VARIABLE COMPLEJA
Capitulo IV
DERIVACION COMPLEJA
Introducción:
La derivada de una función compleja de variable compleja se define
exactamente de la misma manera que en el caso del campo real (Cálculo I).
Por lo cual para derivar funciones complejas se utilizarán las mismas
propiedades, métodos y tablas de derivación del campo real pero adecuando
la variable (de x a z)
Definición:
Si f(z) es unívoca en alguna región R del plano z la derivada de la
función está definida como:
𝒇(𝒛 + ∆𝒛) − 𝒇(𝒛)
∆𝒛→𝟎
∆𝒛
𝒇′ (𝒛) = 𝐥𝐢𝐦
Si el límite existe independientemente de la manera como ∆𝒛 → 𝟎. En
tal caso decimos que f(z) es diferenciable en z.
Propiedades de las Derivadas:
Sean 𝒇, 𝒈: 𝑫 ℂ → ℂ funciones complejas y k una constante compleja
entonces se verifica que:
1. Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) ⇒
𝒅𝒘
𝒅𝒛
2. Si 𝒘 = 𝒌 ∙ 𝒇(𝒛) ⇒
=𝟎
𝒅𝒘
3. Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) ± 𝒈(𝒛) ⇒
4. Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) ∙ 𝒈(𝒛) ⇒
𝒇(𝒛)
5. Si 𝒘 = 𝒈(𝒛) ⇒
𝒅𝒘
𝒅𝒛
= 𝒌 ∙ 𝒇′(𝒛)
𝒅𝒛
=
𝒅𝒘
𝒅𝒛
𝒅𝒘
= 𝒇′(𝒛) ± 𝒈′(𝒛)
= 𝒇′ (𝒛) ∙
𝒅𝒛
𝟏
(𝒇′ (𝒛) ∙
(𝒈(𝒛))𝟐
𝒈(𝒛) + 𝒇(𝒛) ∙ 𝒈′(𝒛)
𝒈(𝒛) − 𝒇(𝒛) ∙ 𝒈′(𝒛)) con: 𝒈(𝒛) ≠ 𝟎
Tablas de Derivación: (Copiar las tablas de derivación de cálculo I adecuando
la variable)
Derivadas de Orden Superior:
Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) es analítica en una región R, su derivada está dada por:
𝒇′ (𝒛), 𝒘′ 𝒐
𝒅𝒘
𝒅𝒛
.
De manera análoga a cálculo en el campo real la derivada de
orden superior será la derivada de la derivada se sobre entiende que cada
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una de las derivadas serán analíticas en la región R para poder hallar la
siguiente derivada hasta la derivada n-esima.
Ejem.: 1 dadas las funciones calcular las derivadas pedidas
Regla de L’Hôpital:
Sean 𝒇(𝒛) 𝑦 𝒈(𝒛) analíticas en una región que contiene al punto 𝒛𝟎 y
supongamos que 𝒇(𝒛𝟎 ) = 𝒈(𝒛𝟎 ) = 𝟎 𝑝𝑒𝑟𝑜: 𝒈′(𝒛𝟎 ) ≠ 𝟎. Entonces la regla de
L’Hôpital establece que:
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒛)
𝒛→𝒛𝟎 𝒈(𝒛)
𝒇′(𝒛 )
= 𝒈′(𝒛𝟎 )
𝟎
En el caso en que: 𝒇′(𝒛𝟎 ) = 𝒈′(𝒛𝟎 ) = 𝟎 la regla puede extenderse y también se
puede hacer modificaciones adecuadas para todas las indeterminaciones.
Ejem.: 2
Funciones Analíticas:
Si la derivada 𝒇′(𝒛) existe en todo punto z de una región R, entonces
diremos que 𝒇(𝒛) es analítica en R. Los términos regular y holomorfa son
usados algunas veces como sinónimos de analítica.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Una condición necesaria para que 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) sea
analítica en una región R es que, en R, u y v satisfagan las condiciones de
Cauchy-Riemann; las mismas establecen lo siguiente:
1. 𝒖𝒙 = 𝒗𝒚 es lo mismo que decir:
𝝏𝒖
=
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒖
2. 𝒖𝒚 = −𝒗𝒙 es lo mismo que decir:
𝝏𝒚
=−
𝝏𝒗
𝝏𝒙
Las anteriores ecuaciones que están en rectangulares también se las puede
expresar en polares de la siguiente forma:
Sea: 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) una función compleja de variable compleja la
misma podrá escribirse de la forma: 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒓, 𝜽) + 𝒊𝒗(𝒓, 𝜽), siendo:
𝒚
𝒙 = 𝒓 𝑪𝒐𝒔 𝜽 ; 𝒚 = 𝒓 𝑺𝒆𝒏 𝜽 𝑦 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒙)
1.
