Solucionario Matematicas-I-42-55

SOLUCIONARIO
MatemáticasI
UNIDAD 3: Álgebra II: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
ACTIVIDADES-PÁG. 62
1. Las soluciones de las ecuaciones son:
a)
7
2
b) 0,5
c) 0,0625
2. Se cumplirá:
40 · 10 6  22 · 10 6 · 1,018t

 40 · 10 6 

log 
6 
22
·
10

  33,5112  33,5 años .
t
1,018
3. Los resultados son:
a) Las ordenadas son positivas en el intervalo (- 3, - 1).
b) Las ordenadas son negativas en  ,  3   1,   .
4. No podemos simplificar (dividir) por x – 5, ya que en este caso su valor es nulo.
ACTIVIDADES-PÁG. 79
1. Veamos si el producto de cuatro números enteros consecutivos (x – 1) · x · (x + 1) · (x + 2) es un cuadrado
perfecto menos una unidad.
Tenemos:
4
3
2

( x  1) · x · ( x  1) ·( x  2)  x  2 x  x  2 x
 2
2
4
3
2

( x  x  1)  x  2 x  x  2 x  1

 Luego, ( x  1) · x · ( x  1) ·( x  2)  ( x 2  x  1) 2  1
2. Ambos cohetes tardan
3 000 000
 60 segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo láxenla, en sus
50 000
idas y venidas ha recorrido:
300 000 · 60 = 18 000 000 km.
3. Analizamos las terminaciones de las primeras potencias de 7:
71 = 7, termina en 7
72 = 49, termina en 9
73 = 343, termina en 3
74 = 2 401, termina en 1
75 = 16 807, termina en 7
76 = 117 649, termina en 9
42
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
Observamos que hay cuatro terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que dividimos
83578 entre 4 y obtenemos de cociente 20894 y de resto 2:
83578 = 4 · 20894 + 2
Es decir, 783578 termina en el mismo número que 72, es decir, termina en 9.
ACTIVIDADES-PÁG. 81
1. a) La resolución de la ecuación es:
x- 1
6
6x
 6x  7
+6 =7 
6
x

6 x  6 · 6 x  42  7 · 6 x  42
 x 1
b) La resolución de la ecuación es:
log (5x2 + 2x – 15) – 2 · log (2x – 1) = 0
 x 2  6 x  16  0

 x
log
5 x 2  2 x  15
0
(2 x 1) 2
 6  36  64
2


5 x 2  2 x  15
1 
4x 2  4x  1
 6  10  x1  2

2
 x2   8
La única solución válida es x = 2
Las soluciones de las ecuaciones anteriores pueden verse en el gráfico realizado con Wiris.
2. Las soluciones son:
a)  , 1  2,  
b) [- 10, 2]
En el gráfico pueden verse la resolución de la actividad 2 con Wiris.
43
c) (- 2, 0)
MatemáticasI
3. Las soluciones de los sistemas de inecuaciones pueden verse en los dibujos:
44
SOLUCIONARIO
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
ACTIVIDADES-PÁG. 82
1. Las soluciones quedan:
a) 27 x  1  3 x
2
 x2
 33 ( x 1)  3 x
b) 3 x  3 x  1  3 x  2  15  3 x 
2
 2x  2
 x 2  4x  5  0
 x1  5; x2   1
3x 3x

 15  5 · 3 x  135
3
9
 x3
c) 9 x  2 · 3 x  2  81  0  32 x  18 · 3 x  81  0  x  2
d) 2
x2
 128 
22x
 4 · 2  128 

4
1
x
1 x
4
2 
x 2
x
x 1
 2x  2  7  2x  2 · 2x  4 · 2x  7
e) 2  2
 16 · 2 x  512  0 
 7 · 2x  7

x5
x0
f) 2 x  1  12 · 21  x  13  2 · (2 x ) 2  13 ·26 x  24  0  x  3
x
x
6
g) 5 · 25  5
h) 2  x  83 x

