Guía de Cálculo II - Universidad Alonso de Ojeda

Guia de Cálculo II
Pág. 1
UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”
FACULTAD DE INGENIERIA
CIUDAD OJEDA - ZULIA
Guia de Cálculo II
EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR
∫
b
a
(Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
CONTENIDO
Pág. 2
Antiderivada .................................................................................................................5
Tabla de Integrales........................................................................................................5
Tabla de Derivadas ........................................................................................................6
Tabla de Identidades Trigonométricas ..............................................................................6
Integrales Inmediatas ....................................................................................................7
Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9
Técnicas De Integración ............................................................................................... 10
Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable .............................................. 10
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 16
Integración por partes.................................................................................................. 17
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 22
Integración de Potencias del Seno y el Coseno................................................................. 23
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 29
Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante......................... 30
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 37
Integración Por Sustitución Trigonométrica ..................................................................... 38
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 41
Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)...................................... 42
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 42
Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) .......................................................... 44
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 44
Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) ....................................................... 46
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 46
Integral Definida ......................................................................................................... 48
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 49
Longitud de Arco de una Curva Plana ............................................................................. 50
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 50
Área bajo una curva..................................................................................................... 53
Área entre dos curvas .................................................................................................. 53
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 54
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Pág. 3
¿Por qué la resolución de problemas?
El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de
problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y
dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o
acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez
mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio
de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización hacia un
mundo cada vez mas humano y perfecto.
La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del
Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como
fundamentales en todo el curso de esta cátedra.
Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel
universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas
Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma
es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e
integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.
Los propósitos de la esta guía se centran en:
¾
Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de
problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular
y controlar sus pensamientos y acciones.
¾
Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos,
habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y
humanística.
¾
Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto
aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación
de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y
generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas
globalizado.
¾
Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen
el aprendizaje efectivo de la Matemática.
Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te
aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.
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Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en
su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e
interesante.
La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al
afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las
asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada
cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por
objetivos y/o contenidos.
Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma
determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos
matemáticos fundamentales.
Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de
realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a
través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino
de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.
Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de
la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los
estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a
engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que
enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.
Pedro R. Guédez L
Prof. de Matemática
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Pág. 5
Antiderivada
Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un
intervalo I, si F’(x) = f(x), ∀ valor de x en el intervalo I Ejm.
F(x) = 4x3 + x2 + 5 ⇒ f’(x) = 12x2 + 2x
G(x) = 4x3 + x2 - 8 ⇒ g’(x) = 12x2 + 2x
A(x) = 4x3 + x2 + C ⇒ h’(x) = 12x2 + 2x
Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) ∀ x ∈ I entonces ∃ C tq F(X) =
G(X) + C ∀ x ∈ I
Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las
antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se
escribe:
∫ F(x) dx = F(x) + C
Dos propiedades básicas de la antidiferenciación.
1.2.-
∫ af(x) dx = a∫ f(x) dx
∫ [f (x) + f (x) + … + f
1
2
n
(x)] dx =
∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + … + ∫ f (x) dx
1
2
n
Tabla de Integrales
1.
3.
5.
∫ u dv = uv − ∫ vdu ; Integración por Partes
∫ du = u + C
∫ kdu = ku + C Donde k es una constante
un + 1
7.
∫ u du = n + 1 + C ;
9.
∫
11.
n
para n ≠ -1
du
= Ln u + C
u
∫ e du = e
u
u
+C
2.
4.
6.
8.
10.
2
2
∫u
∫a
14.
∫
15.
∫
16.
∫u
17.
∫ Cos (u)du = Sen (u) + C
18.
∫a
19.
∫ Tan (u) du = Ln Sec (u) + C
20.
∫
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−a
−u
2
=
1
u−a
Ln
+ C ; ( u2 > a2 )
2a
u+a
=
1
u+a
Ln
+ C ; ( a2 > u2 )
2a
u−a
du
∫ a du = Ln a + C ; donde a>0 y a ≠ 1
Sen (u)du = − Cos (u) + C
2
du
2
13.
u
du
2
11.
u
a
∫ Sec (u)du = Tan (u) + C
∫ Csc (u)du = − Cot (u) + C
∫ Sec (u)Tan (u)du = Sec (u) + C
∫ Csc (u) Cot (u) du = − Csc (u) + C
a2 − u2
du
⎛u⎞
= arcSen ⎜ ⎟ + C ; donde a>0
⎝ a⎠
u2 − a2
du
2
=
2
+u
du
2
2
u ±a
=
1
⎛u⎞
arcSec ⎜ ⎟ + C ; donde a>0
a
⎝ a⎠
1
⎛u⎞
arcTan ⎜ ⎟ + C
a
⎝ a⎠
= Ln u + u2 ± a2 + C
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21.
23.
25.
26.
27.
Pág. 6
∫ Cot (u) du = Ln Sen (u) + C
∫ Sec (u) du = Ln Sec (u) + Tan (u) + C
∫ Csc (u) du = Ln Csc (u) − Cot (u) + C
22.
24.
∫
a2 − u2 du =
u 2
a2
⎛u⎞
a − u2 +
arcSen ⎜ ⎟ + C
2
2
⎝ a⎠
∫
u2 ± a2 du =
u 2
a2
u ± a2 ±
Ln u + u2 ± a2 + C
2
2
∫ Tan (u)du = Tan (u) − u + C
∫ Cot (u)du = −(Cot (u) + u) + C
2
2
Tabla de Derivadas
1. Dx (un ) = nun −1Dxu
2. Dx (Sen u) = Cos u Dxu
3. Dx (arcSen u) =
4. Dx (u + v) = Dxu + Dx v
5. Dx (Cos u) = - Sen u Dxu
6. Dx (arcCos u) =
7. Dx (uv) = uD x v + vDxu
8. Dx (Tan u) = Sec2u Dxu
9. Dx (arcTan u) =
vDxu − uD x v
u
10. Dx ( ) =
v
v2
11. Dx (Cot u) = −Csc2u Dxu
12. Dx (arcCot u) =
13. Dx (eu ) = euDxu
14. Dx (Csc u) = −Csc u Cot Dxu
15. Dx (arcSec u) =
16. Dx (au ) = au Ln(a) Dxu
17. Dx (Sec u) = Sec u Tan u Dxu
18. Dx (arcCsc u) =
19. DxLn(u) =
Dxu
1 − u2
- Dxu
1 − u2
D xu
1 + u2
- Dxu
1 + u2
Dxu
u u2 − 1
- Dxu
u u2 − 1
Dxu
u
Tabla de Identidades Trigonométricas
1. Cos 2 (x) + Sen2 (x) = 1
2. Cos (2x) = Cos 2 (x) − Sen2 (x)
3. Sec 2 (x) = 1 + Tan2 (x)
4. Sen (−x) = −Sen (x) Cos (−x) = Cos (x)
5. Csc 2(x) = 1 + Cot 2 (x)
6. Tan (−x) = − Tan (x) Cot (−x) = −Cot (x)
7. Sen (x)Csc (x) = 1
8. Sec (−x) = −Sec (x) Csc (−x) = −Csc (x)
9. Cos (x)Sec (x) = 1
10. Sen (θ) =
co
h
Csc (θ) =
h
co
11. Tan (x)Cot (x) = 1
12. Cos (θ) =
ca
h
Sec (θ) =
h
ca
Sen (x)
13. Tan (x) =
Cos (x)
co
14. Tan (θ) =
ca
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ca
Cot (θ) =
co
h
co
θ
ca
h = Hipotenusa
co = Cateto Opuesto
ca = Cateto Adyacente
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Cos (x)
15. Cot (x) =
Sen (x)
17. Sen2 (x) =
1
[ 1 − Cos (2x)
2
]
19. Cos 2 (x) =
1
[ 1 + Cos (2x)
2
]
Pág. 7
1
16. Sen (mx ) Sen (nx ) = [Cos (m − n) x − Cos (m + n) x ]
2
1
Cos (mx ) Cos (nx ) = [Cos (m + n) x + Cos (m − n) x ]
18.
2
1
[Sen (m + n) x + Sen (m − n) x]
2
1
22. Cos (mx ) Sen (nx ) = [Sen (m + n) x − Sen (m − n) x ]
2
20. Sen (mx ) Cos (nx ) =
21. Sen (2x) = 2Sen (x)Cos (x)
Integrales Inmediatas
Ejemplos Ilustrativos
∫ 3x
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular
∫ 3x
4
dx
∫
=
x 4 +1
+C
4+1
3 5
x +C
5
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 2
1
3
dx
dx
= 3 x 4 dx
= 3⋅
∫x
4
=
∫x
=
x − 3 +1
+C
−3+1
−3
1
∫x
3
dx
dx
x −2
+C
−2
−1
=
+C
2x 2
=
∫
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 22x 3
∫ 22x
3 3
x 2 dx
3
x 2 dx
2
= 22∫ x3 ⋅ x 3 dx
11
= 22∫ x
3
11
dx
+1
22 ⋅ x 3
=
+C
11
+1
3
14
=
22 ⋅ x
14
3
3
+C
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66 14 3
=
⋅x
+C
14
33 14 3
=
⋅x
+C
7
Pág. 8
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula
∫ 2x
2
∫ 2x
2
(2 + 3x 2 − 8x 3 )dx
∫ (4x + 6x − 16x )dx
= 4∫ x dx + 6 ∫ x dx − 16 ∫ x
(2 + 3x 2 − 8x 3 )dx
2
=
4
5
2
4
4 ⋅ x2 +1
2+1
4
= ⋅ x3 +
3
4
= ⋅ x3 +
3
=
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula
∫
(y 4 + 2y 2 − 1)
y
dy
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
dx
6 ⋅ x 4 + 1 16 ⋅ x 5 + 1
−
+C
4+1
5+1
16
⋅ x5 −
⋅ x6 + C
6
8
⋅ x5 − ⋅ x 6 + C
3
+
6
5
6
5
∫
5
(y 4 + 2y 2 − 1)
y
dy
⎞
⎛ 4
2y 2
1 ⎟
⎜ y
+
−
dy
⎜ 1
1
1 ⎟
⎜y 2
⎟
2
2
y
y ⎠
⎝
−1 ⎞
⎛ 4 −1 / 2
+ 2y 2 − 1 / 2 − y 2 ⎟dy
⎜y
⎝
⎠
3
−
7
1
⎞
⎛ 2
⎜ y + 2y 2 − y 2 ⎟dy
⎠
⎝
y
7
7
2 dy
∫
+2 y
3
+1
3
2 dy
−
∫
−1
+1
y
−1
2 dy
+1
y2
2 ⋅ y2
y2
=
+
−
+C
−1
3
7
+1
+1
+1
2
2
2
9
5
1
y 2 2y 2
y 2
=
+
−
+C
9
5
1
2
2
2
9
=
2y 2 2 ⋅ 2y
+
9
5
9
5
2
1
−
2y 2
+C
1
5
1
2y 2
4y 2
=
+
− 2y 2 + C
9
5
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula
∫ [3Sen(t) - 2Cos(t)] dt
∫
∫ ⎣⎡3Sen(t) - 2Cos(t) ⎦⎤ dt
∫
= 3 Sen(t)dt - 2 Cos(t) dt
= −3 cos(t) − 2sen(t) + C
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∫ [Csc (θ ) Cot(θ ) + 2Sec (θ )]dθ
= ∫ Csc (θ ) Cot(θ )dθ + 2∫ Sec (θ )dθ
2
Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula
∫ [Csc (θ ) Cot(θ ) + 2Sec
2
]
(θ ) dθ
2
= −Csc (θ ) + 2Tan(θ )
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula
⎡
⎤
3
∫ ⎢⎣ Cot (x) + 3 Cot(x)⎥⎦dx
⎡
⎤
3
∫ ⎢⎣ Cot (x) + 3 Cot(x)⎥⎦dx
∫ [3Tan(x) + 3 Cot(x)]dx
= 3∫ Tan(x) dx + 3∫ Cot(x) dx
=
= 3Ln sec(x) + 3Ln sen(x) + C
(
)
= 3(Ln sec(x) ⋅ sen(x) )
= 3 Ln sec(x) + Ln sen(x)
Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula
⎛
3
∫ ⎜⎝ Cos (x) − 2 e
x
2
⎛
3
∫ ⎜⎝ Cos (x) − 2 e
2
x
⎞
+ 4x ⎟ dx
⎠
∫ (3Sec (x) − 2 e + 4 ) dx
= 3∫ Sec (x)dx − 2∫ e dx + ∫ 4
⎞
+ 4x ⎟ dx
⎠
2
=
x
x
2
= 3Tan(x) − 2ex +
x
x
dx
x
4
+C
Ln4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Integral
Respuesta
∫
x3 + C
3x2dx
1
3.
∫X
5.
∫
7.
∫ 3x
9.
∫
11.
3
x
2
15.
∫
3dx
x
− 3y
−1
4 ⎞dy
⎟
⎠
4x2 − 2 x
dx
X
ax dx
Respuesta
∫
⎛ 32
⎞
⎜ x + 5 x − 3 ⎟dx
⎝
⎠
2 52 10 32
x +
x − 3x + C
5
3
4.
∫
7ydy
7y
+C
Ln 7
6.
∫ y (2y
8.
∫ (2Cot(φ) − 3Tan (φ)) dφ
2.
3
2
)
− 3 dy
dx
x + C
10.
∫ Sen (x)
3
5 3
y − 4y 4 + C
3
12.
∫ Cos (u)
2x2 − 4 x + C
14.
∫
Sen (t)dt
Cos (t)
2x ax
+C
3
16.
∫
x(2x + 1) dx
2
2
1 −2
x +C
2
3 23
x +C
2
9 53
x +C
5
dx
⎛
∫
−
dx
3
∫ ⎜⎝5y
13.
dx
Integral
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1 6 3 4
y + y +C
3
4
Ln Sen2 (φ)Cos3(φ) + C
−Cot (x) + C
2
du
Ln Sec (u) + Tan(u) + C
2
Ln Sec (t) + C
x4 +
4 3 x2
1
x +
−
+C
3
2
48
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17.
∫
19.
∫
21.
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⎛ x2
2 ⎞
x3 2
⎜
− 2 ⎟dx
+
+C
⎜ 2
X ⎟⎠
6
X
⎝
Pág. 10
3
x − 6x + 5
dx
X
18.
∫
Ln t + C
20.
∫ Sec (θ) Cos (θ)dθ
∫ e dy
ey + C
22.
∫ ⎜⎝ x
23.
∫ 3x dx
3 5
x +C
5
24.
∫ (3 − 2t + t
25.
∫
5u 2du
+C
26.
