 5x +C 9 ⎛x⎞ arcSen ⎜ ⎟ + C 2 ⎝3⎠ 1 ⎛x⎞ arcSec ⎜⎜ ⎟⎟ + C 54 ⎝3⎠ Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados) 1.- ∫ xdx 2 x + 4x + 8 2.- ∫ (e 2x ex dx + 8ex + 7)3/2 3.- ∫ (y + 1)dy 5 + 12y − 9y2 EJERCICIOS PROPUESTOS Ciudad Ojeda Septiembre 2007 +C +C +C 3 Ln t + C 2 x x2 − 9 −9 + 25 − 5 − +C ) x 2 25 − x 2 ( 2 −1 1 x 4x2 − 9 2 + C 9 1 2 x 9 5 − 4x − x ) 2Ln 2 2 2 12. (5 − 4x − x ) x + 9 + x2 +C 3 ( 2 ∫ +C ∫ x +2 1 8 + Ln2w Ln2w − 4 + C 3 w Ln w − 4 2dt 4−x 26. 4 + 9x Ln 2 3x Ln 4 dx 25. + x 2 ⎛ Cos θ ⎞ ⎟ +C arcCos ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ∫ a +C x⎞ ⎛ 4 − x2 + ⎜⎜ arcSen ⎟⎟ + C 2⎠ ⎝ 2 2 − Cos θ 24. a+ 2 10. +C x Ln +C ⎛ ⎞ arcSen ⎜ x 5 ⎟ + C 2 ⎝ ⎠ 5 Senθ dθ ∫ ∫ 2 1 19. 23. ) 9 e2x + 8e x + 7 1 + x x − e +4 dx 2 4x + x Pág. 42 dx Prof. Pedro R. Guédez +C Guia de Cálculo II Integral ∫ 3. ∫ 5. ∫ 9x 2 7. ∫ 4x 2 9. 11. 13. Respuesta dx 1. ∫x 1 1 − 4x dx 2 2x − x 2 2 arcSen (x − 1) + C 1 + 16 12 dx 1 + 4x + 2 2 dx 1 2 − 2x + 5 dx 17. ∫ 4x 18. ∫x 19. ∫ 20. ∫ 21. ∫ 23. ∫ 24. ∫ 25. ∫ 26. ∫ 2 1 2 4 1 + 4x + 5 x dx 4 1 + 4x + 5 x dx 2 2 x − 2x + 5 (x + 1) dx 2 2x − x (x - 1) dx x 2 x 2 arcTan 7 θ (2x + 3 ) dx 2 4 arcTan (2x + 1) + C 2 Cos θ dθ ∫ 4 − Sen +C x −1 +C 2 ∫ 4. ∫ 6. ∫ 8. ∫ 10. ∫ dx 1 4 − 9x (1 - x ) dx 8 + 2x − x dx 4x x dx 2 2 − 5x r dr 1 16 − 4x + 3 x dx + 4x + 5 x dx 5 + 4x − x x dx 2 3 − 2x − x (2 + x ) dx 2 4 − 2x − x 2 arcTan Ln 2x − 1 7 2 + Sen θ 1 4 6 2 + 4x + 5 − 2arcTan (x + 2 ) + C − 2x + 5 + Ln x − 1 + 2x − x x 2 x 2 − 4 x + 3 + Ln x − 2 + x 2 + 4 x + 5 − 2Ln x + 2 + arcCos arcSen x −2 3 1+ x 2 1+ x 5 − x +C 4 3r arcTan arcCos +C 4 e 1- x 4 2 x 7 ( )+ C arcTan e 2 x − 2x + 5 + C +C x 2 x 5 + 4x − x 2 − 4x + 3 + C 2 + 4x + 5 + C +C 2 +C 2 +C − 3 − 2x − x − 4 − 2x − x +C +C 1⎞ ⎛ arcTan ⎜ x + ⎟ + C 2 2⎠ ⎝ Ln 4x 2arcSen +C 1 + 4x + 5 + 2 arcSen (x − 1) − 2 2x 2 2 7 x Ln 4x x Ciudad Ojeda Septiembre 2007 2x 15 + 2x − x ∫1+e arcSen 1 e dx 16. arcSec 2 5 10 arcSen x+C 5 2 2 dx ∫ + C 14. +C 2 − Sen θ ∫7+e +C 2 8 + 2x − x 2 − 16 16 − 9r 3x arcSen 3 2 e dx 12. 2arcTan x + C x −x+2 15. 3x arcTan 2. Respuesta x dx 2 Integral arcSen 2 x + C 2 dx ∫ (1 + x ) ∫x Pág. 43 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 27. ∫ 28. ∫ Pág. 44 (x + 1) dx 2x x 2 2 2 x − 3x + 2 5 3 + Ln x − + 2 2 2 2 − 6x + 4 dx Ln x − 1 + − 2x − 8 x 2 x2 − 3x + 2 + C − 2x − 8 + C Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales (la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo X 4 + 3x 3 2 x + 2x + 1 5x + 3 = x2 + x - 3 + 2 x + 2x + 1 Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple expresión (Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente; por lo que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias. Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite. Ejemplos Ilustrativos: ∫x 2x + 3 3 + x 2 − 2x dx Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten Ejemplos Ilustrativos:: ∫x x3 + 1 4 − 3x 3 + 3x 2 − x dx EJERCICIOS PROPUESTOS Integral 1. 3. 5. 7. 9. ∫x ∫x ∫ Respuesta dx 2 −4 dx 3 + 3x 2 (5x − 2) dx 2x2 + x − 4 ∫x 3 − x 2 − 2x dx ∫ x(x + 1) 2 1 x−2 Ln +C 4 x+2 2. 1 x+3 1 Ln − +C 9 x 3x 4. Ln C (x − 2) (x + 2) 6. 2 x2 − 4 dx Integral Ln 3 x2 (x − 2) +C x +1 1 x + Ln +C x +1 x +1 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 8. 10. Respuesta (4x − 2) dx ∫x ∫ 3 Ln 2 (5x − x − 2x 2 ) (4w - 11) dw ) + 7w − 4 2 − 2x − 1 dx ) (2x − 1) dx ∫ (x − 1) (x − 2) C (w + 4) 2w − 1 3 Ln 2 4x 3 − x +C Ln C x3 x2 − 1 x −x ∫ 2w (6x ∫ (x + 1)2 ( − 3 dx 3 x2 − 2x 1 C x 4 (2x + 1) Ln 4 2x − 1 3 Ln (x − 2)3 x −1 +C Prof. Pedro R. Guédez 11. 13. 15. 17. ∫ Guia de Cálculo II x dx 2 x + 4x − 5 ∫e e t dt 2t + 3e + 2 2 ∫x Sen β dβ β + Cos β − 2 3 + 9x 2 + 23x + 15 dx ∫ (x + 1) (x 20. ∫ 4x ∫ 2 ) + 8x 2 + 3x 22. + 5x ) dx ∫ (x − 1) (x + 1) 23. ∫x 24. dx dx 4x3 − x 2 (x + 1) z2 ∫ (z − 1) dz (x − 3x − 7) dx ∫ (2x + 3) (x + 1) (y − 8) dy ∫ y + 2y 3 2 27. 3 ∫ 2 x5 + x 4 − 8 x 3 − 4x dx 4 dx ∫x 29. ∫ (x − 2) (x − 1) 30. ∫x 31. ∫ + 2x 2 − x − 2 dx (x − 8) dx 2 − 4x + 4x (3x + 2)dx x(x + 1) 3 33. x dx ∫ (x + 2) 2 (x + 4) 3z + 1 ∫ (z 2 −4 ) 2 2 dz + 4x − 5 x 2dx 2 + 2x + 1 (2x − 1) dx ∫ (x − 1) (x − 2) 3 1 Ln x − 3 + Ln x + 1 + C 4 4 x − 2Ln x + 1 − Ln 1 +C x +1 (x − 2)3 C (x - 1)2 (x + 1) + 1 arcTan x + C 1 Ln 2 4 2 x +1 (2x + 1) (2x + 3) + C 1 − Ln 2 x2 x+ (2x + 1) (2x − 1) 1 Ln 2 x2 +C 1 +C x +1 x +1 1 1 − − +C x x x +1 Ln z − 1 − 2 1 − +C (z − 1) 2(z − 1)2 3 1 + Ln x + 1 − Ln 2x + 3 + C x +1 2 y2 4 − 2y + + 2Ln y 2 + 2y + C 2 y x3 x2 x 2 (x − 2) + + 4x + Ln 3 2 (x + 2)3 +C (x − 1) + 16 Ln x + 2 + C x2 1 − 2x + Ln 2 6 (x + 1)3 3 3 x−2 + 2Ln +C x−2 x 4x + 3 2(x + 1) 2 32. ∫x dx 1 x−2 + Ln +C x −1 x −1 2 3 18. − 2x − 3 (x + 1)dx 5 28. 3 2 (x + 3) C 1 Ln 8 (x + 5)5(x + 1) 2 Ln 2 4 26. ∫x 16. 2 2 25. 14. 2 + Cos β 1 Ln +C 1 − Cos β 3 Ln (x + 1) (x − 1) − 2 dx 2 2 2 4x3 + 2x2 + 1 (3x +C 2 + et ∫x 3 1 Ln x − 3 + Ln x + 1 + C 4 4 2 +1 4x + 3 3 1 + et x 12. 6 x dx 19. 21. Ln t ∫ Cos Pág. 45 1 5 Ln (x + 5) (x − 1)C 6 − 2 + 2Ln 5x + 12 2 x + 6x + 8 x +C x +1 + 2Ln x+4 +C x+2 5 7 1 z+2 − + Ln +C 16(z + 2) 16(z − 2) 32 z−2 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez 34. 35. ∫ Guia de Cálculo II x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 4x + 17 x 3 + x2 − 5x + 3 Pág. 46 dx − 24x3 + 30x2 + 52x + 17 ∫ 9x 4 3 2 1 2 3 x + 2x − − Ln x 2 + 2x − 3 + C 2 x −1 − 6x − 11x + 4x + 4 − Ln (3x + 2) 2 dx 3 (x − 1)2 − 1 3 − +C 3(3x + 2) x − 1 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores cuadráticos se repite. 