53 x  5 6  x  2
2  x  29  3x

 x
9
2
i) 5 x  10  3 · 5 2  x
 (5 x ) 2  10 · 5 x  75  0
 5 x  15
 x
log 15
 1,6826
log 5
j) 9 x  45  4 · 3 x  1
 (3 x ) 2  12 · 3 x  45  0
 3 x  15
 x
log 15
 2,4650
log 3
k) 4
x 1
 3 ·2
x 1
 32  0  (2 )  24 · 2  128  0
x 2
x 1
 4  5 · 2x  1  2x  1
l) 5 · 4
x
x

2  8  x1  3
  x

2  16  x2  4
 5· (2 x ) 2  42 · 2 x  16  0

2 x  8  x1  3


2
 
log
5   1,3219
2 x  2  x 2 

5
log 2
2. Las soluciones son:
5
a) log 3
243  x
b) ln e6  2 x
45
 3x  3 2
 e 2 x  e6
 x
 x3
5
2
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1
x5   
2
c) 5  log x 1
 x5 
d) log x = - 2
 x  10 2  0,01
32
e) x  log
8 
2
1

32
 2
f) log x 0,000001  3 
x
5

1
2
x
x
8
 2 2  23  x  6
x 3  0,000 001
 x  0,01
 x  e 2
g)  2  ln x
 1
 x 
 3
h) log 1 x   1
3
1
 x3
3. Las soluciones de las ecuaciones son:
2
2
a) log (5x2 + 2x - 15) = 2 · log (2x - 1)  5x  2 x  15  (2 x  1)
 x
 6  36  4 · 16  6  10  x1  2


2
2
 x2   8 (no es válida )
b) 2 · log (3x – 2) - 1 = log (x + 6)  log

46
( 3 x  2) 2
( 3 x  2) 2
1 
 10 
x6
x6
x  4
22  222  4 · 9 · 56 22  50  1
9 x  22 x  56  0  x 


14
18
18
 x2   9 ( no es válida )
2
c) log (x4 -4 x2 - 12x) - 2 · log (2x - 3) = 0

 x 2  6 x  16  0 
 log
x 4  4 x 2 12 x
0
( 2 x  3)2

x 4  4 x 2  12
1 
4 x 2  12 x  9
 2
 x11  3
x

9

8

64

36

8

10

1
x4  8x2  9  0  x2 


 x12   3 ( no es válida )
2
2
 2
 x2   1 ( no es válida )
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log (4 x  3)
d) log( 4 x2 3)  1 
1
log (6 x 2  1)
log( 6 x  1) 2
2

 (4 x  3)2  6 x 2  1 
x  2
12  144  80 12  8  1
5x  12 x  4  0  x 


2
10
10
 x2  5 ( no es válida )
2
e) (x2 – 5x + 9) log 2 + log 125 = 3  log (125 · 2 x

x 2  5x  6  0  x 

g) log
 5x  9
)  log 1000  2 x

x3
2
x2  x  4

 5x  9
8
2
 x1  4

  x2  2
 x   2 ( no es válida )
 3
2 x 2  3x  10  log (14  x )  0 


2 x 2  3x  10  14  x  2 x 2  3x  10  196  28x  x 2 
x 2  25x  186  0  x 
 25  252  4 · 186  25  37  x1  6


2
2
 x2   31
4. Las respuestas son:
a) Al cabo de 4 años habrá 6 · 1,054 =7,29 m3 de madera.
Al cabo de 15 años habrá 6 · 1,0515 =12,47 m3 de madera.
b) Los años que han de pasar para que en el pinar haya 870 m3 de madera son:
6 · 1,05x  870  1,05x  145
 x
log 145
 102 años
log 1,05
5. Las soluciones de los sistemas:
3x  2 y  23
3x  2 y  23
3x  27
x  3



a)  x  1



x
y
y
 2 y  2  10
y  2
3
4 · 3  3 · 2  120
2  4
47

x3
4 
x2  x  4
x  4 x  4 x  16  0  ( x  4) · ( x  2) · ( x  2)  0
3
2
5  25  24 5  1  x1  3


