SOLUCIONARIO MatemáticasI UNIDAD 3: Álgebra II: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas ACTIVIDADES-PÁG. 62 1. Las soluciones de las ecuaciones son: a) 7 2 b) 0,5 c) 0,0625 2. Se cumplirá: 40 · 10 6 22 · 10 6 · 1,018t 40 · 10 6 log 6 22 · 10 33,5112 33,5 años . t 1,018 3. Los resultados son: a) Las ordenadas son positivas en el intervalo (- 3, - 1). b) Las ordenadas son negativas en , 3 1, . 4. No podemos simplificar (dividir) por x – 5, ya que en este caso su valor es nulo. ACTIVIDADES-PÁG. 79 1. Veamos si el producto de cuatro números enteros consecutivos (x – 1) · x · (x + 1) · (x + 2) es un cuadrado perfecto menos una unidad. Tenemos: 4 3 2 ( x 1) · x · ( x 1) ·( x 2) x 2 x x 2 x 2 2 4 3 2 ( x x 1) x 2 x x 2 x 1 Luego, ( x 1) · x · ( x 1) ·( x 2) ( x 2 x 1) 2 1 2. Ambos cohetes tardan 3 000 000 60 segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo láxenla, en sus 50 000 idas y venidas ha recorrido: 300 000 · 60 = 18 000 000 km. 3. Analizamos las terminaciones de las primeras potencias de 7: 71 = 7, termina en 7 72 = 49, termina en 9 73 = 343, termina en 3 74 = 2 401, termina en 1 75 = 16 807, termina en 7 76 = 117 649, termina en 9 42 SOLUCIONARIO MatemáticasI Observamos que hay cuatro terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que dividimos 83578 entre 4 y obtenemos de cociente 20894 y de resto 2: 83578 = 4 · 20894 + 2 Es decir, 783578 termina en el mismo número que 72, es decir, termina en 9. ACTIVIDADES-PÁG. 81 1. a) La resolución de la ecuación es: x- 1 6 6x 6x 7 +6 =7 6 x 6 x 6 · 6 x 42 7 · 6 x 42 x 1 b) La resolución de la ecuación es: log (5x2 + 2x – 15) – 2 · log (2x – 1) = 0 x 2 6 x 16 0 x log 5 x 2 2 x 15 0 (2 x 1) 2 6 36 64 2 5 x 2 2 x 15 1 4x 2 4x 1 6 10 x1 2 2 x2 8 La única solución válida es x = 2 Las soluciones de las ecuaciones anteriores pueden verse en el gráfico realizado con Wiris. 2. Las soluciones son: a) , 1 2, b) [- 10, 2] En el gráfico pueden verse la resolución de la actividad 2 con Wiris. 43 c) (- 2, 0) MatemáticasI 3. Las soluciones de los sistemas de inecuaciones pueden verse en los dibujos: 44 SOLUCIONARIO SOLUCIONARIO MatemáticasI ACTIVIDADES-PÁG. 82 1. Las soluciones quedan: a) 27 x 1 3 x 2 x2 33 ( x 1) 3 x b) 3 x 3 x 1 3 x 2 15 3 x 2 2x 2 x 2 4x 5 0 x1 5; x2 1 3x 3x 15 5 · 3 x 135 3 9 x3 c) 9 x 2 · 3 x 2 81 0 32 x 18 · 3 x 81 0 x 2 d) 2 x2 128 22x 4 · 2 128 4 1 x 1 x 4 2 x 2 x x 1 2x 2 7 2x 2 · 2x 4 · 2x 7 e) 2 2 16 · 2 x 512 0 7 · 2x 7 x5 x0 f) 2 x 1 12 · 21 x 13 2 · (2 x ) 2 13 ·26 x 24 0 x 3 x x 6 g) 5 · 25 5 h) 2 x 83 x 53 x 5 6 x 2 2 x 29 3x x 9 2 i) 5 x 10 3 · 5 2 x (5 x ) 2 10 · 5 x 75 0 5 x 15 x log 15 1,6826 log 5 j) 9 x 45 4 · 3 x 1 (3 x ) 2 12 · 3 x 45 0 3 x 15 x log 15 2,4650 log 3 k) 4 x 1 3 ·2 x 1 32 0 (2 ) 24 · 2 128 0 x 2 x 1 4 5 · 2x 1 2x 1 l) 5 · 4 x x 2 8 x1 3 x 2 16 x2 4 5· (2 x ) 2 42 · 2 x 16 0 2 x 8 x1 3 2 log 5 1,3219 2 x 2 x 2 5 log 2 2. Las soluciones son: 5 a) log 3 243 x b) ln e6 2 x 45 3x 3 2 e 2 x e6 x x3 5 2 SOLUCIONARIO MatemáticasI 1 x5 2 c) 5 log x 1 x5 d) log x = - 2 x 10 2 0,01 32 e) x log 8 2 1 32 2 f) log x 0,000001 3 x 5 1 2 x x 8 2 2 23 x 6 x 3 0,000 001 x 0,01 x e 2 g) 2 ln x 1 x 3 h) log 1 x 1 3 1 x3 3. Las soluciones de las ecuaciones son: 2 2 a) log (5x2 + 2x - 15) = 2 · log (2x - 1) 5x 2 x 15 (2 x 1) x 6 36 4 · 16 6 10 x1 2 2 