Temas de Años anteriores Calculo II FIUNA

Ca\C4Jro I Katt1"(l) Ú) dl.t~ ~1_U-lI.A -1010 . • • • • ... - v 1: ,,¡.d Universidad Nacion ()1 de Asunción . F<Jc ultad de Ingeniería. ,/ L:jcrcitJrio de (jlculo 2 ~I-ªdleJlte - Q~1'I{gQª-_~H~~12Jl-~1 : l ) 'lallar la de:ivada direccional de la función díre cción de V = -- 2i - j +- le f(x~y,z) =: xy un '1/fCa, b) = t, entonces 'la gráfica de plano vertical tangente en Ca, b). Es ciert a la afil'mac.ión? 3 Dacia ;;; = úL In(2x - 1) con H o::: '.c: h( x, y),en A= . la función z = f(x, y)r:iene {(x,y) definida implícitamente por uy rE's ult3 z == h(x, y) . Halle !Jn~ ec u;:¡ción pal'a el pl;:¡ no z P(l,J,ll, e n 1:1 \1 e! máximo valor de \;:¡ derivJclz direc,cionai en P. Si fes diferenciable y @ +- y~~ +- xz en Ll nf! (? rlI.p. + e H -- X : .' 2, a IZI superficie de ecuación (1,1,2 0 ), '4-1:vJluar la derivada direccional de V(x. y, z) ::" 'C-r,(cc ción del vector normal <1 ¡I·x¿ y + Z2 en (1..'1, --2), {!Il b -- J .. :';! :; ; S en el pu n to ((¡, ~~,J;,. xy2 -- L~ !iupcrficlc x ¿ .- y /. ( 5:\\ c<1 pitón Ralph tiene dificultades cerca d e l13d o 50Il~J{jO de n~,crcUl'iO. La terrlllr:r;)turJ ~I de I¿¡ nave, viene d.ldo por T (x , y, e xy x2y ;,:; siendo ex, y, z) !J G1SCO L) ::::: XY - ¿ -- - posición de la nave. Actlialllierite est,) en ei ~ )j nto (1, '-' 1,2) . En qué dirección deberó avanzar para disminuir más r¿pidam ente la ternperf)!:\JrLl? f;l)tr!:JJl.º~~-W~ºd.Qn~5... --..... 1- Deterrnimr tres números positivos cuyo producto sea 24 y t<ll que suma SCJ el nlÍnimo posible. .. 2- La temperatura de cualquier punto de Id esfera posición puede expresarse como T(x, Y, z) =:: X2 + y2 + zl: ::; 4- como función de I ~i 100x y2z. Det<:rmin3l' los puntos de 13 e~fera en la que la temperatura será la menor posible. Calc uh r los vJlores de la temperatura en dichos puntos. Auxiliar: JJvier Andino. .:; . U nd e : n lA c::,;) 11, ~ íll ' t ¡"(':, L:i l!(iCt s q u ;;: ~HI ,d I IC ( .~ 11 el P( ~) tJ lj C(IÓ tl en c2dJ rl~pn: :; \ : [ lt" I ¡ : ;', .·tU Ij ;·o d ud (J. Sie nd o el cor, t:i (\ t: l;:ib (ic¿J r(' Si-,<:Cí.lv;1rrk·l il ~) ~L~;/ I ?n u,)/ ~ . ,¡ ,j O, 2;.1. 1. ::; ()O; chJl,d: 1,1cJ ntiLb d de prod uctos en 1:, p rimer;?' (.'ilir i,· ,·J, y iJ G',ntiebd el<:> producid o s en Ii) SC 8lIl1r .., y !. l. p rod U Cl(¡~; en la t e rce r,l. Si l.) cmpn. ~, d debe: ,ltender lIi ) ped id o de 1100 uni( a k :; (: ,, 1pro ducto, como de ben dl';t¡ ·ib uir·sc \;) pr oducc ic'i) de ITlOclo J mi"irni¡ ;1í ;), - hó lla r lO::' p'.mtu5 ..c ,,, ili ': erccp ción de x -1- ('.',,! ( , ,,(, :. ,!( 1" :.v .+. % o:: 1:''. 'i < .'(l'''' ,.... ". y::: Xl + y2 q UE" c:;t\~ ; ) rn¡\:, cercZl de l orieen. 'j- [lrn:,ltr:rial de la h :.1 5 ( ' d e una CJj;) alJi crt,l (sin tJ f¡,J) (tIC sto 1,) veces lo que (u c~ t J ei rn :; lC'r¡;:¡\ de 1;)5 CM;:¡C, puede construirse ,; . (J) f(:...,y ) b) l x ,y ( ) ;¡ un cos to fijo C. "' + y z -" xy -- X --, Y en .) -. ;' 1 ] .. . X' · - y. en y - - .'t · .,- . ¿ c-:.~ ):' ::= !<1ter,des . f! édi;)r lus dimensione, el,' b (;Jj ~J (.!t: volumen m~¡)( ifllO qlJ C ~, x~ '1 'u , -} "1 y~ ::; 7. 2 y t- x- 1 :S O ,. • U. \VERS1DAD NACIOl\AL DE AS lINCIO,\ ACULTAD DE [:"GENIERlA • • . CALCULO 2 , • • • - ~- ( ;. : , . 11 ~ ' , l ~ S y l ' I¡ · 1 ,'1 'H l '. " '\,', } I JI- A ~ . 1Í\( tú;-J I \l ! I j.\. IH. f. ,C . ' ll hi ;, iI. :·,.U 'l " .~ ;~ ( ti f LA ,l!-, J' " L:. ..![ll t' '¡ _':.,ll·i :.. 1 • / Olb ) j ,1 í íJ/'J:'In O _(\o: l j ~ ~ L .~ . . .. l' ..... ,. T --- ___J -"- "-- 1 ~_~: __~~J 'C' ('l e) nt' UI-lto") , ·) ...., ,. " ? ¡ ~;' r•.Ia ".. _, o ::::1 :::::: (¡¡ t l ' " ~. 1 , ¡'!X) .' 2D2?, D1Z ay' (Ix ' + ~'I (y .... u.r) , clemostrar eue a --- .;- .- -- --¡ ::; O ( 1(1 plintos) y Hallar las co nstantes a b di? forma que la superficie de ecuación b )J z :={a -1- 2) x sea ortogonal d X2 -- l)() ll l illl.ll ()s [ - -- el punto P (1; O; 2) bx 'j';>ma I )m<I\:ió ll : 5____ _ ..__ · v· L1 ) ~ 3u"· - .. z .. + xcos y:::: 2 , calculaí OZ e U3<.b , 1. C. N": .. ___ ___ ~- _~ _ _J.._. __ I ..- - - _ ._- -- U', ", 02/06/09 FILA B 20. Examen Parcia l al e~uación la curva de 4 X2 r + z.1 == 4. en el p U ' 0 (1; -1 ; :2) 4 (H! plintos) j'(!,WJ cur 'a de ecu ació n r (t) = (t 2 , 2t, cost ), se pide: 1,- Los puntos de dicha curva en los que la torsión es nula; :::. I !alla r ~~ '1 d ich o ~:; punto la curvatura y fas ecuaciones del plano normal. r');"lda la fe¡¡¡ ,5 ('i O puntos) ¡,ndicar si es verdadero o falso I~. tl ~ t l.',.r h¡ ¡ rrn ",.'spll t sta ('orrcctt;:¡ se SU 1ll:U::.í I dos punt os y por cada respuesta :,,,"' :, n.la r á lH - .. I .; I '.. .1 , ' .I l l1 CU I ,. :j ;J ll ~jCl;I ; ~ l rlz punto-: los; í1cms ne ~ .lIIh'sj; dos 110 se puntuarán) _... . . - - '- ' - ' " . . .. . . . . ... .._--.--.. _---------..- _. _._-..---- ~ ~ ~ _ ~ ~ está en un pl u no perpendicular o T _ '1. :' 1') (: 5. d v r~(:t or do ' posT(;T6n-deur,a-pa;:tfcuj;'l fñó~,Coñ-ionc{is"É;¡-vectürvelocídnd'- .t l: } _________ _____._.________ ':l .~ ':~ ':~C: ' ~_ (:¡( :c!().r<~L~I.~lj!.:Ju).~~~..c).'!9..9.~~'!!:~ g (x , y) tienen el mismo gradiente, son funcion es idénticas I.. d l.l;i¡v'Jd, . 11' Ll l11)Unto ' ~;do.s¡güiendola CíirecciÓ'ndelvectorS;-iienc-elvalor----\ r:'):' I ¡-, cU<1.~ ~~ Ssj\J~ II:: I~! q i~~~~i6..0 d~L.v..~tor:. p~?r.f.l~~~~lcul~..~.1 0 cl}!'~~~~~v~! ___ 1'-:; f (.r, 1') r .' V - ~ V O F 'y- -;.:' o _ _.. _ V F .--- F ~_~ ___.___ v 1.-· -- - .-------- . - ------ -----.. ---- .__.. _ -- _.. _--- - ------------1---+--- I __ . . Si .'"(1) es d ,tJfel l'.;lable, entonces .d\r(t)! d /.t dr(t) v dt SI -:;~-::-:;-:-,:~~-l:~~:~~~~~Il:o-r:es l~)~~-:-;------------·----• " ,. . . ~il .' ( .\. v) • .- ••- " - - . - - _ • •-_.- ._. - . _ - _ . - ••• _ _. _- - . _-_. _ _ . _ - - _ . - - - - _ . _ - - - _ . ,- - F - :-l-; V ---- _ _ _ o ~,: ~x, v) tic l1en ül mi smo gréld iento, no ~;on nccElsarlamentü ' V F ,(' i::I~~3 JdÉ! n ll::l~s._ _ ____________._..__.. _ __._ ____ ___._____ :__ e---f-- .-.; 'lrillLlu,1en un pUl llO dado, sig~.Iiondu 13 dire~ci6n del vector S, tie.llEl el valor, V F \ l"I:~I >:i. !lO c u~~j~~. S sigu e fa dlreCClon del vector t~.Q..~~~~rflc~~.e:::...:..n::.:lv~e::..._ I , --+-- - +- --1 ortogonal al plano . ._ __.__._ __ , F_ l. ¡::I __ " \'_ _ ___ _ _al __ _..._ __ _____ ..__._ osculador _ .___ ; _V _ L._ _ _ I ·.. y .cto. nom es ¡ t - - - --- --' l . 11,'1 ¡ ~ I I!'.I ! ., . 1 ., P;.¡ !'; . :~. ! d .', ( tO ,·/ I !U\ B 1 id " , .. ... ·l. ...••. • • • . ". 1--- L. - . t 0 ;, ~t !.U 2 (!'!. n ?: !U::;) ( 'AH tU l. : ,~ I ~rl! i .I ,. I " . ~ .· ." '.\ ( dl i\ .\ 1 !I r' \l "_'L ¡ ;,¡)j IL tl l t : ... . It'.u. ,) 0 13/03/10 . ... . . I ......... , . .. ........ ~_._3 _o. . " C. ) C.. ... .......... .. !. .J Tellf. 1 CíO puntos) [)'l do ~; o.e Z 3 - .' ~; ( 1U ¡r ,mI¿-¡ :j¡ ;. '.1 ( :' y SUIl Z) calcul ar :~~. un 0 1punto P (2; 1; !!...) Sy 2 puntos) d.\ ) j I g (y Tema 3 ("lO puntes) ~-l¡:d l.j\~ l . .' .l. ~ .. J;\s consta tes rn y II de fonna que !a superficie de ecuaclon n y :; =: ( m -¡- 2) x sea cltogonal a 'a ;:urva de ecuación 4 x2y + Z3 := 4 en el 0 pu 'It} ('1' 0'1: ;'2) ~! é,%'¡ ,~ (1 0 punt,:)s) D. lc ¡J [,; ~ .lrVCI r (t) ~-; (t, C, t 3/ .! -e'J, se pidd : 1, - Lo'; p i~ nt os de dicha curva en los que la tmsión es nula; ¿ - /i. lll lr ) 11 dicho:; punt la ~u rv:¡t um y t8~; ecuaciones del pkmo rectíncantf:J. Té II.fd L \ ¡U .' UI /tu : '!J i" ) Ind icar si t!$ verdad ro o falso Ch.: l J. l' :~p lW S ' :t correda se sumará dus pun tos y por elid a respuesta :¡l n'~,,_ ;'¡ \111 P\llLtli. los Ül'Iil:, 110 .:mlh'slllti ,. no S ~' incorIr~ctf! ¡.l l.w t llun'm) "--1"1 "d ,' " " 0"'"o," "'" ~"'''c","''é T ... , .. .. ... '., , - ¡i' .~:, , " >c'"'';,,;. ,el \ ~;ClOr cle-PÓSíC.iO -) d8·Ljñ~· pSlúcu!air;üVíi;"etonces eiVec\orvelocidad --y-"le... " I r¡ t) , pI. ,'"" '''''' j ((,0 . ~:I \! e_~\~3cel <::.C~~ ión ir:'.'.(llL?.~0.~~~o n 9Ies__o_ .--------------• ~; i . . , x: l ') J g( x, y) tienen el mism o gradiente, son ' unciones idénticas d:';';' ,' ::;C'.-;,;; pun¡o dado:c;;¡g¡;;endü',a d,;;;;:;:¡ó"dC' ,cctOis.-Ueo-;;'o;w;,;;;------ • La' : .: " : ':: " : l., ':~::,:',::.':~':':;',~~~~ del "'~:"p~,ru" ~,, r \ ::;1 ' ¡'-u ~ , ',' ,'IC . ,'lh :l cl l.I (;, , ~ I I!I)I \\.; t::~ d dt(/)1, --l F ~o-... V F : ov,:~el" jd i;_ dt\!L vl'¡;' '~J tiv, 1 I F ,1 :;~,:, '"' !3::",~~,,'0,~e/ d~J l~"--o ' =~= '===-___~~~ ';,1 .~;,,: .~ ,:~::;,'0' , ~;~ :"e"O"d ::000 ~~,jie,,'c~ ,~~n~ce,,,:ooe~¡~ ' __T~_¡'~J ,, ! , ;' L ;~ (\(: /';;I d :l 0 11 'Jn plJiltO dado, siguie ldo la dir ecció n del vector S, liol;') el valor S siSlue la clirecci.s)n del v~.c:!9.IJ.~f}flentG a ~§.up~T1~~:.. do ..:':liY_o_1___ 1__ I:t.! ;~;D:!..::.~ ~~!.:1 1 \(10 LEl \" -~C~)~ ~~~:' ~I_~~Grto§.Jn al al p~.~~'::'~~':.~?~_ _____... o _ _• _ _ _• _ _ • _ _ V -.J_ V F _ F . I 1MB/lO .]' . L '" l fll'· .• i' ..l ;o: 1I .. ..........c. .L C. N°: ........ "". ) 1,.(' 1'...::; )' :\j'l ·, \iJ ...;:. \ Te" ,11 1 ('10 't puntos) \ .1 ..-, 2 .-. 't.\ ':' -} . l \'.. " '\(J o .·.. C·· - COS f y .~-= 2. , ca lcular o Z en el punto P (1; O; 2) c'ix • Te m,) 2 (10 puntos) • I ' ~\ Ic,1 J (í O :) Jr.WS) l i :,!¡.:¡r la:3 co nstante::; fil y ¡¡ El forma que la suporficio de ecuación IIJ . .. n y ;; :." (m -1- 2) x sea ortogo nal a la curva de ecuación 4 x2y + Z3 o::: 4 en el punto ( '1; -1; 2) r ;m3 4 '10 untos) 1 1~'lItH 1,-\ dist':;11cia mínima desde el origen a la línea de intersección de los p!"l !10 : de ecua ción x -+ y + z ;::: 8; 2x - y + 3z := 28 \ Tun,1 {j (10 pU ltoS) Indicar si es vordadero o falso 1 ( .1'{Jo!' 1 '~ ~I \.b r (,sp u cs ~3 se ¡J'c .; Q" d i ur~ corr ecta se sumará dios pu ntos y por cada respuesta incorrecta pun to, .~ !l)S Í4',ems no c on te!¡ I: ado~ no se pun tuan!m) '~ ~ .'...':!. ~~-!~'.~::I:: la dirúCC!on ~~I vecto~· .~e rpen dlcU!§i_~~13 Cllrv3._r:!~_~!.Y.~~ .-.\ ~ :o i (,. ;; di <.: ; ('!1,iJ blll Y '?n a, h ) - j . entunces I gráfica de la fu nción I .'.: ¡' (.1 ,)- ) [le ,le un plélr:O h ,tlzontal tangente en (a, b) ¡ :-.ii l.:', '. / <~', 'l~ Y\?, ~i·. .' i' " :'rt .: (:ll:¡¡¡"!f);: , ' 11;:) - ~~t~y)ti,;·;,~~-;¡ .c, +- YoY V + z oz ~; e ~ e-I-vaior máximo V _________. V V ~ -~F~ f \ __._.. _......_-_ ...------_._------_ _.. - ' os tangünttl .... <.1 la esfera.. de ecuación V e 2 on el punto (X o ;_ Yo; __.__ ¿~o)._.____._ _ _ _____ __ _ _ _________.._._ _ _ _1-___ _ _ _ ___ _ __ . _ ~ _. F - un valqr extmmo en Po . _ - -- - -- ~;_ ._. _- - -_. .1 1,1.!lllJ ,!~ : '_' r:U:.1 Ión ;\.'\1'1( ~ gr;die~;~~;-;~~ecesa;iamente funcione~- ki c.1'"l:cción del . 1. 2 ,. . , i , . / lÍsmo 1I1l~:ulliD-(j'¡~dO,s¡gUi e-.ld-O-la-di¡:ecc¡ónde-1\-/e-ctOrS~tiene-. vectoL~~~2~e_;) l a':>~[lerft cie_~~!..0Jy~~~ :;'¡ .\:¡.. ....( Po Jc:,,-Ó~~nt~~~~~-:7-~~n .. _._- ..._-_........__.__.__ \ -------1- T- ·: ·~n ;:i; ~:lll;I:l i)UiltO(!dd(.J ~ sic¡U\cnd()la dlre c '16n del veCtorS, ti.ene'el valor máxifno--i-v , F .-.--, -- U ~rvERSiDAD NACIONAL DE ASlINCION FACULTAD DE fNGENIER1A CALCUJL02 . . ~~~,~~~~ . ..~.~~2~O.~E~~~~eD~ am~ p§a§rC.~ml~~~~t==j~~~ZFJ~LA ~~B~~~~~~~~~_.~~~~~~~::~~II~~ ... -- - fTi _---LTA n._ DE e..._---_. F r~ia l i~ RIA -~: -,'~.. -.'_._. ,. ---...--_-_ .