Sistemas, matrices y determinantes

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes
Yoel Gutiérrez
28 de febrero de 2018
1.
Ley de composición interna
Sea F un conjunto no vacı́o, llamaremos ley de composición interna en F a toda función
del producto cartesiano F xF en F .
Observaciones 1.1
1. Una ley de composición interna asigna a cada elemento de F xF un único elemento de F .
2. Si ∗ es una ley de composición interna en F , entonces
∗ : F xF −→ F
(a, b) −→ ∗(a, b) = a ∗ b
3. A cualquier ley de composición interna denotada por ” + ”, se le llama adición y al
elemento a + b (a más b) se le llama la suma de a y b. Ası́ mismo, a cualquier ley de
composición interna denotada por ” · ” se le llama multiplicación y al elemento a · b o ab
(a por b) se le llama el producto de a y b.
2.
Cuerpo
Sea F un conjunto no vacı́o y, ” + ” y ” · ” dos leyes de composición interna en F . La
terna ordenada (F, +, ·) es un cuerpo si satisface las siguientes condiciones, llamadas axiomas
de cuerpo
1. Asociatividad. Para cualesquiera a, b, c ∈ F se cumple que
(a + b) + c = a + (b + c)
y
(ab)c = a(bc)
2. Conmutatividad. Para cualesquiera a, b ∈ F se cumple que
a+b=b+a
y
ab = ba
3. Distributividad. Para cualesquiera a, b, c ∈ F se cumple que
a(b + c) = ab + ac
4. Neutro aditivo. Existe un único elemento 0 ∈ F tal que 0 + a = a para toda a en F .
1
3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5. Inverso adtivo. Para cualquier a ∈ F existe un único −a ∈ F tal que a + (−a) = 0.
6. Neutro multiplicativo. Existe un único elemento 1 ∈ F tal que 1a = a para toda a en F .
7. Inverso multiplicativo. Para cualquier a ∈ F − {0} existe un único a−1 ∈ F tal que
aa−1 = 1.
Observaciones 2.1
1. Si (F, +, ·) es un cuerpo se dice que F es el conjunto soporte del cuerpo. Es usual referirse
al cuerpo F , sobreentendiendo cuales son las leyes de composición interna.
2. Los cuerpos más habituales son: (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·).
3.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con la variables x1 , . . . , xn es una ecuación que puede escribirse de la
forma
a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n = b
donde b y los coeficientes a1 , . . . , an son elementos de un cuerpo, habitualmente el cuerpo de los
números reales. Generalmente conocido de antemano. El número n puede ser cualquier entero
positivo.
Consideremos m ecuaciones lineales en la que intervienen las mismas variables, digamos x1 ,
x2 , · · · , xn .
a11 x1 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + . . . + a2n xn = b2
(1)
..
..
.. ,
.
.
.
am1 x1 + . . . + amn xn = bm
donde los aij y los bi son elementos de un cuerpo, para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.
Al conjunto de condiciones (1) se le llama un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas.
En los ejemplos y ejercicios propuestos, n normalmente estará entre 2 y 5, en este caso, usaremos las últimas letras del alfabeto; x, y, z, u, v; en sustitución de las variables x1 , x2 , x3 , x4 , x5 .
En problemas de la vida real, n puede ser 50 o 500 o incluso mayor.
Una solución del sistema (1) es una lista (s1 , s2 , . . . , sn ) de n elementos de un cuerpo
que convierte cada ecuación en una afirmación verdadera cuando los valores s1 , s2 , . . . , sn se
sustituyen por x1 , x2 , . . . , xn respectivamente.
El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solución del sistema lineal.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución. Esto es, cada solución del primer sistema es una solución del segundo sistema y cada
solución del segundo sistema lo es del primero.
Encontrar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con coeficientes
reales y dos incógnitas, digamos
a11 x + a12 y = b1
,
a21 x + a22 y = b2
(2)
donde b1 y b2 son números reales, es fácil porque se reduce a encontrar la intersección de dos
rectas. Geométricamente, cada ecuación del sistema (2) representa una recta en el plano, a las
que denotamos por L1 y L2 . Una pareja de números reales (x, y) satisface ambas ecuaciones en
el sistema si y sólo si el punto (x, y) pertenece tanto a L1 como a L2 . Como bien sabemos, dos
rectas en el plano:
2
4. MATRICES
1. Se cortan en un único punto,
2. Son paralelas y distintas, o bien,
3. Son coincidentes
El hecho anterior ilustra que un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea:
1. Exactamente una solución,
2. Ninguna solución, o bien,
3. Un número infinito de soluciones.
Decimos que un sistema lineal es compatible (o consistente) si tiene solución, en este
caso se dice que es compatible determinado si tiene exactamente una solución y compatible
indeterminado si tiene un número infinito de soluciones. Un sistema es incompatible (o
inconsistente) si no tiene ninguna solución.
4.
Matrices
Sean m y n dos enteros positivos. Una matriz A de orden mxn es una distribución rectangular de m filas y n columnas de la forma


a11 a12 . . a1n
 a21 a22 . . a2n 


.
. 
A=
 .
.
 .
.
. 
am1 am2 . . amn
Los escalares aij pertenecen a un cuerpo F y se llaman los elementos (entradas o coeficientes)
de la matriz A.
Observaciones 4.1
1. Si m = 1 diremos que A es una matriz fila. Si n = 1 diremos que A es una matriz
columna.
2. Para cada i = 1, 2, . . . , m, la matriz de orden 1xn
(ai1 ai2 . . . ain )
se denomina la i-ésima fila de A. Análogamente, para cada j = 1, 2, . . . , n la matriz de
orden mx1


a1j
 a2j 


 . 


 . 
amj
se llama la j-ésima columna de A.
3
5. NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
3. Para representar la matriz A también se adopta la notación
A = {aij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
o bien (cuando no hay riesgo de confusión)
A = (aij )
4. Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) sobre un cuerpo F y del mismo orden mxn, son
iguales si aij = bij para cada 1 ≤ i ≤ m y cada 1 ≤ j ≤ n. Escribiremos A = B
5. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada.
6. Al conjunto de todas la matrices de orden mxn sobre F se le denota por Mmxn (F ) o bien
F mxn . Al conjunto de las matrices cuadras de orden n (o nxn) se le denota por Mn (F ).
5.
Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
La información esencial de un sistema lineal puede registrarse en forma compacta en una
matriz. Dado el sistema (1), a la matriz de orden mxn


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..
..
.. 
 .
.
. 
am1 am2 . . . amn
se llama matriz de coeficientes del sistema

a11 a12 . . .
 a21 a22 . . .