2 x2 8 (no es válida ) b) 2 · log (3x – 2) - 1 = log (x + 6) log 46 ( 3 x 2) 2 ( 3 x 2) 2 1 10 x6 x6 x 4 22 222 4 · 9 · 56 22 50 1 9 x 22 x 56 0 x 14 18 18 x2 9 ( no es válida ) 2 c) log (x4 -4 x2 - 12x) - 2 · log (2x - 3) = 0 x 2 6 x 16 0 log x 4 4 x 2 12 x 0 ( 2 x 3)2 x 4 4 x 2 12 1 4 x 2 12 x 9 2 x11 3 x 9 8 64 36 8 10 1 x4 8x2 9 0 x2 x12 3 ( no es válida ) 2 2 2 x2 1 ( no es válida ) SOLUCIONARIO MatemáticasI log (4 x 3) d) log( 4 x2 3) 1 1 log (6 x 2 1) log( 6 x 1) 2 2 (4 x 3)2 6 x 2 1 x 2 12 144 80 12 8 1 5x 12 x 4 0 x 2 10 10 x2 5 ( no es válida ) 2 e) (x2 – 5x + 9) log 2 + log 125 = 3 log (125 · 2 x x 2 5x 6 0 x g) log 5x 9 ) log 1000 2 x x3 2 x2 x 4 5x 9 8 2 x1 4 x2 2 x 2 ( no es válida ) 3 2 x 2 3x 10 log (14 x ) 0 2 x 2 3x 10 14 x 2 x 2 3x 10 196 28x x 2 x 2 25x 186 0 x 25 252 4 · 186 25 37 x1 6 2 2 x2 31 4. Las respuestas son: a) Al cabo de 4 años habrá 6 · 1,054 =7,29 m3 de madera. Al cabo de 15 años habrá 6 · 1,0515 =12,47 m3 de madera. b) Los años que han de pasar para que en el pinar haya 870 m3 de madera son: 6 · 1,05x 870 1,05x 145 x log 145 102 años log 1,05 5. Las soluciones de los sistemas: 3x 2 y 23 3x 2 y 23 3x 27 x 3 a) x 1 x y y 2 y 2 10 y 2 3 4 · 3 3 · 2 120 2 4 47 x3 4 x2 x 4 x 4 x 4 x 16 0 ( x 4) · ( x 2) · ( x 2) 0 3 2 5 25 24 5 1 x1 3 2 2 x2 2 f) 3 · log 2 x log 2 x 2 x 4 2 log 2 2 SOLUCIONARIO MatemáticasI 5x 5 y 620 b) x y 125 5 5x 5 y 620 5 y 5 x 4 x y x y 1 5 125 · 5 5 625 8 x y x y 8 x 5 x y 3x 5 y 0 y 3 log ( x y ) log ( x y ) log 4 x y 4 8 y c) x 7 log x x 10 7 2 1000 · 10 log x 3 log y 5 2 d) 1 log x log y 3 log y 1 y 10 2 10 2 log Y ( x 16) 2 x 16 y 2 x 25 e) 1 y 2 x y 3 log x ( y 2) 2 log 2 x 3 log 2 y 5 f) log 2 x log 2 y 3 2 log 2 x 3 log 2 y 5 log x 2 2 2 log 2 x log 2 y 3 log 2 y 1 x 4 y 2 ACTIVIDADES-PÁG. 83 6. Las soluciones de las inecuaciones son: a) ( 4, ) d) 1 , 2 g) , 2 4, b) 6, 0 e) , 2 2, c) ( , 4] (4, ) f) h) , 0 1, 1 , 4 i) (0, 1) 7. Las soluciones de los sistemas de inecuaciones son: a) (- 8, 3] b) (0, 7] 8. Las asociaciones de los sistemas con las soluciones de las inecuaciones son: a) con iii) b) con ii) c) con i) 9. Sea x la cantidad que debe vender, se cumplirá: 1200 < 600 + 0,05 · x < 1500 600 < 0,05x < 900 Deberá vender una cantidad entre 12000 y 18000 euros. 48 12000 < x < 18000 SOLUCIONARIO MatemáticasI 10. Sea x el número de caras y 20 – x el número de cruces. Se cumplirá: 10 000x + 6 000 (20 – x) < 176 000 4 000x < 56 000 x < 14 Han salido menos de 14 caras. 11. Las soluciones de las inecuaciones son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos. a) b) c) 12. Las soluciones de los sistemas son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos. a) b) c) 49 b) SOLUCIONARIO MatemáticasI 13. Los sistemas de inecuaciones son: x 1 a) x 3 x x b) y y 0 3 3 1 x y d) y x x 1 c) y 1 0 3 1 2y 2 ACTIVIDADES-PÁG. 84 14. Las soluciones son: a) x = 2 b) Haciendo 3x = z obtenemos la ecuación 9z2 – 8z – 55 = 0 cuyas soluciones son z = 2,96 y z = - 2,07; por tanto: 3 x 2,96 x log 2,96 0,99 log 3 c) Obtenemos la ecuación x3 + 2x2 – x – 2 = 0 cuyas soluciones no verifican la ecuación original. Diremos, por tanto, que carece de soluciones. 15. Resolviendo cada una: a) Operando obtenemos la inecuación 3x 1 1 0 cuya solución es el intervalo , 1 . x 1 3 b) Operando la inecuación x3 - 11x2 + 10x 0 cuya solución son los números reales del conjunto ( , 0] [1, 10] . c) La solución es [- 5, 2). 