~ 'iI ? '.'l '1J l ~¡ ohjdivo dc talkr c,w¡iri cilr el trahilj l. l extla ;lllla del alu ll lllo. U ~1111111110 ddJc rú l'csol vt:i" los 2 ejercicios dd tem ario indicados j"lar la c¡'¡lcd ,.,·\, C<lda tem<l se puntuará so re 2 puntos. No ('C adlllÍ l.i rú el uso de form ularios 11i ca1cul doras programables. Una vez pub!ic:. do el res h ado del Tall er, ~¡ alu HIlO tend.rá tres días hábiles ' p~lr(1 presentar los recl amos correspondie ntes. ' 1 ~l~ hujas P (\ I'~l la resolución de los ejercicios, deberán ser habil itadas p~)r la C ~\!.cdra. L~ s H.\jas que no hay3.n ~;id0 habiíitadas serán r..nuladas. 1 L i)1...'lClil:;\nr y G1;!!'ica¡ el dominio dc tkfilliciún dc las [unciones : ;1) I(Y, y, z) ~c .J)~ r) /(x , y):=. . 111(X CI) .{( ..: \. ) ' ) -. J1 ::..-: L' 1.. U;di<lf (/ ) 4.. 1;; -1- ...[ ; b) f(x, y, z ) =.: I 11 (xyz ) d) f(x, y) ==arcscn(x 1- y) -. / ) r-- --'2--:;--2 .í JI -. ~\ - '\ l~)s líll1il.c ~ ; . 2 -1 lJ J N x--v 1I m .-----='-..r ,u X2 -l- y') /; ) . In n x-.'" rlr-;;' x+y ] --c;\ y-'OO IIl!'[ (\1 ::_) x1 . '- \t 2 -}- y2 • e) ! I \. e) X .v., xL -' tilil f (x ,y)~" 3 Y .\ 1./ ' \ ¡ '( \: p') - 1- lilll :' . >:. ¡.l!lI g ( X,Y). "" :; '1 L , l'U "(r v) -.:... .<'. --- ~--- g (x,y) . e) z ::::.----.2 7. 1'··- x -y 1 ti) z ::.: cos\( .-~ . . r' sen(xy) -II ltlll - - - - . ( . x"uL )'-'2 l' 1, > . ... uru ;cn(x) + aresell(Y ) + arc.'; c17 lz) de 1:.1::; sigu ¡elltes funcio nes: Y >11 ,!) ~2 1) f(x,y, z) _"7 I\ ..··f ,. " J x J 5. l l<dl. tr Il ~; plj !llC ¡iL'i Jl'¡ lvmb s pan.:iuics de las sÍgu¡cnlcs funciones: . (X2¡..y l) b.) (x, y, u, v) ::: --'-2' -2--' a.) )(.\", )',7. , 11') ==x 2 .e(2Y1 .lz). cos4w (11 . -1- V ) d.) f(x, y) == sen[exy) c)Je"\': - 4xz 2 + xcosy 6. La fUllción 1I 1 D o=: COs(.\: a·u J. 11 -1) -1- Du sen( x + t) - 2e:+I - (y -- 1)3 , ¿es sol uciór.r para la ecuación de ' onJa -'-- -1- - --- + ._ - = c· -'-para e OX2 ('J/ UZ 2 D,2 = l? { 7. Si w == ¡(x + y, x - y) posee derivadas parciales continuas respecto a u v == x _ ] =2 1 u'u ") 2 =x + y .... ... y ..... .... y, probar que: U}~, ow_ == (Ow)? _ (-º~)2 OX Dy ou OV S.Sea \' == fes) donde s == ..J(x~- i -t~l) ' demost~ar : a v élv é/v d v 2 dv --, +--+--=--"¡'-, 2 Ox· 9.Si Z ;.=: f(lI; v) siendo 2 (~1!2 1/ :.::: OZ2 c/S2 S ds '="" ....... lI(X;Y) y v~::: v(x;y) demostrar que se cumple: ~2{+~)2.~' =: r( ~J~)2 +l" DV)2·](OZ.( + a2~l (~)' ux . Du C!V - c)x (/1; J O. --~ ~ \ ~(:tl\o~;¡nr que !Ll l'ullci ún: z ::.: XIf{ ~) -1- v{ ~). !)J.tis[acc la ccua~ión difcrcnc ial: 7 12 2 n Z UZ 2 () z . x -_.;;- ·1· 2xy------I· y ---1 = O Dx DxDy Oy Demostrar: ' () xl () 11 = Y z I (.'(-y) (-,-z) J y/ a v =( x +z) /2(x-y) (¡I_Z) a z/ a w = 1 1 3 (x -z) (y -z) I ,~ , \<1:: b .ios (le un rcclúngulu es a ,,:o 10 <.:In, el otro lado es b = 24 cm. Como \' ,ui ar:l \J di: ::":P ll,d d' c;1c I cd úll gU !O, si el lado a aumcI1l2:,C en 4mm y el lnuo b disillinuYc ~ ; c el) IlllJl? I bl¡;tf la 1l1íl g lli¡ud aproximad' de la variación y compararla con la exacta. UI\O ~k 0.1-:1 :·ul L'. ull) ~' u\l ral pro\'.lIT~\r : ;c 20 Cl u'l l.k un scdor circular es igual a 8(l° y se disminuye CI1 lO. ClI:.l I1\n \I~ h : e l radio del scdür para que Sil úrea 110 Vílríc, si la lo ng itud inicial dc..:llnd io L:1a U:-IIVERSIDAD NACIONAL DE ASllNCION -FAC ULTAD DE INGENIEIUA CALCUl.O 2 FILA B 20. Examen Parcial 02/06/09 r~-------------------------------------------- , .~ I 1:' Un Lll\<¡ d,..: Ull ~l'd ;l :!L~ I;!l)~: '-.-. 30 1il Jj :;l lll!lUyC :\lC,\ ,kl n..'I.:I:1I 1;," ,du_ ~l 20 '-' n I :JU Il){~ llt,\ u ;n llll "~.. [' dí " ¡ll'(lt''' ' _ "_!~ velocidad dc 4 mh3 • Con Ull:\ l lUC l r[ .. ce l \...,. ./ t"n .., VC1oc;d'>d. , LL l,' j' l ' I r ü l'ti! (' ,. \. , v·'"dl<\ra .'¡ ':' " e'1 I ', " Ir p e ! Il1J',~ 1) v J :1 1, liS. ¡ Lt l!al i o~ val\Hcs dc 1;1:; cou ~jt all lcs a, \) y e (.!c: ¡1) 111 1<1 lllle la Jeriv'dUd '. U'_'¡J J, ., ¿ ) 2 -¿ 1 (1 2 ¡ ) , ,/:::. w:y +/))': 1 (2 X ellel punto; ;- . lcuga ull fllaX lIl lO de moJulo64 Cll ladi ,(u.:il'lll l." llll',"\..J ~q'~?!-.:J\;~,\, ~~:G';t;(~(kI'Ñ 1l 16.0bteller h dcriv:lda di!ü:ciollal de J Ci1 la dirección .kl vector tbJo ell el punlo /' jlid¡ ~'; ld(): a) ¡(x,y) '" 2x} I _ :l /, u 17. ¿i\. q\lé Jistancia cstú el :~ co~· pUll~O Je -.. "', + sen-1; 4 4 ----¡ 1'( 1,1) (2,1,3) del p lano tangente a z ::;: X y en (3, 4,12) 18. Suponga que una partfcula se encuentra en el punto (a, b, (:) sobre una superficie j( X, y, z) k , En tal punto VI o--= 2 i + 3 j - 4 k . a) Si ti es tntl2,cntc a la superficie en (a, b, cj , a que es igual D.,./? lJ) ~j ." es nom!al a h superficie de nivel en (a, b, ej , a que es igual D".f? d~ niv(~l 0= .. 19, 1bll;il la ecuaci ón del plano ttü1gcntc a la superlici~ e xY/ ( , +- ;,2) ::: y? en (0,2, 1) J 7,{L Vui fi car si la:; sie,uiclllc ~; supcrlicil~s, son pnpcm.l ic lllarcs en el punto 1'(2, ',, 1,) ') 2 ' X" -1- Y ,1 z¿ =, {¡ i, x-y-z== O 21.1 hlhr el en l'l {¡ilL~ulo [lUllf.o que fu rman bs superficies x2 + y2 + z2 = 9 y z r, = XL +- Y 2 -- 3 (2, -1,2). un )'22. Un imedo, al verse en ambiente toxico causado por DDT, decide moverse en una Jircc,jóll ell que la concentracion de DDT disminuya con la mayor rapi(kz, Si la COllccutración de DDF cslú_ ~_ad~l por f(X,y ,l:):':: SO +5é\ x-t. T y-l) (,"'u -'1"'"' ,¡il",-,.,:", J,:bc c;cabullil se el insecto si inici,11mentc se encuentra en el punLo P( i ,4,~) V'. 1),ld ;\ :: ce /(x, y) (\...-\-ulida por x z + 10(.\ Z -- y) -- x -, y::.: O, obtenga la d ir¡;cción de mínim<L J criv<\<L di¡ccciuil:c d y calcule el vl1lor de lEcha derivada mínima en A == (1,2). J :,t I D'llh /(x,y,z)='1 x1 -5y2z dc J;\110111;;;\ c:;kriur <1 x2 c:.lkuk la derivada direccional defen (1,2,2), en la dirección + y2 +2,,;2 == 6 en (2,0,1). lJl'tlVERSlDAD NACIONAL DE ASlINCION FACULTAD DE rNGENIERIA CALCULO 2 20. Examen Parcial HLA B 02/06/09 Nombre: ............ . . . ............................... . .................. . ..................CJ ...................... . Carrera: ...... . .................... .. .............. . .. ... , ...... ................... Duración: 90 minutos I 1 I 2 I 31_4----1-1_5 3 - - - - - -1L - _ -l\ L _ Tema 1 (10puntos) Demostrar que F es iITotacional y encontrar un potencial escalar para F ' F (x" y, z) =, y i + ( z cos y z + x) Tema 2(10puntos) La superficie x = 4 - ./ - Z2, i + (y cos y z) k tiene una delgada capa metálica, cuya densidad en un punto cualquiera esta dada por a(x,y, z) = y2 + Z2. Hallar la masa de la capa metálica por encima del plano x :::: O Tema 3 (10puntos) DetennÍnar el trabajo realizado entre los puntos A:::: (1,0,0) # labélice r = B(O,l, 1r) y a lo largo de ~t 4 (cos2t)i+\sen2t) j >2-t'k porlafuerza F'=8J.;-y3 Z i+ 12x 2y2z j+4x 2y 3 k, Tema 4 (lOpu ntos) Calcular la integral de flujo de F(x, y, z) = (3xz 2 ) ¡ + (y')j + (3zx" ~, a través de la superficie del sólido acotado por las superficies ~ X2 .l : : z'l , X2 + y2 + Z1 = 8 Tema 5 (1 Opuntos) lndicar si es verdadero () falso (Por cada respuesta correcta se sumara dos puntos y por cada respuesta incorr'ccta se restara un punto, los'. ítems . no contestados no se puntuaran) , 1 . Elcampb F=(x 2 +3y)i+(z-2yx)j+CA)'-2z)k es solenoidal rr4-z ~ \:J ! J¡-~Y=~ dy dy dz ,\!y_+zl = rr P I x'Jo V'F:;;. O - d.::. dy dx Una rueda de paletas con centro en P y con eje de rotación en la dirección de D, sumergida en un !luido con un campo de velocidades F girara mas rápidamente si n esta en ta dirección perpendicular al rotor de F Iv I 1 ®\ v0 V ""\ F Iv 'F '-- El centro de masa de una placa simétrica esta siempre en el eje de simeU'ía El Teorema dd Rotor de Stokes se aplica siempre que la cmva- -sea- cerrada . I J '\ . , - V .F / UNlVERSIDA[]! NACIONAL DE ASUNCION FACULTAD DE INGENlERlA CALCULO 2 2a. Examen P~rcial FILA A 02/06100 Nombre: ... ....... ............ . ................................. .. . .... .............. ... ... eJ....................... CalTera: .. : .......................... . . ... .............. . ...... .. . .. .. " ........... Duración: 90 minutos r-~1__~ ____ 2_·__~1~_ 3 4 5 I ¡ ; , Tema 1'(10puntos) Hallar las constantes a, b y e de forma que F sea irrotacional y demostrar que se puede expresar comD el gradiente de una funCÍón escalar. F =(x+ 2y + az)i +- (bx- 3y- z)j + (4x + cy+ 2z) k Tema 2 (10puntos) La superficie y == 4 - X2 _ ~2 , tiene una delgada capa metálica, cuya densidad en un punto cualquiera esta dada por B(x, y, z) -;::: X2 + Z2 • Hallar la masa de la capa metálica por encima del plano y = O /; Tema 3 (10puntos) Dada la fuerza F = 8xy 3 Z i + 12x2 y2 Z J + 4X2 de la hélice i k, determinar el trabajo realizado a lo largo r = (2 cost)i +(2sent)j+t oc entre los pUl1tOS Tema 4 (10puntos) Calcular la integral de flujo de F(x,y,z)= {x2)i + (Z2 del sólido acotado por las superficies X2 + ),,1 A = (2,O,O} Y. B{l,J3', ;) - x)j + y 3k, a través de la superficie := Z2 , X 2 + )'2 + Z2 := 2 Tema 5 (10puntos) Indicar si es verdadero () falso (por cada respuesta correcta se sumara dos puntos, y por cada respuesta inc{)rrecta se restara un ~unto, los ítems no contestados no se puntuaran) f Una rueda de paJetas con centro en P y con ~je de rotación en la dirección de n, sumergida en un fluido con un campo de velocidades F girara mas rápidamente si F lY) n esta en la dirección de la perpendicular de F rr- r-2Y- dx dz dy '* r f2 r-2Y-~ dz dx dy 2Y Z Y V ~ Sí la densIdad de una lamma en (x, y) es 5(x,y) = k, entonces las cDordenadas del centro de masa de la lamina es independiente de la densidad @ ¡F El Teorema del Rotor de Stokes sólo se aplica cuando la curvace.rrada es plana V IV 0 F I El campo F = (x + 3y) i + (y - 2z) j + (x 2z) k es solenoidal r¡:::::.o , "- • /i 1" , , , ( - I, ¡¡ RVi ¡J r 0.. ' {11 - ) i .. '- -"-' - " - - '- '"' ( .. . - '\ 0(11 ' 11' .._Xl'''' ._;(, .. __•... ~ ,tl ) " "llL\ . U I' rr ( 11 01 .:, , rl l ' ( :' tI I r .1 ' La ,t i Uf' ,,;J : I.l'l ~ , ),,,) I.,~dl) (~i l(; .dar i/Ii,;·;. ,... " .:> \ ' ¡W '. ld .~ . ¡,í ', •. 1. !.I...... ' minuto, L1 r;:¡d ie> de tí.! b a ~ ' c mide 10 cm y ;~lI'!i1 e ll I i 1:l / l l\ . V (r \ '1: ,d.l ,l.: ~ 11 llar la va6a -:ión Ol'. volumen q'_le Xp '~I lL\U a '.:', la unl': ::J.( dr.: ti,::',·¡;pc,. dr ! . 1 1< h 1 RE3t>.· .:_- - ¡ --.-- - m ¡ lllli <> I - . - .. di .1 " '" ------_._-..... . .--,... ._---- ._ ,,-_ . -_.... , , ¡ , " l'k :( .rP · Il :¡i' -.. • .... . .. .. I i \' I I ",' " '! ,\' -~ -- 1 \ l ' ) ,~ lo' ' ') (' ,.,. l' " .'" CV " 1·: '1 ' S ~hip n\ 1) q ll e l... \. ~ -- T " , . . ~ I 1 l' . 1) ,'¡'In I . " 1 !' I ' :1 " Hllauo .' J l: u n ! iú" ..u! r; CU<l k IlI ICI ,l au m U I!'.1 :l l a / ;'l i .11 ,1 ' . 1 1 ra.7,ó n de 0,5 clJ1I:~ y e l ángu' D (,J C(llll¡m::nd¡ do ent re el 11;''; ' u,~:(t~ a ¡ d· " ft En,~01 tmr la r¡ zOll l. l(" eJ.mbio del Urea dt.. ! t riángul o en el i ~ll'; ! ]lltc (' j!~ x =) ,l~~r . ~;;...._ . _-----_ . ,'--,,---_._---_.• •.._... ------~ _ Ih.; (J. ' i. f u \ ,',1. .. ) _ ,,----_.,_. _-----~ • • .. .. ,......... • ,1 OcJn:}- :'k m J' :.. ~< rrul ~ . .. .. ti '; · ~-.l S . (! . l .... i. I ,'va l l, )re'~ Halla I f (x n :,r,: ) -=-cn: ('O j ', ;; la direcáón pm<ileln J.{ESf_~ • " de Ins c{)n lanlt::·; a : -.: 1; b :.:: 4, e; '1 (,':- .' '¡;Ul ~d ~¡ ,~ e <1 ,1) Y (' ,h I run 1n " ( 111; qll": I ;i 1, ,' , 1.1 ¡J IUI I ! 111 1 ,JI ' 11 1" " " , .... :;:. 4 Hallar la !) COI. [d 'nadas de-J pun:lo de la ~.Ir ,¡ r (:' l' e ! :y ') .' . plano tangtnl(' e.: perpendicul ar a la recia OI:':,It.; t' , 111 ,;, 11 ; 1 X = I ~. '21 ;Y .::, ~;: , ~:- '2 . ( J( l. JUiSP : P(l , ~ ,,- I) .. '---"---' --, ,,' , Calcular, USiilldn 13 5; rI( ' rTVH<J ll\: r'.:trcrú.'s, In d '1 "d:. 1. 