CONTEO DE NÚMEROS

Curso:
NÚMEROS Y OPERACIONES
Profesor:
Paul Aburto
Tema:
CONTEO DE NÚMEROS
Ciclo:
SEMESTRAL – II
CATÓLICA
Propiedades:
CONTEO DE NÚMEROS
a) Para hallar el término “n” de una progresión aritmética
1. Progresión Aritmética
Es aquella secuencia de números donde la diferencia de dos
términos consecutivos siempre es constante.
Ejemplo:
Progresión aritmética creciente: 22 ,29 , 36 , 43 , ...
7
7
7
Progresión aritmética decreciente: 120 , 111, 102 , 93 , ...
−9
−9
−9
Al dividir cada uno de los términos de una progresión
aritmética entre su razón se obtiene el mismo residuo.
an = a1 + (n − 1)  r
b) Para hallar el número de términos de una progresión
aritmética
a − a1
n= n
+1
r
c) Para hallar la suma de los “n” primeros términos de una
progresión aritmética
a +a 
Sn =  1 n  n
 2 
Aplicación:
En la siguiente progresión aritmética:
13 , 24 , 35 , 46 , ...
En general:
a1 , a2 , a3 , ... , an
r
r
Donde:
a1: Primer término
an: Término enésimo
r: Razón
n: Número de términos
i. Halle el termino general
En la P.A:
13 , 24 , 35 , 46 , ...
11 11
11
 an = 13 + (n − 1)  11 → an = 11n + 2
Método práctico:
2
13 , 24 , 35 , 46 , ...
11
11 11
Observación: Sean a, b y c tres términos consecutivos de
una progresión aritmética.
11
→ an = 11n + 2
ii. Halle los términos 56 y 120.
• a56 = 11(56) + 2 = 618
• a120 = 11(120) + 2 = 1322
iii. Halle la suma de los 20 primeros términos.
PA :
a ; b ; c , ...
→ a + c = 2b
Problema 04
Halle la cantidad de términos que hay en la siguiente
progresión aritmética:
P.A. 3n + 5; 4n + 2; 4n + 7; … ; 309
A. 55
C. 56
B. 57
D. 58
• a20 = 11(20) + 2 = 222
Solución:
 a + a20 
 13 + 222 
 S20 =  1
20
=
20 = 2350



2
2




En la P.A: 3n + 5 ; 4n + 2 ; 4n + 7 ; ... ; 309
Aplicación:
Halle la cantidad de términos de la progresión aritmética:
45 ; 53 ; 61 ; 69 ; ... ; 941
8
8
5
 3n + 5 + 5 = 4n + 2 → n = 8
En la P.A: 29 ; 34 ; 39 ; ... ; 309
8
941 − 45
896
n=
+1 =
+ 1 = 113
8
8
5
5
n=
5
309 − 29
280
+1 =
+ 1 = 57
5
5
Clave B
Problema 09
En una progresión aritmética creciente, el producto del
cuarto y quinto término es 325 y la suma de dichos
términos es 38. Halle el mayor termino de 3 cifras de dicha
progresión.
A. 973
C. 997
B. 962
D. 988
2. Progresión Geométrica
Es aquella secuencia de números donde el cociente de dos
términos consecutivos siempre es constante.
Ejemplo:
Progresión geométrica creciente: 2 , 6 , 18 , 54 , ...
3 3 3
Solución:
Sea la P.A: a1 ; a2 ; a3 ; a 4 ; a5 ; ...;xyz
Progresión geométrica descendente: 880 , 440 , 220 , 110 , ...
Datos: a4  a5 = 325  a 4 + a5 = 38
13 25
13 25
La P.A:

−35 −23 ; − 11 ; 1 ; 13 ; 25
12
12
En general:
t1 , t 2 , t 3 , ... , tn
q q
12
→ an = 12n − 35
 12n − 35  1000 → 12n  1035 → n  86,25
 xyz(max) = 12(86) − 35 = 997
Clave C
Donde:
t1: Primer término
tn: Término enésimo
q: razón
n: numero de términos
1
2

1
1

2
2
Propiedades:
a) Para hallar el término “n” de una progresión geométrica
tn = t1  qn−1
b) Para hallar la suma de los primeros “n” términos de una
progresión geométricas.
 qn − 1 
Sn = t1 

q
−
1


Problema 05
Hallar la razón en la siguiente progresión geométrica:
(5 - x) ; (x + 1) ; (11 - x)
A. 3
C. 1
B. 4
D. 2
Solución:
La razón: k =
→ x 2 + 2x + 1 = 55 − 16 x + x 2 → 18x = 54 → x = 3
Aplicación:
En la siguiente progresión geométrica:
4 , 12 , 36 , 108 , ...
i. Halle el termino 20
3 +1
=2
5−3
ii. Halle la suma de los primeros 20 términos términos
 320 − 1 
20
= 4
 3 − 1  = 2 3 − 1


(
t , tq , tq2 , tq3 , ... ( −1  q  1)
 1 
Sn = t1 

 1− q 
3
 t 20 = 4  320 −1 = 4  319
 S20
k =
c) Suma de términos de una progresión geométrica infinita
En la P.G: 4 , 12 , 36 , 108 , ...
3 3
x + 1 11 − x
=
→ (x + 1)(x + 1) = (5 − x)(11 − x)
5−x
x +1
)