∫
x (x + 1)dx
27.
∫
10 x2 dx
6x
+C
28.
∫
29.
∫
6x2 3 xdx
9 10 3
x
+C
5
30.
∫
⎛ 32
⎞
⎜ u − u ⎟du
⎝
⎠
⎛3
1 ⎞
⎟dx
⎜ x+
⎟
⎜
3
x⎠
⎝
31.
∫ e
∫ (4x
ex + C
32.
∫ (4x
33.
34.
35.
36.
37.
dt
t
y
4
3
5
2u
3
3
2x 6
3
e2x dx
2
5
3
)
− 6x2 − 4x + 5 dx
x2 + 4x − 4
⎛ 2
3
3
+
3
X
⎞
+ 5 ⎟dx
⎠
2
2
) dt
)
+ x 2 dx
x
− 6x + 5Ln x + C
3
Tan (θ ) + C
−
1
x
2
−
3
+ 5x + C
x
3t − t2 +
1 3
t +C
3
2 52 2 32
x + x +C
3
5
2 52 1 2
u − u +C
5
2
3 43 3 23
x + x +C
4
2
x4 +
1 3
x +C
3
x 4 − 2x3 − 2x2 + 5x + C
1
2 52 8 32
x + x − 8x 2 + C
5
3
∫
x
∫ [3Sen (t ) − 2Cos (t )] dt
∫ (2Cot (θ) − 3Tan (θ))dθ
∫ (3Csc (t ) − 5Sec (t )Tan (t)) dt
2
3
3
dx
− 3Cos (t) − 2Sen (t) + C
2
−2Cot (θ) − 3Tan (θ) + θ + C
− (3Cot (t) + 5Sec (t)) + C
2
Técnicas De Integración.
Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular
∫
31
− 4y dy
=
∫ (1 − 4y)
1
3
∫
31
− 4y dy
dy (A)
Cambio de variable
du
−4
Sustituyendo u y dy en (A) tenemos
1
du
= ∫u 3 ⋅
−4
1
1
=
u 3 du
−4 ∫
Sea 1-4y=u ⇒ -4dy = du ⇒ dy =
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4
Pág. 11
1 u
+C
−4 4
3
−3 4 3
=
u +C
16
=
3
Volviendo a la variable original “y”
Quitando el cambio de variable
−3
(1 − 4y )43 + C
=
16
−33
(1 − 4y )4 + C
=
16
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 2
∫x
2
(x 3 - 1)10 dx
∫
=
∫x
2
(x 3 - 1)10 dx
(x 3 - 1)10 x 2 dx (1)
Cambio de variable
Sea x 3 - 1 = v ⇒ 3x2dx = dv ⇒ x 2 dx =
dv
3
Sustituyendo v y dv en (1) se tiene
∫v
=
10
dv
3
v 11
+C
11
Quitando el cambio de variable
v 11
=
+C
11
=
(x 3 − 1)11
+C
11
=
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 3
∫
s
3s 2 + 1
ds
=
∫
(3s
sds
2
)
+1
1
∫
s
2
3s + 1
ds
2
Haciendo 3s2+1 = x ⇒ 6sds = dx ⇒ sds =
=
=
∫
1
6
dx
6
dx
6
x
1
∫
2
dx
x
1
2
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−1
1
= ∫ x 2 dx
6
Pág. 12
1
− +1
1 x 2
= ⋅
+C
1
6
− +1
2
1
1 x 2
= ⋅
+C
6 1
2
1 12
= x +C
3
Volviendo a la variable original
1
1
=
3s 2 + 1 2 + C
3
1
=
3s 2 + 1 + C
3
(
)
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 4
∫ Cos (4θ ) dθ
=
∫ Cos (4θ ) dθ
∫ Cos(4θ ) dθ
Hacemos 4 θ =t ⇒ 4dθ = dt ⇒ dθ =
=
dt
4
dt
∫ Cos(t) 4
1
Cos(t) dt
4
1
= Sen(t) + C
4
=
∫
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 5
4Sen (x)
∫ (1 + Cos(x))
2
dx
=4
4Sen (x)
∫ (1 + Cos(x))
2
dx
Sen (x) dx
∫ (1 + Cos(x))
2
Hacemos 1+Cos(x) = u ⇒ Sen(x) dx = du
du
=4 2
u
∫
= 4∫ u
−2
du
u −1
+C
−1
−4
=
+C
u
−4
=
+C
1 + Cos(x)
= 4⋅
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Pág. 13
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 6
∫ (Tan( 2x)
+ Cot (2x))2 dx
Desarrollando el producto notable (Tan( 2x) + Cot (2x))2 se tiene
= Tan2 (2x) + 2Tan(2x) ⋅ Cot(2x) + Cot 2 (2x)
(Tan( 2x) + Cot (2x))2
= Tan2 (2x) + 2 ⋅ 1 + Cot 2 (2x)
= Sec 2 (2x) - 1 + 2 + Csc 2 (2x) - 1
= Sec 2 (2x) + Csc 2 (2x) - 2 + 2
= Sec 2 (2x) + Csc 2 (2x)
Asi la integral original se transforma en
∫ (Tan( 2x)
∫
+ Cot (2x))2 dx
= (Sec2( 2x) + Csc2 (2x)) dx
Si cambiamos 2x por θ se tiene
dθ
2x = θ ⇒ 2dx = dθ ⇒ dx =
2
d
θ
= (Sec2(θ ) + Csc2 (θ ))
∫
2
[∫
]
1
(Sec 2 (θ )dθ + Csc 2 (θ )) dθ
2
1
= (Tan(θ ) − Cot(θ )) + C
2
Quitando el cambio se tiene finalmente
1
(Tan(2x) − Cot(2x)) + C
2
=
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 7
Cambio de variable:
Sea ex +Cos (x) = r ⇒
x
e -Sen(x)
dx
x
+Cos(x)
∫e
=
∫
∫
ex -Sen(x)
dx
x
+Cos(x)
∫e
( e -Sen(x)) dx = dr
x
que al sustituir en la integral original se obtiene:
dr
= Ln r + C = Ln ex +Cos(x) + C
r
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 8
∫
x ⋅ Ln(x2 +1)
dx
x2 +1
Cambio de variable:
Sea
2x
x
dv
dx = dv ⇒ 2
dx =
2
2
x +1
x +1
Ln(x2 +1) = v ⇒
sustituyendo
en
la
integral
original se obtiene:
∫
x ⋅ Ln(x2 +1)
dx
x2 +1
=
∫ Ln(x
=
∫v⋅
2
+1) ⋅
x
dx
x +1
2
dv
2
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1
= ∫ v ⋅ dv
2
1 v2
= ⋅
+C
2 2
=
1
⋅ x2 +1
4
(
)
2
Pág. 14
+C
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 8
∫
earcSen(x) +x
dx
1-x2
La integral original se puede expresar como sigue:
earcSen(x) +x
⎛ earcSen(x)
x ⎞
+
⎟⎟ dx
∫ 1-x2 dx = ∫ ⎜⎜
2
1-x2 ⎠
⎝ 1-x
earcSen(x)
x
dx + ∫
dx
= ∫
2
2
1-x
1-x
I1
I2
Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene:
earcSen(x)
I1 = ∫
dx para I1 el cambio de variable será:
1-x2
dx
= du , por lo cual
arcSen(x) = u ⇒
1 − x2
earcSen(x)
I1 = ∫
dx
1-x2
dx
I1 = ∫ earcSen(x) ⋅
1-x2
I1 =
∫e
u
⋅ du
I1 = eu + C1
I1 = earcSen(x) + C1
I2 =
x
∫
1-x2
dx para I2 el cambio de variable será:
1-x2 = v ⇒ -2xdx = dv ⇒ xdx=
x
I2 =
∫
I2 =
∫
I2 =
∫
I2 =
1
−2
1-x2
1
dv
, asi tenemos que
−2
dx
⋅ xdx
1-x2
1 dv
⋅
v −2
∫
1
v
1
⋅ dv
2
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-1
1
I2 =
v 2 ⋅ dv
∫
−2
Pág. 15
1
I2 =
1 v2
+ C2
−2 1
2
I2 = −v
1
2
+ C2
I2 = − v + C2
I2 = − 1-x2 + C2
La integral original es la suma de I1 e I2:
∫
earcSen(x) +x
1-x2
dx = I1 + I2
= earcSen(x) + C1 − 1-x2 + C2
= earcSen(x) − 1-x2 + C1 + C2
= earcSen(x) − 1-x2 + C
∫ x (2 − x )
3
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 9
2
12
dx
La integral original se puede expresar como sigue:
∫ x (2 − x )
3
2
12
dx
=
∫ x (2 − x )
2
2
12
xdx
Haciendo el cambio de variable:
1
2-x2 =u ⇒ -2xdx=du ⇒ xdx=- du
2
Como 2-x2 =u ⇒ x2 =2-u
que al sustituir en la integral original se obtiene:
1
= − ∫ (2 − u) u12 du
2
1
= − ∫ 2u12 − u13 du
2
13
1
= − ⎡2∫ u12 du − ∫ u du⎤
⎢
⎥⎦
2⎣
1 ⎡ 2 13
1 14 ⎤
u −
u ⎥+C
=− ⎢
2 ⎣13
14
⎦
(
)
1 1 13
u (28 − 13u) + C
⋅
2 182
13
1
2-x2
28 − 13(2-x2 ) + C
=−
364
13
1
=−
2-x2
28 − 26 + 13x2 + C
364
13
1
=−
2-x2
2 + 13x2 + C
364
=−
(
) (
(
) (
(
) (
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)
)
)
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Pág. 16
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Integral
Respuesta
∫
−
1 − 4y dy
Integral
1
(1 − 4y )32 + C
6
2.
e 2x
∫3+e
2x
Respuesta
1
Ln 3 + e2x + C
2
dx
4
3.
∫
3
6 − 2x dx
−
∫x
7.
∫ 3x 4 − x dx
∫ x(2x + 1) dx
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
x2 − 9 dx
2
∫ (x
xdx
2
)
+1
∫ 5x (9 − 4x )
∫ (x − 4x + 4)
2 2
4
2
∫x
4
dx
3
3x 5 − 5 dx
y 3dy
∫ (1 − 2y )
2xdx
∫ 1−x
∫
3x − 4 dx
1+
(6x
∫ (x
1 dx
3x x 2
)
2
2
)
3
+ 2x + 1
3
+3
∫ (x
)
30.
∫ (1 − r )
31.
∫ (3 − y)
32.
∫
1
4 x5
2rdr
7
(y + 3) dy
2
tdt
t+3
3
6.
(
)
2
+C
8.
dx
3
dx
∫
5
3 ⎛ 13
⎞
⎜r + 2 ⎟ + C
5⎝
⎠
3 2
r
⎛x⎞
- 3Cos ⎜ ⎟ + C
⎝3⎠
1
∫ Sen(3 x) dx
∫ 6x Sen(x ) dx
1
∫ 2 tCos(4t ) dt
- 2Cos (x 3 ) + C
12.
∫ r Sec (r
1
Tan r 3 + C
3
14.
∫ Csc
16.
∫ Sen(2x)
18.
∫e
20.
∫ yCsc (3y ) Cot (3y )dy
-
arcSen (x 2 ) + C
22.
∫ Cos(x) (2 + Sen(x))
1
[2 + Sen (x)]6 + C
6
1
(3x − 4)43 + C
4
24.
∫ Cos
26.
∫ (1 + Cos (x))
28.
∫
(
3
)
7
1
2x2 + 1
28
−1
+C
2
4 x2 + 1
5
3
− 9 − 4x2 3 + C
8
3
(x − 2)113 + C
11
3
2
3x5 − 5 + C
45
1
)
(
(
−
)
)
4 4
(x
3
2
+C
1
3
(
10.
)
1 ⎞
⎛
− 2 ⎜1 +
⎟
3
x⎠
⎝
+ 8x dx
29.
+C
3
32 1 − 2y
4
3
2
(
4 5
∫
)
(
3
3
(
− 4 − x2
6
2
4.
1 2
x −9
3
5.
9.
3
(6 − 2x )43 + C
8
⎛ 13
⎞
⎜ r + 2 ⎟ dr
⎝
⎠
2
)
+ 2x + 1
) (
2
+C
2
3
( )
1
Sen 4t 2 + C
16
2
2
2
2
3
( )
) dr
(2θ) dθ
Sen (x)
-
2 − Cos (2x) dx
Cos (x) dx
2
2
dx
dx
2
(x) 9 − Tan (x)
4Sen(x) dx
2
Cos 1 + x
1+ x
dx
1
[2 − Cos (2x)]32 + C
3
eSen (x) + C
5
2
1
Cot(2θ) + C
2
( )
1
Csc 3y 2 + C
6
⎛ Tan (x) ⎞
arcSen⎜
⎟+C
3
⎝
⎠
4
+C
1 + Cos (x)
2sen 1 + x + C
)
5
4
x3 + 3 4 5x3 − 12 + C
135
6
(6r − 1)(1 − r )−6 + C
15
−
3
(y + 21)(3 − y )13 + C
4
2
(t − 6)(t + 3)12 + C
3
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33.
∫
34.
∫ x (2 − x )
3 − 2x x dx
3
2 12
(
Pág. 17
)
3
1
−
5x 2 + 6x + 6 (3 − 2x ) 2 + C
35
13
−1
13x2 + 2 2 − x 2
+C
364
2
(
dx
)(
)
Integración por partes.
Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la
integración de :
a) Diferenciales que contienen productos.
b) Diferenciales que contienen logaritmos
c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas
Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la
cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos
de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar.
Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo
general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra
recomendación es la siguiente regla para la elección de u
L = Logarítmica.