1, L .f( x,Y ) - y : ~ : ,: n ,L;l .u nte 1' ( 1, 1 ) ~1Il: 1 il l lth tI.l ".111 U ánbTUln lo! ó.o W II d sen tido r<.Jsit ivu é1d '.:¡": l.,,, "l. :,.! J, . ,: . "~ RE~J~ 1-1 . ./3 Calcular la dcriv<ida d<:l campo la direc 'io 'ir' l" '"' '-1 'f"''''Ir '' ~':!' \'')( k '1;. . ...... esc~ddf' z' '¡{di! J' :: ,.10....... :! I" ~I Iw" • ••t\ ..' J'll:, J,) \. I ' ~,} en '\1 ,' .• '..,.,,,.. - :\ ¡!lIT r,1 ,1' (1 ¡' I 1111 . I"1'" ,,1 ,• 1 1 ," ,' " :.Ji 1 E$P. ' ., .' 10 Hall ar K~.$P.~~ L'h' (~\:lnl' gn l!:li~ me de la 11J:1C¡Ón . .r J ' !. i '.1 ' e ]J 11 It ! 1 '[ ,:'::; '\j (-1,2) - [,+, -11] . C· - . . t - . . . . . ' l..__ ..aa¡ . • f \,y) "le =-UllUlUf1'''_ La le Iperatura en grac os Celsius, .)ob re la d da por T(x,y) =20 - 4x2 _. y 2 '1 1 1 1 1 M._~"r7'_ ~ • Sli p ,rlici(;; de .wwaIUl 1I ,~",,,~¡'I' 1" lIna r!~-H~a In ,:' ,ll ,I>!, 0' 1; " . l' ... m idi ¿:nd()~cxey~ti r ' (entlmctros, Desde el punto (2,3) ¿bn (l U{~ dirección I;rcce [a 1(:01 P "ratu '(\ ná:¡ riip idal ente? ~, A qué razl' 111 se produce e," ~ crcClmúento? RE:i~~ J'v~~~. ) == [--16, -6) 1 ---,-...:;..--------,--. .J292 == 17, 09° /cm • Hallar d vec 01' f1( 'l rnl<~ [ __ _- --, ,------_. • ..... ~ Italla r un vector pt;~rpend i cular a la .. ·___ •_ _ _,_ • • _ _ _ _ M _ " ' " 't ...........". . .....""': - ....... ,1.'""' :c.: . , , _• • _ _ e[l d punte¡ (¡ I ,I _- _ . ... ~ ! 1 ·)I::d~ ¡':l ( · ., ' i- y ;.: " ~ RES P,: ~ }'\k, 2, 2)::::: 1'2.. 2, 2} •_ -------_.._ ,-----~_."-- a la pariülol¡,1de !.!cu,lr i{<I' ,.' "'.iIO ...... l . ......I . . . .... " ' , .......,_ ~. , .- ..-._.- _._,.. _~- ,.._. Sen el punto ( 1, '\ 2) ¡_ .._ _,._ ,_ _ _ " _~ __ ,.. .. .. • ( ,\ . ; d~~ l.llar __ ..t · . _ Pf-, ' f~ 1t1.5WS')J ·'"J 'i .d · l d,l l,lna'J ._-----'"--. .-- -.n-~ -, - _..... _ ..--._"._----_ .........._. ....( ¡!"timar .\:: "'. d:: r· ... '. 1 1J };-, ' -. ,. '.- .. .. ~ . """ ': 11 '" I · ~~(f' I .. [(x,y) C~. f r\ES ¡~ " .... t~ . . 1 ,- r I ¡. t) 1_ . .. --= ~, ( I. { ( ".I, Y,) , j, ~, -r ,y H¡'- r,, }-1 / . (Xi V ,){ ~ l' .' . \I 3,0 " l (r ,. -.') .. i • '" ' . t '. ,1 . XI' " ~ l ' I' ' "T 1/'( 1,- 1, 2) ,j) 'j ., 1 S : ,.- v + 6::·' 10 . ~ .~ (, ,,-,, '"' 11!.1 11 j' (:c y ::..) -: ..:' .. b) 111 ( , '··í. 2 ) ¡.\'. ::! 5 - Z ::o, X' c' I ( 3,...,,¡ (\ ) 1 "'" • i \ ¡ \ J{ 1, ' ;' I ¡ ~ . : _ ~ _. ~ t:! ~~ . ~ :I ;:: ') \l ()(' ') , ..~~ \¡ '... 6, .... .. . () I 06 I~- :1 (} ! I:SP ' a ) '- -7:, /I')"1O1 :'--" /I OI;c )- - - -.-.- --. 1 ·~~Las supe-rflc'ic<\ :r-:~'~ ,- 1YX} -} y::::: +':X =. 3 pas.an por d pu n¡-; ( t , !'~~;~~0;~- ' tangcn es a ta k s SuptÚiCl ' f: s . cnrUt::OIran rect a inlcr'::¡;cciól! X = nJ"SP "\. "-- --'- .-' J1-'¡ '= 1 , ;.: ' . ~l lO, (~n Hna rect.ri. , ! lü ilaj' h.l"i ei..:Lli!i , mf:S dc 1:' /g 1 _ i . _ ., -1 " 21 ._ --_._ ._--( rr i 11 . " l b. ·" :' ,(\íl J ~ i~ Dell~ mlln¡¡r a y h 2x T y .- ;: ;0: ... IG tales qu(" ! I ¡~I<l!l l) 1 ii!1~('nl j~ ..i " ~-.n el pll, ' h ) /' ..,e" ('malL:: lo al .. "lQj~ i. ; , . Fx' . 'z ) "': : O VP(f') ~r ~~l'l. q.: 1. L .; ij -= ·..4; h c-= .'. ¡} • ¡I ·- .. La temperatura de cualquier punl!O d¡;: L.1. S t (, I '~1 T ( x,y, z) ::=.100x 1),;; , Determinarlos. puntns l:n x . ( !i i.11 1 ~'. I ' ¡ : , le: ICnJlx· t éllura; ralor maxí mo; los puntos e-l los {:¡ aJes la h':Li lf ,.'ral, ¡T iI ,~I, "rv ," valores de la I?mpcmtura eH ca a uno de dlt•. h: :;. I'I H 11" ír (Ji. J,I) r t-.Ji, = ( /2. 1, 1) =:/ 1) / l ·J~ , ¡, BE;·SJP.~·l r( f~' -1)- [1(- '\}¡;;-.1 _1 ) -' ., .( ... . "'~1 ~~ 6 . " .. , D, .. '1 ', ' Dada la superficie S deecuac.i ón , , ccuaClon \,; ( . '1. :::; 1ru gcn1e él r, .:~t , •.1 "" I ! .- ') ' 1 i=(I;, . 71" .. \,'- ) r' :J1IW.'!it re- li '.l el'!!.: . I --)-') . '1) ~i ,1, '" ,'i 1 11 i i I 1 ") , l, _ _._._ • ':'( )I,) --_.,. _._.... .... l a tw\,i\Cdc l::C HCI I: '¡ '. . I ~ J p ' 11 • 1(' 1 -..., .' l.f Iél '1. .1 la_~~~~:'5!..perp1~~.~,~~~~2:::'l:~\! ' ! ld~~~ ~L~~~_l!_ ...,... ,__ ... , . _ I x-~ ~. 5r Para el toro de ecuación paramétrica • 1 ' 11 111' .1 IJ ~..U I L ' l'1", "-" i~, ¡\ " ) 11 rlr 'i," 1; ; i . Ji .• ( l i:: ~.('; .) \l.'J /; .. p UII {! J-:[ " n.! r: .. i ~' I I ! " . 1z·' :\1 1ang~~nle ;'1 IJI ::11\1": " Il:' :n d 2";l lS I ) C \1 S '1 l' \'r I \ l' __B,_ .<iE ._ , z· - 2 •• ~ U .___ ...._ _ _ _ _ _ _ _ _<o.__., _ _ _____ , ___.. _,_ _.._ ._ .._. .•_ _._ ~ iOf -~ e t , .t~' I~ , 41' ., 'X·- .; t' .. ,~:I :r -""" / ~~ , ~f ¡ ¡. (,'¡)'o . ~ ' r t>l\ , ~] / , ¡J.U, ~'! ~ ;,..11 ,., 1 ~~ -----.--._...... - -.- .. ,'. (~, r.:., \' _~_ /. ... -~-- , ~ ... - .._ ---. - - - ._ ,-~ -_ - _ .~. _~. .. I' "' . / I '. " . .. , .,,-.// 1'.1 ... \ , ' , " . !~ . i , ¡ " , }y i ,•• o ¿ : ,j' I .. } ;( 1. ,~, ,', " J ('e""', : , ' ' " /".. t 'i ~ ' ; lA)'r..: " 'I~ ,t.,1 ( . t 'I .l ., ¡, J.:l' l i t r 1" "I .; Il' f~J ' 1 / ~: \~/', 1 , ': \ ,r I • ~ 'i., " : . ,:)(11".<,, ' ;1 ;~r - ( " .C· .'<,-"/,,;', ",';" I'~;l;:__:..'r, (>,' (¡;~i"~: . t: .:,~t ) ~'ei; :~ , e 1, ./(. ,t ' 1 . 1' • .. > ! ' , ,'(1 ( t{;J• '.I \'f.ll ' .. t '1 ¡} r.: 1,) y, 1 ,' I .1 1, .! el t- ) • > , 1 (',j:' 1 L. !.,' . ,1 i 1, ' I ) ~, I r\'I,""r '( ''.J ,' r"'{ {) -= I 1",1 " , 1. 1 ",' ' .' (.1" :: : I " r, ': :' \ , ( 1 ¡,',' ! ,-J '1 . . ,i ( :'j'- , ( , , l t\,( " t . t ,. ": I , ~ (,'/. ._ , l'¡ '" (, ,; 1,- ~L\r. 'U <t~ \ (', , ~- , ~ [ (trio I ., ~. , •r l. " , L.:;, " e E.<:' ¡ • ' . l. t 'c1 Jitl l I'C¡} t' :, ('\ " !'~':'I (, \I ' '" { /~ ,,,\- ,"' { elc~'q ' l 1 ~1 '~I " 1O,... ~I '.!~; ; I , ~Fr""':" C2, 1: ce {\ ,l . l ~ .. ) 1.,-, eL~ ,:.l f..11 :-" ," .~' " ¡'('e 1'. \,hA , 1': I "', . 1, ), . : ' , i ¡ , -. \. l . . ,, · · .'-' I ¡ L· I t , , i ate" " l ) ."'~ ~. ..., I h \ , .. ':', I¡ , ~ " ,, ,~ . ., t:' ~ \), .., . 1 i' tUl',,1 d L\ ,) ,~, I.: <,1 ••.." \ , 'T.} ¡ Ln . '... ~ =1 .1 . '¡ 1 . Ob : I¡Jh li..&ií el " 1" - :) (ICo<' l.. • ,r ' de l.: I J)U lig:Jntn (~ deciíJ 'S ., ',i '.' .1 lr~JI.i,_: ' .( ) ~.~?.; t ' , I,Ü't ]"1'1;:'[ ~>(i1 , 1 1 (1:-'( .\eC'{I,I..:.I1 ji I ¡;It': ~ ' \ .!. r ¡ GCl{i' :Ir 1 . i.I 111." r l,:cud,)rV,i {C/I d~ l.. i( 1, l . " p.ttc ri'rntrhl.'i ;t" , e'.i.S ( , r f.,I" ( 10. .. lde.m arrter<br f.ql~,i rna~ cerQi de cr[Q'ftl. , ::> ~s.: Aho~ ~1?Jbar' ca - ~ ,,, L , t'1,;"eut: 'L..l "7;VJ'l'l('1 r X jo 1 1.0 .( · ;: l·' ~'" ) ,: t 1 \ '.. " )'Y1~ , iO(KJ Lt:l idf't\ ,~ 1<;1. {" . ! , ;.,' .;! nx: '.u.,. ( () h :j + ti;~ '-j- '1--:" + ~l ..,1 í~ ;::. ,..) ¡' ( '\. \. .: ' } :'. l·';: • '] ¡'/m Ij< s :.l: !. l 1) I · • " .: ,. , ' , 1. l . .'.1' L~". I ' . · ·1 ( '1: \ r " • .• '. -', " I• ,~ I: ) ei ,)'I":~! ~ ~.i.;c . ~ Ir A: ,,' ') • 1\\ ( d ., r c€crn:b +':)11.31":" I~Jr\ ' bl~,"',t:. d"II etl. ),I~~" . , ~ue cuest'l .2 Ui\/~l 7. l.. ¡ Jr me rat (1L>\~ (l. "!.tfi 2.S f.Jl.. . /:" -metct! J ". .1 ctrtuiL)í (€C.1:'.J 1' 1': ' f',-. · 1[; !; tl1 t::, .J (.LCv.)i 1 .Y F ti( ; ~:L '\.) =- " i~ + Yl, ,,: jt:'l :.~. ). ~ ~:.' f' - 'X-"-" ,+ Y¡+.(~;( -' >- ~J ,:t -¡S~I t:k élt 1c.;Jn ttUlI::i .0u-_: '1 '(.2.eal~~ esfOJ J;.,J eif..rti<.;~ i:t r a;1/::(j·.l n:St; !tc2doS. IL Un cd -r)drv '. ¡ ....... .1.- ./. • ( ( Ji.> JT)t· C~O It'\ r ,'t"St ' ~ (-x: i :J . l Z!.::o ~tte i ~ . . ~ ;, {2. x - lj (\ ~1~ Yh~. :; 12, t) .' ,', • • P. ' .11 r ( IIn' 11 e l. DIWII.:i.: n I 011 111i11 t1 \(\~ t'lIi 11I :1 <'Íún _"1 EM.I\RIO - FILO. ,l\ - ( I . - r 2. ( 10p Dada Z::: I(·· - .\ ~ , ,. I / I 1 con r:hre "clwldl de 17 ('11 .,l ' ( ji (/ o ( 'x ir ( . ( I 1I -::': /(x .y ) clefinida i n- p líci t aml~I 1fP'p )f l\ :-c(i,resulta .: 1 111 111 \ 2 · i fX , -ti , ¡ I .( , /" 1, r~ ,', í • . l ) d i':1 :dt!ll'¡ ·( t"j·l,' !r. 111;' 11 (1 ,0) 'y' Gllcular el volar (h:: · .!tC~1a-rl n m \(,a m -'I." I" rL ( lOp) Un cohete se lanza con uní) f .lU7<3 C..J) ~ t ;:mlC' m/s ~,;i2 . Considerando nu! la re!;i ·;tel·lcia clf:~13Ire, J. ' . I 'd q 'iP j i:,q,ri!r c ti !'" ;: r+: '1 < ¡-¡ llllJ ;l (]¡:.i ((/::::+ " ( I. l 1"' . "~ o segtmdos se da por / ( 1,II ) :C' 1/2(11.1 2)1 , [! U)Il IL)l l' ,i..I{ l k · 1 t li r l ! f I r"I. To l,1 1 .' es ~. roporchnat a í {i , I d~j ¡ qlJe h el :locíd,1. lil l Jl l', -j ~ j ' 1 '., ': : !: c ); p ' e;,~" f' )" d ( cua :ión r ' , ::: l e.J Oo. [IIU l::T ' ,,". v' " ,¡l' - k, / 1 (I' ,{o T i ' 1' . que e!cohete alC21lza I 4. I ! I . ¡II • . Ir . ( 1 0 ~ 1) Dada la curva t(t i ~ (1:' .2 1, 'o::; t) I se pide " 4. 1. . _os puntos de dicha curva en les que 121 tms¡{ n ('::5 nula 4,1'. -l all r en dich JS punto ji;] .. urvatura y ia e CL;i(Íi In el p lano recli ficdnle 5. L 2p) Sea !a supe¡-flcie Z2 = 100 + 2;(':'.. 3/ , ¿ ~ _: J. b tc .e 'raZár un ~lan .J L¿¡ n~lel !l.' .. d q :3 además ei. paialelo al plano x + y + 2 =: U? Justificar. 5.2 , (p) Tndiraf si e, verdadero o r~ ¡·)o él ) .J vector binormal es ortogonal .al pl-a o ::':;f. ul, tdor .. ........ ... .. .. ...... ... .) t) _-t' ( ' ,~~ ~ n .n t ollces S l :'" t:1 ( ': constan t e..... , ... ", ... .. .... ... ... ..... ... .... ,.. .. /i x e) ~;i r(t) es el vedor· de posici ' n dE' m,:¡ partícula n lóvil¡ F'nlollce. · el vector vp.locidarl { ~ ' í\\ ) yelvectora ' f'ler ci " l(r" (, )) .: ,)1 nttlQol lah:·s... ... .. ..... .. .. d) I.a rayectoría de L .a partí uta móvil (U)fO vector de p sición e t j + k, se eilCUell1Ta en un llano...... . ... .-.... ... ... " e e) Ll plano 1 " ~ (1 1 f) ,. " ¡ '1 . .... . ) .\'O.\. I ) ,J y'iZo},;-c_'c 1 es ta¡.gente a la esfera .- \ )' 1'1":" r(t) =:: - l en ' . • ..• \,1 · ,I l ( 1 , ... ... .. . . ...... . ! , \ g) Si ((.Y. \) r d \ ,,\ 1 tie n el mismo ori1díente , s" 11 fUI { UII ¡ oc, 'dél i i<r ' ft= -l) i + el p l lnlr¡ ... ... ': ', ' " ", ... i_'~ , ..J ¡J , , ' J 1 i , ~~ r _ ---, , .. ,. , " " " f . .i ! , . : " ,' f' \ ,, Clli , , / ll: " . " j' I + '.' , o, " "~ " r 1 t , ..' I I , " -, ,- ( .)" ~h· J,:) 1. . ~ o' • .;. ,.;¡.,' , "> " 'J' L · '} o. ~ ~ I .~..: , , ,~ " ." 1 , I \, .' -J- , 1 ,) l.;)," " l! (..: , " 1 r ,' - /, . ' 1 " ( 1' ~ ,',.! " " ,, ¡ ( j I , I 'i " ./ 2, I '~r ." . :' '.. ", 1 ,) -f' ::( I ,¡; , " ". ,; i.: , )" 7 +., - aJ J o' \ i' , , '-~I! , I ,! r' .) ' (]~f , . ,' ~ -f- .:"" 'r 't;' (, J.~ '--:_! - , . (" ~, '1 i : ~ 1; , , v " - '. ,'. ! , . I J ¡" '1 j, . .i ., I I ,~ f- ( '" r . , I " ',' ¡' , + I f ~ - (' i U L L " ¡- ~{ , ¡ I I \ , -1 /"( :..r. , _.-:J'e' ......., ~~~~ ~ ,~~J ',1 -,( /1 ) '1/ , "1 , " t' \" I ,1 i 1 l '2 "..'1' ¡; I ~,I.)f 1.) .-: 11"; í,.,j ~,. ~)'U .¡ ( 1/ 1 . f) tl.,.. d ',) () ':l '~ - r~ !l·d J ~ r ~I.,( (i ", i ,.' " //'1 : .1· r. r I t JI~ f . rf.f ·' ~( r ' " . ' ,(Ii ' _ J , yr. '>f.. S( l' (j ' l, VI , ~>' r f..'~1 " ( ¡' 11" .., ¡ , I ¡ ;, ,: 1:' I ~ ~. ,1f; ' ~I/ 4' I t !I , ' I ~ ¡ ~ .r~ ; ~I :¡ ' I.' ) I r" I 1 I ,I ,. : . :'1 r! l. ' 1'., , '( .1 1 ~~ , C\,:' i ~ !, I .'" " !' . !) '. . ~ . .r ' ~ (' l.. .~:, '1,1 , '/ I 1 ,. I r) ¡ -' ' e ,0'1. I 1 ', ) , ----._----_ .._ - . '---_._--_._--......_- .._---.._---, _---_.. . ,. . .. ..... . ... _...... ........... ...... ..._.. -._- .... ..._..... ~ ' l' .~ . (;1(' ~ '. I.J I• U ,1' :: \- '0 " l'~ :::. (} - {) ~ x ~J 'i. / <1; ( ::: ') . ¡ r. , ..... _" ' _ In (o.:- t) ~) r, ) ¿~ 'l , .'0 tI. I t ('. 1.> -1' "') r l' " " 1, - ,.. ) - )( -::' ( 1 \ >.' "o. >t " '~ ~ .... ?-')-( _. ..... _.. (J é.~,) dI. '11 1 -, ji (tI ... .. " ~ o .' . _. ') I ..l_:~ .. x , .-J ,'I' ': or' (.1 <... 1, l _'~ l . ".1 . .:::: !._ JJ ,ll.l r 'L _ ,. :") .~ }!) ,,''".J.. t). " .), , <' .. I ," . J' r.:: .i I \. ¡ .1:': ; J.. , _' l . I .. 