2
2
 x2  2
f) 3 · log 2 x  log 2 x 2  x  4  2  log 2

2
SOLUCIONARIO
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5x  5 y  620
b) 
x y
 125
5
5x  5 y  620
5 y  5
x  4
  x




y
x
y  1
5  125 · 5
5  625
8  x  y
x  y  8
x  5

 x  y
 
 
3x  5 y  0
y  3
log ( x  y )  log ( x  y )  log 4
x  y  4


 8
y
c)  x  
7

log x 
 x  10 7 2  1000 · 10

log x  3 log y  5


2
d) 
 
 
1
log x  log y  3
log y  1

y  10 2  10



2
log Y ( x  16)  2
 x  16  y 2
 x  25

 
e) 
1  
 y  2  x
y  3
log x ( y  2)  2
log 2 x  3 log 2 y  5
f) 
log 2 x  log 2 y  3
2

log 2 x  3 log 2 y  5
log x  2
  2

2 log 2 x  log 2 y  3
log 2 y  1
x  4
 
y  2
ACTIVIDADES-PÁG. 83
6. Las soluciones de las inecuaciones son:
a) ( 4,  )
d)
1

  ,  
2

g)  , 2  4,  
b)  6, 0
e)  ,  2   2,  
c) ( ,  4]  (4,  )
f) 
h)  , 0  1,  
 1

,  
 4

i) (0, 1)
7. Las soluciones de los sistemas de inecuaciones son:
a) (- 8, 3]
b) (0, 7]
8. Las asociaciones de los sistemas con las soluciones de las inecuaciones son:
a) con iii)
b) con ii)
c) con i)
9. Sea x la cantidad que debe vender, se cumplirá:
1200 < 600 + 0,05 · x < 1500 
600 < 0,05x < 900
Deberá vender una cantidad entre 12000 y 18000 euros.
48

12000 < x < 18000
SOLUCIONARIO
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10. Sea x el número de caras y 20 – x el número de cruces. Se cumplirá:
10 000x + 6 000 (20 – x) < 176 000  4 000x < 56 000

x < 14
Han salido menos de 14 caras.
11. Las soluciones de las inecuaciones son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos.
a)
b)
c)
12. Las soluciones de los sistemas son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos.
a)
b)
c)
49
b)
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
13. Los sistemas de inecuaciones son:
x   1
a) 
x  3
x
x

b) 
y
 y
0
3
3
 1
x
y

d) 
y
 x
x   1
c) 
y  1
0
3
 1
 2y  2
ACTIVIDADES-PÁG. 84
14. Las soluciones son:
a) x = 2
b) Haciendo 3x = z obtenemos la ecuación 9z2 – 8z – 55 = 0 cuyas soluciones son z = 2,96 y z = - 2,07; por
tanto:
3 x  2,96
 x
log 2,96
 0,99
log 3
c) Obtenemos la ecuación x3 + 2x2 – x – 2 = 0 cuyas soluciones no verifican la ecuación original. Diremos,
por tanto, que carece de soluciones.
15. Resolviendo cada una:
a) Operando obtenemos la inecuación
3x  1
1 
 0 cuya solución es el intervalo  , 1 .
x 1
3 
b) Operando la inecuación x3 - 11x2 + 10x  0 cuya solución son los números reales del conjunto
( , 0]  [1, 10] .
c) La solución es [- 5, 2).
16. El valor de la expresión es log 1 x  log y
x
1
.   1  ( 1)   2 .
y
17. La diferencia entre la cuantía de dinero obtenido de la venta de las camisetas y el dinero del coste de la
producción es el beneficio. Llamando x al precio de venta de cada camiseta se puede plantear la siguiente
inecuación:
2500x – 2500 · 1,75 > 3600
Resolviendo, obtenemos:
2500x – 4375 > 3600 
2500x > 7975

x
7975
3600

x > 3,19
Para obtener el beneficio deseado tendrá que vender cada camiseta a un precio superior a 3,19 euros.
50
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
18. El sistema de inecuaciones es:
x  y  4