 ..
..
 .
.
am1 am2 . . .
(1), y la matriz de orden mx(n + 1)

a1n b1
a2n b2 

..
.. 
.
. 
amn bm
se les llama matriz aumentada (o ampliada) del sistema.
La matriz aumentada de un sistema consiste en la matriz de coeficientes con una columna
agregada que contiene las constantes de los miembros derechos de las ecuaciones del sistema
(1).
6.
Resolución de un sistema lineal
Se describirá un algoritmo o un proceso sistemático para resolver sistemas lineales. La estrategia básica es reemplazar un sistema por un sistema equivalente (es decir, uno con el mismo
conjunto solución) que sea más fácil de resolver. Para logra ésto, se utilizarán tres operaciones
básicas para simplificar la matriz aumentada de un sistema (lograr la mayor cantidad de ceros
en la matriz), llamadas operaciones elementales de filas.
4
6. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
6.1.
Operaciones elementales de filas de una matriz
Las operaciones elementales de filas aplicadas a una matriz son:
1. (Intercambio) Intercambio de dos filas.
fi ↔ fj
2. (Escalamiento) Multiplicación de una fila por un escalar no nulo.
fi → αfi ,
α 6= 0
3. (Reemplazo) Sustitución de una fila por la suma de sı́ misma y un múltiplo de otra fila.
fi → fi + αfj ,
α 6= 0
Observaciones 6.1
1. El proceso de aplicar las operaciones elementales de fila para simplificar una matriz se
llama reducción por filas.
2. Sean A y B matrices del mismo orden sobre el mismo cuerpo F . diremos que A es equivalente por filas a B, si B puede obtenerse a partir de A mediante un número finito
de operaciones elementales de filas.
3. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces
los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
6.2.
Reducción por filas y forma escalonada
Estudiaremos un algoritmo de reducción por filas que nos permita analizar cualquier sistema
de ecuaciones lineales. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea que se vea o no como
la matriz aumentada para un sistema lineal.
En la siguiente definición se introducirán dos clases importantes de matrices. En dicha
definición una fila o columna diferente de cero o no nula en una matriz implica una fila o una
columna que contiene por lo menos una entrada diferente de cero; una fila nula en una matriz
es una fila donde todas sus entradas son cero; una entrada principal de una fila se refiere a la
primera entrada diferente de cero que esta en una fila no nula.
Definición 6.1 Sea A ∈ Mmxn (F ).
1. Diremos que A es una matriz escalonada o está en forma escalonada (o forma
escalonada por filas) si se verifica que:
a) Las filas nulas de A, si es que existen, están debajo de las filas diferentes de cero.
b) Cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada
principal de una fila superior.
2. Diremos que A es una matriz reducida está en forma reducida (o forma reducida
por filas) si se verifica que:
a) La entrada principal de cada fila diferente de cero es uno.
b) Cada columna de A que contiene la entrada principal de alguna fila de A tiene igual
a cero todos sus otros elementos.
5
6. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
3. Diremos que A es una matriz escalonada reducida o está en forma escalonada reducida (o en forma escalonada reducida por filas) si A está en forma escalonada
y reducida
Observaciones 6.2
1. Una matriz se puede reducir por filas a más de una matriz escalonada. Sin embargo, la
forma escalonada reducida que se obtiene para una matriz es única.
2. Una posición pivote de una matriz A es una posición de A que corresponde a una entrada
principal en una forma escalonada de A. Una columna pivote es una columna de A
que contiene una posición pivote.
6.3.
El algoritmo de reducción por filas
Los primeros cuatro pasos del siguiente algoritmo producen una matriz en forma escalonada.
Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada reducida.
1. Paso 1. Comience con la columna diferente de cero más a la izquierda. Esta es una
columna pivote.
2. Paso 2. Seleccione como pivote una entrada diferente de cero en la columna pivote. Si es
necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posición pivote.
3. Paso 3. Utilice operaciones de reemplazo por fila para crear ceros en todas las posiciones
bajo el pivote.
4. Paso 4. Ignore la fila que contiene la posición pivote y todas las filas, si las hubiere, arriba
de ella. Aplique los pasos anteriores a la submatriz que queda. Repita el proceso hasta
que no queden filas diferentes de cero por modificar.
5. Paso 5. Comenzando con el pivote más a la derecha y trabajando hacia arriba y hacia la
izquierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hágalo 1 por medio de
una operación de escalamiento.
Los pasos 1, . . . , 4 producen la forma escalonada para la matriz completa, y se llama fase
progresiva del algoritmo de reducción por filas. El paso 5, que produce la forma escalonada
reducida única, se llama fase regresiva.
6.4.
Uso del algoritmo de reducción por filas para resolver un sistema lineal
El algoritmo de reducción por filas conduce directamente a una descripción explı́cita del
conjunto solución de un sistema lineal cuando el algoritmo se aplica a la matriz aumentada de
un sistema.
Ejemplo 6.1 Resolver el sistema
− 2y + z =
0
2y − 8z =
8
− 4x + 5y + 9z = − 9
x
6
(3)
6. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
Solución. La matriz aumentada de dicho sistema es


1 −2 1
0
 0
2 −8 8  .
−4 5
9 −9
Se han realizado las operaciones elementales de filas para obtener la forma escalonada


1 −2 1 0
 0 1 −4 4  .
0 0
1 3
Luego, un sistema equivalente al (3) es
x − 2y + z = 0
y − 4z = 4
z = 3
Como la matriz aumentada del sistema equivalente obtenido está en forma escalonada, podemos
resolver dicho sistema por sustitución regresiva. De la tercera ecuación es inmediato que
z = 3, sustituyendo este valor en la segunda ecuación se obtiene que y = 4 + 4 · 3 = 16, y por
lo tanto a partir de la primera ecuación se obtiene que x = 29. Ası́ que (29, 16, 3) es la única
solución del sistema, luego el sistema es consistente determinado. También se puede resolver el
sistema hallando la forma escalonada reducida de la matriz aumentada. Realizando operaciones
elementales de filas a la forma escalonada obtenida, se obtiene la forma escalonada reducida