1,1 , O) ., ', ('r, _ . ". ' \~' u" () <111 I l' I .• I f' t·,'I,}-! 1" . .1 1 u= ., 1 I ' r -' ' . 1 'i,7¡'. : -·_ r '2V 1 ·--.o... ...... ! :.!..,9 . 1 - J, l " 1 _. /, . , ' " I f I' lj .- ~ ,1 1 ' ,' I .. :,1./ , . 1 l. ) 1 rI . , ,. '11 Vl',H .. ,IIt !·d~ NM ' IONA,! rw, A "~ I ~( ~ ~ ~," L I ¡ 1, ' n IH' ! r-; ( : ~ ~ 11: ¡U \ C/I I,~ tJ I ,o 2 I n ', L ,.llllll l Par'd .)1 1 \.1\1 1,'1 e: e;" 2 ¡ 11' ,1 1 i fH J~, C':lIH:r ;!I ' 1 D l1r..1Ó )l ¡ I (1) ' 1lI.P llI0~ Pu nI 11 , u.: ¡1m i, :~~~r T~n'.) '-' 1 -, ' : 1. (lOp) y Sabiendo q U f~ Tema 2 (10p) Dada z ~ IJ '~ ¡ n(2x- 1) con u= /( x,.1') def1n ida Irnplíci LarnellÜ? ¡.I 0f'll l ¡ /I": -:-~ re,,,.,¡ ;:" '/ !\' • Halle una ecuación para el piar o ta ngente a la (,: II!Jeli icíe ele ecuacif\1l :: .:. I/h ', J ) ~ rl ,1 - (i ,1 z .) , l"e ma 3 (10p) S:'.=-ndo la _X Ci r1l 11r€ rO \t 2P(i íOi, 1 de fu nc\6n ,¡ rtku!(.:" rI'"'1 ti¡X' 1 e t 'i 1111 'r1 :O:~ U I/f'II'1, 1-) -!r '-1 IU!l ( f, , l.,,! de co<lo « (,' ,y)-: 2x ' \ 2 ¡.' · , 4 :1l ··· ío;l ' ¡ 2( \ , )' (j{W pI li '\['.'.:") p Ul rln Clóll '~( x . y) • r ( ¡92 - ·h ) !. -,,( 100 o (¡ J )" 11.",' , ¡UI'" Detr. l r.lin::Jr 1<1 u! ihd:ld 1 1 1 ~ ~ln l¿ 1 '~Up r¡ lll"'ll~ 1r i' ' 1\ 1' "l ' , i! I "! ' 11 ( " . ,: i :1 ' . iml)Uestos, Tema 4 (] ()p) Halle ¡ti I?ctlc.:ción cartesiana del pl aT)J' l1orm ,' ¡ a la ~ ;upnrine rJ ~ e CUaCión pertenecen J lu z X ! -~' e en 1.. , [ I ~ " '~ ')(~ Y que 1:1 1)H, ' i('~~ i I JII t: ~ I c tJrVrt r ',Irl.· '¡I ,r:. ,1 L ,I ji ' , " pa rá bola dp ecuación l' ,• . ~ , ... Tema 5, 1. (4p ) LJ S ecuaciol1PS del movimie nto ,je un punto material sor, x ; Jllnlen t ~H',:~ Id ¡J ¡ ,t,'1 ~i? de es te pul't.:) al origr'n de c,"~;!d~n"d~';,;, ¡' - I ' e l ; r~¡ ' r : " erna 5.2 (J~p' Eva luar \~l( a,l,), suponlend' qllt. j)u , f( q) ú) = 7 I u -=: 5 i- iL j Tema 5.3 (2 p) vector Normal un ita r)o es perpendicul ar al plano normal"_"",,,r,,,,.,,. 1. [j 2. ' .~ (1) es ó, rerenCiJble, entonce3. _~. -'d¡rU)¡ J/(t) ,., Si, -<= 2,:' (/)' ----,-.. 3, SI " 'o (// fes cl ifE' renciab!e ~ '':U J , h) :::. T, entonces la gra nea de la (unción z ~: /( x, y) ti ent: vertica l l.dngente en {a , b) ... .... ,,,,/,, d i ¡: dI: . 1\ ~L t:.--' 1 dr Si FU) ,_s d ifeí(~llc i ab k:, ento ncp<;. ; d1 A, ". lit " Idl l -- - - - rI f UIl plarlo ¡;. \ . .1,~ ( .J ,.. ' " , I I .+/ , I ou .. -" + di,,,.1 I ....-_._- , ,} I J " :Il... r.Il ,.. \ -.. / "'-' 1, - J .~ r ~ b -1 ., ,) --Ir., !., -- ci \' -l- ., 1\, ,,¡ .! ' '< , ,¡ l .! ,i 'j'V' , ,". ,1 , , _o ¡ .. 1 f• ~ ". ,,' -:Ju .. " . ,- ,' , J '1 1. -t ' , !,,' } I " . " --r-l(U ' ,, .I ti ' . , 1 e:""- I:'c/ /r"J I, , , - • (' ...l ' . ' d\~" .... . ~- ,.11) Ir 1• ~ ¡ -6 b , ";;'"' --+ '1.. u 1 1U " '1, (~ " j i , ' lr~:, ':l. , ' :', \' L i ! .~ , ~ ( .¡:. ¡'1 , Itl( I I •,( ' (..,1 1~ , , ," , l. ( .t. " '''Ij ."') 1 , - ;') ' -'l., i l' ,'" 1.~, b, - 1 ..1 I -,. :. ::'...I ,jV' '...l ( , " " ';'¡ IJ ' )'¿ (, ;'1' ) -t /., 01 J l. d ' ;~ ,-, ·,11. • 1 ' I • ' ¡ I l' ( • 1 t' . ~ ~J ,,' ... 'do:..\ 1" " , .~ .. 1 ~. .... .:;\ -_._ ," r, J'\I/ ~ . '¡ l. ,1 " . " ........ ,--- ! . .,, , ,"t~'' : u-: : . 2 1 IU ..., .) I .. t.( I l' ',1 ..., I , .' .2. /" ' 1" 1(¿ x - '1}' 'ªy Z.I J ", ¡, '.:' •' 1) . ' . ..,. / / " ,/ .. I ~~ I , >:' I ,l . 1," o , . ',í " , .... ..; , , ~, 1,' r / .0\ •• _ ' l' - , -- ...." '. I , t. - I ,1 í I l : \.,--" \ -....... .. ) . r ~ :.. :;.. 1( ". U , 1 · t' . ., .; :;. I, " ' . l. ' -- O " '11'. <, I "". " I -:j l l - O ,tq ( y-:!' -- j\~ -- l? ¡-~) ) ~ H . _. ,.• e . VI (~ / , " ! ' 1, ,? ( ' .. ~ •~ l '.'. I I .:J ., I .- ,. ,.. • • ¡' , I "( I • I . • ¡' . i ' . ' 1 j , ~' " rl' 1 / ' .J I ' 1/1: /\ ,. 1 f. • • t •~ ~ f' r; j: ' 1 I - -::. - Al)' -. , . \, ... -. " ... -- I '"",' ,1.-.• ' , ,j (' , 1 " : ·1 j' ¡ " • Il" j ,. 1 -\ i 9.~ , \ -j X . .¡ .~. \ -- I 1 -' , r Ir" .¡.:.'," '1 • \ I 1 f !' " 1 :, J - 1, ',\ rI. , b e, '1 (JI) r ,,1 ,I I ,J' 1" , rf 1;({ ','! 1I : t , . ,' ' ,1 1 :. 'n 1 i , .., ., ,/ j , 1¡(r '(, ,.\ e d 1u 2~ 1 ,; ,' .:J ;:'. I ') \1 ,'"1 r ( (. I -- 9 ... ("-\. ,. í ,::e ' · " I, " - ' , , '1 I L i ,, ' ¡ 1- , .' , ~ ( J(" ; • ; ' ¡ll" 1 I JI ,,1 l' : : . {i ..J ( 7 ~- "- .... ... - .. ' o If (( ,; . .. ( ........, - ', ~ "" " ., ;.:. I "11'/0 1'1J~)f I,! - olo 1 ro ..- . ,.. f / Ji. J .' "- • .. 1 ,'r " I ( -~ ( ) ] (" J • o A .' t 'f ,( -1 ,{ I ,_ .. .. ~""," ' , " , " hlo '0 r~ '\ i (- : ~. I ) + / (1. "" '1- 0 ' i o ' .. I j f ,,'. ,' . \" J.-r.' . "t ,,-_., .- _ '..) ,,,.. ( ') ' ~. I . .' r /t' . ,',' ) .,. ( ¡ • • • • .., ., .. I ¡J ~ i i, \' .. I '" , .. , " i, ¡ ¡- ". l'::;' , O " ' -..... I ,~ I 1 r. ,,' r,1~, L , j1 r: , ,. ; V·· I '( . ,--' '. \ I ' " - \, '(l ':,; /;i l. 1 ~1 - r , I ~) _. ¡. '. " (~\\ I \ ')I.,~ (1\~\ . . d'J / r. ) • ,v " • ,, .. \ \ l U t ,f I J, , ,1/ .) •,. , \ ,.. ( 'H'\ I ! . ,1 \ ,1 \ ,/ )/1 1 \ , ¡ , , (J, J , 1( , I : r- I • 1)' ',.' ' !' l ', I _ ' ..J ' "o ,', : l' I +. - 91 ,.1 I I o" " ,l .' '." ~ , ~- ;lu " ' 1 f' I I .:.-:.=.:... , 'd .,- I? (1 ~4' " ¡ , r' l j v t( ~': ' '{,7 .. 143 ; 1. '1) F : I v-" I , -I'/ } (1 f, ~~ . " r:" ¡ )' [)I " LII~ ( 4:J '. I ( f (1 ~; l (Ir I¡ :' [ di , 1 '. I f rl/ I~ I ! :--1 (1,1 I _. 'I( , (\2 1" j : .. ! !, " ," dI ,r ( -~'--"-- ----. '.~-' ' .c.. " -1- /: ' I 71 ti ' f L~- -,- ,+ ,, j "/ ("Ir: I f· / , ( t' , .- IdA í , ; '- I I I dli_ do , j" \fÁ:.J t,,.l~( , .. ,;,, . v 1'-\ •. , . , ) ~ .t. ( " ( 1..,. " J ( , , ' .,! r (, I . l r ~ \r i (1 U~- '" I ,.1 1\ " IT I 1-::- \ ( ,,' el I 1.1 t ~,-~ ._~ ( , T: ,.' . .. r E, I I , "1 1'. .•.. I I -.;; cit , eL .,,-. , , "l 1/ --"·..... Y'F :=t 1.( rir , :. , . , ,. ,~ ~ f' -'t1\) , l' ' ,\ ,Jr) I.~, K :s fu r'"fr, I f .. ~ : ! ..,,{ ( .) .,~s ti r,) ¡, : :", i ~ ' 1:"··'li í' ) h 1; I .,. ' I .. , 1'., I / ", t ' . ' 1,'1'. ( . \ 1.( , 1,0 1 FILA A r. \ , IIlIl' 11 P an' I:!! ': " 'll l ,rc . , r I i.. ~ ,.. .. 1. . ( . l. . . , : - . i ---- -~L __ ~~ __ . '-,- '. ~l¡ I ¡III . - ~ pi ' . 1<. 11 " , 1 1 I--~_~I ¡ I _ ._..... L. .. _ I Tema 1 ( 10 pul1lo s) Da da la hélice ci rcular cilí ndrica /' .::: a · ( li S (l .1i 1 Oernostmr c.'1.;'; ¡él curva tu ra '.,1 la , 1 ' .; (¡; Ul 1 -,1) ' / A lo rs ;ón c::.t,í n en la relacic'm (r./ ;''. 1, ,1 1 I Tema 2 (1 0pu ntos) (~ '. c'term in dr _._, , sa bien do q U E~ :7 , ~: ~C .- 1 d! Te m a 3 (1 0pun tns l QJe \//;\I~1) == ( 2;5), Determin ar el vdh r de iI¡¡ eH " '¡t I O I (ll!',. ' ., ./(\':y) q¡;C p 3,lOa por ti punto (1;:,:) sea !;r1 cs ·" r.'un(c. pC' r ( , e n :lH ~ u la r e, In " I(l ' ; t l x + 2}' = S Te ma 4 (10punto:~) ::: c; bi(?!l(!o '~Ui~ ; ( x;.1 ) "" x ' .r C<)+ g (»;"l 1.l1'1 IJ e: . ;'1' ': l ( :~:<" l l' ,!: e\,\~: . rem a 5 (1CJp untos) [ ;;~·· ¡ m¡ n3r :3 denvad¿ dlrecc lorld / de 1::1 ftrl ('/)11 en ¡a dirección tang nte en el punto I¡ \ :'L) 1',.¡ .. ~ • x +y ' en e! punta I J; 4) 2~ 1) llag~liC2t d~l 2 X2 -1: y2. == 9 , '1 ~ ¡' / ' j 1:\ 'r. I o I r ~ t I . _~ ¡ , I .. 'i - ', 1 .' i) ", I i I l .' ··~" I . í -- I .' ....~ . 1'\ .1 1./ , - el ._. ··· 1 I ~ ,1 - ,, A' ír - - ~ --· 11 ! .. r > ", ~ ~ ' ~ i ¡:, ., '1 -~- -- -ªb ~ I . l I i 1 .... ~., 1" 1 r ".--':' : I ,'¿ , . :. ~, , \' "1 .' , \ el . ::: (2",' . ~ =: I d ~~ ¡' (2X \ /, J 'l l I i r' i) eS'''1 ' ~ / r' . 'c:.I - ( X (r " . { . .' + . ,,/ . ~ ( - ¡,i~" ." ,/ I (: ·f . .1 e ' '( ~ / Lj) - (2 j ) (x -f- (:1 ) _. = 2 [(X-Y)(X~!I) - LX.Y] f, / , :". ~. I ~ Ii. ¡ . I , \, , ', ~ . .....> F ~', ( " 1.<11 ( ¡ ,1 , ", • J ! ! f . ' 1 ". \ .'~:- . '".. I ' . I ~,! \ t ( . f j ~ l1li' ----l/IfIJ ._. ..... L , '\ ¿. -\. , !- , • r _.:1 / r ) ; ." 11 'V. .... , rt P'I J,- >U , \ , 1" l.. c, \¡ ~ ~: --J _.f ~ . ' k· " ' I ..... , 1'\: , ("- k -1 f ' l " " ()/ ,k, ,r ._, -- ,..: J - t~ .¡ ," , . ". . . . - '> .~. t \. i' .' , . , 3.9. De rivada (;.le un- fl. nr ¡,'JI, cwnp • l" ' I <, '~l. I ( l' I /1 Ii' -, . (' \' 1) ' ( - !/ ,1, /..1': R-er.;liJ d :.. ! ' . [ 1, ', l' I ,1 .,' ,. ,' ;t' t ",-i ( l ' ) \ 1 Ir" , ¡; "~, <.1 , \ f i " j' r""'· ~ ~ 11' i. t r""' \ 2(1;:' " ( _.~-_ ! - ·,t { '11 ,l' {. / . --::-. ( '11, '\ ' ( , -.:1 , i I "t/. -.-·~· • \. " : w l . r _ ~ ~ ~ ¡ .. . . . . r ... ~ - . . ." '_ _ _ __ _ _ _ _ _JIII_ I { =-\ v + x · I( X') S\lt i~ r:l'~C 1.1 ::; i !.!u ient c ,~ ,: D emo strar que la funció lI ;: ¡;¡ '¡ r: r: \ X, 1"\ I " - - - ---,-_ ... --- ----- , " ( ,:\,( ,1' r RESP .: ~y, l· 'f '\ : ' .I ') ..,1' ''' F'(x:' .... \ ~ ) -I - _._---,-_._------ I .. I ,,' I . .~ x· ./ " \1, dl 11. ',1 :, . 1I 11 1 ," \ f.' • ,\ (r. . ') -01::. Si cmk) :: - x ' 1 . .. . ¡ ..,. --..::; ,, ¡'''. ( ck l1ln Ir al' qU(' \. ,f, j \ l' . ) ,, I " • r'::. , ¡aliar - .. Si 'i -ti : 11::: -cosx; V = eos.\" . (- I (1 H" - \ 11 t W(II . l ' ) donde Si:: ,-: (:' Y , llr- l. ''\ .. " ..,, ) .., - -1 /J I > dem s rar que . ¡i ll' af (x~ _..,/ .).i-:' -+- .\:'1' - ~':.- .: ck ¡- r ...: ('\.1' e" - - I i"~'( LW /.¡ . _ r!v X\ ·;: ~ I . . ()- ;; '""\ . dem ostrar (lue t:' ,:.,,' . Calcu lar -+ a l ; v = y ----------------------_. / .. 1I! e. X ~,' . - SI:: ...... ( ~r( ~ I ;::= y ' rp(x 2 2 - ( ) y ) 1S.l]SP. : 2x · (p. '... 2 ..1'2, (\J' J , -----------,---- __._._-- ._. j I .' .11 d, 1 ' ¡ ('¡ ,. , r1 , . ., " ~. • ,'. I I !! 1: ' ,¡ ~ I i: 1" - 11 \. ( ' - - - -.- i i ..- -.- .. -- .-.-.~-.-- . - .. ,~--- -.-- .._ _._ _•._._ _ _" _ _ _.. .. . .. ' L_ . ~H ... '_ _.. _.H._._·. __ .L __.. ..__ . _ _ ,_ .. 3.10. Derivación de iunciolle s impllc it:.as. • u) el, Ct S (y I .:) h)x~ + 2xr-l y:' t e) x +3y In..: di ')- ~x::'l l ': - :: t:h) ' , l' :~ x :' :le ¡..: I 2 () O ;- 1 , , ; : )1 (" '\.' ,7. d) -- _. . (~~r .- ;1 ' -1-:;:- ) {:)r .. Sabiend o " S 'a S/ 'f¡(X I y) . J . 1-' 2~: q l.Jt: ,1, O i( :r I )'.t -- ( \ I I \ I + '\or( ¡, +;.: ) ¡ . .. .... .... e y, sea , ;; (1 =: :=: - • • ! 11 : 1 . 11 ~I, y + V)COS 2 ()'f' =) + COS2( X '~ y)seJ/(Y -+ ':: ) _ ._-._ ._ _ .,.- C() ~i' (y .¡.. ~:) "'- -' - - - - - Xl , ::' + z" -' .~ : ,:: ~.. ¿Jz ox (~V (q -hz)· (~.. +( a:t -ex) , ~.. :::: (hx ·- ay ) _.. -- ' -", S \'( 111 " f (lj.l( I h~ 1- c :), dnnl l t: 1- hy H:':) es u na fun ción c:u¿ti qu icra dilcrc ll ciablt, y u/.c ~;Cl!l COI '> 1 l llll~ de mostrar _. dL'!irt l :, I :'-;ea !a r Jnció n .;: dada por la eClIilc¡ón ./ {(IX ( ' IiI.' f ( Jí, y) . CaklJlar~·..:~ . s(,!J (x r':f ! f • 'L '¡,t ~ t..:) - I 1<1 l~n "I,jÚI1 ( 'J(( Ji~S P..,~ ¡~ . ) 0.-..._.... ... ... __ i .'I(' I'(Y 'J' X ' t;. , ('1\ , __ _-_._ .. .. _._-_ .. _- , ._' - ¡' _ ~ . , , 2 .... I - ::: \ 1y .l' _ , }' ) -. _ . • az +--I '--i'i..: .. demost rar que x . - -- í'x :¡ (¡z e!:: y 1)-' SI -'-:::: / ( .:..... demostrar que x· -- +- y .--,- ::: .;: ... .~ • x . \ z ) (X i"y r , , 1 .\( 11 1 ~1I111 1"\ . 1 ,'\ 11 1l1. / _ ~. I \ ( ·,\I.<I :¡ .()!I ,",: 11 1111\ 11 :: "S rr14 r "'T SU!!7 ' Z"iiO(, !1I7 ~· ~~ I. .. . ~ ...~~~~~~~~~ .. .:ll.l..l....L .. ___ _~~\ . . . . . .. . ... . ............ ....('--'-'" n.ú-;!·_ _ __ ~_ _.~ l' '1 J) \ <:y'.:.' 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J~ , dJi VVl c" f¡C-t 0,. /; , vvw ~ U¡ el ~ G~t lyv\Ú 1\ G¡ . . J,IQ""r' cy" c.~ Jto~S , lo ~ , JIt;, úv{YJ-o" ¡tJ . JlJ ~ .Ji ~ VV1 f ~ ~OJr \:J¡ ~ fl,·Cw 01 kó/llm, .-A '_ ~/. :,, 11i l ' e el ,\, l :: .1\:' I ., i' '. I , _.. l' . ..- , 1) , \ : 11 , ~. I 1; i ". - ( ' \" . '. ;: ' . '\ I ,\ l ·' ¡' ,1\ .1 ! " . . ."./ :::.-' . '¡1I 1.. _ ( 1 ¡" I I ( I1 ~c,JrJ ~f .' o -1:: 0;.2 Oé~) - 9 1 ... ® .... O - --.... ® -4\~ ® ........ ."".. () J) "'1 ~ 6 ~)/;~/Flr . V 1•• I ~ h n; 1 ,1111,'11 lid ",,' '0\ . ¡ .. ,1 (álc u~o rE.~ r: R C~ C !OS 2. Tutoría 21009 (25/10/09). 1, Aplic3Jldo la fónnula de Green, calcular / = 42( X2 + y2)dx +(x + y)2dy, donde e e es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos A(1, 1), B(2,2) YC( 1,3) Yque se recorre en sentido positivo. Comprobar el resultado obtenido, calculando la integral directamente. ~ '-'SP 4 Kt:'~,,- . : - .'----3 2. Calcular la integral q-(X2 y) dx + ( xl )dy , donde C es la circunferencia (' X2 + y2 = R 2 que se recorre en sentido contrario al de las agujas del reloj. 0 P' 1iR ;:. .. -RE -- - 2 4 3. Calcular el área de la figura limitada por la cardiode x = a (2 cos 1- cos 21) , y == a(2senl -sen2/). f)'C' Qf' • ~:2._-,-,- 4. 61UI 2 e alcular la integral de superficie JIyzdydz + xzdxdz + xydydx , donde S es la s cara exterior de la superficie del tetraedro limitado por los planos x == 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a . HE~~I'~ o. 5. Aplicando la fórmula de Stokes, calcular la integral Ij ( y.- z)d)~ -1- ( Z -- x) dy + (x - y) dz , donde C es la elipse X2 + y 2 = 1, u x + z = l. BJ~.s_e-,~.A g 6. Aplicando la fórmuia de Stokes, calcular la integraI1xdx+(x+ y)dy~(~' + y+z)dz, donde e es la curva e x = asent, y ~.5E~ -;- 7W =aeost, z =a (senl -I- COS/) , [O S I S 271l 2 lu 7, ¿Será solenoidai el campo vectorial ~ ~~x;), donde~ es un vector constante? RESJ~~ Sí. 8, Calcula r la masa, la,> coordenadas del centro de gravedad y el momento de lnercia respecto al eje Oz del cuerpo fonnado por la intersección de las :iuperficies / + Z 2 =9, y = 3x, y = 3, x = O, x = 1 Y sabiendo que la densidad en = X2+ y 2 . -) = (~. 45n- .~). 1 = 10464 cualquier ptmto es igual a p RE~P . _ ::Y-,"-'-.: 56. ('-:- 5 ' X, Y,z 8' 64 '16 ' Z 175 ,H ! -.. .. r . L-U ¡(A/l . .:2-' :t .~ QV'1 J :x f l1 ~ ~'I' 2: ~ }:) fl<,ltw I",! '3 -) V' ~ ,) ~(1(;V le. \-eI1tcvA/V\ ~:: ~ ~ M YlA f J<¡ ~c\ e( fA 1. ~ dí 1 2 . c\ ~ 0)( 1 ~ k, ' " fYV" 0 1 +o c~ V\. u 1 lc\ (A. (J rif ~ JQ, ().c~ (,J.J v t , /1 r 1 ') 7.. ) ~J Js; QI o ¡\.. " , V$1 ~ lo ~o s k , )- VI (lV\ di ~v' e-,~ b ~Ll 'V\Ajj ()t J f \f ~(/~ ~ ~ ~) ><. 1, ::: t·r\<¡'í·j.. } QvJ-, c/)V\ .P t le. ~ i [o'" ¡ vv' ~xt.. - V\ eCÁÁAu.\.)v, r\1\ 4 'x ) 1 (1 /:> 12) ¡I\' elJ.l-..~ \c~ \¡I ·.f ~ '" t cA lt1 f//. (J 'rt) l~ ' {;JJ¿ g '}),'; -$i ~' )'- '\t. .. 1. o'\,' d\ I'fbVV¡ft ~(" 1\~ &J i {(Y', ~J) +~V'-D ~ \ \ l ; . ~ -) Si" f( ~ 1) 't X ~\r¡ v"{>V\ ( -,,<) I ) C o 3-) ~. [G CA(Lv;, r)J.. \,¡~ 'fV\()", \. v~ l)A - Gl~; _'>.\'¡-., 'f" OJ~ &~. f Q", ~ )u'"' i"{I VI~ (A i t J? v\ tI') Si c\~ : . () I Q LA ~V\W) fl, ~Y\IV0 e y¡"J\~'A k JJ.J.~ 1w ,~ ')r-t-) ¡ (í~Vl hf&,J. '0 1"'- duele. ~Jr I+(~'i!)" x~ . J2 v2 :y'L4- lf¡ ~IMJ-, (~') i) ,u,1&",,,, Ir ~ ~ c¡:I'P,","~ lMI~:, i o) eA C./", V'v'l W Ji • l-:: CCI"Jb", ~ ¡l o d>< Qlo~ vl1 cl ~ \f(,I ~i r~c-M7,\ \ . (Q S: ,r eJ )., i( \ t"" Ó-( te. (/\u Vi \fr ~ i 1V'-í? V\Q )p V'~ V\ k e\ \t< l.Jí c\ VJ.' 'vt. 1/\ I 'S ~'¡ J\¡\¡~II' Llo l ~ I oQ. lh oíVO 0..,:Ij,¡\. le. d.' I'Ú.. (A'0 .;¡ dD \ ck\ v'ecJ'0 v' \¡'tl ('~-/' :VI..C! 1 . cí\ ,~{'Ov,(>~lo~ i v.~ ( ~ / b) ~ ~f (Pv,~j¡\(Yj ~ SY~-i L"" tk ~ f[K; 1) !-re",' ÚA ~ l., wo 'l¡to~' hM+- \t,.. '~~~ e.., ("J \:,) )<')\ Jú ",'A I ' lA \k. c...x::. lA. (,~ h1C x'\ ywo (). lt. , G~)~: ~ \}J\ t> ~dr lM ~ [ ,,) 1) ~ V\>J\ 0\ '" :S'i"ó\.v f ,e-L. "1: J v¡" GVW) ; f1\1\ CM ifV\ ' ~'Y'vV ;\VA ú~v\. .\-~ Uh i . ~W\rv dC! ?k 1 .s;~r-/\\t\¡!.ctv l~ 2N (f / f';'¿,t)Q VJI-""'J:¡v ~ Jn v11\r{> l d {\~ÚA~ ~~ lN~io r s~ ~ ~ d í\¡eéA-~ ~;l I _" \J{l. c' o/ t ~ J) s-: 10 :¡ QJF r (f) ~h Vlfo El ~ 3) - 3Q I ()VI (/i.J,AGol/. )( 2 ><"1 1- t ~Y\ ePI Xo \:: j +-1 ? 1- ~ 'L: e ~ ~) J~i l - ~ d)r 3Q\'~ )~ 2¡s )\1'-:: Y1 '... t-¡~) jo [t\.l.A()vVC, ~h \ 1J\ ¿-t / >0 1 r[~ di'V\,'n " I -0"<& i--f\ov~ w\ 'v~ LvvQ.~t-Q VvW ~. 'i ¡ ~j e.N", 00 i", ~'1 'l.e « (~o y~ -f.oJ "" G 1. e J ~\ ~ W1 ·1o ~ u. J le, I . C-::;.J y -- -2JD) J vr¡:¡J .. • ... J --T~® (() 1 JJ " F- J ). S·~· N~~ ~r ---r: . i~)1 Lf ~ () JN í -1'./ ::: - J ") .' '. ~ d '/ \ . -' 1 , ~- + • . I . , .",, / ~ " <' .' ...) ;..1 TQ(V1C\ ® ~ r<--- Jo ~~ 'y_ll}~I2 a~'U' '~iJ~ Z Iv I ."" .. j 11 I ( Fe: T .'1 ¡. i /1 -d (7' r:Jy '1 o J} dI :: ( C+'( ~ -(4 -.Ji } . .' } x+ 1.'-1 ;- O-¡:: \~-dy -t. I.,X r. I _ .1 6::-.7. f ... . I 1 ( Jx ~ '< x¿ /, 1 . "i, X + b1'1 . , 1<. "'! 4- IIX ¡ I( {< ',' t 1 . F- T1 ..,f '1 l ''¡ '\ x . 4. i (/ I J) ? ) JI1 ::: e-:. -'1 Q v· t -= li1 . ,:, :(, L -, ) J.. . (. . ) u (t J I, .. J I ~ "\ / I~ 4 y l.¡:Ji- íX} '(~i +- 4;< ) 1./':= +- 4~-(~. 7 ~ e I(U 161 ft LJ( ; :)', i ·1 . ., , (, ( t F· ( IJ j.' - \.. l' ; -( ? '>: 'r ) i. , I . , ; . ) ¡ - ", ~~ )) t IJ r 7f o 1/ 1 ,1 <) ) %'- o ).r 1- r ./ o 'Y'119 J ) r I 1"-(! "; Tf !; r\ ~ A _. -e iÍ' : r : . : -er "7C( ce -l eJ (~ J 1 J e - ) (,' T ' 7T 9 ) ''. OI Jj I JI I -J - ) , ( Ir .' 71T :¿- , :::/4-rT , .... , OQ -:: o • ,. I .:; l. i \1 I I I'.< . ! 1". I ('Al.( 1'f.O If I (1 '" II,nl , ')11117 ¡'¡, ¡; '¡ E\ ;"III' " ~,l .11" lI" . • .• • . . • ( I 1 illl Il lil/ll!". / ~\ o' , 'o, •• • e I 111\ • 1 .~ (tip) r ., I T1~M I\1{ I ( ) " ~ ', llpl:lli<:in 1).\( 1.\ 1; \ - (/) "lr, ,)r I :'1) pcrp cmliclIl;:¡1 él di; e.:I· II :H,:i('JI1 .'.: Uellllfl:::; IIC qlf ( : 1;) 1ce ta nOIl11al 3 la (~n X '(11,",11 1 cllH IIllo , r o ( I j '/ 1, 1 1:!lIV, 1 ,..,) , 1;¡II~J l : III I: ; 1 .\¡ Id li:d;1 (~; :: (' .\ 1 / ~I 3. I 1.\11 ; 11 1;:1 d is l :~ 1 lciCl I~ :: -, ~ 111 i llil1l ~1 .\' I .\' lh;~; cJ e el origell él la e illf81ioll lwllle flor el pkmo ::; \ ;:' ,,' 1 ()(), Uf' Ve1 (/(:1 111;1110 xy, :1 .1' e". . I ' ) b 11 !le(l cln illte: 1secc:i cJ II • dr: lo s 1\ ". " ,"\ ( 1Op) I I<dlélr e l VOll ll llC ll illlcliol <11 cililldro p =: I () j" 0· 2 l' (.l Il V ~ 1 .:r ' IX ( 1Op) 1: 1 s uperFicie 1.2. 2. \;r: II~¡r:i')l1 el e" (. c: x . d('~;dí~ e l I) U11lo ~ COS () l imit a do sllpCril)fmcnte por la esfce ,. = () (- 1 , -1) al (/., O) 1 .. (3p) II : ill ~j! O( y) de 11 kH 101 (\ que e l campo (\ \ , \,) : (g (V' , \:' , \ ¡~ ( \') 1 SCél un 5.1. r: ') CZIt 11\10 ..} J.' .. de ~ .. ' e \ tl / -V 1. 1 ;1((,:\,111 ;; 1(·IIII1I.:(,(;'~;lII¿l O'v() Ve 11\111 \(~I 1 ;) \I V " l' de ~;(:flt¡ ' di' Sl'~;l C()I\'~CIV;ldOi es Vl\¡:~ e: Ci r: <11 50 llll~¡ f(lll!.:illil n l1 COur dCf1;l CI;lS f'Sr é~ II r:;lS (:0 1It Il1 1 1:11 ( 1' , el' , (1), 1:. ilifl'I(; IJ' !, Ji d t!: d() T YU 1) M" (x" ,y..) dV , :7 ¡/ )n l1;'II' e 1'1\1 dp del' dO 1/ ' ;el!!'I' 1. 11' (Itl, -c (!(J .... t;C 11 ; 1I1 ) ~ 1) f'.!tIl I11 :11 ( }:,e il . lt! p! Si r;I punto b F d V C SI{l d:l cl;1 por rl p !;lJ10 qlfi" CO llli (' I1C~ :l ;) II:H(I tjll8111l e,1 1'11pO VCCl () II ~11 1c.1;lc.1I'1 O [111I":¡ il\l'~(.II 'l ltlil ) i c dr' y SUfIUCI1te: :i 1,1I1l/ l ld , ' "..'5)P e! Clilie :;\llie ) C~; un ¡JIlIlto c ríti c o ele 1; 1 fun c ió n 7 =í (:x .y) , ClltO:ICCS. di cho PIIII\U . IH' f:( ':;;1Ii :1I111'1r!(' ( '!~ 1111 ptlil!I) (:X!I(t I I IO. 0 ; ¡';l ISO ¡ J . l .:1 ;l ltU f ,1 (/1,) 1I11.l \l101¡\;,1-1~1 0.:;\;1 d ;~ldrj cJi'l~ccil'> f1 clr:uc il . por I¡ (x ,y) " xy + ;? y )? 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ICU ,l l ,'i .' ¡) ' Of¡1 r; l' 1 puntr,l f) (2; 1; ,7 ... ) , '} b 1 (1 ()/l) 2, \' I l ' IId\l;II' ;: c:: 1<1 X (k¡I;ll1 c ii l rllllliln ~1 :2 \' )' 1 .\;: 7' ~) ¡~ (k~ s(/c el .6ri9f~1l la El d(~ Illlca \\ >\ ) .l. 11 ;111.\1 el VOIUlll \; Jl illt el iOl' 81 cil illdro ¡J :.: () de "... su pe ri orl11Jht e po lilllitado I I , f' cos (J illter secci611 ~ 1( , 1, .1 ,1, C;li1:Ii!;H e l ti OlIl ;lJ O de d ,·I I¡[ ;III() :<Y. ,; l . (11') l' \ . 1, Ik[('lnlilll ~ 1::\ I;~ rU t:I/ ; 1 1-'(-",1 ',::) e' ( ') \, ) i l ( ) .1" 1' " ( .\' .,1 y) .i ' <1 Ir) I:uqo de ,,( :,', dr " (011111/11/) (:), Il) n i ( :1, 1;)'( ) [ ;11111Ii : l dC' fllll r; iOIIR ~3 (J de m;]II I:¡'~1 Cl I. Ie> f(.\ '\ ') ':- (IJ/ (I' ). \ ' rUl ll i()fl I J(Jlc I )(:i'll. .\ j'' ~f!"'" I ;! t;u : \li i,; i c'Jl l IW I;(' ,;: ll i: 1 y ;1 ¿ ~';LI f i(:i() lil (~ P:1I ','1 que I V r ~ i 1 1; l'¡' ' 1( ) 1:; 111 11; / il ¡[ I..' I JI; IIII : I ,d,> 11'.' 1/11 . 1 ( 1/11' 1" : /1 ¡:': VUllllll (:ll d V (~,~ [ ('I II: I I L' 1 pOI ' .~I 11//:¡~lllr)(J V ( >I: l llI i ;I! (' I~J iI s () \'1)(,}f(/r!lI :1/I: I '; 1 " , f '\ li, . , I: ~ I :.;/.:: 1 l :iJW;C IV<11 I()l l'~; \ :tI!"" __ r:'lll l ill ll : l 1'( 1' , " ', (1), Id c/i fcp I / 1) ' <I V =: 1/ Se ll ;',¡ , dI' d,l, (JI 1 I :', 1: r 1; el V -- JI ~;I.'Il ' I' "1' ú ' ''''-- !(.) r' ,l. 1~ l ' 1 I i ri1::11 1[(' I~ f!" f!Ii <1(' lnl : 1 1'1:1 <:; 1 1( >(' I:ll ll jl,,:¡r ('"Iil CI; I ( I;'1 por T (y .y J .- S -+ 2 x'o + y;; Delern . ('1 1 ' 1IIr', ( I il( ~(' r ' iilll ¡[ ( ' I 'I' I! 1111 ill ·, "I ;II \ 1) :illicII\I IJ dc:1 IJllnlo (1, ? ) , Jl~1r ;:1 r.¡lIü SU (;Ilfrie ~ : :'11 )Id ; " 1l' ~ I 111 ' t)( )' ;i Id, > ',' 1 ;1 ! ( 'lllpr?r: lllll :, f!/J b, l~ ll (li l cv :I()1\ 111' 11 )('lI í ll u ll ; l/ ' éll V T C. [flllll ~l ~ lil c r;(; i 'll l f') llli : f/lllo 1111 ;'lIlCJlilo d e t1~_; o c Ofll e"pp, :[ o 01 ('j r:-: x UNIVERSIDAD NACIONAl. DE ASUNCION FACULTAD DE Il'IGENJER!A CALClIL0 2 FILA A 2° E xamen Fi nal 30/06/09 Nornbre: ........... . ......... " . .......... ... ...... .... .. . ... .......... .. ........ .. .. .. ........ .. . .. C.L ......,. .............................. ..... . ......... .. . .. ....Carrera: .... ... ...... ...... ........ ..... .... E Duración: 90 minutos F -2-] 1 3 Tema 1 (10 p) Sabiendo que J2u - v + X2 + xy = O ) Calcular l u + 2v + xy - y2 = O ~ 8v oy by 8v Y Tema 2 (10 p) ~ 2. 1 (5p) A es un vector constante y r rote Ji I\?) . es el vector de posición, demostrar que 2.1::0, \ 2.2 (5p) Hallar las constantes m y n de forma que la superficie m n y z == X2 - Cm + 2) x sea 2 ortogonal a la curva 4x Y+Z3;;:;4 enelpunto(l, -1, 2) ama 3 (10 p) Verifil.:ar si la curva 2J+! ( -1 x=-- :::1+2 es plana y si lo fm~ra, hallar el plano que la contiene. Tema 4 (10 p) ~ Ha llar el volumen de la región limitada por el paraboloide x == 4 - y2 - Z2 , el cili ndro Z2 + l' =:; 2z y los planos x == 0, y = O ~ Te a 5 (10p) Evaluar la integral 1"zdx + xdy + y dz donde e es la traza del cilindro e en el plano z + y == 2 I ! " , 1, / \. . .' I .' ~' 1. ,\ ('\ ) . ) !) ~ , Y Z +x 2 =1, I , '¡ \ 1 \(. ·111. 1> ',,\, 1.1 1"\ 1, I)I '~ ,', '. 1',\ \ 111 ;-; h\\ ·¡ IJ. .'d l 1)1· 1, '(; F. :'IH ,: L\ ( ',\¡ ( '11 1.0 U lh:. I' ill;i! .\-: \ :1 11 1.'11 I J/llG/O(, NUlllblc: .... el . . . C aJI 100 J)lll d , ' iólI ·1; 1: .. .. ll1 illll los Plllll1Jal'iÓIl I -' ~- F:~:.'-2 '1 1 I . ·1 '" j \ " ' .,-- , r' ,- '};" ' " - j -- . -- - . - - - ~ - - ... -~._- - -- -._----- TEMARIO LL (Sp) Sea z :." ¡(II , V)fJundC" () 2 Z () f 1 --- --- - a b . _.~' ( 1 '( t'" (1 // • ) l ce (1'1; hy, \' . ex I nf ' , 'f el)' ; n, Il, e y d cord ;mte,·. DCrTlO':t rm : I (') f' 2 ( a ti -1 f¡ (,) - _ .. , - 1 e d .(;,:'\.'' ; DII t l\, li " 1.1. (5p) ti C,lpitál1 Holpll tlCIIO dific\ilt;\L!cs \~C\r.[1 etel i; H:l) :;\JI(~;\<lo dD McrcllIio. U.I. t:lIn pcrGturn (.tI,:! 1:1 I¡:I VO, vlclIO 0,,\1 :1 II( H I U~y.:::) . (' . . .\y " . X y :: ~ siendo (x; y; l) la PO SICión de la nave . " : ). y .' . Actualmente est{¡ ell (:1 pllllto (1 ; 1; 2). ¿En qu(~ clileccióll Llct)cr{¡ avanz:lr I :~pllj;HllCI¡te 1:'1 !. ;.>',¡pur , ¡IUI ;,7 para ca~;co di: di sminuir mús . \ ''-Jt\ / '~ ."