4dx Ejemplos Ilustrativos: x 3 + 4x ∫ Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten Ejemplos Ilustrativos: ∫ (2x 3 ) + x + 3 dx (x 2 ) +1 2 EJERCICIOS PROPUESTOS Integral 1. 3. Respuesta dx ∫ 2x 3 +x 2x dx ∫ (x + 1) (x + 1) (2t − 8t − 8) dt ∫ (t − 2) (t + 4) 2 2 2 5. 7. 9. 10. 11. ∫ 2y 3 + y 2 + 2y + 2 y 4 2 + 3y + 2 2x 2 - 3x - 3 ∫ (x − 1) (x 2 − 2x + 5 dz ) dx (x 3 - 6) dx ∫x ∫x 12. ∫x 13. ∫x 4 2 + 6x + 8 +1 ( 3x - 7)dx 3 2 + x + 4x + 4 dx 3 2. ∫ 1 + arcTan x + C x +1 4. ∫z t2 + 4 +C t −2 6. ∫ x(x 8. ∫x Ln y 2 + 2 + arcTan y + C Ln Ln (x 2 (x 2 − 2x + 5 (x − 1) +4 ) x2 + 2 + ) 3 2 + 2 ) + 6 dx 3 x + 3x dz 4 +z ) +1 ) 1 − arcTan z + C z Ln [ x 2 x +1 ( +C )] 1 3 x + Ln x 3 − 1 + C 3 x 5 dx 3 ( Ln x 2 x2 + 3 + C − 2 dx 2 Respuesta −1 1 x −1 arcTan +C 2 2 3 x 3 x arcTan − arcTan C 2 2 2 2 (x + 1) + 1 arcTan 2x − 1 + C 1 Ln 2 6 x -x +1 3 3 2 dx 3 (4x 1 C x2 Ln 2 2 2x + 1 2 Ln 2 Integral 2 +x +x Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Ln (x 2 +4 (x + 1) 2 ) + 1 arcTan x + C 2 2 ⎛ 2x + 1 ⎞ 1 C x2 1 ⎟ Ln 2 − arcTan ⎜⎜ ⎟ 2 x + x +1 3 3 ⎠ ⎝ Prof. Pedro R. Guédez 14. 15. 16. 17. 18. 19. Guia de Cálculo II t 2 + t + 1 dt ( ∫ (2t + 1) (t ∫x 5 3 + 2x + x ( 4 dx Ln 2 +2 ) 2 2 2 dx 2 2 22. ∫x 4 −1 18dz ∫ ) −1 2 x + 2x − 1 3 27x − 1 ∫ (2x − 3) (x 2 +4 ) ∫ 4x 28. ∫ (x 29. ∫ (x 30. 31. ∫ ∫ 3 + 9x dx 2 Ln dx (x − 1)2 x2 + 1 x 2 +C + arcTan x + C ) ) 4x 2 + 9 x− 2 x 2 + 1 2x arcTan +C 6 3 3 x arcTan x + +C 2 2 2(x + 1) 1⎛ 1 ⎞ + arcTan x ⎟ + C ⎜ 2 2 ⎝x +1 ⎠ ) +1 4 2 arcTan x −1 − 2 arcTan x + C x +1 ( ) +1 1 1 1 Ln x 2 + 1 − 2 +C 2 x +1 2 x 4 dx 2 − t2 8 − 4Ln t 2 + 4 − 2 +C 2 t +4 2 x − 18 27. 2 +C ⎛ 2x − 1 ⎞ x −1 10 2x − 1 ⎟− − arcTan ⎜⎜ +C ⎟ x 3 3 3 ⎠ 3(x2 − x + 1) ⎝ Ln ( t dt ∫ (t + 4) (x + 3x) dx ∫ (x + 1) 2 ) +1 1 1 − x2 1 x2 + 4 x Ln + arcTan + C 2 2x − 3 2 dx 3 26. (x − 1) (x 2 + Ln ) 2 x ⎛ 6x + 1 ⎞ 5 2 5 ⎟+C Ln 9x 2 + 3x + 1 − Ln 3x − 1 + arcTan ⎜⎜ ⎟ 162 81 9 3 3 ⎠ ⎝ dx x2 + x − 10 2 ( + Ln x2 + 2 3x 2 − 1 Ln 5 25. x − 2 x +1 + 2 arcTan 1 z ⎛ 2z ⎞ arcTan ⎜ +C ⎟+ 2 6 ⎝ 3 ⎠ 4z + 9 2 4 dx 4 2 ) 1 2x − 1 1 Ln − arcTan 2x + C 8 2x + 1 4 dx +9 ( x + 2 x +1 4(x + 2) 2 2 2 Ln 1 x arcTan x 2 2 2x +1 − 2 2 ∫ (x − 1) (x + 1) dx ∫ (x − x) (x − x + 1) ∫ (4z x +1 2−x dx 2 4x 2 − 8 21. 2 2 +1 ∫ (x C x2 1 x3 + x − 1 ) ) 4 dx ∫x ∫ 16x 24. Pág. 47 1 2 3 Ln t 2 + 1 (2t + 1) + arcTan t + C 10 3 +1 2x 2 − x + 2 20. 23. 2 ) 2 3 5z − z2 + 15z − 10 2 z − 2z + 5 dz (Sec x + 1) Sec x dx 2 2 3 1 + Tan x Ciudad Ojeda Septiembre 2007 5 65 - 47z + 15 ⎛ z -1⎞ Ln z2 − 2z + 5 − arcTan ⎜ +C ⎟+ 2 16 2 8 z2 − 2z + 5 ⎝ ⎠ ( ) ⎛ 2 Tan x − 1 ⎞ 1 2 ⎟+C Ln1 + Tan x + arcTan ⎜⎜ ⎟ 2 3 3 ⎝ ⎠ Prof. Pedro R. Guédez 32. 33. 