2.
𝝏𝒖
𝝏𝒓
𝝏𝒗
𝝏𝒓
𝟏 𝝏𝒗
= 𝒓 ∙ 𝝏𝜽
𝟏 𝝏𝒖
= − 𝒓 ∙ 𝝏𝜽
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Nota: Las funciones 𝒖(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒗(𝒙, 𝒚) son llamadas algunas veces funciones
conjugadas. Dada una, podemos encontrar la otra (salvo una constante aditiva
arbitraria) tal que: 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)
Ejem.: 3
Funciones Armónicas:
Se dice que una función es armónica si se verifica el Laplaciano, en
complejos podemos decir:
Si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x y y existen y
son continuas en una región R, entonces el Laplaciano estará dada por:
𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 = 𝟎 ó 𝒗𝒙𝒙 + 𝒗𝒚𝒚 = 𝟎
Ejem.: 4
Operadores Diferenciales en Complejos:
̅ por:
Definamos los operadores 𝛁 𝑦 𝛁
𝛁=
𝝏
𝝏
𝝏
+𝒊
=𝟐
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛̅
,
̅=
𝛁
𝝏
𝝏
𝝏
−𝒊
=𝟐
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
El operador 𝛁 nos lleva a definir las siguientes operaciones: Gradiente,
divergencia, Rotor y Laplaciano.
Sea 𝑭(𝒙, 𝒚) una función real continuamente diferenciable de x y y
(escalar), mientras que 𝑨(𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝑸(𝒙, 𝒚) una función compleja
continuamente diferenciable de x y y (vectorial).
En términos de coordenadas conjugadas tendremos:
𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝑭 (
𝒛 + 𝒛̅ 𝒛 − 𝒛̅
,
) = 𝑮(𝒛, 𝒛̅) y 𝑨(𝒙, 𝒚) = 𝑩(𝒛, 𝒛̅)
𝟐
𝟐𝒊
Gradiente: Definimos el gradiente de una función real F (escalar) por:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑭 = 𝛁𝑭 =
𝝏𝑭
𝝏𝑭
𝝏𝑮
+𝒊
=𝟐
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛̅
Similarmente el gradiente de una función compleja 𝑨 = 𝑷 + 𝒊𝑸 (vectorial)
esta definida por:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑨 = 𝛁𝑨 = (
𝝏
𝝏
𝝏𝑷 𝝏𝑸
𝝏𝑷 𝝏𝑸
+ 𝒊 ) (𝑷 + 𝒊𝑸) =
−
− 𝒊(
+
)
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝝏𝒚 𝝏𝒙
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Divergencia: Usando la definición de producto interior de dos números
complejos para extenderla al caso de operadores, definimos la divergencia de
una función compleja (vectorial) como:
̅ 𝑨} =
𝑑𝑖𝑣 𝑨 = 𝛁 𝐨 𝑨 = ℝ𝒆{𝛁
𝝏𝑷 𝝏𝑸
+
𝝏𝒙 𝝏𝒚
Rotor: Usando la definición de producto vectorial de dos números complejos
para extenderla al caso de operadores, definimos el rotor de una función
compleja (vectorial) como:
̅ 𝑨} =
𝑟𝑜𝑡 𝑨 = 𝛁 𝐱 𝑨 = 𝕀𝒎{𝛁
𝝏𝑸 𝝏𝑷
−
𝝏𝒙 𝝏𝒚
Laplaciano: El operador Laplaciano está definido como el producto escalar
del operador Nabla consigo mismo, es decir:
̅ 𝛁} =
𝛁 𝐨 𝛁 = 𝛁 𝟐 = ℝ𝒆{𝛁
Ejem.: 5
Ejercicios:
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𝝏𝟐
𝝏𝟐
+
𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐
