69153913-RAZONAMIENTO-MATEMATICO

BANCO DE PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
SEMANA Nº 03
TEMA: SERIES Y SUMATORIAS
Coordinador : Lic. Daúl Andrés Paiva Yanayaco.
Responsable : Lic. Jorge Enrique More Gómez.
PROPIEDADES DE SUMATORIAS
SERIE NUMÉRICA
n
åt
= t k + t k +1 + t k + 2 + ... + tn
i
i= k
Número de Términos = éë( n - k ) + 1ùû
t1 ; t 2 ; t 3 ; ... ; t n
n
Entonces la serie numérica será
n
i
i= k
n
å
Ø
i= 1
Ú
+r
Ú
+r
i= k
i
i= k
k
å
i= 1
ti +
n
å
i = k +1
n
n ( n + 1)
i =1
2
ti
Suma de los primeros “ n ” números pares.
Ø
n
å 2i = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1)
Donde t1 : Primer Término; t n : Último Término
n : Número de Términos
i =1
Suma de los primeros “ n ” números impares.
Ø
SERIE GEOMÉTRICA
n
å ( 2i - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n -1) = n
Pueden ser:
2
i =1
SERIE GEOMÉTRICA FINITA
S = t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn
Ú
´q
Ú
´q
n
åi
Ú Ú
´q ´q
(q
2
= 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
n ( n + 1)( 2n + 1)
6
i =1
Suma de los primeros “ n ” cubos.
Ø
La suma de todos sus términos se obtiene:
n
Suma de los primeros “ n ” cuadrados.
Ø
Para toda progresión geométrica de “ n ” términos:
t1
ti =
å i = 1 + 2 + 3 + ... + n =
æt +t ö
S = t1 + t2 + t3 + ... + tn = ç 1 n ÷ n
è 2 ø
S =
i= k
Suma de los primeros “ n ” números naturales:
Ø
La suma de todos sus términos se obtiene:
Ú
´q
n
i
SUMAS NOTABLES
t1 + t2 + t3 + t4 + ... + t n
Ø
i
i= k
En general: Para toda sucesión aritmética de “ n ”
términos:
Ú
+r
i
n
Es la adición indicada de los términos de una progresión o
sucesión aritmética.
Ú
+r
i
å c = éë ( n - k ) + 1ùû ´ c
Ø
SERIE ARITMÉTICA
Ú
+r
n
å ( a + b + c ) = å a + åb + å c
Ø
S = t1 + t2 + t3 + ... + tn
Ø
Número de términos:
Ø
Es la adición indicada de los términos de una
sucesión numérica y al resultado se le llama valor de
la serie.
Sea la sucesión:
- 1)
é n ( n + 1) ù
i = 1 + 2 + 3 + ... + n = ê
ú
å
i =1
ë 2 û
n
q -1
Donde: t1 : Primer Término;
q : Razón q ¹ 1 ; q ¹ 0
n : Número de Términos
3
3
3
å ( 2i )
3
n
= 23 + 43 + 63 + ... + ( 2n ) = 2n 2 ( n + 1)
3
å ( 2i - 3)
t
S = t1 + t 2 + t3 + t 4 + ... = 1 ,
1- q
Ú
Ú
Ú
Ú
´q ´q ´q ´q
å i (i + 1) = 1´ 2 + 2 ´ 3 + 3 ´ 4 + ... + n ´ ( n + 1) =
3
i =1
2
= 13 + 33 + 53 + ... + ( 2 n - 1) = n 2 ( 2 n 2 - 1)
Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma
se calcula así
q <1
2
3
Otras Fórmulas:
Ø
n
i =1
SERIE GEOMÉTRICA INFINITA
3
3
n
n ( n + 1)( n + 2 )
i =1
3
n
å i ( i + 1)( i + 2) = 1´ 2 ´ 3 + 2 ´ 3 ´ 4 + ... + n ´ ( n + 1) ´ ( n + 2) =
n ( n + 1)( n + 2)( n + 3)
4
i =1
n
1
1
1
1
1
n
å i ( i + 1) = 1´ 2 + 2 ´ 3 + 3 ´ 4 + ... + n ´ ( n + 1) = ( n + 1)
i =1
SUMATORIAS
Se denota por la letra
å ( letra griega sigma ) ,
n
i=1
¥
t i = t1 + t 2 + t 3 + . . . + t n
1 4 442 4 4 4
3
sum and os
i
år
i =1
"n"
1
1
1
1
n
i =1
leeremos
suma de sus elementos:
å
1
n
å ( 2i - 1)( 2i + 1) = 1´ 3 + 3´ 5 + 5´ 7 + ... + ( 2n - 1)( 2n + 1) = 2n + 1
i
n
=
r
( r - 1)
1
å a ´a
i =1
i
i +1
2
;
( r > 1)
1æ 1
1 ö
= ç ÷
ç
r è a1 an +1 ÷ø
; ai = elemento de una progresión aritmética
r = razón dela progresión aritmética
BANCO DE PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
9.
Determinar la razón de la siguiente progresión
aritmética, si la suma de sus términos es 1 476.
a) 23
d) 29
31 ; K ; 133
a) 5
d) 8
2.
b) 6
e) 9
c) 6 870
donde
Halle
M = 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + K
144424443
2
a1 + a 2 + a3 + K + a k = cb 00 .
R =b+c
a) 7
d) 10
" M ",
Calcular
c) 27
an = n 2 ( n + 1) - ( n - 1) n 2 ;
E = 1 ´ 8 + 2 ´10 + 3 ´12 + ... + 20 ´ 46
3.
b) 25
e) 31
2
b) 6 950
e) 7 000
S
10. Se define
c) 7
Calcular
a) 8 720
d) 6 240
S
, sabiendo que
Indique la suma de las cifras de
es la suma de todos los números impares que son
capicúas de tres cifras significativas.
b) 8
e) 11
c) 9
11. Indique el valor de la suma de todos los términos del
siguiente arreglo
4 0 té rm in o s
a) 18 640
d) 24 500
4.
b) 21 520
e) 20 250
Dada una sucesión de números definida del modo
siguiente:
m k = (13 + 2 3 + 33 + K + k 3 )
- 0.5
De modo que
an = ( m1 + m2 + m3 + K + mn ) ´ (1 + 2 + 3 + K + n )
Halle
b) 187
e) 385
Halle el valor de
c) 231
" m " , si
"a "
y
a) 12
d) 40
6.
a+b+c
b) 24
e) 30
a) -200
d) -190
Halle
c) 44
de la siguiente suma
43 + 71 + 46 + 69 + 49 + 67 + ... + 70 = aabc
b) 6
e) 12
13. ¿Cuál es el valor de
c) 8
E?
a) 1 540
d) 1 640
b) 1 550
e) 1 660
t1
t2
t3
t10
c) -180
t3
O
L
t10
t k = 1 + 3 + 5 + 7 + . ..
1 4 42 4 43
" k " su m a n d o s
a) 2 025
d) 4 356
E = 3 ´ 8 + 6 ´12 + 9 ´16 + 12 ´ 20 + K
144444
42444444
3
b) 3 000
e) 5 625
c) 3 025
" x " , si
1 + 2 + 3 + L + x = aaa
10 sumandos
c) 5 200
t3
L t10
Sabiendo que
15. Calcular
b) 5 180
e) 5 080
t2
N
" M ",
b) -210
e) -220
c) 1 600
14. Halle la suma de todos los términos de la siguiente
distribución:
c) 26
" E ",
a) 5 280
d) 5 100
c) 4 500
(Exprese el resultado en base 10)
cifras significativas diferentes
M = 12 - 22 + 32 - 42 + K - 202
8.
b) 4 280
e) 4 950
¿Cuál es el resultado de sumar todos los productos
que se obtienen al multiplicar cada número de dos
cifras por su consecutivo? .
(De como respuesta la suma de sus cifras)
Hallar el valor de
25
27
29
31
M
49
10 sum andos
b) 18
e) 30
a) 22
d) 28
7.
"b "
7 L
9 L
11 L
13 L
M
31 L
E = 1 2 3 + 3 4 5 + 5 6 7 + 7 8 9 + ...
1 4 4 4 42 4 4 4 43
a 2 + 3b
= 1.
b 2 + 3a
Siendo
entre sí.
5
7
9
11
M
29
a) 4
d) 10
72 + 70 + 68 + 66 + ... + m = aabb
Donde
3
5
7
9
M
27
a) 4 225
d) 4 850
12. Halle
S = a1 + a 2 + a 3 + K + a10 .
a) 143
d) 297
5.