34. Guia de Cálculo II x2 + x dx ∫x ∫ ( 3 y 5 + 9y 3 − 9y 2 − 9 y 3 + 9y 4x 2 + 2x + 8 ∫ x (x 2 +2 x + 4x ∫ (x 2 +2 ) 3 2 x 2 2x + 4 ) (x2 + 2)2 2z + 3z + 2 2 + 2z + 2) ) + Ln 1 dx 3 ∫ (z + 2)(z ( 4 y3 − Ln y 2 + 9 + C 3 dz dx 2 36. Ln x − 1 + arcTan x + C − x2 + x − 1 5 35. Pág. 48 ) + x2 2 x +2 − 2 x arcTan +C 4 2 1 Ln(x2 + 2) + C 2 2Ln z + 2 − arcTan (z + 1) + C dz Integral Definida Limite superior de Integración Integrando b ∫ Signo de la Integral a f(x) dx Diferencial, x es la variable de integración Limite inferior de Integración Se lee integral de f(x) desde a hasta b Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b denotada por b ∫ a f(x) dx esta dado por: b ∫ f(x) dx= [F(x) + C] = F(b) – F(a) a Propiedades de la integral definida 1) 2) 3) 4) 5) a ∫ f(x) dx = 0 ∫ f(x) dx = −∫ f(x) dx ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx ∫ k dx = k(b − a) ∀ k = cte ∫ [f (x) ± f (x) ± … ± f (x)] dx = ∫ a b a a b b b a a b a b a b 1 2 n Ciudad Ojeda Septiembre 2007 a f1 (x) dx ± b b ∫ f (x) dx ± … ± ∫ f (x) dx a 2 a n Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II 6) b ∫ a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx + ∫ 7) mínf(b − a) ≤ b a Pág. 49 b ∫ f(x) dx c ∀c tq a < c < b f(x) dx ≤ máxf(b − a) siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo de la función f en el intervalo [a,b] b ∫ b) ∫ 8) a) a b a f(x) dx ≥ b ∫ a si f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] g(x) dx f(x) dx ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] si f(x) ≥ 0 Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫ 5 1 ( ) 2 x 2 x 3 + 1 dx 2.- ∫ π 0 (cos x + 4)2 dx EJERCICIOS PROPUESTOS Integral 3 1. ∫ 2. ∫ (2x + 5) dx ∫ (x − 2x + 3) dx 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3 dx 2 1 1 2 0 1 ∫ ∫ −1 (x + 1)2 dx 2 4x + 1 dx 7/3 19. 8/3 20. 0 3 − 2x ∫ 0 8/3 - Ln 3 ∫ ( a − x ) dx ∫ (2Sen x + 3Cos x + 1) dx a 2 π 24. ∫ 1/2 25. (2x + 1) 2/9 26. ∫ (x − 1)(2x + 3) dx -3/2 27. ∫ Ln x dx (Cos x + 4) 33 π 2 28. ∫ 0 29. ∫ a ∫ a Cos x 2 Sen x dx Sen 2x 9. ∫ 10. ∫ 11. ∫ 2 12. ∫ π 13. ∫ 14. ∫ (a x − x ) dx 6 2 Cos 2x 0 dx dx 1 3 −1 2 dx ⎛1 2 ⎞ ⎜ x − 5x + 2 ⎟ dx −1 ⎝ 2 ⎠ 2 2 3 0 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 a2 4 30. a2 0 0 1 x 2dx x +1 dx 0 e 3x π (2 + 2Cos θ)12 dθ 4 0 0 ∫ π π 4 Sec 4 x dx 2 1 1 0 e x dx −a 0 dx a +x 4 1/12 4/3 2 Ln 2 +1 e e-1 a2 − x 2 dx 2 4+π 0,3167 Sen3x Cos3x dx 0 6 5,6094 2 0 2 3 −1 x 3dx x +1 2 2 −1 2 πr 2 1 ∫ 4 a ∫ 23. 0 0 18. 0 Cos x dx 0 8 Respuesta r −x dx ∫ π π 2 22. 0 π 0 ∫ 2 π ∫ r dx 17. 21. ∫ Sen x dx π r 0 13/3 0 ∫ Integral Respuesta 2 πa2 2 π 4a Prof. Pedro R. Guédez 15. 16. Guia de Cálculo II dx x ∫ e ∫ 3 2tdt 2 1 + t2 0 Pág. 50 1 Ln 2 31. 32. 