I = Trigonométrica Inversa
A = Algebraica
T = Trigonométrica Directa
E = Exponencial
Ejemplos Ilustrativos:
ln x
dx
x2
Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace
dx
u = Ln(x)
dv = 2
x
dx
du =
dx
x
∫ dv = ∫ x2
Ejemplo Ilustrativo 1
Calcular
∫
∫ dv = ∫ x
−2
dx
−1
v = −x
1
v = −
x
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
∫
ln x
dx
x2
−1
−1 dx
−∫
⋅
x
x
x
−Ln(x)
dx
=
+ ∫ 2 observe que esta integral se resolvio al inicio
x
x
−Ln(x) 1
=
+ +C
x
x
1
= ⎡⎣1 − Ln(x)⎤⎦ + C
x
= Ln(x) ⋅
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Ejemplo Ilustrativo 2
Pág. 18
Calcular
∫ x Senx dx
Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace
dv = Sen(x)dx
u=x
∫ dv = ∫ Sen(x)dx
du = dx
v = −Cos(x)
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
∫ x Senx dx
∫ v ⋅ du
= −Cos(x) − ∫ − Cos(x)dx
= u⋅v −
= −Cos(x) + Sen(x) + C
Ejemplo Ilustrativo 3
Calcular
∫e
x
Cosx dx
Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene
que la primera prioridad es Trigonométrica por lo que:
dv = e x dx
u = Cos(x)
∫ dv = ∫ e
du = −Sen(x)dx
x
dx
v = ex
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
∫e
x
⋅ C os(x) dx
∫ v ⋅ du
= e ⋅ Cos(x) − ∫ − e ⋅ Sen(x)dx
= e ⋅ Cos(x) + ∫ e ⋅ Sen(x)dx (A)
Para resolver la integral ∫ e ⋅ Sen(x)dx usamos también la técnica de
= u⋅v −
x
x
x
x
x
integración por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E
u = Sen(x)
dv = e x dx
du = Cos(x)dx
∫ dv = ∫ e
x
dx
v = ex
Por lo cual
∫e
∫e
∫ v ⋅ du
⋅ Sen(x) − ∫ e
x
Sen(x) dx = u ⋅ v −
x
Sen(x) dx = e x
x
⋅ Cos(x)dx
(B)
Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene:
x
e
C
os(x)
dx
= ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x) − ∫ ex ⋅ Cos(x)dx
∫
∫e
x
C os(x) dx +
∫e
x
⋅ Cos(x)dx = ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x)
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2∫ ex ⋅ Cos(x)dx = ex ⋅ Cos(x) + ex ⋅ Sen(x)
∫e
x
⋅ Cos(x)dx =
1
2
ex ⋅ ⎡⎣Cos(x) + Sen(x)⎤⎦ + C
Ejemplo Ilustrativo 4
∫
x3
1 - x2
dx
Pág. 19
Calcular
x3
∫
1 - x2
dx
Observe que:
x2 ⋅ x
=
dx
1 - x2
Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad
es Algebraica por lo que:
xdx
dv =
u = x2
1 − x2
du = 2xdx
xdx
dv =
2
1−x
∫
∫
∫
(A)
Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable
dt
1 − x 2 = t ⇒ 2xdx = dt ⇒
= xdx
−2
Por lo que:
dt
1
2
1
xdx
−
2 = − 1 t − 12 dt = − 1 ⋅ t
=
= −t 2 = − t = − 1 − x 2
1
2
2
t
1 − x2
2
Lo cual se simplifica en:
xdx
= − 1 − x2
2
1−x
∫
∫
∫
∫
Asi la expresión (A) quedara como: v = − 1 − x 2
Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como
sigue:
∫
x3
1- x
2
dx
= u⋅v −
∫ v ⋅ du
∫ − 1 − x ⋅ 2xdx
+ ∫ 1 − x ⋅ 2xdx
= −x 2 1 − x 2 −
= −x 2 1 − x 2
2
2
(B)
La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de
variable siendo w=1-x2 ⇒ dw=-2xdx así
3
3
1
3
2
2
2
1 − x 2 2xdx = − wdw = − w 2 dw = − ⋅ w 2 = − ⋅ (1 − x 2 ) 2 = − ⋅ 1 − x 2
3
3
3
Volviendo a la expresión (B) se tiene:
= u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
∫
∫
x3
1 - x2
dx
= − x2 1 − x2 −
∫
∫
∫−
1 − x2 ⋅ 2xdx
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(
)
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= −x
2
Pág. 20
2
1−x +
∫ 1 − x
2
⋅ 2xdx
(B)
3
2
= − x 1 − x − ⋅ 1 − x2 + C
3
⎡ 2 2
⎤
2
1 − x2 ⎥ + C
= − 1 − x ⋅ ⎢x +
3
⎣
⎦
2 2 ⎤
⎡
= − 1 − x2 ⋅ ⎢ x2 + − x 2 ⎥ + C
3 3 ⎦
⎣
2
2
(
)
(
)
2⎤
⎡1
= − 1 − x2 ⋅ ⎢ x 2 + ⎥ + C
3⎦
⎣3
1
1 − x2 ⋅ x2 + 2 + C
=−
3
(
Ejemplo Ilustrativo 5
Calcular
)
∫ xarctg(x)dx
Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es
Trigonométrica inversa por lo que:
u = arctg(x)
dv = xdx
dx
du= 2
x +1
∫ dv=∫ xdx
1 2
x
2
Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará
como sigue:
= u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
v=
∫ xarctg(x)dx
1 2
1
x2
x arctg(x) − ∫ ⋅ 2
dx
2
2 x +1
1
1
x2
= x2 arctg(x) − ∫ 2
dx
2
2 x +1
1
1 x2 + 1 − 1
= x2 arctg(x) − ∫
dx
2
2
x2 + 1
⎛ x2 + 1
1⎡
−1 ⎞ ⎤
= ⎢x2 arctg(x) − ∫ ⎜ 2
+ 2
⎟ dx ⎥
2⎣
⎝ x + 1 x + 1⎠ ⎦
=
=
−1 ⎞ ⎤
1⎡ 2
⎛
x arctg(x) − ∫ ⎜1 + 2
⎢
⎟ dx ⎥
2⎣
x + 1⎠ ⎦
⎝
=
1⎡ 2
x arctg(x) − ∫ dx +
2 ⎢⎣
=
1 2
⎡x arctg(x) − x + arctg(x)⎤⎦ + C
2⎣
Ejemplo Ilustrativo 6
Calcular
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∫x
2
1
⎤
dx
+ 1 ⎥⎦
∫ x ⋅ Se n (3x)dx
2
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= ∫ x ⎡⎣1 2 (1 − C os(6x)) ⎤⎦ dx
Pág. 21
2
∫ x ⋅ Se n (3x) dx
1
⎡x − xC os(6x)⎤⎦ dx
2 ∫⎣
1
= ⎡⎣ ∫ xdx − ∫ xC os(6x)dx ⎤⎦
2
1
1
= ∫ xdx − ∫ xC os(6x)dx
2
2
x2 1
=
− ∫ xC os(6x)dx
4
2
=
I1
La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes
Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es
Trigonométrica inversa por lo que:
u=x
dv = C os(6x)dx
du=dx
∫ dv = ∫ C os(6x)dx
6x = z
6dx = dz
dz
dx =
6
dz
∫ dv = ∫ C os(z) 6
1
∫ dv = 6 ∫ C os(z) dz
v = Sen(z)
v =
1
Se n(6x)
6
Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará
como sigue:
1
I1 = ∫ xC os(6x)dx
2
I1
1 ⎡ xSe n(6x) 1
⎤
I1 = ⎢
− ∫ Se n(6x)dx ⎥
2⎣
6
6
⎦
1 ⎡
I1 =
xSe n(6x) − ∫ Se n(6x)dx ⎤
⎦
12 ⎣
6x = r
6dx = dr
dx =
I1 =
1
12
dr
6
dr ⎤
⎡
⎢xSe n(6x) − ∫ Se n(r) 6 ⎥
⎣
⎦
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Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
1
I1 =
xSe n(6x) −
12
1
I1 =
xSe n(6x) −
12
1
I1 =
xSe n(6x) +
12
∫ x ⋅ Se n (3x)dx
2
=
Pág. 22
1
Se n(r)dr
72 ∫
1
Se n(6x)dr
72 ∫
1
Cos(6x)
72
x2 1
− ∫ xC os(6x)dx
4
2
I1
x2 ⎡ 1
1
⎤
=
−⎢
xSe n(6x) +
Cos(6x)⎥ + C
4
72
⎣12
⎦
2
x
1
1
=
−
xSe n(6x) −
Cos(6x) + C
4 12
72
1
⎡18x2 − 6xSe n(6x) − Cos(6x)⎤⎦ + C
=
72 ⎣
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
Respuesta
1.
∫ xe
1 3x ⎛
1⎞
e ⎜x − ⎟ + C
3
3⎠
⎝
2.
3.
∫
x Sen x dx
Sen x - x Cos x + C
4.
∫ (x + 1)
5.
∫
Ln x
1
Ln x + 1 + C
x
6.
∫
7.
∫ x e dx
∫ x e dx
∫ x Sen 3x dx
∫ y Sec y dy
∫ Sen x Ln(Cos x) dx
∫ e Cos x dx
(
8.
∫x e
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
x
3x
2
dx
dx
−
(
)
)
2 x
e x x 2 - 2x + 2 + C
2 −x
− e − x x 2 + 2x + 2 + C
2
2
x
x
∫ x Sen 2 dx
∫ (Ln x ) dx
∫ x Csc x dx
2
2
(
)
Integral
Respuesta
∫ Ln x dx
x (Ln x - 1) + C
xe x
2
x3
1 − x2
3 − x2
dx
ex
+C
x +1
dx
−
1 2
x + 2 1 - x2
3
−
1 − x2 2
e
x +1 + C
2
dx
(
)(
(
)
1
2
+c
)
1 2 x Sen 6x 1
x Cos 6x + C
4
12
72
y Tan y + Ln Cos y + C
(
Cos x 1 - Ln Cos x
)+ C
1 x
e (Cos x + Sen x ) + C
2
x
x
4Sen - 2x Cos + C
2
2
x Ln2 x - 2x Ln x + 2x + C
- x Cot x + Ln Sen x + C
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Guia de Cálculo II
17.
∫ x arcTan x dx
18.
∫ Sen (Ln x ) dx
19.
∫ Cos (Ln x ) dx
20.
21.
22.
23.
24.
[(
∫ x Cos (2x + 1) dx
∫ x Sec x Tan x dx
∫ x Cos x dx
∫ Csc x dx
1 + x2
[
(
)
(
)]
[
(
)
(
)]
x2 Sen x + 2x Cos x - 2Sen x + C
(
)
1
− CscxCtgx + Ln Cscx − Ctgx + C
2
1
1
arcTan x(x − arcTan x ) − Ln1 + x 2 + arcTan2 x + C
2
2
3
∫
]
)
x Sec x - Ln Sec x + Tan x + C
2
x2 arcTanx
Pág. 23
1 2
x + 1 arcTan x − x + C
2
x
Sen Ln x − Cos Ln x + C
2
x
Sen Ln x + Cos Ln x + C
2
x
1
Sen (2x + 1) + Cos (2x + 1) + C
2
4
dx
Integración de Potencias del Seno y el Coseno
Caso 1
∫ Sen (u)du
n
ó
∫ Cos (u)du ; donde n es un entero Impar
n
Se descompone n en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula
Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica
elevada al exponente 1 se agrupa con el diferencial.