5 x  2 y   15
5 x  9 y  20

Los vértices de la región son:
5 x  9 y  20
A:
x  y  4

x  4

y  0
 A  (4, 0)
5 x  2 y   15
B:
x  y  4

x   1

y  5

5 x  9 y  20
C:
5 x  2 y   15

x   5

y   5
B  ( 1, 5)

C  ( 5,  5)
Todo lo anterior puede verse en el dibujo.
19. Sea x, con x  [0, 60], el número de kilogramos de azúcar de 3 euros/kg y 60 – x el número de
kilogramos de azúcar de 3 euros/kg. Se cumplirá:
2x + 3 · (60 – x) ≤ 60 · 2,6
Operando, obtenemos x ≥ 24.
Por tanto, para conseguir la mezcla pedida en el enunciado habrá que poner 24 o más de la azúcar de 2
euros/kg con 36 o menos de la azúcar de 3 euros/kg.
51
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
20. Sean x, y, z el número de herramientas de los tipos A, B y C, respectivamente. Las condiciones
del enunciado nos permiten plantear el sistema que sigue. En la primera ecuación se describe el
número total de herramientas, en la segunda el tiempo empleado por los tres obreros y en la tercera
el tiempo empleado por el revisor.
 x  y  z  12

2 x  4 y  z  24
6 x  4 y  4 z  60

El sistema es compatible determinado, es
la matriz de los coeficientes vale:
1
2
6
decir, tiene una solución única ya que el determinante de
1 1
4 1   6  0.
4 4
Aplicando el método de Gauss, obtenemos:
 x  y  z  12
 x  y  z  12
 x  y  z  12
x  6




 12   y  2
2 x  4 y  z  24  2 x  4 y  z  24   x  3
6 x  4 y  4 z  60
3x  2 y  2 z  30
x
z  4
6




La fábrica elabora 6 herramientas del tipo A, 12 herramientas del tipo B y 4 herramientas del tipo C.
21. Teniendo en cuenta la expresión que da el montante (M) que produce un capital inicial (C) colocado al r
% durante t años, que es: M = C (1 + r)t, obtenemos:
23988 = 12000 · (1 + 0,08)t
Operando: t 
log 1,999
 9 años .
log 1,08
22. La expresión que nos da el número total de individuos (P) en función de la población inicial (P0) y del
t
tiempo t, en días, es: P (t )  P0 · 2 4
Al cabo de un mes habrá P (30)  100 · 2
30
4
 18101,93  18100 insectos.
Para que haya 204800 insectos tendrán que pasar:
204800  100 · 2
52
t
4
t
4
 2  2048  t  4 ·
log 2048
 44 días.
log 2
SOLUCIONARIO
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23. Sean x e y el número de bolígrafos y cuadernos, respectivamente,
que podemos comprar. Se debe cumplir:
x  0
y  0