1
3
5
7
M
25
c) 21 440
a) 35
d) 111
b) 37
e) 36
c) 38
BANCO DE PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
16. En una progresión aritmética la suma de los
" n " primeros
términos está dada por la siguiente
relación
n(3n + 13) .
2
Sn =
17. Hallar
b) 1 203
e) 1 211
K = 3 + 337 + 3337 + 33337 + ... + 33...337
1
424
3
" n " cifras
Hallar el término de lugar 400.
a) 1 208
d) 1 205
22. ¿Cuál es la suma de la serie en base 10?
a)
7 n+1 - 6n - 6
12
b)
7 n+1 - 6n - 7
12
c)
7 n+1 - 6n + 1
6
d)
7 n - 6n - 6
12
e)
7 n+1 - 6n - 7
6
c) 1 200
"S ",
" n " té r m in o s
6 4 447
4 4 48
(1 .3 + 3 .5 + 5 .7 + K ) + n
S =
12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + K
1 4 4 42 4 4 43
23. En la siguiente progresión geométrica de términos
enteros:
" n " té r m in o s
a) 4
d) 1
b) 3
e) 0
( 2 n + 1 ); (7 n + 1 ); (2 0 n + 5 );
c) 2
Halle el quinto término.
18. Si
A = 100 (1 + 2 + 3 + K + 101)
B = 101(1 + 2 + 3 + K + 100 )
de
modo
A - B= abab ,
que
a) 54
d) 405
halle
S= 1 + 2 + 3 + K + ab
a) 1 275
d) 1 035
19. Calcular
b) 820
e) 1 485
c) 630
" x + y " si
1 + 3 + 5 + 7 + L + x = 196
2 + 4 + 6 + 8 + L + y = 420
a) 69
d) 40
b) 68
e) 27
c) 67
20. Calcular
S=
3 4 3 4 3 4
+ + + + + +L
5 52 53 54 55 56
a) 7 5
d) 3 25
b) 19 24
e) 1 5
c) 1
21. Cada bolita ha sido numerada, y están dispuestas del
modo siguiente hasta completar 10 filas.
1
2
4
7
3
9
8
11 12
6
5
10
13 14
15
M M M M M
¿Cuánto suman los valores que corresponden a las
bolitas oscuras?
a) 1 540
d) 1 455
b) 1 544
e) 1 450
c) 1 510
b) 45
e) 1 215
c) 135
K
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TAREA DOMICILIARIA
1.
S = 1-
1 1 1 1
1
1
1
+ - + - +
+L
2 4 8 16 32 64 128
a) 2 3
d) 5 3
2.
K
términos, la razón es
Sabiendo que tiene
es el término central. Además R + K = 30 .
Calcular la suma límite de la Serie Infinita
4.
c) 4 3
b) 1
e) 7 3
Si
æ 1 öæ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
Pn = ç1 + ÷ç1 + ÷ç1 + ÷L ç1 + ÷ ,
è 1 øè 2 øè 3 ø è n ø
entonces el valor de
3.
a)
(n
d)
n2 + 1
2
+ 1)
2
Pn2
es:
b)
( n + 1)
e)
n2
2
c)
( n - 1)
a) 2 070
d) 2 570
b) 2 520
e) 2 700
y 90
c) 2 250
Sea " P " la suma de los cuadrados de los números
pares de dos cifras y sea " I " la suma de los
cuadrados de los números impares de dos cifras.
Halle
T=
I 2 - P2
102 + 112 + 122 + K + 992
a) 4 905
d) 5 940
2
Hallar el valor de la siguiente serie:
13 + K + 90 + K
R
,
HOJA DE CLAVES
Curso: Razonamiento Matemático
Tema: Series y Sumatorias
Semana: 03
Pregunta Clave Tiempo Dificultad
(Min.)
01
B
2
F
02
E
2
F
03
C
2
F
04
E
2
F
05
E
3
M
06
B
3
M
07
B
2
F
08
A
2
F
09
C
2
F
10
C
3
M
11
A
3
M
12
B
3
M
13
D
2
F
14
C
2
F
15
E
2
F
16
D
2
F
17
A
3
M
18
A
2
F
19
C
2
F
20
B
3
M
21
D
2
F
22
B
3
M
23
D
2
F
TAREA DOMICILIARIA
01
A
2
F
02
D
2
F
03
A
3
M
04
A
3
M
b) 5 000
e) 5 990
c) 5 004