Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Circuitos y Mediciones Cátedra de Circuitos Eléctricos I RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL PROF. JÓSE NIETO Digitalizado por Amer Kamal 1 2 PROF. JÓSE NIETO Con los conocimientos previos adquiridos, analizaremos un circuito simple RL con un generador sinusoidal R + Vo sin(wt) − L Aplicando LVK V (t) − Vr (t) − Vl (t) = 0 V (t) − Ri(t) − L di(t) dt V (t) = Ri(t) + L di(t) dt Aplicando un despeje V (t) L = Ri(t) L − di(t) dt Obténiendose una ecuación diferencial de segundo orden, teniéndose una solución dos partes, el régimen transitorio (homogénea) y el régimen permanente el cual esta fundamentada este curso. Para Obtener el Régimen permanente, aplicaremos la solución de coecientes indeterminados. Para una función sinusoidal se plantea la solución: i(t) = A sin(wt) + B cos(wt) Sustituyendo la solución en la ecuación diferencial: wA cos(wt) − wB sin(wt) + R L (A sin(wt) + B cos(wt)) = Obteniéndose así − RB L −BW Aw AR L sin(wt) 0 = cos(wt) 0 Resolviendo la matriz, se hallan los coeciente A y B: A= Vo R L2 w2 +R2 i(t) = B = − L2Vwo2Lw +R2 Vo R L2 w2 +R2 sin(wt) − Vo Lw L2 w2 +R2 cos(wt) Conociendo la propiedad de suma de ángulos: Im sin(wt − φ) = Im[sin(wt) cos(φ) − sin(φ) cos(wt)] donde en nuestro problema cos(φ) = A y sin(φ) = B Vo sin(wt)) L RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL 3 sin(φ) eso implica que: φ = tan−1 ( cos(φ) ) = tan−1 ( wL R ) y Im = √ A2 + B 2 = √ vo (wl)2 +R2 Finalmente obteniendo la solución de la corriente del circuito como: i(t) = √ vo (wl)2 +R2 sin(wt − tan−1 ( wL R ))[A] Representación de las Ondas Sinusoidales como un vector giratorio f (t) = A sin(wt)yf2 (t) = B sin(wt + φ) Donde: |A| > |B| Donde |A|y|B| son el modulo del vector respectivamente φ es el ángulo de fase w es la frecuencia angular (velocidad de giro del vector) Fasor: Es la representación gráca para un número complejo, como un vector giratorio detenido en el tiempo, y su módulo será el valor RMS de la señal. Vrms = Vo √ 2 *Ejm: f (t) = 100 sin(100t + π6 ) 4 PROF. JÓSE NIETO Formas para representar este vector Forma polar f = |f | ∠φ Forma cartesiana f = |f | cos(φ) + j |f | sin(φ) Forma euler f = ejφ Impedancia: Es el índice de oposición al paso de una corriente sinusoidal, a través de un elemento circuital Z= V I Z= v∠φv i∠φi OJO: NO ES UN FASOR Aplicación de fuentes sinusoidales a elementos circuitales pasivos 1. Resistencia: + V (t) − R v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V = Por denicion sabemos que: i( r) = Vr (t) R Convirtiendo al dominio de la frecuencia: i= Vr R = vp √ ∠0o R 2 v √p ∠0o 2 RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL 5 Como se observa en el resistor, su voltaje y corriente están en "fase" Z = R (netamente resistivo) 2. Capacitor: + V (t) − C v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V = v √p ∠0o 2 Por denición sabemos que: c (t) ic = C dVdt = wCvp cos(wt) = wCvp sin(wt + π2 ) Transformando al dominio de la frecuencia : ic = la corriente adelanta a su voltaje 90o Z = Xc = vp √ 2 wCvp √ 2 ∠0o ∠90o = 1 ∠ wc wCvp √ ∠90o 2 Como se observa 1 − 90o = −j wc Esta impedancia es netamente reactiva, llamada reactancia capacitiva, representándola: 6 PROF. JÓSE NIETO 3. Inductor: + V (t) − L v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V = v √p ∠0o 2 Por denición sabemos que: il = 1 L R v p (V )dt = − wL cos(wt) = /f racvp wL sin(wt − π ) 2 Transformando al dominio de la frecuencia: il = /f racvp wL∠(−90o ) se observa en el inductor, que su corriente atrasa a su voltaje 90o Z = Xl = vp √ 2 vp √ 2wL ∠0o ∠(−90o ) = wL∠90o = jwL Esta impedancia es netamente reactiva, llamada reactancia inductiva, representándola: RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL 7 Para reforzar los conocimientos adquiridos, resolveremos el circuito RL transformando al dominio de la frecuencia. R + V (t) − L Transformando al dominio de la frecuencia: R + V − jwL cuyas impedancias se suman, y puede ser representando el circuito de la siguiente manera: + V − R + jwL 8 PROF. JÓSE NIETO i= v √p 2 R+jwL |i| = √ √ = v √p R−jwL 2 R2 +(wL)2 vp R2 +(wL)2 2 ) + σ σ : angulo de correción, debido al plano en que se cuyo ángulo φ = tan−1 ( wL R encuentre. i = |i| ∠(φ) = √ √ 2 vp R2 +(wL)2 ∠(φ) Regresando su transformación al dominio del tiempo: i(t) = √ vo (wl)2 +R2 sin(wt − tan−1 ( wL ))[A] R Observando que de manera más rápida se obtuvo la misma respuesta que con la resolución dal inicio del curso. Diagrama Fasorial Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del tiempo al dominio la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, y el angulo de desfasaje). Instrumentos de medición: Amperímetro: Es un instrumento de medición que permite determinar el mdulo de la corriente RMS que circula por el. Se coloca en serie con el nodo del cual se quiere averiguar la corriente. Idealmente el amperimetro se comporta de tal manera que no afecta el circuito ≡ En la realidad, este se considera conectado con una resistencia en serie de valor muy pequeño RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL 9 Voltimetro: Es un instrumento de medición que permite determinar el módulo de la diferencia de potencial RMS existente entre los terminales a los cuales se conecta, se conecta en paralelo al elemento que se desea medir el diferencial de potencial. ≡ En la realidad, este se considera con una resistencia en paralelo de valor muy alto (idealmente ∞) Resolución de circuitos usando diagramas fasoriales: 1. LLevar al dominio de la frecuencia (todos las fuentes deben tener la misma frecuencia) 2. Selecciono fasor de referencia 3. Construir diagrama fasorial usando las leyes de kircho y/o relaciones Volt/Amp 4. Se resuelve el circuito en interacción con el diagrama fasorial y con el uso de la trignometría Si necesito resultados en el dominio del tiempo debo corregir el angulo del diagrama fasorial. Resonancia: La impedancia vista de la fuente que está en resonancia eso signica que es resistiva pura; por ende, el voltaje y la corriente de dicha fuente estaran en resonancia. 10 PROF. JÓSE NIETO Ejercicio Resuelto 1. Determine √ R, L, C, Vr (t); Amp = 2[A] V olt = 10[v] i(t) = 4 2 sin(103 t − 35◦ )[A] El circuito esta resonancia. a ) LLevamos la dominio de la frecuencia a R o 4∠−35 (A) + + Vi + vx L jwL 1 vx C −j wC − ix L − − ix C b ) Observamos las relaciones que hay. 1) El circuito esta en resonancia, eso quiere decir que la corriente y tension de la fuente de corriente estan en fase. 2) La diferencia de potencial del la fuente de corriente esta en paralelo con el capacitor, es implica que tienen el mismo diferencial de potencial, y (1) sabemos el ángulo de la fuente de tension, solo necesitariamos su modulo. 3) Conociendo la ubicacion de la diferencia de potencial del capacitor, por denicion sabemos que su corriente adelanta 90o a su diferencia de potencial. 4) Por los datos del ejercicio, conocemos por el amperimetro el modulo de la corriente del capacitor. Dibujamos nuestro primer Diagrama fasorial: RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL 11 Podemos observar que tenemos tanto el modulo y el angulo de la corriente del capacitor. 5) Conocemos que la corriente del inductor es la misma corriente del resistor, Realizando una Ley de corriente de kircho en el nodo a. √ ixL = i − ixC = 4∠−35o − 2∠55o = 2 5∠−61,56o Por lo tanto conocemos el angulo de la diferencia de potencial del inductor, ya que por denición la corriente del inductor atrasa a su diferencia de potencial 90o Por lo tanto ya tenemos todos nuestros datos necesarios para terminar el ejercicio, es necesario aun el modulo de la diferencia de potencial del capacitor. 12 PROF. JÓSE NIETO 6) Realizamos una ley de voltaje de kircho vx L = vr + vx C Por la graca anterior sabemos que entre Vr y VxC hay un angulo de 90o y entre VxL y VxC hay un angulo de 26,56o sin 26,56o = |VxL | |VxC | = 10 |VxC | √ |Vx C| = 10 5 √ y |Vx C|2 = |Vx L|2 + |Vr |2 = 102 + |Vr |2 = (10 5)2 |Vr | = 20[V ] Ya tenemos todo lo necesario para obtener todo lo que pide el ejercicio. |Vr | |Ir | =R R= 20 √ 2 5 = 4,47Ω RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL |VxC | |IxC | C= |VxL | |IxL | L= = xc = 5 √ 1 51000 1 1/wC 13 (w:frecuencia de la fuente de corriente) = 89,44µF = xl = wL 5√ 1000 5 = 2,23mH Solo nos falta transformar vr del dominio de la frecuencia al tiempo. Conocemos tanto su modulo (valor RMS) como su angulo ya rotado (en caso de haber realizado el ejercicio tomando una referencia no rotada, se debe corregir el angulo de rotacion). √ V r(t) = 20 2 sin(103 t − 61,56o )