\\.3../ n' (1 Op) UnL1 r~lbrica d e lácteos produce tres productos: \ .l manteca, yog urt y cremé! (fo luetlo . El benefic io total (. .~ 1;) COlllp8ñía (en mill ono~) de US$), se pllcdo modelar corno P(x, y,z) := :-\)(~6y+67, dond o lo s vari<it,¡ \ ~s x, y, l . 1I~¡)l f!.: :.(~¡lt;¡il el i~lIITlero dn caja!; dn 10 uniclacles de manteca, yogur!, y crem<:l ele IcC~le rHod u ·;: dos . F'or cuestiones sa lan <i te: Y, de Infraes tructura, la capacidad de ta fa[)~lctl es Ilrmtada, y ~St3 2 1111\11<11 ,0 11 S t) puede expresar CO!110 2x' -1+ 4z. ~~ 8.800 EnclIonlro el benefiCIO m{¡x11l10 pal el I,~ compdllía, \ l ~" J. (10p) Ca!cular fF ....fd?~ e donde es la frontera dnla regi6n f\ A. es 01 ;[<,.=(y --sellx)ij cosxj e 1[ ,'r tri :lllrJulo de vórtices (0,0). ( .. ,O), ( . , 1) 2 ~ 4. 2' (10p) Aplicar el Teo¡e¡[1a do Stokes para evaluar f.-)'l e/x + z (,0' + x dz, cn donde e es la curvé! (je int c !sección del plano 2. Xl 2)'~· z :::: G con los planos coordenac1os 5. L (0 p) i ll dirar ~.i es \ crd ad\: r o o a) La í.¡·~\ycdotia f~lso ¡j" Ulla parti q da móvil cuyo vector de posición es r(t);o: (t) \. 'ucntra en UII plallO .... . .... ~ ... ......... . ..... '. '1 1:\. l» jJ~lltíCt.da t ...... .... .. .".. e) Si fes d k n:m:i:lblc y \'crti,.~¡11 ti) V¡(Il,") t. ngente en «(1,17) ... l ..... =:: 1 • . ~111l jl \ \\lhill'i\llUks ~ (.os l ¡ \.. cos t j . ~ 2 ., ah .... CIl t IL, se mueve con f (x. y) tit:ne un r¡~UlO "f... ".....',. (x, y). las cOülcknaclas del centro (le 1ll:1 S;l. de la l' [1 f) [1 vector TanOCl'ite unit31io se encuentra en el !:12I,\O rectificanle .. q) Si 11) l-'l centro f(x) / ,1 ek, se t ........ c~) C,'1l1\PO / :. ' " SOl -1- . ', O, entonccs b grafica (k la funci ón z =-= Si (J' (x, .)') .'-". k , da la densidad de una lamina I. \ lllill \ l) i + 4tj . \ ~; '1' u;óvil cu yo vector de posici ún es r(t) 1':lpid\:l. \. \.1Il:·; t;llll\.~ .. ... -1- }~(y).J , es irro'aciol1al en todos los jllllltos el p l:! IlO x, y . . I,.\1. ·L...... ..... . y. ¡:(r) es difcrenciablc, entonces: sil1letlÍa . (j() lTI<l sa do una plnca simótrica con dcnsid8d uniforme estn siempre en (;1 ej e (l e -:¡. b IlO .i.b ~" 2- ~ f ().A tJW ",r)J.. v) J 1)tM) ~Y : J -l 2 -' ' .:: dX1 o\~ 1-b~ ).\ -:. , ~ ~I2/? d t d' ' ,,))/'cv' ,)).-,\ 2 , IkHu 10,1'''' Gi1'i lA il, 1 ~e v -=- [í-' +)0. l - ¡ tu"'" jo J- ex u Ay ) {/¡ . c.2 ' r J L ~ d d V ' L.. h vi '" JO' - = DXI.1.1-6~_t-}(tlx3 '~V1 Ql ~}o (1,2,-1) -ley.J~ l tíkecGA""'" l~ tfA al "\)t t:-_ ~llw(G. • uldtIVtí·O~Q.~ pk,vvo ~r>€ f&l,J~ Py oJ -p~fu rhl Oc. ,k k.('ld~ iM ~ ,c. y.).t , wy.J~",.je}. l/-1 ,.4 t f~ & lo'" ~vx¡'WVJ /Q .. f'lA.JaJto64 (11 1 12)1 f'¡~ WY>. 0 f{¿·~j 1 rfo' v()WM~ JtV11~ ,'mv, ~\t" ~J LO{)(ihY~dlí-j ~t W~'1~ b~ BvIr Wi~,tÁ f -~ 4_&JJO- - ",:+, o\Al Su~ni¡(l'I.. k fJ,.,1 ~ bJ G; Ji pi o l I e bf W'''' ~ el f1., iw ? ~o 1 e l", iw x~ ¡;\ 'xl '>< 7 vi Y 1 xy eh ¡{0" tk C P.J }¿, ~ ye< í-o,;" '" 1", ¿,0dw _ 1 (j-i. ukúGv é4 v) yW}'iJ12S' hln .' (D)O)2) ~ (2)()¡L) )·{2t2¡2}.. (/bj2¡?} ' .' ; VDr .Ñ1 ~{~ 1 ~ • U V!(" rP ro~Ú''VY) (¡jo" l)A s·r rb q&~~~ (lJ'{)cJiA (JI/' os~ "VI lt:- d:).e Gl :vv; cAl¿" CCt Y\I\ po ~ J2vo Lv. MVl_~ PVI .:y ) )1) ¡ 6V vro 'r} ¿J./;\ .filA (j)'A tN,l»l/1'd~d.PJ dv¡{) e"u.V-. J' ~YI\)f c.l ~' lrl'\eA;u "41' (;Jv\ rr I ~~ Ir. [/;..:. ~! ~v r: ~ I~~ ¡M~.J y¿. f ' Ac ~ L r rFV'OC WLw th r ,t): flxl fcy )dxdy' [1\e¡x) ~Yr 5') Yf:-o (/V1+oV\ - ~I.& il1 ~0~1 f) tk h<vd I,a., e~ ex VVI/' dA (jV) t ~ c ~ J'0rr f "c)'Q. ).Q }p \)\,1\ ~yVlr d,Q ~: \fQ.ckJ 'A ' .~ lMe J0~pcfi' fJ!Vh¡;L eJ · 1~1 c.. I&. In le", J d,\((l1~L\ (/, eh A -f0 t-o Jw {fl vv ~IY) f( l~ d-J?( freJe ~ I ! , . (ir 'c~:-, ,1 -: 2~ c--~3 - (~ , \2) ® Q , v}F{ t (f(F !, - ,- v----/ - l" - . - -- - .. .... ..................::;.-..•....... ...... >:·..; Ci '~,4. ~.:!l~i~::..~~! ~;~;·:.d5::}üH_L ~ d ·jo :.tl; . .:~ h{:': {:¡':;~: do! \!:s-: j ~x~ v:.~:~;d)h..:.) . .... .: ::. 'L:,:·, U-:-_~~·:';~~·:h~:; ;..~a:'':'~~1k~::. ~h~ ¡;~ i';)~~(;~ó: ~ ü ..; "': : -; ;';~"$ ;¡3H;'}$ ~ ¡,;: ~_;. ~:'E'- H~~nt';~;~':~ ;;:-.~f<;~ai ~( :. (>t~~ d<~ ~~ ~' ~j;H ,, ::""\::' ... ',' (;. "; .:~:. ~~~;~:'~Vt:;' ~2"~~ Ú ;~ ~":;~'~ ~:·i~~~; ·~t: ~~ ·h~ ;-,~ ::i~~>·':3dB par'~~:0L : .7. ·:::· ~; i~\J'(ji..L.:·:; ~.ú.iH.:i ~ ~;{-"s ~h.:· :..!n ~~:';. t;~3 !:~:pc~io'.!~::i. ~ .~~. ~~~ h ~;'t:~~~ ;~;_-J ¿í::': .P.: ~,::~ ~r ~~t~~~r:-::-l:" .~;~~ ~~)~i..·lL :~{ .... 1.~:. ~·· ~'i" ·j.:.d ;)~~J.:: i.!n .Z~·:E n~;~ú ::: ·.;t;·i·;~:.;·HS::;t:S. r~f_~ !-!.;.:..i (;:<.' ::~ ;..:.:~d ::::~¿~, ~;;) ~; '~f{_id:,: ~ · >ta ! . .:;:. ~i~i :, i:E.~;:.::~,~~ii'~~:~;:~~~:'{~~~{:~;:;~;~:E:i:~~:~~~~~:.~~~,Ü~"7_:"'tU<:~!":';?'v. ',~,":::: ~jJ '0'=-' .~ ,,¡ ~;. ;V~¿~~ )n ~~~; y ~nn~{n~':";'~; .: :~.~ ~:n('~ h;:~!~i .. ~·,s ;,~·u ·¿3fi;.-t~: v(H ~ auk·:~. M'd~h ;';U L 3<jO íB'S U~~ La:J(lin~':~'~ CJ\r.. n ¡.H.:) ;:: .... '1' ~.~ ..~. f':.\:~,:;"~{~.~<;~,~ ~<':~:: ~~::;~~:::~ ~ie U~: J :;.~ t~~.:· ~~::"nL:!\'::' ~.?~. ~ ~~$ t·:; p1;~~.;í() ~:.:2. u(;~ j \l i3 :}a::':. .n~~ ~ 'C b. ¡:.!:~ d I.~ ;.::'~C!.~·3 r. D;¡(~: ~ ~':;~ ~~ ;';:'';1 ~.c-t..::i f:U t!P ¡) r: vc<: Lor. ).~3. ~~\-::·~·:~.n:· :'~~:nn~;"'j~ ':~ ~k~.nQ ¿~~~~~:;(:·! d {:;~ U~~¿~ s!.;~ :'(~ fnC ~·2' :iJ :~ t;-·~í ~.:-Hnt~t . .i' A ~ V~;· ·~~ ·~{~ ·:· ·c·h':p~.:~n;·~ .jo :.~t~perf·: c ; ~ ? f:. h: n~~~;~~o \.h: ~. :..1 f..J(; ~':-k; i ~. ,,:'. ¡ . ~)~.F;~::. :~~:¡. t.8 H ~~'i';' [~..:- ;"f.:.'r·:::- ~ ~ (: i<~ ;:2' S ~ (; i;:O, ~~ ,~:;!: ~~da. s pt~ ¡~ ~ e!i ~ .;•• .::;! ~ ~; H; :~G ~~~), f~S. F~ t ¡':~~. ~.: ~;:. ·~~·:' •.i. .:ff.r;;.~ ~ ~t..:'";..::~ ::~' . e~ L()::;G t:p~ ~~ ~;.:::: ~'::-1 ~:':?:f.::g)·::(:' Jhi.r~úa . r; .:)::;:~;;:: ;· !.;~. th;hr¡.;~.~~·¿; : ~ ;~.3. ::;.~·l k::..~~·:)- )'.:-:':...~ ~'l.~'I.:::<'~~:.- 'Y \!(}h·:~ ;'.(:'F~::~:.:. :~::. ~'; :.!.h:~"!~~.J t.J~" \i .. ~d::~.d~:~:. 2'n ~:·::~ · ..~:~;.1í ~.~.':; ü8i;h ? ~., j:;}::::\j bi.·~nl,y .. t;(,2- ~r.;,:,;"!·sl(:d1:~ (,!~·;;Ó~; . .:.~ . -s . ~~t~n~?:::·~-:.:~:":·, y i :·~{:~;H::· ¡k:~~ 3,6 . j.)', C:'::PH;:k:' á~' Y::irj~i~.... hJs. J,':':. eí': ~ ·:nh:~f;.~~r:; ~ t~'1p:.C::'":;'. ":~H.:v~~ i ;~HO·:::· d[:..~ ü~~~!~qOf~{·:.~;;(:iÚq , C¿~l:-; '."H"...~ t!.(~ ~:.~H~r\) '.Jo ; ~~a:-;.~·:. ~\!1t)in (~~·,tr.' df:' :;H? t~;ií.~. p~·(;;j ~.~~-:t(· ~j~ h~t~ :·c~;.:: :~,~) ., hÚ-~~'~H::~f::; (.hz- ~Ü:~,:.~ . '(" :" e; ~::: :p~ .:"':.:. .::/·:~:.:d;.::.lC~' ;! ::.. :+:. ".;:'.: ~,:· ·ú ~~.:i .. ~ d!~ ~~~p:'~~f~:,~ ~~'::;; ~;h~: t :-) ':i. ¡n:·l~q(.¡-;~ '~i'~~;Ü~~ -G ~~!~ ' ,:k) ~;.:;:~ "0 k:~n~·~J'(:~:' ',;' .;.:.<",: :~·::~ r ~rJ2-~, r,:..i;·:; ; '¡'¡~ :',~:; ;.::::. ::,' ~'J~l~;~~~ ns~·~:·, ·::::~;: ~up;.:·:.:.:~:c.~ak·:-:,) , ¿~.:~, {} pe~·:.,:·:jr:-; 'i}:"~~ ~..;.:.{ ¡: ;~ N·:~~.:··~~f~. L~t.~¿~~:~~ ~;}g·~.. ;.:.... ~. ~~c:;d~·.::: ~d:) de ~.~:: } ~_:;:· n::P(;" ;.~~-.. t·_:..:~..} r. ~:. ;.H~~~~.;)~ C:..>}~~!-)o~y¿,b\':.:.-s. h :'~~ : rpr:":~'¿;~~~Jj:< -:L.~~. R·:){;.~::·~:.> :·::.~;; "'i U:·\.. <::~·;;:~::~:·;:· ~~ C~t:,.:~ ;h c : :::·;~ -.::,,:; U:~ :.: ,:::\::;~:'." ~:;:"': V~~ ca:n:;J·:) ve~;tor~3t ~nb~f~;f\;t~;,.~~ó~·~ ~::::.:ca. ~~J) v¿:;'.:~~·.::,it}L ':'; lL ':', T::~~\....~~·~.:tlF: ~j \? ::=¡t ~:+:.;·:~ ~.r':· ·"'~; ·(; ·H~~~ ~~ .;::. ': t'~~ii'e:af: de d-:·:'. -;.r;tc~(;.~~)tF.~q .. G~,¿\::~:: (:F ~-: : :. .'j; :~!.;), ~~:J. ~~h. !jn ~k~~ ':~~::~~pc ",:~·<:i;. · ::\ : :. (;.. ': ~} . T .::<; f ~:'~:_ :~~ <.h? G<· t: ~~ ;;. O' ~. : .. :.;'::'~ ~ . ~': _:~; :::: "j :': ~.~.'( S~:~·; e ~~:: ~. F¡:::.k;;..). DERIVADAS E INTEGRAL S 1---··----.------·------ - ------- - - - - - - - - I Re s las ba",ic¡:¡.:; ,J¡. cJí't'ÍV"irian d - reu ] 1. ..-L dx dx [ti] _ d 4. -- dx. v - -- , v- 7. } - [x] = ! 8• dx 13. ~[sen u] 16. l~[eot u] = - = (eos u)u ' , d (csc 2 u)u' . dx 28. I I I [senh uJ = [eoth u] = - d [, 31. dx senh - 1 ] _ ' = ±" V ~t....(u'), IlIl l/V =3• - d [J ,ú , 0= d" u u] == (sec u tan u)u' 18. ~ rese u] ./1'= u' 1 29. dd [seeh u] = - (sech u tanh uJu u' R+l 32. - [eosh - 1 11 J = • 35. - ' [seeh- I 11 1= J luiR - I 27. -#[tanh u] ax "" (sech2 u)u' 30. .!I.-. [cse h u] = - dx x d (cse u eot u)u' dr -. r d~ ,=..- 21. - "[arctan u] u2 IU I, /-U' (see 2 u)u' el u' = --- - 2 dx 1+ a d 1 - [1' 24. '-'-' [arccsc (' J = ' -- '- - , - u' - --::-....::::: (eseh" u)u ' I - ¡j' ~[tan u] == -- 1' 11 12. !{-[a u ] = (In a)a"u ' el. 26. dd [eosh u] = (senh u)u ' d dx . d 15. = ' ,., = nuYi-'lu ' = - (sen u)u ' dx d] 23. -1:larcsec u == GX u2 lA l' 9. ---·[ln ú] = - -- dx -u' --1 + u2 '* O u u' (ln a)u d al = - - - dx U d [ u"j.. 6. -;¡.;, 20. - (areeos u] (eosh u)u ' u - d 34. -- [coth- I u] _ ~[eos u] /x 1- u . ! ! .::r··[lul] 17. dd [see = -r==:;:2 22 ---[areent u] = 25. 14. u' d 1 I: J "" dx d 11. '-[log u] dx u 10. } - [e u ] = e"u ' dx 19. -d--:: [aresen tí] ± . - d [e ] = O. 5. -dx /.IV' I'U' - - .--- " d[ u 2. -... = cu , - M.e u' d r J'-u 2---== -. 1 33_ ¡ -lt,'nh -u ' ----== Ji -.. u d 1 UJ I (cseh u coth u.)u' u' = -- --.--; 1- 36. --[eseh- I u] = dx. 2 U - 1 l.X = /l.' - 1/' -- - =-= lul J I -, Il ~ Fórmula s ba<'icas de integració n 1. fkf(U) da = kJf(U) du 3. J e da = u + 5. fe" du =.:::.. + e 2. JU(u) 4. Juu du = (-. !-)' a u+ e ' lna - 6. Jsen :!: g(u)] d" = ff( U) du \ J g(u) dll ± ~Vl (p ) }J-' u du = -- cos u + e I-tÓ ~' 7. feos u du = sen u + e 9. feotudu = lnlsenu l + 8. Jtan u du e 10. fseclldu 11. fCSCUdU = -Inleseu + eotul + 13. I 12. rscc 2 = -- lnlcos ul ln lseeu -\ u du = tan u + + (,.:,~'J e tafiLtl ~: e + Co:ft e J cse 2 u du = -- cot u + e 15. Jese u eot udu = - ese u + 17. e = J'~ = 1. aretan!:!. + e a + u a a 2 2 14. J sec e \6. 18. ti tan u c/u J- . -~!~I-= = ~ (1 2 - r UZ dl! u./ u - a J' - - r-==-' = 2 2 sec!t ¡.. e arcsen!: -\- e =: (l 1 lit I arcsec'- +a a - _ e _-1 • • FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO 2 TALLER 1 SECCIONES A B C y D • El objetivo de taller es verificar el trabajo extra aula del alwnno. • El alwnno deberá resolver los 2 ejercicios del temario indicados por la cátedra. Cada tema se puntuará sobre 2 puntos. • No se admitirá el uso de fonnularios ni calculadoras programables. • Una vez publicado el resultado del Taller, el alumno tendrá tres días hábiles para presentar los reclamos correspondientes. • Las hojas para la resolución de los ejercicios, deberán ser habilitadas por la Cátedra. Las hojas que no hayan sido habilitadas, serán anuladas . TEMARIO 1. Determinar y graficar el dominio de definición de las funciones: a) f(x,y,z):=: Fx +.JY + b) f(x,y,z):=: ln(.xyz) c) f(x,y):=: ln(x 2 - y 2) d) f(x,y):=: arcsen(x+ y) -.Jz g) f(x,y,z):=: ~l- X2 _ y 2 _ Z2 f) f(x,y,z) = arcsen(x) + arcsen(y) + arcsen(z) 2. Hallar los límites de las siguientes funciones: b) !0{(x;:~' )] y -->oo e) 3. Sabiendo que limf(x,y) x-->a =3 Y y- >b Calcular 2 lim[(x + y2 x-->o y- >ü }en(_l xy JJ limg(x,y):=: 2 , x-)a y- >b · 3f(x, y) + g(x,y) 11m -=--..:........:...'-'---"'--'---'-'~ x - )a g(x,y) y-->b 4. Hallar los plU1tos de discontinuidad de las flU1ciones: a) z = ln(~x 2 + y 2 ) 1 c)z:=: . 2 2 l-x - y b) z:=: ( 1 x-y d) z:=: Y co{~) e) ~~~[ sen:.xy)] y-)2 5. Hallar las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones: a.) f(x, y , z,w) = x2e C2Y+3Z).cos4w b ·)f(x,y,u,v)= d.) f(x, y) c.) f(x , y) = (senxy)2 (x 2 + y2) 2 2 (u + v ) = sen[(xy) 2 ] e)3eX}'z - 4xz 2 + xcosy = 2 6. La función u = cos(x - t) + sen(x + t) - 2e z+1- (y - t) 3, ¿es solución para la ecuación de ¡i u cPu cPu é;Zu onda + - + - = c · - 2 parac= 1? & 2 8l & 2 ot 7. Si w = f(x + y,x - y) posee derivadas parciales continuas respecto a u = x + y y V 8. = X - Y , probar que: Dw (Dw) 2 ax' 8w ¿y = (Dw)2 8u av Sea v = f( s ) donde s = J(x 2 + y 2 + Z2) demostrar: 8 2v 8 2 v 8 2v d 2v 2 dv -+ -+-=-+- 2 0'2 & 2 ds 2 s . ds ax 9. Si z = f(u ;v) siendo u =k}(x;y) y v =V(x; y) demostrar que se cumple '. 2 2 8 f +8 f = &2 0'2 10. Demostrar que la función: [(&)2 & z x{ ~) = +(av)2j[ 8 ox +!f( 2f ou 2 + f/f] av 2 ~) , satisface la ecuación diferencial: 2 2 2 28 z 2 8 z 28 z O X -+ xy--+y - = 2 ox0' 0' 2 ax 11. Siendo la función u = x+y+z v=.;!+ i +z2 { W = x 3 + y3 + z 3 Demostrar: 8 xl 8 u = y z / (x-y) (x-z) oy/ 8 v =( x+z) / 2(x-y) (y-z) ozI 8 w = 1 / 3 (x -z) (y -z) 12. Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro lado es b = 24 cm. Como variará la diagonal de este rectángulo, si el lado a aumentase en 4 mm y el lado b disminuyese en 1 mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla con la exacta. 13. El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se disminuye en 1°. Cuanto debe prolongarse el radio del sector para que su área no varíe, si la longitud inicial del radio era 20 cm? r 14. Un lado de un rectángulo x = 20 m aumenta con una rapidez de 5 mis, el otro lado y = 30m disminuye a una velocidad de 4 mis. Con que velocidad variará el perímetro y el área del rectángulo. 15. Hallar los valores de las constantes a, b y c de fonna que la derivada de la función 2 3 rjJ =axi +byz+ez x en el punto (1;2;-1) tenga un máximo de modulo 64 en la dirección paralela al ejez. f{Jf.,~~N¿j 16. Obtener la derivada direccional de f en la dirección del vector dado en el punto P indicado: n- n ü = cos-i + sen- j; 4 4 P(l;l) 17. ¿A qué distancia está el punto (2,1,3) del plano tangente a z = xy en (3, 4, 12) 18. Suponga que una partícula se encuentra en el punto (a, b, e) sobre una superficie de nivel j( x, y, z) = k . En tal punto Vj = 2 i + 3 j - 4 k . a) Si u es tangente a la superficie en (a, b, e) , a que es igual Duj? b) Si u es normal a la superficie de nivel en (a, b, e), a que es igual Duj? 19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie e xY/ ( 1 + i ) = V2 en (0,2,1) 20. Verificar si las siguientes superficies, son perpendiculares en el punto P(2,1,1) 2 2 X +/ + z = 6 x-y-z = O 21. Hallar el ángulo que fonnan las superficies en el punto (2, -1, 2). 2 2 2 x + y + z =9 y z =x2 +y 2 - 3 22. Un insecto, al verse en un ambiente toxico causado por DDT, decide moverse en una dirección en que la concentracion de DDT disminuya con la mayor rapidez. Si la concentración de DDT está dada por j(x, y ,z) = 80+5e- Z (x-2 + y-l) ¿en que dirección debe escabullirse el insecto si inicialmente se encuentra en el punto P(l ,4,8) 23. Dada z = j(x,y) definida por x z+ ln(x z- y)- x - y = 0 , obtenga la dirección de mínima derivada direccional y calcule el valor de dicha derivada mínima en ;¡ = (1,2). 24. Dada f(x,y,z)=4x 3 _5 y2z calcule la derivada direccional dejen (1 ,2,2), en la dirección de la nonnal exterior a x2 + y 2 + 2 z2 = 6 en (2,0,1). ~l ('AL LO 2 'rA L LER'!. El objetivo de taller es verill 'a·' el tI" bajo cxtr'l :lula del al 11 1 no , El ~1il J;¡Hlt) dcbcrú rc':;o lvcr h ~.¡ :2 cj crc ¡cio ~:; del tCll wrio illdi 'ü os por la c..ltcdra. Cada tema se p Ullt _aró. sobre J punlos. ! lo se admit id el Ll~;O de í( Li1uh r; ü~) I1 l caL 1I •.\(:"')ra..; pr,-)gl ;:lll1<.!b l ~s . U¡j;;¡ 'v'ez publicad el resultado del Talkr, e l al u l 111") t"nJrú tres Jía:>b,'¡i)ih..s Q ,;. para presentar los reclamos corres pondientes. Las hoj as para la resolución d ' los cjcn.:icio .. , lkbcrún . ., '1' 1 abílitadas Cátedra. Las hojas qu e no hayal! sil. o l<lb ilitad¿lS, sc nl n unulad;'ls. o T EJ\tlA! ~ ~o Evalt~;¡~7s integrales, mcdi an lc el méloll " dt.: las d) r ~L : all L', lIl;li\::; '-- ® ~ il tcgr:tl cs ¡I eradas. sobr~ L.ls pOt" la glOll('S indicad:\:.;: HXy(x+y)GÚdy sobre R:lO,l] x[O, q /J @ JJ(s¡;'fh.:-sen y)dxdy sobre R:[O,H] x[O,n] 2 1) 0) Jfs cos o ® l:lall ar X Sr:1l y dx dy ,subre JJr (xJyi- qu~ Ü ~ x ~ rz [0,71/2] x [O, n/2] cos x) dA , donde T cs d triángulo formado por todos los punt s (x. ,) tak!:i ° ~ n12, y ~ x Evo tllar tas 3íg lIíen tes íntegra les 7:\ ~ ~ (~ r l_r;;ycl.rdy ,I J [) j'.Jo.r(;v/~? m l.'/" JI . 'l/) (9 ( ,' J ¡ entre y = 0, y = X, ~ drd)' Idr :2 .:: .., Y 1 :2 1, x -1 y .1. ® Ha llar el vo lumen de la rcgiólllimitada por z "@ i-Lllbr el volull1cn limitado por en el pnm{~r cuadrante . +) - 9. ¡mer cuaurantt.:. y '~ el plano xy y los phuws x:::: 1 y x '.00 3. .- =--= pl • _._ .:.j., ;2 ___ , -- 1, '\ . ¡ en el 2 :: __ . .2 :2 __ , y- Un só lido cstú limitado por la superfi cie z = Calcular su volumen por dobk integración -- +Y ent re x=O, y=O,'\ entre x' O, y,",c O, , .2_ I -'-.1 .t x2~-/ x2+ 2/'" 2 , x! y j- y z.= 10·· )/- 2;/ 2 z ,-' 2, z - O G) ILJlk,: el volllmen encerrado entre cí cono Z2 = X2~-/ y e l plLno 2 z -- y - .2 = U @ Cllcu!;E fS x y dxc(y siendo D la porción acotada por el primer cu uJ r:'lIl!e sit uadu cnt[(~ LIS 2 2 IJ hipé r bob:, :;),=: J y xyo'''2, y las líticas rcclas y :c:: X ey :.·C ¡~:< " ., I j / @ Culcular la inkgrul fff(2zx 2 + 2zl)dxdydz siendo V el volumen exterio r a la hoj a superior v del cono @Sea X2 W la está en el , Y Sl';1 W 1;1 Calcula(- + y 2- Z2 := O ~ il1l~rior al cilindro X2 1) ~. r~gióll Jilllitada por los planos euadr~llllc x 2 O, Y 2 (J. x dx Jy ti.::: y Calcular I I Iw i = L con z>0 = x 2 t-/ y qu e x'- () .. y--ce O. Z ' " 2 y la superficie z HJx dxdyd:~ \ r'" .: : -~ x y :::{} . 1L"¡ '. il·)I1 lilllil; \d; \ por lu s pl ;I IHI .'i .\-::{}. I I Iw + \ '\ . QJ \tA VV\.iA Q . ~l;.dM). y . llu ll. r d 'ol ul11 l!1\ dl: W y I y eh dy d.::: ffi. S~a JI d p<lr~ddograll1o Jill1it;\do ~)()r y " 2,'( '. y. ,2 x- ~ . y ,- x, y =-., X +- !. \J Calcular I Jp ,'(y eL, dy por medIO cid eamblO de variables x C~ V , y= 2 u U - 13.Ca lcubr IH(xyz)dxdydz, siendo V:= {e x ,y,.:::) E Rl: v -+ y 2 + Z2 S 1, x?- O,y ~ O,z ~ O} X2 l' 14. Cllcubr H(x 2 + 5 y 2)JxJy sobre la región D:= {Cx,y) E R 2 :s 4X 2 + y2 ~ 16,y ~ O} f) l5. Calcubr d área de la superJieie 2 2 x +y + z = .Z l.6. Calcular el área de la superticie del cono x 2 + y2 J 2 +y2 = Z2 , cortada por el cilindro 1. 7. C;.1!cular el árc;.1 de 1;.1 porción ele superficie cónic;.1 ;: ::; O y limitada por la eskm 'de dentro del parabolo¡r 2.1 X 2_J T Y1. = Z . du por Sltuu 2 X2 -1- y2 e=: . a (1..' t pIano ( ~nC I11 X. Calclll~\r, Illediallte illlcgraeióll, el volulllell del sólido lilllil ,ldo por el callo x + • cskra x·, + y 2 + z 2 =: 5 y2 Z2 +- 2 +- 2 a b c X2 ~:O . 2ax y2 + .:2 == 2ax ;(2 -1- 19 . Si Ves el volumen del elipsoide - =.,.. 2 i -;: - ·l : ). y Ji..¡ =1 H;.1llar el volurpen del sólido cuya ecuación en coordenadas esféricas esta defi nida e mo : Osp s3+sen(5cp)·sen(40), cuando Q?E [O,2n] y OE[O,n] ~: 1. Hallar el cClltro de masa del rectángulo [O ,1] x [O, 1] si l~ensi ad de masa es e x + y =:2. Hall ar el centro de masa de la región entre y = x2 e y = x , si la densidad es x + y =:3 . Hallar el volumen interior al cilindro p 1I p I + Zl =: 4cosO limitado superi ormente por lu \;5 ra =: 1G e inkriorllKl1tc por el pl;.1l1o Z = O ~ 26. II;dl;\r I;\s comdellalb s del celltro de grLlvedad Jd área limitad a por lit! M.O de la curva p2 ::: a l. cos 2cp. Determine talllbién clmol11ento de in~rci a n.:specto al pol o. 27. llall ar el momento de inercia del sólido limitado por las superficies y de densiúad Ó· da<. as, respecto al eje dado: a) x=:O; y b) X 2 = O; 2 +y 2 +z 2 =({ x ." .,... - =: 2 O; x +.? := (/ ; y =;; .::: ; 8 =0 fu' , rc ~·; ( ..;cto a OX ; = O·,' y = 3x', Z · = O en e l pnmer octa nte; . ó 2 =: 2 . x + y respec to al eJ e \ . e_ .. FA ~VL TAO -- DE INGENIERIA CALCULO 2 TALLER Y TRABA.JO PRÁCTICO 11 2° Convocatoria 2009 TRABAJO PRÁCTICO: • lO • El Trabajo Practico es individual. El alumno deberá presentar todos los ejercicios resueltos a tinta, de puño y letra del alumno en hojas cuadricula(jas dobles, conteniendo en la primer hoja un rotulo con el nombre y sección del alumno. Las hojas deberán ir presilladas y no es preciso entregarlo en carpeta. No se admitirán fotocopias y/o copias a computadoras. La entrega del Trabajo Practico será habilitante para la participación del alumno (:in el taller. No se admitirán entregas posteriores. Se considerará como entregado si contiene el 100 % de los ejercicios propuestos. En caso de entrega parcial, se computará en porcentaje de ejercicios resueltos. Recordar que se Bxige el 100 % del TP para firma . El TP no aporta puntaje en la evaluación. TALLER ., • • • • El alumno deberá resolver los 2 ejercicios del temario indicados por la catedra. Cada tema se puntuará sobre 1,5 puntos. No se admitirá el uso de formularios ni calculadoras programables. Una vez publicado el resultado del Taller, el alumno tendrá tres días h.3biles para pre~íentar los reclamos correspondientes . Las hojas para la resolución de los ejercicios, deberán ser habilitadas por !a Cátedra. Las hojas que no hayan sido habilitadas, serán anuladas. TEMARIO 1. Determinar tres números positivos cuya suma sea 24 y tal qU{~ su producto sea el máximo posible 2. Hallar tres números positivos cuyo producto sea 24 y tal que su suma ~sea: el mínimo posible 3. La temperatura de cualquier punto de la esfera X2 + / + Z 2 ~; 4 como función de la posición puede expresarse corno {(x, JI, z) == JOOo"iY',) z. Determinar los Jjuptos de la esfera f!' fl la cual la temperatura será la mayor posible y los puntos cll'l la esfera en la que, la temperaturél será la menor pos!ble. Calcular los valores de la ternperatura en dichos punt.o:s 4. Una empresa tiene tres fábricas que producen el mismo producto. Sk:nclo el costo dH producción del producto en · cada fabrica respectivamente 3x 2 + 200 , l + 400 ; 2z 2 + 300 ; x representa la oantidad de productos producidos en la 1a fabrica, y la c.mtidad de productos producidos en la 2 11 fabrica y. z la cantidad de productos producidos en la 3<!1 fabrica. donde Si la empresa debe atender un pedido de 1100 unidades elel producto, como debe distribuirse la producción de modo a minimizar los costos de producción 5. Determinor un punto del plano x + y + z =: 5 en el cual el campo escalar q>(x,y, z) =2x 2 +3/ + Z2 presenta un valor mínimo. 6 . Minimizar X2 2x+3y+ z =4 + y2 + Z2 sobre la recta comun a los dos planos x + 2y + 3z == O Y ~ .f\ l . Hallar e! cHntro do rn a~a de la ItJH tinü quo ocupu In r !gión duflnida por e! Iriótlgulo (0,0), ('i ,2) Y ,fl, J) 'f cuya du nt'j ad (O.m (x,y) (J c' xy 8 . Hallar el centro de masa de la lámina que ocupa la región finita acotada por y:-:: x ' , y:= X -1- 6, $ttwtda El la der -cha dol eje y, la de $if(v1 nn (x, ) e~ ; 'J.. \' 9. Hallar el área ele la porción del cono interior al cili ndro Xl '1-'10 + yl X2 -1- y 2 ::.: x 7. =: ~12. -1 yl .c, X 2 +y 2 "13. Z2 ~::. 3 z" e situada por encima del pla o xoy yoz situada por encima del plano ':0)/ + y 2 := 4 y , empleando coordenadas cilíndricas. x' + y' + z, .~ 25 interior a! cilindro elíptico Hallar el área de la porción de la esfera ~ 1~;I'a; :1';:: 3 4 y, proyectand el -' rea sobre J plano '?--'11. Hallar el área de la porción del cono interior al cílindro Xl situada por encima del plano xoy :-:: 4 y, proyecta 1do (.::1 área sobre eí plano xoy Hall2 t- el área de la pordón del con o interior ai cilindro x~ +- i' :3 z :~ de la superficie x' + y' + z' ,, 4 que 0"tá situada directamente enc;:na del cardíoi de p = 1 - cos () 1j~)14. Hallar el volumen limitado por e paraboloide z = 2 x/. + y2 Y 131cilindro z= 4 -_l o 15. Hallar el volum'3n inte rior al cil indro ¡/ + Z2 p:.oc: 4cos O limitado superiorrnc'nte por la esfera = 16 e interiormente por el plano z:.::: O 16. Hallar el volumen limitado por (~I cono ~b ~= -~J[ 4 • Y la esfera p = 2acosc/J 11. Detemlinar las coordenadas del centro geométrico del volumen interior al cilindro p == 2cosB ¡imitado superiormente por el paraboloide z =c P 2 f3' inferiormente por el plano z:= O 18. Una plac<01 de espesor uniforme e tiene la forma de la región limitada por la función y':: sen x y el eje ox cuando x varía entre Q y J[. Sabiendo que ia densidad superficial de la placa varia Gon la distancia a! eje ox , determinar la masa y e! centro de masa de la placa 19. Calcular el área de la superficie de la estera xl. + i + Z2 dei cono )/ + Z 2 ::': X2 ; =c 4x c;ú ntBnid~l dentro da la porción x;::: O 20. Calcular f.!1 ¿trea de la superficie xy =al interior al ciiindro y2+ z" =ee (1 2 21. Calc¡/.!;3if i~ masa del $olido. llm¡tado por la superficie de ecuación z == 4 ·- 4x 2 sahiendo que la densidad volumétrica es (5(x, y, z) ::oc f I 11 + y2 y2 + ,;;2 :.c 'lz y arri ba del cono :::: Z2 23. Calcular la masa de la . superficie da eSp€lsor paraboloide X2 c5( x,y" z) == .1 y el plano xqy 3.-; /xl 22. Calcular el volumen d ¡ sólido que está dentro de ¡a es;rera X2 )(j -- ) / + l + z := 9 d{.;sprec!able que tien,~ fonTli:a d!3 la porción del por encima del plano xoy, siendo !a densidad superficial es r: t;.} =-;--~. \l4x +4y +1 y2 ~ -¡y'\.fj)~ -;. l S"" ' 'yl('1~'l ? ::\1"1-)- 7 r~ -¿ - ~~ E:.lr: :'¡CIClOS. r . /',1 led ar el J' ::,,0. x ::·: , árca de la rq!iún encnrada por \ll~; C\lrVas y" -- ,¡ 1; - X -1 <; ;" (). Xf Y ' lo), -1- y~:', el 1, Li~:,;t ~ 3,5 lIllltbks de sU¡: L'd'icic, ::: Dcü:!lllin:Jr el volull1en lkí sl'die/o ~lc\l ( ;ld() pu .'· lo'; ¡d : llll)~; 2 y=x y y :::2--x'. u!iildr" 37j unidades de v<'!mner:, hl>p .: :l. Cl: .. lllm el área.de la n~l:'i()n I~ acütuda.e\1 el interior po r c1círculo x' t?>. ,:\.,rj ·, \( flor el CÍrculo (x ,- 1)' -/- yJ. c;= I y C!i 4, \ '0. l;i l:~2 7 '. - , ¡' 7l 2 . '. l. ¡'i : o ~. ru· 1 1- :::=0 y x+::::::1 (:},o,*) ¡; , :;:il~: " LLt\¡:.t d volumen y " Iéo C('l)rdcn,td'I" · (!l:\ ~cl!\midc do.: ! st'lIido limiladü rur l,l (d¡mllo . __ ,,2 2 . .\ ;' : ¡ "l, el para'boloick -' --- ., + y yc plano .\Oy. B ¡;;;j~ ' ! " 1, I 1I <;-; (D"0, l) " 6 . D:L:" "ül:.~r el \'1)1 Ulncn y el cClltru¡dc del ' ,· 1>1'" ¡"")"'~ el"> r,,¡J'II)' '\ '- [....; ¡ : : '.J,! ...~" . .. ,\ .) Y ........... ( ,(.. t·..) cllerpo (lcol:.ldo . : . .' p,,)r el COIIO ~? = ~~ 6 y por L, I , I 7, >',, : :R d parakl()g ~al11o \Icolado p'o r I.IS reqas 2" . ' .1 , : : 5 , Sus! it uya ¡(I ' ~~ :li' ~ . __ .. ...::1 :"_" ; 11 :::: .1' dc ,J/ . :;5 UJl;,:d'1I1"s . l. - y ," o' + y-:-. 1, X + J' t ! Y ') .. v::: 2x -, :; y . para d c krrll i llar s u :írl'<l" > ,. ,'¡rn ' \ . ~ , g, \ >;¡!>;I~UJ() las coorfkn¡das dípticaS ): == 3r,cosU : i I \ " . v:::: 2,..sC;>¡{) · par a ,k l<:nllill¿lf el VO i U~I11 ' : 1 Ik la rcgión aCClUlda por el pLlt10 xy, Ptlr c " "1 X í 11;Ir;¡hokí.l.: ::::: x" .¡. ,'.' y Fu ! I I ' y' __ +_0-_ ;:: 1, 9 4 .' x- CIl\11Jr" dlpllCO ____ "9 [? 1;, "')'.\ .. ,), , ,..')- ir Ulll'd :¡,I"S u~ -,_._.. .... .. (¡,.__ V\llllmell, 0, C':.llcL'lar la masa, y c! m( illl Cnl o dc frontna ! el elipsoide Xl y' -'- + -- + IZ\ _. -_ ·:. SP,: \ 1 ~_. _ - .'¡ ,: J' h2 . increia respecto dcicjc z, de! cuerpo de supc rlieic . .,.2 :.-- ::: e2 . de densidad ' const¡ll1tc k, ulilí/ande I,\s 1 ' . !3íí kubc; 1., ::.:, I /5 M ((/ + / e). .' . ' I I ' --------- ---- - -- ,\' '. ' . 1' " . 1 1 , 2. CÓlculo [(liaría 200<J , I , 1 \ ~._._ - _._--_.._- Jonny Ci:. ¡;ó('~ [JelJjtrz I C'RJG'NAt, l. '"¿,TOO!)PbhIJO+U\ Q{i ¡Motfll ¡ .• '. • FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO 2 TALLER 1 SECCIONES A B C y D • El objetivo de taller es verificar el trabajo extra aula del alumno. • El alumno deberá resolver los 2 ejercicios del temario indicados por la cátedra. Cada tema se puntuará sobre 2 puntos. • No se admitirá el uso de formularios ni calculadoras programables. • Una vez publicado el resultado del Taller, el alumno tendrá tres días hábiles para presentar los reclamos correspondientes. • Las hojas para la resolución de los ejercicios, deberán ser habilitadas por la Cátedra. Las hojas que no hayan sido habilitadas, serán anuladas. TEMARIO 1. Determinar y graficar el dominio de definición de las ftU1ciones: a) f(x , y , z) = -rx +fY +.¡; c) f(x,y) = In(x g) f(x,y,z) 2 = ln(xyz) d) f(x, y) = arcsen(x + y) f) f(x ,y,z) = arcsen(x) + arcsen(y) + arcsen(z) b) f(x,y,z) y2) _ = ~l- X2 _ y2 _ Z2 2. Hallar los límites de las siguientes funciones: a) l'1m x - y x-->0 X2 + y 2 b) y - >Ü d) }-2! [ x+y ] (X 2 + y 2) e) e) y -4k 3. Sabiendo que ~'!J[ (x' +y' pe{ ~ )1 y->ü limf(x,y) X-4a =3 Y limg(x, y) x - )a =2, y-)b y -4b lim 3f(x, y) + g(x,y) X-M g(x,y) y-4b 4. Hallar los puntos de discontinuidad de las ftU1ciones : a) z = In(~x2 + y 2 ) e) z = 1 ') l-x--y 2 b) z V26[ sen~xy)] y-42 y - )CO !~~[(l+ ~rl Calcular I = d) z = 1 (x- y) 2 co{~) 5. Hallar las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones a. ) f( x,y,z,w ) --x 2 .e (2}'+3z) .cos 4 W X2 + y2) b . ) f( x,y,u , v ) = ( 2 2 (u + v ) c.) f(x, y) = (sen xy) 2 d.) f(x,y) e)3 e XJ'Z - = sen [(xy) 2 ] 4xz 2 + xcosy = 2 6. La función u = cos(x - t) + sen(x + t) - 2e Z+ ' - (y - t)3 , ¿es solución para la ecuación de a cPu cPu 0 1.1 u onda - + - + - = c · - 2 parac= 1? fJx2 oy 2 8z2 8t 2 7. Si = V 8. W 2 = f(x + y, x - y) posee derivadas parciales continuas respecto a 1.1 = X + Y Y X - Y , probar que: aw 8w ax ' ¿:y (811') 2- (811')2 Ov = 01.1 Sea v = fes) donde s = ~(X2 + y 2 + Z2) demostrar: a 2v a 2 v a 2 v d 2v 2 dv - + - + - = - + -. ¿:y2 ds S ds qx2 9. Si Z = f(u; v) siendo u 2 a f2 + ax J (}J\t\G\ t ~ ---\>- 2 az2 = u(x;y) y v = v(x;y) demostrar que se cumple: 2f 2 2f a¿:y2 f = [(au)2 +(av)2J[a + 8 2 ] ax ax au 2 av ~ J-\. 'ó .. . V (})( di 10. Demostrar que la función: z = e ~ x{ ~ ) lJ.I( ~ ), + d-i :_ v .d ~ '>< satisface la ecuación diferencial: 2 2 2 2a Z 2 a z 2 a z O X -+ xy--+y = 2 ax 8x¿:Y 11. Siendo la función u=x+y+Z v = X2+ 1+ Z2 { W = x 3 + y3 + Z3 ¿:y2 Demostrar: axl a u y z I (x-y) (x-z) ayl a v =( x+z) I 2 (x-y) (y-z) = 8 zl a W = 1 I 3 (x -z) (y -z) 12. Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro lado es b = 24 cm. Como variará la diagonal de este rectángulo, si el lado a aumentase en 4 mm y el lado b disminuyese en 1 mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla con la exacta. 13. El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se disminuye en 10 Cuanto debe prolongarse el radio del sector para que su área no varíe, si la longitud inicial del radio era 20 cm? , 14. Un lado de un rectángulo x = 20 m aumenta con una rapidez de 5 mis, el otro lado y = 30m disminuye a una velocidad de 4 mis. Con que velocidad variará el perímetro y el área del rectángulo. 15. Hallar los valores de las constantes a, b y c de forma que la derivada de la función 2 3 rjJ = ruy2 + byz + ez x en el punto (1 ;2;-1) tenga un máximo de modulo 64 en la dirección paralela al eje z. ]{~~ .,.. ~0.}. 16. Obtener la derivada direccional de f en ,la dirección del vector dado en el punto P indicado: _ U Ji.,. ff-, 4 4 = COS-l +sen- J; P(1;l) 17. ¿A qué distancia está el punto (2,1,3) del plano tangente a z = xy en (3, 4,12) 18. Suponga que una partícula se encuentra en el punto (a, b, e) sobre una superficie de nivel j( x, y, z) = k . En tal punto "Vj = 2 i + 3j - 4 k . a) Si u es tangente a la superficie en (a, b, e) , a que es igual Duj? b) Si u es normal a la superficie de nivel en (a, b, e), a que es igual Duj? 19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie e x Yj ( 1 + z2) = Y2 en (0,2,1) 20. Verificar si las siguientes superficies, son perpendiculares en el punto P(2, l , l) ~+l+z2 = 6 x-y-z=O 21. Hallar el ángulo que forman las superficies en el punto (2, -}, 2). x2 + y 2 + z 2 =9 y z =x2 + y 2 - 3 22. Un insecto, al verse en un ambiente toxico causado por DDT, decide moverse en una dirección en que la concentracion de DDT disminuya con la mayor rapidez. Si la concentración de DDT está dada por j(x,y,z) = 80+5e- (x- 2 + y-l) ¿en que dirección debe escabullirse el insecto si inicialmente se encuentra en el punto P(1,4,8) Z = O, obtenga la dirección de mínima derivada direccional y calcule el valor de dicha derivada mínima en A = (1,2). 23. Dada z =j (x, y) definida por x z + ln( x z - y) - x - y 24. Dada f(x,y ,z)=4x 3 -5/z calcule la derivada direccional dejen (1,2,2), en la dirección de la normal exterior a x 2 +y2+ 2z 2=6 en (2,0,1). Universidad Nacional de Asunción <', Facultad de Ingeniería. Ejercitaría de Cálculo 2 ~ Gradiente - Deri.Y-~dl~.Qll9l. -t :> 1- Hallar la derivada direccional de la función ¡(x, y, z) = xy dirección de + yz + xz en P(l,l,l), en la i7 :::: -2í -L+ l~ 'y el máximo valo'r de la derivada direccional en P. 2- Si fes diferenciable y V fea, b) = r, entonces la gráfica de la función z un plano vertical tangente en (a, b). Es cierta la afirmación? 2 = {(x, y)tiene = = 3- Dada 7: = ,.u 1n(2x - 1) con u {(x, y) definida implícitamente por uy + e U - x 2, x resulta z = , y). Halle una ecuación para el plano tangente a la superficie de ecuación fle z = h(x,y)enif = (1,1,zo) . 4- Evaluar la derivada direccional de F(x,y, z) =::: xy 2 - 4x 2y + Z2 en (1,1, -2), en la dirección del vector normal a la superficie X2 - y2 - 3z 2 = 5 en el punto (6,2,3) . 5- El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de mercurio. La temperatur<l del casco de la nave, viene dado por T(x,y, z) :::.: e XY - xy2 - x 2yz; siendo (x, y, z) la posición de la nave. Actualmente está en el punto (1, -1,2). En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura? ~mos de funciones. 1- Determinar tres números positivos cuyo producto sea 24 y tal que suma sea el mínimo posible. 2- La temperatura de cualquier punto de la esfera X2 -+- y2 + Z2 ~ ti, como función de la posición puede expresarse como T(x, y, z) = lOOxy2z. Determinar los puntos de la esfera en la que la temperatura será la menor posible . Calcular los valores de la temperatura en dichos puntos. Auxiliar: Javier Andino. 3- Una empresa tiene tres fábricas que producen el mismo producto. Siendo el costo de producción en cada fábrica respectivamente 3X2 + 200.. y2 + 400, 2z 2 + 300; donde x representa la cantidad de productos en la primera fábrica, y lél cantidad de productos producidos en la segunda y z en la tercera. Si la empresa debe atender un pedido de 1100 unidades del producto, como deben distribuirse la producción de modo a minimizar los costos de producción. 4- hallar los puntos de la intercepción de x +- y + z = 12 y z ~::: XZ + y2 que estén más cerca del origen. 5- El material de la base de una caja abierta (sin tapa) cuesta 1,5 veces lo que cuesta el material de las caras laterales. Hallar las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede construirse a un costo fijo C. 6- Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones sobre las regiones indicadas a) {(x/y) =x 2 +y2-xy-x-yenx 2 +y2 $2 , b) {(x/y) = X2 - y2 en y - X2 +12 O, Y + X2 - 1$ O '.

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