x  y
0,2 x  0,6 y  2
Las soluciones son el conjunto de puntos con coordenadas enteras
dentro del recinto sombreado. Es decir:
(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1,1), (1, 2), (1, 3) y (2, 2).
24. La expresión que nos da el precio final (P) en función del precio inicial (P 0) y del tiempo t, en años, es:
P (t )  P0 · 1,05t
8
a) Dentro de 8 años costará P (8)  1,8 · 1,05  2,66 euros.
8
b) Hace de 8 años costaba P ( 8)  1,8 · 1,05  1,22 euros.
c) El tiempo que tiene que pasar para que el precio se duplique es:
2 · 1,8  1,8 · 1.05t
 t
log 2
 14,21  14 años.
log 1,05
ACTIVIDADES-PÁG. 85
a) La tabla completa con los polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia de 2n + 1 lados, es decir, 4,
8, 16, 32, 64,… lados, nos proporciona las siguientes aproximaciones numéricas de π.
Lados
Ángulo
Seno
Tangente
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
45º
22,5º
11,25º
5,625º
2,8125º
1,4063º
0,7031º
0,3516º
0,1758º
0,0879º
0,0440º
0,707106781
0,382683432
0,195090322
0.0980171403
0,0490676743
0,0245412285
0.0122715383
0,0061358846
0,0030679568
0,0015339802
0,0007669903
1
0,41421356237
0,19891236738
0,09849140336
0,04912684977
0,02454862211
0,01227246238
0,00613600016
0,0030679712
0,0015339819
0,0007699054
53
Semiperímetro
inscrito
2,82842712475
3,06146745892
3,12144515226
3,13654849055
3,14033115695
3,14127725093
3,14151380114
3,14157294037
3,14158772528
3,1415914215
3,1415923461
Semiperímetro
circunscrito
4
3,31370849898
3,18259787807
3,15172490743
3,14411838525
3,14222362994
3,14175036917
3,1416320807
3,14160251026
3,14159511774
3,14159326967
SOLUCIONARIO
MatemáticasI
b) La tabla completa con los polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia de 3 · 2n lados, es decir, 6,
12, 24 48, 96,… lados, nos proporciona las siguientes aproximaciones numéricas de π.
Lados
Ángulo
Seno
Tangente
6
12
24
48
96
192
384
768
1536
3072
6144
30º
15º
7,5º
3,75º
1,875º
0,9375º
0,4688º
0,2344º
0,1172º
0,0586º
0,0293º
0,5
0,258819045
0,130526193
0,065403129
0,032719082
0,016361731
0,00818139604
0,00409060402
0,00204530629
0,00102265421
0,00051132691
0,577350269
0,267949192
0,131652497
0,065543462
0,03273661
0,016363922
0,0081814134
0,0040906382
0,00204531056
0,00102265421
0,00051132697
Semiperímetro
inscrito
3
3,105828541
3,132628613
3,139350203
3,141031951
3,141452472
3,141557608
3,141583892
3,141590463
3,141592106
3,141592517
Semiperímetro
circunscrito
3,464101615
3,215390309
3,159659942
3,146086215
3,1427146
3,14187305
3,141662747
3,141610177
3,141597034
3,141593749
3,141592927
c) Para construir las dos tablas anteriores con una hoja de cálculo, en este caso Excel, seguimos las
instrucciones:
Abres la Hoja de Cálculo y escribes:
1. Las cabeceras de columna (Fila 1): n, Lados, Ángulo, etc.
2. Escribes la serie de la columna A: 1, 2, 3, …., 11
3. En la celda B2 escribes: =POTENCIA(2;A2+1)
4. En la celda C2 escribes: =180/B2
5. En la celda D2 escribes: =SENO(C2*PI()/180)
6. En la celda E2 escribes: =TAN(C2*PI()/180)
7. En la celda F2 escribes: =B2*D2
8. En la celda G2 escribes: =B2*E2
9. Seleccionas con el ratón el Rango B2:G12 y pulsas Control+J
10. Seleccionas el Rango C2:G12 y Formato/Celdas/Número/11 posiciones decimales
Se obtiene la tabla que sigue.
54
MatemáticasI
Para la segunda tabla procedemos de manera análoga:
Abres la Hoja de Cálculo y escribes:
1. Las cabeceras de columna (Fila 1): n, Lados, Ángulo, etc.
2. Escribes la serie de la columna A: 1, 2, 3, …., 11
3. En la celda B2 escribes: =3*POTENCIA(2;A2)
4. En la celda C2 escribes: =180/B2
5. En la celda D2 escribes: =SENO(C2*PI()/180)
6. En la celda E2 escribes: =TAN(C2*PI()/180)
7. En la celda F2 escribes: =B2*D2
8. En la celda G2 escribes: =B2*E2
9. Seleccionas con el ratón el rango B2:G12 y pulsas Control+J
10. Seleccionas el Rango C2:G12 y Formato/Celdas/Número/11 posiciones decimales
55
SOLUCIONARIO