Ejemplo Ilustrativo 1
Calcular
∫ Sen (x) dx
5
Observe que:
∫ Sen (x) dx
5
∫ (Sen (x)) ⋅ Sen(x) dx
= ∫ ⎡⎣1-Cos (x)⎤⎦ ⋅ Sen(x) dx
2
2
=
2
2
Hagamos el siguiente cambio de variable
Sea Cos(x)=u
(
= − ∫ 1-u2
)
2
⇒ -Sen(x)dx = du ⇒ Sen(x)dx = -du
⋅ du
= − ∫ (1-2u2 -u4 ) ⋅ du
= − ∫ du + 2∫ u2 du − ∫ u4 du
2 3 1 5
u − u +C
3
5
Volviendo a la variable inicial x tenemos
= −u +
= −Cos (x) +
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Cos (3x) dx
3
2
1
Cos3 (x) − Cos5 (x) + C
3
5
Calcular
∫ Cos (3x) dx
3
Observe que:
= ∫ Cos2 (3x) ⋅ Cos(3x) dx
=
∫ ⎡⎣1-Sen (3x)⎤⎦ ⋅ Cos(3x) dx
2
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Guia de Cálculo II
Pág. 24
Hagamos el siguiente cambio de variable
Sea Sen(3x)=v
=
∫ (1-v ) ⋅
2
⇒ 3Cos(3x)dx = dv ⇒ Cos(3x)dx =
dv
3
dv
3
1⎡
dv − ∫ v2 dv ⎤
⎦
3 ⎣∫
3
1⎡
v ⎤
= ⎢v −
⎥+C
3⎣
3⎦
=
Volviendo a la variable inicial x tenemos
=
Caso 2
1
3
1
⎡
⎤
3
⎢Sen(3x) − 3 Sen (x)⎥ + C
⎣
⎦
∫ Sen (u)du
n
ó
∫ Cos (u)du
n
donde n es un entero par
Se usan la fórmulas: Sen2 (x) = ½ ⋅ ⎡⎣1 - Cos(2x)⎤⎦
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Cos
2
(
x
) dx
2
=
∫ Cos
Calcular
⎡1
2
(
Cos2 (x) = ½ ⋅ ⎡⎣1 + Cos(2x)⎤⎦
x
) dx
2
⎤
∫ ⎢⎣ 2 (1+Cos(x))⎥⎦ dx
1
(1+Cos(x)) dx
2∫
1
= ⎡ ∫ dx+∫ Cos(x)dx ⎤
⎦
2⎣
=
=
⎡1
⎤
∫ ⎢⎣ 2 (1+Cos(x))⎥⎦ dx
1
(1+Cos(x)) dx
2∫
1
= ⎡⎣ ∫ dx+∫ Cos(x)dx ⎤⎦
2
1
= ⎣⎡x+Sen(x)⎦⎤ +C
2
=
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Sen
4
(3x) dx
=
∫ ⎡⎣Sen (3x)⎤⎦
2
∫ Sen
Calcular
2
4
(3x) dx
dx
2
⎡1
⎤
∫ ⎢⎣ 2 (1-Cos(6x))⎥⎦ dx
1
2
= ∫ (1-Cos(6x)) dx (A)
4
=
Sea 6x=θ ⇒ 6dx=dθ ⇒ dx=
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dθ
sustituyendo en (A) se tiene
6
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1
2 dθ
(A)
= ∫ (1-Cos(θ))
4
6
1
1-2Cos(θ)+Cos2 (θ) dθ
=
24 ∫
(
1
24
1
=
24
=
Pág. 25
)
⎡ dθ-2 Cos(θ)dθ+ Cos2 (θ)dθ ⎤
∫
∫
⎣∫
⎦
1
⎡
⎤
⎢ ∫ dθ-2∫ Cos(θ)dθ+∫ 2 ⎣⎡1+Cos(2θ)⎦⎤ dθ ⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
1 ⎢
1
1
⎥
=
d
θ
-2
Cos(
θ
)d
θ
+
d
θ
+
Cos(2
θ
)d
θ
∫
⎥
24 ⎢ ∫
2∫
2 ∫
⎣
⎦
Sea 2θ=α ⇒ 2dθ=dα ⇒ dθ
1 ⎡
1
1
dα ⎤
dθ-2∫ Cos(θ)dθ+ ∫ dθ + ∫ Cos(α)
24 ⎢⎣ ∫
2
2
2 ⎥⎦
1 ⎡
1
1
⎤
dθ-2∫ Cos(θ)dθ+ ∫ dθ + ∫ Cos(α)dα ⎥
=
24 ⎢⎣ ∫
2
4
⎦
=
1
⎡3
⎤
⎢ 2 ∫ dθ-2∫ Cos(θ)dθ + 4 ∫ Cos(α)dα ⎥
⎣
⎦
1 ⎡3
1
⎤
=
θ-2Sen(θ)+ Sen(α)⎥ + C
24 ⎢⎣ 2
4
⎦
=
1
24
Quitando la variable α
1 ⎡3
1
⎤
θ-2Sen(θ)+ Sen(2θ)⎥ + C
24 ⎢⎣ 2
4
⎦
Quitando la variable θ
=
=
1 ⎡3
1
⎤
6x-2Sen(6x)+ Sen(2 ⋅ 6x)⎥ + C
⎢
24 ⎣ 2
4
⎦
=
1
24
=
1
⎡36x-8Sen(6x)+Sen(12x)⎤⎦ + C
48 ⎣
1
⎡
⎤
⎢9x-2Sen(6x)+ 4 Sen(12x)⎥ + C
⎣
⎦
Caso 3 ∫ Senn (x) ⋅ Cosm (x)dx; donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar
La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 1
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Cos
4
(x)Sen3 (x) dx
Calcular
∫ Cos
= ∫ Cos
=
∫ Cos
4
(x)Sen3 (x) dx
4
(x)Sen2 (x)Sen(x)dx
4
(x) ⋅ (1-Cos2 (x)) ⋅ Sen(x) dx
Haciendo Cos(x)=u ⇒ −Sen(x)dx=du ⇒ Sen(x)dx=-du
= − ∫ u4 (1-u2 ) ⋅ du
= − ∫ (u4 -u6 ) ⋅ du
= − ∫ u4 du + ∫ u6 du
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Pág. 26
u5 u7
= −
+
+ C Quitando el cambio se tiene
5
7
=- 1 Cos5 (x) + 1 Cos7 (x) + C
5
7
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Cos (x)Sen
5
4
(x) dx
∫ Cos (x)Sen
Calcular
∫ Sen
= ∫ Sen
= ∫ Sen
=
5
4
(x) dx
4
4
(x)Cos (x)Cos(x)dx
4
(x) ⎡⎣Cos2 (x)⎤⎦ Cos(x)dx
4
(x) ⎡⎣1-Sen2 (x)⎤⎦ Cos(x)dx
2
2
Haciendo Sen(x)=u ⇒ Cos(x)dx=du
2
∫ u ⎡⎣1-u ⎤⎦ du
= ∫ u (1-2u +u ) du
= ∫ (u -2u +u ) du
= ∫ u du − 2∫ u du + ∫ u du
=
4
2
4
2
4
6
4
8
4
6
8
u5 2u7 u9
C
−
+
5
7
9
Quitando el cambio se tiene
=
=- 1 Cos5 (x) + 1 Cos7 (x) + C
5
7
Ejemplo Ilustrativo 3
Calcular
∫ Sen(5x) ⋅ Cos(2x)dx
Usando la fórmula Sen(mx) ⋅ Cos(nx) = ½ Sen ⎡⎣(m-n) ⋅ x⎤⎦ + ½ Sen ⎡⎣(m+n) ⋅ x⎤⎦ se tiene que:
Sen(5x) ⋅ Cos(2x) = ½ Sen ⎡(5-2) ⋅ x ⎤ + ½ Sen ⎡(5+2) ⋅ x ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)
Asi la integral original se convierte en:
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∫ ⎡⎣½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)⎤⎦ dx
Pág. 27
∫ Sen(5x) ⋅ Cos(2x)dx =
= ½∫ Sen(3x)dx + ½∫ Sen(7x) dx
Cambiando variables
3x=u
3dx=du
dx=
7x=v
7dx=dv
du
3
dx=
dv
7
du
dv
+ ½∫ Sen(v)
3
7
1
1
=
Sen(u)du+
Sen(v)dv
6∫
14 ∫
1
1
= − Cos(u) −
Cos(v) + C
6
14
1
1
Cos(7x) + C
= − Cos(3x) −
6
14
1
= −
⎡7Cos(3x) + 3Cos(7x)⎤⎦ + C
42 ⎣
= ½∫ Sen(u)
Caso 4
∫ Sen (x).Cos
n
m
(x)dx donde m y n son numeros pares
La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 2
Calcular
∫ Sen (x) ⋅ Cos
⎡1-Cos(2x) ⎤
⎥
2
⎦
⎡1+Cos(2x) ⎤
⋅⎢
⎥ dx
2
⎣
⎦
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Sen (x) ⋅ Cos (x)dx
2
2
=
∫ ⎢⎣
2
2
(x)dx
1
⎡1-Cos(2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx
4 ∫⎣
1
= ∫ ⎣⎡1-Cos2 (2x)⎦⎤ dx
4
1
= ∫ Sen2 (2x)dx
4
1 ⎡1-Cos(4x) ⎤
= ∫⎢
⎥ dx
4 ⎣
2
⎦
1
= ∫ ⎣⎡1-Cos(4x)⎦⎤ dx
8
1⎡
=
dx-∫ Cos(4x)dx ⎤
⎦
8 ⎣∫
=
Para la segunda integral usamos el cambio
4x = u
4dx = du
du
dx =
4
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1⎡
du ⎤
= ⎢ ∫ dx-∫ Cos(u)
8⎣
4 ⎥⎦
Pág. 28
1
1
dxCos(u)du
∫
8
32 ∫
1
1
Sen(u) + C
= x−
8
32
1
1
Sen(4x) + C
= x−
8
32
1
=
⎡4x − Sen(4x)⎤⎦ + C
32 ⎣
=
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Sen (x) ⋅ Cos (x)dx
4
2
Calcular ∫ Sen4 (x) ⋅ Cos2 (x)dx
2
⎡1-Cos(2x) ⎤ ⎡1+Cos(2x) ⎤
⎥ ⋅⎢
⎥ dx
∫ ⎢⎣ 2
2
⎦ ⎣
⎦
1
2
= ∫ ⎣⎡1-Cos(2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx
8
1
= ∫ ⎣⎡1-2Cos(2x)+Cos2 (2x)⎦⎤ ⋅ ⎣⎡1+Cos(2x)⎦⎤ dx
8
=
1
8
1
=
8
1
=
8
1
=
8
=
∫ ⎡⎣1+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x)⎤⎦ dx
2
2
3
∫ ⎡⎣1-Cos(2x)-Cos (2x) + Cos (2x)⎤⎦ dx
2
3
∫ ⎡⎣1-Cos(2x)-Cos (2x) + Cos (2x) ⋅ Cos(2x)⎤⎦ dx
2
2
1+Cos(4x)
⎤
+ 1 − Sen2 (2x) Cos(2x)⎥ dx
2
⎦
1 ⎡
1 Cos(4x)
⎤
= ∫ ⎢1- Cos(2x) - −
+ Cos(2x) − Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)⎥ dx
8 ⎣
2
2
⎦
=
1
8
⎡
∫ ⎢⎣1-Cos(2x)⎡1
∫ ⎢⎣ 2 −
(
)
Cos(4x)
⎤
− Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)⎥ dx
2
⎦
Cos(4x)
1⎡ 1
⎤
dx − ∫
dx − ∫ Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)dx ⎥
8 ⎢⎣ ∫ 2
2
⎦
1
1
1
dx −
Cos(4x)dx − ∫ Sen2 (2x) ⋅ Cos(2x)dx
=
16 ∫
16 ∫
8
=
Usemos los siguientes cambios de variable
4x = u
Sen(2x) = v
4dx = du
2Cos(2x)dx = dv
du
dv
dx =
Cos(2x)dx =
4
2
1
1
du 1
dv
2
dx −
Cos(u)
=
− ∫v ⋅
16 ∫
16 ∫
4
8
2
1
1
1
=
dx −
Cos(u)du −
v2 dv
16 ∫
64 ∫
16 ∫
1
1
1 v3
x−
Sen(u) −
=
+C
16
64
16 3
1
1
1
=
x−
Sen(4x) −
Sen3 (2x) + C
16
64
48
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1
⎡12x − 3Sen(4x) − 4Sen3 (2x)⎤⎦ + C
=
192 ⎣
Pág. 29
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
Respuesta
1.
∫ Sen
2.
∫ Cos
3
3.
∫ Cos
2
4.
∫ Sen x dx
1
Sen5 x + C
5
1
−
Cos 4 4x + C
16
1
(x + Sen x ) + C
2
1⎛
Sen 2x ⎞
⎜x ⎟+C
2⎝
2
⎠
5.
∫ Sen x dx
6.
∫ Sen
7.
∫ Cos 4x Sen 3x dx
1
Cos3 x - Cos x + C
3
1
1
Sen3 x - Sen5 x + C
3
5
1 ⎛1
⎞
⎜ Sen 7x - Sen x ⎟ + C
2 ⎝7
⎠
8.
∫ Sen 3y Cos 5y dy
1⎛
1
⎞
⎜ Cos 2y − Cos 8y ⎟ + C
4⎝
4
⎠
9.
∫ Sen
1⎛
1
⎞
Sen 12t ⎟ + C
⎜t 8 ⎝ 12
⎠
10.
∫ Sen
4
x Cos x dx
4x Sen 4x dx
x
dx
2
2
3
2
2
x Cos3 x dx
3t Cos2 3t dt
Cos 2t
4
2t
3
Sen x
dt
−
11.
∫ Cos
12.
∫ (Sen 3t - Sen 2t ) dt
∫ Sen x Cos x dx
13.
2
x
dx
Cos x + Sec x + C
2
5
2
14.
∫ Sen y dy
15.
∫ Cos x dx
16.
∫ Sen z dz
∫ (Sen t + Cos t )
17.
18.
19.
6
4
4
2
2
2
∫ (2 - Sen y)
∫
Cos3 3x
3
Sen 3x
1
Csc3 2t + C
6
dt
dt
dx
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
1
1
1
Sen 4t + Sen 5t Sen 6t + C
8
5
12
1
2
1
− Cos3 x + Cos5 x - Cos7 x + C
3
3
7
5
1
1
3
y − Sen 2y +
Sen3 2y +
Sen 4y + C
16
4
48
64
3
1
1
x + Sen 2x +
Sen 4x + C
8
4
32
3
1
1
z − Sen 2z +
Sen 4z + C
8
4
32
7
2
1
t + Sen3 t +
Sen 4t + C
8
3
32
9
1
y + 4Cos y - Sen 2y + C
2
4
8
2
1⎛
1
⎞
⎜ Sen 3 3x - Sen 3 3x ⎟ + C
2⎝
4
⎠
t − Sen t -
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Guia de Cálculo II
Pág. 30
3
1
1
x − Sen 2x +
Sen 4x + C
8
4
32
∫ Sen x dx
4
20.
Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante
Caso1
∫ Tg (u)du
n
ó
∫ Ctg (u)du
n
donde n es un entero positivo
Se desarrolla:
Tgn (u) = Tg(n-2) (u) ⋅ Tg2 (u)
Ctgn (u) = Ctg(n -2) (u) ⋅ Ctg2 (u)
Tgn (u) = Tg(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣Sec2 (u) - 1⎤⎦
Se usa el cambio de variable Tg(u) = z
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Tg (x)dx
4
Calcular
ó
Ctgn (u) = Ctg(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣Csc2 (u) - 1⎤⎦
Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z
∫ Tg (x)dx
4
∫ Tg (x)Tg (x)dx
= ∫ Tg (x) ⋅ ⎡⎣Sec (x)-1⎤⎦ dx
= ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)-Tg (x)⎤⎦ dx
= ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)- ( Sec (x)-1) ⎤⎦ dx
= ∫ ⎡⎣ Tg (x) ⋅ Sec (x)-Sec (x)+1⎤⎦ dx
= ∫ Tg (x) ⋅ Sec (x)dx-∫ Sec (x)dx+∫ dx
2
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Siendo Tg(x)=u ⇒ Sec2 (x)dx=du
=
∫ u du-∫ Sec
2
2
(x)dx+∫ dx
u3
− Tg(x) + x + C
3
1
= Tg3 (x)-Tg(x)+x+C
3
=
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Ctg (x)dx
3
Calcular
∫ Ctg (x)dx
3
∫ Ctg(x) ⋅ Ctg (x)dx
= ∫ Ctg(x) ⋅ ⎡⎣Csc (x)-1⎤⎦ dx
= ∫ ⎡⎣Ctg(x) ⋅ Csc (x)-Ctg(x)⎤⎦ dx
= ∫ Ctg(x) ⋅ Csc (x)dx-∫ Ctg(x)dx
2
=
2
2
2
Siendo Ctg(x)=u ⇒ −Csc2 (x)dx=du ⇒ Csc2 (x)dx=-du
=
∫ −udu-∫ Ctg(x)dx
= −
=
u2
− Ln ⎡⎣Sen(x)⎤⎦ + C
2
1
Ctg2 (x)-Ln ⎡⎣Sen(x)⎦⎤ +C
2
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Caso 2
∫ Sec (u) du
n
Pág. 31
∫ Csc (u) du
n
ó
Se desarrolla:
n-2
Secn (u) = Sec( ) (u) ⋅ Sec2 (u)
Secn (u) = ⎡⎣ Tg2 (u) +1⎤⎦
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Sec
4
(2x)dx
(n-2)/2
ó
⋅ Sec2 (u)
Calcular
∫ Sec
4
donde n es un entero positivo par
Cscn (u) = Csc(
n-2 )
(u) ⋅ Csc2 (u)
Cscn (u) = ⎡⎣Ctg2 (u) + 1⎤⎦
(n -2)/2
. Csc2 (u)
(2x)dx
∫ Sec (2x) ⋅ Sec (2x)dx
= ∫ Sec (2x) ⋅ ⎡⎣ Tg (2x)+1⎤⎦ dx
= ∫ ⎡⎣ Tg (2x) ⋅ Sec (2x)+Sec (2x)⎤⎦ dx
= ∫ Tg (2x) ⋅ Sec (2x)dx+∫ Sec (2x)dx
2
2
2
2
2
2
=
2
2
2
2
Siendo Tg(2x)=u ⇒ 2 ⋅ Sec2 (2x)dx=du ⇒ Sec2 (2x)dx=
du
2
du
du
+∫
2
2
1 2
1
= ∫ u du + ∫ du
2
2
1 3 1
= u + u+C
6
2
1
1
3
= Tg (2x) + Tg(2x) + C
6
2
=
∫u
2
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Csc
6
⎛x⎞
⎜ 3 ⎟ dx
⎝ ⎠
∫ Csc
=
∫ ⎢⎢⎜⎝ Ctg
⎡⎛
∫ Csc
6
⎛x⎞
⎜ 3 ⎟ dx
⎝ ⎠
⎛x⎞
2 ⎛x⎞
⎜ 3 ⎟ ⋅ Csc ⎜ 3 ⎟ dx
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
4
Calcular
2
2
⎤
⎞
⎛x⎞
2 ⎛x⎞
⎜ 3 ⎟ +1 ⎟ Csc ⎜ 3 ⎟ ⎥ dx
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎥⎦
⎠
⎣
⎡⎛
⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛ x ⎞⎤
= ∫ ⎢⎜ Ctg4 ⎜ ⎟ + 2Ctg2 ⎜ ⎟ + 1 ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ ⎥ dx
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠⎦
⎠
⎣⎝
⎡
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛ x ⎞⎤
= ∫ ⎢Ctg4 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ + 2Ctg2 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ + Csc2 ⎜ ⎟ ⎥ dx
3
3
3
3
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 3 ⎠⎦
⎣
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
= ∫ Ctg4 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟ dx + 2∫ Ctg2 ⎜ ⎟ Csc2 ⎜ ⎟dx + ∫ Csc2 ⎜ ⎟ dx
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
1
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
Siendo Ctg ⎜ ⎟ =u ⇒ − ⋅ Csc2 ⎜ ⎟ dx=du ⇒ Csc2 ⎜ ⎟ dx=-3du
3
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
= −3∫ u4 du − 6 ∫ u2 du − 3∫ du
−3 5 6 3
u − u − 3u + C
5
3
−3
⎛x⎞ 6
⎛x⎞
⎛x⎞
=
Ctg5 ⎜ ⎟ − Ctg3 ⎜ ⎟ − 3Ctg ⎜ ⎟ + C
5
⎝3⎠ 3
⎝3⎠
⎝3⎠
=
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Caso 3
∫ Sec (u) du
n
Pág. 32
ó
∫ Csc (u) du
n
donde n es un entero positivo impar
En este caso se usa la Integración por Partes
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Sec ( x ) dx
3
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
u = Sec(x)
dv = Sec2 (x)dx
du = Sec(x) ⋅ Tg(x)dx
∫ dv = ∫ Sec
2
(x)dx
v = Tg(x)
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
S ec 3 (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ Tg(x) ⋅ S ec(x) ⋅ T g(x)d x
∫
∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ Tg (x) ⋅ S e c(x)d x
∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ (S ec (x) − 1 ) ⋅ S ec(x) d x
∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ S e c (x) d x − ∫ S ec(x)d x
∫ S ec (x)d x = S ec(x) ⋅ T g(x) − ∫ S e c (x) d x − Ln S e c(x) +
∫ S ec (x)d x + ∫ S e c (x) d x = S e c(x) ⋅ Tg(x) − Ln S e c(x) +
2 ∫ S e c (x) d x = S ec(x) ⋅ Tg(x) − Ln S ec(x) + Tg(x) + C
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
Tg(x) + C
Tg(x) + C
3
∫ S ec
3
(x) d x =
1
⎡ S e c(x) ⋅ Tg(x) − L n S e c(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C
2 ⎣
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Csc ( x ) dx
5
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
u = Csc 3 (x)
dv = Csc2 (x)dx
du = − 3Csc2 (x) ⋅ Csc(x) ⋅ Ctg(x)dx
∫ dv = ∫ Csc
3
du = − 3Csc (x) ⋅ Ctg(x)dx
∫ Csc ( x ) dx
5
2
(x)dx
v = −Ctg(x)
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
= −Ctg(x)Csc3 (x) − 3 ∫ Csc 3 (x) ⋅ Ctg2 (x)dx (A)
I1
Resolviendo I1 tenemos:
I1 = ∫ Csc3 (x) ⋅ Ctg2 (x)dx
∫ Csc (x) ⋅ (Csc (x) − 1) dx
I1 = ∫ ( Csc (x) − Csc (x)) dx
I1 = ∫ Csc (x)dx − ∫ Csc (x)dx (B)
I1 =
3
2
5
5
3
3
I2
Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por
este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale
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u = Csc(x)
Pág. 33
dv = Csc2 (x)dx
∫ dv = ∫ Csc
du = −Csc(x) ⋅ Ctg(x)dx
2
(x)dx
v = −Ctg(x)
Por lo tanto I2 quedara como sigue
3
2
∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc(x) ⋅ C tg (x)d x
∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc(x) ⋅ ( C sc (x) − 1 ) d x
∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) − ∫ C sc (x)d x + ∫ C sc(x)d x
∫ C sc (x)d x + ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) + ∫ C sc(x)d x
2 ∫ C sc (x)d x = − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x)
3
2
3
3
3
3
3
1
⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦
2 ⎣
Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene:
1
⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + L n C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦
I1 = ∫ C sc 5 (x)d x −
2 ⎣
Sustituye I1 en la expresión (A) obtenemos:
5
3
3
2
∫ Csc ( x ) dx = −Ctg(x)Csc (x) − 3 ∫Csc (x) ⋅ Ctg (x)dx (A)
∫ C sc
3
(x)d x =
I1
1
⎡
⎤
= −Ctg(x)Csc 3 (x) − 3 ⎢ ∫ Csc5 (x)dx − ⎡⎣ −Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦ ⎥
2
⎣
⎦
3
3
5
3
5
∫ Csc ( x ) dx = −Ctg(x)Csc (x) − 3 ∫ Csc (x)dx − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x)
3
3
5
5
3
∫ Csc ( x ) dx + 3∫ Csc (x)dx = −Ctg(x)Csc (x) − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x)
3
3
4 ∫ Csc5 (x)dx = −Ctg(x)Csc3 (x) − Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x)
2
2
1
3
3
⎡
⎤
5
3
∫ Csc (x)dx = 4 ⎣⎢ −Ctg(x)Csc (x) − 2 Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 2 Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎥⎦ + C
∫ Csc ( x ) dx
5
∫ Csc
5
(x)dx =
Caso 4
1
⎡ − 2Ctg(x)Csc3 (x) − 3Csc(x) ⋅ Ctg(x) + 3Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦ + C
8⎣
∫ Tg (u) ⋅ Sec (u) du
m
n
ó
∫ Ctg (u) ⋅ Csc (u) du
m
Se desarrolla:
Secn (u) = Sec(n-2) (u) ⋅ Sec2 (u)
n
donde n es un entero positivo par
Cscn (u) = Csc(n-2) (u) ⋅ Csc2 (u)
ó
Secn (u) = Sec(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣1+Tg2 (u) ⎤⎦
Cscn (u) = Csc(n-2) (u) ⋅ ⎡⎣1+Ctg2 (u) ⎤⎦
Ejemplos Ilustrativos:
1.- ∫tg5xsec6x dx
2.- ∫ctg4ycsc4y dy
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Tg (x)Sec ( x ) dx
4
4
∫ Tg (x)Sec ( x ) dx
4
Calcular
4
∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) ⋅ Sec ( x ) dx
= ∫ Tg (x) ⋅ ( Tg (x)+1) ⋅ Sec ( x ) dx
=
4
4
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2
2
2
2
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Sea v=Tg(x) ⇒ dv=Sec2 (x)dx
Pág. 34
∫ v ⋅ ( v +1) ⋅ dv
= ∫ ⋅ ( v +v ) ⋅ dv
=∫ v dv + ∫ v dv
4
=
2
6
4
6
4
1 7 1 5
v + v +C
7
5
1
1
7
= Tg (x)+ Tg5 (x) + C
7
5
=
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Ctg
5
(x) ⋅ Csc 6 ( x ) dx
∫ Ctg (x) ⋅ Csc ( x ) dx
= ∫ Ctg (x) ⋅ ( Csc ( x ) ) ⋅ Csc ( x ) dx
= ∫ Ctg (x) ⋅ ( Ctg (x)+1) ⋅ Csc ( x ) dx
Calcular
5
5
2
5
2
6
2
2
2
2
Sea v=Ctg(x) ⇒ dv=-Csc2 (x)dx ⇒ −dv=Csc2 (x)dx
(
)
2
= − ∫ v5 ⋅ v2 +1
⋅ dv
∫ v ⋅ ( v +2v + 1) ⋅ dv
= ∫ ( v +2v + v ) ⋅ dv
=∫ v dv + 2∫ v dv + ∫ v dv
5
=
4
9
2
7
9
5
7
5
1 10 1 8 1 6
v + v + v +C
10
4
6
1
1
1
10
=
Ctg (x)+ Ctg8 (x)+ Ctg6 (x) + C
10
4
6
=
Caso 5 ∫ Tgm (u) ⋅ Secn (u) du ó
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Ctg
5
(x) ⋅ Csc 5 ( x ) dx
=
=
=
∫ Ctg (u) ⋅ Csc (u) du
m
∫ Ctg
5
n
donde n es un entero positivo impar
(x) ⋅ Csc 5 ( x ) dx
∫ C tg (x ) ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x
∫ ⎡⎣ C sc (x ) − 1 ⎤⎦ ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x
∫ ⎡⎣ C sc (x ) − 2C s c (x ) + 1 ⎤⎦ ⋅ C sc ( x ) ⋅ C tg(x ) ⋅ C sc ( x ) d x
4
4
2
2
4
4
2
4
S e a v = C sc(x ) ⇒ d v = -C sc(x ) ⋅ C tg(x )d x ⇒ − d v = C tg(x ) ⋅ C s c(x )d x
∫ (v − 2 v + 1 ) ⋅ v ⋅ ( − d v )
= − ∫ ( v -2 v + v ) ⋅ d v
= -∫ v dv + 2 ∫ v dv − ∫ v dv
=
4
2
8
8
4
6
4
6
4
1 9 2 7
1 5
v +
v −
v + C
9
7
5
1
2
1
= −
C s c 9 (x )+ C s c 7 (x ) −
C sc 5 (x ) + C
9
7
5
= −
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Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular
∫ Tg
5
(x) ⋅ Sec
7
( x ) dx
∫
∫ ⎡⎣ S e c
∫ ⎡⎣ S e c
∫
(x ) ⋅
Tg4 (x ) ⋅ S e c6
=
=
2
Pág. 35
Tg5 (x) ⋅ Sec 7 ( x ) dx
(x ) − 1 ⎤⎦
2
T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x
⋅ Sec6
(x ) ⋅
T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x
(x ) − 2S e c 2 (x ) + 1 ⎤⎦ ⋅ S e c 6 ( x ) ⋅ T g(x ) ⋅ S e c ( x ) d x
S e a θ= S e c(x ) ⇒ d θ= S e c ( x ) ⋅ T g(x )d x
=
4
∫ (θ − 2 θ + 1 ) ⋅ θ ⋅ d θ
= ∫ (θ -2 θ + θ ) ⋅ d θ
=∫ θ dθ − 2∫ θ dθ + ∫ θ dθ
4
=
2
10
6
8
6
10
8
6
1 11
2 9
1 7
θ + C
θ
−
θ +
7
11
9
1
2
1
=
S e c 1 0 (x )S e c 9 (x )+
S e c 7 (x ) + C
11
9
7
=
Caso 6
∫ Tg (u) Sec (u) du ó ∫ Ctg (u) Csc (u) du donde m es un entero
m
n
m
n
positivo par y n es
un entero positivo impar.
El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la
cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3
Ejemplo Ilustrativo 1
∫ Tg
2
(x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx
Calcular
=
=
=
=
∫ Tg
2
(x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx
∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) dx
∫ ⎡⎣Sec (x) − 1 ⎤⎦ ⋅ Sec ( x ) dx
∫ ⎡⎣Sec (x) − ⋅Sec ( x )⎤⎦ dx
∫Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx (A)
2
3
2
3
5
3
5
3
I1
I2
I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es:
1
3
∫ Sec (x) dx = 2 ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ (B)
Debemos resolver ahora I1 ∫ Sec5 (x)dx la que se resuelve por integración
por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
u = Sec 3 (x)
dv = Sec2 (x)dx
du = 3Sec2 (x) ⋅ Sec(x) ⋅ Tg(x)dx
∫ dv = ∫ Sec
3
du = 3Sec (x) ⋅ Tg(x)dx
2
(x)dx
v = Tg(x)
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
5
3
2
3
∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3∫ Tg (x)Sec (x)dx (C)
Resolviendo
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∫ Tg
2
(x)S ec 3 (x)dx
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2
3
∫ Tg (x)Sec (x)dx =
∫ Tg (x)Sec
∫ Tg (x)Sec
2
3
2
3
)
∫(
(x)dx = ∫ ⎡⎣Sec (x) − Sec (x)⎤⎦ dx
(x)dx = ∫ Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx
Pág. 36
Sec2 (x) − 1 ⋅ Sec3 (x)dx
5
3
5
3
(D)
Sustituyendo (D) en (C) tenemos
∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3 ( ∫ Sec (x)dx − ∫ Sec (x)dx )
∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) − 3∫ Sec (x)dx + 3∫ Sec (x)dx
4∫ Sec (x)dx = Tg(x) ⋅ Sec (x) + 3∫ Sec (x)dx
5
3
5
3
5
(
3
3
)
1
Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + 3∫ Sec3 (x)dx (E)
4
Sustituyendo (B) en (E) tenemos
1⎛
3
⎞
5
3
∫ Sec (x)dx = 4 ⎜⎝ Tg(x) ⋅ Sec (x) + 2 ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ ⎟⎠ (F)
seguidamente ya para concluir sutituimos (B) y (F) en (A)
1⎛
3
⎞
= ⎜ Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + ⎡⎣Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ ⎟ −
4⎝
2
⎠
5
(x) ⋅ Sec 3 ( x ) dx
2
3
5
3
∫ Sec (x)dx =
∫ Tg
5
1
⎡Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦
2⎣
1
3
3
1
= Tg(x) ⋅ Sec3 (x) + Sec(x) ⋅ Tg(x) − Ln Sec(x) + Tg(x) − Sec(x) ⋅ Tg(x)
4
8
8
2
1
+ Ln Sec(x) + Tg(x)
2
1
1
1
= Tg(x) ⋅ Sec3 (x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) + C
4
8
8
1
3
= ⎡⎣2 ⋅ Tg(x) ⋅ Sec (x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C
8
1
∫ Tg (x) ⋅ Sec ( x ) dx = 8 ⎡⎣2 ⋅ Tg(x) ⋅ Sec
2
3
3
Ejemplo Ilustrativo 2
∫ Ctg
2
(x) ⋅ Csc(x)dx
=
=
Calcular
(x) − Sec(x) ⋅ Tg(x) + Ln Sec(x) + Tg(x) ⎤⎦ + C
∫ Ctg (x) ⋅ Csc(x)dx
2
∫ ⎡⎣ C sc (x) − 1 ⎤⎦ ⋅ C sc(x)d x
∫C sc (x)d x − ∫C sc(x)d x
2
3
I1
I2
I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por
favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:
1
3
∫ Csc (x)dx = 2 ⎡⎣−Csc(x) ⋅ Ctg(x) + Ln Csc(x) − Ctg(x) ⎤⎦
I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la
número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue
1
⎡ − C sc(x) ⋅ C tg(x) + Ln C sc(x) − C tg(x) ⎤⎦ − Ln C sc(x) − C tg(x)
=
2 ⎣
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Pág. 37
1
1
= − C sc(x) ⋅ C tg(x) +
Ln C sc(x) − C tg(x) − Ln C sc(x) − C tg(x)
2
2
1
1
= − C sc(x) ⋅ C tg(x) − Ln C sc(x) − C tg(x) + C
2
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
Respuesta
1.
∫
1
Tan2 x + Ln Cos x + C
2
3.
∫ x Cot
5.
Tan3 x dx
∫ Cot
3
7.
∫ Cot
9.
∫ Csc
∫ Sec
11.
12.
13.
14.
15.
3
4
4
∫
∫ Tan
6
18.
∫ Cot
19.
∫e
20.
∫ Tan
x
x
x
4
Cot 3 - 4Cot + C
4
4
3
10.
∫ Tan
5
2
z dz
x Sec 4 x dx
4
dw
3x dx
(
Tan3 Ln x Sec6 Ln x
6
x
6
2
y
) dx
1
Csc 3 x + C
3
−
dw
1
Tan 3 w + C
3
dy
-
5x dx
1
Cot5 y + C
5
1
Tan 5x - x + C
5
1
Tan 3 x + Tan x + C
3
9
5
2
2
Sec 2 z - Sec 2 z + C
5
9
1
1
Tan 7 x + Tan 9 x + C
9
7
1
(Tan 2x − Cot 2x ) + C
2
1
− Cot 3 2x + C
6
1
1
Tan 3 2x - Cot 2x + C
2
6
1
1
− Cot 3 3x Cot 5 3x + C
15
9
1
Tan 3 e x − Tan e x + e x + C
3
1
1
1
Tan 4 3x - Tan2 3x + Ln Sec 3x + C
3
6
12
3x dx
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
(
)
(
)
(
u
+C
4
dx
Tan 2x +
3x Csc 4 3x dx
)
u - 2Tan
2Sec w - Tan w + C
2x Cos 4 2x
(
w
4
Cos y
−
( )
∫
∫ Tan
4
x
dx
4
Tan4 e x dx
5
Sen w
∫ Cos
∫ Sen
x dx
x
2
8.
Cos2 w
dx
2
4
1
Cot 2 t - Ln Sen t + C
2
2 Sen w - 1
2
∫ Tan
−
2
∫ Sen
6.
Sec3 x
t dt
2
17.
4.
1
1
Csc 2x - Csc3 2x + C
6
2
2x Csc 2x dx
∫ (Tan 2x + Cot 2x ) dx
∫ (Cot 2x + Cot 2x ) dx
∫
22.
2x dx
∫ 1 + Sec u
2
1
1
− Cot 2x 2 - x2 + C
2
4
2
Tan3 z Sec
16.
21.
2
du
2.
)
1
1
1
Tan4 Ln x + Tan6 Ln x + Tan8 Ln x + C
8
3
4
1
1
1
Tan 5 3x - Tan 2 3x + Tan 3x - x + C
15
9
3
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
23.
∫ Tan
3y dy
24.
∫ Csc
x dx
4
3
Pág. 38
1
Tan 3 x - Tan x + x + C
3
1
1
− Csc x Cot x + Ln Csc x - Cot x + C
2
2
3
25.
Sen 2 x
∫ Cos
11
2
5
9
2
2
Tan 2 x + Tan 2 x + C
9
5
dx
x
Integración Por Sustitución Trigonométrica
Se usa para resolver integrales con expresiones que contienen a2 − u2 , a2 + u2 , u2 − a2
a2 − u2 , a2 + u2 , u2 − a2 , el método mas corto para integrar dichas expresiones es efectuar un
cambio de variable trigonométrico como se indica a continuación.
Para
a2 − u2 se hace u = a senθ para lo que
a2 − u2 = a cos θ
Para a2 − u2 se hace u = a senθ para lo que a2 − u2 = a2 cos2 θ
Para
a2 + u2 se hace u = a tgθ
Para a2 + u2 se hace u = a tgθ
Para
para lo que
a2 + u2 = a sec θ
para lo que a2 + u2 = a2 sec2 θ
u2 − a2 se hace u = a secθ para lo que
u2 − a2 = a tg θ
u2 − a2 se hace u = a secθ para lo que u2 − a2 = a2 tg2 θ
8dx
dx
2.Ejemplos Ilustrativos: 1.2
(4x 2 + 1)2
4x − 49
Para
∫
∫
Ejemplo Ilustrativo 1
Calcular
∫
dx
x − a2
Sea x = aS ec(θ) ⇒ dx = aS ec(θ)T an(θ)dθ
∫
dx
x2 − a2
2
Como x = aS ec(θ) ⇒ x2 = a2 S ec2 (θ)
aS ec(θ)T an(θ)dθ
= ∫
a2 Sec2 (θ) − a2
aS ec(θ)T an(θ)dθ
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫ S ec(θ)dθ
(
)
a2 ⋅ Sec2 (θ) − 1
aS ec(θ)T an(θ)dθ
a2 ⋅ Tan2 (θ)
aS ec(θ) T an(θ)dθ
a T an(θ)
= L n S ec(θ) + T an(θ) + C
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
S ec(θ) =
Pág. 39
h
x
=
ca a
h2 = ( Co ) + ( Ca)
2
h=x
2
x2 = ( Co ) + a2
2
Co
θ
Co =
Ca=a
x2 − a2
x2 − a2
x
y como S ec (θ) =
a
a
Así nuestra integral original quedara como:
T an(θ) =
= L n S ec(θ) + T an(θ)
= Ln
= Ln
∫
dx
2
2
x −a
x
+
a
x2 + a2
+C
a
x+
x2 + a2
+C
a
= Ln x +
x2 + a2 − L n a + C
= Ln x +
x2 + a2 + k donde k= − L n a + C
= Ln x +
x2 + a2 + k
Ejemplo Ilustrativo 2
Calcular
8dx
2
+1
∫ 4x
Observemos que 4x2 + 1 = (2x ) + 12
2
Sea 2x=z ⇒ 2dx=dz ⇒ dx =
8dx
2
+1
∫ 4x
dz
asi nuestra integral original queda
2
8dx
2
+ 12
dz
8
= ∫ 2 22
z +1
dz
= 4∫ 2
z + 12
Haciendo el cambio de variable
z = Tg(β) ⇒ dz = Sec2 (β)dβ
=
∫ (2x)
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Guia de Cálculo II
Sec2 (β)dβ
= 4∫
Tg2 (β) + 1
= 4∫
Pág. 40
Sec2 (β)dβ
Sec2 (β)
= 4 ∫ dβ
= 4β + C
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
Tg(β) = z ⇒ β = Tg−1 (z)
y como z=2x entonces
β = Tg−1 (2x)
Así nuestra integral original quedara como:
= 4Tg−1 (2x) + C
8dx
= 4Tg−1 (2x) + C
2
+1
∫ 4x
Calcular
Ejemplo Ilustrativo 3
Se hace x =
∫
3 − x2
⋅ dx
x2
Como x =
=
=
∫
∫
=
∫
=
∫
=
∫
∫
=
∫
3Se n(α) ⇒ dx =
3Cos(α)dα
3Se n(α) ⇒ x2 = 3S e n2 (α)
3 − 3S e n2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα
3S e n2 (α)
(
)
3 1 − S e n2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα
3S e n2 (α)
(1 − S e n (α)) ⋅
2
3⋅
3Cos(α)dα
3S e n2 (α)
3 ⋅ C os2 (α) ⋅ 3Cos(α)dα
3S e n2 (α)
3 ⋅ 3 C os2 (α) ⋅ Cos(α)dα
3S e n2 (α)
( 3)
2
=
3 − x2
⋅ dx
x2
∫
⋅ C os(α) ⋅ Cos(α)dα
3 S e n2 (α)
C os2 (α) ⋅ dα
S e n2 (α)
∫ Ctg (α) ⋅ dα
= ∫ ( Csc (α) − 1) ⋅ dα
= ∫ Csc (α) ⋅ dα − ∫ dα
=
2
2
2
= −Ctg(α) − α + C
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Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
Pág. 41
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
co
x
S e n(α) =
=
h
3
h2 = ( Co ) + ( Ca)
2
h=
3
( 3)
2
Co=x
α
Cos(α) =
ca
=
h
= ( x ) + Ca2
Ca =
Ca
3 − x2
3
2
2
3 − x2
y como S e n (α) =
x
3
3 − x2
Ctg(α) =
3
x
Cos(α)
=
Se n(α)
=
⎛ x ⎞
3 − x2
y α = Se n−1 ⎜
⎟
x
⎝ 3⎠
3
Así nuestra integral original quedará como:
= −Ctg(α) − α + C
=−
∫
⎛ x ⎞
3 − x2
− Se n−1 ⎜
⎟+C
x
⎝ 3⎠
⎛ x ⎞
3 − x2
3 − x2
⋅
=
−
− Se n−1 ⎜
dx
⎟+C
2
x
x
⎝ 3⎠
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
1.
∫x
dx
2
3.
∫x
5.
∫
7.
Respuesta
4−x
2
dx
1
25 − x2
dx
x2 − a2
x2dx
∫ (x
2
+4
−
)
2
5
(4 − x )
2
4
2
Ln
5-
25 − x
2
+C
x
x
arcTan
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
2.
+C
4x
Ln x +
1
1
Integral
2
x
2
−a
−
2
+C
(
x
2
2 x +4
)
+C
∫x
Respuesta
dx
1
x
Ln
+C
2
2 + x2 + 4
2
x +4
Tan x
Sec2 x dx
4.
∫ (4 − Tan x)
6.
∫
8.
∫
3
2
xdx
4+x
dx
2
+C
4 4 − Tan x
4 + x2 + C
2
1 − 4x
2
1
2
2
arcSen 2x + C
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
dx
∫
9.
11.
∫
13.
∫
15.
∫
17.
∫
4x + x
Ln x + 2 +
2
(
x
e dx
(e
2x
+ 8ex + 7
)
3
x a
2
(x + 1)
4−x
dx
2
2
a
dx
−
2 − 5x
21.
∫ (4 + 9x )
dx
1
2
x 9+ x
3
Ln wdw
∫t
1
4
5
t + 25
27.
∫
x
28.
∫
2
x
x
x
2
Ln t
dx
dx
−
1
2
9−x
dx
3
∫
14.
∫
16.
∫
18.
∫
2
(4x
dx
2
−9
)
3
3
2
−
2
dx
3−x
2
+ 2x
dx
(a
20.
∫
22.
∫x
x −a
dx
2
−x
x
)
2
3
2
2
arcSen
6
dx
5 − x2
x −1
2
x
arcSec
a
dx
a
1
3
−
4
2-
4−x
x 9−x
8x
2
+
2
2
5
a
2
a
2
−x
arcSen
2
x
+
+
4−x
2
5
5 − x2
+C
5x
+C
9
⎛x⎞
arcSen ⎜ ⎟ + C
2
⎝3⎠
1
⎛x⎞
arcSec ⎜⎜ ⎟⎟ + C
54
⎝3⎠
Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)
1.-
∫
xdx
2
x + 4x + 8
2.-
∫ (e
2x
ex dx
+ 8ex + 7)3/2
3.-
∫
(y + 1)dy
5 + 12y − 9y2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
+C
+C
+C
3
Ln t + C
2
x
x2 − 9
−9
+ 25 − 5 −
+C
)
x
2
25 − x
2
(
2
−1
1
x 4x2 − 9 2 + C
9
1
2
x
9 5 − 4x − x
)
2Ln
2
2
2
12.
(5 − 4x − x )
x + 9 + x2
+C
3
(
2
∫
+C
∫
x +2
1
8 + Ln2w Ln2w − 4 + C
3
w Ln w − 4
2dt
4−x
26.
4 + 9x
Ln
2
3x
Ln
4
dx
25.
+ x
2
⎛ Cos θ ⎞
⎟ +C
arcCos ⎜
⎜
⎟
2 ⎠
⎝
2
∫
a
+C
x⎞
⎛
4 − x2 + ⎜⎜ arcSen ⎟⎟ + C
2⎠
⎝
2
2 − Cos θ
24.
a+
2
10.
+C
x
Ln
+C
⎛
⎞
arcSen ⎜ x 5 ⎟ + C
2
⎝
⎠
5
Senθ dθ
∫
∫
2
1
19.
23.
)
9 e2x + 8e x + 7
1
+ x
x
− e +4
dx
2
4x + x
Pág. 42
dx
Prof. Pedro R. Guédez
+C
Guia de Cálculo II
Integral
∫
3.
∫
5.
∫ 9x
2
7.
∫ 4x
2
9.
11.
13.
Respuesta
dx
1.
∫x
1
1 − 4x
dx
2
2x − x
2
2
arcSen (x − 1) + C
1
+ 16
12
dx
1
+ 4x + 2
2
dx
1
2
− 2x + 5
dx
17.
∫ 4x
18.
∫x
19.
∫
20.
∫
21.
∫
23.
∫
24.
∫
25.
∫
26.
∫
2
1
2
4
1
+ 4x + 5
x dx
4
1
+ 4x + 5
x dx
2
2
x − 2x + 5
(x + 1) dx
2
2x − x
(x - 1) dx
x
2
x
2
arcTan
7
θ
(2x + 3 ) dx
2
4
arcTan (2x + 1) + C
2
Cos θ dθ
∫ 4 − Sen
+C
x −1
+C
2
∫
4.
∫
6.
∫
8.
∫
10.