9 dx −1 x2 − 9 1 xe x ∫ ∫ 0 (x + 1) 2 −1 Ln 5 12 1 (e − 2) 2 dx Longitud de Arco de una Curva Plana Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y = f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la fórmula y L = ∫ b a A=(a ,f(a)) • 1 + [f ' (x)] dx 2 B=(b ,f(b)) Y=f(x) • x b Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por: a L = ∫ d c 1 + [f ' (y)] dy 2 Ejemplos Ilustrativos: 1.- Calcular la longitud de área de la curva y = x3 1 en el intervalo [1/2 , 2] + 6 2x Resp. 33/16 u.c. 2.- Calcular la longitud de área de la curva y = Ln(cos x) entre x = 0 y x = π Resp. Ln(√2 + 1) – ln – 1 ≈ 0,8819 u.c. 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6) Resp. 10 u.c. 2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al punto (4 , 0) Resp. 97 u.c. 3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto (3 , 2 3 ) Resp. 14 u.c. 3 4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 2 Resp. 33 u.c. 16 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 51 5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto 3 (27 , 18) Resp. 1 (97 2 − 125) u.c. 27 3 6.- Calcule la longitud de arco de la curva y = 1 (x2 + 2) 2 desde el punto donde x = 0 hasta 3 el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c. 7.- Obtenga la longitud de arco de la curva y = 1 x (3x − 1) desde el punto donde x = 1 hasta 3 el punto donde x = 4 Resp. 22 u.c. 3 2 8.- Hallar la longitud de arco de la curva y 2 3 +x 3 = 1 desde el punto donde x = 1/8 hasta el punto donde x = 1 Resp. 9 u.c. 8 2 ⎛y⎞ 9.- Hallar la longitud de arco de la curva ⎜ ⎟ ⎝ a⎠ 3 2 ⎛x⎞ +⎜ ⎟ ⎝b⎠ 3 = 1 en el primer cuadrante desde el 3 8a3 − (a2 + 3b2 ) punto donde x= 1 a hasta el punto donde x= a Resp. 2 8 2 8(a − b ) 2 u.c. 10.- Hallar la longitud de arco de la curva 9y2 = x(x − 3)2 en el primer cuadrante desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. 2 3 − 4 u.c. 3 2 2 2 ⎛y⎞ 3 ⎛x⎞ 3 Resp. 6a u.c. 11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = a 3 ⎝b⎠ ⎝ a⎠ 12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8 Resp. 1 + 1 Ln 3 u.c. 2 2 13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , x = π 4 Resp. Ln ⎛⎜ Tan 3π ⎞⎟ u.c. 8 ⎠ ⎝ 3 14.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x ( 2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8) ) Resp. 8 10 10 − 1 u.c. 27 15.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x3 1 desde el punto donde x = 1 hasta el + 3 4x punto donde x = 3 Resp. 53 u.c. 6 16.- Hallar la longitud de arco de la curva x = y4 1 + 4 8y 2 desde el punto donde y = 1 hasta el punto donde y = 2 Resp. 123 u.c. 32 17.- Hallar la longitud de arco de la curva (y + 1)2 = 4x3 desde el punto donde x = 0 hasta el ( ) punto donde x = 1 Resp. 4 10 10 − 1 u.c. 27 18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4) Resp. 9,07 u.c. 19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 52 ordenada x = 5a Resp. 335a u.c. 27 20.- Calcular la longitud de arco de la curva y = x3 1 desde el punto de abscisa x = 1 + 6 2x hasta el punto de abscisa x = 3 Resp. 14 u.c. 3 21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del lado recto. Resp. p 2 + p Ln (1 + 2 ) u.c. 2 2 22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 5/9 Resp. 19 u.c. 27 23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3) Resp. 4,98 u.c. 24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto ⎛π ⎞ ⎜ , Ln2 ⎟ Resp. Ln (2 + 3 ) u.c. ⎝3 ⎠ 25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c. 26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x Resp. 9,29 u.c. 3 27.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x ( 2 desde el punto donde x = -1 hasta el punto ) donde x = 8 Resp. 1 13 13 + 80 10 − 16 u.c. ≈ 10,5 u.c. 27 28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 π r u.c. 2 29.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x Resp. 1 ⎛ ⎜ 40 27 ⎝ 3 2 3 − 13 2⎞ ⎟ ⎠ 3 desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4) u.c. ≈ 7,6 u.c. 3 1 30.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 1 x 2 − x 2 desde el punto donde x = 1 hasta el 3 punto donde x = 9 Resp. 53 u.c. 6 3 31.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 2 + 1 en el intervalo [0,1] 2 32.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x5 1 en el intervalo [1,2] + 10 6x 3 33.- Hallar la longitud de arco de la curva y = ex + e − x 2 en el intervalo [0,2] 3 34.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 2 + 1 en el intervalo [1,8] 2 3 32 35.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x − 1 en el intervalo [0,4] 2 36.- Hallar la longitud de arco de la curva x = y4 1 en el intervalo [1,2] + 4 2y 4 2 37.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 3 − 38 x 3 desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 8 Ciudad Ojeda Septiembre 2007 4 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 53 38.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 1 x3 + x2 + x + 1 desde el punto donde x = 0 3 4x + 4 hasta el punto donde x = 2 Área bajo una curva Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales Entonces la medida del área de la región R está dado por: y Y=f(x) (x ,f(x)) A= x = a , x = b. 2 b ∫ f(x) dx a R a x b dx Ejemplos Ilustrativos: 1.- Hallar el área acotada por la parábola y – 1 = x2 y la recta x = 3 2.- Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9 Resp. 9 π u2.c. 3.- Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 5 Resp. 60 u2.c. Área entre dos curvas Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b] entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta dada por: A = b ∫ [f(x) − g(x)] dx y a (x ,f(x)) Y=f(x) 2 f(x)-g(x) Y=g(x) R f(x) g(x) a 2 dx (x ,g(x)) x b Ejemplos Ilustrativos: En los siguientes ejercicios calcular el área de la región acotada por las curvas dadas: 1.- y = 3 – x2 ; y = x+1 Resp. 9/2 u2.c. 2.- y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la recta x= -3 Resp. 38/3 u2.c. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 54 Área de una Región en Coordenadas Cartesianas EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas Curvas Curvas Resp. Resp. x 2 − y + 1 = 0; 1. y = 4 - x2 ; eje x 32 2 u c 2 2. 3. y = x3 ; x = 0; x = 4 64 u2c 4. 19 y = 3x + 1 ; y = x + 1 5. y = 4 - x 2 ; x = 1; x = 3 22 2 u c 3 6. x3 = 2y2 ; x = 0; y = -2 7. y = 9 - x 2 ; x = 0; x = 3 18 u2c 8. 21 y 2 = x ; x = y + 2 9. y = x 2 + x + 1; eje x; x = 2; x = 3 11. y = x3 + 3x 2 + 2x; eje x; x = −3; x = 3 13. y = x2 + x - 12; eje x 15. xy = k 2 ; eje x; x = a; x = b 9 5 u2c 6 54 u2c x − y +1 = 0 10. y = 2 - x 2 ; y = -x 12. 23 y 2 = x ; x = y + 2 343 2 u c 6 b k 2 Ln u2c a 14. y 2 = x - 1; x = 3 16. y = 3 - x 2 ; y = x + 1 17. y = Sen x ; eje x; x = π 3 ; x = 2π 3 1 u2c 18. y = x ; y = x 3 19. y = x2 − 4x; y = 0 32 2 u c 2 20. x 2 + y + 4 = 0; y = -8 1 2 u c 6 3 2 u c 2 12 2 u c 5 9 2 u c 2 9 2 u c 2 6 u2c 8 3 u2c 3 9 2 u c 2 5 2 u c 12 32 2 u c 3 27 2 uc 10 21. y = x 2 + 2x + 1; y = 3x + 3 9 2 u c 2 22. y 3 = x 2 ; x - 3y + 4 = 0 23. y = x ; y = x 2 - 1; x = −1; x = 1 7 2 u c 3 24. 32 2 u c 3 26. x = y2 - 2 ; x = 6 - y2 64 2 uc 3 28. y = x; y = 2 − x; y = 0 1 u2c 2 25. x = - y; y = -4 27. y = Cos x - Sen x ; x = 0; y = 0 29. y = 2x 3 - 3x 2 - 9x; 3 2 y = x − 2x − 3x ( 2 − 1)u c 2 253 2 uc 12 y = x 3 + 3x 2 + 2x; 2 y = 2x + 4x 37 2 uc 12 30. Sólidos de Revolución Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el plano llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un punto Ejemplos: 1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre si mismo se genera una esfera (Fig. No. 1). Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 55 2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se genera un cono recto circular (Fig. No.2). Fig. No.1 Fig. No.2 Volumen de un sólido de Revolución. Método del Disco Este método se usa cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se hace girar y el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de revolución. Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b]. Si denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a ∧ x=b y si el volumen del solido de revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces: Eje de Revolución Horizontal y ∫ V = π [f(x)]2 dx Y=f(x) Y=f(x)=r Eje de Revolución Vertical ∫ x Eje de revolución 2 V = π [f(y)] dy x=a dx x=b dx 1.- Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2 Sol. V=128π /7 U3C 2.- Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura h y base b. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 56 3.- Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x Sol. V=π2 /2 U3C EJERCICIOS PROPUESTOS En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es girada sobre el eje dado. Sol. 64π U3 C. 1.- La región R1 girada alrededor del eje X 2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C. 3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C. 4.- La región R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 π/7 U3 C. 5.- La región R2 girada alrededor del eje X Sol. 192 π U3 C. 6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C. 7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C. 8.- La región R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 π/7 U3 C. y 2 = x3 A (4 , 8) (0 , 8)C R2 R1 O (4 , 0) B En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje X la superficie limitada por las curvas dadas. 9.- x 3 = y; y = 0; x = 2 Sol. 128π/7 10.- ay2 = x3; y = 0; x = a Sol. 1 πa3 4 11.- Una arcada de y = Cos(2x) Sol. 1 π 2 4 12.- y = e-x ; y = 0 ; x = 0; x = 5 Sol. 1 π (1 − e −10 ) 13.- 9x2 + 16 y2 = 144 Sol. 48π 2 14.- y = xex ; y = 0 ; x = 1 Sol. 1 π (e2 − 1) 4 En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas. 15.- x3 = y; y = 0; x = 2 Sol. 64π/5 16.- 2y2 = x3; y = 0; x = 2 Sol. 32 π 7 17.- y = ex ; y = 0 ; x = 0 Sol.2 π 18.- 9x2 + 16 y2 = 144 Sol. 64π Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por: Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez Guia de Cálculo II Pág. 57 Bibliografía ¾ Louis Leithold, El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Harla, México 1986 ¾ Rolan E. Larson Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México 1999 ¾ Thomas / Finney, Cálculo de una variable, Paerson Educación, México 1998 ¾ Robert T. Smith y Roland B. Minton Cálculo Volumen I Mc Graw Hill, España 2002 ¾ N Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Limusa, México 2001 ¾ William Anthony Granville, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Uteha, México 1952 ¾ Dennis Zill. C. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. ¾ Ayres, Frank Y Elliot Mendelson. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill ¾ Swokowski, Eral. W. Cálculo Con Geometría Analítica Editorial Iberoamericana ¾ Purcell , Edwin y VARBERG, Dale. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. ¾ Michael Spivak. 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