16. El valor de la expresión es log 1 x log y x 1 . 1 ( 1) 2 . y 17. La diferencia entre la cuantía de dinero obtenido de la venta de las camisetas y el dinero del coste de la producción es el beneficio. Llamando x al precio de venta de cada camiseta se puede plantear la siguiente inecuación: 2500x – 2500 · 1,75 > 3600 Resolviendo, obtenemos: 2500x – 4375 > 3600 2500x > 7975 x 7975 3600 x > 3,19 Para obtener el beneficio deseado tendrá que vender cada camiseta a un precio superior a 3,19 euros. 50 SOLUCIONARIO MatemáticasI 18. El sistema de inecuaciones es: x y 4 5 x 2 y 15 5 x 9 y 20 Los vértices de la región son: 5 x 9 y 20 A: x y 4 x 4 y 0 A (4, 0) 5 x 2 y 15 B: x y 4 x 1 y 5 5 x 9 y 20 C: 5 x 2 y 15 x 5 y 5 B ( 1, 5) C ( 5, 5) Todo lo anterior puede verse en el dibujo. 19. Sea x, con x [0, 60], el número de kilogramos de azúcar de 3 euros/kg y 60 – x el número de kilogramos de azúcar de 3 euros/kg. Se cumplirá: 2x + 3 · (60 – x) ≤ 60 · 2,6 Operando, obtenemos x ≥ 24. Por tanto, para conseguir la mezcla pedida en el enunciado habrá que poner 24 o más de la azúcar de 2 euros/kg con 36 o menos de la azúcar de 3 euros/kg. 51 SOLUCIONARIO MatemáticasI 20. Sean x, y, z el número de herramientas de los tipos A, B y C, respectivamente. Las condiciones del enunciado nos permiten plantear el sistema que sigue. En la primera ecuación se describe el número total de herramientas, en la segunda el tiempo empleado por los tres obreros y en la tercera el tiempo empleado por el revisor. x y z 12 2 x 4 y z 24 6 x 4 y 4 z 60 El sistema es compatible determinado, es la matriz de los coeficientes vale: 1 2 6 decir, tiene una solución única ya que el determinante de 1 1 4 1 6 0. 4 4 Aplicando el método de Gauss, obtenemos: x y z 12 x y z 12 x y z 12 x 6 12 y 2 2 x 4 y z 24 2 x 4 y z 24 x 3 6 x 4 y 4 z 60 3x 2 y 2 z 30 x z 4 6 La fábrica elabora 6 herramientas del tipo A, 12 herramientas del tipo B y 4 herramientas del tipo C. 21. Teniendo en cuenta la expresión que da el montante (M) que produce un capital inicial (C) colocado al r % durante t años, que es: M = C (1 + r)t, obtenemos: 23988 = 12000 · (1 + 0,08)t Operando: t log 1,999 9 años . log 1,08 22. La expresión que nos da el número total de individuos (P) en función de la población inicial (P0) y del t tiempo t, en días, es: P (t ) P0 · 2 4 Al cabo de un mes habrá P (30) 100 · 2 30 4 18101,93 18100 insectos. Para que haya 204800 insectos tendrán que pasar: 204800 100 · 2 52 t 4 t 4 2 2048 t 4 · log 2048 44 días. log 2 SOLUCIONARIO MatemáticasI 23. Sean x e y el número de bolígrafos y cuadernos, respectivamente, que podemos comprar. Se debe cumplir: x 0 y 0 x y 0,2 x 0,6 y 2 Las soluciones son el conjunto de puntos con coordenadas enteras dentro del recinto sombreado. Es decir: (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1,1), (1, 2), (1, 3) y (2, 2). 24. La expresión que nos da el precio final (P) en función del precio inicial (P 0) y del tiempo t, en años, es: P (t ) P0 · 1,05t 8 a) Dentro de 8 años costará P (8) 1,8 · 1,05 2,66 euros. 8 b) Hace de 8 años costaba P ( 8) 1,8 · 1,05 1,22 euros. c) El tiempo que tiene que pasar para que el precio se duplique es: 2 · 1,8 1,8 · 1.05t t log 2 14,21 14 años. log 1,05 ACTIVIDADES-PÁG. 85 a) La tabla completa con los polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia de 2n + 1 lados, es decir, 4, 8, 16, 32, 64,… lados, nos proporciona las siguientes aproximaciones numéricas de π. Lados Ángulo Seno Tangente 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 45º 22,5º 11,25º 5,625º 2,8125º 1,4063º 0,7031º 0,3516º 0,1758º 0,0879º 0,0440º 0,707106781 0,382683432 0,195090322 0.0980171403 0,0490676743 0,0245412285 0.0122715383 0,0061358846 0,0030679568 0,0015339802 0,0007669903 1 0,41421356237 0,19891236738 0,09849140336 0,04912684977 0,02454862211 0,01227246238 0,00613600016 0,0030679712 0,0015339819 0,0007699054 53 Semiperímetro inscrito 2,82842712475 3,06146745892 3,12144515226 3,13654849055 3,14033115695 3,14127725093 3,14151380114 3,14157294037 3,14158772528 3,1415914215 3,1415923461 Semiperímetro circunscrito 4 3,31370849898 3,18259787807 3,15172490743 3,14411838525 3,14222362994 3,14175036917 3,1416320807 3,14160251026 3,14159511774 3,14159326967 SOLUCIONARIO MatemáticasI b) La tabla completa con los polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia de 3 · 2n lados, es decir, 6, 12, 24 48, 96,… lados, nos proporciona las siguientes aproximaciones numéricas de π. Lados Ángulo Seno Tangente 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 30º 15º 7,5º 3,75º 1,875º 0,9375º 0,4688º 0,2344º 0,1172º 0,0586º 0,0293º 0,5 0,258819045 0,130526193 0,065403129 0,032719082 0,016361731 0,00818139604 0,00409060402 0,00204530629 0,00102265421 0,00051132691 0,577350269 0,267949192 0,131652497 0,065543462 0,03273661 0,016363922 0,0081814134 0,0040906382 0,00204531056 0,00102265421 0,00051132697 Semiperímetro inscrito 3 3,105828541 3,132628613 3,139350203 3,141031951 3,141452472 3,141557608 3,141583892 3,141590463 3,141592106 3,141592517 Semiperímetro circunscrito 3,464101615 3,215390309 3,159659942 3,146086215 3,1427146 3,14187305 3,141662747 3,141610177 3,141597034 3,141593749 3,141592927 c) Para construir las dos tablas anteriores con una hoja de cálculo, en este caso Excel, seguimos las instrucciones: Abres la Hoja de Cálculo y escribes: 1. Las cabeceras de columna (Fila 1): n, Lados, Ángulo, etc. 2. Escribes la serie de la columna A: 1, 2, 3, …., 11 3. En la celda B2 escribes: =POTENCIA(2;A2+1) 4. En la celda C2 escribes: =180/B2 5. En la celda D2 escribes: =SENO(C2*PI()/180) 6. En la celda E2 escribes: =TAN(C2*PI()/180) 7. En la celda F2 escribes: =B2*D2 8. En la celda G2 escribes: =B2*E2 9. Seleccionas con el ratón el Rango B2:G12 y pulsas Control+J 10. Seleccionas el Rango C2:G12 y Formato/Celdas/Número/11 posiciones decimales Se obtiene la tabla que sigue. 54 MatemáticasI Para la segunda tabla procedemos de manera análoga: Abres la Hoja de Cálculo y escribes: 1. Las cabeceras de columna (Fila 1): n, Lados, Ángulo, etc. 2. Escribes la serie de la columna A: 1, 2, 3, …., 11 3. En la celda B2 escribes: =3*POTENCIA(2;A2) 4. En la celda C2 escribes: =180/B2 5. En la celda D2 escribes: =SENO(C2*PI()/180) 6. En la celda E2 escribes: =TAN(C2*PI()/180) 7. En la celda F2 escribes: =B2*D2 8. En la celda G2 escribes: =B2*E2 9. Seleccionas con el ratón el rango B2:G12 y pulsas Control+J 10. Seleccionas el Rango C2:G12 y Formato/Celdas/Número/11 posiciones decimales 55 SOLUCIONARIO