∫
dx
1
4 − 9x
(1 - x ) dx
8 + 2x − x
dx
4x
x
dx
2
2 − 5x
r dr
1
16
− 4x + 3
x dx
+ 4x + 5
x dx
5 + 4x − x
x dx
2
3 − 2x − x
(2 + x ) dx
2
4 − 2x − x
2
arcTan
Ln
2x − 1
7
2 + Sen θ
1
4
6
2
+ 4x + 5 − 2arcTan (x + 2 ) + C
− 2x + 5 + Ln x − 1 +
2x − x
x
2
x
2
− 4 x + 3 + Ln x − 2 +
x
2
+ 4 x + 5 − 2Ln x + 2 +
arcCos
arcSen
x −2
3
1+ x
2
1+ x
5
−
x
+C
4
3r
arcTan
arcCos
+C
4
e
1- x
4
2
x
7
( )+ C
arcTan e
2
x
− 2x + 5 + C
+C
x
2
x
5 + 4x − x
2
− 4x + 3 + C
2
+ 4x + 5 + C
+C
2
+C
2
+C
−
3 − 2x − x
−
4 − 2x − x
+C
+C
1⎞
⎛
arcTan ⎜ x + ⎟ + C
2
2⎠
⎝
Ln 4x
2arcSen
+C
1
+ 4x + 5 +
2 arcSen (x − 1) −
2
2x
2
2
7
x
Ln 4x
x
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
2x
15 + 2x − x
∫1+e
arcSen
1
e dx
16.
arcSec
2
5
10
arcSen
x+C
5
2
2
dx
∫
+ C 14.
+C
2 − Sen θ
∫7+e
+C
2
8 + 2x − x
2
− 16
16 − 9r
3x
arcSen
3
2
e dx
12.
2arcTan x + C
x
−x+2
15.
3x
arcTan
2.
Respuesta
x
dx
2
Integral
arcSen 2 x + C
2
dx
∫ (1 + x )
∫x
Pág. 43
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
27.
∫
28.
∫
Pág. 44
(x + 1) dx
2x
x
2
2
2
x − 3x + 2
5
3
+
Ln x − +
2
2
2 2
− 6x + 4
dx
Ln x − 1 +
− 2x − 8
x
2
x2 − 3x + 2 + C
− 2x − 8 + C
Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II)
Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales (la
variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador
es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede reducirse a una
expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo
X 4 + 3x 3
2
x + 2x + 1
5x + 3
= x2 + x - 3 +
2
x + 2x + 1
Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple expresión
(Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente; por lo
que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias.
Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.
Ejemplos Ilustrativos:
∫x
2x + 3
3
+ x 2 − 2x
dx
Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten
Ejemplos Ilustrativos::
∫x
x3 + 1
4
− 3x 3 + 3x 2 − x
dx
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
1.
3.
5.
7.
9.
∫x
∫x
∫
Respuesta
dx
2
−4
dx
3
+ 3x
2
(5x − 2) dx
2x2 + x − 4
∫x
3
− x 2 − 2x
dx
∫ x(x + 1)
2
1
x−2
Ln
+C
4
x+2
2.
1
x+3
1
Ln
−
+C
9
x
3x
4.
Ln C (x − 2) (x + 2)
6.
2
x2 − 4
dx
Integral
Ln
3
x2 (x − 2)
+C
x +1
1
x
+ Ln
+C
x +1
x +1
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
8.
10.
Respuesta
(4x − 2) dx
∫x
∫
3
Ln
2
(5x
− x − 2x
2
)
(4w - 11) dw
)
+ 7w − 4
2
− 2x − 1 dx
)
(2x − 1) dx
∫ (x − 1) (x − 2)
C (w + 4)
2w − 1
3
Ln
2
4x 3 − x
+C
Ln C x3 x2 − 1
x −x
∫ 2w
(6x
∫
(x + 1)2
(
− 3 dx
3
x2 − 2x
1
C x 4 (2x + 1)
Ln
4
2x − 1
3
Ln
(x − 2)3
x −1
+C
Prof. Pedro R. Guédez
11.
13.
15.
17.
∫
Guia de Cálculo II
x
dx
2
x + 4x − 5
∫e
e t dt
2t
+ 3e + 2
2
∫x
Sen β dβ
β + Cos β − 2
3
+ 9x 2 + 23x + 15
dx
∫ (x + 1) (x
20.
∫ 4x
∫
2
)
+ 8x 2 + 3x
22.
+ 5x ) dx
∫ (x − 1) (x + 1)
23.
∫x
24.
dx
dx
4x3 − x
2
(x + 1)
z2
∫ (z − 1) dz
(x − 3x − 7) dx
∫ (2x + 3) (x + 1)
(y − 8) dy
∫ y + 2y
3
2
27.
3
∫
2
x5 + x 4 − 8
x 3 − 4x
dx
4 dx
∫x
29.
∫ (x − 2) (x − 1)
30.
∫x
31.
∫
+ 2x 2 − x − 2
dx
(x − 8) dx
2
− 4x + 4x
(3x + 2)dx
x(x + 1)
3
33.
x dx
∫ (x + 2)
2
(x + 4)
3z + 1
∫ (z
2
−4
)
2
2
dz
+ 4x − 5
x 2dx
2
+ 2x + 1
(2x − 1) dx
∫ (x − 1) (x − 2)
3
1
Ln x − 3 + Ln x + 1 + C
4
4
x − 2Ln x + 1 −
Ln
1
+C
x +1
(x − 2)3 C
(x - 1)2
(x + 1) + 1 arcTan x + C
1
Ln 2
4
2
x +1
(2x + 1) (2x + 3) + C
1
− Ln
2
x2
x+
(2x + 1) (2x − 1)
1
Ln
2
x2
+C
1
+C
x +1
x +1 1
1
− −
+C
x
x x +1
Ln z − 1 −
2
1
−
+C
(z − 1) 2(z − 1)2
3
1
+ Ln x + 1 − Ln 2x + 3 + C
x +1
2
y2
4
− 2y + + 2Ln y 2 + 2y + C
2
y
x3
x2
x 2 (x − 2)
+
+ 4x + Ln
3
2
(x + 2)3
+C
(x − 1) + 16 Ln x + 2 + C
x2
1
− 2x + Ln
2
6
(x + 1)3 3
3
x−2
+ 2Ln
+C
x−2
x
4x + 3
2(x + 1)
2
32.
∫x
dx
1
x−2
+ Ln
+C
x −1
x −1
2
3
18.
− 2x − 3
(x + 1)dx
5
28.
3
2
(x + 3) C
1
Ln
8
(x + 5)5(x + 1)
2 Ln
2
4
26.
∫x
16.
2
2
25.
14.
2 + Cos β
1
Ln
+C
1 − Cos β
3
Ln (x + 1) (x − 1) −
2
dx
2
2
2
4x3 + 2x2 + 1
(3x
+C
2 + et
∫x
3
1
Ln x − 3 + Ln x + 1 + C
4
4
2
+1
4x + 3
3
1 + et
x
12.
6
x dx
19.
21.
Ln
t
∫ Cos
Pág. 45
1
5
Ln (x + 5) (x − 1)C
6
−
2
+ 2Ln
5x + 12
2
x + 6x + 8
x
+C
x +1
+ 2Ln
x+4
+C
x+2
5
7
1
z+2
−
+
Ln
+C
16(z + 2) 16(z − 2) 32
z−2
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
Prof. Pedro R. Guédez
34.
35.
∫
Guia de Cálculo II
x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 4x + 17
x 3 + x2 − 5x + 3
Pág. 46
dx
− 24x3 + 30x2 + 52x + 17
∫ 9x
4
3
2
1 2
3
x + 2x −
− Ln x 2 + 2x − 3 + C
2
x −1
− 6x − 11x + 4x + 4
− Ln (3x + 2)
2
dx
3
(x − 1)2
−
1
3
−
+C
3(3x + 2) x − 1
Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV)
Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores
cuadráticos se repite.
4dx
Ejemplos Ilustrativos:
x 3 + 4x
∫
Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores
cuadráticos se repiten
Ejemplos Ilustrativos:
∫
(2x
3
)
+ x + 3 dx
(x
2
)
+1
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
1.
3.
Respuesta
dx
∫ 2x
3
+x
2x dx
∫ (x + 1) (x + 1)
(2t − 8t − 8) dt
∫ (t − 2) (t + 4)
2
2
2
5.
7.
9.
10.
11.
∫
2y 3 + y 2 + 2y + 2
y
4
2
+ 3y + 2
2x 2 - 3x - 3
∫ (x − 1) (x
2
− 2x + 5
dz
)
dx
(x 3 - 6) dx
∫x
∫x
12.
∫x
13.
∫x
4
2
+ 6x + 8
+1
( 3x - 7)dx
3
2
+ x + 4x + 4
dx
3
2.
∫
1
+ arcTan x + C
x +1
4.
∫z
t2 + 4
+C
t −2
6.
∫ x(x
8.
∫x
Ln y 2 + 2 + arcTan y + C
Ln
Ln
(x
2
(x
2
− 2x + 5
(x − 1)
+4
)
x2 + 2
+
)
3
2
+
2
)
+ 6 dx
3
x + 3x
dz
4
+z
)
+1
)
1
− arcTan z + C
z
Ln
[
x
2
x +1
(
+C
)]
1 3
x + Ln x 3 − 1 + C
3
x 5 dx
3
(
Ln x 2 x2 + 3 + C
−
2
dx
2
Respuesta
−1
1
x −1
arcTan
+C
2
2
3
x
3
x
arcTan −
arcTan
C
2
2
2
2
(x + 1) + 1 arcTan 2x − 1 + C
1
Ln 2
6
x -x +1
3
3
2
dx
3
(4x
1
C x2
Ln 2
2
2x + 1
2 Ln
2
Integral
2
+x +x
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
Ln
(x
2
+4
(x + 1)
2
) + 1 arcTan x + C
2
2
⎛ 2x + 1 ⎞
1
C x2
1
⎟
Ln 2
−
arcTan ⎜⎜
⎟
2
x + x +1
3
3 ⎠
⎝
Prof. Pedro R. Guédez
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Guia de Cálculo II
t 2 + t + 1 dt
(
∫ (2t + 1) (t
∫x
5
3
+ 2x + x
(
4
dx
Ln
2
+2
)
2
2
2
dx
2
2
22.
∫x
4
−1
18dz
∫
)
−1
2
x + 2x − 1
3
27x − 1
∫ (2x − 3) (x
2
+4
)
∫ 4x
28.
∫ (x
29.
∫ (x
30.
31.
∫
∫
3
+ 9x
dx
2
Ln
dx
(x − 1)2
x2 + 1
x
2
+C
+ arcTan x + C
)
)
4x 2 + 9
x−
2
x
2
+
1
2x
arcTan
+C
6
3
3
x
arcTan x +
+C
2
2
2(x + 1)
1⎛ 1
⎞
+ arcTan x ⎟ + C
⎜ 2
2 ⎝x +1
⎠
)
+1
4 2
arcTan
x −1
− 2 arcTan x + C
x +1
(
)
+1
1
1
1
Ln x 2 + 1 − 2
+C
2
x +1
2
x 4 dx
2
−
t2
8
− 4Ln t 2 + 4 − 2
+C
2
t +4
2
x − 18
27.
2
+C
⎛ 2x − 1 ⎞
x −1
10
2x − 1
⎟−
−
arcTan ⎜⎜
+C
⎟
x
3 3
3 ⎠ 3(x2 − x + 1)
⎝
Ln
(
t dt
∫ (t + 4)
(x + 3x) dx
∫ (x + 1)
2
)
+1
1
1 − x2
1
x2 + 4
x
Ln
+ arcTan + C
2
2x − 3
2
dx
3
26.
(x − 1) (x 2
+ Ln
)
2 x
⎛ 6x + 1 ⎞
5
2
5
⎟+C
Ln 9x 2 + 3x + 1 −
Ln 3x − 1 +
arcTan ⎜⎜
⎟
162
81
9 3
3 ⎠
⎝
dx
x2 + x − 10
2
(
+ Ln x2 + 2
3x 2 − 1
Ln
5
25.
x − 2 x +1
+ 2 arcTan
1
z
⎛ 2z ⎞
arcTan ⎜
+C
⎟+
2
6
⎝ 3 ⎠ 4z + 9
2
4 dx
4
2
)
1
2x − 1 1
Ln
− arcTan 2x + C
8
2x + 1 4
dx
+9
(
x + 2 x +1
4(x + 2)
2
2
2
Ln
1
x
arcTan x 2
2
2x +1
−
2
2
∫ (x − 1) (x + 1)
dx
∫ (x − x) (x − x + 1)
∫ (4z
x +1
2−x
dx
2
4x 2 − 8
21.
2
2
+1
∫ (x
C x2
1
x3 + x − 1
)
)
4 dx
∫x
∫ 16x
24.
Pág. 47
1
2
3
Ln t 2 + 1 (2t + 1) + arcTan t + C
10
3
+1
2x 2 − x + 2
20.
23.
2
)
2
3
5z − z2 + 15z − 10
2
z − 2z + 5
dz
(Sec x + 1) Sec x dx
2
2
3
1 + Tan x
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
5
65
- 47z + 15
⎛ z -1⎞
Ln z2 − 2z + 5 −
arcTan ⎜
+C
⎟+
2
16
2
8
z2 − 2z + 5
⎝
⎠
(
)
⎛ 2 Tan x − 1 ⎞
1
2
⎟+C
Ln1 + Tan x +
arcTan ⎜⎜
⎟
2
3
3
⎝
⎠
Prof. Pedro R. Guédez
32.
33.
34.
Guia de Cálculo II
x2 + x dx
∫x
∫
(
3
y 5 + 9y 3 − 9y 2 − 9
y 3 + 9y
4x 2 + 2x + 8
∫ x (x
2
+2
x + 4x
∫ (x
2
+2
)
3
2
x
2
2x + 4
)
(x2 + 2)2
2z + 3z + 2
2
+ 2z + 2)
)
+ Ln
1
dx
3
∫ (z + 2)(z
(
4
y3
− Ln y 2 + 9 + C
3
dz
dx
2
36.
Ln x − 1 + arcTan x + C
− x2 + x − 1
5
35.
Pág. 48
)
+
x2
2
x +2
−
2
x
arcTan
+C
4
2
1
Ln(x2 + 2) + C
2
2Ln z + 2 − arcTan (z + 1) + C
dz
Integral Definida
Limite superior de Integración
Integrando
b
∫
Signo de la Integral
a
f(x) dx
Diferencial, x es la variable de
integración
Limite inferior de Integración
Se lee integral de f(x) desde a hasta b
Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral
Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b
denotada por
b
∫
a
f(x) dx esta dado por:
b
∫ f(x) dx= [F(x) + C] = F(b) – F(a)
a
Propiedades de la integral definida
1)
2)
3)
4)
5)
a
∫ f(x) dx = 0
∫ f(x) dx = −∫ f(x) dx
∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k dx = k(b − a) ∀ k = cte
∫ [f (x) ± f (x) ± … ± f (x)] dx = ∫
a
b
a
a
b
b
b
a
a
b
a
b
a
b
1
2
n
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
a
f1 (x) dx ±
b
b
∫ f (x) dx ± … ± ∫ f (x) dx
a
2
a
n
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
6)
b
∫
a
f(x) dx =
∫
c
a
f(x) dx +
∫
7) mínf(b − a) ≤
b
a
Pág. 49
b
∫ f(x) dx
c
∀c tq a < c < b
f(x) dx ≤ máxf(b − a) siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo
de la función f en el intervalo [a,b]
b
∫
b) ∫
8) a)
a
b
a
f(x) dx ≥
b
∫
a
si f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b]
g(x) dx
f(x) dx ≥ 0
∀ x ∈ [a, b]
si f(x) ≥ 0
Ejemplos Ilustrativos: 1.-
∫
5
1
(
)
2
x 2 x 3 + 1 dx
2.-
∫
π
0
(cos x + 4)2 dx
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral
3
1.
∫
2.
∫ (2x + 5) dx
∫ (x − 2x + 3) dx
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3
dx
2
1
1
2
0
1
∫
∫
−1
(x + 1)2 dx
2
4x + 1 dx
7/3
19.
8/3
20.
0
3 − 2x
∫
0
8/3 - Ln 3
∫ ( a − x ) dx
∫ (2Sen x + 3Cos x + 1) dx
a
2
π
24.
∫
1/2
25.
(2x + 1)
2/9
26.
∫
(x − 1)(2x + 3) dx
-3/2
27.
∫ Ln x dx
(Cos x + 4)
33
π
2
28.
∫
0
29.
∫
a
∫
a
Cos x
2
Sen x
dx
Sen 2x
9.
∫
10.
∫
11.
∫
2
12.
∫
π
13.
∫
14.
∫ (a x − x ) dx
6
2
Cos 2x
0
dx
dx
1
3
−1
2
dx
⎛1 2
⎞
⎜ x − 5x + 2 ⎟ dx
−1 ⎝ 2
⎠
2
2
3
0
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
a2
4
30.
a2
0
0
1
x 2dx
x +1
dx
0
e 3x
π
(2 + 2Cos θ)12 dθ
4
0
0
∫
π
π
4
Sec 4 x dx
2
1
1
0
e x dx
−a
0
dx
a +x
4
1/12
4/3
2 Ln
2
+1
e
e-1
a2 − x 2 dx
2
4+π
0,3167
Sen3x Cos3x dx
0
6
5,6094
2
0
2
3 −1
x 3dx
x +1
2
2 −1
2
πr
2
1
∫
4
a
∫
23.
0
0
18.
0
Cos x dx
0
8
Respuesta
r −x
dx
∫
π
π
2
22.
0
π
0
∫
2
π
∫
r dx
17.
21.
∫ Sen x dx
π
r
0
13/3
0
∫
Integral
Respuesta
2
πa2
2
π
4a
Prof. Pedro R. Guédez
15.
16.
Guia de Cálculo II
dx
x
∫
e
∫
3
2tdt
2
1 + t2
0
Pág. 50
1
Ln 2
31.
32.
9
dx
−1
x2 − 9
1
xe x
∫
∫
0
(x + 1)
2
−1
Ln 5
12
1
(e − 2)
2
dx
Longitud de Arco de una Curva Plana
Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y =
f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como
la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos
asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la
fórmula
y
L =
∫
b
a
A=(a ,f(a))
•
1 + [f ' (x)] dx
2
B=(b ,f(b))
Y=f(x)
•
x
b
Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por:
a
L =
∫
d
c
1 + [f ' (y)] dy
2
Ejemplos Ilustrativos:
1.- Calcular la longitud de área de la curva y =
x3
1
en el intervalo [1/2 , 2]
+
6
2x
Resp. 33/16 u.c.
2.- Calcular la longitud de área de la curva y = Ln(cos x) entre x = 0 y x = π
Resp. Ln(√2 + 1) – ln – 1 ≈ 0,8819 u.c.
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6)
Resp. 10 u.c.
2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al
punto (4 , 0) Resp. 97 u.c.
3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto
(3 , 2 3 ) Resp. 14 u.c.
3
4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 2 Resp. 33 u.c.
16
Ciudad Ojeda Septiembre 2007
Prof. Pedro R. Guédez
Guia de Cálculo II
Pág. 51
5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto
3
(27 , 18) Resp. 1 (97 2 − 125) u.c.
27
3
6.- Calcule la longitud de arco de la curva y = 1 (x2 + 2) 2 desde el punto donde x = 0 hasta
3
el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.
7.- Obtenga la longitud de arco de la curva y = 1 x (3x − 1) desde el punto donde x = 1 hasta
3
el punto donde x = 4 Resp. 22 u.c.
3
2
8.- Hallar la longitud de arco de la curva y
2
3
+x
3
= 1 desde el punto donde x = 1/8 hasta el
punto donde x = 1 Resp. 9 u.c.
8
2
⎛y⎞
9.- Hallar la longitud de arco de la curva ⎜ ⎟
⎝ a⎠
3
2
⎛x⎞
+⎜ ⎟
⎝b⎠
3
= 1 en el primer cuadrante desde el
3
8a3 − (a2 + 3b2 )
punto donde x= 1 a hasta el punto donde x= a Resp.
2
8
2
8(a − b )
2
u.c.
10.- Hallar la longitud de arco de la curva 9y2 = x(x − 3)2 en el primer cuadrante desde el
punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. 2 3 − 4 u.c.
3
2
2
2
⎛y⎞ 3 ⎛x⎞ 3
Resp. 6a u.c.
11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = a 3
⎝b⎠
⎝ a⎠
12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8
Resp. 1 + 1 Ln 3 u.c.
2
2
13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , x = π
4
Resp. Ln ⎛⎜ Tan 3π ⎞⎟ u.c.
8 ⎠
⎝
3
14.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x
(
2
desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8)
)
Resp. 8 10 10 − 1 u.c.
27
15.- Hallar la longitud de arco de la curva y =
x3
1
desde el punto donde x = 1 hasta el
+
3
4x
punto donde x = 3 Resp. 53 u.c.
6
16.- Hallar la longitud de arco de la curva x =
y4
1
+
4
8y 2
desde el punto donde y = 1 hasta el
punto donde y = 2 Resp. 123 u.c.
32
17.- Hallar la longitud de arco de la curva (y + 1)2 = 4x3 desde el punto donde x = 0 hasta el
(
)
punto donde x = 1 Resp. 4 10 10 − 1 u.c.
27
18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4)
Resp. 9,07 u.c.
19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la
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ordenada x = 5a Resp. 335a u.c.
27
20.- Calcular la longitud de arco de la curva y =
x3
1
desde el punto de abscisa x = 1
+
6
2x
hasta el punto de abscisa x = 3 Resp. 14 u.c.
3
21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del
lado recto. Resp. p 2 + p Ln (1 + 2 ) u.c.
2
2
22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto
donde x = 5/9 Resp. 19 u.c.
27
23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3)
Resp. 4,98 u.c.
24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto
⎛π
⎞
⎜ , Ln2 ⎟ Resp. Ln (2 + 3 ) u.c.
⎝3
⎠
25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0)
y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c.
26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x
Resp. 9,29 u.c.
3
27.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x
(
2
desde el punto donde x = -1 hasta el punto
)
donde x = 8 Resp. 1 13 13 + 80 10 − 16 u.c. ≈ 10,5 u.c.
27
28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 π r u.c.
2
29.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x
Resp.
1 ⎛
⎜ 40
27 ⎝
3
2
3
− 13
2⎞
⎟
⎠
3
desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)
u.c. ≈ 7,6 u.c.
3
1
30.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 1 x 2 − x 2 desde el punto donde x = 1 hasta el
3
punto donde x = 9 Resp. 53 u.c.
6
3
31.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 2 + 1 en el intervalo [0,1]
2
32.- Hallar la longitud de arco de la curva y =
x5
1
en el intervalo [1,2]
+
10 6x 3
33.- Hallar la longitud de arco de la curva y =
ex + e − x
2
en el intervalo [0,2]
3
34.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 2 + 1 en el intervalo [1,8]
2
3 32
35.- Hallar la longitud de arco de la curva y = x − 1 en el intervalo [0,4]
2
36.- Hallar la longitud de arco de la curva
x =
y4
1
en el intervalo [1,2]
+
4
2y
4
2
37.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 3 − 38 x 3 desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 8
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38.- Hallar la longitud de arco de la curva y = 1 x3 + x2 + x + 1
desde el punto donde x = 0
3
4x + 4
hasta el punto donde x = 2
Área bajo una curva
Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales
Entonces la medida del área de la región R está dado por:
y
Y=f(x)
(x ,f(x))
A=
x = a , x = b.
2
b
∫ f(x) dx
a
R
a
x
b
dx
Ejemplos Ilustrativos:
1.- Hallar el área acotada por la parábola y – 1 = x2 y la recta x = 3
2.- Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9 Resp. 9 π u2.c.
3.- Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 5 Resp. 60 u2.c.
Área entre dos curvas
Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b] entonces
el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta dada por:
A =
b
∫ [f(x) − g(x)] dx
y
a
(x ,f(x))
Y=f(x)
2
f(x)-g(x)
Y=g(x)
R
f(x)
g(x)
a
2
dx (x ,g(x))
x
b
Ejemplos Ilustrativos:
En los siguientes ejercicios calcular el área de la región acotada por las curvas dadas:
1.- y = 3 – x2 ; y = x+1 Resp. 9/2 u2.c.
2.- y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la recta x= -3 Resp. 38/3 u2.c.
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Área de una Región en Coordenadas Cartesianas
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas
Curvas
Curvas
Resp.
Resp.
x 2 − y + 1 = 0;
1. y = 4 - x2 ; eje x
32 2
u c
2
2.
3. y = x3 ; x = 0; x = 4
64 u2c
4. 19 y = 3x + 1 ; y = x + 1
5. y = 4 - x 2 ; x = 1; x = 3
22 2
u c
3
6. x3 = 2y2 ; x = 0; y = -2
7. y = 9 - x 2 ; x = 0; x = 3
18 u2c
8. 21 y 2 = x ; x = y + 2
9. y = x 2 + x + 1; eje x; x = 2; x = 3
11. y = x3 + 3x 2 + 2x; eje x; x = −3; x = 3
13. y = x2 + x - 12; eje x
15. xy = k 2 ; eje x; x = a; x = b
9 5 u2c
6
54 u2c
x − y +1 = 0
10. y = 2 - x 2 ; y = -x
12. 23 y 2 = x ; x = y + 2
343 2
u c
6
b
k 2 Ln u2c
a
14. y 2 = x - 1; x = 3
16. y = 3 - x 2 ; y = x + 1
17. y = Sen x ; eje x; x = π 3 ; x = 2π 3
1 u2c
18. y = x ; y = x 3
19. y = x2 − 4x; y = 0
32 2
u c
2
20. x 2 + y + 4 = 0; y = -8
1 2
u c
6
3 2
u c
2
12 2
u c
5
9 2
u c
2
9 2
u c
2
6 u2c
8
3 u2c
3
9 2
u c
2
5 2
u c
12
32 2
u c
3
27 2
uc
10
21. y = x 2 + 2x + 1; y = 3x + 3
9 2
u c
2
22. y 3 = x 2 ; x - 3y + 4 = 0
23. y = x ; y = x 2 - 1; x = −1; x = 1
7 2
u c
3
24.
32 2
u c
3
26. x = y2 - 2 ; x = 6 - y2
64 2
uc
3
28. y = x; y = 2 − x; y = 0
1 u2c
2
25. x = - y; y = -4
27. y = Cos x - Sen x ; x = 0; y = 0
29.
y = 2x 3 - 3x 2 - 9x;
3
2
y = x − 2x − 3x
( 2 − 1)u c
2
253 2
uc
12
y = x 3 + 3x 2 + 2x;
2
y = 2x + 4x
37 2
uc
12
30.
Sólidos de Revolución
Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el plano
llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un
punto
Ejemplos:
1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre si mismo
se genera una esfera (Fig. No. 1).
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2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se
genera un cono recto circular (Fig. No.2).
Fig. No.1
Fig. No.2
Volumen de un sólido de Revolución.
Método del Disco
Este método se usa cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se hace girar y
el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de revolución.
Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b]. Si
denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada
por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a ∧ x=b y si el volumen del solido de
revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces:
Eje de Revolución
Horizontal
y
∫
V = π [f(x)]2 dx
Y=f(x)
Y=f(x)=r
Eje de Revolución
Vertical
∫
x
Eje de
revolución
2
V = π [f(y)] dy
x=a
dx
x=b
dx
1.- Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del eje x la región
acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2 Sol. V=128π /7 U3C
2.- Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura h y base b.
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3.- Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región limitada por un arco
de la senoide es girada alrededor del eje x Sol. V=π2 /2 U3C
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se
genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es
girada sobre el eje dado.
Sol. 64π U3 C.
1.- La región R1 girada alrededor del eje X
2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C.
3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C.
4.- La región R1 girada alrededor del eje Y
Sol. 512 π/7 U3 C.
5.- La región R2 girada alrededor del eje X
Sol. 192 π U3 C.
6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C.
7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C.
8.- La región R2 girada alrededor del eje Y
Sol. 384 π/7 U3 C.
y 2 = x3
A (4 , 8)
(0 , 8)C
R2
R1
O
(4 , 0)
B
En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor
del eje X la superficie limitada por las curvas dadas.
9.- x 3 = y; y = 0; x = 2 Sol. 128π/7
10.- ay2 = x3; y = 0; x = a Sol. 1 πa3
4
11.- Una arcada de y = Cos(2x) Sol. 1 π 2
4
12.- y = e-x ; y = 0 ; x = 0; x = 5 Sol. 1 π (1 − e −10 )
13.- 9x2 + 16 y2 = 144 Sol. 48π
2
14.- y = xex ; y = 0 ; x = 1 Sol. 1 π (e2 − 1)
4
En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor
del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas.
15.- x3 = y; y = 0; x = 2 Sol. 64π/5
16.- 2y2 = x3; y = 0; x = 2 Sol. 32 π
7
17.- y = ex ; y = 0 ; x = 0 Sol.2 π
18.- 9x2 + 16 y2 = 144 Sol. 64π
Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por:
Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez
Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro
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Bibliografía
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