1 0 0 29
 0 1 0 16  ,
0 0 1 3
cuyo sistema asociado es
x
= 29
y
= 16
z = 3
Ası́, es inmediato que la solución del sistema es (29, 16, 3).
Ejemplo 6.2 Resolver el sistema
y − 4z = 8
2x − 3y + 2z = 1
5x − 8y + 7z = 1
Solución. La matriz aumentada es


0 1 −4 8
 2 −3 2 1 
5 −8 7 1
Su forma escalonada es

2 −3 2 1
 0 1 −4 8 


5
0 0
0
2

7
(4)
6. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
Luego, un sistema equivalente al (4) es
2x − 3y + 2z = 1
y − 4z = 8
5
0 =
2
(5)
5
5
se puede escribir como 0x+0y +0z = . El sistema (5) obviamente contiene
2
2
5
una contradicción. No existen valores de x, y, z que satisfagan (5) porque la ecuación 0 =
2
nunca se cumple. Puesto que (4) y (5) tienen el mismo conjunto solución, el sistema original
es inconsistente.
La ecuación 0 =
Ejemplo 6.3 Resolver el sistema
x
− 5z =
1
2x
y − 9z =
6
x − y − 6z = − 3
(6)
Solución. La matriz aumentada es


1 0 −5 1
 2 1 −9 6 
1 −1 −6 −3
Su forma escalonada es


1 0 −5 1
 0 1 1 4 
0 0 0 0
El sistema de ecuaciones asociado es
x
− 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
(7)
la ecuación nula 0x + 0y + 0z = 0 se satisface para cualquier trı́o ordenado (x, y, z) de R3 ,
luego, el conjunto solución del sistema (7) no cambia si eliminamos de él la ecuación nula, esto
es, si lo escribimos de la forma.
x
− 5z = 1
y + z = 4
(8)
Las variables x e y correspondientes a columnas pivotes de la matriz escalonada del sistema
se llaman variables básicas o variables principales. La otra variable, z, se llaman variable
libre.
El conjunto solución del sistema (8) puede describirse explı́citamente resolviendo cada ecuación del sistema para las variables básicas en término de la variable libre. Como z es libre se
está en libertad de escoger cualquier valor para z, digamos z = λ, donde λ es un elemento de
un cuerpo, habitualmente el cuerpo de los números reales. En (8), despejamos x de la primera
ecuación e y de la segunda, obteniendo
x = 1 + 5λ
y = 4 − λ
z = λ
8
(9)
6. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
La expresión (9) también se suele escribir como


1 + 5λ
 4−λ 
λ
y se llama solución general del sistema porque da una descripción paramétrica de todas
las soluciones del sistema, en las cuales λ actúa como parámetro. Cuando λ = 0, la solución
es (1, 4, 0); cuando λ = 1, la solución es (6, 3, 1). Cada elección diferente de λ determina
una solución (diferente) del sistema (6) y cada solución del sistema está determinada por una
elección de λ.
Observaciones 6.3
1. El método del algoritmo de reducción por filas para resolver sistemas de ecuaciones, es
conocido como método de Gauss-Jordan.
2. Cuando un sistema es consistente, y tiene variables libres, el conjunto solución puede
describirse explı́citamente resolviendo el sistema de ecuaciones reducido para las variables
básicas en términos de las variables libres. Esta operación es posible debido a que la forma
escalonada reducida coloca cada variable básica en una y sólo una ecuación.
3. Al decir que una variable x es libre, queremos decir que estamos en libertad de escoger
cualquier valor para x. Cada elección diferente de x determina una solución diferente del
sistema y cada solución del sistema está determinada por una elección de x.
4. Si un sistema es inconsistente, el conjunto solución es vacı́o, incluso si el sistema tiene
variables libres. En este caso, el conjunto solución no tiene representación paramétrica.
5. Un sistema compatible con más incógnitas que ecuaciones es indeterminado.
Teorema 6.1 (Teorema de existencia y unicidad) Un sistema lineal es consistente si y
sólo si la columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote, esto
es, si y sólo si una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma
(0 · · · 0 b)
con b diferente de cero. Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solución contiene ya sea
1. Una solución única, cuando no existen variables libres, o
2. Un número infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.
El siguiente procedimiento describe cómo encontrar y describir todas las soluciones de un
sistema lineal.
1. Escribir la matriz aumentada del sistema.
2. Utilice el algoritmo de reducción por filas para obtener una matriz aumentada equivalente
de forma escalonada.
3. Decida si el sistema es o no consistente. Si no hay solución, deténgase, en caso contrario,
siga uno de los siguientes pasos
a) Escriba el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada y resolverlo
por sustitución regresiva, o
b) Continúe la reducción por filas para obtener la forma escalonada reducida de la
matriz aumentada, escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz
obtenida y describa el conjunto solución del sistema, si es que existe.
9
7. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
7.
Sistemas lineales homogéneos
Se dice que un sistema lineal es homogéneo si se puede escribir de la forma
a11 x1
a21 x1
..
.
+ . . . + a1n xn
+ . . . + a2n xn
..
.
= 0
= 0
..
.
am1 x1 + . . . + amn xn = 0
Observaciones 7.1
1. Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución, a saber, S = (0, . . . , 0).
Generalmente esta solución, se llama solución trivial.
2. Un sistema homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo si la ecuación tiene por lo
menos una variable libre.
3. Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones tiene
soluciones no triviales.
4. Cuan se aplica operaciones de fila a la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones
lineales, la última columna siempre es nula. Por lo tanto, para resolver un sistema lineal
homogéneo, habitualmente se aplica el algoritmo de reducción por filas a la matriz de
coeficientes del sistema
8.
Álgebra de matrices
Sea A una matriz de orden mxn, esto es,

a11 a12
 a21 a22

.
A=
 .
 .
.
am1 am2
de m filas y n columnas

. . a1n
. . a2n 

. 
 = (aij ) .
. 
. . amn
1. La matriz A diremos que es nula (o cero), y la denotaremos por 0, si todos sus elementos
son iguales a cero.
2. Si A es una matriz cuadrada (m = n) , diremos que:
a) la diagonal principal de A es la n-upla
D(A) = (a11 , a22 , . . . , ann ).
b) A es diagonal si aij = 0 para cada i 6= j. Esto es, A es diagonal si todos los elementos
que no figuran en la diagonal principal son nulos.
c) A es la matriz identidad de orden n, si es una matriz diagonal de orden n y
todos los términos de la diagonal principal son iguales a 1. La matriz identidad la
denotaremos por In , o bien, I cuando no es necesario recalcar el orden.
10
8. ÁLGEBRA DE MATRICES
8.1.
Suma de matrices y producto de un escalar por una matriz
Definición 8.1 Sean A, B ∈ Mmxn (R) y consideremos la matriz C ∈ Mmxn (R) tal que
cij = aij + bij .
A esta matriz C se le llama la suma de A y B, y se le denota por A + B, es decir,
C = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) .
Nótese que la suma de dos matrices está definida sólo cuando las dos matrices son del mismo
orden (o tamaño).
Definición 8.2 Sean A ∈ Mmxn (R) y α ∈ R. Consideremos la matriz B ∈ Mmxn (R) tal que
bij = αaij .
A esta matriz B se le llama el producto del escalar α por la matriz A y se le denota por
αA, esto es
B = α (aij ) = (αaij ) .
Teorema 8.1 Para toda A, B, C ∈ Mmxn (R) y escalares α y β se cumple que
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + 0 = A
4. 0A = 0
5. 1A = A
6. α(βA) = (αβ)A
7. (α + β)A = αA + βA
8. α(A + B) = αA + αB
Observaciones 8.1
1. Para cada A ∈ Mmxn (R), existe una única matriz B ∈ Mmxn (R) tal que:
a) bij = −aij y
b) A + B = 0
2. La matriz B en (1) se le llama la opuesta de A y se le denota por −A, esto es,
B = − (aij ) = (−aij ) .
3. Dadas dos matrices A, B ∈ Mmxn (R), la resta se define por
A − B = A + (−B).
11
8. ÁLGEBRA DE MATRICES
8.2.
Multiplicación de matrices
Definición 8.3 Sean A y B matrices sobre R de ordenes mxn y nxp respectivamente, y consideremos la matriz C ∈ Mmxp (R) tal que la entrada en la fila i y la columna j de C es la suma
de los productos de las entradas correspondientes de la fila i de A y la columna j de B, esto es
cij =
m
X
aik bkj .
k=1
A esta matriz C se le llama el producto de A y B (en ese orden) y se denota por AB, es
decir, se tiene que
!
m
X
C = (aij ) (bij ) =
aik bkj .
k=1
Observaciones 8.2
1. Si A y B son matrices de ordenes mxn y pxq respectivamente, tales que el producto
AB está definido, entonces debe ser n = p. Esto se expresa diciendo que el número de
columnas de A debe ser igual al número de filas de B.
2. Si AB está definida, no es necesariamente cierto que BA también lo esté.
3. Puede ocurrir que AB y BA estén definidas, pero sean de distintos ordenes.
4. Aún estando definidas AB y BA, y siendo del mismo orden, no es cierto en general que
AB = BA, es decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa.
5. Si AB = BA, decimos que A y B conmutan una con la otra.
Teorema 8.2 Sea A una matriz de orden mxn, B y C matrices con tamaños para los cuales
las sumas y productos indicados están definidos, y α un escalar. entonces
1. A (BC) = (AB) C
2. A (B + C) = AB + AC
3. (B + C) A = BA + CA
4. α (AB) = (αA) B = A (αB)
5. Im A = A = AIn
Observaciones 8.3
1. Existen matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula.
2. Si A, B y C son matrices no nulas tal que AB = AC, no necesariamente B = C. Esto
es, la ley de cancelación para la multiplicación de matrices no es válida.
12
8. ÁLGEBRA DE MATRICES
8.3.
Potencia de una matriz
Definición 8.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un entero no negativo definimos
Ak como:
1. A0 = In
2. A1 = A
3. Para cualquier entero positivo k ≥ 2,
Ak = Ak−1 A
Esta definición es un ejemplo de una definición recurrente o inductiva.
8.4.
La traspuesta de una matriz
Definición 8.5 Sea A ∈ Mmxn (R) y B ∈ Mnxm (R) tal que bij = aji . A la matriz B se le llama
la matriz traspuesta de A y se le denota por AT , esto es
AT = (aij )T = (aji ) .
Nótese que las columnas de AT se forman a partir de las filas correspondientes de A.
Teorema 8.3 Si A y B son matrices cuyos tamaños son apropiados para las siguientes sumas
y los siguientes productos, y α es una escalar, entonces
1. (AT )T = A
2. (A + B)T = AT + B T
3. (αA)T = αAT
4. (AB)T = B T AT
Definición 8.6 Sea A ∈ Mn (R), diremos que:
1. A es una matriz simétrica si AT = A y
2. A es una matriz antisimétrica si AT = −A.
Teorema 8.4 (Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas)
1. Los elementos de la diagonal de una matriz antisimétrica son nulos.
2. El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simétrica.
3. La suma de toda matriz cuadrada y de su transpuesta es simétrica.
4. La diferencia de toda matriz cuadrada con su transpuesta es antisimétrica.
5. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y de una
antisimétrica.
13
9. MATRICES INVERTIBLES
9.
Matrices invertibles
Sea A ∈ Mn (R). Diremos que A es una matriz invertible si existe una matriz B ∈ Mn (R)
tal que
AB = I = BA,
donde I es la matriz identidad de orden n. En esta caso se dice que la matriz B es la matriz
inversa de A. Si C fuera otra inversa de A, tendrı́amos que
C = CI = C (AB) = (CA) B = IB = B.
Entonces, cuando A es invertible, su inversa es única y la denotamos por A−1 .Ası́ pues,
AA−1 = I = A−1 A.
Una matriz cuadra que no es invertible también se denomina matriz singular y una matriz
invertible se denomina matiz no singular.
Teorema 9.1 Sean A y B matrices cuadradas de orden n
1. Si A es invertible, entonces A−1 es invertible y
(A−1 )−1 = A.
2. Si A y B son invertible, también lo es AB, y
(AB)−1 = B −1 A−1 .
3. Si A es invertible, también lo es AT , y
AT
−1
= A−1
T
.
Observaciones 9.1
1. La matrices invertibles son indispensables en el álgebra lineal, principalmente para cálculos
algebraicos y deducción de fórmulas.
2. El sistema
a11 x1
a21 x1
..
.
+ . . . + a1n xn
+ . . . + a2n xn
..
.
= b1
= b2
..
.
am1 x1 + . . . + amn xn = bm
puede escribirse como AX = B, donde A

a11
 a21

A =  ..
 .
am1
y, X y B son las matrices columnas



X=

x1
x2
..
.
es la matriz de coeficientes

a12 . . . a1n
a22 . . . a2n 

..
.. 
.
. 
am2 . . . amn






y
B
=




xn
b1
b2
..
.
bm
14





(10)
9. MATRICES INVERTIBLES
3. Si (s1 , s2 , . . . , sn ) es una solución del sistema (10) se cumple que AS = B, donde S es la
matriz columnas


s1
 s2 


S =  .. 
 . 
sn
Diremos en este caso que S es una matriz solución del sistema, o simplemente que S es
una solución del sistema.
Teorema 9.2 Si A ∈ Mn (R) es una matriz invertible, entonces para cada B ∈ Mnx1 (R) , el
sistema AX = B tiene la solución única X = A−1 B.
Prueba Para cualquier B ∈ Mnx1 (R) existe una solución porque cuando se sustituye A−1 B
por X obtenemos
AX = A A−1 B = AA−1 B = IB = B.
Ası́ que A−1 B es una solución. La solución es única, efectivamente si U ∈ Mnx1 (R) es cualquier
solución, entonces
AU = B
y multiplicando ambos miembros por A−1 obtenemos
A−1 (AU )
A−1 A U
IU
U
9.1.
=
=
=
=
A−1 B
A−1 B
A−1 B
A−1 B.
Matrices elementales
Definición 9.1 Una matriz elemental es aquella que se obtiene realizando una única operación elemental de fila a la matriz identidad.
En el siguiente ejemplo se ilustra las tres clases de matrices elementales.
Ejemplo 9.1 Aplicando las operaciones elementales de filas
f3 −→ f3 − 4f1 ,
f1 ←→ f2 ,
f3 −→ 5f3 ,
con la matriz identidad


1 0 0
I= 0 1 0 
0 0 1
se obtienen, respectivamente, las matrices elementales




1 0 0
0 1 0
E1 =  0 1 0  , E2 =  1 0 0 
−4 0 1
0 0 1


1 0 0

0 1 0 .
y E3 =
0 0 5
15
9. MATRICES INVERTIBLES
Ahora Bien, dada la matriz


2 1 −3
2 ,
A= 4 3
1 −5 5
se obtiene que


2
1 −3
3
2 ,
E1 A =  4
−7 −9 17


4 3
2
E2 A =  2 1 −3  y
1 −5 5


2 1 −3
2 .
E3 A =  4 3
5 −25 25
Nótese que que las operaciones de filas f3 −→ f3 − 4f1 , f1 ←→ f2 , y f3 −→ 5f3 , aplicadas
con la matriz A, producen, respectivamente, las matrices E1 A, E2 A y E3 A.
La multiplicación por la izquierda por E1 en el ejemplo anterior tiene el mismo efecto en
cualquier matriz de orden 3xn : suma -4 veces la fila uno a la fila tres. Ası́, el ejemplo anterior
ilustra el siguiente teorema.
Teorema 9.3 Si se realiza una operación elemental de fila con una matriz A de orden mxn, la
matriz resultante puede escribirse como EA, donde la matriz E de orden mxm se crea realizando
la misma operación de fila con Im .
Es importante notar que las operaciones de fila con una matriz son invertibles:
1. Si se intercambian dos filas, puede regresarse a sus posiciones originales por medio de otro
intercambio.
2. Si se escala una fila por una constante c diferente de cero, entonces al multiplicar la nueva
fila por 1c se obtiene la fila original.
3. Finalmente, consideremos una operación de reemplazo en la que intervienen dos filas, por
ejemplo, las filas 1 y 2, y supongamos que c veces la fila 1 se suma a la fila 2 para producir
una nueva fila 2. Para invertir esta operación, sumamos −c veces la fila 1 a la nueva fila
2 para obtener la fila 2 original.
Puesto que las operaciones de fila son invertibles, las matrices elementales son invertibles,
porque si E se produce aplicando una operación de fila a I, entonces existe otra operación de
fila del mismo tipo que convierte E otra vez en I. Por lo tanto, existe una matriz elemental F
tal que F E = I. También, puesto que E y F corresponden a operaciones inversas, EF = I.
El siguiente teorema ofrece la mejor manera de visualizar una matriz invertible y lleva
inmediatamente a un método para encontrar la inversa de una matriz.
Teorema 9.4 Una matriz A ∈ Mn (R) es invertible si y sólo si es equivalente por filas a In y
en este caso, cualquier secuencia de operaciones elementales de fila que reduzca A a In también
transforma In en A−1 .
16
9. MATRICES INVERTIBLES
Prueba Supongamos que A es invertible. Entonces para cada B ∈ M1xn (R) la ecuación
AX = B tiene una única soluciòn. Por lo tanto, A tiene una posición pivote en cada fila.
Como A es cuadrada, las n posiciones pivote deben estar en la diagonal y esto implica la forma
escalonada reducida de A es In . Esto es A ∼ In (A es equivalente a In ).
Recı́procamente, supongamos que A ∼ In . Entonces, puesto que cada paso de la reducción
por filas de A corresponde a una multiplicación por la izquierda por una matriz elemental,
existen matrices elementales E1 , . . . , Ep tales que
A ∼ E1 A ∼ E2 E1 A ∼ · · · ∼ Ep · · · E1 A = In
(11)
Puesto que el producto de matrices invertibles es invertible, la ecuación al final de (11) lleva a
(Ep · · · E1 )−1 (Ep · · · E1 ) A = (Ep · · · E1 )−1 In
A = (Ep · · · E1 )−1
Por lo tanto, A es invertible, puesto que es la inverza de una matriz invertible. También
−1
A−1 = (Ep · · · E1 )−1
= Ep · · · E1
Entonces
A−1 = Ep · · · E1 In
lo cual dice que al aplicar sucesivamente E1 , . . . , Ep a In se obtiene A−1 . Esta es la misma
secuencia de (11) que redujo A a In .
9.2.
Un algoritmo para encontrar A−1
El teorema anterior nos da un método práctico para determinar si una matriz A es invertible
y, en caso de serlo, para determinar su inversa A−1 . Tal proceso, conocido como el método de
Gauss-Jordan, consiste en lo siguiente:
1. Se determina la matriz B, escalonada y reducida por filas, equivalente por filas a A. si
B = I, entonces A es invertible y si B 6= I, entonces A no es invertible.
2. En caso de que A sea invertible, esto es, si A es equivalente por filas a I, se realizan sobre
I las mismas operaciones que nos permitieron pasar de A a I y de esta manera obtenemos
A−1 .
El proceso antes señalado puede simplificarse considerando la matriz (A|I) de orden nx2n,
cuyas n primeras columnas forman la matriz A y las otras n columnas forman la matriz I.
Entonces se lleva (A|I) a una matriz escalonada reducida por filas (B|C). si B = I, entonces
A es invertible y su inversa es C. si B 6= I, entonces A no es invertible.
Los siguientes teorema ofrecen un repaso de la mayor parte de los conceptos introducidos
en el tema de sistemas de ecuaciones y matrices.
Teorema 9.5 (El teorema de la matriz invertible) Sea A ∈ Mn (R) . Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. Esto es, los enunciados son o todos ciertos o todos falsos.
1. A es una matriz invertible.
2. A es equivalente por filas a la matriz identidad In .
3. A tiene n posiciones pivote.
17
10. DETERMINANTES
4. La ecuación AX = 0 tiene solamente la solución trivial.
5. La ecuación AX = B tiene una única solución para cada B ∈ M1xn (R) .
6. Existe una matriz C ∈ Mn (R) tal que CA = I.
7. Existe una matriz D ∈ Mn (R) tal que AD = I.
8. AT es invertible.
Teorema 9.6 Sean A y B matrices cuadradas. Si AB = I, entonces A y B son ambas invertibles, con A−1 = B y B −1 = A.
10.
Determinantes
Definición 10.1 Sea
A = (a11 )
una matriz cuadrada de orden 1. El determinante de A, denotado por detA, se define como
det A = a11 .
Definición 10.2 Sea
A=
a11 a12
a21 a22
una matriz cuadra de orden 2. El determinante de A, denotado por detA, se define como
detA = a11 a22 − a12 a21 .
Observaciones 10.1
1. El determinante de una matriz cuadra de orden n se definirá de manera inductiva. En
otras palabras, se usará lo que se sabe sobre el determinante de una matriz de orden 1
para definir el determinante de una matriz de orden 2, ésta a su vez se usará para definir
el determinante de una matriz de orden 3, etc.
2. Es importante darse cuenta que ”det” es una función que asigna un elemento de un cuerpo
F a una matriz cuadrada de orden n sobre F . Esto es
det : Mn (R) −→ R
A −→ detA
Definición 10.3 Sea A ∈ F .
1. La matriz de orden n − 1 obtenida de A al eliminar la fila i y la columna j se denota por
Mij (A) y se llama ij-ésimo menor de A.
2. El ij-ésimo cofactor de A, denotado por Cij (A) se define como
Cij (A) = (−1)i+j det(Mij (A))
3. El determinante de la matriz A denotado por detA o bien |A|, se define mediante la
siguiente regla:
18
10. DETERMINANTES
a) si n = 1, es decir A = (a11 ), entonces |A| = a11
b) Si n ≥ 2, entonces
|A| =
n
X
aik Cik (A)
(12)
akj Ckj (A)
(13)
k=1
para algún i fijo, o bien
|A| =
n
X
k=1
para algún j fijo.
La fórmula (12) se llama un desarrollo por cofactores a lo largo de la fila i − ésima y,
(13) es un desarrollo por cofactores a lo largo de la columna j − ésima.
El desarrollo por cofactores es útil para calcular el determinante de una matriz que contiene
muchos ceros. Por ejemplo, si una fila consiste en su mayor parte de ceros, entonces el desarrollo
por cofactores a lo largo de esa fila tiene muchos términos que son cero y no es necesario calcular
los cofactores en esos términos. El mismo método funciona con una columna que contiene
muchos ceros.
10.1.
Propiedades de los determinantes
Las siguientes propiedades nos permiten reducir significativamente la cantidad de trabajo
necesaria para calcular un determinante.
Definición 10.4 Sea A ∈ Mn (F ), diremos que:
1. A es una matriz triangular superior si todos sus componentes debajo de la diagonal
principal son nulos. Esto es, si aij = 0 para toda i > j.
2. A es una matriz triangular inferior si todos sus componentes arriba de la diagonal
principal son nulos. Esto es, si aij = 0 para toda i < j.
3. A es una matriz triangular si es triangular superior, o bien, triangular inferior.
Teorema 10.1 Si A es una matriz triangular de orden n, entonces det A es el producto de las
entradas de la diagonal principal de A.
El secreto de los determinantes radica en cómo cambian cuando se realizan operaciones por
fila.
Teorema 10.2 Sea A ∈ Mn (F ).
1. Si se suma un múltiplo de una fila de A a otra fila para producir una matriz B, entonces
det A = det B.
2. Si B es una matriz obtenida de A intercambiando dos filas , entonces det A = − det B.
3. Si B es una matriz obtenida de A multiplicando una fila por un escalar α, entonces
det A = α1 det B.
Podemos realizar operaciones con las columnas de una matriz de manera análoga a las
operaciones po fila que hemos visto. El siguiente teorema muestra que las operaciones por
columnas tienen los mismos efectos sobre los determinantes que las operaciones por fila.
19
10. DETERMINANTES
Teorema 10.3 Si A ∈ Mn (F ), entonces
detA = detAT
Teorema 10.4 (Propiedad multiplicativa) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden
n, entonces
det(AB) = detA.detB.
Teorema 10.5 Sea A ∈ Mn (F ).
1. Si una fila (o columna) de A es nula, entonces det A = 0.
2. Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales, det A = 0.
3. Si una fila (o columna) de A es un múltiplo escalar de otra fila (o columna), entonces
det A = 0.
4. Si k es cualquier escalar, entonces det (kA) = k n det A
A continuación mostramos los dos teoremas principales de esta sección.
Teorema 10.6 Si A es una matriz cuadra de orden n. A es invertible si y sólo si |A| =
6 0.
Teorema 10.7 Si A es una matriz cuadrada de orden n y es invertible , entonces |A−1 | =
10.2.
1
.
|A|
Una fórmula para A−1
La teorı́a de determinantes lleva fácilmente a una fórmula general para hallar la inversa de
una matriz cuadrada de orden n.
Definición 10.5 Si A una matriz cuadrada de orden n

C11 (A) C12 (A) . . .
 C21 (A) C22 (A) . . .

B=
..
..

.
.
Cn1 (A) Cn2 (A) . . .
y
C1n (A)
C2n (A)
..
.





Cnn (A)
la matriz de cofactores de A. La adjunta de A, denotada por adjA, es la transpuesta de B.
Esto es
adjA = B T
Teorema 10.8 Para cualquier matriz A de orden n se verifica que
A.adjA = adjA.A = |A|.I
Teorema 10.9 (Una fórmula para la inversa) Si A una matriz de orden n. y es invertible,
entonces
adjA
A−1 =
|A|
20
10. DETERMINANTES
10.3.
Regla de Cramer
A continuación obtendremos una fórmula teórica importante para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Sea A una matriz cuadrada de orden n y cualquier


b1
 b2 


B =  ..  .
 . 
bn
Sea Ai (B) la matriz obtenida a partir de A al reemplazar la columna i por la columna asociada
a la matriz B.
Teorema 10.10 (Regla de Cramer) Sea A ∈ Mn (F ) una matriz invertible. Para cualquier


b1
 b2 


B =  .. 
 . 
bn
en M1xn (F ), la solución única



X=

x1
x2
..
.



,

xn
del sistema
AX = B
tiene entradas dadas por
xi =
det Ai (B)
,
det A
i = 1, 2, 3, ..., n.
La regla de Cramer se puede usar para estudiar como cambia la solución de AX = B cuando
cambian las entradas de B. Sin embargo, la fórmula es ineficiente para cálculos a mano, excepto,
para matrices de orden 2x2 o quizá 3x3.
Ejercicios
Resolver, por el método de Gauss-Jordan, los sistemas del ejercicio 1 al 8
2x − y + 2z = 1
1 x + y + z = 2
2x − y + z = 5
x + 3y + z = 6
2 3x − 2y − 8z = 7
4x + 5y − 3z = 17
x + 2y = −5
3 3x + y = −5
2x + 3y = −8
21
10. DETERMINANTES
3x + 2y
+ u = 0
= 1
4 x + 2y + z
5x + 6y + 2z + u = 2
x − 2y + z − u − v = −2
− v = 4
5 2x + y − z
4x − 3y + z − 2u − 3v = 1
x
2x
6
x
x
+ y
+ y
+ y
+ 2y
− 3z = −1
− 2z = 1
+ z = 3
− 3z = 1
x + y − 3z
− v = 0
x − y + z − u
= 0
7
2x
+ 2z − u − v = 0
2x
− u − v = 0
x + y + 2z = −1
8 2x − y + 2z = −4
4x + y + 6z = −6
En los sistemas lineales de los ejercicios del 9 al 12 , determinar para qué valores del parámetro
a, el sistema es: (i) incompatible, (ii) compatible determinado, (iii) compatible indeterminado
x + y −
z
= 2
z
= 3
9 x + 2y +
2
x + y + (a − 5)z = a
ax − 2y + z = 1
10 x + ay + 2z = a
x
+ z = 1
11
x + y + az = 3
ax + y + z = 2
12
x + y + az = a
ax + y + z = a
En los ejercicios 13 y 14 determinar que condición deben verificar los parámetro α, β y γ para
sean compatibles cada uno de los sistemas de ecuaciones
x + y − z = α
13 2x + 3y + 4z = β
x
− 7z = γ
x + y + 2z = α
14 3x − y + 3z = β
x − 2y − z = γ
15 Discutir el siguiente sistema según los valores de α
αx − y + 2z = 1 + α
x + αy − z = −1
3x + y + z =
α
22
10. DETERMINANTES
16 Discutir el siguiente sistema según los valores de α
2x − αy + z = 5 − 2α
x + y − αz =
1
4x + y − αz =
α
17 Plantear el sistema de ecuaciones lineales que permite obtener el polinomio de tercer grado
que es divisible por x − 3 y x + 1, y además tiene resto −3 y −15 al dividir respectivamente por
x−2 y x+2
Dadas las matrices
A=
1 −4 2
−1 4 −2


1
2
B =  −1 3 
5 −2

y

2 2
C =  1 −1 
1 −3
En los ejercicios del 18 al 24 calcular
18 B + C
19 AB
20 BA
21 A(B + C)
22 B T C
23 A(2B − 3C)
24 A + 5C T
Dadas las matrices
A=
1 2 0
−1 1 4
B=
0 1 0
3 −1 0
y
C=
2 1
3 −2
En los ejercicios del 25 al 27 determinar cuál es la matriz X que verifica
25 2A + X = B
26 AB T − 2X = +C
27 CX + AB T = BB T
28 Comprobar que las identidades algebraicas
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
y
(A − B)(A + B) = A2 − B 2
no son ciertas en general si A y B son matrices cuadradas de orden n, utilizando para ello las
matrices
1 −1
1 0
A=
y B=
0 2
1 2
¿Cuál es la razón por la que dichas identidades no son ciertas? Modificar el segundo miembro
de ambas identidades algebraicas de manera que el resultado sea válido para cualesquiera A y
B matrices cuadradas.
23
10. DETERMINANTES
En los ejercicios del 29 al 33 determine la matriz inversa, si es que existe, por el método de
Gauss-Jordan.


1 1 1
29 A1 =  1 1 0 
0 0 0


1 2 0
30 A3 =  1 2 4 
0 1 1
31 A4 =
1 3
2 1


1 1
1 1
 1 2 −1 2 

32 A5 = 
 1 −1 2 1 
1 3
3 2


3 1 0
33 A6 =  1 −1 2 
1 1 1
34 Dada A una matriz cuadrada de orden n, demostrar que A+AT , AT A Y AAT son matrices
simétricas.
35 Demostrar que si A es una matriz simétrica o antisimétrica, entonces A2 es simétrica.
En los ejercicios del 36 al 40 hallar el valor de cada determinante desarrollando por una fila o
columna
36
2 0 0
0 0 3
0 −1 0
0 0 0
0
0
0
4
37
2 −3 1 4
0 −2 0 0
3 7 −1 2
4 1 −3 8
38
3 −1 2 1
4
3 1 −2
−1 0 2 3
6
2 5 2
39
1 −1 2
0 −3 5
1 4
0
0 5 −6
4
6
3
7
24
10. DETERMINANTES
40
2 0
0 1 0
0 3 −1 2 1
2 4
3 1 −2
7 −1 0 2 3
4 6
2 5 2
41 Demostrar que
0 1 1
a b c
a3 b 3 c 3
42 Demostrar que
0
−1
0
−1
0
1
a
0
0
0
0
0
a
0
0
= (b − a)(c − a)(c − b)(a + b + c)
1
0
0
a
0
0
0
0
0
a
= 2a3


1 2 4
Dada la matriz A =  3 8 −2 , en los ejercicios del 43 al 46 se pide
2 0 4
43 Hallar la matriz Adj(A)
44 Calcular |A|
45 Comprobar que A · Adj(A) = Adj(A) · A = |A|I3
46 Calcular A−1
Determinar para que valores de a, son invertibles las matrices de los ejercicios 47 y 48


a 1 2
47  2 a 2 
1 a 1


a 0 1 −1
 1 2 0 2 

48 
 0 −3 2 0 
1 a 3 a
Usar la fórmula A−1 =
Adj(A)
para calcular la matriz inversa, si es que existe, de la matrices
|A|
del ejercicio 49 al 52
3 2
49 A1 =
1 2


1 2 3
50 A2 =  1 1 2 
0 1 2


1 2 0
51 A3 =  1 2 4 
0 1 1
25
10. DETERMINANTES


1 0 −1 2
 1 1
2 1 

52 A4 = 
 0 3
2 4 
1 −1 −1 3
Resolver los sistemas considerados en los ejercicios 53 y 54 : (i) calculando la inversa de la matriz
de los coeficientes, (ii) aplicando la regla de Cramer y (iii) por el método de Gauss-Jordan
x + y + z = 1
z = 0
53 2x +
x − 2y + z = 1
x +
z = 2
54 2x + 3y + z = 3
3x + 3y + 2z = 5
55 Encontrar todas las matrices X ∈ M3x3 (R) tales que




1 2 3
1 4 2
 0 −1 1  X =  −1 2 1 
1 3 1
0 1 0
56 Siendo


−3 0 −4
A= 4 1 4 
2 0 3
obtener λ tal que |A − λI| = 0. Después resolver el sistema (A − λI)X = 0 para cada valor de
λ
Soluciones a los ejercicios propuestos
1 S = (5, 1, −4)
2 S = (3 + 2k, 1 − k, k)
3 S = (−1, −2)
4 S = (α, β, 1 − α − 2β, −3α − 2β)
5 S = (2 − 3α + 2β − γ, α, β, γ, 8 − 5α + 3β − 2γ)
6 S=∅
7 S = (α + β, α, 0, β, 2α + β)
5 4 2 2
8 S = (− − k, − k, k)
3 3 3 3
9 Si a 6= 2 y a 6= −2 el sistema es compatible determinado. Si a = 2 el sistema es compatible
indeterminado. Si a = −2 el sistema es incompatible.
10 Si a 6= 1 y a 6= 2 el sistema es compatible determinado. Si a = 2 el sistema es compatible
indeterminado. Si a = −1 el sistema es incompatible.
26
10. DETERMINANTES
11 El sistema es compatible indeterminado si a 6= 1 e incompatible si a = 1.
12 El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor del parámetro a.
13 El sistema es compatible para los valores de los parámetros α, β y γ que verifiquen la
condición −3α + β + γ = 0.
14 El sistema es compatible determinado para cualquier valor de los parámetros α, β y γ.
15 Para α distinto de 2 y de 3 se obtiene solución única. Para α = 2 existen infinitas soluciones
y para α = 3 no existe solución.
16 Para α distinto de 1 y de −1 se obtiene solución única. Para α = 1 existen infinitas soluciones
y para α = −1 no existe solución.
17 Si p(x) = a + bx + cx2 + dx3 es el
a + 3b + 9c
a − b + c
ecuaciones lineales
a + 2b + 4c
a − 2b + 4c
polinomio, los coeficientes han de verificar el sistema de
+ 27d = 0
− d = 0
+ 8d = −3
− 8d = −15


3 4
18  0 2 
6 −5
19
15 −14
−15 14


−1 4 −2
20  −4 16 −8 
7 −28 14
15 −14
−15 14
6 −12
5 7
30 −28
−30 28
11 1
7
9 −1 −17
−2 −3 0
5 −3 −8
0
0
−1 −1
−4/7 10/7
1/7 −34/7
21
22
23
24
25
26
27
27
10. DETERMINANTES
28 Las identidades algebraicas correctas para cualesquiera A y B matrices cuadradas son:
(A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2
y
(A − B)(A + B) = A2 + AB − BA − B 2
29 No es invertible.


1/2
1/2 −2
30  1/4 −1/4 1 
−1/4 1/4
0
31
−1/5 3/5
2/5 −1/5


7/3 −1/3 −1/3 −2/3
 4/9 −1/9 −4/9 1/9 

32 
 −1/9 −2/9 −1/9 2/9 
−5/3 2/3 −2/3 1/3


3/8 −1/8 −1/4
33  −1/8 −3/8 3/4 
−1/8 1/8
1/2
36 24
37 80
38 0
39 −260
40 −200


32 −8 −36
43  −16 −4 14 
−16 4
2
44 −64
46 A =
−/2 1/8
9/16
1/4 1/16 −7/32
1/4 −1/16 −1/32
47 a ∈ R − {0, 2}
48 a ∈ R − {
49
1
}
23
1/2 −1/2
−1/4 3/4
28
10. DETERMINANTES


0
1 −1
50  2 −2 −1 
−1 1
1


1/2
1/2 −2
51  1/4 −1/4 1 
−1/4 1/4
0


17/21 11/21 −2/7 −1/3
 16/21 −2/21 1/7 −2/3 

52 
 2/3
1/3
0
1/3 
−5/21 −2/21 1/7
1/3
53 (−1, 0, 2)
54 El sistema es compatible indeterminado. Las infinitas soluciones no se pueden calcular por
1
los métodos (i) y (ii). Aplicando el método (iii) se obtiene que S = (2 − λ, − λ, λ)
2


−11 3
4
55 X =  3 −1 −1 
2
1
0
56 Las raı́ces de la ecuación son λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1. Para λ1 = λ2 = 1 el conjunto solución
es S = (−α, β, α). Para λ3 = −1 se obtiene S = (−2k, 2k, k).
Bibliografı́a
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Aires.
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edición. Libreria el Eteneo Editorial. Buenos
2. David C. Lay (2001). Álgebra Lineal y Sus Aplicaciones. Segunda edición. Pearson
Educación. México.
3. Emilio Prieto Sáez (1999). Lecciones elementales de á lgebra lineal para economı́a
y empresa. Editorial Centro de Estudios Ram ón Areces, S.A. Madrid.
4. Grossman, S. (1997). Álgebra lineal con aplicaciones. Quinta edición. McGraw-Hill.
5. Jorge Saenz (2013). Cálculo vectorial. Primera edició n. Hipotenusa. Barquisimeto.
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29